I. 파동의입자성 1. 파동을입자로보아야설명되는물리현상 (a) 흑체복사 -1900년에 Planck는흑체복사문제를해결하는데양자개념을도입 -전자기파복사와물체 ( 흑체내부 ) 와의에너지교환은불연속적이고양자화된양으로만이루어진다고제안 -진동수 인전자기파복사와물체의에너지교환은 의배수로만이루어진다는것 -연속적물리량의고전물리학적개념에정면으로배치 제 I 장 양자역학의기초 1
-단위체적당모드의수는 -전자기파에너지밀도는 - 는모드당평균에너지 -고전물리학적인개념에서는물리량이연속이므로 -전자기파에너지밀도는 -Planck 의아이디어에서는흑체의벽 ( 금속 ) 에서발생되는 전자기파의에너지는 의배수뿐이므로 -전자기파에너지밀도는 - 진동수대신파장의함수로바꾸면
(b) 광전효과 제 I 장 양자역학의기초 3
-1905년 Einstein이 Planck의양자개념을이용하여광전효과에대한실험결과를설명함 -전자기파가에너지알갱이 (photon) 로구성되어있다는사실이받아들여지게됨 -금속내에있는자유전자들의구속에너지는 ( 일함수 )
- 진동수 의전자기파는 의에너지를가진에너지알갱이의집단 - 광전효과에서방출되는전자의최대운동에너지는전자가광자의 에너지를전부흡수하는경우이므로 max -정지전압은 max 에서 : 빛의세 기에 무관하고빛의종류 ( 진동수, ) 에만관련됨 - 문턱진동수 가존재, 금속에서전자가튀어나오려면 쪼여주는빛의진동수가적어도 보다커야한다는것 (c) Compton 효과 제 I 장 양자역학의기초 5
- 전자기파의원자 ( 전자 ) 에의한산란 : Compton 효과 (1923) - 전자기파가광자로구성되어있다는사실을이용 - 입사하는전자기파 : 운동량, 진동수를 - 전자 ; 충돌전 : 정지, 충돌후의운동량 - 충돌후의전자기파는운동량 과진동수 을가진다 -광자의운동량은 - 운동량보존칙은 인데제곱하여정리하면 cos - 에너지보존칙에서 - 위식을제곱하여위의 에대한표현을이용하면 Compton 식은 cos - 흑체복사, 광전효과, Compton 산란등은전자기파가에너지 알갱이로구성되어있다는사실을명확하게보여줌으로써 제 I 장 양자역학의기초 7
당시물리학계에큰딜레마를안겨주었다. -전자기파가파동이라는사실을증명하는수많은간섭및회절실험들이존재하고, 또한 Maxwell 방정식으로설명되는전자기파의전파는전자기파가파동이라는사실을부인할수없게만든다. -빛의이중성으로이문제를해결 ; 빛은전파나중첩 ( 간섭, 회절 ) 될때는파동의성질을보이고물체와상호작용할때에입자성이발현된다.
II. 입자의파동성 (1) de Brogile 의물질파 -1923 년 de Broglie 는물질파를제안 -움직이는물체는 의파장을가진파동 (2) Davison-Germer 의전자산란실험 제 I 장 양자역학의기초 9
-54eV로가속된전자빔을니켈면에입사하여간섭현상을관측 -간섭현상은파동에의해서만가능한데입자의집단인전자빔을이용하여관측한것이었다. -간섭에의한최대신호가 50 에서관측 -54V에의해가속되는전자의파장은 A 으로계산 -Bragg의조건 sin 에이파장을대입하면 ( 각 50 과함께 ) 니켈의격자사이의간격이 A 로구해진다. -이값은 X-선회절등에서얻는실험결과와정확하게일치 -실험결과는전자가 de Brogile가제안한파장을가진파동으로행동함을보여주었다.
(3) Bohr 의수소원자모형 (a) 원자의안정성 (b) 선스펙트럼 (line spectrum) -수소의선스펙트럼에대한실험식은 - ; Lyman 계열, ; Balmer 계열, ; Paschen 계열, ; Brackett 계열, ; Pfund 계열 제 I 장 양자역학의기초 11
(c) Bohr 의수소원자모형 - 각운동량의양자화조건을만족하는정상궤도를운동하는전자는 전자기파를발생하지않는다는가정을하였다. 정수 - 전자는한정상궤도에서다른정상궤도로전이할경우에만 전자기파를주고받을수있으며, 이전자기파의진동수는 -는 Planck상수이고 와 는각각처음궤도와나중궤도의총에너지를나타낸다. -전자가한궤도에서다른궤도로전이할때두궤도의에너지차이 ( ) 에해당되는전자기파 ( 에너지 ) 를주고받는다. - 반경, 속도 로원운동을하는전자의총에너지는
- 전자가양성자주위를원운동을할때평형상태는 전기적 Coulomb힘이원심력과같은경우이므로 - 를총에너지에대입하면 - 각운동량의양자화조건을대입하면전자의정상궤도는 A - 궤도에서의전자의총에너지는 - 을에너지준위 (energy level) 라고부른다. - 반경이작은궤도로전이하는 ( ) 전자에의해발생되는전자기파의 진동수 :, 파장 : 제 I 장 양자역학의기초 13
(d) Bohr 의각운동량의양자화조건의의미 -Bohr의각운동량의양자화조건은 de Broglie의물질파개념에서원궤도에서의정상파에해당된다는것을알수있다. -de Broglie의물질파개념에의하면수소원자의전자가가지는물질파의파장은 로주어진다. 따라서 를 각운동량양자화조건인 에대입하면 - 원주 () 가파장의배수가되어야함을보여주고있다. - 원궤도에서완전히닫힌파, 즉정상파만이수소원자의궤도로 가능하다는것을나타내고있다.
(4) Schrödinger 파동방정식 -Bohr의수소원자모형은고전적인 Newton 역학을사용하면서수소전자의궤도가제한적이라고가정하였다. -이러한모순을해결하기위해등장한것이파동역학즉, Schrödinger에의한파동방정식이다. -원자세계의입자들은파동성을가진다는것이이파동역학의요체 -물체는파동적인성질을가지므로물체의위치는불확실 -관측할때는물체가어떤위치에존재하는확률만을구할수있다. -Schrödinger 파동방정식 제 I 장 양자역학의기초 15
-Schrödinger 의파동방정식의해인 는시간과공간의함수의 곱인 으로표현할수있으므로 - 양변을 로나누어주면 - 양변은서로독립적인변수만을포함하고있으므로이를만족하는 것은상수값뿐이다. 이상수값을 라고두면 - -아래식은시간에무관한 (time independent) Schrödinger 방정식 -입자의에너지상태와그입자에관련된파동의공간적인변화에대한정보를얻을수있다.
-파동함수 의물리적의미는무엇인가? - 자체는파동함수이므로실측가능한물리량은아니다. - 는위치 에서의확률밀도 (probability density) 로서단위체적당입자를발견할확률을준다. 제 I 장 양자역학의기초 17
제 I 장 양자역학의기초 19
III. Schrödinger 파동방정식의응용 1. 무한우물 (infinite potential well) 속의입자 - 길이 인일차원우물속에갇혀있는입자 - 우물의벽면에서포텐셜 는무한대 - 우물내에서포텐셜 는영 ( 零 ) 이므로 - - 단진자의운동방정식과유사하며, 그해는 sin 와 cos 의조합 - 는 과 에서영이되어야하는경계조건 제 I 장 양자역학의기초 21
-cos 는해가될수없다. - 해는 sin - 에서 에서 이므로입자의에너지는 -을양자수 (quantum number), 입자의양자상태 (quantum state) -양자수 이양 ( 陽 ) 이냐음 ( 陰 ) 이냐는물리적으로의미가없다. -어떤부호에대해서도입자의확률밀도 는동일하기때문 -따라서 이음이되는경우는고려할필요가없다. - 이되는경우도물리적으로맞지않다. - 이라는것은어느곳에서나 이라는것을의미하는데입자는우물속의어느위치에반드시존재하기때문에맞지않다. -따라서양자수 은자연수인 의값을가진다. -입자의에너지가가장낮은기저상태 (ground state) 의에너지도 0이되지않는다. -고전적인관점에서가장낮은에너지상태는물체가정지한상태 -양자계에서는기저상태에서도영이아닌에너지값인 -이를영점에너지 (zero point motion) 이라고부른다. -불확정성원리에의해이해 -길이 인우물속에갇힌입자의위치의불확정성 가 -물체가정지한상태는운동량의불확정성인 는영이라는것을뜻하는데 가 0이되면 는 0이되는데이는불확정성
원리 ( ) 에위배된다. - 따라서 이므로물체는기저상태에서도정지할수없다. - 입자는반드시우물안에서발견되어야하므로 - sin 의진폭 는위의조건 ( 규격화조건 ) 에서구한다. sin - 파동함수는 sin - 위치 주위에서입자를발견할수있는확률밀도는 제 I 장 양자역학의기초 23
2. 포텐셜계단 (potential step) -포텐셜계단은 영역에서는포텐셜이 0이고 영역에서는일정한포텐셜 인경우 -포텐셜계단을향해물체를던질때 -물체의에너지가포텐셜계단의높이 보다큰경우 -물체의에너지가 보다작은경우 -고전적인물리학적관점에서보면 -물체의에너지가 보다큰경우물체의에너지가계단의높이보다크므로물체는계단의경계를넘어진행한다. -계단을통과한후의물체의속도는감소 ( 운동에너지 = ) -물체가원래의위치로되돌아오지는않는다. -물체의에너지가 보다작은경우물체는계단에부딪힌후반사 -양자역학( 파동역학 ) 에서는물체의에너지가 보다큰경우에도물체는장벽에의해반사되어되돌아올확률을가진다. -물체의에너지가 보다작은경우에도물체는계단속을투과할확률이있다. -위와같은현상들은물체를파동으로보면가능하다.
(a) 입자빔의에너지가계단의높이보다큰경우 - 계단이없는 의위치에서는 이므로 -,, 해는 와 -는파수이며 는입자빔의운동량 - 는 방향, 는 방향으로진행하는파동 -일반적인해는이두파동의중첩이므로 - 는계단쪽으로진행하는입사파동이고 는계단에의해반사되어되돌아오는파동이다. -입사파의계수를 1로둠으로써반사율은반사파의반사계수 의 제 I 장 양자역학의기초 25
제곱 으로주어진다. - 인계단에서는포텐셜이존재하므로 -,, 해는 와 -계단에서는되돌아오는파동은없으므로 만이해가된다. - 에서의해는 -는투과파의투과계수이다. -투과율은입사하는영역과투과되는영역에서파동의속도가다르므로 으로주어진다. -계단의위치에서경계조건 ( 연속의조건 ) 을만족해야한다. -파동은계단의경계에서연속, -파동의일차미분도연속, -위두조건에서각각 와 를얻는다. -두식을풀면파동의반사율과투과율은
-반사율과투과율의합은 1이됨을확인 -입자의에너지가계단의장벽보다큰경우에도입자가계단에의해반사될수있다는것을보여주고있다. - 인경우 ( ) 에는 이되어고전적인결과와일치 -입자의에너지가아주큰경우계단의포텐셜은무시 - 인경우 이되어입자는장벽을투과하지못함 제 I 장 양자역학의기초 27
(b) 입자빔의에너지가계단의포텐셜보다작은경우 - 인영역에서의해는 인경우와동일 - 인경우 이므로 -,, 해는 - 에서의해는
- 계단에서의경계조건을적용하면 - 영역에서입자를발견할확률은 - 인입자도포텐셜계단안으로투과해들어갈확률이존재 - 고전적인관점에서는불가능한일이다. -무한우물의예에서우물이유한한높이라면어떻게될까? -무한우물의경우입자가벽속으로투과하지는못하지만우물이유한한경우입자는벽속으로투과해들어갈수있다. -에너지준위의경우에도무한우물에서는무한한에너지준위가존재할수있지만, 유한한우물의경우유한한에너지준위가존재 -동일한양자수 에대해유한한우물의에너지준위가무한우물의에너지준위보다낮으며, 유한우물의높이가아무리작다고하더라고적어도하나의에너지준위는존재한다. 제 I 장 양자역학의기초 29
3. 포텐셜장벽 (potential barrier) (a) 입사하는입자빔의에너지가장벽의높이 보다큰경우 -장벽의왼쪽은포텐셜이없으므로해는 - -장벽안의파동은 - -장벽오른쪽에는포텐셜이없으므로파동은
- 포텐셜장벽에서는두개의벽 ( ) 이존재하므로 두벽각각의경계조건을만족해야한다. - 에서는 와 이만족되어야한다. (1) - 에서의경계조건에서 (2) - 위의 4 개의식에서 를구할수있다. - 식 (2) 에서첫째식에 를곱하여두번째식과더하고빼면 - 위식들을식 (1) 에대입하면 제 I 장 양자역학의기초 31
cos sin cos sin - 두식을더하면 를구할수있다. - 투과율은입자빔이입사하는영역과투과되는영역에서입자의 속도가동일하므로 으로주어진다. cos sin - 와 sin cos 을이용하면 sin sin - 반사율 ( ) 을계산하면 sin
- 인경우투과율이 1이되고반사율은 0이됨을볼수있다. -이는입자빔의에너지가아주클경우포텐셜장벽이무시되기때문이다. -Sin항이 0이되면투과율은 1이되고이에따라반사율은 0이된다. -Sin항이 0이되려면 의조건이만족 -이는에너지가 인경우에해당 -위조건을만족할때입사파와반사파의보강간섭에의해모든입자들이장벽을넘을있게된다. (b) 입사하는입자빔의에너지가장벽 보다작은경우 제 I 장 양자역학의기초 33
- 고전적인개념에서는입자들은장벽을투과하지못한다. - 파동역학에서는얼마의입자들은장벽을투과하여진행할수있다. - 입자가장벽을투과할확률이존재한다. -장벽앞과뒤의파동함수는앞의 의경우와동일하다. -장벽안의파동함수는입자빔의에너지가장벽의높이 보다작으므로지수함수가되므로 - - 에서경계조건을적용하면 (1) - 에서는 (2) - 두식을이용하여 에서사용한과정을적용하면투과율은
sinh sinh - 반사율은 sinh - 인경우 이되므로 sinh 로근사 - 분모의 1 은무시할수있으므로투과율은 -입자빔의에너지가 에비해아주작더라도입자가장벽을투과할수있는확률은 0이아닌일정한값을가진다. -이러한터널링현상은원자세계에서많이관찰되고, 이현상을이용한터널다이오드등이개발되어일상생활에활용되고있다. 제 I 장 양자역학의기초 35
4. 조화진동자 (Harmonic oscillator) - 분자의운동, 고체내에서의원자진동등은조화진동자로설명 - 질량 인입자가최소값을가지는포텐셜 안에서운동 - 포텐셜이최소가되는위치인 근방에서포텐셜을전개하면 -위치 에서포텐셜이최소이므로 이만족된다. -, 는상수 -, 로치환하면포텐셜안에서 운동하는질량이 인입자가만족하는 Schrödinger 방정식은 -, 와같이단위가없는변수로바꾸면 제 I 장 양자역학의기초 37
- 점근해 (asymptotic solution): ( 은무시 ) 일때 - 해를 라두고위식에넣어서 을결정 - 인경우 Hermite 미분방정식과같은꼴이된다. -멱급수해, 을구해보면계수들이만족해야하는식은 -가큰값일때 이므로
- 해는 가무한대로감에따라발산 - 이를없애기위해서멱급수의계수를특정 값에서끝나게한다. - 이되도록하면 ( 에서 0 이되도록함, 즉 ) -, 에서에너지준위는, - 조화진동자의에너지가양자화됨을보여준다. - 에서미분방정식은 Hermite 미분방정식이된다. - 조화진동자의파동함수는 - 은규격화 (normalization) 조건인 에서구한다. - 을이용하면 제 I 장 양자역학의기초 39
- 인경우 이되어 축과만나는점이없다. - 일때는 로서원점에서 0이된다. - 일때는 로서 축과만나는지점이 2군데이다. - 일때는 로서 3군데서 축과만난다. -일반적으로 일때 축과만나는지점이 개가된다. - 입자를발견할확률은 ; 파동함수의제곱에비례
- 포텐셜함수및몇개의에너지준위 -각에너지준위가포텐셜함수와만나는 지점이진폭 ± 에대응 -임의의 의경우진폭 는 에서구해진다. - 이커짐에따라진폭 도커진다. - 에너지준위사이는일정하며그간격은 이다. -조화진동자의최소의에너지준위는 이다. - 조화진동자를발견할확률은진폭 보다큰경우에도존재한다. - 파동이므로가능성하다. 제 I 장 양자역학의기초 41
5. 수소원자 -3 차원에서의 Scrhrödinger 파동방정식은 - 위방정식의해가원자내의전자의에너지상태를준다. - 전자의포텐셜은거리 에만비례한다. - 수소원자의경우 Scrhrödinger 파동방정식은
-, - 포텐셜이시간에의존하지않으므로 - 시간에의존하지않는 Scrhrödinger 파동방정식 - 질량중심좌표와상대좌표는, -는환산질량 (reduced mass) 으로서 로정의 - 이고 -, 제 I 장 양자역학의기초 43
- 을대입한후변수를분리하면 - 위식은아래와같이분리된다. - -첫번째식은질량 인물체의자유운동, -수소원자의질량중심의운동, 에너지는 -두번째식은질량 를가지는입자가 인중심력장에서움직이는상태를표현하고있다. -수소원자의파동함수와에너지는질량중심의운동은무시 - 과 로표현 - 중심력장에서운동의기술은구면좌표를사용하는것이편리 -구면에서의미분은 sin,
sin sin sin - 각운동량은구면좌표에서 sin sin sin sin -따라서 Laplacian은 - 이를이용하면 - 로두고변수를분리하면 제 I 장 양자역학의기초 45
- 두항은서로독립적이므로아래두방정식으로분리된다. - 첫번째식은여전히두변수인 에관련되어있으므로 를사용하여변수를분리하면 sin sin sin - 두항은서로독립적이므로아래두방정식으로분리된다. sin sin sin -첫번째미분방정식의해는 - 한바퀴 () 돌아동일한위치에돌아올때함수는같아야하는 조건인 에서 은정수가되어야한다.
- 두번째식은 Legendre 미분방정식 ; 해는 Legendre 함수인 cos - 각 ( ) 에관련된해는 cos - 상수 은규격화 (normalization) 조건에서구해지며 cos - 위 에의존하는해는 과 의경우에만존재한다. - 의 에따른모양 제 I 장 양자역학의기초 47
- 전자의핵에서떨어진거리에따른미분방정식은 로 바꾸면 -작은 ;, 해는 - 은원점에서 가되므로작은 에대한해는 -큰 ;, 해는 ± - -가음의값이되는것은양성자와전자가구속되어있기때문 -큰 에서 는발산하므로물리적으로맞는해는 -해는위의해들을조합한 와같은형태 -이를미분방정식에대입하면 -해로서멱급수인 의형태로가정하면
- 두번째항에서 를 로치환하면순환식은 - 가큰값인경우, - 에서의연속적인두항의계수비와동일 -따라서 와같이근사할수있다. -이에따라해는 와같이표현된다. -이클경우발산하므로물리적으로맞는해가될수없다. -물리적으로맞도록하기위해서는멱급수의해에서어떤멱에서급수를끊어야한다. -에서멱급수를끊는다면 ( 로치환 ) ( ) 제 I 장 양자역학의기초 49
-,, - 에너지준위는 - : 주양자수 (principal quantum number), : Bohr 반경 - 에서허용된 의값은 - 특정 에대해궤도양자수 은 에서부터 ( ) - 궤도파동함수 (radial wave function) 은 - 에따른몇개의파동함수를구해보면
- 전자를미소체적 에서발견할확률은 sin sin - 위식은 과 사이에있는구각에서전자를발견할확률 제 I 장 양자역학의기초 51
-Scrhrödinger의파동방정식을구면좌표에서풀면 3개의양자수 -전자의위치가구면좌표에서 등 3개의좌표와관련 -주양자수는좌표 에관련되어있고 으로나타낸다. -전자궤도의핵에서부터떨어진평균거리 -주양자수 은 의자연수 -값이커짐에따라궤도반경이커진다. -궤도양자수는좌표 에관련 -로표현되며궤도의모양 (shape of orbital) -궤도양자수 은주양자수에의해제한이가해지며 0에서부터 -자기양자수는좌표 에관련 - 로표현, 궤도의공간적방향성 (orientations of orbital) -자기양자수 의값은궤도양자수에의해제한되며 에서부터 -궤도양자수 의경우 가지의방향성을보인다는것을뜻한다. -Scrhrödinger의파동방정식에서나오지않는스핀양자수 -스핀양자수는, 전자의두가지스핀상태 (up and down) -수소전자의에너지상태는네가지양자수 ( ) 로표현 -네가지양자수중하나라도다르면다른에너지상태
-Stern-Gerlach 의실험 (1922) -위치에따라변하는비균일자기장이걸린속으로원자빔을입사 -원자의자기모멘트가 인경우자기에너지는 - 자기쌍극자가받는힘은 -축방향 ( 자기장 ) 으로받는자기모멘트의힘은 - 의값에따라자기모멘트가받는힘이다르므로원자들은스크린상에흩어진선 (line) 으로관찰 -고전적인관점에서는각운동량이 인경우 ± 사이에흩어진연속적인선으로관찰될것이라고예상 -불연속적인선들이관찰 - 인경우 3가지의선이관측, 을증명 제 I 장 양자역학의기초 53
제 I 장 양자역학의기초 55
제 I 장 양자역학의기초 57
IV. 화학결합및물질의구성 -화학결합(chemical bonding) 이란원자들이모여서분자나물질을구성하는것을말한다. -화학결합은결합을통해서분자나물질이그구성원자들이가지는에너지보다더낮은에너지를가질수있기때문에발생 -원자들이결합하여안정한구조를유지하고, 특정의물리화학적특성을보일때화학결합이생겼다고말한다. -화학결합은두원자가가까워졌을때한원자의전자가다른원자의핵에의해전기적인력을받음으로써발생 -수소의예, 핵-전자인력, 핵-핵반발력, 전자-전자반발력 -핵-전자인력이가장크므로전체적으로인력이발생 -인력이가장커지는두원자사이의떨어진거리에서결합 -이온결합은낮은전기음성도 ( 외곽구각이거의빈상태 ) 를가진원소와높은전기음성도 ( 외곽구각이거의찬상태 ) 를가진원소사이에결합이발생
-한원소에서다른원소로전자가완전히이동한다. -이온결합을한물질은일반적으로고체이고높은용융점을가진다. -이온들은모든방향에존재하는반대부호의이온들과결합 -위치가고정되어단단하고이에따라용융점이높다. -외부힘에의해고정된위치가흐트러지면같은부호의이온들에의한반발력이발생하므로부스러지기쉽다. -고정된이온들이움직일수없으므로전기적으로부도체이다. -용액상태로되면이온들이분리되므로전기를잘통하게된다. -공유결합은부분적으로채워진전자구각을다른원소와전자를공유하여채움으로써안정한전자구각을가지려는원자들의결합 -전기음성도가비슷한원소사이에주로일어난다. -전자를주거나받는것이어렵기때문에, 대신에전자를공유 -전기음성도가차이때문에분극 (polarization) 이일어난다. -극성공유결합 (polar covalent bonding) (a) 공유결합의이론 -Valence bond theory, molecular orbital theory -전자파동함수들의합쳐짐 (overlapping) 을이용하여결합을설명 -하이브리드궤도모델 (hybrid orbital model) -하이브리드궤도( 에너지준위 ); sp, sp 2, sp 3, dsp 3, d 2 sp 3 등 제 I 장 양자역학의기초 59
-sp궤도 -BeH 2 의결합 -Be의전자구조는 1s 2 2s 2, 최외곽전자가 2개 -2s궤도와 2p궤도가결합된 ( 하이브리드된 ) 형태인 sp궤도가존재 -에너지적으로보면 sp궤도는 s궤도와 p궤도사이에존재 -Be의 sp궤도에있는 2개의전자에수소가결합하여 BeH 2 분자형성 -BeH 2 에서결합구조는 Be양쪽에 H가붙어있는직선결합 -실험결과와잘일치 -sp 2 궤도 -BF 3 의결합 -B 의전자구조는 1s 2 2s 2 2p 1, 최외곽전자는 3 개
-B이수소와 3개의동일한 ( 결합에너지가같은 ) 결합을하기위해서 3개의쌍을이루지않는 (unpaired) 궤도가필요 -2s궤도( 전자 1개 ) 와 2p궤도 ( 전자 2개 ) 가결합한 sp 2 궤도에 3개의전자들이배치된다고생각하면 3개의동일한결합가능 -sp 2 궤도에존재하는 3개의전자들에불소와결합하여 BF 3 를형성 -평면삼각형 (trigonal planar) 구조 -sp 3 궤도 -CH 4 의결합 -C의전자구조는 1s 2 2s 2 2p 2 로서최외각전자가 4개 -C가 4개의수소와동일한결합을하기위해서는 4개의쌍을이루지않는 (unpaired) 궤도가필요 -2s궤도( 전자 1개 ) 와 2p궤도 ( 전자 3개 ) 가결합한 sp 3 궤도형성 -sp 3 궤도에존재하는 4개의전자들에수소가결합하여 CH 4 를형성 -결합형태는사면체 (tetrahedral) 구조 제 I 장 양자역학의기초 61
-NH 3 의구조도사면체이나한꼭지점은수소가결합하지않은상태 - 이와같은전자쌍을고립전자쌍 (lone pair) 라고부른다. -물의경우산소의 4개의 sp 3 궤도중에 2개가수소와결합 -나머지 2개는고립전자쌍 -고립전자쌍때문에수소사이의각도가 104.5 0 -사면체구조에서각도인 109.5 0 보다작다. -고립전자쌍이산소핵가까이에존재 -다른두궤도에존재하는수소원자들을밀어서두수소원자가가까워졌기때문이다. 물분자의운동
-dsp 3, d 2 sp 3 궤도 -d궤도가 s궤도, p궤도와에너지적으로가까워질경우하이브리드궤도를형성하는경우 -PCl 5 에서는 5개의하이브리드궤도가형성되어각각 Cl과결합 -삼각이중피라미드구조 (trigonal bipyramidal) -SF 6 에서는 6개의 d 2 sp 3 궤도가형성되어각각불소와결합 -팔면체구조 (octahedral) -C 2 H 4 (ethylene) 에서는각탄소가 2개의수소원자와결합 -두탄소와의결합도있으므로탄소는 3가 (3개결합 ) 와같이행동 -C 2 H 4 에서탄소는 sp 3 궤도대신에 sp 2 궤도로하이브리드 -p궤도에있는 3개의전자 (2s에서여기된것포함 ) 중에서 2개만 s궤도와함께하이브리드 sp 2 궤도를형성하고나머지하나는 p궤도에그대로남아있다. -2개의 sp 2 궤도에수소가결합, 나머지 sp 2 궤도는다른탄소와결합 -남아있는한개의 p궤도의전자는다른탄소의 p궤도에있는전자와결합한다. -p 궤도의결합은 sp 2 궤도의전자결합과다르다. -sp 2 궤도의결합은수평결합인데반해서 p궤도의결합은수직결합 제 I 장 양자역학의기초 63
-sp 2 궤도의결합을 결합, p 궤도의결합을 결합이라고부른다. -C 2 H 4 에서탄소는 결합과 결합으로이루어진이중결합 -sp 2 궤도는평면구조에해당하므로 C 2 H 4 의분자구조는평면이다. -C 2 H 2 (acetylene) 에서는각탄소가 1개의수소와결합 -sp궤도가형성 -p궤도에있는 3개의전자 (2s에서여기된것포함 ) 중에서 1개만 s궤도와함께하이브리드 sp궤도를형성하고나머지두개는 p궤도 (p x, p y ) 에그대로남아있다. -남아있는두 p궤도는서로수직이고두개의 결합을형성 -sp궤도는직선구조이므로 와같이탄소는 3중결합 -하나의 결합과두개의 결합으로구성된 3중결합 -금속결합 -금속원자들은이온화에너지가작아서쉽게전자를방출 -방출된전자들은모든원자들이공유 -자유롭게된전자들 (free electrons) 과원자핵들사이의인력에의해금속결합이유지된다. -금속은전기전도도, 열전도도가좋고가공 (malleable) 이잘된다. -전기전도도와열전도도가좋은이유는금속내를자유롭게움직일수있는전자들에의해전기와열이빠르게전달되기때문 -금속내의전자들은자유롭게움직일수있으므로금속의구조를깨지않고쉽게구부러뜨리거나변형을할수있다.
-금속전체의궤도는구성원자궤도들의선형합으로구성 -전자들은금속전체에속하게됨으로써 Pauli 배타율을따른다. -Li 원자들이멀리떨어져있을때에너지준위는원자의에너지준위 -에너지준위는하나의선으로표시 -2s준위는차여있고 2p궤도는비어있다. -Li원자들이금속을이룰경우전자들은금속에속한전자들이된다 -Pauli 배타율에의해에너지준위가리튬원자의숫자만큼갈라짐 -금속안의원자는 1cm 3 당 10 23 개정도되므로에너지준위는거의연속적인띠 (band) 의형태를나타낸다. -2s는채워진상태이고 2p는비어있다. -2s 에너지띠 : 가전대, 2p 에너지띠 : 전도대 -에너지준위가겹쳐져있으므로외부에서주어진에너지에의해가전대에있는전자들은전도대로쉽게올라갈수있다. -이에따라전기전도도와열전도가좋다. -공유결합을하는물질 ( 부도체 ) 들은큰에너지갭 (gap) 이존재 제 I 장 양자역학의기초 65
VI. 분자의운동 -분자를구성하는원자들의상대적운동에따른다양한에너지준위 -이원자구조 (diatomic molecules) -두원자사이에작용하는포텐셜에너지가분자를구성하는거리근방에서는 와같이근사할수있으므로스프링운동에대응되는진동운동 (vibrational motion) 이있다. -진동운동의에너지준위는 - 는진동운동에관련된양자수, 는기본진동수로서
- ; 결합스프링상수, : 환산질량 (reduced mass) -이원자분자에서는두원자의질량 () 이같으므로 -분자가에너지준위사이를전이하기위해서는두전이사이의에너지차이에해당하는광자를흡수또는방출 - 과 사이의전이에서는 의에너지를가지는광자의흡수또는방출이있어야한다. -수소분자, Hz이므로 - 두원자를잇는질량중심에대한회전운동 - 회전운동에너지 :, : 관성모멘트이고 : 각진동수 -각운동량은 이므로회전에너지는 와같이표현 -회전에너지는 와같이양자화 -수소분자의경우원자사이의거리는 A 이므로관성모멘트는 에서 이다. - 과 인에너지준위사이의에너지차이는 -수소분자의진동에너지의경우 (0.8eV) 와비교하면훨씬작은값 -회전운동에너지준위사이의간격이진동에너지준위사이의간격보다훨씬작다. 제 I 장 양자역학의기초 67
-CO 2 의경우 C가중앙에놓이고 O가양쪽에일직선으로배치 -진동운동과회전운동이외의운동도가능 -C를중심으로굽혀지는운동 (bending) 과당겨짐 (stretching) 도가능 -분자운동은흡수스펙트럼을통해실험적으로확인가능. -분자들이외부에서주어지는에너지를받아에너지준위사이에전이를하는데이때흡수되는에너지를관찰함으로써에너지준위를재구성할수있다.