제 강함수수열의평등수렴 함수의수열과극한 정의 ( 점별수렴 ): 주어진집합 과각각의자연수 에대하여함수 f : 이있다고가정하자. 이때 을집합 에서로가는함수의수열이라고한다. 모든 x 에대하여 f 수열 f ( x) lim f ( x) 가성립할때함수수열 { f } 이집합 에서함수 f 로수렴한다고한다. 또 함수 f 을집합 에서의함수수열 { f } 의극한 ( 함수 ) 이라고한다. 이경우함수수열 { f } 에서점별수렴한다고한다. 이 다음예를보자. x 예) 함수수열 f( x) ( x ) 는에서 으로점별수렴한다. 왜냐하면모든 x x 에대하여 lim 이다. 따라서함수수열 { f } 의극한은 이다. 예) 함수수열 g ( x) x ( x ) 은 (,], x (,) gx ( ), x 지않는다. 이다. 하지만 에서점별수렴하고극한은 g 는 [,] 에서점별수렴하 별수렴하고극한은 렴하지않으므로 풀이 ) x 이면 lim g ( x) 이다. 또한 x 이면 lim g ( x) lim x 이다. 따라서 g ( x) x 는 (,] 에서점, x (,) gx ( ) 이다. 하지만 lim g ( ) lim( ) 은수, x g 는 [,] 에서점별수렴하지않는다. 예3) 함수 f ( x) (cos( x)) ( x ) 는 {: } 에서점별수렴하고극한 함수는, x f( x), x 증명은연습문제로남긴다. 이다. 보조정리 : 함수수열 { f } 이집합 에서함수 f 로수렴한다는것과다음이동치이다 : 각각의
제 강함수수열의평등수렴 과각각의점 x 에대하여자연수 ( x, ) 이존재하여만일 f ( x) f ( x) 이다. 이면 f 정의 ( 평등수렴 ): 집합 에서로가는함수의수열 다는말은주어진 에대하여자연수 () 대하여 f 이집합 에서 f 로평등수렴한 이존재하여만일 이면모든 x f ( x) f ( x) 이성립하는것이다. 이경우수열 이집합 에서평등수렴한다고한다. 에 f 정의로부터함수의수열 수있다. 이집합 에서 f 로평등수렴하면점별수렴하는것을쉽게알 다음보조정리를쉽게증명할수있다. 증명은연습문제로남긴다. f 보조정리 : 함수수열 부분수열 { f } 와집합 에존재하는수열 { x } k 을만족하는것이다. k 이집합 에서평등수렴하지않을필요충분조건은양수 와 f ( x ) f ( x ). k k k k k 가존재하여모든자연수 k 에대하여 x 예4) 함수수열 f( x) ( x ) 는에서 으로평등수렴하지않는다. 수열 x 으 로놓으면모든자연수 에대하여 f ( x ) 이므로위보조정리로부터쉽게 알수있다. 예5) 함수수열 f ( x) x ( x ) 은 (,] 에서평등수렴하지않는다. x ( / ) 으로놓으면 이다. 따라서 / 3 f ( x ) f ( x ) ( / ) e 연수 이존재하여 f ( x ) f ( x ) / 3 인모든자연수 에대하여 을만족한다. 따라서보조정리에의해평등수렴하지않는다. 으로놓으면자 정의 (sup orm): 집합 에서정의된함수 f 의 sup 노름을다음과같이정의한다. f sup{ f ( x) : x }. 위정의로부터다음사실을쉽게알수있다. f f ( x) x. 연습문제 : 집합 에서정의된함수 f, g 와실수 에대하여다음을보이시오.
3 제 강함수수열의평등수렴. f g f g. 만일 B 이면 f f 3. 만일 f 이면 f. f 이면 f f 4. B. f 정리 : 함수수열 이다. 이집합 에서함수 f 로평등수렴할필요충분조건은 lim f f f 증명 : 먼저함수수열 정의에의해서주어진 이집합 에서함수 f 로평등수렴한다고가정해보자. 에대하여자연수 이존재하여 이면모든 x 에대하여 f ( x) f ( x) / 가성립한다. 따라서 이면 f ( x) f ( x) / 이다. 즉 lim f f 이다. 역을증명하기위하여 lim f f 라고가정하자. 수렴의정의에의하여자연수 이존 재하여 이면 f f 이다. 따라서모든 x 에대하여 f( x) f ( x) f f 이성립한다. 즉 { f } 이집합 에서함수 f 로평등수렴한다. x 예6) 함수수열 f( x) ( x ) 는에서평등수렴하지않는다. ( 풀이 ) 만약평등수렴한다면점별수렴하고극한함수는 이다. 하지만모든자연수 에대하 여 x f sup{ : x } 이므로모순이다. 예7) 함수수열 f ( x) x ( x ) 은 (,] ( 풀이 ) 만약평등수렴한다면점별수렴하고극한함수는모든자연수 에대하여 에서평등수렴하지않는다., x (,) f( x), x f f (,] sup{ f ( x) f( x) : x(,]} sup{ f ( x) x : x(,)} sup{ x : x(,)} 이므로평등수렴하지않는다. 이다. 하지만 연습문제 :. 실수의부분집합 와 B 모두에서정의된함수수열 { f } f 이 에대하여만일 3
4 제 강함수수열의평등수렴 와 B 각각평등수렴하면 B에서평등수렴함을보이시오.. 실수의부분집합 에서정의된함수수열 에대하여만일 이 에서평 f 등수렴하면 의부분집합 B 에서평등수렴함을보이시오. f f 평등수렴의코시조건 : 함수수열 이집합 에서함수평등수렴할필요충분조건은임의의 에대하여자연수 이존재하여모든, m 에대하여 f f 이성립하는 것이다. m f ( 위조건을만족할때, 함수수열 이집합 에서균등하게코시조건을만족시킨다고한 다.) f 증명 : 먼저함수수열 이집합 에서함수평등수렴한다고가정하고극한함수를 f 라 고하자. 따라서 lim f f 이다. 따라서주어진 만일 이다. 에대하여자연수 이존재하여 이면 f f / 을만족하게할수있다. 따라서만일, m f f ( f f ) ( f f ) f f f f m m m 이면 역으로임의의 에대하여자연수 이존재하여모든, m 성립한다고가정하자. 먼저극한함수의후보를정해보자. x 에대하여 f f 이 m 을고정하면 f( x) fm( x) f fm 이성립하므로수열 { f( x)} 는코시수열이다. 따라서 lim f( x) 가존재한다. x 는임의의원소이므로모든 x 에대하여 f ( x) lim f ( x) f 이 f 로점별수렴한다. 함수수열 자. 주어진 로놓으면 이집합 에서함수 f 로평등수렴하는것을보여보 에대하여자연수 이존재하여모든, m 에대하여 f f / 성립한다고가정하자. 따라서 x 이다. 에대하여 f ( x) f ( x) f f /, m m m 과 x 를고정하고 m 로극한을취하면 f ( x) f ( x) / 이성립한다. 따라서 이면모든 x 에대하여 f ( x) f ( x) 이성립한다. m f 이 극한과연속미분적분의순서바꾸기 : f 다음예에서보듯이함수수열 능성, 적분가능성을보존하지않는다. 이집합 에서 f 로점별수렴하는경우연속성, 미분가 4
5 제 강함수수열의평등수렴 예) 함수수열 f ( x) x ( x ) 은 (,] 점별수렴하고극한은 수, x (,) f( x), x f 은모두 (,] 에서 이다. 함 에서연속함수 ( 미분가능 ) 이지만 극한함수 f 는연속함수가아니다. ( 미분가능하지도않다.) 예) f :[,] 가다음과같이주어져있다고가정하자. f x, x / ( x) ( x / ), / x /, / x 그림에서보듯이함수 든자연수 에대하여 f 은모두연속함수이고적분가능하다. 그리고적분값은모 f ( ) x 하지만 x[,] 에대하여 lim f ( x) 라서 f ( x) 이성립하지않는다. 이다. 즉일반적으로 이므로 lim f ( x) f ( x) f 은 f 으로점별수렴한다. 따 평등수렴과연속성 : 다음정리에의해연속함수수열이평등수렴하면극한함수는연속이다. f 정리 : 연속함수로이루어진수열 집합 에서연속이다. 이집합 에서 f 로평등수렴한다고가정하면 f 는 증명 : 점 a 를고정하자. 수열 { f } 이집합 에서 f 로평등수렴하므로 lim f f 이다. 따라서주어진 에대하여자연수 이존재하여 f f / 3이다. 또한함수 f 이 a 에서연속이므로 가존재하여만일 x xa 를만족하면 f ( x) f ( a) / 3 를만족한다. 따라서만일 x 이고 xa 를만족하면 f ( x) f ( a) f ( x) f ( x) f ( x) f ( a) f ( a) f ( a) f f / 3 f f 이고 5
6 제 강함수수열의평등수렴 이다. 따라서함수 f 가 a 에서연속이다. a 는임의의점이므로함수 f 가 에서연속이 다. 예8) 함수 f ( x) (cos( x)) ( x ) 는 {: } 에서점별수렴하고극한 함수는, x f( x), x f 는연속이아니므로수열 이다. 함수 f 은모두연속함수이지만극한함수 f 은에서평등수렴하지않는다. 평등수렴과적분 : 다음정리에의해적분가능한함수들이평등수렴하면극한함수도적분가능하다. 정리 : 적분가능한함수로이루어진수열 { f } 이집합 [ a, ] 에서 f 로평등수렴한다고가정하면 f 는집합 [ a, ] 에서적분가능하고 가성립한다. a a lim f ( x) f ( x) 증명 : 먼저폐구간 [ pq, ] 에정의된함수 f 에대하여 M( f ) sup{ f ( s) : p s q} 와 m( f ) if{ f ( t) : p t q} 를생각하면 M ( f ) m( f ) sup{ f ( s) : p s q} if{ f ( t) : p t q} sup{ f ( s) : p s q} sup{ f ( t) : p t q} sup{ f( s) f ( t) : p s, t q} sup{ f ( s) f ( t) : p s, t q} 가성립한다. ( 위식의마지막줄에있는등호의증명은연습문제로남긴다.) [ a, ] 로놓고먼저적분가능성을증명해보자. 주어진 에대하여 lim f f 이므로자연수 이존재하여 f f / 4( a) [, ] a 의분할 s, t [ x, x ] 만일 j 가성립한다. 를만족한다. 또한 f 은적분가능하므로 P { a x x } 이존재하여 U( f, P) L( f, P) / 을만족한다. j 이면 f ( s) f ( t) f ( s) f ( s) f ( s) f ( t) f ( t) f ( t) f f M ( f ) m ( f ) f f j j / ( a) M ( f ) m ( f ) s, t[ x, x ] j j j M ( f ) m ( f ) sup f ( s) f ( t) 이므로 j j j 6
7 제 강함수수열의평등수렴 가성립한다. 따라서 이므로 f 는적분가능하다. M ( f ) m ( f ) ( a) / M ( f ) m ( f ) j j j j U( f, P) L( f, P) / U( f, P) L( f, P) 마지막으로 이면 f ( x) f ( x) f ( x) f ( x) f f ( a) f f a a a a 이성립하므로을보였다. a a lim f ( x) f ( x) 다음정리는함수수열의적분의극한을구하는데매우유용한다. 증명은생략한다. 유계수렴정리 (Bouded covergece theorem): 적분가능한함수로이루어진수열 f 이 집합 [ a, ] 에서 f 로점별수렴한다고가정하자. 만일실수 M 이존재하여모든자연수 과모 든 x 이다. 에대하여 f ( x) M 이성립한다고가정하면 a a lim f ( x) f ( x) 연습문제 : f ( x) x cos( x) ( x lim f ( ) x 의극한값을구하시오. ) 가점별수렴함을보이고극한함수를찾으시오. 또한 연습문제 : 다음극한값을구하시오.. lim e x si( x). 만일 a 이면 lim a x 3. 함수 g ( x) x( x) ( [,] lim g ( ) x 의값을구하시오. { r } 를구하고 si( x) x lim 의값과비교하시오. x ) 가점별수렴하는지평등수렴하는지가리고 4. 다음수열 를 [,] 에있는유리수의나열이라고하자. 함수의수열, x{ r,, r } f( x), x[,] { r,, r } f 이점별수렴하는것을보이시오. 또한극한함수 f 를구하고 보이고 분가능성을각각논의하시오. 을생각하면 f f f 이성립하는것을 f 가 f 의적 7
8 제 강함수수열의평등수렴 평등수렴과미분 : x 예) 함수수열 f( x) ( x [,] ) 은 f( x), x[,) 수있다. 하지만 f '( x) x 이므로 lim f '( x) f ( x), x 라서함수수열 { f( x )} 이 f 로평등수렴하고 f 이모두미분가능해도 df lim ( x ) df ( x ) 일수있다. 으로평등수렴하는것을쉽게확인할 이다. 따 정리 : J 을유계인구간이라고하고 { f } J lim f ( x ) 놓자. 만일 x 가존재하여 f 정하자. 그러면수열 가성립한다. 을 J 에서정의된미분가능한함수수열이라고 가수렴하고 f ' 이 J 에서 g 로평등수렴한다고가 이 J 에서평등수렴하고극한함수를 f 라고하면 ' df ( ) lim ( x ) df ( x g x ) x J f g 이다. 즉 증명 : a 을 J 의양쪽끝점이라고임의의점 x J 을잡자. 두자연수 m, f f 값의정리를 m 에적용하면 f ( x) f ( x) f ( x ) f ( x ) ( x x )( f '( y) f '( y)) m m m 을만족하는 y 가 [ xx, ] ( 또는 [ x, x ]) 에존재한다. 따라서 x J f ( x) f ( x) f ( x ) f ( x ) x x f ( y) f ( y) m m m 는임의의점이므로 sup 을취하면 이므로수열 { f } 으면 f ( x ) f ( x ) ( a) f ' f ' m m J f f f ( x ) f ( x ) ( a) f ' f ' m J m m J 에대해평균 이균등하게고시조건을만족시키므로평등수렴한다. 극한함수를 f 라고놓 f 이모두연속함수이므로 f 는 J 에서연속이다. f 가점 c J 에서미분가능함을보여보자. 평균값의정리를 fm f f ( x) f ( x) f ( c) f ( c) ( x c)( f ( z) f ( z)) m m m 을만족하는점 z 가 [ cx, ] 와 [ xc, ] 사이에존재한다. 따라서 x c이면 fm( x) fm( c) f( x) f( c) fm f J x c x c 에적용하면 이성립한다. 코시조건을이용하면주어진 에대하여자연수 이존재하여, m 이 8
9 제 강함수수열의평등수렴 면 f f 을만족한다. m J fm( x) fm( c) f( x) f( c) x c x c 위부등식에서 m 을취하면 x c이고 이면 f ( x) f ( c) f( x) f( c) x c x c 이성립한다. 또한 ' lim f ( c) g( c) 가성립하므로자연수 M 이존재하여 fm '( c) g( c) 을만족하게할수있다. 또한 fm 은 c 에서미분가능하므로 하여만일 x J 이고 xc 이면 이성립한다. f M M M '() c f ( x) f ( c) x c 이존재 따라서만일 x J 이고 xc 이면 f ( x) f ( c) f ( x) f ( c) fm ( x) fm ( c) fm ( x) fm ( c) g( c) fm '( c) fm '( c) g( c) x c x c x c x c 3 을만족한다. 따라서 f '( c) g( c) 이다. c J 는임의의점이므로 J 에서 f ' g 가성립한다. * 연습문제 : (Dii s theorem) 유계인폐구간 I [ a, ] x I 에대하여 에서정의된함수수열 { f } 이모든점 f ( x) f ( x) f ( x) x I 이거나 f ( x) f ( x) f ( x) x I f 을만족시킨다고가정하자. 만일함수수열 열 { f } 은평등수렴한다. 이 f 로점별수렴하고 f 가연속함수이면수 ( 도움말 : I [ a, ] I 을덮을수있다.) 을덮는임의의열린집합으로이루어진덮개에대하여유한개의원소를뽑아 f 연습문제 : 함수수열 이집합 에서평등수렴한다고가정하자. 만일각각의 에서유계이면극한함수도유계인함수임을보이시오. f 이집합 연습문제 : 함수수열 f ( ) / ( ) x x x x [, ) 에대하여각각의 f 이집합 에서 유계이지만극한함수 f 는 에서유계가아님을보이시오. 함수수열 { f } 이집합 에서 평등수렴하는지가리시오. 9
제 강함수수열의평등수렴 연습문제 : 위의 Dii s theorem에서구간 I [ a, ] 는유계인폐구간이다. 만일 I [,) 면 Dii 의정리가성립하지않음을보이시오. 로놓으