석사 학위논문 Master s Thesis 내재변동성의구간을이용한델타헤징실증분석 An Empirical Study on Delta Hedging with the Regimes of Volatility 조용환( 曺 庸 煥 Jo, Yong Hwan) 물리학과 Department of Physics KAIST 2012
내재변동성의구간을이용한델타헤징실증분석 An Empirical Study on Delta Hedging with the Regimes of Volatility
An Empirical Study on Delta Hedging with the Regimes of Volatility Advisor : Professor Kim, Soo Yong by Jo, Yong Hwan Department of Physics KAIST A thesis submitted to the faculty of KAIST in partial fulfillment of the requirements for the degree of Master of Science in the Department of Physics. The study was conducted in accordance with Code of Research Ethics 1. 2011. 12. 05. Approved by Professor Kim, Soo Yong [Advisor] 1 Declaration of Ethical Conduct in Research: I, as a graduate student of KAIST, hereby declare that I have not committed any acts that may damage the credibility of my research. These include, but are not limited to: falsification, thesis written by someone else, distortion of research findings or plagiarism. I affirm that my thesis contains honest conclusions based on my own careful research under the guidance of my thesis advisor.
내재변동성의구간을이용한델타헤징실증분석 조용환 위 논문은 한국과학기술원 석사학위논문으로 학위논문심사위원회에서 심사 통과하였음. 2011년 12월 05일 심사위원장 김수용 (인) 심사위원 박해용 (인) 심사위원 정하웅 (인)
MPH 20108073 조용환. Jo, Yong Hwan. An Empirical Study on Delta Hedging with the Regimes of Volatility. 내재변동성의 구간을 이용한 델타 헤징 실증 분석. Department of Physics. 2012. 41p. Advisor Prof. Kim, Soo Yong. ABSTRACT In 1999, Emanuel Derman published the paper Regimes of Volatility in Risk. Derman (1999) formulated three different types of market regime : range-bounded, where future price moves are likely to be constrained within a certain range and there is no significant change in realized volatility; trending, where the level of the market is chaning but in a stable manner so there is again little change in realized volatility in the long run; and jumpy, where the probability of jumps in the price level is particularly high so realized volatility increases. This thesis, based on the Derman s paper, has carried out a similar analysis of the S&P 500 index option market, during 2007 to 2010. The main purpose of this thesis is how to improve the delta heding strategy with regimes of volatility. According to the his paper, each regimes has different features of delta. There are lots of option pricing models that could be used to calculate delta. In this study, several option pricing models are choosed to examine which models perform best delta hedging result in the individual regimes. Empirical tests in the S&P 500 index European call option market show that the delta of Derman- Kani-Chriss trinomial tree performed best delta hedging result in the whole regimes. The second best perfomed delta hedging result models are Black-Scholes model and CEV model in range-bounded and trending regimes. In the jumpy regimes, the delta hedging result of CEV model is better than Black- Scholes model. Meanwhile, Empirical tests in the S&P 500 index European put option market show CEV model and Heston model are best for delta hedging, especially CEV model is best choice for delta hedging in the jumpy regimes. i
목차 Abstract...................................... 목차........................................ 표목차...................................... 그림목차..................................... i ii iii iv 제 1장 서론 1 제 2장 본론 3 2.1 내재변동성의구간.......................... 3 2.1.1 안정구간........................... 10 2.1.2 추세구간........................... 10 2.1.3 점프구간........................... 11 2.1.4 정리.............................. 11 2.2 사용된모형.............................. 12 2.2.1 Black-Scholes모형..................... 12 2.2.2 CEV모형.......................... 12 2.2.3 Merton모형......................... 13 2.2.4 Heston모형......................... 14 2.2.5 Variance-Gamma모형................... 15 2.2.6 Derman-Kani-Chriss Implied Tree모형......... 16 2.2.7 SABR모형......................... 17 2.2.8 Borland모형........................ 18 2.2.9 풋-콜패리티(Put-Call parity)............... 19 2.2.10 모형의모수추정(Calibration)............... 20 2.3 델타헤징전략및델타헤징에러추정............... 21 2.4 실증분석............................... 23 2.4.1 분석자료........................... 23 2.4.2 분석자료에대한내재변동성의구간............ 24 2.4.3 델타헤징결과........................ 30 제 3장 결론 38 참고문헌 39 ii
표목차 2.1 안정구간에서변동성의움직임................................. 10 2.2 추세구간에서변동성의움직임................................. 11 2.3 점프구간에서변동성의움직임................................. 11 2.4 모형들의특징.......................................... 11 2.5 분석자료의통계값....................................... 23 2.6 상관관계............................................. 24 2.7 구간별연간실현변동성..................................... 25 2.8 유럽형콜옵션 -전구간에서델타헤징에러......................... 32 2.9 유럽형콜옵션 -각내재변동성구간에서델타헤징에러.................. 32 2.10 유럽형콜옵션 -안정구간에서머니니스에따른에러.................... 32 2.11 유럽형콜옵션 -추세구간에서머니니스에따른에러.................... 33 2.12 유럽형콜옵션 -점프구간에서머니니스에따른에러.................... 33 2.13 유럽형콜옵션 -안정구간에서만기에따른에러....................... 33 2.14 유럽형콜옵션 -추세구간에서만기에따른에러....................... 34 2.15 유럽형콜옵션 -점프구간에서만기에따른에러....................... 34 2.16 유럽형풋옵션 -전구간에서델타헤징에러......................... 34 2.17 유럽형풋옵션 -각내재변동성구간에서델타헤징에러.................. 35 2.18 유럽형풋옵션 -안정구간에서머니니스에따른에러.................... 35 2.19 유럽형풋옵션 -추세구간에서머니니스에따른에러.................... 35 2.20 유럽형풋옵션 -점프구간에서머니니스에따른에러.................... 36 2.21 유럽형풋옵션 -안정구간에서만기에따른에러....................... 36 2.22 유럽형풋옵션 -추세구간에서만기에따른에러....................... 36 2.23 유럽형풋옵션 -점프구간에서만기에따른에러....................... 37 iii
그림목차 2.1 2007년 10월 4일 S&P 500지수변동성표면......................... 3 2.2 2008년 8월 13일 S&P 500지수변동성표면......................... 3 2.3 2009년 6월 12일 S&P 500지수변동성표면......................... 4 2.4 2010년 2월 4일 S&P 500지수변동성표면.......................... 4 2.5 2007년 6월 1일부터 2010년 10월 30일까지 S&P 500지수와만기가 3개월인 S&P 500 옵션의등가격내재변동성과의관계.............................. 5 2.6 2007년 S&P 500지수옵션의내재변동성........................... 6 2.7 2008년 S&P 500지수옵션의내재변동성........................... 7 2.8 2009년 S&P 500지수옵션의내재변동성........................... 8 2.9 2010년 S&P 500지수옵션의내재변동성........................... 9 2.10 2007년 S&P 500지수내재변동성의구간........................... 26 2.11 2008년 S&P 500지수내재변동성의구간........................... 27 2.12 2009년 S&P 500지수내재변동성의구간........................... 28 2.13 2010년 S&P 500지수내재변동성의구간........................... 29 iv
제 1 장 서론 거래자들은 옵션의 가격을 추정하는데 Black-Scholes (1973) 모형[1]을 주로 사용하나, Black과 Scholes가원래생각했던것과는다른방식으로모형을이용한다. 이모형은자산가격이기하브라운 운동(geometric Brownian motion)을 따른다는 가정에 기초하고 있어, 주가가 일정한 변동성을 가진 로그정규분포를따른다고본다. 그러나실제로주가의변동성은일정하지않다. 거래자들은옵션의 가치평가에 이용되는 변동성을 행사가격과 만기에 따라 달리 적용하는데, 옵션의 내재변동성(implied volatility)을 행사가격의 함수로 표현한 변동성 미소(volatility smile) 이외에 변동성 기간구조(volatility term structure)를 이용한다. 주식 옵션의 변동성 미소는 Rubinstein (1985, 1994)[2][3], Jackwerth, Rubinstein (1996)[4]에 의해 연구되었다. 1987년전에는뚜렷한변동성미소가존재하지않았다. 1987년이후거래자들이주식옵션 의가치를평가하는데사용하는변동성미소는일반적으로행사가격이증가함에따라감소한다. 이를 변동성 왜도(volatility skew)라고 한다. 행사가격이 낮은 옵션(심외가격 풋옵션과 심내가격 콜옵션)의 가치평가에사용되는변동성은행사가격이높은옵션(심내가격풋옵션과심외가격콜옵션)의가치평 가에사용되는변동성보다훨씬크다. 1987년 10월이전에는내재변동성이행사가격의영향을훨씬덜 받았다. Rubinstein은 변동성 왜도와 같은 패턴이 존재하는 이유를 폭락공포증(crashophobia)에 두고 있다. 즉,거래자들은 1987년 10월의대폭락과유사한폭락의가능성을우려하고있고,따라서이에 상응하여옵션의가치를평가한다는것이다. 이후변동성왜도가주식시장의움직임에따라어떻게 변하는가에대한많은연구가있었다. 내재변동성이어떻게변하는지를예상하려는의심스러운법칙 들도많이등장했으며,여러이론적인모형들도등장해변동성왜도의기원에대해기술하고나아가 왜도의움직임에대해예견하려고노력했지만,각각의법칙들과모형들의결과는실제결과와일치하지 않았다. Derman (1999)[5]은변동성왜도와주가의움직임과의관계에집중해 S&P 500의내재변동성을 조사하여특정한패턴을통해변동성왜도와주가의움직임에대해설명하였다. 그는패턴을 Sticky- Stike Rule, Sticky-Delta Rule, Sticky-Implied-Tree Model로 명명하고, 각 구간을 내재다항 모형으로 모형화하여 분석하였다. 한편어떤금융기관이고객들에게유럽형바닐라콜옵션또는풋옵션을매도하였을경우,이금융기 간은옵션에대한위험을관리해야한다.만일금융기관이해당옵션과반대의payoff를가지는포지션을 구축하였다면 포지션을 중립화(neutralize)시킬 수 있다. 여기서 포지션을 중립화시키기 위해선 동일한 상품을매입하거나옵션가격결정에영향을미치는요소들을제거한포지션을통해구축할수있다. 후자의경우를민감도헤징이라고하며대부분의실무거래자들이널리이용하고있다.여기서델타는 시간에따라변하므로금융기관의포지션이매우짧은기간동안만델타헷지된상태로남아있으며이로 인해 델타를 주기적으로 재조정(rebalancing)되어야 한다. 이를 동적 델타 헤징(dynamic delta hedging) 이라고한다.이동적델타헤징전략수행시델타추정치에오류가있다면헤징에러가증가할것이며 이는금융기관에게위험관리와헤징비용면에서큰문제가될수있다.델타헤징전략을수행하는데 에러를유발시키는주요한원인은두가지로볼수있다. 첫번째로델타헤징의재조정주기가있다. 델타가연속적으로변하기때문에재조정주기도연속적으로이루어져야델타중립포지션이유지되나 거래비용등을감안할경우연속적인재조정은현실적이지않아적절한주기에따라재조정을함으로써 발생된다.두번째로시장에부합하지않는가격결정모형에근거한델타의추정이에러를증가시킨다. 대부분의경우에델타추정치는 Black-Scholes모형을이용하는데,이에의한델타추정치는변동성을 상수로가정하여추정된것으로서기초자산가격변화에따른옵션가격변화라는직접효과만반영한 것이다. 실제시장에서는기초자산가격변화에따라변동성도변화하며이러한효과가옵션가격변 1
화에도영향을주게된다. 델타헤징에러의첫번째요소가피할수없는이유라면두번째이유는 Black-Scholes모형보다시장에부합하는모형을사용하여해결할수있다. 옵션가격결정모형에대해서는심도있는연구가많이진행되어왔으나, Black-Scholes모형이외의 모형을사용하여헤징성과에대한연구는그리많지않다. Black-Scholes모형의가장큰문제점이라고 지적되는 일정한 변동성 문제에 초점을 맞춘 확률 변동성 모형(stochastic volatility models)을 이용하여 헤징 성과를 연구한 논문으로는 Bakshi 외(1997, 2000)[6] [7], Nandi (1998)[8], Lim 과 Gui (2000)[9], 그리고 Kim과 Kim (2004)[10] 이 있다. 반면에 Dumas 외(1998)[11], Engle 과 Rosenberg (2000)[12], Coleman외(2000)[13], Lim과Zhi (2002)[14],그리고 Yung과Zhang (2003)[15]은결정된변동성모형 (deterministic volatility models)을 이용하여 헤징 성과를 연구하였다. 이들의 연구 결과에 따르면 확률 변동성모형의경우가격결정에관해서는 Black-Scholes모형보다우수한결과를보여주나헤징성과에 대해선심외가격옵션의경우를제외하곤 Black-Scholes모형보다더좋은결과를보장해주지않음을 시사했다.결정된변동성모형을이용한 Dumas외(1998)와Yung, Zhang(2003)[16]의연구결과에서는 Black-Scholes 모형이 헤징 성과에서 우수함을 보였다. 한편으로 Coleman 외 (1999, 2000)[13], Vähämaa (2004)[17]는 반대로 결정된 변동성 모형(local volatility models 사용)이 Black-Scholes 모형보다 헤징 성과에서 우수하다고 발표했다. 본논문은델타헤징성과를높이는데주안점을두고.지금까지의단순한헤징성과와모형의관계 에대한연구를넘어, Derman (1999)[5]의방법론을바탕으로내재변동성의구간을나누고각구간에서 헤징 성과가 가장 좋은 모형에 대해 조사하러 한다. Sticky-Stike Rule, Sticky-Delta Rule, Sticky-Implied- Tree Model구간의특징에적합한가격결정모형들을선택하였고, S&P 500지수옵션시장자료를 이용하여 실증분석하고자 한다. 여기에 내재변동성의 구간과 만기와의 관계, 내재변동성의 구간과 행사가격과의관계에따라헤징성과가우수한모형이어떤것인지에대해분석하고자한다. 2
제 2 장 본론 2.1 내재변동성의 구간 서론에서언급한바와같이 1987년주식시장의대폭락이후,세계의주식시장은행사가격이증가 함에 따라 감소하는 음의 변동성 왜도(negative volatility skew)를 띈다. 그림 (2.1), (2.2), (2.3), (2.4)는 이러한시장의변동성왜도를변동성표면으로나타낸것이다.여기서변동성표면(volatility surface) 1 시장자료가있는옵션의내재변동성은시장가격으로부터직접계산하였고나머지옵션의내재변동성은 OptionMetrics Manuall[19]의 가우시안 커널(Gaussian Kernel)을 이용하여 계산하였다. 변동성 표면은 임의의행사가격과만기를갖는옵션의가격을결정하는데이용되는적절한변동성을구하기위해 행사가격과변동성미소와변동성기간구조를결합한것이다. Figure 2.1: 2007년 10월 4일 S&P 500지수변동성표면 Implied Volatility Surface Implied Volatility σ(t,m) 0.35 0.3 0.25 0.2 0.15 1200 1400 Strike Price K 1600 300 200 Expiry T (days) 100 Figure 2.2: 2008년 8월 13일 S&P 500지수변동성표면 Implied Volatility Surface 0.5 Implied Volatility σ(t,m) 0.4 0.3 0.2 600 800 1000 1200 1400 1600 Strike Price K 300 200 Expiry T (days) 100 그림 (2.1), (2.2), (2.3), (2.4)에서와 같이 왜도의 변화는 언제나 행사가격이 등가격으로부터 선 형적으로멀어진다고할수있다. 등가격옵션은보통유동성이좋아,이를이용해변동성의수준을 1 변동성표면은 Black-Scholes모형으로계산된내재변동성을보여준다. 3
Figure 2.3: 2009년 6월 12일 S&P 500지수변동성표면 Implied Volatility Surface 0.7 Implied Volatility σ(t,m) 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 600 800 100 1000 Strike Price K 1200 300 200 Expiry T (days) Figure 2.4: 2010년 2월 4일 S&P 500지수변동성표면 Implied Volatility Surface 0.3 Implied Volatility σ(t,m) 0.25 0.2 900 1000 1100 200 100 Strike Price K 1200 300 Expiry T (days) 측정하는데쉽게사용된다. 그림 (2.5)은 S&P 500지수와만기가 3개월인 S&P 500옵션의등가격내 재변동성과의관계를 2007년 6월 1일부터 2010년 10월 30일까지나타낸것이다.그림 (2.5)를살펴보면 지수(index)와내재변동성의움직임이음의상관관계가있음을알수있다. Derman (1999)[5]은 주가지수의 움직임과 등가격 옵션의 내재변동성, 고정된 행사가격의 내재변동 성을종합해서분석한다면보다깊은구조를이해할수있음을보였다.그의분석방법에따라서 2007 년 6월 1일부터 2010년 10월 30일까지 S&P 500지수의움직임과내재변동성의움직임을그림 2.6, 2.7, 2.8, 2.9로나타냈다. 2 등가격옵션의움직임,고정된행사가격을가진옵션의움직임과 S&P 500지수의움직임을바탕 으로 Derman (1999)[5]은 시장을 3개의 구간으로 분류하였다. 각 구간은 Alexander (2001)[20]의 표현에 따르면다음과같다. 1. 안정구간 (range-bounded) : 이구간은미래의주가의움직임이특정한값에제한되어있고, 내재변동성의특별한변화는없다. 2. 추세구간 (trending) :이구간은미래의주가의변화가있으나흐름을가지고안정적으로변화한 다. 내재변동성도 조금씩 장기적으로 변화한다. 2 고정된만기를가지는옵션은시장에존재하지않는다.고정된만기를가지는옵션의내재변동성은각날짜의변동성표면을 통해 보간(interpolate)하여 구한 값이다. 4
Figure 2.5: 2007년 6월 1일부터 2010년 10월 30일까지 S&P 500지수와만기가 3개월인 S&P 500옵션의 등가격 내재변동성과의 관계 INDEX VS. ATM T = 90(days) Level 1500 1400 1300 1200 1100 1000 900 800 700 07 Jun 15 07 Sep 15 07 Dec 15 08 Mar 15 08 Jun 15 08 Sep 15 08 Dec 15 09 Mar 15 09 Jun 15 09 Sep 15 09 Dec 15 10 Mar 15 10 Jun 15 10 Sep 15 0.6 0.55 0.5 0.45 0.4 0.35 0.3 0.25 0.2 0.15 Implied Volatility 3. 점프구간 (jumpy) : 이구간은미래의주가의움직임에큰등락이있을확률이높다. 그러므로 내재변동성도 크게 증가하는 구간이다. Derman (1999)[5]의모형은왜도를행사가격에대해선형으로근사시킨모형이다.그는이와같은 선형함수가시장의구간(regimes of volatility)에따라달라진다고가정하였다. Σ K (τ)를만기가 τ이고 행사가격이 K인옵션의내재변동성으로, Σ ATM (τ)를만기가 τ인등가격옵션의내재변동성이라고정 의했다. S는현재지수(index)의값, σ 0 와 S 0 는각각초기내재변동성과초기지수(index)로두고이항 분포수(binomial trees) 모형을 만들어서 설명을 하였다. 5
Figure 2.6: 2007년 S&P 500지수옵션의내재변동성 1600 1500 1400 1300 1200 1100 1000 900 800 700 600 07 Jun 15 07 Jul 15 07 Aug 15 07 Sep 15 07 Oct 15 07 Nov 15 07 Dec 15 INDEX 07 Jun 15 07 Jul 15 07 Aug 15 07 Sep 15 07 Oct 15 07 Nov 15 07 Dec 15 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 Level Implied Volatility Three Month Implied Volatilities of SPX Options during 2007 ATM 1100 1200 1300 1400 1500 1600 1700 6
Figure 2.7: 2008년 S&P 500지수옵션의내재변동성 1600 1500 1400 1300 1200 1100 1000 900 800 700 600 08 Jan 15 08 Feb 15 08 Mar 15 08 Apr 15 08 May 15 08 Jun 15 08 Jul 15 08 Aug 15 08 Sep 15 08 Oct 15 08 Nov 15 08 Dec 15 INDEX 08 Jan 15 08 Feb 15 08 Mar 15 08 Apr 15 08 May 15 08 Jun 15 08 Jul 15 08 Aug 15 08 Sep 15 08 Oct 15 08 Nov 15 08 Dec 15 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 Level Implied Volatility Three Month Implied Volatilities of SPX Options during 2008 ATM 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300 1400 1500 1600 7
Figure 2.8: 2009년 S&P 500지수옵션의내재변동성 1600 1500 1400 1300 1200 1100 1000 900 800 700 600 09 Jan 15 09 Feb 15 09 Mar 15 09 Apr 15 09 May 15 09 Jun 15 09 Jul 15 09 Aug 15 09 Sep 15 09 Oct 15 09 Nov 15 09 Dec 15 INDEX 09 Jan 15 09 Feb 15 09 Mar 15 09 Apr 15 09 May 15 09 Jun 15 09 Jul 15 09 Aug 15 09 Sep 15 09 Oct 15 09 Nov 15 09 Dec 15 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 Level Implied Volatility Three Month Implied Volatilities of SPX Options during 2009 ATM 550 650 750 850 950 1050 1150 1250 8
Figure 2.9: 2010년 S&P 500지수옵션의내재변동성 1600 1500 1400 1300 1200 1100 1000 900 800 700 600 10 Jan 15 10 Feb 15 10 Mar 15 10 Apr 15 10 May 15 10 Jun 15 10 Jul 15 10 Aug 15 10 Sep 15 10 Oct 15 INDEX 10 Jan 15 10 Feb 15 10 Mar 15 10 Apr 15 10 May 15 10 Jun 15 10 Jul 15 10 Aug 15 10 Sep 15 10 Oct 15 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 Level Implied Volatility Three Month Implied Volatilities of SPX Options during 2010 ATM 900 950 1000 1050 1100 1150 1200 1250 9
2.1.1 안정 구간 현재주어진왜도에대한한가지설명으로,주가가움직일때고정된행사가격을가진옵션들이 처음의내재변동성을유지하는경우를이야기할수있다.옵션의로컬변동성(local volatility)이옵션의 행사가격에일정하기때문에이를 Sticky-Strike Rule 이라고한다.물론이와같은상황이계속되리라 볼수없다. 이와같은해석은주가의변화와내재변동성의관계에대한가장단순한해석으로볼수 있다. Sticky-Strike Rule은다음과같이표현할수있다. Σ K (τ) = σ 0 b(τ)(k S 0 ) (2.1) 식 2.1은어떤 S에도성립하기때문에고정된행사가격을가지는옵션의내재변동성 Σ K (τ)는 S와 독립이므로지수(index)의변화에고정된행사가격의내재변동성은변하지않는다. 식??에 K에 S를 대입하면등가격옵션의내재변동성을구할수있다. Σ ATM (τ) = σ 0 b(τ)(s S 0 ) (2.2) 그러므로등가격옵션의내재변동성은지수(index)가증가할때감소함을알수있다. Derman (1999)[5] 은안정구간(Sticky- Strike Rule)에서각옵션은고유의이항분포수(binomial trees)모형을가지고 있으며, 이 이항 분포수는 변동성이 일정하고 행사가격에 결정된다고 가정했다. 지수(index)가 증가하 더라도동일한이항분포수가옵션의가격을결정하는데사용된다. 직관적으로 봤을 때, Sticky-Strike Rule은 Black-Scholes 모형을 유지하러는 시도(일정한 변동성) 라고할수있다. Table 2.1:안정구간에서변동성의움직임 성질 고정된 행사가격 변동성 등가격 변동성 델타 모습 지수(index)의 움직임과 독립 지수(index)가 증가할 때 감소 = BS : Black-Scholes모형을이용한델타 2.1.2 추세 구간 추세구간에서왜도는다음과같이표현할수있다. Σ K (τ) = σ 0 b(τ)(k S) (2.3) 이구간에서고정된행사가격을가지는옵션의내재변동성 Σ K (τ)은지수(index)가증가함에따라같이 증가할것이다.한편등가격옵션의내재변동성은지수(index)의움직임과무관하다. Σ ATM (τ) = σ 0 (2.4) 그러므로 지수(index)가 증가하더라도 등가격 옵션의 내재변동성은 일정한 값을 가진다. 이와같은추세구간을 Sticky-Delta Rule 이라고하는데,그이유는옵션의로컬변동성(local volatility)이 옵션의 머니니스(moneyness) K/S (또는 같은 의미로 델타)에 일정하기 때문이다. 즉, 옵 션의머니니스가이항분포수모형의로컬변동성을결정한다.예를들어지수(index)가 10증가할때, 행사가격이 10증가한다면같은가격결정분포수모형을사용하게되지만,지수(index)가 10증가할때, 행사가격이같은옵션이라면다른가격결정분포수모형을사용한다.지수(index)가움직이면옵션의 델타도변하게되고델타에따라다른이항분포수모형을이용해서옵션의가격이결정된다. 10
Table 2.2:추세구간에서변동성의움직임 성질 고정된 행사가격 변동성 등가격 변동성 델타 모습 지수(index)가 증가할 때 증가 지수(index)의 움직임과 독립 > BS : Black-Scholes모형을이용한델타 2.1.3 점프 구간 점프구간에서왜도는다음과같이표현된다. Σ K (τ) = σ 0 b(τ)(k +S)+2b(τ)S 0 (2.5) 이구간에서고정된행사가격을가지는옵션의내재변동성 Σ K (τ)은지수(index)가증가하면감소하고, 지수가(index)가 감소하면 증가한다. 등가격 옵션의 내재변동성은 Σ ATM (τ) = σ 0 2b(τ)(S S 0 ), (2.6) 으로 주어지므로 등가격 옵션의 내재변동성도 지수(index)가 증가하면 감소하고, 지수가(index)가 감소 하면증가한다. 중요한사실은고정된행사가격을가지는옵션의내재변동성보다 2배빨리변한다는 것이다. 이구간에서는더이상가격결정분포수모형의로컬변동성이일정한모양또는간격이아 니다. 안정구간과추세구간과는다르게모든옵션에대해서현재의변동성왜도로결정된유일한 가격결정분포수모형이존재하며이모형으로옵션의가격이결정된다.이구간은유일하게주어지는 이항 분포수 모형에 고정되어 있기 때문에 Sticky-Implied-Tree Model 이라고 한다. 여기서 유일하게 주어지는 내재다항모형은 Derman 과 Kani (1994)[21]가 구현했으며, 본 논문에서도 사용되었다. Table 2.3:점프구간에서변동성의움직임 성질 고정된 행사가격 변동성 등가격변동성 델타 모습 지수(index)가 증가할 때 감소 지수(index)가증가할때2배빠르게감소 < BS : Black-Scholes모형을이용한델타 2.1.4 정리 안정구간,추세구간,점프구간에대한특징들을정리하면다음과같다. Table 2.4:모형들의특징 불변 고정된 행사가격의 변동성 등가격 옵션의 변동성 델타 행사가격 지수에독립 지수가증가하면감소 = BS 델타 지수가증가하면증가 지수에독립 > BS 내재다항(Implied tree) 지수가증가하면감소 지수가증가하면두배로감소 < BS 본논문에서는표2.4와같은특성을바탕으로안정구간,추세구간,점프구간을조사할것이다. 11
2.2 사용된 모형 내재변동성의구간을나눈뒤,각구간에따라최고의델타헤징성과를보이는모형을찾는것이 본논문의주목적이다.이장에서는델타를추정하는데사용된총8가지의모형에대한간략한소개와 가격결정식이있는모형의경우에는가격결정식을나타내었다. 모형에대한설명은각모형개발자의 논문과 J.C. Hull(2009)[18]를 참고하였다. 2.2.1 Black-Scholes 모형 F. Black과 M. Scholes에 의해 발표된 Black-Scholes(1973)[1] 모형은 유럽형 바닐라 옵션을 계산하는 공식으로널리알려져있다. 이모형은기초자산수익률의변동성을제외하고는대부분의모수가관 측가능하다는점과단순하면서도모형이갖는경제적의미의명료함때문에이론적으로나실무적으로 많이활용되고있다. Black-Scholes모형의주가변화과정은다음과같다. ds = rsdt+σsdz (2.7) 여기서 r은무위험이자율, σ는기하브라운운동의변동성, dz는위너과정(wiener process)을의 미한다. 무배당주식에 대한 유러피언콜옵션과 풋옵션의 현재시점에서의 가치를 구하는 Black-Scholes 옵션가격공식은 다음과 같다. c = S N (d 1 ) Ke rt N(d 2 ) (2.8) p = Ke rt N( d 2 ) SN( d 1 ) (2.9) 단, d 1 d 2 = ln(s/k)+(r +σ2 /2)T σ T = ln(s/k)+(r σ2 /2)T σ T = d 1 σ T (2.10) 이다.여기서함수 N(x)는누적정규분포함수이다.이는표준정규분포 φ(0,1)를따르는변수가 x보다 작을확률이다. c와 p는유러피언콜옵션과풋옵션가격, S는현재시점에서의주가, K는행사가격, r은 무위험이자율(연속복리), T는만기, σ는주가의변동성이다. Black-Scholes모형의여러가지단점에도불구하고,내재변동성을통해추정된델타를이용한델 타헤징전략의경우다른모형을이용한델타헤징성과보다뒤쳐지지않거나보다우수하다는연구 결과가있기에본논문에서도다른모형들의결과와기본적으로비교대상이되는모형이다.[11][15] 2.2.2 CEV 모형 Black-Scholes 모형을 대체할 수 있는 모형 중 하나는 CEV(constant elasticity of variance) 모형이다. 이모형은주가 S의위험중립확률과정이다름과같은확산과정을따르게되는경우이다.[30] ds = rsdt+σs α dz (2.11) 여기서 r은무위험이자율, dz는위너과정, σ는변동성,그리고 α는양의상수이다. α = 1인경우 CEV모형은지금까지이용해온기하브라운운동이된다. α < 1인경우에는주가가 감소함에따라변동성이증가하게된다. 이경우의확률분포는두터운왼쪽꼬리와덜두터운오른쪽 꼬리를갖는주가의실제확률분포와유사하게된다. α > 1인경우에는주가의증가에따라서변동성이 12
증가하게된다. 이는두터운오른쪽꼬리와덜두터운왼쪽꼬리를갖는확률분포를의미한다. 이경 우는내재변동성이행사가격의증가함수인변동성미소와일치하는경우라고할수있는데,이와같은 유형의변동성미소는선물옵션의경우가끔관찰할수있다. CEV모형에서 0 < α < 1인경우유러피언콜업션과풋옵션의가치평가모형은다음과같다. c = Se qt [1 χ 2 (a,b+2,c)] Ke rt χ 2 (c,b,a). (2.12) p = Ke rt [1 χ 2 (c,b,a)] Se qt χ 2 (a,b+2,c). (2.13) α > 1인경우유러피언콜옵션과풋옵션의가치평가모형은다음과같다. c = Se qt [1 χ 2 (c, b,a)] Ke rt χ 2 (a,2 b,c). (2.14) p = Ke rt [1 χ 2 (a,2 b,c)] Se qt χ 2 (c, b,a). (2.15) 이때a, b, c는각각다음과같다. a = [Ke (r q)t ] 2(1 α) (1 α) 2, b = 1 ν 1 α, c = S2(1 α) (1 α) 2 ν. (2.16) ν = σ 2 2(r q)(α 1) [e2(r q)(α 1)T 1] (2.17) χ 2 (z,k,ν)는비중화모수 ν,자유도 k인비중심카이제곱(noncentral chi-square)분포를하는확률변수가 z보다적은값을가질누적확률을의미한다. 이와같은 CEV모형은특히이색주식옵션의가치평가에유용하다.모형의모수들은기본형옵션 의모형가격과시장가격의차이제곱합을최소화시킴으로써추정할수있다. 2.2.3 Merton 모형 Merton (1976)[24]은 자산가격의 연속적인 변동과 점프가 결합된 모형을 제시하였다. 모형에서사용되는모수들은다음과같이정의된다. λ :점프의연평균횟수 k:주가백분율로측정한점프의평균크기 이때점프의크기는모형내의확률분포로부터추출되는것으로가정한다. t기간동안점프가발생할확률은λ t이다.따라서점프에서발생하는자산가격의평균증가율은 λk가된다.그러므로자산가격의위험중립확률과정은다음과같다. ds = (r λk)sdt+σsdz +Sdp. (2.18) 여기서 dz는 위너과정(Wiener process), dp는 점프를 생성하는 포아송과정(Possion process), σ는 기하 브라운운동의변동성을의미한다. dz와 dp는서로독립적인과정으로가정한다. Merton모형의특별한경우로서백분율점프의로그값이정규분포를이루는경우를들수있다. 이 정규분포의 표준편차가 s라고 가정하였을 때, Merton은 유러피언 옵션(European option)의 가격은 다음과 같음을 증명하였다. Σ n=0 e λ T (λ T) n f n. (2.19) n! 13
여기서 λ = λ(1+k)이다.이때 f n 은배당수익률 q,분산율과무위험이자율이각각다음과같은경우의 Black-Scholes 옵션가격이다. 여기서 γ = ln(1+k)이다. σ 2 + ns2 T r λk + nγ T. (2.20) 이모형은 Black-Scholes모형의경우보다왼쪽꼬기와오른쪽꼬리가두터운분포를내포하게된 다.따라서통화옵션의가치평가에적합하다고할수있다. CEV모형의경우와마찬가지로이모형의 모수들도모형가격과시장가격의차이의제곱합을최소화시키는값을선택하여추정하여사용한다. 2.2.4 Heston 모형 Black-Scholes모형은변동성이일정한것으로가정하고있다. 그러나실제로는변동성이신간에 따라변동한다. 확률적변동성모형은변동성이일정하지않고확률과정을따른다고가정한모형으로 주로많이쓰이는모형은 Heston모형이다. Heston (1993)[25]은 주가의 확률과정을 다음과 같이 가정하였다. ds = rsdt+ VSdW 1 (2.21) dv = κ(σ V)dt+σ VSdW 2 (2.22) dw 1 dw 2 = ρdt (2.23) 여기서 S와 V는각각주가,변동성과정(volatility processes)이고, W 1 는주가와관련된위너과정이고, W 2 는변동성과관련된위너과정으로상관계수(correlation parameter) ρ로서로상관되어있다. V t 는 주가의분산비율(변동성의제곱)로서 κ의속도로장기평균 θ수준으로회귀하는과정(square root mean reverting process)을 따른다. 마지막 σ는 변동성의 변동성이다. 여기서, Heston 모형의 가격결정식은 다음과 같다. P j (x,v,t,k) = 1 2 + 1 π x = ln(s) C(S,V,t,T) = SP 1 Ke r(t t) P 2 (2.24) 0 Re ( e iφln(k) f j (x,v,t,φ)) dφ iφ f j (x,v,t,φ) = exp{c(t t,φ)+d(t t,φ)v +iφx} C(T t,φ) = rφir + a [ (bj σ 2 ρσφi+d ) τ 2ln ( 1 ge dr ) ] D(T t,φ) = b ( ) j ρσφi+d 1 e dr σ 2 1 ge dr 1 g g = b j ρσφi+d b j ρσφi d d = (ρσφi b j ) 2 σ 2 (2u j φi φ 2 ) (2.25) 이고 j = 1,2, u 1 = 1 2, u 2 = 1 2, a = κθ, b 1 = κ+λ ρσ, b 2 = κ+λ (2.26) 를이용하여구할수있다. 14
다른 방법으로는 FFT(fast fourier transform)을 사용한 방법이 있다. Carr와 Madan (1999)[28]는 다음과 같이 유럽형 콜옵션을 계산하였다. C T (k u ) e αku π N e i2π N (j 1)(u 1) e ibvj F ct (v j ) η 3 (3+( 1)j δ j 1 ) (2.27) j=1 여기서, v j = η(j 1) η = c N c = 600 N = 4096 b = π η 이고, k u = b+ 2b (u 1),u = 1,2,...,N +1 (2.28) N F ct (φ) = e A(φ)+B(φ)+C(φ) A(φ) = iφ(x 0 +rt) B(φ) = C(φ) = κθ σ 2 2ζ(φ)(1 e ψ(φ)t )V 0 2ψ(φ) (ψ(φ) γ(φ))(1 e ψ(φ)t ) [ ( 2ψ(φ) (ψ(φ) γ(φ))(1 e ψ(φ)t) 2log ζ(φ) = 1 2 (φ2 +iφ) ψ(φ) = γ(φ) 2 2σ 2 ζ(φ) 2ψ(φ) ) ] +(ψ(φ) γ(φ))t γ(φ) = κ ρσφi (2.29) 이다. 2.2.5 Variance-Gamma 모형 순수점프모형의한예로서분산-감마모형을들수있다.[27]확률변수 g가평균 1,분산 v인감 마과정을따르는변수 T기간동안의변화라고정의하여보자.감마과정은작은크기의점프가자주 발생하고큰크기의점프도가끔발생하는순수점프과정이다. g의확률밀도함수는다음과같다. Γ()는 감마함수를 나타낸다. φ(g) = gt/ν 1 e g/ν ν T/ν Γ(T/ν). (2.30) 이제 S T 를시점 T에서의자산가격, S 0 를현재시점의자산가격, r을무위험이자율, q를배당수익률 로정의하여보자.분산-감마모형에서는 lns T 가위험중립세계에서 g의조건부정규분포를나타낸다. 조건부 평균은 lns 0 +(r q)t +ω +θ 0 (2.31) 이고조건부표준편차는 σ g (2.32) 15
가되는데이때 ω는다음과같다. ω = 1 ν ln(1 θν σ2 ν 2 ) (2.33) 분산-감마모형에는 ν, σ, θ,총세개의모수가있다. 모수 ν는감마과정의분산율이고, σ는변동성, θ 는왜도를나타내는모수이다. θ = 0인경우 lns T 의확률밀도함수는대칭이되고, θ < 0인경우에는 (주식의경우에서처럼)음의왜도를, θ > 0인경우에는양의왜도를갖는다. 분산-감마 모형의 근사적 옵션가치평가 공식은 P. Carr 와 D.B. Madan (1999)[28]를 참고하여 FFT(fast fourier transform)를 이용해 계산하였다. 분산-감마 모형에서 lns의 특성 함수(characteristic function)는 다음과 같다. φ T (u) = exp(ln(s +(r +ω)t)(1 iθνu+ σ2 u 2 ν ) T ν (2.34) 2 ψ T (u) = e rt φ T (v (α+1)i) α 2 +α v 2 i (2α+1)v (2.35) 특성함수를식2.35에넣고다시식2.27에함수 F CT 대신대입하면분산-감마모형의가격을구할 수있다.여기서 α = 1.65을대입하였다. 2.2.6 Derman-Kani-Chriss Implied Tree 모형 지금까지소개한모형들의경우에는특정시점에서의가치평가결과가기본형옵션의시장가격과 개략적으로일치하도록모수들을선택하게된다.그런데종종금융기관들은한단계더나가기본형옵 션의 시장가격과 정확히 일치하는 모형을 사용하기를 원하기도 한다. 1994년도에 Derman과 Kani[21], Dupire[29], Rubinstein[3]등은이러한목적에맞게설계된모형을개발하였다.이후이모형은내재변동 성 함수 모형(implied volatility function, IF model) 또는 내재다항모형(implied tree model)으로 불리게 되었다. 이모형은변동성미소의형태와관계없이특정한시점에관찰된유러피언옵션의시장가격과 정확하게 일치하는 모형이다. 이모형에서주가의위험중립과정은 ds = r(t)sdt + σ(s, t)sdz (2.36) 와같은형태를갖는데 r(t)는시점 t가만기인선도계약에대한순간선도이자율이다. 변동성을나 타내는 σ(s,t)는 S와 t의함수인데이ivf모형에의한유러피언옵션가치가시장가격과일치하도록 선택하게 된다. Dupire(1994)[29]와 Andersen and Brotherton-Ratcliffe(Winter 1997/98)[30] 등은 σ(s, t) 계산을위한다음과같은공식을개발하였다. C mkt [σ(k,t)] 2 T +q(t)c mkt +K[r(T) q(t)] C mrk K = 2 K 2 ( 2 c mkt K ) 2 (2.37) 여기서 c mkt (K,T)는행사가격이 K이고,만기가 T인유러피언콜옵션의시장가격을나타낸다. 옵션시장에서유러피언콜옵션의가격을충분히확보할수있는경우에는위의식을이용하여 σ(s,t) 를추정할수있다. Andersen-Brotherton-Ratcliffe 등은 식 2.37을 암묵적 유한차분법과 함께 사용함으로써 IVF 모형을 활용하였다. 이러한 기법의 대안으로는 Derman-Kani와 Rubinstein이 제안한 내재다항과정 기법이라는 것이있는데이것은옵션의시장가격과일치하다록주가의다항과정을구성하는방법이다.본논문에서 는 Derman(1999)[5]의 연구를 기초로 두고 있으며, Sticky-Implied Tree Model 적용을 위하여, Derman 과 Kani (1994)[21]의 모형을 선택하였다. 실제 델타 추정에 사용된 모형은 Derman과 Kani(1994)[21] 모형에서 확률이 음수이거나 1보다 커지는 문제점을 보강한 Derman, Kani, Chriss(1996)[22]의 내재삼 항분포(Implied Trinomial Trees)모형을이용하였다.여기서계산과정의시간간격은 1일로뒀다. 16
2.2.7 SABR 모형 앞에서 설명한 Derman-Kani의 Implied Tree 모형과 같은 로컬 변동성 모형들은 자기완전성(selfconsistent)를 가지고 있으며, 차익거래가 일어나지 않으며(arbitrage-free), 정확하게 시장의 변동성 미소 와왜도와일치한다.이러한로컬변동성모형들은변동성미소와왜도를관리하는데가장널리알려진 방법들이다. 그러나로컬변동성모형의경우엔다항모형(tree model)이기때문에확률적변동성모 형에대한계산이필요할때는몬테카를로시뮬레이션을이용해야되는계산상의단점이있다. 그리고 가장큰문제점으로지적되는것은로컬변동성모형이예측하는왜도의움직임이시장지수의움직 임과반대인점이다. 실제시장에서는변동성의왜도와시장지수는같은방향으로움직인다. 이러한 문제점을해결한로컬변동성모형으로등장한것이 SABR모형이다. SABR(Stochastic Alpha Belta Rho) 모형은 Hagan 외(2002)[31]이 개발했으며 다음과 같은 확률 과정을 따른다. ds = αs β dw 1 (2.38) dα = ναdw 2 (2.39) dw 1 dw 2 = ρdt (2.40) 여기서 S와 α는확률과정을따르는변수들이고, β, ρ와 ν는그렇지않다. α는변동성은아니지만등가격변동성과연관성이있는변동성과비슷한변수이다. 상수 ν는변동성 의변동성으로변동성의시간에대한군집성을보여준다. 변수 β [0,1]는 S와등가격변동성과의 관계를나타낸다. β가 1에가까운값을가지면정규분포모형에가까워지고, 0에가까운값을가지면 로그정규분포 모형에 가까워지는 확률과정을 나타낸다. SABR의 가격결정식은 다음과 같다.[32] ( ( ) (1 β) α 1+ 2 α 2 24 + 1 ρβνα (SK) 1 β 4 + 2 3ρ2 (SK) (1 β)/2 24 ν )τ 2 z σ(k,s) = [ ] (2.41) (SK) (1 β)/2 1+ (1 β)2 24 ln 2 S K + (1 β)4 1920 ln4 S χ(z) K 만약 K = S이면, σ(s,s) = z = ν α (SK)(1 β)/2 ln S K ( ) 1 2ρz +z2 +z ρ χ(z) = ln 1 ρ ( ( (1 β) α 1+ 2 24 유러피언콜옵션과풋옵션의가격은다음과같다. α 2 + 1 ρβνα S 2 2β 4 + 2 3ρ2 S 1 β ) 24 ν )τ 2 (2.42) (2.43) S 1 β. (2.44) c = SN(d 1 ) KN(d 2 ) (2.45) p = KN( d 2 ) SN( d 1 ) (2.46) 여기서, d 1,2 = ln S K ± 1 2 σ2 τ σ τ (2.47) τ = T t. (2.48) 17
2.2.8 Borland 모형 Borland 모형은 L. Borland 외(2004)[33] [34]가 개발한 모형으로, 기초자산의 리턴의 분포가 두터 운 꼬리(fat tails)와 비대칭도(skewness)를 가지는 모형이다. 이 모형은 비정규분포 모형으로 통계적 피드백(statistical feedback)을 통해 요동이 주가의 리턴을 움직이도록 제안되었다. ds = rsdt+σsdω (2.49) 여기서 dω = P(Ω) (1 q)/2 dω. (2.50) 위식을살펴보면P는Ω의확률분포인데,동시에지수(index)의Jsallisentropy[35]를최대화하는비선형 Fokker-Planck 방정식[36] 을만족한다. q값은 1 q 3의값중에서선택된다. Borland모형의유럽형콜옵션의가격결정식은다음과같다. c = S dmax d 1 P t = 1 P 2 q 2 Ω 2 (2.51) dmax (1+(1 α)x(t )) 1/(1 α) P q (Ω T )dω T e rt K P q (Ω T )dω T (2.52) d 1 여기서 P q = 1 Z(T ) (1+(q 1)β(T )Ω 2 (T )) 1/(q 1), (2.53) x(t ) = σω T ασ2 2 A(T )+B(T )Ω T +C(T )Ω 2 T 1+D(T, (2.54) )Ω T 이고, t = e2(α 1)rt 1 2(α 1)r, (2.55) A = g 0 (q 1)+ 3 q 2 γ, B = AD ηg 1, C = (q 1) g 1 η D, D = g 2 (q 1) [(q 1)/η]g 1 +ηg. (2.56) 1 여기서 g 0 3 q = γ(u) 2(9 5q), (2.57) g 1 = γ(u) 3 q 4, (2.58) g 2 = 1 9 5q, (2.59) g 1 = 1 2(2 q), (2.60) γ(u) = ((3 q)(2 q)c q ) (q 1)/(3 q) u 2/(3 q). (2.61) 적분의 범위는 d 1,2 = N N 2 4MR, (2.62) 2M 18
이다. N = D (Ke rt /S) 1 α 1 +σ B ασ2 1 α 2, (2.63) M = C ασ2 2 R = (Ke rt /S) 1 α 1 1 α σd, (2.64) +A ασ2 2 (2.65) d 2 > d 1 을만족할때, d 1 은언제나두개의근중에작은근이고, d max 의값은d 2 가된다.그이외에는 d max 는무한대이다. Borland모형의특별한경우로 q값이 1일때CEV모형이된다. 2.2.9 풋-콜 패리티(Put-Call parity) Black-Scholes모형이나 CEV모형처럼유럽형콜옵션과풋옵션의가격결정식이있는경우에는델 타를추정하는데다른작업없이사용가능하지만콜옵션의가격결정식만있는모형의경우에는풋-콜 패리티(Put-Call parity)를사용하면쉽게풋옵션의가격을구할수있다.풋-콜패리티는다음과같다. S t +P t = C t + K (1+r) T t (2.66) 여기서 S t, P t, C t 는각각 t시점에서주가와풋옵션,콜옵션의가치이다. r은무위험이자율이고, K는 행사가격이다. 식 2.66를설명하기앞서,기초자산과만기,행사가격이동일한유럽형풋옵션과콜옵션을가정 한다. 좌변은 Protective Put 이라고 불리는 포트폴리오이며, 현물 주식 1주와 함께 주가 하락의 위험을 헤지하기 위해 풋옵션 1계약을 매입한 포트폴리오이다. 우변은 Fiduciary Call 이라고 불리는 포트폴리오이고,콜옵션 1계약을매입하고,만기시행사가격의현재가치만큼무위험자산에투자한 포트폴리오이다. 위의두포트폴리오의만기시payoff는어느경우에나동일하다.동일한위험과동일한현금흐름을 가지는두포트폴리오의현재가치는같다.따라서풋-콜패리티가성립한다. 그러므로모형을이용한풋옵션의가격은콜옵션가격결정식을이용하여구할수있다. P t = C t + K (1+r) T t S t (2.67) 풋-콜패리티를이용하여변동성미소가콜옵션과풋옵션에동일함을증명할수있다. p BS 와C BS 를각각특정한변동성에기초하여Black-Scholes모형으로계산한유러피언풋옵션과콜옵션 의가치라고가정하자.그리고p mkt 와C mkt 를각각이옵션들의시장가격이라고가정하자.Black-Scholes 모형으로계산한가격간에풋-콜패리티가성립해야하므로다음식이성립한다. p BS +S = C BS +Ke rt (2.68) 차익거래기회가존재하지않으면풋-콜패리티는시장가격에대해서도성립한다. 위의두개의식으로부터다음관계가도출된다. p mkt +S = C mkt +Ke rt (2.69) p BS p mkt = C BS C mkt (2.70) 이식에의하면 Black-Scholes모형을이용하여유럽형풋옵션을평가할때발생하는금액기준의가 격오차는동일한행사가격과만기를갖는유러피언콜옵션을평가할때발생하는가격오차와정확히 일치해야 한다. 19
풋옵션의 내재변동성을 10%라고 가정하자. 이는 변동성 10%를 Black-Scholes 모형에 사용하면 p BS = p mkt 임을의미한다. 식 2.70에서이변동성을사용하면 c BS = c mkt 의관계가성립한다. 그러므 로콜옵션의내재변동성도 10%이다.결론적으로유러피언콜옵션의내재변동성은행사가격과만기가 동일한유럽형풋옵션의내재변동성과항상같아야한다.다시말해서주어진행사가격과만기에대하 여, Black-Scholes모형에서유럽형콜옵션의가치를평가하는데사용해야할변동성은유럽형풋옵션의 가치를평가하는데사용해야하는변동성과항상같아야한다. 이는변동성미소도콜옵션과풋옵션의 경우동일함을의미한다. 3 2.2.10 모형의 모수 추정(Calibration) 앞에서설명한모형들을이용하여가격결정을하기앞서,각모형들의모수를추정하여야한다.각 모형들의모수를추정하는데주로사용되는방법은모형의가격과시장가격과의오차를최소화하는 모수를 찾아내는 방법이다. min Ω S(Ω) = min Ω Σ N i=1ω i [C Ω i (K i,t i ) C M i (K i,t i )] 2 (2.71) 여기서 Ω는모수값의벡터를의미하고, C Ω i (K i,t i )와 C M i (K i,t i )는각각행사가격이 K i,만기가 T i 인 i 번째모형으로계산한옵션가격과시장가격을의미한다. ω i 가중치이며,총N개의옵션을이용하여 하나의모수값의벡터를추정한다.예를들어 Heston모형의경우모수벡터는 κ,θ,σ,v 0,ρ,λ,총6개의 값을가지는벡터이다. 모수추정에사용된가중치는다음과같다. ω i = 1 bid i ask i. (2.72) 식 2.72는 i번째매도 1호가와매수 1호가의차이로스프레드(spread)라고불린다.가중치를스프레드로 두는이유는간단하다. 만일스프레드가커진다면모형에대입할수있는시장가격의범위가커짐을 의미하며,이는모수추정에사용되는매도가와매수가의중간값이모수추정에정확도가떨어진다고 볼수있다. 그러므로스프레드의값이작으면가중치를크게부여하고반대일경우엔가중치를작게 부여하여보다정확한모수추정을수행한다.[26] 3 그림 2.1부터그림 2.9를나타내기위한변동성표면은본문에서설명한변동성패리티를이용하여,외가격콜옵션과외가격 풋옵션 자료로 계산하였다. 20
2.3 델타헤징전략및델타헤징에러추정 델타는기초자산의가격변화에대한옵션가격의변화로정의된다. 델타는옵션가격을기초자산 가격의함수로나타내는곡선의기울기를말한다.[18]따라서거래가연속적으로일어난다고가정할때, 콜옵션을 1단위매도하고기초자산을델타수량만큼매입하면이포트폴리오의수익률은무위험이자 율과동일하다. 즉금융기관이콜옵션을매도했을떄가지게되는시장리스크(market risk)를델타 수량만큼의기초자산을매입함으로중립화시킬수있다.이러한전략을델타헤징전략이라고한다. 델타를계산할때편미분을이용한민감도는연속시간모델에근거한것으로실제민감도헤지를 수행할때이산적으로변하는시장상황과일치하지않는다.즉,편미분민감도는매우작은순간변화에 대한헤지비율을의미하므로실제시장에적용하기위해서는어느정도현실성있는변화에대한민 감도를구해야한다. 본연구에서사용한모형중에가격결정식이존재하지않는모형도있기때문에 델타를계산할때는모두근사적방법을사용했다. δ = V(S0+ S) V(S0 S). (2.73) (S0+ S) (S0 S) 여기서중요한사항은적절한증분(예: S)의크기를설정해야하는문제인데,이는헤징주기와기초자 산의틱(tick)크기등을고려하여정하는것이바람직하다.[37]여기선 S&P 500지수의 tick크기인 0.01 을 S로잡았다. 옵션의가치를 c,기초자산의가격을 S,옵션의델타를 δ라고하자. t시점에서옵션을 1단위매 도( c t )하였을때,이를복제하기위하여기초자산을델타단위만큼매입(δ t S t )하고,무위험자산을 B 단위만큼차입또는대출하면 t시점에서의델타헤징된포트폴리오 Π t 를구성할수있다. 여기서 B t 는 c t δ t S t 이다. t시점은헤징시작시점이므로 Π t = 0이다. Π t = δ t S t +B t c t. (2.74) 이제시간이경과한 t+ t시점의포트폴리오의가치 Π t+ t 는다음과같다. Π t+ t = δ t S t+ t +B t e r t c t+ t. (2.75) 여기서 t는헤징주기의시간간격이되는데,본논문에서는 1일단위헤징에러를추정하기때문에 t 는 1이다. 식 2.75에서 2.74를 차감하면, ǫ t = Π t+1 Π t = δ t (S t+1 St)+B t (e rt 1) (c t+1 c t ). (2.76) 와같이 1일헤징에러의추정치가된다. 식 2.76의의미를살펴보자. t시점에서델타의추정치가정확하여 t+1시점에서의옵션가치가델타 비율만큼변화하였다면, (c t+1 ct)와 δ t (S t+1 St)는서로상쇄되어 0이되고 B t (e rt 1)만남는다. 이말인즉슨,효과적인델타헤징을구현하면포트폴리오의가치증감인헤징에러가최소화되고이는 포트폴리오델타를중립화하여무위험상태를유지할수있게된다. 그러나 t+1시점의델타가변하기때문에식2.75의포트폴리오의복제포지션을재조정해주는과정에서 헤징에러가 계속적으로 발생한다. 각모형에대한델타추정치의델타헤징성과는에러관측에주로사용되는두가지통계량을 이용하여 분석하였다. MAHE = 1 n Σn i=1 ǫ ti (2.77) 1 RMSHE = n Σn i=1 ǫ2 t i. (2.78) 21
여기서 n은헤징성과를측정하려는표본기간의일수이다. MAHE는평균절대헤징에러(mean absolute heding error)를의미하고, RMSHE는평균제곱헤징에러 (root mean squared hedging erorr)를 의미한다. MAHE가 에러의 크기를 의미한다면 RMSHE는 에러의 변동성을의미한다.두통계량의수치가작을수록헤징성과가우수하다는것을말해준다. 헤징관리자(hedger)의주된목표가리스크를최소하는것이므로. RMSHE가주요평가요소이다. [17] 22
2.4 실증 분석 2.4.1 분석 자료 본논문에서실증분석을위해사용된자료는 2007년 6월 1일부터 2010년 10월 30일까지총857일에 해당되는 S&P (Standard & Poors s) 500 지수(index) 옵션의 거래가격이다. 본 자료는 wrds(wharton Research Data Services)을통해 OptionMetrics에서제공한자료이다. 4 S&P 500지수옵션중에유럽형 콜옵션과풋옵션의자료를사용하였다. S&P 500지수옵션은만기월의세번째금요일에만기가된다. 각옵션의거래가격은종가를이용하였고,최고매입입찰가(best ask)와최고매도입찰가(best bid)를 평균하여옵션의가치평가에사용하였다. 옵션의 가치를 평가하는데 필요한 무위험이자율은 OptionMetrics에서 제공한 미국 국채(U.S. Treasury)의 무이표채 이자율(zeo coupon interest rate)를 이용하였다. 옵션을 평가하려는 해당 날짜에 무 이표채 이자율 자료를 이용하여 보간법(piecewise cubic spline interpolation)을 사용하였다. 보간한 무위험이자율의만기와옵션의만기를일치하여옵션의가치평가에사용하였다. 실증분석을위한최종자료의선택은다음규칙을적용하였다. 1. 만기가 6일미만 180일초과하는옵션들은제외하였다. 만기일근처의급격한변동을제외하고, 유동성이풍부한옵션을이용하기위함이다. 2. 머니니스(moneyness) K/S가 0.9 미만, 1.1 초과하는 옵션들은 제외하였다. 심외가격 옵션의 경우 엔거래가거의일어나지않아옵션의가격을신뢰할수없는경우가많다. 3. 같은만기와행사가격을가진풋옵션과콜옵션의내재변동성이다르게나오는경우가발생하여, 외가격옵션만사용하였다. 외가격옵션은등가격옵션과내가격옵션에비해유동성이풍부한 장점이 있다. 4. 옵션의가격이 0.3이하인옵션들을제외하였다.옵션가격이매우낮은경우산출된내재변동성을 신뢰할수없는경우가많다. Table 2.5:분석자료의통계값 S&P 500지수 등가격옵션내재변동성(만기 90일) 평균 1163.5139 0.2614 중앙값 1126.4800 0.2375 최소값 676.5300 0.1338 최대값 1565.1500 0.6051 표준편차 0.0186 0.0848 대칭도(skewness) -0.2467 1.4350 첨도(kurtosis) 8.7253 4.5087 최종분석자료에대한통계값을표2.5가보여준다. S&P 500지수에해당되는표준편차,대칭도와 첨도는지수(index)의로그수익률에관한통계값이다.대칭도가음의값을띄고있으므로수익률의분 포는왼쪽으로긴꼬리(left-skewed)를갖게된다.이론적인정규분포의첨도가 3이다.수익률의첨도가 3보다 큰 값을 가지므로 수익률의 분포는 첨예분포(leptokurtic)한다. 앞서서그림 2.5에서보여준지수(index)와등가격내재변동성과의상관관계를표2.7가보여준다. 지수 (index)와등가격내재변동성은 1에가까운강한음의상관관계를가지고있다. 4 http://wrds-web.wharton.upenn.edu/wrds/ 23
Table 2.6: 상관관계 S&P 500지수 등가격옵션내재변동성(만기 90일) S&P 500 지수 1.0000-0.7531 등가격 옵션 내재변동성(만기 90일) -0.7531 1.0000 2.4.2 분석자료에대한내재변동성의구간 델타헤징전략을수행하기앞서본론에서소개한내재변동성의구간을나누는작업이선행된다. 다음은표2.4에따라안정구간,추세구간,점프구간의특징에따라나눈구간들을보여준다. 구간 1 (2007년 6월 1일 2007년 7월 23일) :안정구간 이구간은지수(index)의움직임이안정적이고각행사가격에해당되는내재변동성도일정하다. 그러므로 Sticky-Strike Rule 이 적합하다. 구간 2 (2007년 7월 24일 2007년 9월 19일) :점프구간 이구간은 7월 24일이후부터지수(index)가내려가면서모든내재변동성이급격히올라가는구 간이다. 이 구간은 Sticky-Implied Tree Model 이 적합하다. 구간 3 (2007년 9월 20일 2007년 11월 1일) :안정구간 지수(index)와 내재변동성 모두 안정적이다. 구간 4 (2007년 11월 2일 2007년 11월 30일) :점프구간 구간 2와비슷하게지수(index)가하락하면서폭락장에대한두려움이현실화되고내재변동성이 급하게올라가는점프구간이다. 구간 5 (2007년 12월 3일 2008년 1월 14일) :안정구간 점프 구간을 지나 지수(index)와 변동성이 안정화되었다. 구간 6 (2008년 1월 15일 2008년 3월 20일) :점프구간 지수(index)가다시급락하는장을반복하면서내재변동성이가파르게증가하는점프구간이다. 5 월 15일근방에서등가격내재변동성이급등하는특징을보인다. 구간 7 (2008년 3월 24일 2008년 7월 25일) :추세구간(안정구간) 지수(index)가꾸준히증가하다가감소하는추세구간으로,각행사가격을가지는내재변동성도 증가하다가감소하는모습을보인다.다른해석으로지수(index)와내재변동성이특정값영역에 구속되어있는안정구간으로볼수도있다. 구간 8 (2008년 7월 28일 2008년 8월 29일) :안정구간 지수(index)와내재변동성의움직임에특별한변화가없는안정구간이다. 구간 9 (2008년 9월 2일 2009년 5월 20일) :점프구간 서브프라임위기가시작된구간으로리먼브라더스의파산과함께지수(index)가급락하며최저 점을계속갱신하는시기이다.다른어느때보다도내재변동성이급등하고,등가격내재변동성은 최고치를보여주는전형적인점프구간이다. 구간 10 (2009년 5월 21일 2010년 1월 19일) :안정구간(추세구간) 서브프라임 위기에서 차츰 벗어나며 지수(index)가 서서히 증가하지만, 각 행사가격을 가지는 내재변동성은 일정한 안정된 구간이다. 등가격 내재변동성은 지수(index)의 움직임과 반대되는 24
모습을보여준다. 또다른해석으로, 지수(index)가추세를가지고증가하고있고변동성들도 조금씩증가하는추세구간으로추정된다. 구간 11 (2010년 1월 20일 2010년 2월 25일) :점프구간 지수(index)가 하락하면서 내재변동성들이 급격히 커지는 점프 구간이다. 구간 12 (2010년 2월 26일 2010년 5월 3일) :추세구간 전형적인추세구간으로,지수(index)가일정하게증가하면서각행사가격을가지는내재변동성도 일정하게증가하고등가격변동성은일정하다. 구간 13 (2010년 5월 4일 2010년 7월 9일) :점프구간 지수(index)가 급락하면서 내재변동성은 일제히 급등하는 점프 구간이다. 구간 14 (2010년 7월 12일 2010년 10월 29일) :안정구간 점프구간을지나지수(index)의움직임에도큰변화가없다가일정하게증가하지만,각행사가격 을가지는내재변동성의변화가없는안정구간이다. Table 2.7:구간별연간실현변동성 변동성 구간특징 구간 1 5.80% 안정 구간 2 9.97% 점프 구간 3 6.40% 안정 구간 4 10.58% 점프 구간 5 8.26% 안정 구간 6 11.28% 점프 구간 7 7.97% 추세(안정) 구간 8 9.70% 안정 구간 9 22.74% 점프 구간 10 7.64% 안정(추세) 구간 11 8.28% 점프 구간 12 5.09% 추세 구간 13 12.23% 점프 구간 14 7.05% 안정 25
Figure 2.10: 2007년 S&P 500지수내재변동성의구간 Implied Volatility Three Month Implied Volatilities of SPX Options during 2007 07 Jun 01 1600 07 Jul 23 07 Sep 19 07 Nov 01 07 Nov 30 INDEX 1500 1400 1300 Regime 1 Stable Regime 2 Jumpy Regime 3 Stable Regime 4 Jumpy 1200 1100 1000 900 800 700 600 07 Jun 01 07 Jul 23 07 Sep 19 07 Nov 01 07 Nov 30 Regime 5 Stable 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 ATM 1100 1200 1300 1400 1500 1600 1700 Level 26
Figure 2.11: 2008년 S&P 500지수내재변동성의구간 1600 1500 1400 1300 1200 Three Month Implied Volatilities of SPX Options during 2008 08 Jan 14 08 Mar 20 08 Jul 25 08 Aug 29 08 Dec 31 INDEX 0.6 0.5 Implied Volatility 0.4 0.3 0.2 Regime 6 Jumpy Regime 7 Trendy(Stable) Regime 8 Stable Regime 9 Jumpy 0.1 1100 08 Jan 14 08 Mar 20 08 Jul 25 08 Aug 29 08 Dec 31 ATM 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300 1400 1500 1600 27 1000 900 800 700 600 Level
Figure 2.12: 2009년 S&P 500지수내재변동성의구간 Three Month Implied Volatilities of SPX Options during 2009 09 Jan 02 1600 09 May 20 09 Dec 31 INDEX 1500 Regime 9 Jumpy Regime 10 Stable(Trendy) 0.6 1400 1300 0.5 Implied Volatility 1200 1100 1000 0.4 0.3 900 800 0.2 700 600 09 Jan 02 09 May 20 09 Dec 31 0.1 ATM 550 650 750 850 950 1050 1150 1250 Level 28
Figure 2.13: 2010년 S&P 500지수내재변동성의구간 1600 1500 1400 1300 1200 1100 1000 900 800 700 600 Three Month Implied Volatilities of SPX Options during 2010 10 Jan 20 10 Feb 25 10 May 03 10 Jul 09 10 Oct 29 INDEX Regime 11 Jumpy Regime 12 Trendy Regime 13 Jumpy Regime 14 Stable 0.6 0.5 Implied Volatility 0.4 0.3 0.2 0.1 10 Jan 20 10 Feb 25 10 May 03 10 Jul 09 10 Oct 29 ATM 900 950 1000 1050 1100 1150 1200 1250 Level 29
2.4.3 델타 헤징 결과 델타헤징결과를분석함에있어유럽형바닐라옵션 1계약(100개)을매도한상황으로가정하였다. 각모형의델타헤징성과는크게콜옵션과풋옵션으로나누어볼수있다. 내재변동성구간에대한 성과비교와함께,각내재변동성구간내에서만기와머니니스(moneyness)에따라델타헤징성과를 분석하였다. 델타헤징성과비교는에러값이작을수록델타헤징성과가좋다. 통계적으로유의수준 (significant level) 0.01의추정을통해가장성과가좋은모형의에러값을굵게표시하였다. 두번째로 성과가좋은모형의에러값은이탤릭체로표시하였다. 유럽형 콜옵션 1. 내재변동성구간에따른델타헤징결과및분석 표 2.8을보면, 2007년 6월 1일부터 2010년 10월 29일까지전구간에서델타헤징성과가좋은모 형으로는로컬변동성모형중에하나인 Derman-Kani-Chriss의내재삼항모형이다.그다음좋은 헤징성과를보이는모형도로컬변동성모형중에하나인 CEV모형이다.내재변동성을모수로 사용한 Black-Scholes모형의경우에도나쁘지않은헤징성과를보여준다. 표 2.9을보면,각내재변동성구간에서모형들의델타헤징성과를살펴볼수있다. 전 구간에서 Derman-Kani-Chriss(DKC)의 내재삼항모형이 가장 우수한 델타 헤징 성과를 보인 다. DKC의 내재삼항모형을 제외한다면, 안정 구간과 추세 구간에서는 Black-Scholes(BS) 모형과 CEV모형이통계적유의수준 0.01에서동일한성과를낸다.점프구간에서는 CEV모형이 Black- Scholes모형보다더좋은델타헤징성과를보여준다. 2. 각구간내에서옵션의머니니스별델타헤징결과및분석 표 2.10은안정구간에서옵션의머니니스에따른헤징에러를보여준다. 본연구에서외가격 유럽형바닐라콜옵션을사용하였기에,머니니스를등가격(1 1.05)과외가격(1.05 1.1)으로 구분하였다. DKC모형의에러가가장작고, BS모형과 CEV모형이 2번째로작은값을보여준다. 표 2.11를보면,추세구간에서도안정구간과비슷한결과를보여줌을알수있다. DKC모형을제 외한다면 BS모형과 CEV모형이 2버쨰로작은값을보여주며,외가격인경우에는 CEV모형보다 BS모형의에러값이작음을통계적으로알수있다. 표 2.12을보면,점프구간에는안정구간과추세구간과는다른특징적인모습들이보인다. DKC 을제외하면,등가격인경우엔 CEV모형이가장우수한결과를보여주고,외가격의경우엔 BS모 형과 VG모형이 CEV모형만큼의좋은성과를나타낸다.외가격점프구간에서는다른구간에서 나타나지않던 VG모형의낮은에러값이특징적이다. 3. 각구간내에서옵션의만기별델타헤징결과및분석 DKC모형이전구간내에서옵션의만기에관계없이갖아좋은델타헤징결과를보인다. 안 정구간과추세구간에서옵션의만기별델타헤징결과는 DKC모형을제외한다면 BS모형과 CEV모형이가장작은에러값을보이며우수한델타헤징성과를보인다. 만기가길어질수록 Black-Scholes모형과 CEV모형간에러차이가줄어드는특징이있다. 점프구간에서는안정구간과추세구간과는다른특징들을보인다. DKC모형을제외하면, 90일 미만만기를가진옵션의델타헤징결과에서는 CEV모형의 RMSHE가가장작으나, 90일이상의 만기를가진옵션들의경우엔 VG모형과 BS모형, CEV모형의 RMSHE값이통계적으로차이가 없으며이세개의모형이가장좋은델타헤징성과를보인다. 30
유럽형 풋옵션 1. 내재변동성구간에따른델타헤징결과및분석 유럽형풋옵션의델타헤징결과는유럽형콜옵션의결과와는다른모습을보여준다. 표 2.16를 보면전구간에서 CEV모형이가장작은 MAHE를보이고, RMSHE는 CEV모형과 Heston모형이 가장작은값을보임을알수있다. 유럽형콜옵션에서 DKC모형의뒤를이어좋은성과를보여준 BS모형의경우엔특징적인모습 을보여주지않으며,유럽형콜옵션에대한델타헤징성과에서두드러진결과를보여주지않은 SABR모형은 CEV모형과 Heston모형에이어전구간에서우수한성과를보여준다. 각내재변동성구간에따른구간에따른델타헤징에러는표2.17를보면알수있다. RMSHE 가 Heston모형이안정구간과추세구간에서가장작은반면에,점프구간에서는 CEV모형이 가장작음을알수있다. 이또한로컬변동성모형들이점프구간에서우수한델타헤징성과를 보여준다는 것을 증명하는 부분이다. 2. 각구간내에서옵션의머니니스별델타헤징결과및분석 본연구에서외가격유럽형바닐라콜옵션을사용하였기에,머니니스를등가격(0.95 1)과외가격 (0.9 0.95)으로구분하였다.표 2.18은안정구간에서옵션의만기별델타헤징결과를보여준다. 등가격옵션의경우엔 CEV모형과 Heston모형을이용한 RMSHE가가장작으며,외가격옵션의 경우엔 Heston모형과 SABR모형의 RMSHE가가장작음을알수있다.그뒤를이어 VG모형의 RMSHE가작음을볼수있다. 표 2.19은추세구간에서옵션의만기별델타헤징결과를보여준다. 안정구간과더불어등가격 옵션의경우엔 CEV모형이가장우수한델타헤징성과를보이고,외가격옵션은 Heston모형이 가장좋은델타헤징성과를보인다.그뒤를이어 SABR모형의 RMSHE가작음을볼수있다. 표 2.20을살펴보면,점프구간에서는머니니스에따른델타헤징에러값을비교할수있다.등가 격옵션의경우엔 CEV모형이 MAHE와 RMSHE가월등히작으나,외가격옵션의경우엔, Heston 모형과 SABR모형의 RMSHE가가장작음을알수있다. MAHE의경우엔 CEV모형, Heston 모형, VG모형, SABR모형모두낮은값을가진다. 3. 각구간내에서옵션의만기별델타헤징결과및분석 표 2.21와 2.22는각각안정구간과추세구간에서옵션의만기별델타헤징에러값을보여준다. 안정구간에서는 Heston모형이모든만기별구간에서가장작은 RMSHE를보여주고,그뒤를 이어 SABR모형과 CEV모형이작은 RMSHE를보여준다.추세구간의경우엔만기가 90일이하 의옵션에서는 Heston모형이가장낮은 RMSHE를보여주나,만기가 90일이상의옵션의경우엔 CEV모형과 SABR모형도 Heston모형과통계적차이가없이가장작은 RMSHE를보여준다. 표 2.23는점프구간에서만기에따른에러를보여준다. 안정구간과추세구간과는확연히다른 모습을보이는데,점프구간의경우,만기가짧은옵션의델타헤징에러값은 VG모형이가장 작다. 이는점프구간에서,만기가짧은옵션이가지는급격한가격변동의특징을순수점프모 형인 VG모형이잘나타낸결과이다.만기가 30일이상의옵션의경우엔 CEV모형이가장작은 MAHE와 RMSHE를 보여준다. 이외의 Merton모형과 Borland모형은몇몇구간에서는델타헤징에러가작은결과를보였으나, 전체적으로다른모형에비해에러값이 80% 100%정도더크게나와비교분석에서특징적인모습을 보여주지 않았다. 31
Table 2.8:유럽형콜옵션 -전구간에서델타헤징에러 BS CEV Merton Heston VG SABR DKC MAHE 315.507 311.407 571.799 355.606 333.232 355.606 202.785 RMSHE 451.475 446.595 1656.849 526.563 482.8056 510.0237 295.5641 Table 2.9:유럽형콜옵션 -각내재변동성구간에서델타헤징에러 MAHE BS CEV Merton Heston VG SABR DKC 안정 구간 246.637 248.457 386.8214 287.191 278.217 275.1025 156.8758 추세 구간 222.863 224.887 305.9101 261.853 253.0717 252.3051 140.2583 점프 구간 380.94 371.672 751.7658 445.0389 387.023 430.8572 246.5945 RMSHE BS CEV Merton Heston VG SABR DKC 안정 구간 333.704 335.624 862.9414 388.0021 378.7067 371.2769 214.8553 추세 구간 324.371 326.332 559.3361 380.052 374.4324 365.8056 207.6101 점프 구간 555.6233 544.853 2418.451 648.3465 573.8797 631.3548 367.147 Table 2.10:유럽형콜옵션 -안정구간에서머니니스에따른에러 MAHE Moneyness ( K S ) BS CEV Merton Heston VG SABR DKC ATM(1 1.05) 276.922 277.167 354.5922 321.7359 311.4055 307.8434 165.6965 OTM(1.05 1.1) 174.028 179.6219 464.0928 204.3674 198.6454 196.6039 135.7277 RMSHE Moneyness ( K S ) BS CEV Merton Heston VG SABR DKC ATM(1 1.05) 376.131 376.388 557.7531 436.0354 424.9779 417.1707 228.652 OTM(1.05 1.1) 231.98 237.889 1594.65 272.8392 267.7686 261.2437 181.7766 32
Table 2.11:유럽형콜옵션 -추세구간에서머니니스에따른에러 MAHE Moneyness ( K S ) BS CEV Merton Heston VG SABR DKC ATM(1 1.05) 255.01 255.642 345.251 299.6697 289.808 288.5456 149.431 OTM(1.05 1.1) 126.6138 132.805 188.1214 148.6278 143.0814 143.7993 112.7949 RMSHE Moneyness ( K S ) BS CEV Merton Heston VG SABR DKC ATM(1 1.05) 371.206 370.998 614.0706 434.5584 429.3182 417.995 221.1396 OTM(1.05 1.1) 184.1475 192.6004 395.4583 216.8572 210.1017 209.5479 167.1022 Table 2.12:유럽형콜옵션 -점프구간에서머니니스에따른에러 MAHE Moneyness ( K S ) BS CEV Merton Heston VG SABR DKC ATM(1 1.05) 405.0803 393.408 828.1257 472.7443 412.1893 456.0627 252.1924 OTM(1.05 1.1) 286.003 286.19 451.4632 336.0814 288.051 331.7309 224.5798 RMSHE Moneyness ( K S ) BS CEV Merton Heston VG SABR DKC ATM(1 1.05) 588.3765 575.067 2663.769 685.3642 608.9375 664.8412 375.6217 OTM(1.05 1.1) 426.814 426.028 1453.681 502.7659 436.007 499.6622 333.8183 Table 2.13:유럽형콜옵션 -안정구간에서만기에따른에러 MAHE BS CEV Merton Heston VG SABR DKC 7 < T 30 276.561 278.212 418.7419 323.3454 312.615 309.2103 167.138 30 < T 90 254.202 257.607 422.5127 296.7079 294.2952 284.2889 164.9162 90 < T 180 310.121 309.139 413.082 363.3276 340.1127 346.6169 170.4728 RMSHE BS CEV Merton Heston VG SABR DKC 7 < T 30 371.862 373.619 956.6881 434.3031 421.6768 415.0274 228.4451 30 < T 90 345.158 349.076 1076.629 402.3849 401.5689 384.7939 227.852 90 < T 180 411.944 410.456 776.659 482.2115 451.8583 460.4074 229.3353 33
Table 2.14:유럽형콜옵션 -추세구간에서만기에따른에러 MAHE BS CEV Merton Heston VG SABR DKC 7 < T 30 245.565 247.435 320.7301 289.979 277.4161 278.6949 146.0391 30 < T 90 220.063 222.3144 314.1888 259.322 252.3123 248.6553 138.769 90 < T 180 296.421 297.53 333.7748 351.1158 327.4786 338.6005 160.5373 RMSHE BS CEV Merton Heston VG SABR DKC 7 < T 30 355.834 356.944 604.1616 418.9691 408.1512 402.0346 216.2238 30 < T 90 324.516 326.63 668.9464 381.2758 380.545 365.0959 206.7563 90 < T 180 418.289 417.396 474.9665 494.138 463.2041 475.6983 235.104 Table 2.15:유럽형콜옵션 -점프구간에서만기에따른에러 MAHE BS CEV Merton Heston VG SABR DKC 7 < T 30 319.5359 284.879 417.4913 344.9861 296.1351 325.452 235.3887 30 < T 90 382.839 374.304 722.7146 451.8195 391.637 434.4338 250.2559 90 < T 180 435.688 449.178 1143.115 525.5123 463.785 524.0851 248.7328 RMSHE BS CEV Merton Heston VG SABR DKC 7 < T 30 467.5067 429.328 843.4599 507.5285 452.8139 484.0908 352.5209 30 < T 90 561.2689 550.656 2206.092 660.0244 585.787 638.193 372.236 90 < T 180 627.268 642.568 4441.17 756.5504 662.482 757.2437 369.203 Table 2.16:유럽형풋옵션 -전구간에서델타헤징에러 BS CEV Merton Heston VG SABR DKC Borland MAHE 257.704 182.1875 906.763 199.948 234.5946 212.481 274.7005 6723.788 RMSHE 356.932 271.5635 2588.705 278.268 329.0613 295.388 379.1322 22940.52 34
Table 2.17:유럽형풋옵션 -각내재변동성구간에서델타헤징에러 MAHE BS CEV Merton Heston VG SABR DKC Borland 안정 구간 180.9416 140.3081 280.065 136.1667 175.2161 150.097 195.3456 8050.058 추세 구간 193.4178 137.9815 336.956 146.9185 189.2014 160.696 208.8943 19938.98 점프 구간 347.2375 233.778 1651.234 274.225 302.55 285.106 367.0622 1540.737 RMSHE BS CEV Merton Heston VG SABR DKC Borland 안정 구간 254.265 209.925 907.2807 192.2219 251.8849 211.38 272.9008 29644.23 추세 구간 274.4992 214.573 859.5595 210.7645 270.2015 229.425 295.2883 61098.39 점프 구간 475.6143 345.07 4646.298 377.261 417.3435 392.053 501.4991 5345.517 Table 2.18:유럽형풋옵션 -안정구간에서머니니스에따른에러 MAHE Moneyness ( K S ) BS CEV Merton Heston VG SABR DKC Borland ATM(0.95 1) 194.7886 141.2919 286.8466 148.163 192.8964 164.6605 208.1065 7160.425 OTM(0.9 0.95) 129.9725 136.6868 255.1025 92.0089 110.137 96.4912 148.3742 11324.71 RMSHE Moneyness ( K S ) BS CEV Merton Heston VG SABR DKC Borland ATM(0.95 1) 273.0074 210.2788 902.3787 208.0779 275.8249 230.884 290.1933 23561.13 OTM(0.9 0.95) 185.2761 208.6235 925.3244 133.8576 163.764 139.5887 209.2486 52035.5 Table 2.19:유럽형풋옵션 -추세구간에서머니니스에따른에러 MAHE Moneyness ( K S ) BS CEV Merton Heston VG SABR DKC Borland ATM(0.95 1) 204.7167 133.1237 382.3179 156.939 205.0159 172.8935 218.9657 3528.78 OTM(0.9 0.95) 159.2552 152.6694 199.8028 116.6212 141.3857 123.817 178.443 69555.69 RMSHE Moneyness ( K S ) BS CEV Merton Heston VG SABR DKC Borland ATM(0.95 1) 288.4594 203.8385 967.6671 222.982 290.2993 244.345 307.5739 18494.7 OTM(0.9 0.95) 232.2899 247.0301 532.6929 173.8245 209.4349 184.314 258.1424 189911.9 35
Table 2.20:유럽형풋옵션 -점프구간에서머니니스에따른에러 MAHE Moneyness ( K S ) BS CEV Merton Heston VG SABR DKC Borland ATM(0.95 1) 332.8663 207.1785 1622.41 264.285 296.8217 276.387 349.7163 1778.817 OTM(0.9 0.95) 392.9089 318.3108 1742.835 305.816 320.7547 312.8131 422.187 784.1207 RMSHE Moneyness ( K S ) BS CEV Merton Heston VG SABR DKC Borland ATM(0.95 1) 457.3228 307.4391 4310.076 363.859 409.9749 380.585 479.7105 6106.347 OTM(0.9 0.95) 533.7445 464.66 5714.807 419.8496 440.761 428.4984 570.7429 2927.615 Table 2.21:유럽형풋옵션 -안정구간에서만기에따른에러 MAHE BS CEV Merton Heston VG SABR DKC Borland 7 < T 30 196.3395 150.3733 308.237 144.9742 191.4105 158.714 213.0156 1516.137 30 < T 90 187.5667 149.8009 266.659 141.0998 178.603 159.1965 201.7007 659.6009 90 < T 180 210.323 151.2856 374.5129 151.15 211.826 157.9462 231.0515 2881.465 RMSHE BS CEV Merton Heston VG SABR DKC Borland 7 < T 30 274.4662 224.04 1079.205 203.2482 273.6099 222.179 296.1016 9485.191 30 < T 90 262.5565 222.9392 765.324 197.7627 256.0242 222.954 280.7087 2521.872 90 < T 180 293.4506 225.794 1579.534 211.9922 301.6416 220.944 320.638 20584.79 Table 2.22:유럽형풋옵션 -추세구간에서만기에따른에러 MAHE BS CEV Merton Heston VG SABR DKC Borland 7 < T 30 210.0934 145.6323 382.6237 157.4313 204.416 171.1502 227.6565 3704.606 30 < T 90 194.7301 142.0569 343.1937 148.6368 190.403 166.079 209.3714 5287.639 90 < T 180 238.193 152.1717 454.7417 173.517 230.0451 180.426 261.1003 809.2158 RMSHE BS CEV Merton Heston VG SABR DKC Borland 7 < T 30 294.6646 224.349 998.8525 222.9436 288.7185 241.429 318.1673 20264.19 30 < T 90 279.1579 221.73 907.3999 215.1674 275.4517 239.014 298.7908 29356.81 90 < T 180 323.0267 229.1393 1166.121 237.1664 312.984 245.8448 353.6071 3633.632 36
Table 2.23:유럽형풋옵션 -점프구간에서만기에따른에러 MAHE BS CEV Merton Heston VG SABR DKC Borland 7 < T 30 292.8106 234.966 324.9552 256.895 232.0104 258.65 304.269 443.4431 30 < T 90 356.9486 244.1276 2380.519 282.882 309.1455 296.1067 376.5284 2414.951 90 < T 180 377.1527 211.1481 1355.093 272.173 353.7867 286.577 405.1914 732.1456 RMSHE BS CEV Merton Heston VG SABR DKC Borland 7 < T 30 402.5024 341.534 543.0944 355.128 325.3004 358.052 416.9628 927.112 30 < T 90 489.8733 360.3233 6703.463 390.208 427.4255 407.7013 515.3948 8308.382 90 < T 180 513.2736 316.5865 4144.357 370.701 481.1284 390.804 550.435 3249.231 37
제 3 장 결론 본연구는 Derman (1999)[5]의내재변동성의구간을이용하여각구간별최적델타헤징성과를 여러가격결정모형을이용해실증분석하였다. 실증분석결과, Derman (1999)[5]이가정한구간별 델타값에의한세가지분류는두가지(안정-추세구간과점프구간)로나눌수있었다. Derman의주 장과는다르게안정구간과추세구간은델타헤징성과와방법론에큰차이가없으나,점프구간은 안정-추세구간과는다르게델타헤징성과에서뚜렷한구분이있었다.유럽형콜옵션의경우, Derman- Kani-Chriss의 모형이 전 구간에서 가장 좋은 성과를 보인다. Derman-Kani-Chriss 모형을 제외하면, 내재변동성을 이용한 Black-Scholes모형과, CEV 모형이 안정-추세 구간에서 좋은 성과를 나타냈으며, 점프구간에서는 CEV모형이 Black-Scholes모형보다우수한성과를보인다. 전체적으로로컬변동성 모형이델타헤징성과가우수했으며,특히점프구간에서는그차이가확연하게드러났다. 유럽형 콜옵션의경우엔내재변동성의구간에관계없이로컬변동성모형을이용한델타헤징전략이최적의 전략이라 판단된다. 유럽형풋옵션의경우엔콜옵션과는다르게내재변동성의구간의특징이잘구분된다. 안정-추세 구간에서는 Heston모형이가장좋은성과를보이고,점프구간에서는로컬변동성모형인 CEV모형이 가장좋은성과를보였다. 특징적으로점프구간에서만기가 30일미만의옵션의경우엔분산-감마 모형을이용한델타헤징전략을수행하는것이가장좋은결과를보여준다. 본논문의결과를이용하여,내재변동성의구간을예상하고옵션의종류별,만기별,머니니스별 가장최적화된가격결정모형을이용한다면지금까지연구된다른델타헤징전략보다도더좋은델 타헤징결과를얻을수있다. 각상황별로여러모형의델타에가중치를두고이를더하여델타를 추정한다면보다좋은델타헤징결과를얻을수있다. 본논문에서는델타헤징포지션을일단위로재조정하였으나,현실적인비용문제를감안했을때 주단위의재조정을이용할필요가있다.델타헤징성과를비교분석하는데에러값이외에손익(Profit & Loss)을계산하여비교분석하는작업도추후연구에포함되어야할것이다. 또한본논문에적용 된가격결정모형들이외의모형들에대한연구와더불어유동성문제로제외한내가격옵션에대한 연구도요구된다. 궁극적으로,내재변동성의구간과옵션의종류,만기,머니니스를변수로사용하여 기계학습(machine learning)을통해모형별델타의가중치를이용한최적의델타헤징전략을분석하는 연구가 앞으로의 과제이다. 38
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