등차수열 등차수열 등차수열 등차수열 등차수열 등차수열 등차수열 등차수열 첫째항이 수열 등차수열 등차수열 등차수열 수학 Ⅱ 1. 등차수열과등비수열 14. 이 이고, 일때, 의값을구 하시오. [3점][2011( 나 ) 9월 / 평가원 23] 21.개의실수,,,, 가이순서대

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1 등차수열 등차수열 등차수열 등차수열 등차수열 등차수열 공차가 등차수열 등차수열 첫째항과 등차수열 등차수열 등차수열 1. 등차수열과등비수열 Ⅲ 수열 01 등차수열의일반항 1. 등차수열과등비수열 7. 인등차수열 에대하여 의값은? [3점][2015(A) 6월 / 평가원 4] 에대하여, 일때, 의값은? [3점][2014(A) 6월 / 평가원 6] 대하여 일때, 수열 의공차를구하 시오. [3점][2016(A) / 수능 22] 2. 에대하여, 일때, 의값을구하시 오. [3점][2017( 나 ) 4월 / 교육청 23] 9. 에대하여 일때, 의값은? [3점][2016( 나 ) 8월 / 영남권 4] 이, 일때, 의값을구하시오. [3 점 ][2008( 나 ) 수능 ( 홀 ) 18] 10. 공차가같은등차수열 이 를만족시킬 때, 의값을구하시오. [3점][2017( 나 ) 9월 / 평가원 25] 4. 에대하여, 일때, 의값은? [3점][2015(A) 3월 / 교육청 6] 에서, 일때, 의값을구하 시오. [3점][2012( 가 ) 3월 / 교육청 22] 5. 에대하여 일때, 의값은? [2점][2012( 나 ) 9월 / 평가원 3] 에대하여, 일때, 의값을 구하시오. [3점][2013(A) 10월 / 교육청 22] 6. 에대하여 일때, 을만족시 키는 의값은? [3점][2017( 나 ) 10월 / 경남 5] 이, 를만족할때, 의값 을구하시오. [3점][2012( 나 ) 7월 / 교육청 22] - 1 -

2 등차수열 등차수열 등차수열 등차수열 등차수열 등차수열 등차수열 등차수열 첫째항이 수열 등차수열 등차수열 등차수열 수학 Ⅱ 1. 등차수열과등비수열 14. 이 이고, 일때, 의값을구 하시오. [3점][2011( 나 ) 9월 / 평가원 23] 21.개의실수,,,, 가이순서대로등차수열을이루고 일때, 의값은? [2 점 ][2015(A) 삼사 3] 15. 에대하여, 일때, 의값은? [3점][2015(A) 4월 / 교육청 7] 에대하여, 일때, 의값 은? [3점][2008( 나 ) 7월 / 교육청 4] 에대하여, 일때, 의값은? [3점][2016( 나 ) 10월 / 경남 6] 인등차수열 이 을만족시킬때, 의값을구하시오. [3점][2015(B) 6월 / 평가원 23] 17. 에대하여, 일때, 의값을 구하시오. [3점][2017( 나 ) 3월 / 교육청 23] 24. 이 이고, 공차가 인등차수열일때, 의값을구하시오. [3점][2012( 가 ) 10월 / 교육청 22] 18. 에대하여, 일때, 의값을구 하시오. [3점][2010( 나 ) 9월 / 평가원 18] 25. 에대하여, 일때, 의값을 구하시오. [3점][2013(B) 6월 / 평가원 22] 19. 에대하여, 일때, 의값은? [3점][2014(A) 3월 / 교육청 4] 에대하여 이고 일때, 의값 을구하시오. [3점][2014(B) 7월 / 교육청 22] 20. 에대하여, 일때, 의값을 구하시오. [3점][2013(A) 6월 / 평가원 22] 27. 에대하여 이성립할때, 의값을구하시오. [3점][2006( 나 ) 9월 / 평가원 18] - 2 -

3 등차수열 등차수열 등차수열 첫째항이 등차수열 등차수열 등차수열 등차수열 등차수열 공차가 첫째항이 등차수열 1. 등차수열과등비수열 Ⅲ 수열 28. 이, 를만족시킬때, 의값을구하시오. [3점][2012( 나 ) 6월 / 평가원 24] 34. 에대하여, 가성립 할때, 의값은? [2점][2005( 나 ) 수능 ( 홀 ) 3] 에대하여, 일때, 의값은? [3점][2016( 나 ) 6월 / 평가원 12] 이, 를만족시 킬때, 의값을구하시오. [3점][2014(B) 4월 / 교육청 23] 30. 에대하여, 가성립할때, 의값은? [2점][2006( 나 ) 수능 ( 홀 ) 3] 에대하여 일때, 의값 을구하시오. [3점][2010( 나 ) 10월 / 교육청 19] 31. 인등차수열 에대하여 일때, 의값 은? [점][2014(B) / 수능 4] 인등차수열 에대하여 일때, 의값을구하시오. [3점][2009( 나 ) / 수능 19] 32. 에서, 일때, 의값을 구하시오. [3점][2015(B) 삼사 22] 38. 인등차수열 대하여 일때, 수열 의공차를구하시오. [3점][2016(B) / 수능 22] 33. 에대하여, 일때, 의값을구하시오. [3점][2015(A) 10월 / 교육청 25] 39. 이 를만족시킬때, 공차를구 하시오. [3점][2010( 나 ) / 수능 18] - 3 -

4 공차가 공차가 수열 등차수열 등차수열 첫째항이 등차수열 등차수열 공차가 등차수열 등차수열 네 수학 Ⅱ 1. 등차수열과등비수열 40. 인등차수열 에대하여 일 때, 의값은? [3점][2011( 나 ) 6월 / 평가원 6] 에대하여, 일때, 을 만족시키는자연수 의최솟값은? [3점][2013(A) 4월 / 교육청 5] 양수인등차수열 이다음조건을만족시킬때, 의값 은? [4점][2017( 나 ) 수능 15] ( 가 ) ( 나 ) 47. 에대하여 이고 일때, 이최소가되는자연수 의값을구하시오. [4점][2016( 나 ) 5월 / 전북 26] 과공차가 인등차수열 에대하여 이성립한다. 일때, 의값을구하시오. [3점][2014(A) 7월 / 교육청 25] 48. 인등차수열 이 을만족시킨다. 이때, 를만족시키는자연수 의최솟값을구하시오. [3점][2013(B) 4월 / 교육청 23] 43. 에대하여, 일때, 의 값은? [3점][2009( 나 ) 10월 / 교육청 4] 에대하여 이고 일때, < 을만족시키는 의최댓값을구하시오. [3점][2007( 나 ) 10월 / 평가원 19] 50. 에대하여 일때, 의 값은? 44. 에대하여 일때, 의값은? 1 2 [2 점 ][2007( 가 ) 삼사 1] [2010 학년도경찰대 1] 이고공차가 인등차수열 이 를만족시킬때, 의값을구하시오. [3점][2011( 가 ) 10월 / 교육청 23] 51. 수 가이순서대로등차수열을이루고 를만족시킨다. 의값을구하시오. [3점][2009( 나 ) 6월 / 평가원 19] - 4 -

5 첫째항이 공차가 두 등차수열 양의 두 1. 등차수열과등비수열 Ⅲ 수열 52. 의값은?, 공차가 인등차수열 에대하여 [3 점 ][2006( 가 ) 10 월 / 교육청 5] 55. 의공차와각항이 이아닌실수일때, 방정식 의한근을 이라하면등차수열 의공차는? ( 단, ) 1 2 [4 점 ][2009( 나 ) 4 월 / 교육청 10] 인등차수열 에대하여수열 을 ( ) 으로정의할때, < 보기 > 에서옳은것을모두고른것은? [3점][2007( 가 ) 3월 / 교육청 7] < 보기 > ㄱ. 56. 실수 에대하여 log 이다. 세실수,, 가이순서대로등차수열을이룰때, 실수 의값은? [3점][2015(A) 3월 / 교육청 13] ㄴ. ㄷ. 수열 은등차수열이다. 1 ㄱ 2 ㄴ 3 ㄱ, ㄴ 4 ㄱ, ㄷ 5 ㄴ, ㄷ 57. 함수 과 에대하여직 선 와함수 의그래프가만나는두점을 A, B 라하고, 함수 의꼭짓점을 C 라하자. 세점 A, B, C 의 좌표가이순서대로등차수열을이룰때, 상수 의값은? ( 단, A 는제 사분면위의점이다.) [3점][2015(A) 7월 / 교육청 13] 54. 수열, 이모든자연수 에대하여 을만족시킨다. 수열 은등차수열이고, 일때, 수열 의공차는? 1 2 [4 점 ][2009( 가 ) 9 월 / 평가원 14] 3 O

6 세 등차수열 직각삼각형의 고대 그림과 그림과 수학 Ⅱ 1. 등차수열과등비수열 등차수열의식작성 수,, 가이순서대로등차수열을이룰때, 양수 의값은? [3점][2017( 나 ) 8월 / 영남권 5] 같이반지름의길이가 인원을 개의부채꼴로나누었더 니부채꼴의넓이가작은것부터차례로등차수열을이루었다. 가장큰부채꼴의넓이가가장작은부채꼴의넓이의 배일때, 가장큰부채꼴의넓이는 이다. 이때 의값을구하시오. [4점][2008( 나 ) 3월 / 교육청 25] 59. 에대하여세수,, 이이순서대 로등차수열을이룰때, 의값은? ( 단, ) [3 점 ][2017( 나 ) 10 월 / 교육청 6] 에대한이차방정식 의두근 에대하여 가이순서대로등차수열을이룰때, 양수 의값을구하 시오. [3 점 ][2016(A) 삼사 22] 64. 같이함수 의그래프가직선 와서로다 른네점에서만날때, 네점의 좌표를각각,,, 라하자. 네수,,, 가이순서대로등차수열을이룰때, 상수 의값은? ( 단, ) [4점][2014(A) 4월 / 교육청 20] 61. 세변의길이,, 가공차가 인등차수열을이 룬다고한다. 이때, 이직각삼각형의넓이를 의식으로나타내면? [3점][2005( 나 ) 3월 / 교육청 26] 이집트의수학문헌인아메스파피루스 ( 기원전 1650 년경 ) 에 는다음과같은문제가기록되어있다. 다섯사람에게 개의빵을나누어주는데, 각자의배당몫이 등차수열을이루고, 가장적게배당받는사람과그다음으로적 O 게배당받는사람의몫의합이나머지세사람몫의합의 이되도록하라. 위와같이빵을나누어줄때, 가장많이배당받는사람의몫은? [1994(1 차 ) 수능 (A) 4]

7 첫째항이 첫째항이 수열 첫째항이 첫째항이 첫째항이 두 등차수열 등차수열 공차가 1. 등차수열과등비수열 Ⅲ 수열 등차수열의합 이고공차가 인등차수열 의첫째항부터제 항 까지의합은? [3점][2017( 나 ) 4월 / 교육청 5] 과 사이에 개의수를넣어만든등차수열 의합이 일때, 의값은?,,,,, [3 점 ][2010( 나 ) 6 월 / 평가원 6] 66. 이고공차가 인등차수열 의첫째항부터제 항 까지의합을 이라할때, 71. 인등차수열 에서 일때, 의값 을구하시오. [3 점 ][2005( 나 ) 9 월 / 평가원 18] 가성립한다. 의값은? [3점][2014(A) / 수능 6] 등차수열 에대하여, 일때, 의값을구하시오. [3점][2008( 가 ) 3월 / 교육청 20] 67. 이모든자연수 에대하여 를만족 시킨다. 일때, 수열 의첫째항부터제 항까지의 합은? [3점][2011( 나 ) / 수능 26] 이, 를만족시킬때, 의값은? [4점][2018 학년 ( 나 ) 수능 14] 이고공차가 인등차수열 에대하여 의값은? [3점][2012( 나 ) / 수능 11] 에대하여 일때, 의값을구하 시오. [3점][2014(A) 9월 / 평가원 24] 69. 이고공차가 인등차수열의첫째항부터제 항까지 의합이 일때, 의값을구하시오. [3점][2012 예비 (A) 5월 / 평가원 23] 75. 양수인등차수열 에대하여이차방정식 의두근이 이다. 의값은? [4점][2017( 나 ) 6월 / 평가원 15]

8 등차수열 등차수열 첫째항이 등차수열 첫째항이 등차수열 등차수열 등차수열 등차수열 첫째항이 첫째항이 수학 Ⅱ 1. 등차수열과등비수열 76. 에대하여 일때, 의 값을구하여라. [3점][2016 학년도경찰대 21] 82. 에서, 일때, 의값을구하시오. [3점][2007( 나 ) 4월 / 교육청 22] 77. 에대하여,, 일 때, 의값을구하시오. ( 단, 는상수이다.) [4 점 ][2015( 가 ) 9 월 / 교육청 ( 고 2) 26] 83. 에대하여, 일때, 첫째항부터제 항까지의합이최대가되도록하는자연수 의값은? [3점][2015(B) 3월 / 교육청 9] ( ) 이고공차가 인등차수열 이임의의자 연수, 에대하여 을만족시킨다. 의값을 나타내는것은? [3점][2008( 나 ) 10월 / 교육청 27] 에서, 일때, 이최소가되는자연수 의값을구하시오. [3점][2009( 나 ) 4월 / 교육청 21] 79. 의첫째항부터제 항까지의합을 이라하자. 일때, 의값을구하시오. ( 단, ) [3점][2012( 가 ) 삼사 25] 85. 인등차수열 에대하여수열 을 이라하자. 수열 이다음조건을만족시킨다. ( 가 ) ( 나 ) 을만족시키는 의최솟값과최댓값의합을구하시오. [4 점 ][2013(A) 3 월 / 교육청 30] 80. 이고공차가 이아닌등차수열 에대하여수열 이 를만족시킬때, 의값을구하시오. 81. 에서, 일때, [4 점 ][2007( 가 ) 수능 ( 홀 ) 22] 의값은? [3점][2004( 가 ) 6월 / 평가원 7] , 공차가정수인등차수열 에대하여수열 을 이라하자. 수열 이다음조건을만족시킨다. ( 가 ) ( 나 ) 을만족시키는 의최댓값을구하시오. [4점][2013(B) 3월 / 교육청 29] - 8 -

9 첫째항이 수열 첫째항이 첫째항이 첫째항이 수열 1. 등차수열과등비수열 Ⅲ 수열 87. 개의항으로이루어진등차수열 이다음조 건을만족한다. ( 가 ) 처음 개항의합은 이다. ( 나 ) 마지막 개항의합은 이다. ( 다 ) 91. 이고공차가 인등차수열 의첫째항부터제 항까지의합을 이라하자. 모든자연수 에대하여 일때, 자연수 의최댓값을구하시오. [4점][2014(B) 3월 / 교육청 28] 이때 의값을구하시오. [4 점 ][2007( 가 ) 3 월 / 교육청 22] 88. 인등차수열 에대하여 일때, 의값을구하시오. [4 점 ][2016( 나 ) 7 월 / 교육청 26] 92., 공차가 인등차수열 에대하여부등식 을만족시키는 의최솟값을 이라할때, 옳은것만을 < 보기 > 에서있는대로고른것은? [4점][2012( 나 ) 4월 / 교육청 17] < 보기 > ㄱ. ㄴ. 수열 은공차가 인등차수열이다. ㄷ. 89. 에대하여 라할때, 등식 ( ) 가성립한다. 의값은? ( 단, 는상수이다.) [4점][2014(A) 3월 / 교육청 18] ㄱ 2 ㄴ 3 ㄱ, ㄷ 4 ㄴ, ㄷ 5 ㄱ, ㄴ, ㄷ 이다음조건을만족시킨다. 90. 이고공차가 인등차수열 에대하여등식 을만족시키는두자연수, 가존재하도록하는자연수 의개수 는? [4점][2014(A) 3월 / 교육청 15] ( 가 ) ( ) ( 나 ) 의값을구하시오. [4 점 ][2014(A) 10 월 / 교육청 30] - 9 -

10 수열 수열 수열 수열 수열 수학 Ⅱ 1. 등차수열과등비수열 등차수열의합의특징 의첫째항부터제 항까지의합 이 일 때, 의값을구하시오. [3점][2006( 나 ) 6월 / 평가원 18] 99. 수열 에대하여 일때, 의값을구하시오. [3 점 ][2007( 나 ) 6 월 / 평가원 18] 95. 의첫째항부터제 항까지의합 이 일때, 의값을구하시오. [3점][2015(A) 3월 / 교육청 23] 96. 의첫째항부터제 항까지의합 이 일 때, 을만족시키는자연수 의개수는? [3점][2013(A) 6월 / 평가원 12] 수열 에대하여 일때, 의값은? [3 점 ][2014(B) 6 월 / 평가원 13] 97. 의첫째항부터제 항까지의합 은 이 고, 수열 은다음조건을모두만족시킨다 수열 에대하여 일때, 의값을구하시오. [4 점 ][2017( 나 ) 4 월 / 교육청 27] ( 가 ) ( 나 ) ( ) 수열 이등차수열일때, 상수 의값은? [3점][2008 년 ( 나 ) 삼사 7] 수열 의첫째항부터제항까지의합 이 일 때, 의값을구하시오. [3 점 ][2012( 가 ) 4 월 / 교육청 27] 98. 에대하여첫째항부터제 항까지의합 이 일때, 의값은? [3점][2011( 가 ) 4월 / 교육청 7]

11 1. 등차수열과등비수열 Ⅲ 수열 103. 수열 시오. 이 을만족시킬때, 의값을구하 [3 점 ][2016( 나 ) 3 월 / 교육청 23] 107. 수열 의첫째항부터제 항까지의합 이 일 때, 의값은? [3 점 ][2009( 나 ) 9 월 / 평가원 5] 104. 수열 의첫째항부터제항까지의합 이 일 때, 의값은? 1 2 [3 점 ][2015(A) / 수능 9] 첫째항이, 공차가 인등차수열 에대하여 일때, 의값을구하시오. [4 점 ][2017( 나 ) 7 월 / 교육청 26] 이차함수 에대하여수열 의첫째항부 105. 수열 의첫째항에서제 항까지의합 이 일때, 를구하시오. 터제 항까지의합을 이라할때, 이다. 의값은? [3 점 ][2016( 나 ) 7 월 / 교육청 13] [3 점 ][2004( 나 ) 4 월 / 교육청 26] O 106. 수열 의첫째항부터제항까지의합 이 일 때, 의값은? [3 점 ][2015(A) 7 월 / 교육청 6]

12 수학 Ⅱ 1. 등차수열과등비수열 110. 수열 에대하여첫째항부터제 항까지의합을 이라하자. 수열 은공차가 인등차수열이고, 수열 은공차가 인등차수열이다. 일때, 의값을구하시오. [4 점 ][2010( 나 ) / 수능 30] 05 등차수열의합의활용 113. 그림과같이두직선, ( ) 의교점에서 오른쪽방향으로 축에평행한 개의선분을같은간격으로그었다 공차가 인두등차수열 의첫째항부터제 항 까지의합을각각 이라하자. 일때, < 보기 > 에서항상옳은것을모두고른것은? ㄱ. 이면 이다. ㄴ. ㄷ. 이면 이다. < 보기 > [4 점 ][2008( 가 ) 6 월 / 평가원 16] 이들중가장짧은선분의길이는 이고, 가장긴선분의길이는 일때, 개의선분의길이의합을구하시오. ( 단, 각선분의양끝점은두직선위에있다.) [3점][2007( 나 ) 3월 / 교육청 21] 1 ㄱ 2 ㄴ 3 ㄱ, ㄴ 4 ㄱ, ㄷ 5 ㄱ, ㄴ, ㄷ 112. 공차가양수인등차수열 과공차가음수인등차수열 의첫째항부터 째항까지의합을각각 과 이라하자. 다음이성 립할때, 과 의곱 의값은? [2011 학년도경찰대 18] 114. 선미는문제수가 인수학책을첫째날에는 문제를풀고둘 째날부터매일문제수를 만큼씩증가시키면서풀어아홉째날까지 문제를풀고나면 문제가남게된다. 또, 첫째날에는 문제를풀 고둘째날부터매일문제수를 만큼씩증가시키면서풀어일곱째날 까지문제를풀고나면 문제가남게된다. 선미가풀고자하는이수 학책의문제수 의값을구하시오. [4 점 ][2006( 나 ) 3 월 / 교육청 25]

13 1. 등차수열과등비수열 Ⅲ 수열 115. 그림과같이좌표평면에 축위의두점 F, F 과점 P 이있다. 삼각형 PF F 가 FPF 인직각이등변삼각형이 고 이자연수일때삼각형 P F F 의세변위에있는점중에서 좌 표와 좌표가모두정수인점의개수를 이라하자. 의값은? [3 점 ][2015(B) 10 월 / 교육청 13] 117. 어느농장에서 마리의돼지가 일동안먹을수있는사료를 마련하였다. 그런데사료를주기시작한다음날부터매일돼지가 마 리씩줄어 일동안사료를먹일수있었고, 마련한사료는다 떨어졌다. 사료를먹는돼지의수 첫째날둘째날셋째날 이때, 의값을구하시오. ( 단, 돼지한마리가하루에먹는사료의양 은일정하다.) [4 점 ][2007( 가 ) 9 월 / 교육청 ( 고 2) 27] 수학자드무아브르에대하여다음과같은일화가전해지고있다 그림과같이 AC BC 이고, C 인직각 삼각형 ABC 가있다. 변 AB 를 등분하는점 P P P 를지나변 AB 에수직인직선을그어변 AC 또는변 CB 와만나는 점을각각 Q, Q,, Q 라하자. P Q P Q P Q P Q 의값을구하시오. [4 점 ][2006( 나 ) 3 월 / 교육청 30] 드무아브르는자신의수면시간이매일 분씩길어진다는것을깨닫고, 수면시간이 시간이되는날을계산하여그날에자신이죽을것이라고예측하였다. 그런데놀랍게도그날에수면하는상태에서생을마쳤다. 드무아브르가매일밤 시에잠든다고가정할때, 처음이사실을알게된날의수면시간이 시간이었다면그날부터생을마칠때까지깨어있는시간의합은? [3점][2008( 나 ) 4월 / 교육청 27]

14 수학 Ⅱ 1. 등차수열과등비수열 119. 그림과같이원점 O 에서시작하여 A, A, A, A, A A 의순서대로각 점을연결하는선분을긋는다. 그어진모든선분의길이의합이 일때, 의값은? [4 점 ][2009( 가 ) 9 월 / 교육청 ( 고 2) 21] 01 등비수열의일반항 121. 공비가 인등비수열 에대하여 일때, 의값을 구하시오. [3 점 ][2017( 나 ) 7 월 / 교육청 22] A A A 122. 공비가 인등비수열 에대하여 일때, 의값은? A A A O A A A A [3 점 ][2014(A) 9 월 / 평가원 5] A A A 첫째항이 이고공비가양수인등비수열 에대하여 일때, 의값은? [3 점 ][2016( 나 ) 9 월 / 평가원 6] 120. 이차함수 가모든실수 에대하여 를만족시킨다. 모든자연수 에대하여 이공차가 인등차수 열 의첫째항부터제 항까지의합과같을때, 이성립하도록하는 의최댓값은? [4 점 ][2015( 나 ) 9 월 / 교육청 ( 고 2) 14] 124. 공비가 인등비수열 에대하여 일때, 의값 은? [3 점 ][2013(A) 3 월 / 교육청 4] 125. 공비가 인등비수열 에대하여 일때, 의값을구하시오 [3 점 ][2014(B) 9 월 / 평가원 22] 126. 등비수열 에대하여, 일때, 의값은? [2 점 ][2016( 나 ) 3 월 / 교육청 3]

15 1. 등차수열과등비수열 Ⅲ 수열 127. 수열 이다음조건을만족시킨다. ( 가 ) ( 나 ) 133. 등비수열 에대하여, 일때, 의값을구 하시오. [3 점 ][2016( 나 ) 7 월 / 교육청 22] 의값을구하시오. [3 점 ][2014(A) / 수능 24] 128. 공비가 이아닌등비수열 에대하여 일 때, 의값을구하시오. [3 점 ][2015(A) 9 월 / 평가원 22] 134. 모든항이실수인등비수열 에대하여, 일 때, 의값은? [3 점 ][2015(A) 10 월 / 교육청 5] 129. 수열 에서 이고, 수열 은등비수열일때, 의값을구하시오. [3 점 ][2006( 나 ) / 수능 ( 홀 ) 19] 135. 첫째항의 이아닌등비수열 에대하여, 일때, 첫째항 의값은? [3 점 ][2016(A) / 수능 7] 공비가양수인등비수열 에대하여, 일때, 의값은? [3 점 ][2015(A) / 수능 5] 136. 모든항이양수인등비수열 에대하여, 일때, 의값을구하시오. [3 점 ][2010( 나 ) 6 월 / 평가원 18] 131. 등비수열 에대하여, 일때, 의값을구하 시오. [3 점 ][2007( 나 ) 수능 ( 홀 ) 18] 137. 등비수열 에대하여, 일때, 의값 을구하시오. [3 점 ][2008( 나 ) 3 월 / 교육청 18] 132. 모든항이양수인등비수열 에대하여, 일 때, 의값은? [3 점 ][2016( 나 ) 4 월 / 교육청 5] 138. 등비수열 에대하여 일때, 의 값은? [3 점 ][2011( 나 ) 6 월 / 평가원 8]

16 수학 Ⅱ 1. 등차수열과등비수열 139. 모든항이양수인등비수열 에대하여, 일 때, 의값을구하시오. [3 점 ][2016( 나 ) 6 월 / 평가원 25] 145. 등비수열 이다음조건을만족시킬때, 의값은? ( 가 ) [3 점 ][2017( 나 ) 8 월 / 영남권 13] ( 나 ) 140. 등비수열 에대하여, 이성립할때, 의값을구하시오. [3 점 ][2007( 나 ) 3 월 / 교육청 18] 146. 모든항이양수인등비수열 에대하여, 일때, 의값은? 141. 첫째항이 인등비수열 에대하여 일때, 이다. 의값을구하시오. ( 단, 와 는서로소인자연수이다.) [3 점 ][2014(A) 4 월 / 교육청 7] 3 [4 점 ][2017( 나 ) 6 월 / 평가원 26] 142. 첫째항이양수인등비수열 이, 를 만족시킬때, 의값은? [3 점 ][2017( 나 ) 3 월 / 교육청 11] 147. 첫째항이 인등비수열 에대하여 일때, 의값 을구하시오. [3 점 ][2016( 나 ) 5 월 / 전북 23] 143. 모든항이양수인등비수열 이, 를만 족시킬때, 의값을구하시오. [3 점 ][2013(B) 3 월 / 교육청 22] 148. 등비수열 에대하여 일때, 의값은? [3 점 ][2013(A) 6 월 / 평가원 7] 144. 공비가양수인등비수열 이, 를만 족시킬때, 의값은? [3 점 ][2013(B) 6 월 / 평가원 4] 149. 모든항이양수인등비수열 에대하여 일때, 의값은? [3 점 ][2012( 나 ) 9 월 / 평가원 11]

17 1. 등차수열과등비수열 Ⅲ 수열 150. 등비수열 에서 일때, 수열 의첫째항부터 제 항까지의곱은? [3 점 ][2010( 나 ) 10 월 / 교육청 6] 151. 등비수열 에서, 일때, 의값 156.이아닌세실수 가다음조건을만족시킬때, 의값은? ( 가 ) 는이순서대로등비수열을이룬다. ( 나 ) ( 다 ) [3 점 ][2014(A) 삼사 10] 은? [2 점 ][2007( 나 ) 4 월 / 교육청 3] 첫째항이 이고공비가 인등비수열 에대하여 일때, 의값은? 152. 세양수,, 가이순서대로공비가 인등비수열을이루고, 을만족시킬때, 공비 의값은? 1 2 [3 점 ][2011( 나 ) 4 월 / 교육청 4] 3 [3점][2012( 나 ) 6월 / 평가원 8] 두자연수 와 에대하여세수 이이순서대로 등비수열을이룰때, 의최솟값을구하시오. ( 단, 은자연수이다.) [4 점 ][2010( 나 ) / 수능 24] 158. 모든항이양수인수열 이 이고, log log 을만족시킨다. 일때상수 의값은? [3 점 ][2013(A) 9 월 / 평가원 8] 154. 공차가 이아닌등차수열 의세항 가이순서 대로공비 인등비수열을이룰때, 의값을구하시오. [4 점 ][2011( 나 ) / 수능 22] 155. 네수,,, 는이순서대로공비가 인등비수열을이루고 log log 를만족시킨다. 공비 의값은? ( 단, >) 1 2 [3 점 ][2009( 나 ) / 수능 5] 공비가 이고 인등비수열 에서첫째항부터제 항 까지의곱을 이라할때, log 의값을구하시오. ( 단, > 이고 이다.) [3 점 ][2005( 나 ) 수능 ( 홀 ) 21]

18 수학 Ⅱ 1. 등차수열과등비수열 02 등비수열의일반항의활용 160. 그림과같이각단의부피가일정한비율로감소하는 단케이크 를만들었다. 이케이크의제 단의부피를, 제 단의부피를 라 할때, 제 단의부피를 와 로나타낸것은? [4 점 ][2007( 가 ) 3 월 / 교육청 16] 162. 서양음악의 음계에서음의주파수는반음올라갈때마다일정 비율로높아져 반음올라가면 배가되는등비수열을이룬다. 아래 피아노건반에표시된도, 미, 솔의주파수비 에가장가까 운정수비는? 단, 으로근사하여계산 한다. [3 점 ][1999( 인 ) 수능 ( 홀 ) 23] 한변의길이가 인정육면체가있다. [ 그림 1] 은이정육면체의각모서리를수직이등분하여분리된정육면 체들을나타낸것이다. [ 그림 2] 는 [ 그림 1] 의정육면체들의각모서리를수직이등분하여분리 된정육면체들을나타낸것이다. (1 회시행후 ) (2 회시행후 ) 163. 두원소 가들어있는기체 가기체확산장치를통과하면 의농도가변한다. 기체확산장치를통과하기전기체 에들어 있는 의농도를각각 이라하고, 기체확산장치를 번통 과한기체에들어있는 의농도를각각 이라하자., 이라하면다음관계식이성립한다고한다. 일때, 기체 가기체확산장치를 번통과하면 이 [ 그림 1] [ 그림 2] 이와같은시행을계속해나갈때, 5회시행후분리된모든정육 면체들의겉넓이의합은? [4점][2006( 가 ) 4월 / 교육청 17] 된다. 자연수 의최솟값은? ( 단, log, log 로계산한다.) [3점][2011( 가 ) 6월 / 평가원 12]

19 1. 등차수열과등비수열 Ⅲ 수열 164. 그림과같이두직선, 에동시에접하는원 C 이있다. 원 C 의중심을지나고직선, 에동시에접하면서 C 보다큰 원을 C 라하자. 원 C 의중심을지나고직선, 에동시에접하면서 C 보다큰 원을 C 라하자. 이와같은방법으로원 C 의중심을지나고직선, 에동시에접하 면서 C 보다큰원을 C 이라하자. (,,, ) 원 C 의넓이가, 원 C 의넓이가 일때, 원 C 의넓이를구하시 오. [4 점 ][2008( 가 ) 4 월 / 교육청 25] 03 등비중항 166. 세수,, 가이순서대로등비수열을이룰때, 의값을 구하시오. [3 점 ][2015 년 11 월 / 교육청 ( 고 1) 22] 167. 세수 가이순서대로등비수열을이룰때, 양수 의값 은? 1 2 [3 점 ][2017( 나 ) 수능 5] 3 C C C C C 반지름의길이가 인원이있다. 그림과같이이원에내접하 는두정삼각형이겹쳐지는부분이정육각형이되도록 모양의도형 ( 어두운부분 ) 을그린다. 또, 의정육각형에내접하는원을그리고, 이원에내접하는두정삼각형이겹쳐지는부분이정육각형이되도록 모양의도형 ( 어두운부분 ) 를그린다 첫째항이 이고공비가 인등비수열 에대하여세수,, 이이순서대로등비수열을이룰때, 양수 의값은? [3 점 ][2014(A) 3 월 / 교육청 6] 이와같은방법으로 형 의넓이는? 모양의도형 을그릴때, 도 [4 점 ][2008( 나 ) 3 월 / 교육청 17] 169. 이차방정식 의두근 < 에대하여 가이순서로등비수열을이룰때, 양수 의값을구하시 오. [4 점 ][2007( 나 ) 9 월 / 평가원 23]

20 수학 Ⅱ 1. 등차수열과등비수열 170. 그림과같이두함수, 의그래프와직선 가만나는점을각각 A, B 라하고, 직선 가 축과만나는 점을 C 라하자. BC, OC, AC 가이순서대로등비수열을이룰때, 양수 의값은? [3 점 ][2013(A) 4 월 / 교육청 12] 172. 구간 에서정의된함수 의그래프는 그림과같다. 세수 가이순서대로등비수열 을이룰때, 양수 의값은? [3 점 ][2015(B) 7 월 / 교육청 13] O 그림과같이좌표평면위의두원 이제 사분면에서만나는점을 P 라하자. 원 이 축과만나는점중에서 좌표가 보다작은점을 Q, 원 가 축과만나는점중에서 좌표가 보다큰점을 R 라하자. OP, OR, QR 가이순서대로등비수열을이룰때, 원 의반지름의길이는? ( 단, O 는원점이다.) [3점][2014(A) 4월 / 교육청 13] P 173. 다섯개의실수 를적당히배열하여공비가 보다 큰등비수열을만들었다. 가다음조건을만족시킬때 가 이수열의제 항이라면, 의값은? ( 가 ) ( 나 ) ( 다 ) [4 점 ][2004( 나 ) 6 월 / 평가원 11] Q O R 174. 서로다른세자연수 가다음세조건을모두만족시킬 때, 의값은? ( 가 ) 는이순서대로등비수열을이룬다. ( 나 ) ( 단, 은자연수이다.) ( 다 ) log log log [4 점 ][2010( 나 ) 4 월 / 교육청 29]

21 1. 등차수열과등비수열 Ⅲ 수열 04 등비수열의합 175. 첫째항이, 공비가 인등비수열의첫째항부터제항까지의합 이 일때, 의값은? [3 점 ][2007( 나 ) 10 월 / 교육청 4] 등비수열 에대하여 일때, 을만족시키는 의최솟값은? [3 점 ][2009( 나 ) 6 월 / 평가원 26] 176. 첫째항이 의값은? 이고공비가 인등비수열 에대하여 [3 점 ][2015( 나 ) 11 월 / 교육청 ( 고 2) 11] 180. 수열 에서 일때, 의값은? [3 점 ][2005( 나 ) 9 월 / 평가원 4] 177. 등비수열 이다음두조건을만족시킨다. 이때, 의값은? [3 점 ][2007( 나 ) 11 월 / 교육청 ( 고 2) 14] 181. 다항식 을 로나눈몫을 라 고할때, 를 로나눈나머지는? [3 점 ][2006( 나 ) 10 월 / 교육청 13] Ⅰ. Ⅱ 자연수 에대하여 의모든양의약수의합을 이라할 때, 의값을구하시오. [3 점 ][2015(A) 3 월 / 교육청 25] 178. 첫째항이 이고공비가 인등비수열 에서첫째항부터 183. 등비수열 의첫째항부터제 항까지의합 에대하여 제 항까지의합을 이라할때, 의값은? 일때, 의값은? [3점][2006( 가 ) 9월 / 평가원 ( 고2) 7] [3점][2011( 나 ) 9월 / 평가원 8]

22 수학 Ⅱ 1. 등차수열과등비수열 184. 모든항이양수인등비수열 에대하여, 일때, 의 값은? [4 점 ][2013(A) 4 월 / 교육청 14] 188. 등비수열 에서첫째항부터제 항까지의합이 이고곱이 일때, 의값은? 1 2 [3 점 ][2008( 가 ) 3 월 / 교육청 9] 등비수열 에대하여 일때, 의값은? [2 점 ][2009( 나 ) 삼사 1] 189. 등비수열 에대하여, 의값은? 가성립할때, [3 점 ][2011( 나 ) 삼사 6] 186. 모든항이양의실수인등비수열 의첫째항부터제 항까지 의합을 이라하자. 일때, 의값을구하시오. [4 점 ][2015(B) 3 월 / 교육청 27] 190. 모든항이양수인등비수열 이 과 을만족시킬때, log 의값은? [2009 학년도경찰대 17] 187. 세양수 는이순서대로등비수열을이루고, 다음두조 건을만족한다. ( 가 ) ( 나 ) 의값은? [3 점 ][2006( 나 ) 3 월 / 교육청 27] 수열 은첫째항이양수이고공비가 보다큰등비수열이다. 일때, 하시오. 를만족시키는자연수 의값을구 [4 점 ][2014(B) 10 월 / 교육청 26]

23 1. 등차수열과등비수열 Ⅲ 수열 192. 수열 은첫째항이, 공비가 인등비수열이다. 모든자연수 에대하여좌표평면위의점 P 의좌표를, 점 Q 의좌표를 이라하자. 삼각형 P Q Q 의넓이를 이라할때, 의값은? [4 점 ][2012( 나 ) 4 월 / 교육청 16] 등비수열의합의특징 195. 수열 의첫째항부터제항까지의합 이 일 때, 의값을구하시오. [3 점 ][2014(A) 4 월 / 교육청 22] 수열 의첫째항부터제항까지의합 이 일 때, 의값을구하시오. [3 점 ][2015 년 11 월 / 교육청 ( 고 1) 25] 193. 각항이양수인등비수열 에대하여수열 을다음과 같이정의한다. log (,,, ) 수열 이다음조건을만족시킬때, 의값은? ( 가 ) ( 나 ) [4 점 ][2010( 나 ) 3 월 / 교육청 15] 수열 의첫째항부터제 항까지의합 이 일 때, 의값을구하시오. [3 점 ][2008( 나 ) 9 월 / 평가원 18] 194. 자연수 에대하여연립부등식, 을만족시키는좌표평면위의점 가나타내는영역의넓이를 이라하자. 수열 의첫째항부터제 항까지의합 에대하여 log 의값을구하시오. [4 점 ][2011( 나 ) 4 월 / 교육청 30] 198. 수열 의첫째항부터제 항까지의합 이 일때, 의값을구하시오. [3 점 ][2012 예비 (A) 5 월 / 평가원 24]

24 수학 Ⅱ 1. 등차수열과등비수열 199. 첫째항부터 항까지의합 를만족하는등비수열 이있다. 이때, 의최솟값을구하시오. ( 단, 는 상수 ) [ 점 ][2005( 가 ) 10 월 / 교육청 ( 고 2) 24] 등차중항과등비중항 는이순서대로등차수열을이루고 는 이순서대로등비수열을이루고있다. 의값을구하시오. [3 점 ][2014(A) 10 월 / 교육청 23] 200. 첫째항이, 공비가 인등비수열 에서첫째항부터제 항까지의합을 이라하자. 수열 가등비수열을이루도록 하는상수 의값은? 1 2 [3 점 ][2005( 나 ) 10 월 / 교육청 6] 세수 가이순서로등차수열을이루고, 세수 이이순서로등비수열을이룰때, 의값은? [3 점 ][2007( 나 ) 수능 ( 홀 ) 6] 두양수, 에대하여세수,, 는이순서대로등차수 열을이루고, 세수,, 는이순서대로등비수열을이룬다 일반항이 인수열 에대하여첫째항부터제 항 까지의합을 이라할때, < 보기 > 에서옳은것을모두고르면? [3 점 ][2004( 가 ) 9 월 / 평가원 14] 이때, 의값은? [3점][2012( 나 ) 4월 / 교육청 10] < 보기 > ㄱ. 수열 log 은등차수열이다. ㄴ. 수열 은등비수열이다. ㄷ. 가성립한다. 1 ㄱ 2 ㄷ 3 ㄱ, ㄴ 4 ㄴ, ㄷ 5 ㄱ, ㄴ, ㄷ 205. 세수,, 는이순서대로등차수열을이루고, 세수,, 은이순서대로공비가양수인등비수열을이룬다. 의값을구하시오. [3 점 ][2012( 가 ) / 수능 25]

25 1. 등차수열과등비수열 Ⅲ 수열 206. 공차가 인등차수열 에대하여세항 은이순서 대로등차수열을이루고, 세 는이순서대로등비수열을이룬 다. 의값은? [4 점 ][2015(A) 6 월 / 평가원 16] 209. 가서로다른세실수일때, 이차함수 에대한 < 보기 > 의설명중옳은것을모두고른 것은? < 보기 > [4 점 ][2007( 가 ) 3 월 / 교육청 14] ㄱ. 가이순서로등차수열을이루면 이다. ㄴ. 가이순서로등차수열을이루면 의그 래프는 축과서로다른두점에서만난다. ㄷ. 가이순서로등비수열을이루면 의그 래프는 축과만나지않는다. 1 ㄱ 2 ㄷ 3 ㄱ, ㄴ 4 ㄴ, ㄷ 5 ㄱ, ㄴ, ㄷ 207. 그림에서,,,,, 는실수이고한줄 ( 된수들은그순서로등차수열을이루고두줄 ( 그순서로등비수열을이룬다. 이때 의값을구하시오. ) 로연결 ) 로연결된수들은 [3 점 ][2006( 가 ) 9 월 / 평가원 ( 고 2) 24] 210.이아닌세실수 가이순서대로등차수열을이룬다. 일때, 의최솟값을구하시오. ( 단,,, 는 이아닌양수이다.) [4 점 ][2013(A) 7 월 / 교육청 26] 208. 등차수열 과등비수열 은다음조건을만족시킨다. ( 가 ), 211. 그림과같이 B 이고선분 BC 의길이가 인직각삼 각형 ABC 의꼭짓점 B 에서빗변 AC 에내린수선의발을 D 라하자. 세선분 AD, CD, AB 의길이가이순서대로등차수열을이룰때, 선 분 AC 의길이를구하시오. [4 점 ][2010( 가 ) 4 월 / 교육청 25] ( 나 ), 의값을구하시오. ( 단, 수열 의공비는 이아니다.) [3 점 ][2010( 가 ) 3 월 / 교육청 20]

26 수학 Ⅱ 1. 등차수열과등비수열 212. 그림과같이좌표축위의다섯개의점 A B C D E 에대하 여 AB BC BC CD CD D E 가성립한다. 세선분 AO OC EA 의길이가이순서대로등차수열을이룰때, 직선 AB 의기울기는? ( 단, O 는원점이고 OA OB 이다.) [4 점 ][2006( 가 ) 3 월 / 교육청 14] 01 일정한비율로증가 ( 감소 ) 215. 다음표는어느학교에서한달전에구입한휴대용저장장치의 용량에따른 개당가격과개수의현황을나타낸것이다. 용량 MB MB MB G B GB 개당가격 개수 현재모든휴대용저장장치의가격이한달전보다모두 씩하락 하였다. 이학교에서휴대용저장장치의용량과개수를위표와동일하 게현재의가격으로구입한다면지불해야하는금액은? ( 단, > 이고 > 이다.) [4 점 ][2007( 나 ) 6 월 / 평가원 28] 등차수열 과공비가 보다작은등비수열 이,,, 를모두만족시킬때, 의값을구하시오. [4 점 ][2016( 나 ) 10 월 / 교육청 27] 216. 어느연구소의보고서에따르면앞으로 LPG 경차사용이늘어나 자동차휘발유소비량이감소할것이라고한다. 년 A 지역의연간 자동차휘발유소비량은 톤이고, 매년이지역의연간자동차휘발유 소비량은전년도에비하여일정한비율로감소하여 년에는 톤 214. 두수열, 이다음조건을만족시킨다. ( 가 ) ( 나 ) 수열 은공차가 인등차수열이고, 수열 은공비 가 인등비수열이다. 수열 의모든항이수열 의항이되도록하는 보다큰모든 자연수 의합을구하시오. [4 점 ][2013(A) 10 월 / 교육청 30] 이된다고한다. 년이후에도이와같은비율로계속감소한다고 할때, A 지역에서 년부터 년까지 년동안사용되는자동 차휘발유소비량의총합은? ( 단, 로계산한다.) 1 톤 4 톤 2 톤 5 톤 [4 점 ][2008( 가 ) 3 월 / 교육청 16] 3 톤

27 1. 등차수열과등비수열 Ⅲ 수열 217. 국내한경제연구원의 년평창동계올림픽의경제적효과 라는보고서에의하면그효과는 조원이상이라한다. 동계올림픽이 개최되는 년의외국인관광수입이 조원으로예상되고, 년 부터외국인관광객수는매년전년도보다 % 씩감소되고, 외국인관 광객 인당평균소비액은매년전년도보다 % 씩증가될것으로예 상된다. 년부터 년동안예상되는외국인관광수입이 조원이 라할때, 의값을구하시오. ( 단, 외국인관광수입은외국인관광객수와 인당평균소비액의곱 으로정의하고,, 으로계산한다.) [4 점 ][2011( 나 ) 10 월 / 인천 ( 고 2) 30] 219. 다음은어느회사의연봉에관한규정이다. ( 가 ) 입사첫째해연봉은 원이고, 입사 년째해까지의연봉 은해마다직전연봉에서 씩인상된다. ( 나 ) 입사 년째해부터의연봉은입사 년째해연봉의 로 한다. 이회사에입사한사람이 년동안근무하여받는연봉의총합은? ( 단, 로계산한다.) 1 2 [4 점 ][2006( 가 ) 6 월 / 평가원 14] 다음은세계석유소비증가추세에관한글들이다. 매년석유소비량을조사한결과, 최근 년동안소비 된석유의양은그이전까지소비된석유의양과같다. 예를들어 년부터 년까지소비된석유의양은 년까지소비된석유전체의양과같다. 이와같은석유소비추세가계속된다고가정하고, 현재까지소비된석 유의양을, 현재의석유의매장량을 라할때, 앞으로몇년동안 석유를사용할수있겠는가? 1 log 4 log [3 점 ][2001( 인 ) 수능 ( 홀 ) 24] 2 log 3 log 5 log

28 수학 Ⅱ 1. 등차수열과등비수열 02 적금과상환 220. 은행의예금상품은연이율로제시된다. 연이율 년에이자계산을 번하는복리예금의경우매번 의이율 로이자를계산한다. 이때, 실효수익률은 년후의이자총액 원금 로정의된다. 개월마다복리로이자를계산하는연이율 인예금 상품의실효수익률 을소수점아래둘째자리까지구하시오. [3 점 ][1999( 인 ) 수능 ( 홀 ) 30] 221. 어느회사원이 년초에 만원을적립하고다음해부터매 년초에전년도적립금액의 를증액하여적립하기로하였다. 년말까지적립되는원리합계는? ( 단, 연이율, 년마다의복리로 계산하고, 로계산한다.) [3 점 ][2007( 나 ) 4 월 / 교육청 26] 1 만원 2 만원 3 만원 4 만원 5 만원 222. 정부가통일이후필요한통일비용을마련하기위해예산의일부 를 년부터매년 월 일적립한다고하자. 적립할금액은경제성 장률을감안하여매년전년도보다 씩증액한다. 년 월 일부 터 조원을적립하기시작한다면, 년 월 일까지적립된금 액의원리합계는몇조원인가? ( 단, 연이율, 년마다의복리로계 산하고, 은 로계산한다.) [4 점 ][1998( 인 ) 수능 ( 홀 ) 23] 224. 한은행은고객으로부터 만원을연이율 의 년만기정 기예금으로받으면, 그중에서 만원을연이율 로 년동안대출 하고나머지 만원은예비비로보관한다. 년후은행은대출금을이 자와함께회수하고고객에게정기예금을이자와함께지불하여 만원 의수익을얻으려고한다. 이때, 대출이율 를구하는식은? ( 단, 모든 이자는 년마다의복리로계산한다.) [4점][2003 예비 ( 가 ) 12월 / 평가원 16] 225. 지호는여행비용을마련하기위하여다음조건으로저축을시작하 였다. ( 가 ) 년 월부터 년 월까지매달초에입금한다. ( 나 ) 첫째달은 만원을, 두번째달부터는바로전달보다 % 증가한금액을입금한다. ( 다 ) 매번입금한금액에대하여입금한날로부터 개월까지는 월이율 % 의복리로매달계산하고, 그이후에는월이율 % 의복리로매달계산한다. 이와같은조건으로저축하였을때, 년 월말의원리합계는? ( 단,, 으로계산한다.) [4 점 ][2009( 나 ) 10 월 / 교육청 11] 1 만 천원 2 만 천원 3 만 천원 4 만 천원 5 만 천원 223.월초에 만원을월이율, 개월마다복리로계산하 는예금상품에가입하고, 월부터그해 월까지매월말에 만원 씩찾았다. 그해 월말에통장에남아있는금액은? ( 단, 으로계산한다.) [4 점 ][2008( 나 ) 4 월 / 교육청 14] 1 만 원 2 만 원 3 만 원 4 만 원 5 만 원 226. 년 월초판매가격이 만원인노트북컴퓨터의판매가격은매월초직전달보다 % 씩계속인하된다고하자. 어느은행에 년 월초부터 년 월초까지매월초마다일정한금액을적립하여, 개월후인 년 월초에원금과이자를모두찾아바로노트북컴퓨터를구입하기로하였다. 이은행은월이율이 % 이고매월마다복리로계산한다고할때, 매월초에적립해야할최소금액은? ( 단,, 으로계산하고천원단위에서반올림하며, 세금은고려하지않는다.) [3점][2010( 가 ) 삼사 10] 1 만원 2 만원 3 만원 4 만원 5 만원

29 2. 수열의합 Ⅲ 수열 두 의기본성질 2. 수열의합 수열, 에대하여, 일때, 의값은? 두 5 [3 점 ][2017( 나 ) 7 월 / 교육청 4] 수열, 에대하여 일때, 의값은? [3 점 ][2015(A) 6 월 / 평가원 8] 232. 두수열 이모든자연수 에대하여 을 만족시킨다. 일때, 의값은? 수열 5 [3 점 ][2017( 나 ) 9 월 / 평가원 11] 에대하여, 일 때, 의값을구하시오. [4 점 ][2018 학년 ( 나 ) 수능 27] 234. 함수 가 을만족시킬때, 의값을구하시오. [3 점 ][2001( 인 ) 수능 ( 홀 ) 29] 229. 두 수열 에대하여, 일때, 의값은? [2 점 ][2017( 나 ) 10 월 / 전북 3] 235. 수열 이 을만족시킬때, 의값은? [3 점 ][2016( 나 ) 9 월 / 평가원 9] 230. 두 수열, 에대하여, 일때, 의값은? [3 점 ][2017( 나 ) 4 월 / 교육청 10] 236. 의값을구하시오. [3 점 ][2016( 나 ) 4 월 / 교육청 23] 231. 수열 에대하여 일때, 의값은? [3 점 ][2017( 나 ) 10 월 / 경남 9] 237. 의값을구하시오. [2 점 ][2004( 나 ) 9 월 / 평가원 18]

30 수학 Ⅱ 2. 수열의합 238. 의값을구하시오. [3 점 ][2007( 나 ) 9 월 / 평가원 18] 244. 의값을구하시오. [3 점 ][2005( 나 ) 4 월 / 교육청 19] 239. 의값을구하시오. [3 점 ][2005( 가 ) 3 월 / 교육청 18] 245. 의값은? [2 점 ][2006( 나 ) 3 월 / 교육청 2] 240. 일때, 상수 의값을구하시오. [3 점 ][2015(A) 6 월 / 평가원 24] 246. 다음등식을만족시키는자연수 의값을구하시오. [3 점 ][2013(A) 3 월 / 교육청 24] 241. 수열 에서 일때, 을만족시키는 의값은? [3 점 ][2015(A) 4 월 / 교육청 9] 247. 수열 에대하여 일때, 의값은? [3 점 ][2016( 나 ) 5 월 / 전북 11] 242. 의값을구하시오. [2 점 ][2004( 가 ) 3 월 / 교육청 22] 248. 이자연수일때, 에대한방정식 의 이아닌해를 이라하자. 의값은? [3 점 ][2012( 나 ) 3 월 / 교육청 15] 243. 의값을구하시오. [3 점 ][2005( 나 ) 10 월 / 교육청 18] 249. 수열 이 일때, 의값을구하시오. [3 점 ][2017( 나 ) 8 월 / 영남권 25]

31 2. 수열의합 Ⅲ 수열 250. 첫째항이 인등차수열 에대하여 일때, 의값을구하시오. [3 점 ][2011( 가 ) 6 월 / 평가원 23] 255. 수열 에서 이고 일때, 값을구하시오. log 의 [3 점 ][2004( 가 ) 6 월 / 평가원 20] 251. 등차수열 시오. 이, 일때, 의값을구하 [3 점 ][2013(B) 9 월 / 평가원 24] 256. 에대한이차방정식 의두근의합을 ( 은자연수 ) 라하자. 의값은? [3 점 ][2016( 나 ) 3 월 / 교육청 10] 252. 등차수열 은? 이 을만족시킬때, 의값 [4 점 ][2015(A) / 수능 17] 257. 함수 에대하여 의값을구하시오. [3 점 ][2017( 나 ) 수능 25] 253. 첫째항이 이고, 둘째항이 인수열 이 를만족시킨다. 일때, 상수 의값 은? [3 점 ][2016(A) 삼사 6] 254. 수열 이첫째항과공비가모두 인등비수열일때, log 의값을구하시오. [3 점 ][2011( 나 ) 3 월 / 교육청 23] 258. 이차방정식 의두근을, 라할때, 의값은? [4 점 ][2012( 나 ) 6 월 / 평가원 16]

32 수학 Ⅱ 2. 수열의합 259. 첫째항이 이고공차가양수인등차수열 에대하여이차방정 식 의서로다른두실근을, 이라 하자. 일때, 의값을구하시오. [4 점 ][2015( 나 ) 11 월 / 교육청 ( 고 2) 28] 02 의활용 263. 함수 는 를만족하고, 그그래프는그림과 같다. 모든자연수 에대하여 인수열 이있다. 이 보다작은자연수일때, 을만족시키는 의최솟값을구하시오. [4 점 ][2009( 가 ) 6 월 / 평가원 22] 260. 두수열, 이모든자연수 에대하여다음조건을 만족시킨다. 의값을구하시오. ( 가 ) ( 나 ) [4 점 ][2015( 나 ) 6 월 / 교육청 ( 고 2) 28] 261. 첫째항이 이고공차가 인등차수열 에대하여수열 을 이라하자. 의값을구하여라. [4 점 ][2014(A) 삼사 29] 264. 두점 P, Q 에대하여 P Q를 P Q 라정의하자. 두점 A과 P 에대하여 A P 의 값은? [3 점 ][2011( 가 ) 7 월 / 교육청 11] 인두자연수 에대하여 262. 수열 이모든자연수 에대하여 을만족시킨다. 일때, 의값을구하시오. [3 점 ][2015(A) 삼사 25] 일때, < 보기 > 에서옳은것만을있는대로고른것은? [4점][2016( 나 ) 8월 / 영남권 21] < 보기 > ㄱ. 일때, 이다. ㄴ. 일때, 이다. ㄷ. 일때, 의최솟값은 이다. 1 ㄱ 2 ㄴ 3 ㄱ, ㄷ 4 ㄴ, ㄷ 5 ㄱ, ㄴ, ㄷ

33 2. 수열의합 Ⅲ 수열 266. 인실수 에대하여 log 이 ( ) 이되 도록하는 를작은수부터크기순으로나열할때, 번째수를 라 하자. log 의값은? [4 점 ][2014(A) 7 월 / 교육청 17] 269. 자연수 에대하여좌표평면위의점 P 을다음규칙에따라정 한다. ( 가 ) 점 A 의좌표는 이다. ( 나 ) 점 P 은선분 OA 를 로내분하는점이다. OP 이라할때, 의값은? ( 단, O 는원점이다.) [4 점 ][2016( 나 ) 10 월 / 교육청 15] 수열 의첫째항부터제 항까지의합 이 C ( ) 일때, 의값을구하시오. [3 점 ][2011( 나 ) 3 월 / 교육청 25] 270. 자연수 으로나누었을때, 몫과나머지가같아지는자 연수를모두더한값을 이라하자. 예를들어 로나누었을때, 몫과 나머지가같아지는자연수는,, 이므로 이다. > 을만족시키는자연수 의최솟값을구하시오. [4 점 ][2009( 가 ) / 수능 23] 268. 자연수 에대하여곡선 위의점 과두 점, 을세꼭짓점으로하는삼각형의넓이를 이라할때, 의값은? [4 점 ][2016( 나 ) 9 월 / 평가원 17] 271. 의전개식에서 의계수 를구하시오. [4 점 ][2010( 나 ) 4 월 / 교육청 23]

34 수학 Ⅱ 2. 수열의합 272. 수열 의제 항 을자연수 의양의제곱근 를소 수점아래첫째자리에서반올림하여 이되는 의개수라하자. 의값을구하시오. [4 점 ][2008( 가 ) 9 월 / 평가원 22] 275. 그림과같이자연수 에대하여기울기가 이고 절편이양수인 직선이원 에접할때, 이직선이 축, 축과만나는 점을각각 A, B 이라하자. 점 A 을지나고기울기가 인직선이 축과만나는점을 C 이라할때, 삼각형 A C B 과그내부의점들 중 좌표와 좌표가모두정수인점의개수를 이라하자. 의 값을구하시오. [4 점 ][2016( 나 ) 4 월 / 교육청 29] B 273. 자연수 에대하여 A O 을만족시키는자연수 을 이라하자. 의값은? [4 점 ][2016( 나 ) 3 월 / 교육청 20] C 274. 자연수 에대하여곡선 위의점중에서 좌표와 좌표 가모두자연수인점의개수를 이라하자. 의값을구하시오. [4 점 ][2014(A) 4 월 / 교육청 27] 276. 좌표평면에서자연수 에대하여그림과같이곡선 과직 선 가제 사분면에서만나는점을 P 이라하자. 점 P 을지 나고직선 와수직인직선이 축, 축과만나는점을각각 Q, R 이라하자. 삼각형 OQ R 의넓이를 이라할때, 의값은? ( 단, O 는원점이다.) [4 점 ][2015(A) 4 월 / 교육청 14] P O

35 2. 수열의합 Ⅲ 수열 277. 자연수 에대하여두함수 를 이라하자. 곡선 와직선 가만나는두점사이의거 리를 이라할때, 의값은? [3 점 ][2016(A) 삼사 12] 279. 집합 는 이하의자연수 의부분집합 가다음조건을만족시킨다. ( 가 ) 집합 의임의의두원소, ( ) 에대하여 ( 나 ) 의값을구하시오. [4 점 ][2015(A) 3 월 / 교육청 30] 좌표평면에서자연수 에대하여 을 개의점,,, 을꼭짓점으로하는정사각형이라하 자 그림과같이점 A 는두직선 과 의교점이다. 자연수 에대하여 위에 AB 인점을 B, 위에 AC 인점을 C 이라하자. 삼각형 AB C 의무게중심의 좌표를 이라할때, 를만족하는 의최솟값을구하시오. ( 단, B, C 은제 사분면의점이다.) [4점][2011( 나 ) 7월 / 교육청 28] 정사각형 과함수 의그래프가만나도록하는자연수 의 개수를 이라할때, < 보기 > 에서옳은것을모두고른것은? [4 점 ][2007( 가 ) 수능 ( 홀 ) 16] ㄱ. ㄴ. ㄷ. < 보기 > 1 ㄴ 2 ㄷ 3 ㄱ, ㄴ 4 ㄴ, ㄷ 5 ㄱ, ㄴ, ㄷ

36 수학 Ⅱ 2. 수열의합 281. 그림과같이한변의길이가 인정육면체모양의블록 개를사 용하여입체도형 T 을만들고, T 의겉넓이를 이라하자. 입체도형 T 에 개의블록을더쌓아서입체도형 T 를만들고, T 의겉넓이를 라하자. 입체도형 T 에 개의블록을더쌓아서입체도형 T 을 만들고, T 의겉넓이를 이라하자. 이와같은방법으로 번째얻은입체도형 T 에 개의블록을 더쌓아서도형 T 을만들고, T 의겉넓이를 이라하자. 예 를들어, 이다. 이때 의값을구하시오. [4 점 ][2013(A) 7 월 / 교육청 27] 283. 수열 의제 항 을 이자연수가되게하는음이아닌 정수 의최댓값이라하자. 예를들어 이고 이다. 일때, 의값을구하시오. [4 점 ][2009( 가 ) 9 월 / 평가원 22] 284. 함수 가닫힌구간 에서 이고, 모든실 수 에대하여 를만족시킬때, 함수 를 라하자. 자연수 에대하여다음조건을만족시키는두자연수 의 순서쌍 의개수를 이라할때, 의값을구하시오. ( 가 ) ( 나 ) [4 점 ][2015(B) 3 월 / 교육청 30] 282. 그림과같이좌표평면의제사분면을한변의길이가 인정사각 형들로나누어자연수를배열하였다. ( ) 의그래프가 지나는한변의길이가 인정사각형에배열된수들의합은? ( 단, 그래 프가정사각형의내부를지나지않는경우는제외한다.) [4 점 ][2008( 가 ) 4 월 / 교육청 15] O 양수 에대하여 log 의지표와가수를각각 라하 자. 인 에대하여다음두조건을만족시키는모든실수 의값의곱을 라할때, log 의값을구하시오. ( 단, log 로계산한다.) ( 가 ) ( 나 ) < 보기 > [4 점 ][2016(A) 삼사 30]

37 2. 수열의합 Ⅲ 수열 03 가연달아나오는식의계산 286.< 보기 > 에서항상옳은것을모두고르면? ㄱ. ㄴ. ㄷ. < 보기 > [3 점 ][2007( 나 ) 4 월 / 교육청 8] 수열 꼴의수열의합 은 이고, ( ) 을만 족시킨다. 의값을구하시오. [4 점 ][2014(A) 6 월 / 평가원 26] 1 ㄱ 2 ㄴ 3 ㄱ, ㄷ 4 ㄴ, ㄷ 5 ㄱ, ㄴ, ㄷ 290. 일때, 의값을구하시오. ( 단, 와 는 서로소인자연수이다.) [3 점 ][2011( 나 ) 6 월 / 평가원 25] 287. 의값은? [4 점 ][2009( 나 ) 4 월 / 교육청 27] 291. 일때, 자연수 의값을구하시오. [3 점 ][2013(A) 4 월 / 교육청 22] 292. 일때, 의값은? [3 점 ][2014(A) 6 월 / 평가원 10] 288. 두수열 의일반항이, 일 때, 의값을구하시오. [4점][2005( 나 ) 11월 / 교육청 ( 고2) 28] 293. 두함수 와 의그래프가직선 ( 는자연 수 ) 의그래프와만나는점의 좌표를각각 라할때, 이다. 의값을구하시오. ( 단, 는서로소 ) [ 점 ][2005( 가 ) 10 월 / 교육청 ( 고 2) 27]

38 수학 Ⅱ 2. 수열의합 294. 자연수 에대하여두함수, 의그래프의두교점의 좌표를, 이라할때, 의값은? [3 점 ][2012( 나 ) 7 월 / 교육청 11] 297. 에대한이차방정식 의두근, 에대하여 의값은? [4 점 ][2005( 나 ) 4 월 / 교육청 28] 이 이상의자연수일때, 네점,,, 을꼭짓점으로하는정사각형을 이라하자. 두정사각형, 이겹치는부분 ( 어두운부분 ) 의넓이를 이라할때, 의값은? [4 점 ][2009( 나 ) 3 월 / 교육청 11] 298. 수열 은? 1 이 을만족시킬때, 2 의값 [3 점 ][2015( 가 ) 9 월 / 교육청 ( 고 2) 11] 함수 에대하여부등식 296.이자연수일때, 에대한이차방정식 의두근을 이라하자. 이때, 의값을구하시오. [3 점 ][2010( 나 ) 4 월 / 교육청 20] ( ) 을만족시키는정수 의값을 이라하자. 일때, 의값을구하시오. ( 단, 와 는서로소인자 연수이다.) [4 점 ][2017( 나 ) 3 월 / 교육청 27]

39 2. 수열의합 Ⅲ 수열 300. 수열 이자연수 에대하여 때, 1 의값은? 2 을만족시킬 [4 점 ][2013(A) 3 월 / 교육청 17] 첫째항이 이고공차가 인등차수열 에대하여 의값은? [4 점 ][2016( 나 ) 9 월 / 평가원 14] 수열 에대하여 일때, 의값을구하시오. [4 점 ][2011( 나 ) 11 월 / 교육청 ( 고 2) 26] 305. 첫째항이 이고공차가 인등차수열 에대하여 의값은? [3 점 ][2017( 나 ) 10 월 / 전북 10] 302. 첫째항이 이고, 각항이양수인수열 의첫째항부터제 항까지의합을 이라하자. 일때, 의값은? [3 점 ][2012( 가 ) 6 월 / 평가원 11] 306. 수열 에대하여 log 일때, 의 값을구하시오. [3 점 ][2017( 나 ) 10 월 / 교육청 25] 303. 수열 이, (,,, ) 를만족시키고, 수열 의첫째항부터제 항까지의합을 이라 하자. 소인자연수이다.) 일때, 의값을구하시오. ( 단, 와 는서로 [4 점 ][2011( 나 ) 10 월 / 교육청 30] 307. 수열 이모든자연수 에대하여 log 를만족시킨다. 라할때, 의값을구하시오. [4 점 ][2011( 나 ) / 수능 30]

40 수학 Ⅱ 2. 수열의합 멱급수계산 ( 등차 등비 ) 일때, 의값은? ( 단,,, 은서로다른자연수이다.) [2007 학년도경찰대 21] 01 정수론의추론 310. 수열 은 와서로소인자연수를작은수부터차례대로모 두나열하여만든것이다. 예를들면, 이다. 의값 은? [4 점 ][2015(A) 3 월 / 교육청 21] 309. 다음과같이규칙적으로나열된수가있다. 행 행 행 311. 수열 은 이고, 모든자연수 에대하여 를만족시킨다. 의값은? 이짝수인경우 이홀수인경우 [3 점 ][2018 학년 ( 나 ) 수능 13] 행 행 행부터 행까지의수를모두더한값은? [4 점 ][2009( 나 ) 4 월 / 교육청 17] 수열 을다음과같이정의한다.,, < 보기 > 에서옳은것을모두고른것은? ㄱ. < 보기 > ㄴ. ( 는자연수 ) 이면 이다. ㄷ. ( 는자연수 ) 이면 이다. [4 점 ][2008( 가 ) 3 월 / 교육청 11] 1 ㄱ 2 ㄴ 3 ㄱ, ㄷ 4 ㄴ, ㄷ 5 ㄱ, ㄴ, ㄷ

41 2. 수열의합 Ⅲ 수열 313. 자연수 의모든양의약수를 라할때, 이라하자. < 보기 > 에서옳은것을모두고른것은? ㄱ. < 보기 > ㄴ. 이면 이다. ㄷ. 이면 이다. [4 점 ][2008( 나 ) 6 월 / 평가원 28] 316. 수열 이 을만족시킬때, 수열 의첫째항부터제 항까지의합을 이라 하자. 수열 에대하여첫째항부터제 항까지의값중에서 의 배수를값으로하는모든항의개수를구하시오. [4 점 ][2011( 가 ) 4 월 / 교육청 27] 1 ㄱ 2 ㄷ 3 ㄱ, ㄴ 4 ㄱ, ㄷ 5 ㄱ, ㄴ, ㄷ 314. 수열 에대하여 ( 는음이아닌정수, 는홀수 ) 일때, 이다. 예를들어, 이므로 이다. 일때, 317. 첫째항이 인수열 은모든자연수 에대하여 를만족시킨다. 일때, 의값은? 이 의배수가아닌경우 이 의배수인경우 [4 점 ][2016( 나 ) 6 월 / 평가원 20] 의값은? [4점][2015(A) 10월 / 교육청 18] 공차가 이아닌등차수열 이있다. 수열 은 315. 이상의 자연수 에대하여집합 는자연수 의서로다른두원소를곱하여나올수있는모든값만을원소로하는 집합을 라하고, 의원소의개수를 이라하자. 예를들어, 이다. 이때, 의값을구하시오. [4 점 ][2011( 가 ) / 수능 23] 이고, 이상의자연수 에대하여 이 의배수가아닌경우 이 의배수인경우 이다. 일때, 이다. 의값을구하시오. ( 단, 와 는서로소인자연수이다.) [4 점 ][2017( 나 ) 6 월 / 평가원 29]

42 수학 Ⅱ 2. 수열의합 319. 수열 은, 이다. 일때, 의값은? 이 의배수일때 이 의배수가아닐때 [4 점 ][2009( 나 ) 7 월 / 교육청 28] 321. 자연수 에대하여다음과같이모든자연수를작은것부터 행 에 개씩차례로나열하였다. 이때 행에있는 의배수를 이라 하자. 예를들어, 이다. 행 행 행 행 행 행 수열 에대하여 의값은? [4점][2014(A) 3월 / 교육청 21] 아래에서제 행은 의양의약수를나열한것이다. 제 행부터제 행까지나열된수의개수를구하시오. 제 행 제 행 제 행 제 행 제 행 제 행 제 행 [4 점 ][2006( 가 ) 10 월 / 교육청 23] 제 행

43 2. 수열의합 Ⅲ 수열 322. 자연수 과 <, < 을만족시키 는네정수 에대하여좌표평면에서네점 A, B, C, D 를꼭짓점으로하고넓이가 인정사각형 의개수를 라고하자. 다음은 의값을구하는과정이다. ( 단, 는 이하의자연수이다.) 그림과같이넓이가 인정사각형 ABCD 를만들때, 두점 A B 의 좌표가주어지면 좌표의차가 인변 AB 를택하는경우의 수는 ( 가 ) 이다. 또두점 A D 의 좌표가주어지면 좌표의차가 인변 AD 를택하는경우의수는 ( 나 ) 이다. 따 라서 이다. 그러므로 ( 다 ) ( 가 ), ( 나 ), ( 다 ) 에들어갈식으로알맞은것은? [3 점 ][2008( 가 ) 6 월 / 평가원 12] ( 가 ) ( 나 ) ( 다 ) 다음은 이상의자연수 에대하여함수 의그래프와 축및직선 으로둘러싸인도형의내부에있는점중에서 좌 표와 좌표가모두정수인점의개수 을구하는과정이다. 일때, 곡선, 축및직선 로 둘러싸인도형의내부에있는점중에서 좌표와 좌표가모두정수인점은, 이므로 이다. 가 이상의자연수 에대하여 을구하여보자. 위의그림과같이 인정수 에대하여 주어진도형의내부에있는점중에서 좌표가정수이고, 좌표가 인점은 나 이므로이점의개수를 라하면 나 이다. 따라서 이다. 다 위의 ( 가 ) 에알맞은수를 라하고, ( 나 ), ( 다 ) 에알맞은식을각각, 이라할때, 의값은? [4 점 ][2017( 나 ) 3 월 / 교육청 18]

44 수학 Ⅱ 2. 수열의합 324. 자연수,, 에대하여 ( ) 과같이 을 325. 수열 이모든자연수 에대하여다음조건을만족시킨다. 두분수의합으로나타낼수있는방법의수를 이라하자. 예를들어, 이므로, ( 가 ) 은자연수이다. ( 나 ) 이므로, 이므로 이다. 다음은수열 의일반항을구하는과정이다. 의값을구하시오. [4 점 ][2011( 나 ) 3 월 / 교육청 27] 자연수,, 에대하여 ( ) 라하면 이다. 따라서 (*) 이므로 과 은 의약수이다. 을 의양의약수의개수라하고, 방정식 (*) 의해의개수를구하면 i) 인경우, ( 가 ) 이므로 개이다. ii) 인경우, 나 ( 가 ) 이제외되므로 개이다. 그러므로 ( ) 로표시할수있는방법의수 는 ( 다 ) 개이다. 따라서구하는수열의일반항 ( 다 ) 이다. 이과정에서 ( 가 )~( 다 ) 에알맞은것을바르게짝지은것은? [4 점 ][2009( 나 ) 4 월 / 교육청 14] ( 가 ) ( 나 ) ( 다 )

45 2. 수열의합 Ⅲ 수열 02 주기성을이용한추론 326. 수열 을다음과같이정의하자. ( ) 을 으로나눈나머지를 이라할때, 의값은? [3 점 ][2008( 나 ) 10 월 / 교육청 4] 329. 수열 이다음조건을만족시킨다. ( 가 ) ( 나 ) 모든자연수 에대하여 은 과 의합을 으로나 누었을때의나머지이다. < 보기 > 에서옳은것만을있는대로고른것은? ㄱ. ㄴ. 모든자연수 에대하여 이다. [4 점 ][2016( 나 ) 10 월 / 경남 20] ㄷ. 을만족시키는자연수 의값은 이다. < 보기 > 1 ㄱ 2 ㄱ, ㄴ 3 ㄱ, ㄷ 4 ㄴ, ㄷ 5 ㄱ, ㄴ, ㄷ 327. 첫째항이 인수열 이모든자연수 에대하여 을만족시킬때, 의값은? [3 점 ][2016( 나 ) 10 월 / 교육청 13] 330. 인자연수 에대하여수열 이다음세조건을만족 시킨다. ( 가 ) ( 나 ) ( ) ( 다 ) ( ) 328. 수열 이 < 를만족시킬때, 의값은? [3 점 ][2006( 나 ) 6 월 / 평가원 26] < 보기 > 에서옳은것을모두고른것은? ㄱ. < 보기 > ㄴ. ㄷ. 1 ㄱ 2 ㄴ 3 ㄷ 4 ㄴ, ㄷ 5 ㄱ, ㄴ, ㄷ [4 점 ][2006( 나 ) 수능 ( 홀 ) 29]

46 수학 Ⅱ 2. 수열의합 331. 첫째항이 인수열 이다음조건을만족시킨다. ( 가 ) (,,,, ) ( 나 ) 모든자연수 에대하여 이다. 의값은? [4 점 ][2015 년 11 월 / 교육청 ( 고 1) 15] 334. 수열 에서 일때, 의값은? [4점][2009( 가 ) 6월 / 평가원 8] 335. 수열 의첫째항부터제 항까지의합을 이라할때, 332. 수열 은 이고, 다음조건을만족시킨다. ( 가 ) (,,, ) ( 나 ) 모든자연수 에대하여 이다. 이다. 의값을구하시오. [4 점 ][2017( 나 ) 10 월 / 전북 27] 일때, 의값을구하시오. [4 점 ][2013(A) 6 월 / 평가원 28] 336. 수열 은다음조건을만족시킨다 수열 이 으로정의될때, 의값을구하시오. [4 점 ][2007( 가 ) 4 월 / 교육청 24] ( 가 ), ( 나 ) 은 와 의합을 로나눈나머지 ( ) 일때, 의값을구하시오. [4 점 ][2015(A) 4 월 / 교육청 28]

47 2. 수열의합 Ⅲ 수열 337. 다음그림은좌표평면에서원점을중심으로하고반지름의길이가 부터 씩증가하는원들이두직선 과각각만나는점 들의일부를 P 부터시작하여화살표방향을따라 P P P 으로 나타낸것이다. 03 규칙성을이용한추론 339. 다음과같이 1부터연속된자연수가규칙적으로나열되어있다. 행 행 행 행 행 행 행의마지막에들어갈수는? [3 점 ][1998( 인 ) 수능 ( 홀 ) 19] 점 P 의 좌표는? 1 2 [3 점 ][2009( 나 ) 9 월 / 평가원 7] 자연수 에대하여좌표평면위의점 P 의좌표를 340. 수열 이 라하자. 두점 Q, Q 에대하여점 P 이삼각형 Q Q Q 의무게중심이되도록점 Q 를정한다. 두점 Q, Q 의좌표가각각, 이고점 Q 의좌표가 이다. 점 Q 의좌표를 라할때, 의값을구하시오. ( 단, ) [4점][2017( 나 ) 10월 / 교육청 29] 을만족시킬때, 의값은? [3점][2002( 인 ) 수능 12]

48 수학 Ⅱ 2. 수열의합 341. 부터연속된자연수를나열하여각자릿수로다음과같은수열 을만들었다.,,,,,,,,,,,,,,,,,,, 이수열의제 항부터연속된네개의항이차례로,,, 일때, 자연수 의최솟값은? [4 점 ][2010( 나 ) 3 월 / 교육청 27] 343. 한면은흰색, 다른면은검은색인같은크기의정사각형모양의 카드를다음규칙에의해그림과같이놓는다. [ 단계 ] 검은색면이보이도록카드를한개놓는다. [ 단계 ] 단계에서놓인카드를흰색면이보이도록뒤집고 그카드위쪽과오른쪽에검은색면이보이도록두개 의카드를놓는다. [ 단계 ] 단계에서놓인모든카드의색이바뀌도록뒤집고 단계에서새로놓은카드의위쪽과오른쪽에검은색 면이보이도록세개의카드를놓는다. [ 단계 ] 단계에서놓인모든카드의색이바뀌도록뒤집 고 단계에서새로놓은카드의위쪽과오른쪽에 검은색면이보이도록 개의카드를놓는다 동전의앞면과뒷면은다음과같다. 앞뒤동전 개 ( 은자연수 ) 가앞면이보이도록일렬로나열되어있다. 이웃한동전한쌍을뒤집는시행을반복하여 < 그림 > 과같이앞면과뒷면이앞면부터교대로나열되도록만들려고한다. 단계에서보이는면의색이검은색인카드의개수를 이라할때, 가되는모든 의값의합은? [4점][2010( 나 ) 7월 / 교육청 28] < 그림 > 수열 의일반항은 앞면이보이도록나열된 개의동전을 < 그림 > 처럼만드 는데필요한최소의시행횟수 이다. 예를들어, 앞면이보이도록나열된 개의동전을와같이두번의시행으로 < 그림 > 처럼만들수있으므로 이다. 의값을구하시오. [4 점 ][2012( 나 ) 10 월 / 교육청 30] 344. 자연수 에대하여다음과같은규칙으로제행에 개의정수를 적는다. ( 가 ) 제 행에는 을적는다. ( 나 ) 제 행의왼쪽끝에적힌수는제 행의오른쪽끝에 적힌수보다 이작다. ( 다 ) 제 행의수들은왼쪽부터순서대로공차가 인등차수열 을이룬다. ( ) 제 행에적힌모든수의합을 이라할때, 의값은? 제 행 5 [4 점 ][2013(A) 3 월 / 교육청 19] 제 행 제 행 제 행 제 행

49 2. 수열의합 Ⅲ 수열 345. 아래그림과같이자연수 에대하여 개의항,,,, 이 행에 열부터 열까지차례로나열되어있다. ( 단, 는 보다크지않은최대의정수이다.) 행 열 열 열 열 열 열 행 행 행 행 행 347. 그림과같이 행에는 개, 행에는 개,, 행에는 개의원 을나열하고그안에다음규칙에따라 또는 을써넣는다. ( 가 ) 행의원안에는 을써넣는다. ( 나 ) 일때, 행부터 행까지나열된모든원안의 수의합이 이상이면 행에나열된모든원안에 을 써넣고, 미만이면 행에나열된모든원안에 을써 넣는다. < 보기 > 에서옳은것을모두고른것은? [4 점 ][2005( 가 ) 수능 ( 홀 ) 11] < 보기 > ㄱ. 행에서그값이 인항은 개이다. ㄴ. 행에서그값이 인항은 개이다. ㄷ. 열에서그값이 인항은 개이다. 행부터 행까지나열된원안에써넣은모든수의합을구하시오. [4 점 ][2010( 나 ) 9 월 / 평가원 25] 1 ㄱ 2 ㄴ 3 ㄷ 4 ㄱ, ㄴ 5 ㄱ, ㄴ, ㄷ 346. 다음과같이제 행에첫째항이 이고공차가 인등차수열 의항을첫째항부터차례로 개나열한다. 제 행 제 행 제 행 제 행,,,,,,,,,,,,,, 위와같이나열할때, 제 행에서 보다큰수의개수를 이라하자. 의값은? [4 점 ][2013(A) 7 월 / 교육청 16] 348. 그림과같이나무에 개의전 구가맨위첫번째줄에는 개, 두 번째줄에는 개, 세번째줄에는 개,, 열번째줄에는 개가설치 되어있다. 전원을넣으면이전구들 은다음규칙에따라작동한다. ( 가 ) 이 이하의자연수일때, 번째줄에있는전구는 초가되는순간처음켜진다. ( 나 ) 모든전구는처음켜진후 초간격으로꺼짐과켜짐을반 복한다. 전원을넣고 초가되는순간켜지는모든전구의개수를 이라고하 자. 예를들어 이다. 의값은? [3 점 ][2008( 가 ) 6 월 / 평가원 15]

50 수학 Ⅱ 2. 수열의합 349. 한평면위에다음과같은규칙으로직선들을차례로그려나간 다. [ 단계 ] : 직선을 개그린다. [ 단계 ] : [ 단계 ] 에서그린직선과수직인직선을 개그린다. [ 단계 ] : [ 단계 ] 에서그린직선과수직인직선을 개그린다. [ 단계 ] : [ 단계 ] 에서그린직선과수직인직선을 개 그린다. ( ) 04 좌표의규칙성추론 351. 자연수 에대하여좌표평면위의점 을다음규칙에따라 정한다. ( 가 ) 점 의좌표는 이다. ( 나 ) 이짝수이면점 은점 을 축의방향으로 만 큼, 축의방향으로 만큼평행이동한점이다. ( 다 ) 이 이상의홀수이면점 은점 을 축의방향 으로 만큼, 축의방향으로 만큼평행이동한점이다. 위의규칙에따라정해진점 의좌표가 이고점 의좌 표가 일때, 의값은? [ 단계 ] [ 단계 ] [ 단계 ] [ 단계 ] 부터 [ 단계 ] 까지그린직선들의모든교점의개수를 ( ) 이라하자. 예를들어,, 이다. 의값을구하시오. ( 단, 모든직선은서로겹치지않도록그린 다.) [4 점 ][2009( 가 ) 3 월 / 교육청 25] [4점][2011( 가 ) 6월 / 평가원 17] 다음 [ 단계 ] 에따라정육각형이인접해있는모양의도형에자연 수를적는다. [ 단계 ] < 그림 > 과같이한개의정육각형을그리고, 각꼭짓점에자연수를 부터차례로적는다. [ 단계 ] < 그림 > 의아래에 개의정육각형을그리고, 새로생긴각꼭짓점에자연수를 부터차례로적어서 < 그림 > 를얻는다. [ 단계 ] < 그림 > 의아래에 개의정육각형을그리고, 새로생긴각꼭짓점에자연수를 부터차례로적어서 < 그림 > 을얻는다. < 그림 > 에적혀있는모든수의합은? [4점][2012( 나 ) 9월 / 평가원 14] 352. 자연수 에대하여순서쌍 을다음규칙에따라정한다. ( 가 ) ( 나 ) 이홀수이면 이고, 이짝수이면 이다. 순서쌍 에서 의값을구하시오. [4 점 ][2014(A) 6 월 / 평가원 28] < 그림 > < 그림 > < 그림 >

51 2. 수열의합 Ⅲ 수열 353. 자연수 에대하여좌표평면위의점 A 을다음규칙에따라정 한다. ( 가 ) 점 A 의좌표는 이다. ( 나 ) 이짝수이면점 A 은점 A 을 축의방향으로 만큼평행이동한점이다. ( 다 ) 이 이상의홀수이면점 A 은점 A 을 축의 방향으로 만큼평행이동한점이다. 위의규칙에따라정해진점 A 의좌표를 라할때, 의값은? [4 점 ][2014(B) 4 월 / 교육청 18] 355. 좌표평면에서점 A (,,, ) 을다음규칙에따라정한 다. ( 가 ) 점 A 의좌표는 이다. ( 나 ) 점 A 을 축의양의방향으로 만큼평행이 동시킨점은 A 이다. ( 다 ) 점 A 를 축의음의방향으로 만큼평행이 동시킨점은 A 이다. ( 라 ) 점 A 을 축의음의방향으로 만큼평행이 동시킨점은 A 이다. ( 마 ) 점 A 을 축의양의방향으로 만큼평행이동시킨점 은 A 이다. 그림은위의규칙대로정한점 A, A, A, 의일부를나타낸 것이다 자연수 에대하여좌표평면위의점 P 을다음규칙에 따라정한다. ( 가 ) ( 나 ) ( ) 점 Q 는원점 O 를출발하여 OP 을따라점 P 에도착한다. 자연수 점 A 의좌표를 라할때, 의값은? [4점][2010( 가 ) 3월 / 교육청 12] 에대하여점 P 에도착한점 Q 는점 P 을향하여 P P 을따라이동한다. 점 Q 는한번에 만큼이동한다. 예를들어, 원점에서출발하여 번이동한점 Q 의좌표는 이다. 원점에서출발하여 번이동한점 Q 의 좌표는? [4점][2013(A) 6월 / 평가원 16] 356. 자연수 에대하여좌표평면위의점 P 을다음규칙에따라정 한다. ( 가 ) 세점 P P P 의좌표는각각, 이다. ( 나 ) 선분 P P 의중점과선분 P P 의중점은같다 예를들어, 점 P 의좌표는 이다. 점 P 의좌표가 일 때, 의값을구하시오. [4 점 ][2013( 가 ) / 수능 27]

52 수학 Ⅱ 2. 수열의합 357. 자연수 에대하여점 P 을다음규칙에따라정한다. ( 가 ) 점 P 의좌표는 이다. ( 나 ) 점 P 의좌표가 일때, < 이면점 P 의좌표는 이고 이면점 P 의좌표는 이다 자연수 에대하여점 A 이 축위의점일때, 점 A 을다 음규칙에따라정한다. ( 가 ) 점 A 의좌표는 이다. ( 나 ) (1) 점 A 을지나고 축에평행한직선이곡선 과만나는점을 P 이라한다. 점 P n 의좌표가 일때, 의값은? [4점][2006( 가 ) 9월 / 평가원 16] (2) 점 P 을직선 에대하여대칭이동한점을 Q 이라한다. (3) 점 Q 을지나고 축에평행한직선이 축과만나는점을 R 이라한다. (4) 점 R 을 축의방향으로 만큼평행이동한점을 A 이라한다. 점 A 의 좌표를 이라하자. 일때, 의값을구하시 오. ( 단, 는서로소인자연수이다.) [3 점 ][2010( 가 ) / 수능 22] 358. 좌표평면위에다음 [ 단계 ] 와같은순서로점을찍는다. [ 단계 ] 에점을찍는다. [ 단계 ],, 에이순서대로 개의 점을찍는다. [ 단계 ],,,, 에이순서대로 개의 점을찍는다. ( 단, 는자연수이다.) 이와같은과정으로 [ 단계 ] 부터시작하여점을찍어나갈때, 번 째찍히는점의좌표는 이다. 의값은? [4 점 ][2008( 나 ) 수능 ( 홀 ) 28] 360. 함수 의그래프위에다음조건을만족시키도록점 P, P, P, 을차례로정한다. ( 가 ) 점 P 의좌표는 이다. ( 나 ) 직선 P P 의기울기는 이다. ( ) 점 P 의 좌표는? [4점][2009( 나 ) 3월 / 교육청 10]

53 2. 수열의합 Ⅲ 수열 361. 자연수 에대하여좌표평면에원 을다음과같은규칙으로 그린다. ( 가 ) 원 의방정식은 이다. ( 나 ) 원 의반지름의길이는 이다. ( 다 ) 원 은원 과외접하고, 두원, 의중심 을지나는직선은 축또는 축과평행하다. ( 라 ) ( 는음이아닌정수,,,, ) 일때, 원 의중심은제 사분면에있다. 05 기타발견적추론문제 362. 자연수 에대하여다음시행을한다. 이홀수이면 에서 을빼고, 이짝수이면 을 로나눈다. 자연수 이 이될때까지반복한시행의횟수를 이라정의하자. 예를들어, 이다. 라할때, 의값은? ( 단, 이다.) [4 점 ][2012( 가 ) 3 월 / 교육청 21] 예를들어원 의중심의좌표는 이고반지름의길이는 이 다. 원 중에서그중심이원 의내부에있는원의개수는? [4점][2015(A) 삼사 21] 거리가 인두점 O O 이있다. 점 O 를중심으로반지름의 길이가각각 인 개의원과점 O 을중심으로반지름의길 이가각각 인 개의원이있다. 이 개원의모든교점의 개수를 이라하자. 예를들어, 그림에서와같이, 이 다. 의값은? [4 점 ][2007( 가 ) 9 월 / 평가원 16]

54 수학 Ⅱ 2. 수열의합 364. 그림은직사각형모양을이루고있는 개의칸에다음 규칙에따라수를나열한것이다. ( 가 ) 제 행에는 을차례로나열하고, 각행의 첫칸에는모두 을나열한다. ( 나 ) 그림에있는 개의칸으로이루어진임의의직사각형 에서등식 가성립하도록한다. 예를들면 에서 가성립한다. 제 행 제 행 제 행 366. 한변의길이가 인정사각형모양의검은타일과흰타일이있다. ( 가 ) [ 그림 ] 과같이검은타일 개와흰타일 개를붙여한변의 길이가 인정사각형이되도록한다. ( 나 ) [ 그림 ] 와같이 [ 그림 ] 의정사각형의바깥쪽에타일을붙여한 변의길이가 인정사각형이되도록한다. 이때 [ 그림 ] 에있는흰타일의둘레에는검은타일을, 검은타 일의둘레에는흰타일을붙인다. ( 다 ) [ 그림 ] 과같이 [ 그림 ] 의정사각형의바깥쪽에타일을붙여한 변의길이가 인정사각형이되도록한다. 이때 [ 그림 ] 에있는흰타일의둘레에는검은타일을, 검은타 일의둘레에는흰타일을붙인다. 이와같은과정을계속하여전체타일의개수가 개가되었을때, 검 은타일의개수와흰타일의개수사이의관계를옳게나타낸것은? [4 점 ][2005( 가 ) 6 월 / 평가원 14] 제행 제행 이때제 행 ( 어두운부분 ) 에나열된 개의수의합을구하시오. [4점][2008( 나 ) 3월 / 교육청 30] [ 그림 ] [ 그림 ] [ 그림 ] 1 검은타일과흰타일의개수가같다. 2 검은타일의개수가흰타일의개수보다 개많다. 3 검은타일의개수가흰타일의개수보다 개많다. 4 흰타일의개수가검은타일의개수보다 개많다. 5 흰타일의개수가검은타일의개수보다 개많다 한변의길이가 cm 인정육면체 모양의상자에한변의길이가 cm 인 정육면체모양의나무블록을다음규칙에 따라빈틈없이가득채우려고한다. 번째에넣는나무블록의개수를 이라할때, ( 가 ) ( 나 ), ( 단, 는 를넘지않는최대의정수이다.) ( 다 ) 상자를가득채우면나무블록넣기를멈춘다. 번째에상자를가득채웠다고할때, 의값을구하시오. ( 단, 상자의 두께는무시한다.) [4 점 ][2005( 가 ) 9 월 / 평가원 24]

55 2. 수열의합 Ⅲ 수열 367. 다음은 층카드탑에대한설명이다. Ⅰ. 층카드탑 : 두장의카드를맞대어세운것. Ⅱ. 층카드탑 : 층카드탑두개를나란히세우고그위 에가로로한장의카드를올려놓은후그위에 층카 드탑을쌓은것. Ⅲ. 3 층카드탑 : 1 층카드탑세개를나란히세우고그위에 가로로두장의카드를올려놓은후그위에 층카드탑을 쌓은것. Ⅳ. 층카드탑 : 1 층카드탑 개를나란히세우고그위에가 로로 장의카드를올려놓은후그위에 층 카드탑을쌓은것 그림과같이제 행에는 개, 제 행에는 개,, 제 행에는 개의직사각형을나열하고그안에다음과같은규칙으로수를적었다. ( 가 ) 제 행의직사각형에는 을적는다. ( 나 ) 제 행의왼쪽끝직사각형에는제 행의왼쪽끝 직사각형에적힌수보다 이큰수를적는다. ( 다 ) 제 행의오른쪽끝직사각형에는제 행의오른쪽끝 직사각형에적힌수보다 이작은수를적는다. ( 라 ) 제 행의안쪽직사각형에는그직사각형에인접한제 행의두직사각형에적힌수의합을적는다. 제 행 제 행 제 행 제 행 1 층카드탑 2 층카드탑 제 행 제 행의맨왼쪽으로부터 번째직사각형에적힌수를 로 나타내자. 예를들어 이다. 이때, 옳은것만을 < 보기 > 에서 있는대로고른것은? [4 점 ][2009( 가 ) 10 월 / 교육청 17] < 보기 > ㄱ. ㄴ. ㄷ. 3 층카드탑 1 ㄱ 2 ㄱ, ㄴ 3 ㄱ, ㄷ 4 ㄴ, ㄷ 5 ㄱ, ㄴ, ㄷ 층카드탑을만드는데필요한카드의개수를 이라할때, 의값을구하시오. [3점][2012( 가 ) 7월 / 교육청 29] 369. 다음그림은동심원 O O O 과직선 의교점 위에자연수를 1 부터차례로적은것이다. 이미채워진수들의규칙에따라계속하여적어나가면 는원 O 과 직선 의교점위에있다. 의값을구하시오. [4 점 ][2007( 나 ) 6 월 / 평가원 23]

56 수학 Ⅱ 2. 수열의합 370. 아래그림과같이각각의점에 부터연속된자연수를규칙적으 로대응시키고이점들을선분으로연결한다. 서로다른두자연수 와 에대응되는두점을연결하는선분들의최 소개수를 라하자. 예를들면, 이고 이다. 의값은? [3 점 ][2004( 인 ) 수능 15] 372. 좌표평면에서함수 과자연수 에대하여점 을중심으로하고반지름의길이가 인원 이있다. 좌표와 좌표가모두정수인점중에서원 의 내부에있고함수 의그래프의아랫부분에있는모든점의개 수를, 원 의내부에있고함수 의그래프의윗부분에 있는모든점의개수를 이라하자. 의값은? [4 점 ][2017( 나 ) 수능 21] 371. 다음은 세기초조선의유학자홍길주가소개한제곱근을구하 는계산법의일부를재구성한것이다. 보다큰자연수 에서 을뺀수를 이라한다. 이 보다크면 에서 를뺀수를 라한다. 가 보다크면 에서 을뺀수를 이라한다. 이 보다크면 에서 를뺀수를 라한다. 이와같은과정을계속하여 번째얻은수 이 보다 작으면이과정을멈춘다. 이때, 이 과같으면 는 ( 가 ) 이다 좌표평면에서자연수 에대하여함수 를 라하자. 영역 에포함되고 좌표와 좌표가모두자연수인점의개수를 이라할때, 의값을구하 시오. [4 점 ][2017( 나 ) 8 월 / 영남권 30] ( 가 ) 에들어갈식으로알맞은것은? [4점][2007( 가 ) 6월 / 평가원 16]

57 01 3. 수학적귀납법 수열의귀납적정의 3. 수학적귀납법 Ⅲ 수열 378. 다음은어느시력검사표에표시된시력과그에해당되는문자의 크기를나타낸것의일부이다. 시력 문자의크기 374. 수열 이모든자연수 에대하여 을만족시킨 다. 일때, 의값은? [3 점 ][2017( 나 ) 3 월 / 교육청 4] 문자의크기 은다음관계식을만족시킨다., ( 단, 는상수이고 이다.) 이시력검사표에서시력 에해당되는문자의크기는? [4점][2006( 나 ) 9월 / 평가원 28] 두원소 가들어있는기체 가기체확산장치를통과하면 의농도가변한다. 기체확산장치를통과하기전기체 에들어 있는 의농도를각각 이라하고, 기체확산장치를 번통 과한기체에들어있는 의농도를각각 이라하자., 이라하면다음관계식이성립한다고한다. 4 5 일때, 기체 가기체확산장치를 번통과하면 이 된다. 자연수 의최솟값은? ( 단, log, log 로계산한다.) [3점][2011( 가 ) 6월 / 평가원 12] ,, (,,, ) 으로정의된수열 에대하여 의값을구하시오. [4 점 ][2005( 나 ) 4 월 / 교육청 25] 376. 수열 이 이고, 을 만족시킬때, 의값은? 1 2 [3 점 ][2013(B) 10 월 / 교육청 5] 다음과같이정의된수열 이있다. 의값은? 1, (,,, ) 2 [3 점 ][2010( 나 ) 3 월 / 교육청 26] 수열 에대하여첫째항부터제 항까지의합을 이라하 자. ( 단, < < < < < 이다.), 일때, 의값은? [3 점 ][2005( 나 ) 9 월 / 평가원 14]

58 수학 Ⅱ 3. 수학적귀납법 381. 다음과같이정사각형을가로방향으로 등분하여 [ 도형] 을만 들고, 세로방향으로 등분하여 [ 도형 ] 를만든다. [ 도형 ] 과 [ 도형 ] 를번갈아가며계속붙여아래와같은도형을만든 다. 그림과같이첫번째붙여진 [ 도형 ] 의왼쪽맨위꼭짓점을 A 라 하고, [ 도형 ] 의개수와 [ 도형 ] 의개수를합하여 개붙여만든도형 의오른쪽맨아래꼭짓점을 B 이라하자 수열 이 꼴귀납적정의, 을만족시킬때, 의값은? [3 점 ][2011( 가 ) 4 월 / 교육청 6] 꼭짓점 A 에서꼭짓점 B 까지선을따라최단거리로가는경로의수를 이라할때, 의값은? [4 점 ][2008( 가 ) 수능 ( 홀 ) 14] 382. 자연수 에대하여곡선 ( ) 위의점 P 을다음 규칙에따라정한다 수열 이 이고 일때, 의값을 구하시오. [3 점 ][2007( 나 ) 6 월 / 평가원 21] 385. 수열 이 을만족시킨다. 일때, 의값은? [3 점 ][2010( 나 ) / 수능 26] ( 가 ) 점 P 의좌표는 이다. ( 나 ) 점 P 은점 P 을지나는직선 과곡선 이만나는점중에서점 P 이아닌점이다. 점 P 의 좌표로이루어진수열 에서 일때, 의값 은? [4 점 ][2014(A) 10 월 / 교육청 15] 386. 수열 이다음조건을만족시킨다. ( ) 일때, 의값은? [3 점 ][2011( 나 ) 삼사 7] 387. 수열 이모든자연수 에대하여 을만족시 킨다. 일때, 의값은? [3 점 ][2014(A) 4 월 / 교육청 9]

59 3. 수학적귀납법 Ⅲ 수열 388. 수열 이다음조건을만족시킨다. ( 가 ) ( 나 ) ( ) 일때, 모든 의값의합을구하시오 수열 이다음조건을만족시킨다. [4 점 ][2015(A) 4 월 / 교육청 26] 391. 다음 단계 에따라반지름의길이가같은원들을외접하도록그 린다. 단계 개의원을외접하게그려서 < 그림 > 을얻는다. 단계 < 그림 > 의아래에 개의원을외접하게그려서 < 그 림 > 를얻는다. 단계 < 그림 > 의아래에 개의원을외접하게그려서 < 그 림 > 을얻는다. 단계 < 그림 > 의아래에 개의원을외접하게 그려서 < 그림 > 을얻는다. ( ) ( 가 ),, ( 나 ) 수열 은등차수열이다. 의값은? [3점][2013(A) 3월 / 교육청 8] < 그림 > < 그림 > < 그림 > < 그림 > 에그려진원의모든접점의개수를,,, 이 라하자. 예를들어,, 이다. 의값을구하시오. [4 점 ][2015(A) 7 월 / 교육청 27] 390. 수열 을 로정의하자. 의최댓값은? [3점][2013( 나 ) 삼사 11] 한평면에서로다른 개의직선을그려서나누어진영역의수의 최솟값을, 최댓값을 이라하자. < 보기 > 의설명중옳은것 을모두고른것은? ㄱ. 이다. < 보기 > ㄴ. 모든 에대하여 이다. ㄷ. 모든 에대하여 이다. [3 점 ][2002( 인 ) 수능 14] 1 ㄱ 2 ㄴ 3 ㄱ, ㄴ 4 ㄱ, ㄷ 5 ㄱ, ㄴ, ㄷ

60 수학 Ⅱ 3. 수학적귀납법 03 꼴귀납적정의 04 꼴귀납적정의 393. 수열 이 이고, 모든자연수 에대하여 을만족시킬때, 의값은? 1 2 [3 점 ][2012( 나 ) / 수능 5] 수열 이 이고, 모든자연수 에대하여 를만족시킨다. 의값을구하시오. [3 점 ][2017( 나 ) 4 월 / 교육청 25] 수열 에대하여 이고 일때, 의값 은? [3 점 ][2007( 나 ) 수능 ( 홀 ) 26] 394. 두수열, 은첫째항이모두 이고, 을만족시킨다. 수열 을 이라할때, 의값은? [4 점 ][2011( 나 ) 3 월 / 교육청 18] 수열 이 이고, 모든자연수 에대하여 을만족시킬때, log 의값은? [3 점 ][2012(A) 11 월 / 교육청 ( 고 2) 12] 399., 으로정의된수열 에대하여 log 의값은? ( 단, 는 보다크지않 은최대의정수이다.) [4 점 ][2012(B) 10 월 / 인천 ( 고 2) 18] 395. 수열 이 이고, 모든자연수 에대하여 을만족시킬때, 의값을구하시오. [3 점 ][2012( 가 ) 4 월 / 교육청 24] 400. 수열 에서 이고, 일때, 은 을만족시키는자연수 의개수이다. 의값을구하시오. [4 점 ][2012( 가 ) 6 월 / 평가원 28]

61 3. 수학적귀납법 Ⅲ 수열 401. 한개의정삼각형에서각변의중점을선분으로이으면 개의작 은정삼각형이생긴다. 이때, 가운데정삼각형하나를잘라내면 개의 정삼각형이남는다. 남은 개의각정삼각형에서같은과정을반복하면 모두 개의정삼각형이남고, 다시 개의각정삼각형에서같은과정 을반복하면모두 개의정삼각형이남는다. 그림은이와같은과정을 계속하여만들어지는도형을나타낸것이다 아래그림에서 P 은합동인세원을서로외접하게그린후, 이 세원에동시에접하는원 개를그린도형이다. P 는 P 과같은모양의도형 개를서로외접하게그린후, 이세도 형에동시에접하는원 개를그린도형이다. 이와같은방법으로계속하여 번째얻은도형 P 에있는원의개수를 이라하자. 예를들어 이고, 이다. 의값은? [3 점 ][2009( 가 ) 9 월 / 평가원 38] [ 첫번째 ] [ 두번째 ] [ 세번째 ] 두정삼각형이공유하는꼭짓점은한개의꼭짓점으로셀때, 번째도 형에서남은정삼각형들의꼭짓점의개수를 이라하자. 예를들어, 이다. 의값은? [4점][2010( 가 ) 3월 / 교육청 9] 그림과같이자연수를다음규칙에따라나열하였다. [ 규칙 ] 행에는,, 의 개의수를차례대로나열한다. [ 규칙 ] 행에나열된수는 열에, 열부터는 행에 나열된각수에 를곱하여차례대로나열한다 [ 열 ] [ 열 ] [ 열 ] [ 열 ] [ 열 ] [ 행 ] [ 행 ] [ 행 ] 행에나열된모든자연수의합을 라할때, 이다. 이때, 의값을구하시오. [3 점 ][2010( 나 ) 4 월 / 교육청 21]

62 수학 Ⅱ 3. 수학적귀납법 404. 그림과같이직사각형에서세로를각각이등분하는점 개를연 결하는선분을그린그림을 [ 그림 ] 이라하자. [ 그림 ] 을 만큼축소시킨도형을 [ 그림 ] 의오른쪽맨아래꼭짓 점을하나의꼭짓점으로하여오른쪽에이어붙인그림을 [ 그림 ] 라 하자. 이와같이 이상의자연수 에대하여 [ 그림 ] 을 만큼축소시 킨도형을 [ 그림 ] 의오른쪽맨아래꼭짓점을하나의꼭짓점으로 하여오른쪽에이어붙인그림을 [ 그림 ] 라하자. 자연수 에대하여 [ 그림 ] 에서왼쪽맨위꼭짓점을 A, 오른쪽맨 아래꼭짓점을 B 이라할때, 점 A 에서점 B 까지선을따라최단 거리로가는경로의수를 이라하자. 의값을구하시오. [4 점 ][2013(A) 9 월 / 평가원 29] 01 수학적귀납법의활용 405. 수열 은 이고실수 와모든자연수 에 대하여 일때, 의값은? [4 점 ][2017( 나 ) 10 월 / 경남 14] 수열 이모든자연수 에대하여, 를만족시킬때, 이되도록하는상수 의값은? [3점][2017( 나 ) 3월 / 교육청 9] 수열 은, 이고모든자연수 에대하여다음 조건을만족시킨다. ( 가 ) ( 나 ) 의값을구하시오. [3 점 ][2012( 가 ) 3 월 / 교육청 26] 408. 수열 이 을만족시킬때, 의값은? [3 점 ][2010( 가 ) / 수능 36]

63 3. 수학적귀납법 Ⅲ 수열 409. 수열 이모든자연수 에대하여 을만족시킬때, 의값은? [3 점 ][2012( 나 ) 3 월 / 교육청 9] 413. 중복을허용하여 로만든 자리문자열중에서다음조건 을만족시키는문자열의개수를 이라하자. ( 가 ) 첫문자와끝문자는모두 이다. ( 나 ) 와 바로뒤에는 만올수있다. 수열 은 이고, 점화관계 을만족시킨다. 일때, 의값을구하시오. [4 점 ][2011( 가 ) / 수능 40] 410. 수열 이점화관계 을만족시킬때, 의값은? [3 점 ][2010( 가 ) 9 월 / 평가원 36] 414. 두수열 은 이고, 모든자연수 에대하여 을만족시킨다. 일때, 의값은? [4 점 ][2017( 나 ) 9 월 / 평가원 19] 411. 수열 은 이고, 을만족시킨다. 일때, 의값을구하시오. ( 단, 와 는 서로소인자연수이다.) [4 점 ][2010( 가 ) 9 월 / 평가원 23] 415. 어느공원에는아래그림과같이 A 지점에서출발하여 A 지점으 로돌아오는제 산책로, A 지점에서출발하여 B 지점으로이어지는제 산책로, B 지점에서출발하여 A 지점으로이어지는제 산책로가있 고, 각산책로의거리는 km 이다 자연수 에대하여세문자 A B C 를중복을허용하여만든 자리문자열중에서다음두조건을만족시키는문자열의개수를 이 라하자. ( 가 ) 같은문자가연속하여나올수없다. ( 나 ) A 의바로뒤에 B 는나올수없다. 수열 은점화관계 을만족시킨다. 의값은? [4 점 ][2008( 가 ) 수능 ( 홀 ) 39] 이산책로들을따라다음과같은규칙으로산책한거리가 km 일때, A 지점에서출발하여 A 지점에도착하는방법의수를, A 지점에서출발하여 B 지점에도착하는방법의수를 이라하자. ( 가 ) 각산책로에서는화살표방향으로만진행해야한다. ( 나 ) 같은산책로를반복할수있다. ( 다 ) 지나지않는산책로가있을수있다. 의값은? ( 단, 은자연수이다.) [4점][2011( 나 ) 3월 / 교육청 20]

64 수학 Ⅱ 3. 수학적귀납법 416. 그림과같이한변의길이가 인정사각형모양의종이 ABCD 에서각변의중점을각각 A, B, C, D 이라하고 A B, B C, C D, D A 을접는선으로하여네점 A, B, C, D 가한점에서 만나도록접은모양을 이라하자. 에서정사각형 A B C D 의각변의중점을각각 A, B, C, D 라하고 A B, B C, C D, D A 를접는선으로하여네점 A, B, C, D 이한점에서만나도록접은모양을 라하자. 이와같은과정을계속하여 번째얻은모양을 이라하고, 을정 사각형모양의종이 ABCD 와같도록펼쳤을때접힌모든선들의길 이의합을 이라하자. 예를들어, 이다. 의값은? ( 단, 종이의두께는고려하지않는다.) [4 점 ][2015(A) 4 월 / 교육청 21] 02 피보나치수열 417.A, B, C 세사람은아래와같은규칙으로전자우편을보내기 로하였다. Ⅰ. A 는 B 에게만보낸다. Ⅱ. B 는 A 와 C 모두에게각각한통씩보낸다. Ⅲ. C 는 A 와 B 모두에게각각한통씩보낸다. 아래그림과같이 B 부터전자우편을보내기시작할때, [ 단계 ], [ 단계 ], [ 단계 ] 에서 A 가받은전자우편의개수를각각,, 라 할때, 의값을구하시오. ( 예를들면 이며, 전자우편의개수 와용량은제한하지않는다.) [4 점 ][2004( 나 ) 4 월 / 교육청 27] A D D D D C D C 1 단계 A C A C A B A B 2 단계 B B C B 3 단계 을펼친그림 를펼친그림 어떤원자의전자들은에너지의증감에따라세가지상태,, 로바뀐다. 이때, 다음규칙이적용된다고하자. 규칙 1: 에너지가증가하면 상태의전자는 상태로올라가고, 상태의전자중일부는 상태로, 나머지는 상태로올라간다. 규칙 2: 에너지가감소하면 상태의전자는 상태로내려가고, 상태의전자중일부는 상태로, 나머지는 상태로내려간다. < 단계 1> 에서전자는 상태에있다. 에너지가증가하여 < 단계 2> 가되면이전자는 상태또는 상태가된다. 이때, 이전자가취할수있는변화의경로는 와 의 가지이다. 다시에너지가감소하여 < 단계 3> 이되면, 이때까지의가능한변화경로는,, 의 가지이다. 이와같이에너지의증가와감소가교대로계속될때, < 단계 1> 부터 < 단계 7> 까지이전자의가능한변화경로의수는? [3점][1997( 인 ) 수능 ( 홀 ) 22]

65 3. 수학적귀납법 Ⅲ 수열 03 일반항을구하는빈칸추론 419. 수열 은 이고 을만족시킨다. 다음은일반항 이 임을수학적귀납법을이용하여증명한것이다. (ⅰ) 일때, ( 좌변 ), ( 우변 ) 이므로 이성립한다. (ⅱ) 일때 이성립한다고가정하면 이므로 ( 가 ) ( 나 ) 이다. 따라서 일때도 이성립한다. (ⅰ), (ⅱ) 에의하여모든자연수 에대하여 이다. 이므로 위의 ( 가 ), ( 나 ) 에알맞은식을각각, 라할때, 의값은? [3 점 ][2013(A) 9 월 / 평가원 12] 421. 수열 은, 이고, ( ) 을만족시킨다. 다음은일반항 을구하는과정의일부이다. ( 은자연수 ) 일때, 주어진식을정리하면 이므로 ( 가 ) 이다. 좌변과우변을각각곱하여정리하면 이다. ( 나 ) C ( 나 ) 위의 ( 가 ), ( 나 ) 에알맞은식을각각, 이라할때, 의값은? [4 점 ][2015(A) 10 월 / 교육청 16] 모든항이양수인수열 은 이고 420. 수열 에대하여 라할때, ( ) 을만족시킨다. 다음은일반항 을구하는과정이다. ᄀ 에서 일때, 이므로 이다. ᄂ ᄂ에서ᄀ을뺀식으로부터 ( 가 ) 이다. 수열 가등비수열이므로 일반항 을구하면 이다. ( 나 ) ( ) 위의 ( 가 ) 에알맞은수를, ( 나 ) 에알맞은식을 이라할때, 의값은? [4 점 ][2015(A) 4 월 / 교육청 17] 을만족시킨다. 다음은일반항 을구하는과정이다. 주어진식의양변을 로나누면 이다. 이라하면 가 이고, 이다. 이므로 나 나 이다. 그러므로 이다. 나 ( ) 위의 ( 가 ) 에알맞은값을, ( 나 ) 에알맞은식을 이라할때, 의값은? [4 점 ][2015(A) 7 월 / 교육청 17]

66 수학 Ⅱ 3. 수학적귀납법 423. 수열 은 이고, 을만족시킨다. 다음은일반항 을구하는과정이다. 주어진식에의하여 이다. 따라서 이상의자연수 에대하여 가 이므로 425. 모든항이양수인수열 은 이고 을만족시킨다. 다음은일반항 을구하는과정이다. 주어진식의양변에상용로그를취하면 log log 이다. 양변을 로나누면 log log < 증명 > 가 log 이다. 이라하면 이고 가 이다. 이라하면 가 이고 이므로 나 이다. 그러므로 나 이다. 위의 ( 가 ), ( 나 ) 에알맞은식을각각 이라할때, 의값은? [4 점 ][2013( 가 ) / 수능 17] 가 이다. 수열 의일반항을구하면 이므로 나 log 나 이다. 그러므로 나 이다. 위의 ( 가 ) 와 ( 나 ) 에알맞은식을각각 과 이라할때, 의값은? [4 점 ][2014(A) / 수능 16] 426. 모든항이양수인수열 은 이고 424. 수열 은 이고, 를 만족시킨다. 다음은일반항 을구하는과정의일부이다. 주어진식으로부터 이다. 자연수 에대하여 가 이므로, 이성립한다. 따라서 나 나 이다. 위의 ( 가 ) 에알맞은식을, ( 나 ) 에알맞은식을 이라할때, 의값은? [4 점 ][2010( 나 ) 9 월 / 평가원 17] 을만족시킨다. 다음은일반항 을구하는과정의일부이다. 이라하면 이고주어진식으로부터 이다. 라하면 이다. ( 가 ), 를이용하여 을구하면 이다. ( 나 ) 위의 ( 가 ), ( 나 ) 에알맞은식을각각 이라할때, 의값은? [4 점 ][2015(A) 9 월 / 평가원 17]

67 3. 수학적귀납법 Ⅲ 수열 427. 수열 은 이고 ( ) 429. 수열 은 이고, ( ) 을만족시킨다. 다음은일반항 을구하는과정이다. 주어진식에의하여 이므로 이다. 가 이라하면 가 이고, 이므로 나 ( ) 이다. 따라서 나 ( ) 이다. 위의 ( 가 ) 에알맞은수를, ( 나 ) 에알맞은식을 이라할때, 의값은? [3 점 ][2014(A) 10 월 / 교육청 13] 을만족시킨다. 다음은일반항 을구하는과정이다. 주어진식에의하여 이다. ( 가 ) 이므로, ( 가 ) 라하면 이다. 이고 이므로 ( 나 ) 이다. 그러므로 ( 가 ) ( 나 ) 이다. 위의 ( 가 ), ( 나 ) 에알맞은식을각각, 이라할때, 의값은? [4 점 ][2014(A) 6 월 / 평가원 17] 수열 은 이고, 430. 수열 은 이고, 을만족시킨다. 다음은일반항 을구하는과정의일부이다. 모든자연수 에대하여 이다. 수열 을, 이라하면, 이다. 즉, 은등차수열이므로 에의하여 가 이고, 나 이다. 을만족시킨다. 다음은일반항 을구하는과정의일부이다. 모든자연수 에대하여 이다. 가 이라하면, 이고 이다. 수열 의일반항을구하면 나 이므로 나 이다. 따라서 이고, 이다. 위의 ( 가 ), ( 나 ) 에알맞은식을각각, 이라할때, 의값은? [4점][2011( 가 ) 9월평가원 19] 위의 가 에알맞은식을, 나 에알맞은식을 이라할때, 의값은? [4 점 ][2011( 가 ) / 수능 15]

68 수학 Ⅱ 3. 수학적귀납법 431. 수열 은 이고 을만족시킨다. 다음은일반항 을구하는과정이다. 주어진식으로부터 가 이다. 자연수 에대하여 이다. 나 다 따라서 이고, 일때 다 이다 수열 은 이고, 라할때, ( ) 을만족시킨다. 다음은일반항 을구하는과정이다. 자연수 에대하여 이므로주어진식에 의하여 ( ) 이다. 양변을 로나누면 이다. 이다. 수열 이라하면 이고 ( 가 ) 위의 ( 가 ), ( 나 ), ( 다 ) 에알맞은수를각각 라할때, 의값은? 첫째항이 5 [3 점 ][2011( 가 ) 6 월 / 평가원 10] 1인수열 에대하여 라할때, 이성립한다. 다음은일반항 을구하는과정이다. 이므로 ( 가 ) 이다. 그러므로 ( 나 ) ( ) 이다. 위의 ( 가 ), ( 나 ) 에알맞은식을각각, 이라할때, 의값은? [4점][2015(B) / 수능 17] 주어진식 에의하여 ᄀ 이다. 에서ᄀ을빼서정리하면 가 이다. ᄀ으로부터 이고, 이므로 나 이다. 그러므로 은 이다. 위의 ( 가 ), ( 나 ) 에알맞은식을각각 이라할때, 의값은? [4점][2014(A) 9월 / 평가원 16]

69 3. 수학적귀납법 Ⅲ 수열 434. 모든항이양수인수열 은 이고, 라할때, 를만족시킨다. 다음은일반항 을구하는과정이다. 이므로주어진식으로부터 이다. 양변을 으로나누면 이다. 이라하면 이고 이다. 수열 의일반항을구하면 이므로 가 가 이다. 따라서 이고, 일때 이다. 나 위의 ( 가 ) 와 ( 나 ) 에알맞은식을각각, 이라할때, 의값은? [4 점 ][2016(A) / 수능 19] 435. 첫째항이 인수열 에대하여 라할때, 이성립한다. 다음은수열 의일반항을구하는과정의일부이다. 자연수 에대하여 이므로 ᄀ 이다. 이상의자연수 에대하여 ᄂ 이고, ᄀ에서ᄂ을뺀식으로부터 가 를얻는다. 양변을 로나누면 가 이다. 이라하면, 나 이므로 다 이다. 위의 ( 가 ), ( 나 ), ( 다 ) 에들어갈식을각각,, 이라할 때, 의값은? [4 점 ][2012( 가 ) / 수능 17] 436. 모든항이양수인수열 의첫째항부터제항까지의합을 이라할때, 이성립한다. 다음은수열 의일반항을구하는과정의일부이다. 주어진식에 을대입하면 이므로 ( 가 ) 이다. ( ) 이고 이므로 ( 나 ) ( 가 ) ( ) 이다. 한편, 이므로 따라서 ( 다 ) 위의 ( 가 ), ( 나 ) 에알맞은수를각각, 라하고, ( 다 ) 에알맞은식을 이라할때, 의값은? [4점][2012( 가 ) 4월 / 교육청 15]

70 수학 Ⅱ 3. 수학적귀납법 437. 수열 은 이고, ( ) 을만족시킨다. 다음은일반항 을구하는과정이다. 인자연수 에대하여 이므로 ( 가 ) 이다. 을차례로대입하면 이므로 ( 나 ) ( ) 따라서주어진수열 의일반항은 이고, ( 나 ) ( ) 위의 ( 가 ) 에알맞은식을, ( 나 ) 에알맞은식을 이라할때, 의값은? [4 점 ][2011( 가 ) 4 월 / 교육청 17] 438. 수열 은 이고, 을만족시킨다. 다음은일반항 을구하는과정이다. 주어진식 의양변을 으로나누면 ( ) 이므로 인자연수 에대하여 이다. 한편 (*) 가 이므로 (*) 에의하여 이다. 나 ( ) 가 위의 ( 가 ), ( 나 ) 에알맞은식을각각, 이라할때, 의값은? [4 점 ][2012( 가 ) 9 월 / 평가원 17]

71 3. 수학적귀납법 Ⅲ 수열 439. 첫째항이 인수열 에대하여 라할때, (*) 이성립한다. 다음은일반항 을구하는과정이다. 식 (*) 의양변에 을더하여정리하면 이다. log 이라하면 이고 수열 기타빈칸추론 은 이고, 라할때, 을만족시킨다. 다음은 을구하는과정이다. 주어진식으로부터 이다. ( 가 ) 이다. 수열 의일반항을구하면 일때, 이므로 이다, 그러므로 이고 일때 이다. 나 나 위의 ( 가 ) 와 ( 나 ) 에알맞은식을각각, 이라할때, 의값은? [4 점 ][2015(A) 6 월 / 평가원 19] 이므로 이다. 따라서일반항 을구하면, 자연수 에대하여 일때, 일때, 가 이다. 한편, 이므로 가 나 이다. 위의 ( 가 ), ( 나 ) 에알맞은식을각각, 라할때, 의값은? [4 점 ][2012( 가 ) 6 월 / 평가원 15] 441. 일반항이 ( ) 인수열 에서 의값이 의배수인항들을작은것부터차례로나열한수열을 이 라할때, 다음은 를구하는과정이다. ( 가 ) 이므로 은 의배수이다. ᄀ,,,, 중에서 의배수인것은,,, 이므로,,, 이다. ᄂᄀ, ᄂ에서 ( 나 ) 따라서 ( 다 ) 위의 ( 가 ), ( 나 ), ( 다 ) 에들어갈식을각각,, 라할때, 의값은? [4점][2012( 가 ) 3월 / 교육청 17]

72 수학 Ⅱ 442. 수열 은 이고, ( ) 을만족시킨다. 다음은일반항 을구하는과정이다. 주어진식에의하여 3. 수학적귀납법 05 수학적귀납법 443. 다음은모든자연수 에대하여 이성립함을수학적귀납법으로증명한것이다. (*) 이다. 이라하면 ( 가 ) ( ) 이고, 이므로 ( 나 ) ( ) 이다. 그러므로 이다. ( ) ( ( 나 ) ) ( ) 위의 ( 가 ), ( 나 ) 에알맞은식을각각, 이라할때, 의값은? [4 점 ][2013(A) 6 월 / 평가원 19] (ⅰ) 일때, ( 좌변 ) ( 우변 ) 따라서 (*) 이성립한다. (ⅱ) 일때, (*) 이성립한다고가정하면 이다. 가 나 가 따라서 일때도 (*) 이성립한다. (ⅰ), (ⅱ) 에의하여모든자연수 에대하여 (*) 이성립한다. 위의 ( 가 ), ( 나 ) 에알맞은식을각각, 이라할때, 의값은? [4 점 ][2016( 나 ) 3 월 / 교육청 16]

73 3. 수학적귀납법 Ⅲ 수열 444. 다음은모든자연수 에대하여 이성립함을수학적귀납법으로증명한것이다. (ⅰ) 일때, ( 좌변 ), ( 우변 ) 이므로 주어진식은성립한다. (ⅱ) 일때성립한다고가정하면 이다. 일때성립함을보이자. ( 가 ) ( 나 ) ( 다 ) < 증명 > 그러므로 일때도성립한다. 따라서모든자연수 에대하여주어진등식은성립한다. 위의증명에서 ( 가 ), ( 나 ), ( 다 ) 에알맞은것을차례로나열한것은? [4 점 ][2004( 나 ) 9 월 / 평가원 16] ( 가 ) ( 나 ) ( 다 ) 수열 이 일때, 다음은모든자연수 에대하여 이성립함을수학적귀납법으로증명한것이다. (1) 일때, ( 좌변 ), ( 우변 ) 이므로 (*) 이성립한다. (2) 일때, (*) 이성립한다고가정하면 이다. 일때, (*) 이성립함을보이자. < 증명 > 그러므로 일때도 (*) 이성립한다. 따라서모든자연수 에대하여 (*) 이성립한다. 4 5 위증명에서 ( 가 ), ( 나 ), ( 다 ) 에들어갈식으로알맞은것은? 1 [3 점 ][2009( 가 ) / 수능 10] ( 가 ) ( 나 ) ( 다 )

74 수학 Ⅱ 3. 수학적귀납법 446. 다음은모든자연수 에대하여 이성립함을수학적귀납법으로증명한것이다 다음은모든자연수 에대하여 이성립함을수학적귀납법으로증명한것이다. (*) (ⅰ) 일때, ( 좌변 ), ( 우변 ) 이므로 주어진등식은성립한다. (ⅱ) 일때, 등식 이성립한다고가정하자. 일때, 가 나 가 이다. 따라서 일때도주어진등식이성립한다. (ⅰ), (ⅱ) 에의하여모든자연수 에대하여주어진등식이성 립한다. 위의 ( 가 ) 에알맞은식을, ( 나 ) 에알맞은수를 라할때, 의값은? [4 점 ][2016( 나 ) 7 월 / 교육청 19] (1) 일때, ( 좌변 ), ( 우변 ) 이므로 (*) 이성립한다. (2) 일때, (*) 이성립한다고가정하면 이다. 위등식의양변에 을더하여정리하면 가 나 따라서 일때도 (*) 이성립한다. (1), (2) 에의하여 모든자연수 에대하여 (*) 이성립한다. 위의 ( 가 ), ( 나 ) 에알맞은식을각각, 라할때, 의값은? [4 점 ][2016( 나 ) 4 월 / 교육청 18]

75 3. 수학적귀납법 Ⅲ 수열 448. 다음은모든자연수 에대하여등식 이성립함을수학적귀납법으로증명한것이다. ᄀ 449. 다음은모든자연수 에대하여 이성립함을수학적귀납법으로증명한것이다. < 증명 > (1) 일때, ( 좌변 ), ( 우변 ) 이므로ᄀ이성립한다. (2) 일때ᄀ이성립한다고가정하면 이다. 일때ᄀ이성립함을보이자. ( 가 ) ( 나 ) 그러므로 일때도ᄀ이성립한다. 따라서 (1), (2) 에의하여모든자연수 에대하여ᄀ이성립한다. 위의증명에서 ( 가 ) 에알맞은수를 라하고, ( 나 ) 에알맞은식을 이라할때, 의값은? [4점][2011( 가 ) 10월 / 교육청 12] (ⅰ) 일때, ( 좌변 )=, ( 우변 )= 이므로 (*) 이성립한다. (ⅱ) 일때, (*) 이성립한다고가정하고, 일때 도 (*) 이성립함을보이자. ( 가 ) ( 가 ) ( 나 ) ( 다 ) 이다. 그러므로 일때도 (*) 이성립한다. (ⅰ), (ⅱ) 에의하여모든자연수 에대하여 (*) 이성립한다. 위의 ( 가 ), ( 나 ), ( 다 ) 에알맞은식을각각,, 이라할 때, 의값은? [4 점 ][2016( 나 ) 5 월 / 전북 16]

76 수학 Ⅱ 3. 수학적귀납법 450. 다음은모든자연수 에대하여부등식 < 451. 수열 은 이고 가성립함을수학적귀납법으로증명한것이다. 자연수 에대하여 이라할때, < 임을보이면된다. (1) 일때, <이므로 주어진부등식은성립한다. (2) 일때, < 일때, 라고가정하면 이다. ( 가 ) < ( 가 ) ( 나 ) 자연수 에대하여 이므로 ( 나 ) < 증명 > 이고 < 이다. 따라서 일때도주어진부등식은성립한다. 그러므로모든자연수 에대하여주어진부등식은성립한다. 위증명에서 ( 가 ), ( 나 ) 에들어갈식으로알맞은것은? ( 가 ) ( 나 ) [3 점 ][2007( 가 ) 6 월 / 평가원 14] 을만족시킨다. 다음은일반항 이 임을수학적귀납법을이용하여증명한것이다. (ⅰ) 일때, ( 좌변 ) ( 우변 ) 이므로 ( ) 이성립한다. (ⅱ) 일때, ( ) 이성립한다고가정하면 이므로 가 < 증명 > ( ) 이다. 따라서 나 이므로 일때도 ( ) 이성립한다. (ⅰ), (ⅱ) 에의하여모든자연수 에대하여 이다. ( 가 ), ( 나 ) 에알맞은식을각각, 라할때, 의 값은? [4 점 ][2016( 나 ) 8 월 / 영남권 17]

77 3. 수학적귀납법 Ⅲ 수열 452. 수열 이 ( ) 이고, 모든 ( ) 에대하여 을만족시킨다. 다음은 ( ) 임을수학적귀납법을이용하여증명한것이다. ⑴ 일때, 이다. ⑵ ⅰ) 일때, 이므로 이다. 따라서주어진식이성립한다. ⅱ) ( ) 일때성립한다고가정하고, 일때성립함을보이자. < 증명 > 이므로 이다. 따라서모든자연수 에대하여 이다. 위의, 에알맞은식의곱을 라할때, 의값은? 1 2 [4 점 ][2010( 가 ) 6 월 / 평가원 13]

78

79 정답과해설 교육청 / 평가원

80

81 Ⅲ 1. 등차수열과등비수열 1. 등차수열 수열 정답과해설 교육청 / 평가원 ᄀ ᄂ - 1 -

82 수학 Ⅱ 정답과해설 ᄀ ᄂᄀ ᄂ - 2 -

83 정답과해설 교육청 / 평가원 d ᄀ ᄂ ᄀ ᄂ ± - 3 -

84 수학 Ⅱ 정답과해설 - 4 -

85 정답과해설 교육청 / 평가원 ± ± log log log log loglog log log A B - 5 -

86 수학 Ⅱ 정답과해설 - 6 -

87 정답과해설 교육청 / 평가원 - 7 -

88 수학 Ⅱ 정답과해설 - 8 -

89 정답과해설 교육청 / 평가원 - 9 -

90 수학 Ⅱ 정답과해설

91 정답과해설 교육청 / 평가원 C AB H AB CH AH P Q H C P Q CH AHC P Q P Q P Q P Q tan BHC P Q P Q P Q tan

92 수학 Ⅱ 정답과해설 P Q P Q P Q P Q O P Q P Q P Q P Q P Q 2. 등비수열 A A A

93 정답과해설 교육청 / 평가원 ᄀ ᄂ

94 수학 Ⅱ 정답과해설 등비수열의성질이해하기 ᄂ ᄀ ᄀ ᄂ

95 정답과해설 교육청 / 평가원 log log log log log log log log ᄀ ᄂ log log log log log log log log log

96 수학 Ⅱ 정답과해설 log log log log log C C C C A B C BC OC AC

97 정답과해설 교육청 / 평가원 OP OR QR OP OR QR 또는 1 2 log k k

98 수학 Ⅱ 정답과해설 ᄀ ᄂ

99 정답과해설 교육청 / 평가원 log log log log log log log log log log log log log log log log log log log log log O P Q Q

100 수학 Ⅱ 정답과해설 log log log log log ᄀ ᄂ

101 정답과해설 교육청 / 평가원 AD CD AB ABD ACB AC BC AB AC A AB B C D E AO OC EA OC AO EA

102 수학 Ⅱ 정답과해설 3. 등비수열의합의활용 A log log 조 조 조 조 조 조 조 원

103 정답과해설 교육청 / 평가원 2. 수열의합 1. 의계산

104 수학 Ⅱ 정답과해설

105 정답과해설 교육청 / 평가원 수열의합이해하기 log log log log log log log log log loglog

106 수학 Ⅱ 정답과해설 ᄀᄀ A P A P

107 정답과해설 교육청 / 평가원 log log log log log log C C C C C C C C C OA P i ii iii

108 수학 Ⅱ 정답과해설 P Q R A B A C A C B AB C

109 정답과해설 교육청 / 평가원