기획기사 기초과학 학회협의체 회장임기를 마치며 서동엽 (카이스트, 대한수학회장) 제가 대한수학회장직을 맡은 지 어느덧 1년 3 개월이 지났습니다. 그동안 여러 가지로 부족한 점이 많은 사람이 막중한 책무를 안고 바쁘게 지 내다 보니 벌써 임기의 반이 훌쩍 지나 얼마 안 있으면 새로운 회장을 선출하는 시기가 가까워졌 습니다. 그러다 보니 지난 1년간 과연 제가 회장 으로서 무엇을 했으며 그러한 일들이 과연 우리나 라 수학계를 위하여 얼마나 도움이 되는 일이었는 가를 자연스럽게 돌아보게 됩니다. 하지만 아직 회장 임기를 9개월 정도 남겨두고 있고, 하던 일 들이 마무리되지 않은 상태에서 벌써 임기를 되돌 아보고 지난 일들을 정리하는 것은 시기상조라는 생각이 들어 여기서는 일단 대한수학회장의 직접 적인 직무가 아닌 부대 직무에 대한 이야기를 하 고자 합니다. 2011년 1월 1일부터 대한수학회장 직무를 시 작하면서 저에게는 두 개의 결코 가볍지 않은 감 투가 덧씌워졌는데, 그 중 하나는 한국수학관련단 체총연합회(일명 수총)의 회장직이고, 다른 하나는 기초과학 학회협의체(일명 기과협)의 회장직이었 습니다. 수총은 잘 아시다시피 수학관련 14개 학 술 및 교육관련 단체들의 연합체로서 수학자들과 수학교육자들의 의사를 대변하고 수학계의 목소리 나 이익을 대외적으로 천명하는데 도움을 주는 조 직입니다. ICM 2014, ICME-12, IMO 등 수학계 의 주요 행사나 수학교육의 주요한 방향 등에 대 하여 많은 지원을 해주고 있는 한국과학창의재단 에서는 수총의 위상을 높이 평가하여 수총을 통해 우리나라 수학계와의 접촉을 하고 있습니다. 예를 들면 작년 8월부터 6개월간 수총회장이 연구책임 자가 되어 창의재단에서 지원하는 수학대중화사업 을 수주하였으며, 그 외에도 수차례 창의재단에서 지원하는 수학교육관련 연구사업을 수총 명의로 수주하여 진행하였습니다. 이러한 측면에서 보더 라도 수총은 수학계에 매우 필요하고 중요한 조직 으로서 수학계가 더욱 키워 나아가야 할 것이라 생각합니다. 수총회장의 임기는 2년이며 제가 올 연말까지 수총회장직을 맡게 됩니다. 대한수학회장직과 수총회장직 만으로도 제 능력 2 대한수학회소식 제 142호
의 한계에 이를 만큼 벅찬 일인데 작년 한해 저를 정말 힘들게 하였던 것은 기과협 회장직입니다. 기과협은 대한수학회, 한국물리학회, 대한화학회, 한국분자세포생물학회, 지구과학학회연합회 등 우 리나라 기초과학분야의 가장 핵심이 되는 5개 단 체가 모여 결성한 조직으로 기초과학에 대한 국민 의 이해를 진작시키고 정부의 기초과학에 대한 보 다 많은 투자를 유도하기 위하여 2007년 결성된 단체입니다. 결성 초기에는 수학, 물리, 화학 세 단체만이 회원이었는데, 그 후 두 단체가 더 가입 하여 현재에 이르고 있습니다. 기과협의 회장은 각 학회 회장들이 1년씩 돌아가며 맡기로 하였는 데, 마침 작년이 대한수학회의 차례였기 때문에 제가 기과협 회장직을 맡게 되어 졸지에 회장 감 투 3개를 한꺼번에 쓰게 되었습니다. 올해 기과협 회장은 대한화학회 이덕환 회장이 맡고 있습니다. 작년 한해 우리나라 기초과학계에는 한국 기초 과학의 미래를 결정지을 매우 중요한 사안인 과 학비즈니스벨트 에 대한 논의가 본격적으로 이루 어졌습니다. 기초과학에 대한 연구의 중요성을 인 식한 정부가 역사상 최대 액수를 투자하고자 하는 데 이를 어찌해야 하는지 그리고 어느 분야에 해 야 하는지에 대한 논의가 활발하게 진행되었고, 그 결과가 앞으로의 기초과학분야에 대한 정부의 투자에 깊은 영향을 미치게 되어 있었습니다. 기 과협은 그 존재의 이유만으로도 이러한 논의의 중 심에 설 수 밖에 없었고, 실제로 과학비즈니스벨 트의 구성을 담당하던 책임자에게서 기초과학분야 에 유일하게 존재하는 단체인 기과협은 결코 무시 할 수 없는 중요한 협의의 파트너였다고 들었습니 다. 이러한 때에 대한수학회장인 제가 기과협의 회 장이 된 점은 어찌 보면 수학계로서는 매우 다행 스러운 일이 아니라 할 수 없습니다. 기초과학을 논하면서 수학의 존재는 형식논리상 빠질 수가 없 습니다. 그런데 그러한 논의의 중심에 있는 기과 협의 회장이 대한수학회장이란 점은 수학의 존재 가 단순히 형식적인 것이 아닌 실질적인 것이 됨 을 의미하기 때문입니다. 2011년의 기과협 회장직은 상당히 영향력 있는 자리였고, 또한 우리나라 수학과 기초과학의 발전 을 위하여 그러한 영향력을 발휘하여야 하였기에 저 자신도 많은 노력을 하였습니다. 작년 한 해 동안 기과협이 주최한 과학비즈니스벨트 관련 포 럼이 4차례나 있었습니다. 이러한 포럼을 통해 바 람직한 과학비즈니스벨트의 방향과 특히 기초과학 연구원이나 중이온 입자가속기의 설립과 운영 등 에 관한 바람직한 제안이나 기초과학계의 의견을 천명함으로써 과학비즈니스벨트 설립 실무진에게 도움이 될 수 있도록 하였습니다. 특히 작년 10월 6일 국회에서 있었던 기과협 포럼에서는 우리 수 학계에서도 많은 관심을 갖는 과학비즈니스벨트 내의 기초과학연구원의 설립과 운영에 관하여 심 도 있는 토론을 많이 하였고 그 토론 결과가 교과 부 장관을 포함한 책임 담당자들에게 전달되어 정 책에 반영될 수 있도록 하였습니다. 기과협 포럼: 기초과학연구원의 설립 및 운영 (2011. 10. 6, 국회 의원회관 소회의실) 수학자의 입장에서 볼 때 과학비즈니스벨트는 2010년까지만 해도 많은 경우 남의 이야기처럼 들렸습니다. 가속기를 만들고 거대 연구집단을 형 성하여 연구를 하는 등의 이야기는 수학과는 거리 가 먼 주제처럼 들렸기 때문입니다. 저 자신도 솔 직히 2010년 국회에서 있었던 기초과학연구에 대 한 포럼에 차기회장 자격으로 참석하기 전까지는 과학비즈니스벨트에 대하여 문외한이었고, 그것이 2012년 3월호 The Newsletter of the KMS 3
우리 수학계에는 너무나도 멀리서 외치는 소리처 럼 들렸습니다. 하지만 제가 기과협 회장직을 맡 으면서 느낀 점은 많은 것이 우리가 하기에 따라 달라질 수 있다는 점이었습니다. 기과협에서 여러 차례 포럼을 통해 주장하였던 내용들이 어느 정도 시간이 지나고 난 후 과학비즈니스벨트 설립의 실 무를 담당하는 사람들의 입에서 다시 나오게 되는 것을 보면서 정부도 생각보다 많이 열려있구나 하 는 생각을 하게 되었습니다. 우리는 흔히 정부의 어떠한 정책들이 애초부터 누군가가 확고하게 만들어 놓았기 때문에 아무리 불합리하더라도 어쩔 수 없는 일이라 체념을 하곤 합니다. 물론 그러한 경우도 많아 특히 수학자들 에게 여러 가지로 불리한 제도들을 어쩔 수 없이 수용하여야 하는 때가 많습니다. 하지만 경우에 따라서는 우리가 당당하게 주장하고 합리적인 설 명을 꾸준히 한다면 얼마든지 고쳐지고 개선될 소 지가 많은 것 같습니다. 수학에 대한 관심이 많은 정부의 한 고위관리가 수학자들에 대하여 애정 어 린 충고를 하였습니다. 수학자들은 간혹 어떤 주 장을 할 때 완벽하게 모든 것이 자신들을 위해 마 련되어 있기를 원하지만 그렇게 되기를 바라는 것 은 지나치게 단순한 생각이라는 점입니다. 좀 더 자신들이 원하는 것을 얻기 위해서 노력하고 투쟁 하는 것이 필요하다는 것이었습니다. 우리 수학계 에서도 이러한 점을 명심하여 우리들의 주장을 보 다 합리적으로 설명할 수 있는 논리의 개발과 함 께 수학계를 대변해 줄 수 있는 정치력 있는 사람 을 키워나가야 하겠습니다. 리고 합리적으로 설득하여 수학분야에 보다 많은 연구단이 지정될 수 있도록 노력을 하여야 할 것 입니다. 현재 우리 수학계에서 가장 중요한 현안 이 무엇인가 할 때 많은 사람들은 2014년 ICM을 꼽을 것입니다. 물론 ICM은 매우 중요한 현안입 니다. 하지만 이것 이상으로 중요한 일은 기초과 학연구원 내의 수학연구단의 지정이라 생각합니 다. 이는 미래의 수학자들을 위한 일자리를 마련 하는 일과 직결된 일입니다. 따라서 우리 수학계 가 모두 관심을 갖고 노력하여야 하는 일이라는 생각을 해봅니다. 제가 대한수학회장직을 맡으면서 느낀 점은 많 은 회원들께서 피부로 느끼시는 것 이상으로 우리 학회가 아주 중요한 학회로 인식되고 있다는 것입 니다. 따라서 대한수학회도 거기에 걸맞은 대내외 적 위상을 갖도록 각고의 노력을 기울여야 할 것 입니다. 그리고 인접 학문분야 학회들과의 긴밀한 협조 또한 빼 놓을 수 없는 중요한 부분입니다. 이처럼 중요한 학회를 이끌어갈 대한수학회장의 역할은 더욱 중요해집니다. 이제 곧 차기 대한수 학회장을 선출하여야 하는 시기가 다가옵니다. 우리학회의 위상을 더욱 올려 줄 수 있는 훌륭한 분이 선출되도록 회원 여러분께서 적극적으로 참 여하여 주시기를 간절히 바랍니다. 학회의 위상은 회원들의 참여도와 비례합니다. 이제 과학비즈니스벨트는 그 입지가 확정되고 벨트내의 주요한 기구인 기초과학연구원의 연구단 구성에 박차를 가하고 있는 상황입니다. 우리 수 학계에서 가장 관심을 갖고 있는 것은 앞으로 지 정될 50여개의 연구단에 과연 수학분야가 몇 개 나 지정될 것인가 하는 점입니다. 얼마 전 발표된 1차 연구단 후보 11개 중에 수학분야도 1개 들어 있는 점은 매우 반가운 일입니다. 이제부터 우리 수학계가 수학의 중요성과 연구진의 우수성을 알 4 대한수학회소식 제 142호
기획기사 ICME-12 프로그램 최은미 (한남대학교) 대한수학회소식 편집위원회에서는 제12차 국제수 학교육대회(ICME-12)의 개최를 1년 앞두고 관련 기사를 시리즈로 기획하였습니다. 1) 제138호(2011년 7월호) <ICME-12 준비 상황> 2) 제139호(2011년 9월호) <ICME와 ICMI 그리고 ICM과의 역사적 관계> 3) 제140호(2011년 11월호) <ICME의 수학교육학 상 - 클라인 상과 프로이덴탈 상> 4) 제141호(2012년 1월호) <ICME의 위성학회와 HPM> ICME(국제수학교육대회)는 ICMI(국제수학교육 위원회)에서 주관하는 수학교육계 최대 행사로서 2012년 7월 8일부터 15일까지 우리나라 서울에 서 개최된다. 지난 몇 년간 준비해온 학술대회가 불과 4달 앞으로 다가오면서 모든 프로그램이 확 정되었다. 이번 호에서는 ICME-12의 프로그램 (Scientific Programs)을 소개하고자 한다. ICME의 프로그램은 전체 활동(Plenary Activities), 일반강연(Regular Lectures), 주제별 연구 모임(Topic Study Groups, TSG), 토론모임(Discussion Groups, DG), 조사팀(Survey Teams, ST), 국가발표(National Presentations, NP), 경 험공유모임(Workshops & Sharing Groups), 포스 터발표(Posters)등으로 다양하게 구성되어 있다. 각 각의 프로그램은 다음과 같은 특징을 갖는다. 전체 활동(PA): 전체 활동은 학회에 참가한 모 든 사람들을 대상으로 하는 프로그램으로서 매일 한 두 차례의 전체 강연(PL)과 패널 토 론이 있다. ICME-12에는 8개의 전체 활동이 있는데, 각 분야에서 저명한 학자들이 강연하 며 각 발표 후에 토론의 기회가 있다. 일반강연(RL): 일반강연이 하루에 한 회 정도 이루어지는데, 전체 강연과는 달리 대략 10개 의 강연이 동시에 진행된다. ICME-12에는 프 로그램 위원회로부터 초청받은 78명의 특출한 수학교육학자가 일반 강연자로 나서 다양한 분야의 주제와 문제를 다루는 강연을 한다. 주제별 연구모임(TSG): TSG는 특정 주제에 관심이 있는 참가자들이 모이는 그룹으로서, 보통 학회의 분과에 해당한다. 국제적으로 관심 있는 주제에 대한 발표와 토론을 하는 포럼으 2012년 3월호 The Newsletter of the KMS 5
로 이론적인 경향이 강하다. 이것은 또한 ICME 참가자들이 활동하는 가장 주된 무대인 데, 참가자들은 하나의 TSG에 속하여 그 그룹 에서 진행하는 4개의 세션에 참여하게 된다. 여기서 study 라는 단어는 그룹 활동이 발표 와 토론으로 구성되어 있음을 의미한다. 각각 의 TSG는 5~6명의 팀원이 운영하며, 각 팀에 는 2명의 co-chair들이 배정되며 1명의 지역 멤버가 속해있다. ICME-12에는 모두 37개의 TSG가 있으며 각각의 TSG들은 네 번의 1시 간과 한 번의 30분 시간이 배정되어 있다. 다양한 견해가 환영받고 의사소통을 하는 장 이 될 것이다. 토론모임(DG): TSG와 다소 유사한 형태이지 만, DG는 미리 토론의 주제를 정하여 온라인 상에 게재하고 대회 장소인 오프라인에서는 발표보다 토론을 위주로 진행한다. 이름에서 알 수 있듯이 DG는 토론에 관심 있는 사람들 로 구성된 모임이다. ICME-12에는 세계 각지 에서 최대 5명으로 구성된 DG가 모두 17개 활동하게 되며 각각의 DG들은 두 번의 90분 시간이 배정되어 있다. 조사팀(ST): 수학교육의 특정한 주제에 대한 정보를 종합하고 연구를 진행하도록 특별한 임무를 부여받은 팀이다. 그 연구결과를 전체 강연이나 일반강연의 형식으로 발표한다. ICME-12에는 모두 5개의 ST가 있으며 연구 주제는 다음과 같다. - ST1: 연구와 교과과정 구성의 상관관계 - ST2: 성별과 수학교육 - ST3: 수학교육에 융합적 접근을 지원하는 수학사 - ST4: 중등학교에서 대학교로 진입하는 과도 기에서의 중요한 수학적 개념 - ST5: 학생들 성취에 미치는 사회-경제적 영향 국가발표(NP): 몇 개의 국가를 선정하여 자국 의 교육과정, 교과서, 수업, 평가 등 수학교육 에 관련된 상세한 정보를 발표하게 된다. ICME-12에서는 대한민국, 싱가포르, 미국, 인 도의 4개국과 스페인 문화권 지역연합이 발표 하게 된다. 다른 나라의 수학교육 현황을 알 수 있는 좋은 기회가 될 것이다. 6 대한수학회소식 제 142호
ICME-12의 다채로운 프로그램 중에서 특별히 수학 자들이 관심을 가질만한 발표의 일부분을 소개한다. ICME-12의 전체 활동(PA, 총 8개) PL2. 나비효과(The butterfly effect). 수학적 아이디어를 우리 사회의 대중들에게 널리 전하는 것은 쉬운 일이 아니다. 그런데 카오스 이 론은 특별한 경우로서 Lorenz의 나비효과로 널리 알려졌다. Does the flap of a butterfly s wings in Brazil set off a tornado in Texas? 나비효과는 아주 작은 원인이 커다란 결과를 만 들 수 있다는 것으로써, 수학자들(또한 비 수학자 들도)은 오래 전부터 이것을 알고 있다. 이러한 간단한 설명으로 카오스 이론이 적절히 요약될 수 있는가? 수학자들은 자신의 이론이 정확하지 않은 형태로 수학 외부 사회로 전해지는 것에 책 임이 있는가? 이 강연에서는 수학에 초점을 맞추 어 나비효과의 정확한 의미를 설명하며, 또한 카 오스 이론에 대한 최근의 수학적 연구 결과를 간 략히 소개하고 determinism과 randomness 사이 의 상관관계를 역사적 발전과정을 따라 조명한다. 카오스 이론의 역사에서 서로 다른 분야의 과학자 들과 비과학자들의 의사소통 문제는 중요한 특징 중 하나이다. 이 강연에서는 그런 것들의 성공과 실패를 논의할 것이다. 미래의 수학자들을 위한 교육에는 수학을 수학 외부의 사회에 어떻게 설명 할 수 있는지를 가르치는 특별한 훈련이 포함되어 야 한다. 이것이 수학을 견고히 만들어나가는데 필수 요소이다. CNRS ÉNS Lyon(프랑스)의 Etienne Ghys이 강연한다. PL8. 수학적 모델링의 고품질 교수법-우리는 무엇을 알고 있으며 무엇을 할 수 있는가? 수학적 모델링은 수학교육 분야에서 지난 몇 십 년동안 가장 활발히 논의되어온 주제 중의 하나이 다. 실세계와 수학 사이를 해석해주는 모델링이 학교 수학의 처음 단계부터 마지막 학년까지의 전 체 분야가 되어야 하는 여러 가지 이유가 있다. 그럼에도 불구하고, 전 세계적으로 매일 매일의 수학교실에서는, 모델링은 여전히 기대와는 상당 히 동떨어진 역할만 하고 있으며, 학생들은 모델 링하는 과정에서 어려움을 겪고 있다. 이런 문제 들이 발생하는 주요 이유는, 모델링은 교사나 학 생 모두에게 인식이 요구되는 활동이기 때문이다. 모델링을 어떻게 가르치고 배우는지를 보여주는 이론을 기반으로 한 경험적인 결과들이 많이 있 다. 그러한 목적을 위해, 어떤 잘 확립된 규칙을 따르도록 가르치는 것이 일반적이다. 이 발표에서 는 몇 가지 중요한 기준을 엮어서 교사가 교실에 서 성공적으로 교수하고 결과적으로 학생들이 상 당한 수준까지 모델링을 수행해내는 몇 가지 실례 를 소개하고자 한다. Univ. of Kassel(독일)의 Werner Blum이 강연한다. ICME-12의 일반강연(RL, 총 78개) RL. 대학에서의 수학-인류학적인 접근 대학교에서 수학은 다수의 학생들이 배우는 교 과목인 동시에 아주 소수의 수학연구자들을 위한 교과목이기도 하다. 대학교에서 수학연구와 수학 교육 사이에 어떤 관계가 있는가? 연구가 교육을 지원해 줄 수 있는가? 연구는 무엇이고 교육은 무 엇인가? 학생들이 대학에서 수학을 배우면서 경험 하게 되는 그 둘 사이의 과도기적 문제를 어떻게 설명할 수 있으며 어떻게 극복할 수 있는가? 중등 학교에서 배우는 수학과 박사학위를 받기위한 수 학 사이의 관계는 무엇인가? 이러한 과도기적 문 제들은 중등과정의 수학과 대학 신입생 수학에서 표준화되어왔던 이론의 구성으로부터 비롯된다. 이 발표에서는 이러한 질문들을 구체적으로 연구하기 위해 인류학적 교수 이론에 근거한 모델을 세우고 자 한다. 또한 실제적인 해결책을 구성하는데 인 류학적인 접근법이 어떻게 사용되는지의 실례를, 특별히 미적분학으로부터 실해석학으로 전이과정 을 통해 설명할 것이다. Univ. of Copenhagen(덴 마크)의 Carl Winslow가 강연한다. ICME-12의 주제별 연구모임(TSG, 총 37개) TSG2. 고등교육단계에서의 수학교육과 고등 교육 수준으로의 접근 2012년 3월호 The Newsletter of the KMS 7
고등교육단계(tertiary level) 1) 에서 수학교육에 관한 연구는 지난 20년 동안 놀라울 만큼 성장했 다. 대부분의 수학 강의에서 교사들은 여전히 분 필 판서와 설명(chalk and talk)을 하고 학생들은 노트에 받아 적는 형태로 운영하지만 다른 한편에 서는 창의적인 탐구를 하고 테크놀로지를 사용하 여 문제 풀이를 한다. TSG2의 목적은 고등교육과 관련한 세계적인 경향과 발전 상황을 연구하는 것 이다. 고등교육에서의 수학은, 그 중 몇 가지만 언 급하더라도, 고등 추상 강좌를 개설하여 차세대 수학 연구자들을 양성하고, 경영 미적분학을 하는 미래의 수학 수요자를 기르며, 수학적 사고력을 필요로 하는 인문 분야의 학생들에게 기초 대수학 을 가르치고, 미래의 수학교사들이 배출한다. 이 연구에서 중등학교로부터 대학으로 전이되는 과도 기적 문제를 논의할 것이다. 고등교육 수준에서 수학을 가르치는 것의 얼마나 어려운지는 이미 잘 알려져 있다. 그러나 그런 어려움을 성공적으로 헤쳐 나가기 위한 흥미로운 시도들이 세계 각지에 서 많이 있다. 그러한 발전적인 일들이 단지 지역 적으로만 알려져 있으므로 그러한 이야기를 모두 합하여 앞으로의 발전을 위해 공유할 필요가 있다 고 생각한다. Univ. of Pretoria(남아프리카공화 국)의 Ansie Harding와 Univ. of Helsinki(핀란드) 의 Juha Oikkonen가 Co-Chair로 역할을 한다. ICME-12의 토론모임(DG, 총 17개) DG1. 대학교 교육 이외의 고등교육기관에서 수 학교육(NTME, Non-university Tertiary Mathematics Education)의 현황과 문제점 DG1은 전 세계에서 운영되는 NTME(대학교육 을 제외한 고등교육기관에서의 수학교육)와 postsecondary 교육기관의 수학교육에 관한 문제점을 논의하고 아이디어를 교환하는 그룹이다. 대학교 육 이외의 고등교육기관의 학생들은 직업에 대해 더 많은 관심을 가지고 있고, 경제적인 지원이 부 족하며, post-secondary 교육을 받기에 기초 준 비가 부족하다는 것이 지난 ICME 토론을 통해 드 러났다. 대학 이외의 고등교육기관의 학생들의 대 다수는 2년 학위과정을 선호하며, 그 나머지 학생 들은 이러한 고등교육기관에서 수료한 후에 더 나 은 교육을 준비하는 것으로 알려졌다. 대학 이외 의 고등교육기관에 다니는 학생들의 직업 목표와 다양한 준비과정에 초점을 맞추어 몇 가지 문제를 토대로 논의하고자 한다. 미국의 교육단계에서 community college 는 2 년 학위과정의 교육기관 유형이다. 이런 대학들은 수학을 가르치는 고등교육 기관 중에 아주 중요한 형태로서, 미국 학부과정에서 수학을 배우는 대학 생들의 46%가 community college에서 배운다. 미국 community college의 교수들은 성공과 실 패의 사례들을 정기적으로 토론하고 경험을 공유 한다. 그러나 다른 국가에서 유사한 교육시스템에 서 일하는 교수들이 모여서 의견을 나눌 수 있는 기회가 많은 것은 아니다. 지난 ICME의 DG 활동 을 통해 아이디어를 교환하고 네트워크를 조성하 는 중요한 가교를 만들어서 오늘날 대학교의 교육 환경의 모양을 만드는데 도움이 되었다. 이 연구 의 목적은 그러한 일을 연장하여 진행하는 것이 며, 더 나아가 우리 국가와 사회 그리고 경제에서 이러한 교육시스템이 하는 역할을 더 잘 이해하고 자 한다. 대학 이외의 고등교육기관은 교육에서 그 중요성이 점점 증가되고 있다. 앞으로의 교육 이나 직업을 위해 잘 준비되지 못한 상태로 중고 등학교를 졸업하는 많은 학생들을 위해, 이러한 교육 시스템은 교육의 공백을 연결하는 다리의 역 할을 제공할 수 있다. 정치적 불안, 가난, 또는 사 회적 관습 등으로 인해 교육의 기회를 갖지 못했 던 성인들을 위해, 이러한 교육 시스템은 기회를 제공할 수 있다. 그러나 더욱 중요한 것은, 이러한 교육시스템은 실제적인 교육을 원하거나 기술 분 야나 경제관련 분야의 실제적인 문제를 다룰 수 있기를 원하는 학생들이 선택하는 중요한 교육기 관이 되어가고 있다. DG1에서는 다음의 몇 가지 문제를 제기하여 이에 관련한 토론을 하고자 한다. (1) NTME환경에서 교수와 학생들이 직면하는 교 1) 고등교육(제3차 교육, Tertiary Education)은 중등교육 이후의 대학과 비대학의 교육프로그램을 포괄한다. 8 대한수학회소식 제 142호
수-학습, 교과과정 그리고 평가에 관련된 문제 는 무엇인가? (2) NTME에서 얻을 수 있는 기회는 무엇인가? (3) NTME의 수학프로그램을 더욱 풍성하게 만들 수 있는 실제적인 연구 사례에는 어떤 것들이 있는가? (4) 중등학교에서 학생들이 배우는 수학의 준비 정도가 대학 이외의 고등교육기관에서 강좌를 들을 수 있을 만큼 잘 준비되어 있는가? 그 밖에 테크놀로지를 이용하는 방법, 수준별 편성을 위한 평가 과제 등에 대해 논의한다. American Mathematical Association of Two -Year Colleges(미국)의 James Roznowsk와 Singapore Polytechnic(싱가포르)의 Low-Ee Huei Wuan이 Co-Chair로 활동한다. ICME-12의 국가발표(NP, 총 5개) ICME-12에서는 모두 5개 국가 또는 지역-대 한민국(NP1), 싱가포르(NP2), 미국(NP3), 인도 (NP4), 스페인 문화권(NP5)-에서 국가발표(NP) 를 한다. 그 중에서 학생들의 수학 학력점수가 특출한 싱가포르의 교육시스템의 전반적인 상황을 소개한다. NP2. 싱가포르 (1) 교육시스템: 각 개인의 삶의 질을 높이고 일의 생산성을 향상시키는 국가적 필요를 충족시 키기 위해 싱가포르의 교육시스템이 오랜 세월동 안 어떻게 발전되어 왔는지를 소개한다. 학생들에 게 다양한 길을 제시하기위해 ladders and bridges 를 제공해야 한다는 철학은 수학 교과과 정을 구성하고 발전시키는 중요 열쇠이다. (2) 수학 교과과정: 싱가포르는 교육부(Ministry of Education, MOE) 산하의 Curriculum Planning & Development Division(CPDD)에서 개발한 국 가 교육과정으로 모든 학생의 필요를 충족시키기 위한 수학 교과과정을 구성한다. CPDD는 교육과 정이 학생들의 학습 성취를 향상시키기에 타당한 지를 정기적으로 검토하고 보충한다. 하나의 수학 교육과정 틀이 모든 syllabus(교수요목)을 개발하 는 가이드라인이 된다. 교육시스템과 교육 철학적 맥락에서 다양한 syllabus와 그 구조에 대해 설명 할 것이다. (3) 교사 자료 개발: 1990년도 후반부터 MOE 는 교과서와 워크북과 같은 교사 자료를 개발하 여, 판매와 배포를 담당하는 상업적 출판사에 공 급해왔다. CPDD는 교과서와 워크북을 검토하여 학교에서 사용하기 전에 품질을 유지하는 일을 한다. (4) 학습부진아와 영재 프로그램: 수학 학습부 진아를 도와주고 또한 영재아를 육성하는 특별한 프로그램들이 있다. 수학에서 학습 부진아를 돕는 것은 빠르면 초등 1학년부터 시작되는데, 특수 교 사를 필요로 하는 학생들을 파악하여 그들을 일반 학급에서 빼내어 따로 교육한다. 다른 한편에는 영재프로그램이 있는데, MOE는 National University of Singapore High School for Mathematics and Science 라고 불리는 특화된 독립적 인 학교를 설립하여 영재학생들을 위해 마련한 교 과과정을 운영한다. (5) 국가시험: MOE는 Singapore Examinations and Assessment Board와 Cambridge International Examinations와 공동으로 6, 10, 12학 년 학생들의 국가시험을 실시한다. 6학년 말에 Primary School Leaving Examinations를 치른 다. 또한 중등과 예비 대학수준에서, O, N 그리고 A-level 시험들이 있다. 학생들이 각 학년 단계에 서 무엇을 알아야 하는지의 아이디어를 공유한다. (6) 학생성취의 국제 비교 연구: 싱가포르는 TIMSS나 PISA와 같은 국제비교연구에서 좋은 성 적을 올리고 있다. 이 발표에서는 이러한 연구의 결과를 서로 나누고 교과과정을 어떻게 검토하고 발전시키는지 논의한다. 지난해 2011년 11월 30일에 TSG 논문접수가 마감되었는데 1,000편이 훨씬 넘는 논문이 접수 되어 대한민국에서 개최되는 ICME-12는 학회 발 표자와 발표 건수, 참가자 규모 등 모든 면에서 역대 최고 품질, 최고 규모의 대회가 될 것으로 기대되고 있다. 수학교육학자들은 물론 수학자들 에게도 큰 관심과 흥미를 주는 대회가 될 것이다. 2012년 3월호 The Newsletter of the KMS 9
원로수학자 와의 대화 소중한 만남 송순희 교수님 김성숙 (배재대학교) 2월 11일(토) 경기도 일산에 사시는 송순희 교수 님 댁으로 찾아뵙고 인터뷰를 진행하였습니다. 인터뷰에 응해주신 송순희 교수님께 깊이 감사드 립니다. 교수님 이렇게 찾아뵙고 인터뷰 할 수 있는 기회를 주 셔서 감사드립니다. 퇴임 후 근황에 대하여 말씀해 주 세요. 은퇴하고 처음 2~3년 은 주로 이화대학 안에 서 모임에 했어요. 교수 몇 명이 아침에 학교체 육실에 모여 요가운동을 하는 모임이 있었는데, 우리 운동그룹의 제일 막내인 사학과의 최소자 선생님이 은퇴를 하고 나서는 학교 체육실을 쓰기가 미안해서 모임을 그만두고 각자 집에서 하 기로 했어요. 은퇴하고 나서 3~4년은 아침에 8시 쯤 학교에 나갔다가 오후 3시쯤 들어왔는데, 그 사이 책도 보고, 여러 가지 모임도 했어요. 요즈음 은 학교에 정기적으로 나가지는 않아요. 그러나 아직도 계속해서 아침에 일어나자마자 1시간씩 요 가운동을 하지요. 문리대 교수로 재직하던 시절에 함께 열심히 신 앙생활을 하던 나이 7살 정도 터울의 교수모임을 만들었는데, 지금까지 계속되어 지금은 퇴임한 선 생님들 18명이 회원이고, 다 70대 이상이지요. 모 임 이름이 착각회 인데 착각하고 젊게 살자. 는 뜻에서 왔어요. 정기적으로 한 달에 두 번씩 모임 을 하지요. 꾸준히 만나서 늘 학교소식도 전하고, 식사도 하고, 일상을 나누면서 유익한 모임을 갖 는데, 활력이 되고 참 좋아요. 우리가 이 모임을 지속하기 위해서 1960년 중반부터 18명이 매달 2만원씩 3년을 모아 그걸 한국투자신탁에 집어넣 었어요. 그땐 이자도 15%, 20% 될 때지요. 그것 을 1990년 초반에 찾으니까 6,000만원이 되었어 요. 그래서 그걸 가지고 똑같이 18금 배지를 만들 고, 나머지 돈은 저금을 해서 그 돈으로 회비를 10 대한수학회소식 제 142호
걷지 않고 모이지요. 지금은 퇴임한지 십몇 년 됐 는데 아직도 1,400만원이 남았어요. 앞으로 우리 가 아껴서 쓰면 5, 6년은 더 쓸 거 같아요. 내가 재무를 하는데 현찰, 출납회계 보는 사람이 따로 있고, 또 여행갈 때는 수학과 3회 졸업생이고 전 산전공을 한 이기호 선생님이 주로 맡아서 하고 요. 이번에도 하와이 갔다 왔거든요. 수학과는 6 25때 부산에서 시작을 한 거지요 이화대학에 자연과학계열이 생긴 것은 사범대학 초대학장인 김애마 선생님께서 물리, 화학, 생물, 수학을 문교부에 신청해서 인가를 받아 사범대학 소속으로 시작하면서 부터지요. 부산피난지에서 처음으로 1951년에 수학과 학생을 모집을 했는데 한 명도 안 왔어요. 그 후 1953년에 첫 입학생이 들어와서 그 해 수학과가 시작된 것이지요. 그때 1명이 수학과 1지망으로 들어왔고, 2지망으로 3 명이 들어와서 1회는 총 4명이 입학했는데, 졸업 한 사람은 한 분이에요. 그 때 졸업한 분은 김희 신이라는 분이었는데, 졸업한 후에 숭의여중 교사 로 계시다가 미국으로 이민을 갔어요. 우리가 2회 로 입학했을 때에는 정원이 20명이었는데, 정원이 다 못 차서 18명이었어요. 하와이에서 맨 왼쪽이 송순희 교수, 가운데가 이기호 교수 그것이 교수님의 건강비결이네요. 지금 79세가 되셨 는데 매우 정정해보여요. 이대 초기 수학과 이야기를 해주세요. 이화여대에서 수학과는 처음에 사범대학 수학과 로부터 시작해서 한 10년을 사범대학에 있다가 5 16 혁명 후 학교를 개편할 때, 수학, 물리, 화학, 생물이 사범대학에서 문리대학으로 소속이 바뀌었 어요. 그때는 문리대학에 이과에는 가정과만 있었 고 다른 과가 없었어요. 당시 학교를 개편할 때 순수 과학쪽은 문리대학으로 소속되고, 가정과는 가정대학으로 독립했죠. 교수님께서는 1회 졸업생이신가요? 1회가 아니라 2회예요. 이화대학은 6 25가 끝난 1953년 9월에 서울로 환도를 했고, 저는 그 다음 해인 1954년도 4월 봄에 입학했어요. 그러니까 교수님께서는 수학과에 오시게 된 동기가 특별하게 있으신가요? 송옥형 선생님하고 인연인 것 같아요. 제가 이 북 함흥에서 고1까지 다니고, 6 25후퇴 당시에 흥 남부두에서 배(에레스티 짐배)를 타고 거제도로 피난을 왔어요. 그리고 거제도에서 부산으로 옮겨 피난 생활을 할 때, 나는 학교도 다니지 못했어요. 당시 옆집에 경기여고에 다니는 학생이 있었는데 제가 매우 부러워했어요. 그러다가 부산에 피난오 신 무학여고 교감 선생님이 저희 할아버지와 친분 이 있으신 김능근 장로님이라는 것을 알게 되었어 요. 그는 저희 고향 함흥 사람이고, 후에 숭전대학 교무처장을 지내셨고. 경동교회 장로님이시지요. 할아버지하고 아시는 분이라 용감하게 무학여고를 찾아갔지요. 나 누구 손녀이고, 여기 피난을 왔는 데, 학교에 꼭 다니고 싶어서 찾아 왔어요. 라고 했어요. 그러니까 장로님이 편입시험을 보라고 해 서 시험을 봤죠. 그때 시험이 영어와 수학이었는 데 영어는 해석하는 것이었고, 수학은 송옥형 선 생님이 출제를 했는데 내가 다 맞췄어요. 그러니 까 송옥형 선생님이 너무 놀랐지요. 그리고 영어 2012년 3월호 The Newsletter of the KMS 11
는 겨우 Reading만 했지만, 이북에서 영어를 안 배웠으니 들어와서 열심히 하라고 해서 고2로 편 입을 한거예요. 부산에서 편입을 해서 거기에서 1 년 반을 다니다가, 고3 2학기 때, 9월에 서울로 환도해서 왕십리에서 무학여고를 한 학기 다니고 이대에 들어오게 되었지요. 그때는 송옥형 선생님 께서 무학여고에서 수학선생님을 하시면서 이대 수학과에 강사로 나갔어요. 그리고 내가 입학하는 1954년부터 이대 교수가 되었지요. 제가 수학하 고 인연을 맺게 된 것은 고등학교 편입시험을 볼 때 송옥형 선생님과 만나게 되면서 부터예요. 1954년에 이화여대에 입학하셨을 때부터 수학과 에 대해 말씀해 주세요. 이대에서 처음 사범대학 수학과를 시작하신 선 생님은 조병국 교수님이세요. 그 다음에 송옥형 선생님을 모시고, 그 후로 주석순 선생님, 정영진 선생님을 모셔서 네 분의 교수님이 계셨어요. 또 서울대학 선생님과 연세대학 선생님도 강사로 나 오셨지요. 선생님들께서 여성수학자를 만들어 낸 다고 굉장히 열심히 하셨어요. 이화대학은 미션스쿨이니까 채플을 했는데, 그 당시에는 전체 채플 외에 과 채플도 한 달에 한 번씩 있었어요. 과 채플을 할 때 우리가 헌금을 했거든요. 그 헌금한 돈을 2~3년 모아 이 돈을 어디다 쓸까 하다가 장학기금으로 만들자고 해서, 그것을 바탕으로 졸업한 사람들이 1인당 얼마씩 내서 이대 수학과 장학기금을 만들었어요. 그 장 학기금으로 수학자를 만들기 위해서 장학생을 모 집했는데 1차로 들어온 사람이 이대 총장을 지내 셨던 장상 선생님이었어요. 그 당시 숙명여고 학 생이었을 거예요. 4년 장학금을 받고 오셨죠. 그 런데 졸업한 다음에 수학은 안하고, 연대 신학대 학에 편입해서 결국 미국 프린스턴 신학원(PTS, Princeton theological seminary)에서 신학석사와 박사를 하고, 이화대학의 기독교학과로 왔죠. 그때 송옥형 선생님이 수학자로 키우려고 했는데 그렇 게 돼서 아쉬워는 했지만, 어떤 면에서는 수학을 한 사람이 문과도 하고 이과도 하고 세상에 넓게 펼쳐지라는 마음으로 후원을 했던 것이지요. 그 다음에도 장학금으로 수학자를 키우기 위해 애썼 는데, 드디어 인일여고 졸업생이었던 이혜숙 선생 님이 이화대학 수학과를 15회로 졸업하고 캐나다 에 가서 공부를 마치고, 이대 수학과로 돌아와서 수학과 발전을 위해 많은 활약을 하고 있지요. 이 제 이혜숙 교수도 은퇴할 때가 되어가네요. 장학 금을 늘리기 위해서 15회 정도 졸업생까지는 졸 업해서 직장을 가지면 매달 장학기금을 학교에 보 내왔어요. 장학기금을 만들기 위해서 일맥회 라는 모임도 있었어요. 지금 그 장학금이 아마 꽤 될 거에요. 액수는 제가 잘 모르겠는데, 현재까지도 계속해서 후배 대학원생들에게 장학금을 주고 있 는 것으로 알고 있어요. 송옥형 선생님은 여성 수학자, 여성 수학 교육 자를 키워내기 위해서 정말 전 생애를 바치신 분 이라고 할 수 있어요. 그래서 장학금도 만들고, 졸 업생이 공부하러 유학을 간다고 하면 꼭 비행장까 지 전송을 나가서 너는 뭘 전공해오라. 라고 말 씀하시기도 하고, 그렇게 애쓰신 분이세요. 수학과 3회 졸업생인 이기호 선생님이 수학과를 졸업하고 미국 유학을 떠낼 때, 너는 가서 꼭 컴퓨터 사이 언스를 전공하고 와서 우리나라의 교육을 발전시 키는데 도움이 되는 수학자가 되라. 고 하셨어요. 그래서 이기호 선생님이 송옥형 선생님의 부탁대 로 컴퓨터 사이언스를 공부를 해 와서, 수학과에 서 전산과를 만들 때 초대 전산과 학과장을 했고, 나중에 전산과가 공과대학 소속으로 됐을 때, 이 기호 선생님이 공과대학 초대 학장도 하셨어요. 송옥형 교수님은 제자를 키우기 위해서 너무나도 애쓰신 분이시고, 또 수학을 전공한 사람이 문과도 하고, 도서관학도 하고, 경제학도 하고, 신학도 해 서, 소위 말하기를 수학이 모든 학문의 기초이니 까 다 넓게 성장하기를 바라셨던 교수님이시지요. 12 대한수학회소식 제 142호
작성해서 해마다 서류를 제출했지만, 1991년에야 독립하게 되었어요. 본래 수학과의 역사는 사범대 학에서 시작했지요. 그 다음 문리대로 왔다가 지 금은 자연과학대학 소속 수학과이고, 사범대학에 다시 수학교육과가 생긴 거지요. 한동안은 수학과 의 인기가 좋았지만, 지금은 사범대학 수학교육과 가 자연대 수학과보다 커트라인이 높아요. 그리고 우수한 학생들이 많이 오고, 취직도 잘되고, 굉장 히 발전 많이 했어요. 1981년 김포국제공항에서 송순희교수, 이기호교수, 필자 이대에 계셨던 교수님들은 모두 다 부모님처럼 따뜻하 셨던 것 같아요. 제가 1981년도에 미국으로 유학을 갈 때에도 교수님과 이기호 교수님께서 직접 공항에 나오셔 서 격려해 주신 기억이 나요. 교수님께서는 이화여대에 얼마동안 계셨나요? 대학 졸업하자마자 이대부고 교사를 1년 하고, 그 다음에 1년간 이대 조교를 하다가 교수가 되어 40년 정도 있었지요. 처음엔 문리대 수학과에서 교수로 있다가 1980년도에 사범대학 과학교육과 수학전공 교수로 옮겼어요. 그때까지 수학전공은 사범대학 과학교육과 안에 물리, 화학 생물, 지구 과학과 함께 속해 있었어요. 당시 수학전공에는 전임선생님이 계시지 않았고, 문리대 수학과에서 가르쳤어요, 파견지도교수제도였는데, 송옥형 선생 님이 파견지도교수로 계시다가 1980년도에 퇴임 을 하셨어요. 그 때 정인숙 총장이 나를 불러 사 범대학 파견지도교수를 하지 말고 아예 적을 사범 대학으로 옮기면 어떻겠냐고 했지요. 그 때 송옥 형 선생님이 과학교육과 안에 있던 수학전공을 수 학교육과로 독립해야겠다고 하시면서 나보고 적을 옮겨 과학교육과 수학전공을 수학교육과로 독립시 키자고 하셨어요. 그래서 과학교육과 수학전공 지 도교수로 적을 옮겼죠. 가자마자부터 과학교육과 수학전공을 수학교육과로 독립해야 되는 이유를 옛날에는 계열별 모집이었지요? 그래요. 자연과학계열이 1학년 때 계열로 들어 와 3학년 가서 전공으로 나누다가, 또 다시 과별 로 했다가 계열별로 했다가를 반복하는 것 같아 요. 6회 때, 아마 장상 선생님이 입학했을 때는 계열별로 모집을 했을 거예요. 계열별의 단점은 어느 해는 생물과로 학생들이 몰려가고, 그 다음 에 화학과로 가고, 수학과로 가고, 물리과는 어떤 때는 모집인원이 아예 없는 학년도 있어요. 그런 폐단이 있어서 다시 과별로 쭉 하다가 1973년도 에 다시 또 계열별로 했지요. 그때는 수학과가 꽤 인기였어요. 송옥형 선생님께서 순수수학을 하는 것도 좋지만, 응용파트를 하면 수학과가 더 발전 할 수 있을 것 같다고 하셔서, 수학과 안에 전산 전공을 만들게 되었어요. 그 전산전공을 만든 것 이 인기가 돼서 수학과에 학생들이 많이 왔어요. 자연계열로 뽑은 인원이 수학, 물리, 화학, 생물 각각 정원 40명씩 160명인데, 수학전공으로 103 명까지 온 때가 있었어요. 그게 또 폐단이 있으니 까 다시 과별로 했다가, 요샌 또 계열별이 되는 거 같아요. 그래서 가만히 보면 단점을 보완하면 서 합했다 폐했다 합했다 폐했다 하면서 점점 발 전하는 방향으로 나아가는 것 같아요. 요새는 어 느 한쪽으로만 치우치지 않고 통합적으로 해나가 는 추세이지요. 2012년 3월호 The Newsletter of the KMS 13
정년퇴임식 때 가족과 함께 교수님께서 이대 오래계시는 동안 생각나는 제자들 이 있을 것 같아요. 제자들 중에 제일 생각나는 사람은 장상 선생 님. 기독교학과로 가서 신학을 했지만, 그래도 그 선생님은 자기가 수학을 했기 때문에 신학 박사학 위 논문을 논리적이고 수학과 관계있는 논문을 썼 다고 하시면서, 지금도 항상 수학과에 대해서 얘 기 하시지요. 그 다음에 차정자라고 있었어요. 그 이는 캐나다로 유학을 갔는데, 공부를 계속해서 하지는 않았어요. 수학으로 계속 공부하신 분은 이혜숙 선생님. 그 후에는 수학을 공부한 사람들 이 꽤 있죠. 포항공대 교수로 있는 최영주 선생님, 고신대에 있는 계영희 선생님이 기억에 남네요. 수학과 동창회는 2년씩 동창회를 맡고 아래 학 년으로 내려가요. 계영희 선생이 20회인가? 계영 희 선생님이 동창회 맡았을 때 참 열심히 했어요. 그리고 그 동기 중에 조수헌이라고 있어요. 내가 문리대 수학과에서 학과장을 할 때, 수학과에 우 수한 학생들을 오게 하기 위해서 전국 수학경시대 회를 개최했어요. 각 고등학교에 편지를 해서 경 시대회를 했는데 그때 조수헌이 경기여고 학생인 데 경시대회에서 1등을 했고, 이대 입학할 때도 전체 1등을 했지요. 들어와서 계속해서 수학을 해 주기를 바랐는데, 걔가 활동하는 걸 더 좋아하더 라고요. 학교 다닐 때 문리대 학생회장도 하고 또 종교 활동도 했지요. 그때 기독교학과 교수였던 장원 선생님과도 가까웠고 활동을 많이 했어요. 아무튼 학생활동을 많이 하다 보니까 수학을 잘했 지만, 학문을 깊이 파고드는 학자가 되는 스타일 은 아니었어요. 조수헌은 미국에 가서 컴퓨터 계 통을 공부해서 일도 하고, 의사 남편과 결혼도 잘 했어요. 지금은 직업을 가진 것 같지는 않고, 구미 동창 연합회 일을 하지요. 기억에 남는 동창인데 작년 이대 총동창회 때 한국에 왔어요. 2011년 10월에 북미연합 이대동창회를 했는데 총 관할을 맡았고, 그와 관련하여 온 것 같아요. 지난번에 동 창회 회보에 났더라고요. 총장님도 모셔가고 아주 크게 했대요. 우리 이대 총동창회에서 5월에 합창 대회할 때 자연계열인 수학, 물리, 화학, 생물이 연합해서 합창을 했는데 그 합창에도 참석했지요. 덕분에 많은 동창들이 북미연합 동창회에 참석했 어요. 하루가 아니라 몇 박에 걸쳐서 진행한 것 같아요. 대학원에 다니실 때 어떤 교수님이 강의를 하셨나요? 내가 대학원 다닐 때는 서울대학에 계셨던 윤갑 병 교수님이 강사로 나오셨어요. 나의 논문지도교 수도 윤갑병 교수님이셨어요. 윤 선생님은 후에 경희대학으로 옮기셨지만, 윤 선생님 밑에서 공부 하던 서울대학 졸업생이 이대 수학과 대학원으로 와서 나하고 둘이 같이 공부를 했어요. 수학회에서 활동하신 일에 대하여 말씀해 주세요. 특별히 교육학회에서 매우 활발히 활동을 하셨다고 들었 어요. 대학을 졸업하고 대한수학회에 갔더니 여자는 고려대학의 사공정숙 선생님과 저밖에 없었어요. 그 때는 모이는 인원이 그렇게 많지 않았어요. 장 기원 교수님, 김치영 교수님, 최윤식 교수님, 한병 호 교수님 등이 있었어요. 저는 대한수학회에서는 임원을 하지 않고, 계속 정회원으로 참석하다가 14 대한수학회소식 제 142호
지금은 종신회원으로 있어요. 한국수학교육학회와 대한수학교육학회에서는 이사와 부회장을 했어요. 한국수학교육학회는 구광조 교수님이 회장하실 때 부터 최영한 교수님이 회장하실 때와 그 이후 몇 년 동안 부회장을 했어요. 대한수학교육학회는 언제 했는지 기억이 잘 안나요. 마지막으로 후학에게, 특별히 여성수학자에게 한 말 씀 부탁드립니다. 퇴임할 즈음에는 대한수학회에 여성수학자들이 많이 참석하였고, 여자 수학교수들 중에 발표하는 사람들도 많아서 굉장히 기뻤어요. 수학은 남녀 차별 없이 할 수 있고, 얼마든지 발전시킬 수 있는 학문분야라고 생각해요. 특히 대수학계통은 여자들 이 더 두각을 나타내더라고요. 처음엔 여성수학자로 사공정숙 선생님하고 저뿐이 없어서 소심했는데, 요새는 여자들이 수학하는 사람들이 많아서 기쁘 고, 앞으로 더욱 많은 여성들이 수학을 하기 바라 며, 수학계 발전에 많이 기여하였으면 좋겠어요. 바쁘신 가운데 귀한 말씀 감사드립니다. 앞으로도 건 강하셔서 대한수학회에도 큰 힘이 되어주시기를 바랍 니다. 감사합니다. [송순희 교수 약력] 생년월일 1934년 4월 5일생 이화여자대학교 사범대학 1954.4~1958.3 수학과 졸업 1958.4~1960.2 이화여자대학교 대학원 석사 1958.4~1959.3 이대부속중고등학교 교사 이화여자대학교 자연과학대학 1961.3~1980.2 조교, 전임강사, 조교수, 부교수, 교수 이화여자대학교 사범대학 1980.3~1999.8 수학교육과 교수 1997.1~1999.12 대한수학교육학회 이사 1996.1~2000.12 한국수학교육학회 부회장 1993.1~1995.12 한국수학교육학회 이사 <자유기고 원고 접수 안내> 대한수학회소식 편집위원회에서는 독자님의 자유기고를 접수받습니다. 독자 여러분의 많은 참여 바랍니다. [자유기고 주제] 수학 관련 에세이 수학, 수학교육, 과학기술분야 정책에 관한 의견 수학 관련 학술대회 및 행사 후기 수학자 인터뷰 서평 [분량 및 제출방법] 접수일 : 상시접수 (단, 게재 예정 호는 편집위원회의 기획에 따라 변동될 수 있습니다.) 분량 : 8,000자 이내 제출방법 : 반드시 한글파일(hwp)에 작성하여 이메일로 제출 보내실 곳 : kms@kms.or.kr (대한수학회 사무국) 대한수학회소식 편집위원회 2012년 3월호 The Newsletter of the KMS 15
수학사 소개 엘리 카르탕의 생애와 업적 (Method of moving frame을 중심으로) 한종규 (서울대학교) 엘리 카르탕(Élie Cartan, 1869 1951) 은 군론과 기하학의 역사에서 가장 큰 이름중 하나이며 헤르만 바일(Hermann Weyl, 1885 1955) 과 함께 20세기 3부 2권의 끝에 그의 업적 전반을 잘 설명하고 있 는 천-쉐발리[5]와 와이트헤드[8]의 추도사가 수록 되어 있다. 전반을 대표하는 수학자라 할 수 있을 것이다. 카르 탕의 방대한 수학적 업적과 현대수학에 끼친 영향을 감안할 때 그의 업적 전반을 논한다는 것은 물론 필자 의 능력 밖의 일이다. 이 글에서는 다만 [1]과 [5]를 발췌, 요약하여 카르탕의 생애 전반을 개관하고 그의 아이디어로부터 발전한 수학 중 필자가 이해하고 있는 지극히 적은 부분을 말하고자 한다. 그의 사후에 편집 발행된 전집 [3]는 아래와 같이 3부 6권으로 되어있 다. 1부: 리군, 대칭공간 2부: 연립편미분방정식, 리 Pseudogroup, 외미분계 3부: 미분기하 출생과 교육 엘리 카르탕은 프랑스 남동부 이제르 지방, 그르노 블에서 북쪽으로 50여 킬로미터 떨어진 작은 마을 돌 로뮤에서 대장장이의 아들로 1869년 4월 9일 태어났 다. 돌로뮤는 알프스에서 가깝고 알프스에서 발원하는 이제르강이 이곳을 지나 론강으로 합류하고 있다. 엘 리의 아버지 조셉과 어머니 안느 카르탕은 소박하고 근면한 전형적인 남프랑스 농촌사람들의 삶을 살면서 2남 2녀를 키웠다. 엘리는 그들의 둘째 자식이자 첫 아들이었다. 엘리보다 두 살 위의 누나 젠느-마리는 의상제조(재봉)업에 종사하였고, 세 살 아래의 남동생 레온은 가업을 이어받아 대장쟁이가 되었다. 엘리보다 16 대한수학회소식 제 142호
아홉 살 아래의 막내 여동생 안나는 오빠의 영향으로 수학을 전공하여 여자고등학교 교사가 되었다. 엘리의 아버지와 남동생은 건장한 체격인데 반하여 그는 키가 작고 약골이었다. 그러나 총기가 넘치고 비상한 기억 력을 가진 소년이었으며 몹시 수줍어하는 성격이었다. 19세기 말, 당시 프랑스에서는 카르탕의 가정처럼 가난한 서민이 자식을 대학까지 교육시킨다는 것은 엄두도 못내는 일이었다. 엘리가 돌로뮤에서 초등학 교를 다니던 10살 때, 이 지역의 초등교육 감독관으로 Antonin Dubost가 마을을 방문하였다. Dubost는 후 일 프랑스 상원의장까지 된 사람인데 그가 소년 엘리 카르탕의 재주가 비범함을 보고 그에게 장학금을 타기 위한 경시대회에 응시할 것을 제안하고, 또 초등학교 교사 M. Dupuis에게 엘리가 경시대회에 합격할 수 있도록 지도해 줄 것을 부탁하였다. 그래서 엘리 카 르탕은 경시대회를 힘들이지 않고 통과하여 장학금을 받아 대학까지 갈 수 있게 되었다. 당시 프랑스의 중 등교육기관은 각 지방의 college 와 대학진학을 준 비하는 국립고등학교인 lycée 가 있었다. 엘리는 경 시대회를 합격하고 첫 5년간은 가까이 있는 소도시 비엔에 소재한 College에서 문법, 수사학, 철학 (소 며, 대학시절 그는 다음과 같은 대가들로부터 배우는 행운을 누렸다. 에르미트(Chales Hermite, 1822 1901) : 해석학, 대수학, 및 수론 타네리(Jules Tannery, 1848 1910) : 집합론 다르부(Gaston Darboux, 1842 1917) : Moving frame 방법의 창시자중 한사람 아펠(Paul Appell, 1855 1930) : 해석학, 역학 피카르(Emile Picard, 1856 1941) : 미분방정식론, 군론의 기하적 응용 구르사(Edouard Gousat, 1858 1936) : 미분방정식론, 변환군 포앵카레(Henri Poincaré, 1854 1912) : 군론과 쌍곡기하를 연결, 보형함수이론 창안 카르탕은 이 중에도 특히 포앵카레로부터 가장 큰 영향을 받았으며, 후일 카르탕은 소르본 대학에서 수 강했던 포앵카레의 강의가 늘 머리를 맴돈다고 술회 하였다. 위 삼학, Trivium) 을 배웠고, 그 다음에는 그르노블 Lycée에서, 그리고 파리에 있는 Jasnon-de-Sailly Lycée (Grand Lycée) 에서 산술, 기하, 천문학, 음 악 (소위 사학, Quadrivium) 을 배웠다. Grand Lycée에서의 동급생이며 훗날 프랑스의 저명한 물리학 자가 된 페랭 (Jean-Baptiste Perrin, 1870 1942) 과는 일생동안 돈독한 우정을 유지하였다. 1888년 Lycée를 졸업한 엘리 카르탕은 수학을 전 공하기 위하여 파리 고등사범학교(l École Normale Supériure) 에 입학하였다. 당시 파리에는 13세기에 세워진 소르본 대학, 프랑스 혁명때 세워진 에콜 폴리 테크닉과 파리 고등사범학교, 이 세 곳이 수학을 전 공할 수 있는 대학이었다. 엘리는 고등사범학교 3년 과정을 이수하는 동안 소르본 대학에서도 수강하였으 박사학위논문, 단순 유한차원 연속군 카르탕이 대학 학부생이던 당시 (1888 1891) 파리 고등사범학교는 독일 라이프치히 대학에서 가르치고 있던 마리우스 리 (Marius Sophus Lie, 1842 1899) 와 활발히 교류하고 있었 다. 타네 리, 다르부, 피카르 등이 리의 이론에 깊은 관심 을 갖고 있었고, 이들의 영향으로 베시오 (Ernest Vessiot, 1865 1952) 와 트레세 (Arthur Tresse, 1868 1958) 는 리 아래에서 연구하기 위하여 라이 프치히로 유학하고 있었다. 베시오가 파리로 돌아온 후 피카르와 공동으로 리의 연구를 확장한 미분방정 식의 적분가능성 문제와 연속군의 응용 이란 논문을 발표하였다. 리-피카르-베시오의 이 일련의 연구에 2012년 3월호 The Newsletter of the KMS 17
서 상미방의 해를 연쇄적인 적분으로 구할 수 있음과 미분방정식의 대칭군이 가해임이 동치라는 사실이 밝 혀졌다. 따라서 대칭군이 단순군을 포함하게 되면 미 분방정식은 적분으로 해를 구할 수 없으며 여기서부 터 단순 리군의 목록을 작성하는 문제가 제기되었다. 카르탕은 고등사범학교 동기생인 트레세를 통하여 이 분야를 접하게 되었다. 카르탕은 파리 고등사범학교를 졸업하고 한 해동안 군복무를 한 후 하사(Sergeant) 로 제대하였는데 그가 군복무를 하는 동안 그의 친 구 트레세는 라이프치히 대학에서 리의 박사과정 학 생이 되어 있었다. 라이프치히에서 돌아온 트레세는 카르탕에게 킬링 (Wilhelm Killing, 1847 1923) 의 논문 변환들의 유한차원 연속군의 구조에 관하여 를 보여주었다. 이 논문은 당시 라이프치히에서 발간되 던 학술지 Mathematisch Annalen에 실려 있었는데 여기에 단순 리 군의 분류에 대한 중요한 결과들이 수록되어 있었다. 트레세는 카르탕에게 킬링의 논문 에서 nilpotent group(group of zero rank) 에 관한 부분에 오류가 있다는 사실을 알려 주었다. 트레세 는 또 라이프치히에서 클라인과 리와 함께 연구하는 엥겔(Friedrich Engel, 1861 1941) 의 박사과정 학 생 한 사람이 킬링의 논문의 잘못된 부분을 바로잡는 연구과제로 변환들의 유한차원 연속군의 구조, 특히 였다. 1892년에 리가 다르부와 타네리의 초청으로 반 년동안 파리에 체류하게 되었는데 당시 리가 파리에 온 주목적은 실은 카르탕을 만나기 위한 것이었다. 후 일 카르탕은 리에 대하여 다음과 같이 회상하였다. 리는 프랑스의 젊은 수학자들과 어울려 토론하기 를 즐겼다. 셍 미셜 가의 소르스 카페에서 식탁의 대 리석 판에 연필로 수식을 적어가며 토론하는 그들의 모습을 보는 것은 어렵지 않은 일이었다. 리는 키가 크고 금빛 수염을 기르고 안경너머로 푸른 눈동자가 빛났으며 늠름한 체구에 전형적인 북구인의 용모를 지녔다. 리는 비할 데 없이 성실하고 순수한 사람이 었으며 동시에 쉽게 접근할 수 있는 너그럽고 정다운 성품의 소유자였다. 1893년 카르탕은 그의 첫 논문인 단순 연속군의 구조, 그리고 유한차원 연속군의 구조, 이 두 편의 결 과를 파리 학술원 학술지에 소개하고 자세한 증명은 라이프치히 대학의 회보에 리의 추천으로 출판하였다. 복소수체위의 단순 리 대수의 분류문제를 완전히 해 결한 이들 결과로 카르탕은 다르부와 리를 공식적인 공동지도교수로 하여 박사학위논문 변환들의 유한차 원 연속군의 구조 를 제출, 1894년(25세) 소르본 대 학으로부터 박사학위를 받았다. zero rank group 에 관하여 라는 제목의 논문을 쓰 고 박사학위를 받았다고 알려주면서 이번에는 킬링의 논문의 주정리와 그 증명에 오류가 없는지 조사해 보 는 것은 좋은 연구과제가 될 것이라고 말하였다. 카르 탕이 그의 친구 트레세의 제안을 따라 1892년 부터 1894년까지 두 해 동안 킬링의 논문을 연구하였고 그 결과 킬링의 주정리에는 오류가 없고, 킬링이 증 명에 사용한 방법은 단순 리군의 root 를 사용하고 있는 방법인데 매우 독창적이고 광범위하게 적용가능 한 방법이라는 사실을 알게 되었다. 카르탕은 킬링의 논문의 부정확한 부분을 수정해 가면서 복소수체위의 semi-simple 리 대수의 분류에 관한 연구를 수행하 학위후 10년간 카르탕의 박사학위후 10년간 (1894 1904, 25 세 35세)은 그의 고유한 이론과 방법론이 윤곽을 잡 아가고 평생의 연구 방향이 설정된 기간이었다. 학위직 후(1894 1896) 에는 몽펠리에 대학에서 강사로 있으 면서 학위논문의 연속으로 실수체위의 semi-simple 리 대수의 분류문제, 복소 및 실수체위의 결합법칙이 성립하는 대수에 대한 연구, semi-simple 리 군의 표 현론 연구로 이어갔다. 그 후에 7년간(1896 1903) 은 리옹 대학의 강사로 있었는데 이 기간에는 적분불 변량 (Integral invariants), 파피안 시스템 (Pfaffian 18 대한수학회소식 제 142호
system), 미분방정식의 동치문제등을 연구하였다. 그 는 그라스만 대수를 외미분계에 적용하여 외미분계에 관한 그의 이론을 정립해 나갔다. 주어진 파피안 시 스템의 모든 양립조건을 찾아내어 involutive 한 시 스템으로 prolongation 하는 그의 아이디어는 나중 1930년대 이후에 카르탕-켈러 이론으로 완성되었다. 카르탕은 리옹 대학에 재직하던 마지막 해인 1903년 에 당시 리옹의 교육감독직에 있던 화학자 비앙코니의 딸 마리-루이스 비앙코니(Marie-Louise Bianconi, 1880 1950) 와 결혼하고 낭시 대학으로 직장을 옮 겼다. 1차 세계대전 (1914 1918) 이 발발한 이듬해 카 르탕은 그의 나이 46세에 징발되어 육군 하사관으 로 군복무를 하였다. 그의 모교인 파리 고등사범학교 에 설치된 군병원에서 근무하며 1차대전이 끝날 때 까지 틈틈이 Bäcklund transform, deformation of hypersurfaces를 연구하였고, 전쟁 후에도 계속하여 moving frame 방법을 사용한 부분다양체 이론을 연 구하였다. 1916년(47세) 이후에는 주로 미분기하의 연구를 하였다. 클라인의 에르랑엔 프로그램이 일반적인 기하 를 기술하는데 적합하지 않음을 바일과 베블렌 (Oswald Veblen, 1880 1960) 이 지적한 바 있었는데, 카르탕은 Moving frame 방법을 창안하여 클라인의 아이디어를 보완하였다. 이는 다르부의 동력학의 방 중견교수시절 카르탕이 낭시 대학의 전기 및 응용역학 학과의 교수로 6년간 (1903 1909, 34세 40세) 재직하는 동안 첫째 아들 앙리, 둘째 아들 장이 여기서 태어났 다. 이 시기에 그는 무한차원 변환군(훗날 Lie pseudogroup이라 부르게 된)과 외미분계에 관한 연구를 하였다. 연립미분방정식에 관한 그의 방법은 특정한 미지함수나 독립변수에 의존하지 않는, 좌표에 의존하 지 않는 완전히 새로운 방법이었으며 그는 이 방법으 로 일반해가 무엇인지 정의하였다. 또한 그는 일반해 뿐 아니라 특이해도 연구하였다. 주어진 미방에 대하 여 새로운 미방의 시스템을 정의하여 이것의 일반해가 원 방정식의 특이해가 됨을 보였다. 1909년에 카르탕은 파리로 옮겨 소르본 대학의 강 사가 되었고, 1912년(43세)에 포앵카레의 추천으로 정교수가 되었다. 그후에는 고향 돌로뮤에 집을 짓고 자주 가서 쉬곤 하였다. 그는 고향집에 내려가면 수 학연구도 하고 아버지와 남동생의 대장간일을 도와 주기도 하였다. Moving frame method와 Pfaffian sytem에 관한 연구를 하다가 1913년 단순 리군 연 법을 일반화한 것이다. Moving frame 방법은 또한 다발묶음 (Fibre bundle) 개념으로 인도하였으나 카 르탕 자신은 다발묶음에 대하여 명명하거나 더이상 연구하지 않았다. 1926 년 이후에는 대칭공간의 기하를 연구하 였다. 대칭공간의 아이디어는 클리포드 (William Clifford, 1845 1879), 케일리 (Arthur Cayley, 1821 1895) 가 창안하였고, 카르탕보다 조금 먼저 바일이 위상적인 방법을 동원하여 발전시키고 있었다. 1913년(44세) 에는 클리포드 대수의 표현론으로부터 Spinor 개념을 발견하고 후일 양자역학의 기본수학 역할을 하게 되는 Spinor이론을 창안하였다. 1922년 (53세) 이후부터는 일반상대성이론을 위한 기하학인 Unitary field 이론과 대칭공간, 일반적인 접속이론 등을 중점적으로 연구하였다. 카르탕보다 앞서 바일 은 리만기하의 일반화인 최초의 Unitary field 이론을 창안하였는데 카르탕은 바일과 달리 torsion을 허용 하는 접속을 사용하였다. 1922년의 논문 아인슈타 인의 중력방정식에 관하여 이후에는 상대성이론에 관한 일련의 논문을 발표하였다. 구로 돌아왔다. 2012년 3월호 The Newsletter of the KMS 19
1931년(62세)에는 수학자인 맏아들 앙리(Henri Cartan, 1904 2008) 와 공동연구를 수행하였다. 복 자로서 그 이후의 수학에 끼친 영향의 크기에 있어서 그는 포앵카레와 힐베르트 다음쯤 위치하게 되었다. 소다변수공간의 각변수에 관한 회전운동에 닫혀있고 유계인 영역으로 정칙변환군이 transitive 한 것이 어 떤 것이 있는가 결정하는 문제를 연구하였다. 이 문 제는 20세기 초에 포앵카레가 관심을 가졌던 문제였 다. 다음해 1932년(63세)에는 복소공간의 실초곡면 의 동치문제에 대한 연구결과를 발표하였는데 이 이론 은 1960년대와 1970년대에 Tanaka-Chern-Moser 의 CR 기하로 발전하여 다변수복소함수론의 발전에 기여하였다. 엘리 카르탕의 수학의 아이디어들은 그가 박사학 위를 하고 20년이 지날 때까지도 다른 아무도 이어 발전시키지 않았다. 포앵카레가 그의 업적을 높이 평 가하여주어 이미 소르본 대학의 정교수가 되기는 하였 지만 여전히 그는 수학계에서 널리 알려진 존재는 아 니었다. 그는 주로 고립되어 연구하였으며, 그의 아들 앙리와 다변수복소함수론 분야의 공동연구 할 때에도 각기 자기 부분을 가지고 따로 연구하였다고 한다. 그의 강의는 명강의이어서 수강하는 학생들은 문제의 진수를 이해하였다고 생각하며 지적인 기쁨을 맛보곤 하였지만, 그의 아이디어를 진정으로 이해하고 사용하 는 사람은 별로 없었고 카르탕은 자신의 주변에 사람 을 모아 학파 를 이룰 줄도 몰랐다. 당시 피카르는 학생들이 쉽게 접근할 수 있는 문제를 많이 갖고 있 어 학생들에게 인기가 있었던 반면에 카르탕은 학생 이 별로 없었다. 수학자 족보 에 보면 그에게서 박사 학위를 받은 사람은 네 사람인데 그 중에 찰스 에레 스만 (Charles Ehresmann, 1905 1979) 과 일본인 수학자 야노 켄타로(Yano Kentaro, 1912 1993) 가 있다. 그러나 1925년경 바일의 군 표현론의 논문들 이 나오고, 1930년대에 들어서서 앙드레 베유(Andrè Weil)가 엘리 카르탕의 논문의 중요성을 언급하면서 카르탕은 수학계에 널리 알려지게 되었고 그의 수학 의 영향력이 갈수록 증대되었다. 20세기 전반의 수학 만년의 삶 엘리 카르탕은 첫 논문을 쓴 1893년 부터 1949 년까지 무려 56년동안 논문, 책, 각종 연설문과 절대 평행이동에 관해 아인슈타인과 교신한 편지 등 도합 200여 편의 글을 썼다. 그의 집안에는 장수하는 유전 인자가 있는 것 같다. 그의 부모가 모두 장수하였고 엘리 카르탕 본인도 82세까지 살며 당시기준으로는 오래 살았다. 저명한 수학자인 그의 맏아들 앙리는 104세까지 향수하였다. 그가 노경에 들어와서야 명 성을 얻게된 데에는 첫째로 그의 극도로 수줍어하는 성격과 둘째로 20세기 초 프랑스의 수학은 집합론과 함수론이 중심을 차지하고 있었기 때문이었다. 1930 년대에 외국에서 먼저 카르탕을 높이 평가하여 폴란 드, 노르웨이, 이탈리아 등의 여러 학술원의 외국인회 원이 되었고, 1931년에 프랑스 학술원 회원으로 선 출되었으며, 1946년에는 학술원 원장으로 선출되었 다. 그리고 소르본 대학에서 재직한 30년 중 마지막 16년간은 고등기하 학과장을 역임하였으며 1940년 에 은퇴하였다. 또한, 그는 국제수학자대회(ICM) 에서 다음과 같이 세 차례의 기조연설을 하였다. 1924년 토론토 국제수학자대회 군론과 최근의 미분기하 연구 1932년 취리히 국제수학자대회 리만 대칭공간에 대하여 1936년 오슬로 국제수학자대회 소푸스 리의 군론과 현대기하학의 발전 그가 수학의 발전에 끼친 프랑스의 영향 (The influence of France in the development of Mathematics) 이란 제목으로 1940년 벨그라드에 서 행한 연설에서는 프랑스수학에 대한 자긍심과 그 의 수학관을 엿볼 수 있다. 그는 이 연설에서 프랑스 20 대한수학회소식 제 142호
수학자 데카르트, 파스칼, 페르마, 달랑베르, 라그랑 주, 라플라스, 르장드르, 몽주, 푸리에, 코시, 퐁슬레, 갈로아, 에르미트, 다르부, 포앵카레의 업적을 개관하 고 나서 다음과 같이 말하였다. 과학의 다른 분야에 비해서 수학은 더욱 일련의 추상화과정을 통하여 발전한다. 수학자는 실수를 피 하고 좀 더 쉽게 생각하기 위하여 문제의 요체를 뽑 아 따로 분리하여 생각한다. 그래서 수학자는 그가 무엇을 얘기하고 있는지 모르거나, 무엇을 얘기하고 있는지는 안다고 하더라도 그것이 존재하는지는 모른 다 는 우스개 소리가 있다. 그러나 프랑스의 수학은 실재로부터 멀어진 적이 없다. 프랑스 수학에 있어 논리의 중요성은 부차적이다. 수학적 활동은 인간의 다른 활동과 마찬가지로 바르게 생각하는 것과 바른 문제를 설정하는 것, 이 둘 사이에 균형이 잘 이루어져 야 한다. 그런 의미에서 프랑스 수학자는 바른 직관을 가지고 가장 근본적인 문제를 선택하는 지혜와 직관 있는 작곡가였으나 25세에 폐결핵으로 세상을 떠났 다. 물리학자인 셋째 아들 루이는 푸아티에(Poitiers) 대학의 교수로 재직하며 원자력 연구에 몰두하다가 2 차대전이 발발하자 레지스탕스에 참여, 체포되어 독 일군에게 참수형을 당했다. 이 소식은 2년이나 지난 1945년에 가족에게 전해졌는데 노경의 카르탕 부부 에게 어떤 고통을 주었을지 짐작할 수 있다. 그와 가 족은 1917 1936년에는 베르사이유 부근 르 쉐스네 이 마을에서 살았고 그 후에는 1951년에 그가 세상 을 떠날 때까지 15년간 오를레앙 다리 부근의 조드당 가 95번지의 아파트에 세들어 살았다. 1950년에 엘 리 카르탕의 아내 마리-루이스가 세상을 떠나고, 그 이듬해 1951년 5월6일에는 엘리 카르탕 본인이, 그 다음해 1952년에는 딸 엘렌이 세상을 떠났다. 그들 은 고향 돌로뮤의 가족 무덤에 나란히 묻혀있다. 그 후 조르당가 95번지 아파트에는 큰 아들 앙리와 그의 가족이 살았다. 을 가지고 있었으며 이들의 해법은 과학의 전반적인 발전에 가장 강력한 영향을 미쳤다. 1939년 그의 70세 생일에 소르본 대학에서 그를 위한 성대한 파티를 열어주었다. 이 자리에는 대학과 학술원의 많은 사람들과 옛 친구 트레세가 참석하였 고, 저명한 지휘자 샤를르 문슈가 카르탕의 둘째 아들 장이 작곡한 To the memory of Dante 를 연주하였 다. 카르탕은 소르본에서 은퇴한 후에도 강연, 저술, 논문발표, 학술원 행정 등으로 1949년까지 활동하였 다. 이렇게 왕성한 그의 연구활동 이면에는 항상 고 요히 안정된 가정이 있었다. 그는 3남1녀의 자녀를 두었었는데 맏아들 앙리는 저명한 수학자, 둘째 아들 장(Jean Cartan, 1906 1932)은 작곡가, 셋째 아들 루이(Louis Cartan, 1909 1943) 는 물리학자, 막내 이자 딸인 엘렌 (Hélène Cartan, 1917 1952)은 수 학자였다. 그러나 그는 두 아들을 먼저 보내는 아픔을 겪기도 하였다. 둘째 아들 장은 파리 음악학교를 졸업 하고 현악사중주, 성가곡, 관현악곡 등을 작곡한 재능 Moving frame 과 파피안 시스템 19세기 수학에서 가장 큰 발견으로는 사물의 대칭 성을 기술하고 계산하는 군의 개념, 그리고 비유클리 드 기하학, 이 두 가지를 들 수 있다. 이 두 흐름은 19세기가 끝나 갈 무렵 엘리 카르탕 시대에 이르러 하나의 큰 흐름으로 합류하여 20세기를 흘러가게 된 다. Method of moving frame은 바로 이 합류하는 지점의 수학이라 할 수 있다. 군의 개념은 5차이상의 대수방정식의 불가해성을 증명하기 위한 갈로아와 아 벨의 이론에서 비롯되었다. 가령 유리계수다항식 방 정식에 대한 갈로아군의 한 원소는 유리수집합을 고 정시키며 하나의 해를 다른 해로 보내는, 즉 방정식 의 대칭성을 표현하는 확대체의 동형사상이다. 대수 방정식을 풀 수 있다(가해, solvable)는 것은 방정식 이 거듭제곱의 역산을 반복하는 것으로 분해된다는 의미이다. 그리고 대수방정식의 가해성은 갈로아군의 2012년 3월호 The Newsletter of the KMS 21
가해성과 동치라는 것이다. 아벨과 갈로아의 이론이 나온지 대략 반세기가 지난 후에 노르웨이의 수학자 리는 미분방정식에 대하여도 동일한 추론이 가능함을 관찰하였다. 갈로아 이론과 현저한 차이점은 미분방 정식의 대칭군은 연속군이며 이를 생성하는 무한소 대칭들의 집합(후세에 리 대수라 명명된)이 군의 구 조를 결정한다는 점이다. 미분방정식의 대칭성이란 독립변수와 종속변수 공간의 변환으로써 방정식과 해 를 보존하는 변환을 말한다. 리가 먼저 관찰한 바는 n계의 상미방이 n차원의 solvable 대칭군을 가지면 상미방의 일반해를 반복 적분함으로 얻을 수 있다는 것이었다. 가령 일계상미방 (1) F (x, u, du dx ) = 0 에 대하여 독립변수와 종속변수의 공간 {(x, u)}의 국 소벡터장 v := ξ(x, u) + ϕ(x, u) x u 이 (1)에 대한 무한소대칭이라 하자. 그러면 v 를 좌 표벡터장으로 하는 적절한 좌표변환이 존재한다. 실제 로 v 0 이라 가정하고 η(x, u)를 v 의 제일적분이라 하자. 공간 R 3 = {(x, u, w)}의 벡터장 의 제일적분 ξ x + ϕ u + w Ψ(x, u, w), Ψ w 0 라 하고 Ψ = 0 를 w 에 관하여 풀어 w = ζ(x, u)를 얻어 (2) 로 변수변환하면 v = w y = η(x, u) w = ζ(x, u) 이다. 따라서 (1)을 새변수 (y, w) 로 표현하면 w 를 포함하지 않게 된다. 즉 dw dy = h(y) 꼴이어서 적분가능하고 따라서 (3) w = h(y)dy := H(y) 을 얻는다. (2)를 (3)에 대입하여 (1)의 해 u = u(x) 를 얻는다. 리는 상미방의 가해성 문제와 연관하여 주어진 개수의 변수에 대하여 모든 가능한 변환군을 찾는 문제를 연구하였다. 그러나 킬링, 트레세, 카르 탕은 모든 가능한 군의 구조를 찾는 문제로, 해석학 적인 의상을 벗어 버린, 순수한 대수적인 문제로 단 순화하였다. 연속군에 대한 기본적인 관찰은 마치 고 생물연구자들이 공룡의 작은 뼈 조각 하나로 공룡전 체를 재구성하는 것과 같이[5] 군의 대역적 구조를 그것의 무한소 변환으로부터 재구성할 수 있다는 사 실이다. 카르탕은 이 문제에 미분형식을 사용하였다. 논의를 간단히 하기 위하여 선형변환군 (n n 행렬 의 군) G의 값을 갖는 국소적인 함수 g 를 생각하자. G가 군이므로 무한소 변환 dg 를 단위원으로 이동한 g 1 dg := ω 는 G의 단위원에서의 무한소 변환이다. ω 를 미분하면 d(g 1 ) = g 1 dgg 1 이므로 (4) dω = ω ω 모러-카르탕 방정식 을 얻는다. (4) 는 전형적인 completely integrable 한 1계의 완비계이 다. 따라서 한점에서의 초기값 에 대하여 유일한 해가 존재한 다. 이 해 공간이 G 의 리대수이 다. (4) 는 또한 카르탕의 moving frame 방법의 원조이기도 하 다. Moving frame 방법을 처음 사용한 사람은 마틴 바텔스 (Martin Bartels,1769 1836) 라는 독일 수학자인데 비 유클리드 기하의 창시자인 로바체브스키 (Nikolaj Ivanovich Lobachevskii, 1792 1856) 와 가우스 (Karl Friedrich Gauss, 1777 1855) 가 젊은 시절 이 분에게서 배웠다고 한다. 그 후 공간곡선 기하에 나오는 Frenet 공식이 1847년에 등장하였고 다르부 가 1887년경에 곡면이론에서 moving frame을 사용 하였다. 엘리 카르탕은 미분형식을 사용하여 가장 일 반적인 moving frame 방법을 창안하여 그의 만년에 22 대한수학회소식 제 142호
여러가지 구조의 기하학에 광범위하게 사용하였다. 카 르탕의 moving frame 방법은 클라인의 에를랑겐 프 로그램을 다양체로부터 frame bundle로 들어올린 것 이라 할 수 있다. 일양공간(homogeneous space)의 부분공간의 국소기하는 카르탕의 moving frame 방법 의 효용성을 가장 잘 보여주고 있는데 복소공간의 실 초곡면의 기하학인 카르탕-타나카-천-모저(Cartan- Tanaka-Chern-Moser) 이론이 그 대표적인 예이다. 보다 친숙한 예로 R 3 의 곡면 M 을 생각하자. M 에 adapted frame, 즉 단위직교벡터장 e = (e 1, e 2, e 3 ) 의 첫 두 벡터가 M 에 접한다 하자. x = (x 1, x 2, x 3 ) 을 R 3 의 직교좌표계라 하고 dx = θ i e i 이라 두고 이를 미분하면 (summation convention) 0 = (dθ j + θ i ω j i )e j, 단 de i = ω j i e j, 을 얻는 다. 여기서 e 는 O(3) 값을 갖는 함수이므 로 ω := (ω j i ) 는 o(3) 값을 갖는 다, 즉 skewsymmetric 행렬이 다. 각 성분이 영이므로 θ := (θ 1, θ 2, θ 3 ) t 라 두면 (5) dθ = ω θ 을 얻는다. 행렬로 표현하면 (6) 0 ω dθ 1 2 1 dθ 2 = ω 2 1 0 dθ 3...... ω3 1 ω3 2. ω3 1. ω3 2..... 0 1827년에 출판된 가우스의 곡면론의 중요한 결론은 곡면은 구부려도 변치않는 곡면 자체의 불변량(가우 스 곡률)을 갖는다는 것이었다. 그리고 이 고유한 곡 률은 곡면의 단위수직벡터의 변화율의 크기 (determinant)와 같다는 것이다. 이 발견은 기하적 불변량 과 intrinsic geometry 란 개념으로 인도하였으며 비 유클리드 기하학이 태동할 시대를 준비하였다. (6)은 θ 1 θ 2 θ 3 미분형식을 사용하여 가우스의 곡면론을 간결하게 다 시 표현한 것이다. (6)을 M 에 국한(pull back)시키 면 θ 3 = 0이므로 (6)의 일부분, 즉 우변의 행렬의 첫 2 2 부분행렬에 해당하는 dθ1 = 0 ω1 2 dθ 2 ω2 1 0 θ1 θ 2 이 곡면의 intrinsic geometry 이다. ω 1 2 가 곡면의 접속(connection)이다. 그리고 (6)의 나머지 부분이 extrinsic geometry, 즉 곡면의 이차근본형식이다. 하나의 moving frame e 에 대하여 e 의 변화율을 e 로 위와 같이 표현하였듯이 카르탕은 moving frame 전체의 집합, 즉 한 점에서의 frame 들의 변환군이 H 인, frame 들의 집합 P 에서 H 의 리 대수 H 값을 갖는 1-형식 ω 로 접속을 정의하였다. 위의 예 R 3 에 서 점 x 에서의 단위직교기저(ortho-normal frame) 들의 집합은 아핀 변환군 E(3), 즉 (7) O(3), x 0 1 꼴의 4 4 행렬의 집합과 동일시된다. 하나의 moving frame e를 다발묶음 E(3) R 3 의 section으로 보면 e에 관한 접속은 E(3) 의 모러-카르탕 형식 ω 의 pull back e ω 이다. 곡면 M 의 adapted frame e 에 관한 접속 (6)은 다음 도식에서 E(3)의 Maurer- Cartan 형식 ω 를 pull back 한 것이다. (8) E(3), M R 3, 카르탕은 그의 접속이론을 G- 구조의 동치문 제 (equivalence problem) 로 일반화시켰 다. G 를 GL(n, R) 의 부분 리군이라 하자. 편의상 지금부터 는 frame을 접벡터의 기저 대신 1-형식의 기저, 즉 coframe을 의미한다고 하자. n차원의 미분다양체 M 위의 G-구조란 G의 원소로 변환하는 모든 frame 들 의 집합을 말한다. 리만 구조란 O(n)-구조를 의미한 ω 2012년 3월호 The Newsletter of the KMS 23
다. G-구조의 접속이란 G의 리 대수 G 값을 갖는 M 상의 1-형식 ω 이다. R 3 의 경우, ω 는 o(3)값을 가지 며 이는 E(3) 의 모러-카르탕 형식을 pull back 한 것이다. 따라서 (4)를 만족한다. 모든 일양공간의 경 우에는 이와 같다. 그러나 일반적으로는 dω 와 ω ω 와의 차이가 존재하는데 이 차이를 Ω, 즉 (9) Ω := dω + ω ω 라 하자. Ω의 존재는 P 위의 파피안 시스템 ω 가 integral manifold를 갖지 못하게 되는 원인이 된다. Ω = 0 이면 P 는 integral manifold로 foliate 된다. 여기서 integral manifold란 기하적으로는 frame의 평행이동, Ω 는 G-구조의 곡률이다. P M 의 임 의의 절단 θ = (θ 1,..., θ n ) 에 대하여 (5) 가 만족되 는 유일한 접속 ω 의 존재를 밝히면 G-구조의 동치 문제를 풀었다고 말한다. C 2 에서 레비-형식이 비퇴 화인 두 실초곡면 사이에 holomorphic congruence 를 판정하는, 카르탕 자신이 명명한 이름에 따르면, pseudo-conformal geometry는 G-구조의 동치문 제에 관한 그의 이론의 첫 번째 응용이었다. 동치문제 를 비롯하여 파피안 시스템에 접근하는 카르탕의 아이 디어는 오늘날 과결정 연립 편미분방정식의 해의 존재 를 밝히는데 이용된다. n-계의 연립 편미분 방정식은 [참고문헌] [1] M. A. Akivis and B. A. Rosenfelt, Élie Cartan, Amer. Math. Soc., 1993 [2] R. Bryant, Élie Cartan and geometric duality, A lecture given at the Institut d Élie Cartan on 19 June 1998 [3] E. Cartan, Œuvres complètes: Part I, Groupes de Lie, vols. 1-2, 1952; Partie II, Algèbre, Formes difféentielles, systèmes différentielles, vols. 1-2, 1953; Partie III, Divers, géométrie différentielle, vols. 1-2, 1955, Gauthiers-Villars, Paris [4] A. John Coleman, Groups and physics-dogmatic opinions of a senior citizen, Notices of AMS, Vol. 44-1(January 1997), 8-17 [5] S. S. Chern and C. Chevalley, Élie Cartan and his mathematical works, Bull. Amer. Math. Soc. 58(1952), 217-250 [6] R. Debever(ed), Élie Cartan-Albert Einstein: letters on absolute parallelism 1929-1932, Princeton Univ. Press, Princeton, NJ, 1979 [7] P. Olver, Applications of Lie Groups to Differential Equations, Springer-Verlag, New York, 1986 [8] J. H. C. Whitehead, Obituary. Élie Joseph Cartan (1869-1951), Obit. Notices Roy. Soc. London 8(1952), 71-95 미지함수의 n-jet 공간의 부분 다양체상의 파피안 시 스템 θ = (θ 1, θ 2, ) 의 해곡면을 발견하는 문제로 귀착된다. 해곡면에서는 θ 를 영으로 할 뿐 아니라 dθ modulo θ 를 영으로 하므로 순차적으로 파피안 시스 템을 부분 다양체로 축약시켜 나가는 방법이 사용되고 있다. 이는 미방의 해의 존재가 방정식의 대칭성에 기 인한다는 리의 관찰의 정당함을 말해주고 있다. 다만 리가 상미방에 대하여 밝힌 바 상미방의 적분가능성과 대칭군의 가해성의 관계에 비하여 과결정 연립 편미 분방정식에서는 방정식의 대칭성이 교묘히 숨어있는 경우가 대부분이고 따라서 해의 존재와 방정식의 대 칭성의 관계도 복잡하고 미묘하리라 생각된다. 24 대한수학회소식 제 142호
서평 금융수학 입문 금융수학 입문 이승철 지음 경문사 2011. 09. 01 208페이지, 12,000원 ISBN : 978-89-6105-459-1 연금을 관리하는 국민연금공단, 보험료를 받아놓 은 보험사 등 각종 기관도 매우 많다. 이와 같이 돈을 가지고 있는 사람은 이 돈을 그냥 가지고 있으면 시간이 지날수록 가치가 오히려 감소할 수 있으므로 어디엔가 투자하여 수익을 창출하여 야 한다. 우리가 살고 있 는 사회에는 기술 이나 다양한 아 이디어를 가진 사 람들이 있다. 이 런 사람들은 기술 이나 아이디어를 이용해 제품이나 서비스 등을 생산 하려고 한다. 그 렇게 하려면 공 장이나 기계가 필 요한데 이를 위해서는 궁극적으로 돈, 즉 자본이 필요하다. 다른 한 편에는 돈을 많이 가지고 있는 사람들 이 있다. 물려받은 재산이 많은 사람도 있고, 은행, 금융의 기본 업무는 이와 같이 돈을 가지고 있 는 자본가와 기술을 가지고 있는 기업가를 연결 해주는 일이다. 자본가가 기업에 투자하는 기본적 인 방법에는 주식을 사서 기업의 주인, 즉, 주주 가 되는 방법과 채권을 사서 기업에 돈을 빌려주 는 방법이 있다. 주주가 되면 기업가치의 변동에 따라 주가가 오르내리게 되고, 이익이 발생했을 경우 배당을 받게 된다. 채권을 산 경우에는 일정 양의 이자를 받는다. 두 경우 모두 수익을 얻을 수 있지만 회사가 부도가 나는 경우에는 큰 손실 을 입게 된다. 이와 같은 자본주의 메커니즘에서 투자자의 가 장 큰 관심사는 수익률과 위험이다. 될 수 있으면 위험은 줄이고 수익은 높이려는 것이 투자자들의 생리이고, 옵션으로 대표되는 파생상품을 이용하 면 위험이나 수익을 손쉽게 줄이거나 늘이면서 2012년 3월호 The Newsletter of the KMS 25
컨트롤 할 수 있다. 예를 들어, 현재 주가가 1만원인 주식 1억 원 어치를 1년간 보유하고 있어야 하는 상황에 처해 있다고 하자. 만일 1년 후에 주식을 팔아서 9,000만원의 부채를 갚아야 한다면 주식가격이 9,000원 이하로 떨어졌을 때는 부채를 갚을 수 없게 된다. 만일, 현재 갖고 있는 주식의 가격이 1년 후 9,000원 이하로 떨어지더라도 이를 9,000원에 사주겠다는 A라는 사람이 있으면 이 같은 위험에서 해방될 수 있다. 주가가 오르면 수 익을 챙길 수 있고, 주가가 떨어지면 A에게 9,000원에 팔아버릴 수 있다. 이렇게 주식을 미 리 정해진 가격으로, 그리고 정해진 시점에 다른 사람에게 팔 수 있는 권리를 풋옵션이라 부른다. 이와 같이 풋옵션을 가지고 있으면 주가가 하락 하는 위험에서 해방될 수 있는데(이를 위험을 헤 지한다. 라고 말한다.) 처음 계약을 할 때 위험이 없어지는 대가로 옵션프리미엄(옵션 가격)이라고 부르는 현금을 A에게 지불해야 한다. 일종의 보 험을 드는 셈이고, 이에 따른 보험료를 내는 것이 다. 이 같은 옵션은 1970년대 이후 서구 금융시 장에서 폭발적인 거래가 이루어졌으며, 금융시장 의 복잡한 위험 형태와 이들을 회피하려는 시장 의 수요에 따라 다양한 형태로 발전했다. 이와 같이 옵션이나 다양한 파생상품의 가격을 결정하고 위험을 헤지하는 메커니즘이 아주 난해 한 수학, 그 중에서도 확률론적 내용을 포함하고 있다는 사실을 알게 되면서 금융수학이 태동하게 되었다. 확률미분방정식을 소개하고, 이를 위해 브라운 운동, 이토 적분 등을 다룬다. 옵션에 대한 정의, 델타 헤징, 블랙-숄즈 공식 등은 11장에 소개 되어 있다. 이 책은 확률론 중에서 금융수학 학습을 위한 내용만을 뽑아 self-contained 되도록 정리해 놓 았다는 점에서 의의가 있다고 하겠다. 특히, 구체 적인 예를 들어 생소한 확률론적 개념을 쉽게 이 해할 수 있도록 하였다. 금융수학에 대해 관심이 있으며, 수학적인 깊이를 가지고 접근하려는 학생 들에게 추천할 만한 책이다. 좀 아쉬운 점이 있다면, 수학적인 내용에 치중 되어 있어 금융수학에 대한 동기(motivation)나 전반적인 관점(view)을 제공하고 있지 않은 부분 일 것이다. 총 208페이지의 본문 중에서 금융과 관련된 내용은 167~181페이지, 191~197페이지 정도에 불과하여 금융수학 입문 이라기보다는 금융수학을 위한 확률론 이라는 표현이 더 적절 할 수도 있을 것 같다. 또한 용어의 한글 표현에 서 일반적으로 사용되는 블랙-숄즈, 마팅게일 등과 같은 용어 대신 블랙-슐즈, 마팅겔 등의 용어를 사용하고 있는데 좀 어색하다는 느낌이 든다. 전인태 (가톨릭대학교) 금융수학입문(이승철 저, 2011, 경문사)에서는 금융수학을 공부하기 위한 확률론적 기초를 다루 고 있다. 책의 앞부분에서는 조건부 확률, 베이지 안, 정규분포, 로그노말분포 등 기본적인 확률을 다룬 뒤, 파생상품의 가격을 결정하기위해 가장 중요한 개념 중의 하나인 조건부 기댓값 및 마팅 게일을 설명하고 있다. 그리고 주가나 이자율의 움직임을 모델링하기 위한 확률론의 주요 이슈인 26 대한수학회소식 제 142호
올림 피아드 지난 2012년 3월 24일 (토) 25일 (일) 양일간 개최되었던 제25회 한국수학올림피아드 (KMO) 최종시험 문제를 소개합니다. 제25회 한국수학올림피아드(KMO) 최종시험 문제 <2012년 3월 24일-제1일> 1. 임의의 양의 실수 x, y, z 에 대해 다음 부등식이 성립함을 증명하여라. 2x 2 + xy (y + zx + z) + 2y 2 + yz 2 (z + xy + x) 2 + 2z 2 + zx (x + yz + y) 2 1 2. 각 B 가 직각이 아니고 AB AC 인 삼각형 ABC 의 내심 I 에서 변 BC, CA, AB 에 내린 수선의 발을 각각 D, E, F 라 하자. 직선 AB 와 DI 의 교점을 S, 직선 DF 에 수직이고 F 를 지나는 직선이 직선 DE 와 만나는 점을 T, 직선 ST 가 직선 EF 와 만나는 점을 R 이라 하자. 이 때, 선분 IR 을 지름으로 하는 원이 삼각형 ABC 의 내접원과 만나는 두 점 중 직선 IR 에 대해 A와 다른 쪽에 있는 점을 P ABC 라 하자. XZ = Y Z > XY 인 이등변삼각형 XY Z 의 변 Y Z 위에 W Y < XY 인 점 W 가 있다. K = P Y XW, L = P ZXW 라 할 때 2 KL XY 임을 보여라. 3. n개의 집합 A 1, A 2,..., A n 이 주어져있다. 집합 {1, 2,..., n}의 부분집합 X 에 대해 N(X) = {i {1, 2,..., n} X : 모든 j X 에 대해 A i A j } 이라 하자. 이때 m이 3 m n 2인 정수이면, X = m이고 N(X) = 1인 {1, 2,..., n}의 부분집합 X 가 반드시 존재함을 증명하여라. <2012년 3월 25일-제2일> 4. 예각삼각형 ABC 에 대하여 A에서 변 BC 에 내린 수선의 발을 H 라 하자. D, E 는 각각 변 AB, AC 의 내부에 있는 점으로서, D 와 E 에서 변 BC 에 내린 수선의 발을 각각 F 와 G라 할 때, 두 선분 DG와 EF 의 교점이 선분 AH 위에 있다 하자. 점 E 에서 직선 DH 에 내린 수선의 발을 P 라 할 때, AP E = CP E 임을 보여라. 5. 주어진 양의 정수 n 에 대하여, nx 2 + y 3 = z 4 을 만족하는 정수 x, y, z 중 어떤 두 수도 서로소인 해 (x, y, z)가 무한히 많이 존재함을 보여라. 6. 3보다 큰 소수를 약수로 갖지 않는 양의 정수의 집합을 M 이라 하자. 집합 M 의 임의의 부분집합들 A 1, A 2, A 3,...에 대해, 다음 조건을 만족하는 서로 다른 양의 정수 i와 j 가 반드시 존재함을 증명하여라. 집합 A i 의 각 원소 x에 대해 집합 A j 는 x의 어떤 약수를 갖는다. 제한시간 4시간 30분 ; 문항당 7점 2012년 3월호 The Newsletter of the KMS 27
대한수학회 회장선거 공고 정관 제14조와 정관 세칙 제4장 및 회장 선거관리규정에 의거하여 대한수학회 차기회장 (임기 2013. 1~2014. 12) 선거를 다음과 같이 실시합니다. 1. 선거 일정 2012. 1. 26(화) 제 1차 선거관리위원회 2012. 4. 24(화) 회장선거 공고(후보 등록 공고) 2012. 4. 28(토) 2012년도 봄 연구발표회 (숙명여자대학교) 개최 2012. 5. 08(화) 선거권 자격 취득 회비납부 마감일 2012. 5. 09(수) 선거인명부 회람 2012. 5. 11(금) (우편 전자) 투표 선택 시작 2012. 5. 16(수) 후보 등록 마감 선거인명부 이의신청 마감 2012. 5. 17(목) 선거인명부 확정 2012. 5. 23(수) (우편 전자)투표 선택 신청 마감 2012. 5. 24(목) 제 2차 선거관리위원회 - 후보자 확정 2012. 5. 25(금) 회장 입후보자 공고 2012. 6. 05(화) (우편 전자)투표 시작 2012. 6. 29(금) (우편 전자)투표 마감 2012. 7. 06(금) 제 3차 선거관리위원회 당선자 공고 *2012. 7. 16(월) 2차 (우편 전자)투표 시작 *2012. 8. 06(월) 2차 (우편 전자)투표 마감 *2012. 8. 14(화) 제 4차 선거관리위원회 (1) 회장 선거의 피선거권과 선거권 규정 (정관세칙 제17조) 1) 당해년도 선거를 포함하는 3번의 회장 선거에서 연속적으로 선거인명부에 기재된 정회원은 회장에 입후보할 수 있다. 2) 회장 선거 공고일로부터 기산하여 과거 2년간 계속 정회원으로 재적하고 당해년도를 포함 하는 과거 2년간 회비를 회장선거 공고일로 부터 2주 이내에 납부한 정회원이 회장 선거 권을 갖는다. (2) 회장 후보에 등록하고자 하는 분은 정회원 20인 이상, 30인 이하의 추천서를 첨부하여 선거관 리위원회에 입후보자 등록을 하여야 합니다. (3) * 의 일정은 제1차 투표에서 당선자가 정해지지 않았을 경우의 일정입니다. (4) 위의 일정은 상황에 따라 약간의 변동이 있을 수 있습니다. 2. 회장 입후보자 등록 절차 (1) 구비서류 (소정양식 학회비치) 1) 이력서 1 학력 2 경력 3 학회 및 사회활동 4 수상경력 5 저서 및 대표논문목록(총 10편 이내) 의 순서로 작성 2) 소견서: 위의 1)과 합하여 A4 용지 4매 이내 3) 추천서: 정회원 20인 이상, 30인 이하 (2) 등록 2012년 5월 16일(수)까지 기일을 엄수하여 본인 또는 대리인이 선거관리위원회(대한수학회 내)에 직접 제출하여 주시기 바랍니다. 28 대한수학회소식 제 142호
3. 선거운동 방법 및 제한 사항 (1) 공식적인 선거운동기간은 선거공고일(4월 24일)로부터 투표마감일(6월 29일)까지로 한다. (2) 회장 선거관리 규정 제 5조 3항에 의하여, 각 후보나 그 지지자들이 직접 방문을 통하여 후보 의 선거운동을 하는 것을 금한다. (3) 회장 선거관리 규정 제 5조 2항의 소견발표 기회는 학회 홈페이지를 통해 동영상파일을 제공하고, 학회에서 선거관리위원회 명의로 총 2차례(5월 25일, 6월 4일) e-mail 발송을 해주기로 한다. (4) 우편투표를 선택한 선거권자에게는 투표용지와 함께 입후보가 등록시 제출한 약력, 소견서를 보낸다. 전자투표 사이트의 게시판에는 같은 약력, 소견서와 함께 동영상 파일을 제공한다. (5) 위의 선거운동방법과 제한사항을 위반한 사례를 발견한 선거권자는 선거관리위원회에 통보할 수 있다. (6) 위의 선거운동방법과 제한사항을 위반한 경우는 총 2회 위반까지는 선관위 명의로 경고를 하 고, 3회 위반시에는 입후보자격 상실을 이사회에 건의하기로 한다.만약 동일한 사안에 대하여 2회 연속 위반시에는 입후보자격 상실을 이사회에 건의하기로 한다. 2012년 4월 24일 차기회장 선거권에 관한 안내 선거관리위원회 위원장 김낙중 선거관리위원회 위원 김광휘 선거관리위원회 위원 김완순 선거관리위원회 위원 신준국 선거관리위원회 위원 이용훈 선거관리위원회 위원 이재원 선거관리위원회 위원 이창옥 정관세칙 제 17조 (피선거권과 선거권)에 의하면, 2010년 4월 24일 이전에 정회원으로 재적하고, 2011년, 2012년도의 2년간 회비를 선거공고일(4월 24일)로부터 2주 이내인 5월 8일(화)까지 완납한 정 회원이 선거권을 갖는 것으로 규정되어 있음을 알려드리오니 이 기간의 회비를 미납하신 정회원은 납부 하여 주시기 바랍니다. 다음 명단은 2012년 3월 30일 현재, 2010년 4월 24일 이전에 정회원으로 재적하고, 2011년, 2012년 도의 2년간 회비를 완납한 정회원입니다. 만일 착오가 있으면 학회사무실 (02-565-0361, 내선 103)로 연락주시면 확인 후 정정해 드리겠습니다. [대학 소속 회원] 강남대 : 김광휘, 강릉원주대 : 김홍철, 손성익, 강원 대 : 강순이, 김성연, 김준기, 서승현, 오재필, 표재 홍, 건국대 : 권오인, 김원주, 김태희, 문명호, 박춘 재, 성찬영, 신동관, 이상진, 장이채, 전성태, 조도상, 팽성훈, 경기대 : 조동현, 경남대 : 김민수, 김종규, 박부성, 배순숙, 경북대 : 김상동, 김성권, 김영호, 김 용국, 김은섭, 김필수, 김호일, 도영해, 문현숙, 박찬 녕, 배용주, 서명수, 서영진, 이미령, 임용도, 정일봉, 정임순, 정주희, 최재유, 토미르네젠슨, 마크시거스, 경상대 : 강신민, 김광일, 김선정, 김홍기, 조열제, 최 용갑, 경성대 : 권오상, 이현영, 한응섭, 경원대 : 문 경숙, 경희대 : 김병학, 김세구, 배재형, 이수준, 최진 혁, 한창용, 홍찬용, 계명대 : 박광성, 알렉산더 스터 이메노프, 고등과학원 : 금종해, 김영주, 김인강, 김 태정, 최재경, 스테판뮬러, 고려대 : 권순희, 김바라, 김준석, 김홍찬, 박의성, 양성덕, 양찬우, 위인숙, 이 계성, 이기영, 황운재, 고신대 : 계영희, 공주교대 : 이양희, 공주대 : 전대열, 최승일, 관동대 : 김종명, 이정엽, 광운대 : 김상목, 김영희, 김태균, 송형수, 이 종우, 최종성, 허민, 광주과학기술원 : 황치옥, 광주 교대 : 조성원, 광주대 : 송영춘, 국가수리과학연구소 : 김대열, 김은연, 박철민, 윤강준, 이영란, 국민대 : 김재룡, 군산대 : 김길태, 윤병인, 윤영진, 장택상, 정 재영, 정택선, 주창근, 금오공대 : 유원석, 이재원, 황 홍택, 단국대 : 김도형, 이강섭, 이민섭, 장승준, 대구 가톨릭대 : 백헌기, 대구교육대 : 최재호, 대구대 : 강주호, 김익표, 대불대 : 김훈주, 대전대 : 이영환, 대진대 : 곽태근, 김봉진, 김원배, 이성진, 이정례, 덕 성여대 : 강성주, 동국대 : 김동한, 문환표, 안선신, 임영빈, 조영덕, 최소영, 최준상, 동서대 : 엄미례, 조 경미, 동아대 : 정종수, 동양대 : 이만근, 동의과학대 2012년 3월호 The Newsletter of the KMS 29
: 정두환, 동의대 : 류재칠, 정재욱, 명지대 : 윤갑진, 목원대 : 백성도, 이만섭, 이승호, 주종미, 배재대 : 김성숙, 김영선, 부경대 : 김도상, 심효섭, 이규명, 정 진문, 조낙은, 표용수, 부산교대 : 백대현, 부산대 : 김기정, 김동화, 김부윤, 김재희, 김준교, 김현민, 손 광호, 신기연, 이동희, 이양, 한준철, 홍우철, 부산외 대 : 박준식, 백인수, 서강대 : 김대산, 김종수, 신창 언, 이용남, 이재성, 이종범, 정순영, 조상현, 조장현, 서경대 : 박창균, 서울과기대 : 김병수, 서울교대 : 전인호, 서울대 : 강남규, 강명주, 강석진, 계승혁, 권 오남, 김명환, 김영득, 김영원, 김영훈, 김지영, 김창 호, 김판기, 김홍종, 박종일, 변동호, 변순식, 신동우, 오병권, 이기암, 이상혁, 이영민, 이우영, 이인석, 임 선희, 정자아, 조영현, 조철현, 천정희, 최형인, 하승 열, 홍재현, 홍진, 프라우엔펠더, 제랄드 트루트나우, 오토 반 코에르트, 서울시립대 : 권재훈, 김정아, 조 윤희, 서울여대 : 이동일, 서원대 : 박윤범, 선문대 : 한동환, 성균관대 : 권순학, 김미경, 김세기, 김인숙, 박정형, 배종식, 설한국, 이상구, 좌준수, 채영도, 천 기상, 황인성, 성신여대 : 강병개, 김주홍, 심성아, 윤 기헌, 세종대 : 배진수, 이언경, 차영준, 수원대 : 김 정산, 숙명여대 : 김선홍, 박승국, 신용현, 순천대 : 강윤수, 김권욱, 송영무, 신향근, 양기열, 정권수, 숭 실대 : 박은순, 아주대 : 고계원, 방승진, 이기정, 정 재원, 최수영, 하영화, 황동선, 안동대 : 김의철, 김필 란, 안양대 : 김수현, 연세대 : 고철기, 구유영, 김동 호, 김형순, 민숙, 송홍엽, 유일, 이정자, 영남대 : 김 관수, 김래영, 이재운, 천장호, 최영욱, 영동대 : 이승 훈, 우석대 : 이홍렬, 울산대 : 김용인, 신용호, 최길 남, 원광대 : 고미화, 김용섭, 김인숙, 김준희, 육군3 사관학교 : 천윤환, 이화여대 : 고응일, 우성식, 우현 균, 이윤진, 임선간, 조용승, 현종윤, 홍순태, 인천대 : 양미혜, 최원, 인하대 : 고관석, 김성택, 명성, 송용 진, 이윤원, 최광석, 최규흥, 전남대 : 곽민규, 권도 용, 김동수, 김선부, 김정욱, 박대희, 변창호, 신병춘, 안승호, 오춘영, 이영주, 임복희, 정영복, 조종택, 주 형관, 전북대 : 김양곤, 김인수, 김종진, 마인숙, 박화 신, 서경식, 소재업, 이대웅, 이용훈, 조용근, 한상언, 전주대 : 김광회, 박대연, 제주대 : 고봉수, 고윤희, 김도현, 박진원, 방은숙, 송석준, 양성호, 윤용식, 정 승달, 조선대 : 강성권, 김남권, 김선아, 이관규, 홍성 금, 중앙대 : 임보해, 채동호, 황승수, 창원대 : 김안 현, 김영호, 이수철, 청운대 : 김선자, 청주대 : 임동 만, 충남대 : 강병련, 구남집, 김성래, 김학만, 박재 명, 박종서, 신동수, 안재현, 오세권, 오세영, 이건희, 이상훈, 정세영, 주항연, 최성규, 충북대 : 금상호, 김 영희, 김원규, 김정심, 선해상, 오원태, 윤재헌, 윤주 한, 이석종, 이승온, 이훈희, 정환엽, 지운식, 카이스 트 : 김종민, 박진현, 엄상일, 이창옥, 임미경, 황강 욱, 포항공대 : 강병균, 권용훈, 권재룡, 김강태, 김광 익, 김현광, 박종국, 박지훈, 박형주, 변재형, 심영선, 차재춘, 최성섭, 최영주, 최윤성, 현동훈, 홍승표, 황 경원, 황형주, 잭쿨렌, 한경대 : 유현재, 임재근, 한국 과학영재학교 : 김병옥, 김훈, 정명주, 한국교원대 : 윤종국, 이기석, 한국국방연구원 : 최재동, 한국기술 교육대 : 심재동, 하준홍, 한성휴, 한국연구재단 : 양 정모, 한국외대 : 김승욱, 김영록, 박성호, 손운하, 이 태욱, 장재덕, 최영수, 한국해양대 : 김익성, 배재국, 홍정희, 한남대 : 유천성, 한림대 : 김낙중, 김동일, 김상옥, 소금숙, 한밭대 : 김남균, 한서대 : 구윤회, 이광연, 조성훈, 최상일, 한성대 : 권영미, 한신대 : 나경욱, 박기현, 양춘우, 정환옥, 한양대 : 김대경, 김 성수, 김완세, 김창헌, 김희식, 박춘길, 신동의, 장주 섭, 호서대 : 김환구, 박준석, 현우식, 홍익대 : 김영 식, 박경미, 배성일, 이남훈, Univ. of Connecticut : 이규환 [종신회원] 가톨릭대 : 정동명, 건국대 : 안재문, 정인재, 경남대 : 박광박, 경북대 : 기우항, 박영수, 박진석, 손문구, 이상헌, 경희대 : 윤갑병, 전종득, 하성남, 계명대 : 조영수, 고려대 : 권택연, 우무하, 조인호, 최봉대, 공 주대 : 이화영, 금성초등학교 : 윤옥영, 단국대 : 김 형보, 김흥기, 장영식, 대구가톨릭대 : 백용배, 최영 우, 대구대 : 권정환, 오영선, 배재대 : 김성수, 부산 대 : 박영식, 이형기, 하기식, 허원, 상산고등학교 : 이현구, 서강대 : 노재철, 홍성사, 서울대 : 강정혁, 고영소, 김도한, 김상문, 김성기, 김제필, 김혁, 박세 희, 윤옥경, 윤재한, 이사계, 이일해, 정재명, 조승제, 지동표, 한종규, 서울시립대 : 이태극, 서원대 : 김영 국, 박규홍, 서일대학 : 우영진, 성균관대 : 김용태, 이헌재, 정봉화, 수원대 : 호문룡, 수학문화연구소 : 김용운, 숙명여대 : 홍영희, 아주대 : 김하진, 연세대 : 김해경, 남상욱, 민경찬, 박대현, 박영기, 박용문, 오정환, 임정대, 장건수, 전유봉, 정경태, 정인환, 영 남대 : 김종철, 박홍서, 원광대 : 김태성, 허걸, 육군 사관학교 : 한태식, 이화여대 : 송순희, 이석영, 정영 진, 전남대 : 송병회, 전북대 : 곽효철, 이희진, 전대 식, 중앙대 : 유동원, 임근빈, 충남대 : 오희준, 이동 수, 주진구, 충북대 : 임동일, 카이스트 : 김홍오, 포 항공대 : 권경환, 이정림, 한국교원대 : 박한식, 한국 수학교육학회 : 최영한, 한국외대 : 김인배, 이의찬, 한양대 : 차형구, 한양여자대학 : 이창구, 홍익대 : 변용성, Univ. of Oklahoma : 이경배 [직장 소속 정회원] (주)좋은책신사고 : 홍범준, 조선대학교 여자고등학 교: 김종배, 범문학술정보 : 정묘진, 타임입시학원 : 김대희 30 대한수학회소식 제 142호