Chapter 9 자유진동해석 Chapter 9. 자유진동해석 9-1 고유벡터해석 구조물의동적특성을나타내는지표인고유진동수와모드형상을계산하는방법으로서 에서는고유벡터해석과 Rtz벡터해석의두가지방법을채택하고있습니다. 두방법모두구조물의고유치문제의특성방정식을구성하고그해를구하는방법이지만후자의해석결과를이용하는것이응답스펙트럼해석이나시간이력해석에서보다높은효율성을갖는것으로알려져있습니다. 다음은고유벡터해석에관한설명이며 Rtz벡터해석에관해서는다음절에서설명합니다. 에서비감쇠자유진동 (undaped free vbraton) 조건하의모드형상 (ode shape) 과고유주기 (natural perods) 를구하기위해사용된특성방정식은다음과같습니다. On-lne Manual 의 Analyss>Egenvalue Analyss Control 참조 [ K]{ Φ } = ω [ M]{ Φ } n n n [ K ] : 구조물의강성행렬 (stffness atrx) [ M ] : 구조물의질량행렬 (ass atrx) ω n : n번째모드의고유치 (egenvalue) { Φ n } : n번째모드의모드형상 (ode vector) 고유치해석은구조물고유의동적특성을분석하는데사용되며자유진동해석 (free vbraton analyss) 이라고도합니다. 고유치해석을통해구해지는구조물의주요한동적특성은고유모드 ( 또는모드형상 ), 고유주기 ( 또는고유진동수 ), 그리고모드기여계수 (odal partcpaton factor) 등이며이들은구조물의질량과강성에의해결정됩니다. 고유모드 (vbraton odes) 는구조물이자유진동 ( 또는변형 ) 할수있는일종의고유형상이며, 주어진모양으로변형시키기위해소요되는에너지 ( 또는힘 ) 가제일적은것부터순차적으로 1차모드형상 ( 또는기본진동형상 ), 차 We Analyze and Desgn the Future 10-1 9-1
Analyss Reference 모드형상,, n차모드형상이라고합니다. 그림 9.1은외팔보의진동모드를저차부터 ( 적은에너지로변형시킬수있는모양부터 ) 순차적으로나타낸것입니다. 고유주기는고유모드와일대일대응되는고유한값으로구조물이자유진동상태에서해당모드형상으로 1회진동하는데소요되는시간을의미합니다. 참고로단일자유도계에서고유주기를구하는방법은다음과같습니다. 단일자유도계의운동방정식에서하중과감쇠항을영으로가정하여자유진동방정식을만들면식 (1) 과같은선형 차미분방정식이됩니다. u + cu + ku = p() t (1) u + ku = 0 u가진동에의한변위이기때문에이를단순히 u = Acosωt ( A는초기변위치와관련한상수 ) 라고가정하면위식은식 () 와같습니다. ( ω k) Acosωt 0 + = () 상기의등식이항상만족하기위해서는좌변의괄호내의값이 0 이되어야하므로고유치는식 (3) 과같은형태로구해지게됩니다. ω = k, ω = k, f ω = π, 1 T = f (3), ω 을고유치 (egenvalue) 라고하고, ω 를회전고유진동수 (rotatonal natural frequency), f 를고유진동수 (natural frequency), T 를고유주기 (natural perod) 라합니다. 9- We Analyze and Desgn the Future
Chapter 9 자유진동해석 1st ode nd ode 3rd ode (a) 고유모드형상 apltude apltude apltude λ 1 =1.87510407 T 11=1.7870sec λ =4.69409113 T =0.8515 T =0.8515sec sec λ 3 =7.85475744 T 3 =0.10184 =0.10184sec sec (b) 고유주기 그림 9.1 균일단면을가진외팔보의고유모드형상및고유주기 We Analyze and Desgn the Future 10-3 9-3
Analyss Reference 그리고모드기여계수는해당모드의영향을총모드에대한비율로나타낸것으로식 (4) 와같이표현됩니다. τ = M ϕ M ϕ (4) τ M ϕ : 모드기여계수 (odal partcpaton factor) : 임의의모드차수 (ode nuber) : 임의의 위치의질량 (ass) : 임의의 위치의 차모드벡터 (ode shape) 일반내진설계기준에서는해석에포함되는모드별유효질량 (effectve odal ass) 의합이전체질량의 90% 이상을확보하도록요구하고있습니다. 이는해석결과에영향을주는대부분의주요모드를포함하도록하기위한것입니다., M = ϕm ϕ M M 은모드별유효질량 (effectve odal ass) 입니다. (5) 임의질량의자유도가구속되어있을경우총질량에는반영되지만해당자유도의모드벡터가억제되어질량성분이유효질량에는포함되지않습니다. 그러므로모드별유효질량을계산하여전체질량에대한비를평가하고자할경우에는질량이입력된성분의자유도가구속되지않도록해야합니다. 특히건축구조물에서지하구조물의횡변위가구속된경우, 해당층의횡질량성분은입력할필요가없습니다. 구조물의동적거동을제대로분석하기위해서는고유치를결정하는질량과강성을정확하게반영하는것이가장기본이되는작업입니다. 강성은구조부재를유한요소로모델링함으로써거의모든강성성분을비교적근접하게반영할수있으나, 질량은구조부재자체의질량이전체질량에비해적기때문에바닥슬래브등모델에포함되지않은재료에대한질량성분을정확하게파악하여입력하는것이매우중요합니다. 9-4 We Analyze and Desgn the Future
Chapter 9 자유진동해석 질량성분은절점당 6개의자유도성분에따라일반적으로이동질량성분 (translatonal asses) 3개와회전질량성분 (rotatonal ass oent of nerta) 3개로입력됩니다. 회전질량성분은회전질량관성에기인한것으로내진설계에서는지진이선방향지진가속도로가해지기때문에동적응답에직접적인영향을미치지는않으나, 구조물이비정형일때 ( 질량중심과강성중심이일치하지않을때 ) 는모드형상을일부변형시킴으로써동적응답에간접적인영향을미치게됩니다. 질량성분은다음과같이계산됩니다. ( 표 9.1 참조 ) 이동질량성분 d 회전질량관성모멘트 rd, r 은전체무게중심에서해당미소질량성분중심까지의거리 질량의입력단위계는중량을중력가속도로나눈단위 ([ 중량 ( 시간 / 길이 )]) 와같으며회전질량관성모멘트의단위계는질량에길이단위의제곱을곱한단위 ([ 중량 ( 시간 / 길이 ) 길이 ]) 와같습니다. 예를들면 MKS 또는 Englsh 단위계를사용할경우에는중량에중력가속도를나눈값을질량으로입력해야하며, SI 단위계를사용할경우에는 MKS 단위계에서사용되는중량치를그대로질량으로입력합니다. 그리고탄성계수값이나하중을입력할때는 MKS 단위계에서사용되는값에중력가속도를곱하여입력하면됩니다. 에서는해석작업의효율성을고려하여집중질량 (Luped Mass) 을사용하고있습니다. 질량데이터는 Man Menu의 Model > Masses > Nodal Masses 또는 Loads to Masses 기능을이용하여입력됩니다. 에서사용된고유치해석방법은 Subspace Iteraton Method와대형구조물의해석에적합한 Lanczos Method가있습니다. We Analyze and Desgn the Future 10-5 9-5
Analyss Reference 표 9.1 질량데이터의산정방법 rotatonal ass shape translaton ass oent of nerta rectangular shape 3 3 bd db I = ρ + 1 1 M = ρbd M = b + d 1 ( ) trangular shape ( x y) M = ρ area of trangle I = ρ I + I crcular shape general shape M π d = ρ 4 4 π d = ρ I 3 I = ρ ( I + I x y) M = ρ da lnear shape eccentrc ass ρ = ass per unt lengh L M = ρ L eccentrc ass : M = L I 3 L = ρl 1 rotatonal ass oent of nerta about ts ass center : I o I = I + r o ρ : ass per unt area : ass center 9-6 We Analyze and Desgn the Future
Chapter 9 자유진동해석 9- Rtz 벡터해석 Rtz 벡터해석은구조물의동적특성을나타내는고유진동수와모드형상을구하는방법으로써이렇게구해진고유진동수와모드형상은구조물의동적특성을표현하는데있어서고유벡터해석에의한것보다효율적인것으로알려져있습니다. 이방법은다자유도구조물의모드형상을가정하여단자유도구조물로치환한뒤고유진동수를구하는 Raylegh-Rtz 방법을확장한것입니다. 먼저 n자유도의구조물운동방정식에서변위벡터가다음과같이 p개의 Rtz vector의조합으로표현된다고가정합니다. 이때 p는 n보다작거나같습니다. Mu( t )+Cu( t )+ Ku( t )= p( t ) (1) p () = 1 u( t ) = ψ z(t) = Ψz( t ) M : 구조물의질량행렬 C : 구조물의감쇠행렬 K : 구조물의강성행렬 ut () : n자유도구조물의변위벡터 zt () : 일반화좌표 (generalzed coordnate) 벡터 pt () : 동적하중벡터 ψ : 번째 Rtz 벡터 z () t : 번째 일반화좌표 T Ψ= ψ1 ψ ψp : Rtz 벡터행렬 위가정에의해서 n자유도의운동방정식은다음과같이 p자유도의운동방정식으로축소됩니다. Mz () t +Czt () +Kzt () =pt () (3) T = Ψ MΨ : 축소된운동방정식의질량행렬 M T C = Ψ CΨ : 축소된운동방정식의감쇠행렬 T K = Ψ KΨ : 축소된운동방정식의질량행렬 pt () = Ψ T pt () : 축소된운동방정식의동적하중벡터 We Analyze and Desgn the Future 10-7 9-7
Analyss Reference 축소된운동방정식에대해서다음과같은고유치문제를구성하고해석을수행합니다. Kφ = ω Mφ (4) φ : 축소된운동방정식의모드형상 ω : 축소된운동방정식의고유진동수 위고유치문제의해를이용하면고전적감쇠행렬을가정할때축소된운동방정식을다음과같이각모드의단자유도운동방정식으로분리할수있습니다. T Ψ p () t q () t + ξω q () t + ω q() t = (5) Ψ T MΨ p zt () = φ q() t (6) = 1 q () t : 번째 I 모드좌표 ξ : 번째 I 모드감쇠비 축소된운동방정식의고유치해석해대한근사해를의미합니다. ω 는원래운동방정식의고유진동수에 ω = ω (7) ω : 번째모드형상의근사해 구조물의모드형상은운동방정식의변위벡터와모드좌표사이의사상 ( 寫像 ; appng) 관계를정의해주는벡터입니다. 따라서 Rtz 벡터해석에의한근사적모드형상은원래운동방정식의변위벡터 ut () 와모드좌표 q () t 사이의관계식에의해정의되며그식은다음과같습니다. p ut () Ψz() t Ψφ q () t = = [ ] = 1 (8) 따라서 번째모드형상의근사해는다음과같이정의됩니다. φ = Ψφ (9) φ : 번째 모드형상의근사해 9-8 We Analyze and Desgn the Future
Chapter 9 자유진동해석 Rtz 벡터해석에의한근사적모드형상벡터는고유치해석에의한것과마찬가지로원래의질량및강성행렬에대하여직교성 (orthogonalty) 을갖습니다. Rtz 벡터해석에의한고유진동수와모드형상의근사해는일반고유치해석의해와마찬가지로모드기여계수 (odal partcpaton factor) 와모드별유효질량 (effectve odal ass) 의계산에사용됩니다. Rtz 벡터해석결과를기초로모드중첩법에의한시간이력해석을수행하는경우에는상기모드운동방정식 (5) 를사용합니다. 구조물의변형형상을가정하는 Rtz 벡터는일반적으로구조물에가해지는하중에대한변위를반복적으로계산하여생성하게됩니다. 먼저사용자가초기하중벡터 (ntal load vector) 를선정합니다. 기본가정은동적하중이시간에따라변화하지만각자유도별분포는사용자가지정한초기하중벡터를따른다는것입니다. 다음으로는선정된초기하중벡터에대해서일차적으로정적해석을수행하여첫번째 Rtz 벡터를구합니다. (1) (1) Kψ =r ψ =K r (1) 1 (1) K : 구조물의강성행렬 (1) ψ : 첫번째 Rtz 벡터 (1) r : 사용자지정초기하중벡터 이렇게해서얻어진첫번째 Rtz 벡터를구조물의변위로가정합니다. 그러나위의정적해석은구조물의동적응답에의해서발생하는관성력의영향을무시하고있습니다. 따라서추가적인반복계산을통해관성력에의한변위를계산하게됩니다. 먼저구조물의가속도분포는앞서계산된변위벡터, 즉첫번째 Rtz 벡터를따른다고가정합니다. 따라서가속도에의해발생하는관성력은질량벡터를곱해서계산되며, 이관성력이구조물에추가적인변위를발생시키는하중으로작용한다고가정하여다시정적해석을수행합니다. () (1) Kψ =Mψ () 1 (1) ψ =K Mψ We Analyze and Desgn the Future 10-9 9-9
Analyss Reference M : 구조물의질량행렬 () ψ : 두번째 Rtz 벡터 이렇게해서얻어진두번째 Rtz 벡터역시정적평형 (statc equlbru) 만을나타내는위식에서고려되지못한가속도분포를나타낸다고가정하여상기과정을반복하면서사용자가지정한개수만큼의 Rtz 벡터를계산합니다. 사용자는복수의초기하중벡터를지정할수있으며각각에대해서생성할 Rtz 벡터의개수를개별적으로지정할수있습니다. 단, 생성할 Rtz 벡터의전체개수는구조물운동방정식에존재하는실제모드개수를넘을수없습니다. 또한반복과정에서이미생성된 Rtz 벡터에대해서선형종속 (lnearly dependent) 인 Rtz 벡터가계산되면이를삭제하게됩니다. 이때문에더이상선형독립 (lnearly ndependent) 인 Rtz벡터가계산될수없으면반복과정을종료하게되고, 이는사용자가지정한초기하중벡터만으로는지정한개수만큼의모드를구할수없음을의미합니다. 에서사용자가선정할수있는초기하중벡터는전체좌표계 X, Y 및 Z 방향지반가속도에의한관성력, 사용자가입력한모든정적하중조건 (statc load case), 비선형연결요소의부재력벡터 (nonlnear lnk force vector) 입니다. 전체좌표계 X, Y 및 Z 방향지반가속도에의한관성력은주로해당방향의지반가속도에발생하는변위에관련된 Rtz 벡터를구하기위해사용됩니다. 사용자입력정적하중조건은특정한분포를갖는동적하중에대한 Rtz 벡터를구하고자할때에사용합니다. 통상적인정적하중조건 ( 고정하중, 적재하중, 풍하중등 ) 을사용하거나 Rtz 벡터생성을위한목적으로인위적인정적하중조건을만들어사용할수있습니다. 비선형연결요소의부재력벡터는각비선형연결요소에서발생하는부재력의구조물에대한영향을반영하는 Rtz 벡터를생성하기위한것입니다. 요소가가진 6개의변위자유도가운데사용자가체크한것에대해서만개별적으로단위힘을갖는초기하중벡터를구성하여 Rtz 벡터생성에이용합니다. ( 그러나비선형연결요소를포함한구조물의해석에있어서반드시이를이용해야하는것은아니며, 사용자의판단에따라주어진해석조건하의구조물변형형상을충분히반영할수있는초기하중벡터를선정합니다.) 9-10 We Analyze and Desgn the Future
Chapter 9 자유진동해석 고유치해석과비교할때에 Rtz 벡터해석의장점은다음과같습니다. Rtz 벡터는적은수의모드를계산하더라도실제하중에대한정적해석해에기초하기때문에그안에고차모드의영향이자동적으로반영되어있습니다. 예를들어서 Rtz 벡터해석에의해구해진 1차모드의모드형상과고유치해석에의해구해진 1차모드의모드형상의차이는전자에반영된고차모드의성분을의미한다고할수있습니다. 또한구조물에작용하는하중에의해가진되는모드형상만이구해지므로불필요한모드의계산이배제됩니다. 이상과같은원리로 Rtz 벡터해석은정확한해석결과를얻기위해필요한모드의개수를줄여줍니다. 예를들면, 특정한모드별유효질량의합계를확보하기위해필요로하는모드의개수는일반적으로 Rtz 벡터해석의경우가고유치해석의경우보다적은것으로알려져있습니다. We Analyze and Desgn the Future 10-11 9-11
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