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통계청 통계분석연구 제 3 권제 1 호 (98. 봄 ) 91-104 장기예측방법의비교 - 전도시소비자물가지수를중심으로 - 서두성 *, 최종후 ** 본논문의목적은소비자물가지수와같이시간의흐름에따라변동의폭이크지않은시계열자료의장기예측에있어서쉽고, 정확한예측모형을찾고자하는데에있다. 이를위하여네가지의장기예측방법 - 1회귀적방법 2Autoregressive error 방법 3박스-젠킨스방법 4가법윈터스방법-을비교한다. 전도시소비자물가지수 (1985~1994년) 자료를위의모형에각각적합시켜모형선호통계량, 그리고예측값과실제값의비교를통하여바람직한모형선택의문제를논의한다. < 차례 > 1. 개요 4. 모형추정결과및비교 2. 자료 5. 장기예측 3. 회귀적방법에의한모형적합 6. 토의및결론 * 고려대학교정보통계학과 ** 고려대학교정보통계학과

92 통계분석연구 제 3 권제 1 호 (98. 봄 ) 1. 개요 시계열자료분석의가장중요한목적은자료에대한장기예측 (Forecasting) 의문제이다. 이러한자료의예측방법은회귀적방법, 박스- 젠킨스 (Box-Jenkins) 방법, 지수평활법, 시계열의분해방법등으로대별된다. 회귀적방법은시계열의구성요소가시간에의존하지않는상수효과를가지고있을때효과적이며, 박스-젠킨스방법은시계열의구성요소가시간의흐름에따라매우빠르게변동하는경우에효과적이다. 한편, 지수평활법과시계열의분해방법은시계열의구성요소가시간의흐름에따라느리게변동할때에효과적인방법이다 ( 박유성 허명회, 1996). 본논문에서는전도시소비자물가지수 (1985~1994년) 를이용하여이에대한바람직한장기예측모형을찾고자한다. 이를위하여네가지의장기예측방법 - 1회귀적방법 2Autoregressive error 방법 3박스-젠킨스방법 4가법윈터스방법-을비교한다. 여기서 Autoregressive error 방법은회귀적방법이오차항에 ARMA모형을적합한것에반하여 AR과정만을적합한모형으로회귀적방법의하나이다. 전도시소비자물가지수자료를위의모형에각각적합시켜모형선호기준통계량, 그리고예측값과실제값의비교를통하여장기예측자료에대한바람직한모형선택의문제를논의한다. 2. 자료 < 표 2-1> 의자료는 1985년부터 1996년 10월까지의전도시소비자물가지수로부가가치통신망천리안 (go sdata) 을통하여획득한것인데, 이는통계청에서제공하는통계정보시스템 KOSIS (Korean Statistical Information System) 에근거한것이다 ( 천리안, 1997). 소비자물가지수의기준시점은 1990년이며, 연구자가자료를획득한시점은 1997년 12월이다. 본연구에서는 1985년부터 1994년까지의자료를이용하여각모형에

장기예측방법의비교 93 대한추정결과를얻고, 이에대하여 1995년 1월부터 1996년 10월까지의자료 ( 음영부분 ) 를모형적합후예측치와실제자료를비교해봄으로써장기예측에적합한모형을찾고자한다. 1 월 2 월 3 월 4 월 5 월 6 월 7 월 8 월 9 월 10 월 11 월 12 월 1985 년 75.5 76.0 76.1 76.2 76.7 76.8 76.8 77.0 77.8 78.0 77.1 77.6 1986 년 78.3 78.7 78.9 78.8 79.3 79.1 79.2 79.1 79.6 78.8 78.6 78.6 1987 년 79.0 79.1 79.7 80.2 81.4 81.3 81.1 82.3 82.8 82.9 82.7 83.4 1988 년 83.9 85.2 86.5 86.3 86.8 87.3 87.5 87.9 88.2 87.9 88.6 89.4 1989 년 89.5 89.9 90.5 90.9 92.0 92.2 92.1 92.8 93.6 93.8 94.0 93.9 1990 년 96.1 96.7 97.7 98.8 99.9 100.4 100.7 101.1 101.7 102.0 102.1 102.7 1991 년 104.9 106.3 107.6 108.1 108.4 109.1 109.8 110.7 111.3 111.5 112.0 112.2 1992 년 113.0 113.7 114.9 115.6 116.3 116.5 117.0 117.2 117.6 117.5 116.9 117.2 1993 년 118.1 118.9 120.4 121.1 121.5 122.1 122.0 122.4 123.0 123.5 123.3 124.0 1994 년 125.6 127.0 128.1 128.3 128.4 129.3 130.4 131.4 131.0 130.6 130.8 130.9 1995 년 131.7 132.3 134.1 134.9 135.0 134.9 135.3 136.0 137.1 136.4 136.4 137.1 1996 년 138.4 139.0 140.1 141.1 141.9 142.3 142.9 143.2 143.5 143.4 < 표 2-1> 소비자물가지수 3. 회귀적방법에의한모형적합 < 그림 3-1> 소비자물자기수의시도표

94 통계분석연구 제 3 권제 1 호 (98. 봄 ) < 그림 3-1> 을보면시간과소비자물가지수가선형의추세가있음을볼수있다. 또한시간에대하여느리게변동한다는것도알수있다. 이러한자료의특성을이용하여회귀적방법을이용하여장기예측을시도한다. 회귀적방법에의한모형을다음과같이나타내었다. Y t = TREND t + N t TREND t = β 0 +β 1 TIME N t = θ q(b)θ Q (B s ) φ p (B)Φ P (B s ) a t 여기서시계열 Y t 는 TREND t 와노이즈 N t 의합으로표현이되는데, TREND t 에대한추정은단순회귀분석에의한추세선 ( ˆ+ β 0 ˆTIME β 1 ) 을이용하여구하였으며, N t 는시간에따른추세를제외한값으로 ARMA(p,q)(P,Q) 를따른다는가정하에 ARIMA(p,d,q)(P,D,Q) 모형을통하여추정하였다. DF Sum of Square Mean Square F-Value Prob > F Model 1 38083.52572 38083.52572 4544.104 0.0001 Error 118 988.94220 8.38087 C Total 119 39072.46792 ˆβ 0 ˆβ 1 R 2 DW통계량 모수추정치 68.156695 0.514283 0.9747 0.033 Prob > T 0.0001 0.0001 < 표 3-1> TREND t 에대한단순회귀분석결과

장기예측방법의비교 95 < 표 3-1> 은회귀분석을실시한결과, 모형의적합도를보여주는결정계수 ( R 2 ) 값이 0.9747로매우크게나타남을알수있으나, 자기상관의정도를보여주는 DW(Durbin Watson) 값이 0.033으로심한양의자기상관관계를보여주고있다 (Neter, Wasserman, and Kutner, 1989). < 그림 3-2> N t 에대한시도표 < 그림 3-2> 은 N t 에대한시도표이다. 회귀모형을통하여구한추세선의잔차가시간에따른패턴을보임을알수있다. N t 가시간에따른패턴을보이므로 ARIMA모형을통하여 N t 를추정하고자한다. N t 에대한 ARIMA 모형추정결과는다음과같다. N t = (1+0.229B)(1-0.666B 12 ) (1-0.917B 12 ) a t

96 통계분석연구 제 3 권제 1 호 (98. 봄 ) 4. 모형추정결과및비교 이장에서는앞에서논의한네가지장기예측모형각각에대하여모형적합을시도하고, 모형선호기준통계량 (Wheelwright and Makridakis, 1985) 을이용하여이들을비교한다. 4.1 모형선호기준통계량 (1) 평균제곱오차 (Mean Squared Error) MSE = 1 N N ( ˆy t- y t ) 2 (4.1) t=1 (2) 평균절대오차 (Mean Absolute Error) MAE = 1 N N ˆy t- y t=1 t (4.2) (3) 결정계수 (Corrected Actual R-square) R c 2 =1- SSE CSSA (4.3) 단, SSE = N ( ˆ y t - y t ) 2 t=1 CSSA = N ( y t- y t ) 2 t =1 y t = 실제값 (actual value) ˆ y t = 예측값 (predicted value) y = 1 N N t =1 y t

장기예측방법의비교 97 (4) 예측정확성통계량 (Statistic Measuring the Accuracy of Forecast) U1 = 1 N MSE N 2 y t t =1 (4.4) (5) Theil 의부등식계수 (Inequality Coefficient) U = 1 N MSE N t + t =1 1 N ˆ N t t =1 (4.5) MSE, MAE 와같은통계량들은그값이작을수록모형선호도가높으며, R 2 c 는그값이클수록모형선호도가높으며, U1 과 U 의계수값은 0에근접할수록좋은모형으로판정한다 (Lindberg, 1982). 위의 (4.4) 와 (4.5) 는모형선호기준통계량이라기보다는최적모형으로선택된모형하에서미래의예측값을구했을때그결과의정확성을알아보는기준통계량이라고할수있다. 4.2 추정된모형의비교 다음의식 (4.6)~(4.9) 은전도시소비자물가지수예측에이용된모형적합의결과인데, 식 (4.6) 은회귀적방법, 식 (4.7) 은 Autoregressive error 방법, 식 (4.8) 은박스-젠킨스방법, 식 (4.9) 는가법윈터스방법의모형적합결과이다. Y t = TREND t + N t = 68.1517+ 0.514TIME+ (1+0.229B)(1-0.666B 12 ) (1-0.917B 12 ) a t

98 통계분석연구 제 3 권제 1 호 (98. 봄 ) (4.6) Y t = 73.768755+0.467421TIME+ υ t υ t = 0.993122υ t -1 + ε t (4.7) Y t -0.385 = (1+0.211B)(1-0.68B 12 ) (1-0.943B 12 ) (4.8) a t (4.9) Y t -0.0465 = (1+0.102B)(1-0.712B 12 )a t 통계량 MSE MAE R 2 U1 U 모형회귀적방법 0.2144562 0.3482496 0.9993372 0.002121567 0.001060816 Autoregressive error 박스-젠킨스방법가법윈터스방법 0.27904 0.4035276 0.9992 0.00276558 0.001382842 0.2117893 0.3453143 0.9993454 0.002095184 0.001047857 0.2230436 0.3727187 0.999249 0.002156413 0.001078158 < 표 4-1> 모형선호기준통계량 < 표 4-1> 의모형선호기준통계량을보면, 회귀적방법과박스 - 젠킨스 방법의 MSE 와 MAE 값이작고, R 2 값이큼을알수있으며, U1 과 U 의값은모든모형에서 0에가까움을볼수있다.

장기예측방법의비교 99

100 통계분석연구 제 3 권제 1 호 (98. 봄 ) 5. 장기예측 < 표 5-1> 은회귀적방법, Autoregressive error 방법, 박스-젠킨스방법, 가법윈터스방법각각의추정결과를이용하여 1995년 1월부터 1996 년 10월까지의소비자물가지수를예측한결과이다. 또한 MSE h 는예측치의 MSE 로서 1995년부터 1996년 10월까지의실제값과예측치와의 MSE 이다. MSE h 값을보면, 회귀적방법이가장작음을볼수있다. 따라서박스-젠킨스모형보다회귀적방법이나음을알수있다. 년도실제값회귀적방법 Autoregressive 박스-젠킨스가법윈터스 error 1995년 1월 131.7 131.880 131.360 131.9117 132.2352 2월 132.3 132.761 131.821 132.7930 133.3545 3월 134.1 133.761 132.281 133.8065 134.6244 4월 134.9 134.248 132.741 134.2665 135.2468 5월 135.0 134.702 133.202 134.6979 135.8697 6월 134.9 135.276 133.662 135.2448 136.5747 7월 135.3 135.791 134.123 135.7260 137.1940 8월 136.0 136.401 134.583 136.3160 137.9639 9월 137.1 136.705 135.044 136.5852 138.4061 10월 136.4 136.836 135.505 136.6593 138.5737 11월 136.4 136.974 135.966 136.7376 138.7034 12월 137.1 137.356 136.426 137.0846 139.2074 1996년 1월 138.4 138.362 136.887 138.1180 140.6272 2월 139.0 139.213 137.348 138.9711 141.7929 3월 140.1 140.173 137.809 139.9490 143.1093 4월 141.1 140.662 138.270 140.4047 143.7782 5월 141.9 141.120 138.731 140.8335 144.4476 6월 142.3 141.690 139.192 141.3712 145.1991 7월 142.9 142.205 139.653 141.8469 145.8649 8월 143.2 142.807 140.114 142.4253 146.6812 9월 143.5 143.128 140.575 142.7010 147.1700 10월 143.4 143.291 141.037 142.7927 147.3841 MSE h 0.1895621 4.287655 0.3189258 5.5960093 < 표 5-1> 각모형에따른장기예측결과

장기예측방법의비교 101 < 그림 5-1>, < 그림 5-2>, < 그림 5-3>, < 그림 5-4> 은각추정방법에의한예측값및 95% 신뢰대를나타낸그림이다. < 그림 5-1> 회귀적방법을통한예측 < 그림 5-2> Autoregressive error 방법을통한예측

102 통계분석연구 제 3 권제 1 호 (98. 봄 ) < 그림 5-3> 박스 - 젠킨스방법을통한예측 < 그림 5-4> 가법윈터스방법을통한예측 위의그림을살펴보면실제값들이신뢰대안에모두들어가는것을볼수있으나, 특히가법윈터스방법은예측의정확도가떨어짐을알수있으며, 이에비하여회귀적방법은예측의정확도가매우높음을알수있다. 한편 Autoregressive error 방법을통한예측은예측시점에서추세선을따라예측된것을볼수있는데그이유는식 (4.7) 의

장기예측방법의비교 103 υ t = 0.993122υ t -1 + ε t 에서모수 (0.993) 가근사적으로 1 에가깝게나타나 는 unit root 의문제에기인한결과이다 (Dickey and Fuller, 1979). 6. 토의및결론 지금까지전도시소비자물가지수자료를이용하여네가지장기예측모형을비교하였다. 소비자물가지수와같이시간에따라느리게변동하는자료의경우회귀적방법이모형선호기준통계량그리고예측의정확성측면에서가장바람직하다는것을알수있었다. 이방법은입력계열이시간인경우의전이함수모형에해당되는데, 여기에서는입력계열의사전백색화작업이필요하지않기때문에사전백색화를통해 (s,r,d) 를결정하는번거로움을피할수있다. 또한이방법은추세선이선형이아닌비선형의경우에도적용할수있는장점이있다. 소비자물가지수, 생산자물가지수, 정보화지수등과같은시간의흐름에따라느리게변동하는자료들의경우전술한회귀적방법은유용한장기예측방법으로추천된다.

104 통계분석연구 제 3 권제 1 호 (98. 봄 ) < 참고문헌 > (1) 박유성, 허명회 (1996), 시계열자료분석, 자유아카데미. (2) 천리안 (go sdata) (1997), 물가-소비자물가지수. (3) Dickey, D. A. and Fuller, W. A. (1979), "Distribution of the Estimators for Autoregressive Time Series with a Unit Root", Journal of the American Statistical Association, 74(366), Jun, 427-31. (4) Lindberg, B. C. (1982). "International comparison of growth in demand for a new durable consumer product", Journal of Marketing Research, 19, 364-371. (5) Neter, J., Wasserman, W., and Kutner, M. H. (1989), Applied Linear Regression Models, 2nd Ed., IRWIN. (6) SAS Institute Inc. (1993), SAS/ETS USER'S GUIDE, version 6, SAS Institute Inc.. (7) SAS Institute Inc. (1990), SAS/STAT USER'S GUIDE, version 6, SAS Institute Inc.. (8) Wheelwright, S. C., and Makridakis, S. (1985), Forecasting Methods for Management, 4th Ed., John Wiley & Sons.

장기예측방법의비교 105 A Comparison for Long-term Series Forecasting Method Doo-sung Seo, Jong-hoo Choi <abstract> In this paper, we compare the four long-term series forecasting methods : 1 regression method with autocorrelation 2 Autoregressive error method 3 Box-Jenkins ARIMA method 4 Additive Winters method. We use the consumer price indices (1985-1994) that is shown in KOSIS for empirical study. As a result, regression method with autocorrelation is a useful for long-term series forecasting in behalf of simplicity and accuracy.