확통Ⅰ-0(001~007)OK
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- 상인 장
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1 CONTENTS I II
2 III
3 I / /
4 여러 개의 물건을 여러 개의 상자에 나누어 담는 경우의 수는 그 순서와 방법에 따라 달라진다.
5 9 4.. A B 6 4 A B 0 I.
6 (Galilei, G. ; 564~64) =5
7 A, B A B m n A B m+n (, 4), (, ), (, ), (4, ) 7 (, 6), (, 5), (, 4), (4, ), (5, ), (6, ), 4+6= I.
8 (Einstein, A. ; 879~955) Imagination is more important than knowledge. _=6 A m B n A, B m_n 0 A, B, C A B C A B C
9 = _ 08,,,,, 4 08 _4= (a+b)(x+y+z) (p+q+r)(a+b)(x+y) ? 4 I.
10 988 6 (end) 4 4 A, B, C, D 4 B A A A A C B C C B D B D D D C 4_= n r (r n) «P P Permutation n r «P 5
11 «P n r n (n-) y r {n-(r-)} y r n (n-) (n-) y (n-r+) «P «P =n(n-)(n-)y (n-r+) «P =n(n-)y(n-r+) r ( M { M 9 n r «P =n(n-)(n-)y (n-r+) 0<r n n r n r «P P =5_4=0 P =6_5_4=0 0 P P I.
12 n n «P r=n «P«=n(n-)(n-)y n n n! n n (factorial) n! n!=n(n-)(n-)y r<n «P «P =n(n-)(n-)y (n-r+) = n(n-)(n-)y (n-r+)(n-r)(n-r-)y (n-r)(n-r-) y = r=0 r=n n! (n-r)! «Pº=, 0!= n r «P = n! (n-r)! ( 0 r n) «P«=n!, «Pº=, 0!= 0 5!! P 7
13 0 r n «P =n «P (n-)! n! n «P =n = =«P {(n-)-(r-)}! (n-r)! «P =n «P «P n, (n-) (r-) n n, (n-) (r-) «P «P =n «P 04 r n- «P =«P +r «P !! 5!_!= a, b, c, d, e a, c, d d, e 8 I.
14 6 4 A, B, C, D 4 ABCD DABC 4 ABCD DABC 4 ABCD DABC 4 ABCD DABC, CDAB, BCDA A D C B B D A C D B C A C B A D 4 4! 4 4 4! 4 =!=6 n (n-)! n n! =(n-)! n 9
15 ! =5!=0 6 5 (5-)!! (5-)!_!= ! _4!= I.
16 _0_0_0=0 n r «P P Product P (pi) n r «P «P n r n n y, r n «P «P =n_n_y_n=n ( M { M 9 r n r «P =n n r r n «P
17 a, b 5 P =fi = 4 P =4 = A A 4 P _ P = _4 = ,,,, 4 09 I.
18 5 a, a, b, b, b aabbb aabbb a a, a aabbb aabbb b b, b, b aabbb aabbb a a, a! b b, b, b! 5 a, a, b, b, b aabbb, ababb, abbab, abbba, baabb babab, babba, bbaab, bbaba, bbbaa 0 aabbb a a, a b b, b, b a a b b b a a b b b a a b b b a a b b b a a b b b a a b b b a a b b b a a b b b a a b b b a a b b b a a b b b a a b b b!_! 5 a, a, b, b, b x a a, a b b, b, b x_(!_!) 5 5! x_(!_!)=5! 5! x= =0!_!
19 n p q y, r n n! p!q!yr! p+q+y+r=n 0 05 P Q Q P a, b P Q a 4 b 7! =5!_4! P a b b a b b a Q 5 P R Q R Q P 4 I.
20 I- A B m, n A, B A B A, B n r n! =;:::::::; (n-r)! ( 0 r n) «P«=, «Pº=, 0!= n! n r «P = n p, q y, r n ;:::::::: ( p+q+y+r=n) p!q!yr! x, y 4 (x, y) n r 7! n!=70 =0 (7-r)! 6 A, B 5
21 ,,, 4, C, O, F, F, E, E C , y 6 I.
22 a, a, b, c A, A, B, C 4 a, a, b, c a, a, b, c a, A 7
23 A={a, b, c, d} B,A n(b)= B C,A a<c C (a+b) (a+b+c) 8 I.
24 00 (Lotto) D 4 6 n r (r n) «C C Combination n r «C 9
25 «C n r «C r r! «C _r! n r «P «C _r!=«p «C = «P r! r n «C «P n(n-)(n-)y(n-r+) n! «C = = = r! r! r!(n-r)! 0!= «Cº= n r «P n! «C = = ( 0 r n) r! r!(n-r)! «Cº= n r n r «C 5_4 6_5_4 C = =0 C = =0 0 C C 0 I.
26 r n r «C =n «C n «C =n = =r n! (r-)!(n-r)! =r «C (n-)! (r-)!{(n-)-(r-)}! n! r!(n-r)! r «C =n «C n r n r «C r r r «C n n (n-) (r-) «C n «C r «C =n «C 04 «C =«C«(0 r n) «C =«C +«C ( r n-)
27 C 4 C 6! 4! C _ C = _ =5_6=90 4!_!!_! 6 6! 90_6!=90_70= I.
28 C 4 C 4! C _ C _ =5! , (,, ) (,, ) (,, ), (,, ), (,, ), (,, ) 4 n r «H H Homogeneous product «H
29 «H, (,, ), (,, ), (,, ), (,, ) H =4 0,, (,, ), (,, 4), (,, 4), (,, 4) 4,,, 4 H = C H = C = C r n r>n n r «H =«C n r n r «H H = C = C = H = C =0 08 H H I.
30 04 x+y+z=5 x, y, z 5 (x, y, z) (,, ) xyyyz, (0,, ) yyyzz, (0, 0, 5) zzzzz, y x, y, z 5 H = C =,,,, +, + +, +, x+y+z=5 (,, ) 5 + 7! 5!_! = C = 0 x+y+z=9 (a+b+c) (a+b)fl (x+y+z) X={,, } Y={4, 5, 6, 7} f f()æf()æf() f f()>f()>f() f()=f()>f() f()>f()=f() f()=f()=f() 5
31 A={a, b, c, d} A a b c d A {a}'{b, c, d}, {b}'{a, c, d}, {c}'{a, b, d}, {d}'{a, b, c} 4 A {a, b}'{c, d}, {a, c}'{b, d}, {a, d}'{b, c} A={a, b, c, d} 4+=7 6 I.
32 S(n, k) S Stirling numbers n k S(n, k) S(4, )=7 k n n k S(n, k) 0 S(4, ) S(5, ) ( )( ) 5 S(5, ) ( ) C _ C _ C _ =0! ( ) C _ C _ C _ =5! S(5, )=0+5=
33 6 5 6= =5+=4+=+ 6 6=4++=++=++ n k P(n, k) P Partition P(n, k) P(6, )=, P(6, )= k n n k n k P(n, k) 0 P(6, 4) P(8, 5) 8 I.
34 P(9, 4) 9 4 9=6+++=5+++=4+++ =4+++=+++=+++ P(9, 4)= =+a+b (a, b ) 6=a+b 6 7=a+b+c (a, b, c ) a=a'+, b=b'+, c=c'+ 4=a'+b'+c' 4 P(7, )=P(6, )+P(4, ) P(8, 4)=P(7, )+P(4, 4) 9
35 7 (Pascal, B. ; 6~66) (a+b)«( ; 8~98) 4 (+x) (+x) x C (+x) x (+x) =+x+x +x x C (a+b)«(a+b) (a+b) =(a+b)(a+b)(a+b)(a+b) =(a +ab+b ) =a +4a b +b +(a b+ab +a b ) =a +4a b+6a b +4ab +b a b 4 (a+b) b a a b C 40 I.
36 a, a b, a b, ab, b Cº, C, C, C, C (a+b) (a+b) = Cºa + C a b + C a b + C ab + C b (a+b)(a+b)(a+b)(a+b) a a a a Cºa a a a b a a b a a b a a b a a a ) M } C a b M 0 b b b b C b (a+b)«a«b n (a+b) r b (n-r) a a«b «C (a+b)«n (a+b)«=«cºa«+«c a«b+y+«c a«b +y+«c«b«n = ;R+)«C a«b «C =«C«a«b a b«(a+b)««cº, «C, y, «C, y, «C««C a«b (a+b)«=«cºa«+«c a«b +y+«c a«b +y+«c«b«ø 0 (a+b)fl 4
37 0 (a+b)fi (a+b)«a«b (a+b)fi = Cºafi + C a (b)+ C a (b) + C a (b) + C a(b) + C (b)fi = afi +5a (b)+0a (4b )+0a (8b )+5a(6b )+ (bfi ) =afi +0a b+40a b +80a b +80ab +bfi 0 (-a)fi (x+y)fl 0 {x- x } fl x (a+b)«a«b «C {x- } fl x C (x)fl {- } = C fl (-) xfl x = C fl (-) xfl xfl =x 6-r=4 r= x x C _fi _(-)= {x - } fl {x + } x x 4 I.
38 (a+b)fi (a+b)«n=,,, y (a+b) Cº C (a+b) Cº C C (a+b) Cº C C C HjK (a+b) Cº C C C C (a+b)fi Cº C C C C C (x+)fl (x+)fl =xfl +6xfi +5x +0x +5x +6x (a+b) (x-) 4
39 0 «Cº+«C +«C +y+«c«=«(+x)«x «C (+x)«=«cº+«c x+«c x +y+«c«x«x= «=«Cº+«C +«C +y+«c«05 «Cº-«C +«C -y+(-)««c«=0 «Cº+«C +«C +y=«c +«C +«C +y=«06 ( ºCº) +( ºC ) +( ºC ) +y+( ºC º) = ºC º (x+) (x+) =(x+) 44 I.
40 I- n n r «P =;:::; ( 0 r n) r! n r «H = n k S(n, k) n k P(, ) n (a+b) «= r=0 : (a+b) «n r «C =56 C = C 9 (x+)fi {x+ } x fi 45
41 {x- } xfi x x fi f(x)= CÆ{ } 0 { } (x=0,,, y, 5) f()+f()+f(5)+y+f(5) 46 I.
42
43 85 (Guthrie, F. ; 8~899) (Heawood, P. J.) (Franklin, D.) (Ore, O.) (Stemple, J.) (Appel, K.) (Haken, W.) 4 48 I.
44 I. 0 x, y - x, 0 y 4 (x, y) 05 n «C =«C «P =60 «C «C =«C +«C X={,,, 4} Y={,,, 4, 5, 6} f f() f() f() f(4) 0, 7777 f()<f()<f()<f(4) 04 A B B 07 5 A I. 49
![08 6 4 [~7] 7 a, b, c, d, e, i, u e, i, u 7 09 4 8 0,,,,,,, 4 A](/docs-images/92/108358347/images/45-0.jpg "_0 A 6 0 5 4 4 n n n 6 n 7 X={,,, y, n} A, B (A, B) A,B n 50 I.")
45 [~7] 7 a, b, c, d, e, i, u e, i, u ,,,,,,, 4 A _0 A n n n 6 n 7 X={,,, y, n} A, B (A, B) A,B n 50 I.
46 (+x) (+x )«x 5 (+x) (+x )«6 0 6 n I. 5
47 I.
48 0 0,,,, 4, 5, 6, 7, 8, 9 0 =00 00,,,, 44, 55, 66, 77, 88, fl = =00 x+y=9 (x, y<{0,,,, 4, 5, 6, 7, 8, 9}) 0 =0000 x+y+z+w=8 (x, y, z, w<{0,,,, 4, 5, 6, 7, 8, 9}) I. 5
49 II / /
50
51 % 987 5~0 mm 70 % % SECRET 6 E 56 II.
52 A, B A B (Fermat, P. ; 60~665) S S={,,, 4, 5, 6} {, 4, 6} {}, {}, {}, {4}, {5}, {6} 0 57
53 S A, B A B A'B A, B A;B S S A B A B A'B A;B A, B A, B A;B= A, B A A A AÇ S S A B A AÇ 0 0 A, 5 B A={, 6, 9}, B={5, 0} A;B= A, B A AÇ={,, 4, 5, 7, 8, 0} 0 4,,, 4 5 A B A B A'B 58 II.
54 P(A) P Probability A P(A) S A A n(a) P(A)= = S n(s) A (Laplace, P. S. ; 749 ~87) S A P(A)= n(a) n(s) 59
55 0 R, R, R, B, B S S={R R, R R, R R, R B, R B, R B, R B, R B, R B, B B } n(s)=0 A A={R B, R B, R B, R B, R B, R B } n(a)=6 6 = C C _ C C 6 = = 0 5 C _ C ,,,, 4 60 II.
56 = n A r«n A r«n p p 6
57 n n =0.4 A p A r«n r«n p II.
58 0 A P(A)= A P(A)=0 S A S 0 n(a) n(s) n(s) P(A)= 0 P(A) S n(s) n( ) P(S)= =, P( )= =0 n(s) n(s) n(a) n(s) 6
59 A 0 P(A) S P(S)= P( )= A, B n(a), n(b) n(a'b)=n(a)+n(b)-n(a;b) A B n(a'b) n(a) n(b) P(A'B)= = + - n(s) n(s) n(s) =P(A)+P(B)-P(A;B) n(a;b) n(s) 64 II.
60 A, B P(A;B)=0 P(A'B)=P(A)+P(B) A, B P(A'B)=P(A)+P(B)-P(A;B) A, B P(A'B)=P(A)+P(B) A, 9 B A;B 8 P(A'B)=P(A)+P(B)-P(A;B) 5 7 = + - = C, D C, D P(C'D)=P(C)+P(D) C = + ºC C _ C ºC 7 5 = + =
61 = = 5 5 A, AÇ P(A'AÇ )=P(A)+P(AÇ ) P(A'AÇ )=P(S)= A AÇ P(AÇ )=-P(A) 66 II.
62 A AÇ P(AÇ )=-P(A) A AÇ C 4 P(AÇ )= = = ªC 84 0 P(A)=-P(AÇ )=- = (de Mere, C. ; 607~684) 5 { } =
63 A S S A, B A AÇ P(A)=;::::::; n(s) n 0 P(A) P(S)= P( )= P(A'B) =P(A)+P(B)- A, B P(A'B)=P(A)+P(B) P(A Ç )=- A r«r«;::; n 0 0 A 0 B A B A, B A, B P(A)=, P(B)=, P(A;B)= 4 6 P(A'B) 68 II.
64 II- 4 5,,, 4, A, B, C, D, E A B A B A B 9 a, b, c ax -bx+cæ0 x 69
65 (Pacioli, L. ; 445~57) II.
66 (Zipf, G. K. ; 90~950) the of the and the r r
67 5~4 8.6 %.9 % 6.4 % 5~9 0. % 0~4 8.5 %.. 4 a, b, c, d a 7 II.
68 S A n(a;b) n(a) A A A;B B n(a;b) n(a) 7 = 9 n(a;b) n(a;b) n(s) = = P(A;B) n(a) n(a) P(A) n(s) 7
69 0 A B A B P(B A) P(B A) P(B A)= P(A;B) P(A) A B P(B A)= P(A;B) P(A) P(A)>0 A B P(A)=0.9, P(A;B)=0.8 P(A;B) 0.8 P(B A)= = = 8 P(A) II.
70 A, B A, B P(A;B)=P(A)P(B A) P(A)>0 P(A;B)=P(B)P(A B) P(B)>0 A, B(P(A)>0, P(B)>0) P(A;B)=P(A)P(B A)=P(B)P(A B) A, B 5 P(A)= 0 4 P(B A)= P(A;B)=P(A)P(B A)= _ =
71 0 60 % 40 % A B D P(A)=0.6, P(B)=0.4, P(D A)=0.7, P(D B)=0. P(D)=P(D;A)+P(D;B)=P(A)P(D A)+P(B)P(D B) =0.6_ _0.=0.46 P(D;A) P(A)P(D A) 0.6_0.7 P(A D)= = = = P(D) P(D) A, B 70 % 0 % A, B %, % A II.
72 6 a b a b 6 q a u q a u 4 A, B P(B A), P(B) P(B A), P(B) P(B A) P(B) P(A;B) ;7#;_;7$; 4 P(B A)= = = =P(B) P(A) 7 ;7#; A, B P(B A)=P(B) A, B P(B A)+P(B) A, B 77
73 A, B P(A)>0, P(B)>0 A B P(B A)=P(B) P(A;B)=P(A)P(B A)=P(A)P(B) P(A;B)=P(A)P(B) A, B P(A)>0, P(B)>0 A, B A B P(A;B)=P(A)P(B) P(A)>0, P(B)>0 0 A, B, C A B, A C P(A)=, P(B)=, P(C)= P(A;B)=, P(A;C)= P(A;B)+P(A)P(B) A B P(A;C)=P(A)P(C) A C A, B A B 0 S A, B P(B A)=P(B AÇ ) A B P(A)>0, P(B)>0 78 II.
74 5 Z Y ZY 5 C 5 { } 5 { } 6 6 C { } 5 { } Z Z Y Y Y Z Y Z Y Y Z Y Y Z Y 4 Z Y Y Y Z 5 Y Z Z Y Y 6 Y Z Y Z Y 7 Y Z Y Y Z 8 Y Y Z Z Y 9 Y Y Z Y Z 0 Y Y Y Z Z A p n A r «C p (-p)«(, r=0,,, y, n) 79
75 0 5 C { } { } 80 = 4 0 Cº{ } { } fi, C { }{ } -[ Cº{ } { } fi + C { }{ } ]= (Galton board) (Galton, S. F. ; 8~9) 80 II.
76 II- A, B A P(A;B)=P(A) B =P(B) P(A;B) P(B A)=;::::::::; P(A)>0, P(B)>0 P(A)>0 A B P(A;B)=P(A) P(A)>0, P(B)>0 A p n A r «C p ( ) «r=0,, y, n) A B P(A)=, P(A;B)= 4 P(B) 8
77 A, B A 4 5 A 7 8 P x y P y 4 P O 4 x 8 II.
78 4 8
79 8 (Bayes, T. ; 70~76) (context) 84 II.
80 II. 0 k, m, o,,, 7 k, m, o A, B P(A)=P(B), P(A'B)= P(A), P(B) , -, 0,,,,, a, b ab= % II. 85
81 A, B, C C 5 5 [~6] 4, 5, P(A)>0, P(B)>0 A, B A, B P(AÇ BÇ )=-P(A) A, B P(AÇ B)=-P(A B) A, B AÇ, BÇ A, B A, B A, B A, B A, B A 6,,,,, B 6,,,,, A 6 86 II.
82 5 6 8 A, B, C 5 A B C A, B, C A A A II. 87
83 (Sports Analyst) 00 4 (Sabermetrician) 88 II.
84 (Bertrand, J. L. F. ; 8~900) ' O ' O x x x (x, y) II. 89
85 III / /
86 생태학자들은 임의의 야생동물에 GPS 추적 장치를 부착하여 그들의 습성을 파악한다.
87 , ,000-00,000-00,000-00, ,000 00,000 00, , , cm 55 ~ ~ ~ ~ ~ ~ III.
88 H, T S X X X 0,, S HH, HT TH, TT 0 S HH HT TH TT X R 0 9
89 X, Y, Z x, y, z 0 0 AB C AC X S H X R H T S S={H, TH, TTH, y} X TH TTH y y 0 AB C AC X A C 0 B S S={x 0 x 0} X OX 94 III.
90 X X X x P(X=x) X 0,, Cº _ C P(X=0)= = C 0 C _ C P(X=)= = C 5 C _ Cº P(X=)= = C 0 X X x, x, x, y, x«p(x=x )=p (i=,,, y, n) x, x, x, y, x«p, p, p, y, p«x P(X=x ) X X P(X=x) p X P(X=x ) x x x y x«p p p y p«p«p p O x x x y x«x 95
91 X x, x, x, y, x«p(x=x ) (i=,,, y, n) 0 P(X=x ) P(X=x )= n ;I+! 0 4 X X X X 0,,, Cº_ C C _ C P(X=0)= =, P(X=)= = C 5 C 5 C _ C 8 C _ Cº 4 P(X=)= =, P(X=)= = C 5 C 5 CÆ_ C Æ P(X=x)= (x=0,,, ) C Xæ 8 4 P(Xæ)=P(X=)+P(X=)= + = CÆ_ C Æ P(X=x)= (x=0,,, ) C 5 0,,, 4, 5 X X P(X ) 96 III.
92 500 0 ;50!0; = = 0_+5_5+_ =0_ +5_ +_ = { _ } E(X) E Expected value m mean X X x x y x«p(x=x ) p p y p«n ;I+! x p X E(X) m 97
93 X P(X=x )=p (i=,,, y, n) X E(X) E(X)=m= ;I+! x p n 0 5 X X X X,,, 4, 5 4 P(X=)=, P(X=)= _ = P(X=)= =, P(X=4)= _ = P(X=5)= = X X P(X=x) E(X)=_ +_ +_ +4_ +5_ = III.
94 x, f, n m x x f f { _ } k m= = ;I+! x f n x f n f p n k m= ;I+! x p = { _ } = {(x -m) f +(x -m) f +y+(x -m) f } = ;I+!(x -m) f n n k f n =p k ;I+!(x -m) p X (X-m) X P(X=x ) x x y x«p p y p«n E((X-m) )=;I+!(x -m) p m=e(x) V(X) V Variance X V(X) 99
95 r(x) r standard deviation s (sigma) V(X) " V(X) X r(x) X X P(X=x )=p (i=,,, y, n) X V(X) r(x) n V(X)=E((X-m) )=;I+!(x -m) p m=e(x) r(x)=" V(X) V(X) (x -m) X V(X) V(X)=E((X-m) ) n = ;I+!(x -m) p n = ;I+!(x p -mx p +m p ) ;I+! x p =m, ;I+! p = n = ;I+! x p -m +m n = ;I+! x p -m n n =E(X )-{E(X)} V(X)=E(X )-{E(X)} E(X ) X {E(X)} X 00 III.
96 0 X X X X P(X=x) X E(X)=_0.+_0.7+_0.5+4_0.+5_0.05=.8 X V(X)=E(X )-{E(X)} = _0.+ _0.7+ _0.5+4 _0.+5 _ =. r(x)='ƒ. V(X)=., r(x)='ƒ. 0 X X P(X=x) ;:; P(X=x) P(X=x) O x O x O 4 x 0
97 ax+b X P(X=x )=p (i=,,, y, n) Y=aX+b(a, b, a+0) E(Y)=E(aX+b) n = ;I+!(ax +b)p n =a;i+! x p +b;i+! p =ae(x)+b n Y=aX+b(a, b, a+0) V(Y)=V(aX+b) n = ;I+![(ax +b)-{ae(x)+b}] p E(X)=m n = ;I+! a (x -m) p n =a ;I+!(x -m) p =a V(X) r(y)=" V(Y)=" a V (X)= a r(x) a, b(a+0) E(aX+b)=aE(X)+b V(aX+b)=a V(X) r(ax+b)= a r(x) 0 X 7 6 X X- 0 III.
98 ax+b 0 X m, r Z= X-m r E(X)=m, V(X)=r X-m m m m E(Z)=E{ }= E(X)- = - =0 r r r r r X-m V(Z)=V{ }= V(X)= r = r r r E(Z)=0, V(Z)= 04 X m, r X-m T=50+0{ } r T )= )+ _ (I.Q.)
99 (Maxwell, m/s J. C. ; 8~879) 7 æ (m/s) 00 ;::::::::::::; 5 ~ 0 0 ~ 5 5 ~ 0 0 ~ 5 5 ~ 0 0 ~ X X 5 5 X X 0 5 P(0 X<5)=0. 04 III.
100 = _ = ;::::::::::::; P(0 X<5) ;::::::::::::; 0.06 ;::::::::::::; 0.06 P(0 X<5) x x X a b P(a X b) x x=a, x=b f(x) X 05
101 f(x) X f(x)(a x b) f(x)æ0 f(x) x f(x) P(a X b) f(x) a, b(a a b b) P(a X b) f(x) x O a a b b x=a, x=b x f(x) f(x) X x P(X=x)=0 P(a X b)=p(a X<b)=P(a<X b)=p(a<x<b) 0 X f(x)=a(-x)(0 x ) a P( X ) f(x)æ0 aæ0 f(x) x, y a f(x) x x=0 a= a= f(x) x x=, x= 9 4 P( X )= _{ + }_= 9 9 f(x) a O f(x) ;:; O f(x)=a(-x) f(x)=;:;(-x) 9 x x 9 0 X f(x)=a x- (0 x ) P{ <X< } a 06 III.
102 I X(a x b) P(a X b)(a a b b) f(x) x x=a, x=b f(x) O a P(a X b) f(x) a b b x P(a X b)= :Ab f(x)dx f(x) f(x)æ0 :Ú f(x)dx= f(x) f(x) 0 X f(x)=ax (- x ) a P{0 X } f(x)æ0 aæ0 x :_! f(x)dx= :_! ax dx=a[ ]_!= a a + = a= x P{0 X }= x dx=[ ]) ;!; :) ;!; = X f(x)=a(4x-x )(0 x ) a P( X ) 07
103 X V(X) = :Ú (x-m) f(x)dx =E(X )-m X f(x)(a x b) X E(X) V(X) r(x) E(X)= :Ú xf(x)dx V(X)=E((X-m) )=:Ú r(x)=" V(X) (x-m) f(x)dx m=e(x) X ax+b a b a+0 E(aX+b)=aE(X)+b V(aX+b)=a V(X) r(x)= a r(x) 0 X f(x)= x(0 x ) X x x 4 x x E(X)= :) dx=[ ])=, E(X )=:) dx=[ ])= V(X)=E(X )-{E(X)} =- = E(X)=, V(X)= 9 0 X f(x)= 4 (-x )(- x ) X X+ 08 III.
104 X X X P(X=x)= CÆ0.9 0.fi (x=0,,,, 4, 5) A p n A X X 0,,, y, n X P(X=x)=«CÆp q«(q=-p, x=0,,, y, n) 09
105 B(n, p) B Binomial distribution B(n, p) X X A 0 A X A X B{0, } X X 8 X X 0 B(6, 0.) X= Xæ B(6, 0.5) P(X=x) n=6 p= x 0 III.
106 X X B{0, } 40 X<4 P(X<4)=P(X=0)+P(X=)+P(X=)+P(X=) = ºCº{ } 4 { } 4 + ºC { }{ } + ºC { } 4 { } + ºC { } 4 { } = = =0.009, 0.8 = X X B{0, } 0 0_ =5 E(X)=5 X B(n, p) X E(X)=np V(X)=npq ( q=-p)
107 X B(n, p) E(X)=np V(X)=npq q=-p r(x)=' npq X X n X X X n X n n X 6 B{n, } 6 6 n X n 6 6 III.
108 B{0, } 6 X P(X=x) B{0, } 6 X P(X=x) B{50, } 6 50 n=0 X X P{ - <0.}=P{ -0.< < +0.} n =P(0.666y<X<.666y) = ;?+! P(X=x) = ºCÆ{ } 5 ;?+! { } 0-x = n=0 X P{ - <0.}=P(<X<8) n 6 7 = ºCÆ { } 5 ;?+# { } 0-x = n=50 X P{ - <0.}=P(.y<X<.y) n 6 = ºCÆ { } 5 ;?+$ { } 50-x = X n P{ - <0.} n , 0.00, y X n p A p n A X p X n n n
109 (Gauss, K. F. ; 777~855) 8 X X X f(x)=.7 - x r f(x) 'ß pr x, r f(x)=;:;::;.7 -;::; r ' pr x f(x) x=0 f(x) O x m x X f(x) N(m, r ) N Normal distribution f(x)= e - ' pr x, m, r, e.788y ) X N(m, r ) (x-m) r x=m r m f(x) ::::: ' pr m=0 m= m=4 O 4 x y 4 III.
110 m r f(x) ;::::: ' p ;:::: ' p ;::::: ' p O m r=;:; r= r= x N(m, r ) f(x)= e - (x-m) r ' pr x=m x x=m r m ' pr m r f(x) x f(x) ::::: ' pr O f(x)= ::::: ' pr m -;:::::::; e (x-m) r x X N(m, r ) X E(X) V(X) r(x) E(X)=m, V(X)=r, r(x)=r 05 4 x 5
111 X m, r Z= X-m r 0, X Z Z X X N(m, r ) X Z 0 N(0, ) X N(m, r ) X Z= X-m r N(0, ) f(z) f(x) m=0, r= Z N(0, ) f(z) f(z)= e - z z ' p z P(0 Z z) 70 f(z) P(0 Z z) f(z)=;:;::;e -;:; ' p O z z z 6 III.
112 P(0 Z.96)= P(0 Z )= z 0.00 y 0.06 y Z N(0, ) P(Z.96) P(-.5 Z 0.) z=0 P(Z.96) =P(Z 0)+P(0 Z.96) = = P(-.5 Z 0.) =P(-.5 Z 0)+P(0 Z 0.) =P(0 Z.5)+P(0 Z 0.) = =0.55 f(z) O.96 z f(z) -.5 O 0. z Z N(0, ) P(Z -.65) P(Zæ) P(-.58 Z.58) P(-0.5 Z ) 07 Z N(0, ) c P( Z c)=0.80 P(Zæc)=
113 P(a X b) a-m b-m =P{ Z } r r X N(m, r ) P(a X b) X X-m Z= r 0 X N(, 4) P( X 6) X- X, '4= Z= N(0, ) - X- 6- P( X 6)=P{ } f(z) =P(- Z.5) =P(- Z 0)+P(0 Z.5) =P(0 Z )+P(0 Z.5) = = O.5 z X N(0, 5) P(X ) P(7 X 7) (de Moivre, A. ; ) 7 «CÆp q«n 8 III.
114 % P(0 Z.04)=0.5 X P(68 X 88)=P{ Z } 0 0 =P(- Z ) =_P(0 Z ) =_0.4= % c P(Xæc)= = c-78 c-78 P{Zæ }=0.5 P{0 Z }= = c-78 =.04 c= % (I.Q.) % % P(0 Z.88)=0.47 9
115 5,,, 4, 5 n 5 X X B{n, } n=0, 0, 50 n 5 P(X=x) P(X=x) P(X=x) n=0 p= n=0 p= n=50 p= x x x B(n, p) n B{n, } n=50 X P(0 X 40)= ºCÆ{ } 4 { } fi x=0 5 5 B(n, p) 0 III.
116 X B(n, p) n X N(np, npq) q=-p n npæ5, nqæ % X X n=600, p=0.4 B(600, 0.4) npæ5, nqæ5 n np=40, npq=44 X N(40, 44) P(5 X 55)=P{ Z } =P(-.5 Z.5) =_P(0 Z.5) =_0.944= %
117 P(X=x)X X x f(x) X P(a X b) f(x) P(X=x )=p (i=,,, y, n) x x=a, x=b = x p n i= V(X)= -{E(X)} r(x)= V(X) X B(n, p) E(X)= V(X)=npq r(x)= npq q=-p X N(m, r ) X X-m Z=;:::::: r N(0, ) X x+ P(X=x)= (x=0,,,, 4) 5 X X f(x)(- x 0) P(- X 0) f(x) f(x) - O x III.
118 III- X B{0, } X X N(0, 6) P(6 X ) P(X 4) X X P(X 4) 6 X X X X P(X=x) 0 4 ;8!; a ;8!; b ;4!; ax+b 7 X x+ P(X=x)= (x=-, 0,, ) 0 Y=aX+b(a>0) 0 a, b
119 8 a(+x) (- x<0) X f(x)=[ a(-x) (0 x ) a P(- X ) 9 a 8 5 a 0 00 g, 5 g g 700 g =0.94, 0.99 = % III.
120 0 5 5 X X 5
121 X X X N(5, 9) P( X-5 6) 6 III.
122 960 5 (Brix) (Brix, A. F. ;798~870) 7
123 III.
124 ,,, 4 4 X X (X, X ) (X, X ) (, ) (, ) y (, ) (, ) y (, ) (, ) y (4, ) (4, 4) y.5 y y X X m, r, r n X, X, y, X«X, S, S 9
125 X, S, S X, S, S n n X = ;I+! X, S = ;I+!(X -X ), S="çS n n- S n ;I+! (X -X ) n- X P(X=x) X P(X=x) ;:; 4 O 4 x m r 5 5 m=e(x)=, r =V(X)= yy` 4 (X, X ) X, X X = X +X (X, X ) X (X, X ) X (, ) (, ) (, ) (, 4) (, ) (, ) (, ) (, 4) (, ) (, ) (, ) (, 4) (4, ) (4, ) (4, ) (4, 4) X x X X,.5,, y, 4 P(X =x ) X X P(X =x ) ;:; P X= ;:; x ;::; 4 6 ;::; 6 O 4 ;:; x 0 III.
126 X E(X ) V(X ) 5 5 E(X )=, V(X )= yy` 8 X E(X ), V(X ) m, r E(X )=m, V(X )= r n X ;:; P X= ;:; x ;:; 4 ;::; 6 ;:; 8 ;::; 6 O 4 ;:; x X=;:;(X +X ) X=;:;(X +X +X ) N(m, r ) n X N{m, r n } m, r n X, X, y, X«X E(X )=m, V(X )= N(m, r ) X N{m, r n } r n n X N{m, r n } n næ0
127 0 60 g, g X X X X N(8, 6) 9 X X N{8, X Z= X P(X æ0)=p Zæ =P(Zæ) ª 6 º = = } N(0, ) A B 40 0 A B 6 45 III.
128 N n m x N p population ratio n n N p m x p^ x m m p^ p^ P^ p^ n X p^ p^= X n
129 00 00 p p= = , 4 p^ 4 p^= = = A 6 A p^ 00 4 p^ p^= X n X n X 0,,, y, n p X B(n, p) p^ X E(p^)=E{ }= E(X)= np=p n n n X pq V(p^)=V{ }= V(X)= npq= q=-p n n n n Z= p^-p æ ;: nœ: n X-np Z= Z 'ƒnpq p^= X B(n, p) n X N(np, npq) p^ N{p, } p^ Z= p^-p N(0, ) æ ;: nœ: X n pq n 4 III.
130 p n p^ pq p^-p N{p, } Z= N(0, ) n æ ;: nœ: q=-p n npæ5, nqæ p^ p=0.8 npæ5, nqæ5 n p^ N{0.8, p^-0.8 Z= N(0, ) 0.8_0. æ 00 P(p^æ0.9)=P Zæ ª _0. æ 00 P(p^æ0.9)=P(Zæ.5)= =0.006 º 0.8_0. 00 } %
131 95 (Gallup, G. H. ; 90~984) (Boulding, K. E. ; 90~99) r g m g n X X X -m P ª r 'n =P{X - m X + }=0.95 º 6 III.
132 a, b(a<b) {x a<x<b} {x a x b} {x a<x b} {x a x<b} (a, b), [a, b] (a, b], [a, b). N(m, r ) n X N{m, Z= X -m r 'n N(0, ) Z P(-.96 Z.96)=0.95 X -m P ª r 'n º } X r r =P{X -.96 m X +.96 }=0.95 yy` 'n 'n r n -.96 f(z) O z r r m [X -.96, X +.96 ] 'n 'n 0.95 X x r r [x -.96, x +.96 ] 'n 'n m 95 % X x m m 95 % n 95 % m ;:; x-.96;::; r 'n ;:; x m ;:; x ;:; x ;:; x y ;:; x«0.95 ;:; x ;:; x+.96;::; r 'n ;:; x 7
133 0 m 99 % r r [x -.58, x +.58 ] 'n 'n N(m, r ) n X x m r r 95 % [x -.96, x +.96 ] 'n 'n r r 99 % [x -.58, x +.58 ] 'n 'n r n (næ0), S s r n 99 % _ % _.96 r 'n r 'n m _.96;::; r 'n _.58;::; r 'n ;:; x n [0, 00] 00 % n 8 III.
134 % n=5, x =75, r= 5 95 % [75-.96_, _ ] 'ß5 'ß5 [70.96, ] [70.96, ] % 0 64 G= 0.6, 0. G 99 % G 04 m g, g r m 95 % _.96 'n 0.5 n 9
135 TV (people meter) TV p^ n p q=-p p^-p P =P{p^- p p^+ }=0.95 ª º æ ;: nœ: p^ 648 p^= = = p^ n N{p, p^ Z= p^-p N(0, ) æ ;: nœ: pq n } Z p pq p^-p æ p, q p^, q^(q^=-p^) Z= n æ p^q^ n N(0, ) p 40 III.
136 Z P(-.96 Z.96)=0.95 p^-p P ª æ p^q^ n p^q^ p^q^ =P{p^-.96æ p p^+.96æ }=0.95 n n º -.96 f(z) O z p^ p^ p^q^ p^q^ [p^-.96æ, p^+.96æ ] n n p 95 % 05 p 99 % p^q^ p^q^ [p^-.58æ, p^+.58æ ] n n n p^ n p p^q^ p^q^ 95 % [p^-.96æ, p^+.96æ ] n n p^q^ p^q^ 99 % [p^-.58æ, p^+.58æ ] n n q^=-p^ n np^æ5 nq^æ5 n æ p^q^ æ n 4n 4
137 0 (Not in Education, Employment or Training ; NEET) 5~ % 00 p^ 7 p^= = np^æ5, nq^æ5 n 95 % 0.6_ _0.64 [ æ, æ ] [0.9, 0.47] [0.9, 0.47] 06 (Blind test) A, B A % A 99 % % _.96æ 0. n 4n 4 III.
138 III- m, r n X N{m, } p n p ^ N{p, } q=-p N(m, r ) n x m 95 %: [x- ;::;, r x+ ;::;] r 'n 'n 99 %: [x-.58;::;, r x+.58;::;] r 'n 'n n p ^ n p 95 %: pq ^^ pq ^^ [p-.96 ^ ;::;, n p+.96 ^ ;::;] n 99 %: [p-.58 ^, p+.58 ^ ] q=-p ^ ^ N(0, 6) % 4
139 X 0 g, 5 g 6 X P(X 8) P(8 X ) 4 0 % 00 0 % 0 % 5 n % [70., 89.8] n % 7 9 p n p^ p^-p 0.5"çp^q^ 0.95 n q^=-p^ 44 III.
140 %, %, % 95 % 95 % A 0 0 A 0. A 0.4 A 95 % 45
141 III.
142 III. 0 5,,, 4, X f(x)=kx(0 x 4) k X P(X ) X X X 5 P(X=x) a ;9%; a 06 P(x, y),,, 4 x 5, 6 y 0 P x X X P y Y Y-5 0 X 8X g, 0 g g 04 X E(X)=a, E(X )=6a V(X)=9 4X- 000 III. 47
143 08 00 g, 5 g N(00, 5) 5 4 [~6] X P(X=0)=-P(X=) E(X)=V(X) P(X=0) P(X=0)+ 6 X f(x) (0 x a) f(x) ;:; 5 O ;:; f(x) ;:; 5 a x P{a X 5 a} a 5.5 kg, 0.6 kg 95 % % % 48 III.
144 4 80 % p 99 % 70 5 [ -a, +a] 5 5 n p 95 % [ -b(n), +b(n)] 4 4 a b(n) a n III. 49
145 B(n, p) N(m, r ) X B{50, } P(4 X ) 6 P(4 X ) 4, X N(5, 6) P(X ) P(X ) X B(50, 0.4) P(0 X 0) X N(0, 6) P(0 X 0) 50 III.
146 A, B A 000 B B _000- _500=50 50 B 000 A A 50 A, A A III. 5
147 I p.0 0 p.5 p. 0 0 m+n, m_n, «P, n!,,, n-, n, n! p (n-)! r(n-)! «P +r «P = + (n-r-)! (n-r)! (n-)! = {(n-r)+r} (n-r)! n! = (n-r)! =«P «P =«P +r «P P 4 4! P _4!=44 4 (4-)!! (4-)!_!=,, 5 5 _5 = _5 =500 C 5!!_! 5! _ =90!_! 5
148 8 9 P 4! P =80 4! =4! 4! =4! 4! =6!_! 4! =! fi 4! =! ~fi =8 4! a, a, b, c +4=6 _6= p a +a b+ab +b a +b +c +ab+bc+ca p a, a, b, c 4!! = p.7 0 B, C, A, A C, B, A, A A, B, C, A B, A, C, A A, C, A, B C, A, A, B n! «C«= (n-r)!{n-(n-r)}! = =«C «C =«C««C +«C (n-)! (n-)! = + (r-)!(n-r)! r!(n-r-)! (n-)! = {r+(n-r)} r!(n-r)! n! = r!(n-r)! =«C «C =«C +«C n! (n-r)!r! I. 5
149 «C n r+0, r+n «C = n! r!(n-r)! n p «C, «C, n,k«c a«b p.45 p.40 0 Cº, C, C, C, C, C, C C afl b 0-5a+0a -0a +5a -afi 64xfl +9xfi y+40x y +60x y +60x y +xyfi +yfl a +7afl b+afi b +5a b +5a b +a bfi +7abfl +b x -8x +8xfl -56xfi +70x -56x +8x -8x+ 05 (+x)«=«cº+«c x+«c x +y+«c«x«x=- 0=«Cº-«C +«C -y+(-)««c««cº+«c +«C +y+«c«=«yy` «Cº-«C +«C -y+(-)««c«=0 yy` + («Cº+«C +«C +y)=««cº+«c +«C +y=«- («C +«C +«C +y)=««c +«C +«C +y=« xfi +405x +70x +90x +5x+ 0 5 xfi +5x +0x+ + + x x 0 ºC ºC - ºC - ºC =900 ºC ºC 0 ºC C ºC -5_ C =00 x, y, z x+y+z=0 x, y, z H =ªC =6 xfi 54
150 7 8 9 S(7, ) C _ C _ C _ =! 4 C _ C _ C =05 C _ C _ C _ =70! C _ C _ C _ =05! {x- S(7, )= =0 x }7 C x {- } = C (-) x x x =xfi r= xfi x =x r= C _(-)=-4 x C _(-) =-80 5 { C _ C _ C _ }_!=0! 6 C =0 0 { + } fi 0_0=600 = Cº{ } fi + C { } { }+y+ C { } fi =f(0)+f()+y+f(5) yy` fi {- + } =- Cº{ } + C { } { }-y+ C { } =-f(0)+f()-y+f(5) yy` + { f()+f()+y+f(5)} ={ + } +{- + } =+{ } f()+f()+y+f(5)= [+{ } ] p.47 C C _ C C C _ C ( C _ C _ C )_( C _ C _ C )=40 C C _ C C _ C _ C =0 40+0=440 C C C C ªC ( C _ C )_( C _ C )_ªC = =980 0 I. 55
151 p.49 (n+)n 0 x 6 y 5 6_5=0 (n-)(n-) = + (n-)(n-) n -9n+8=0 0 P =fi = n= n= næ4 n= P =96 H =ªC =6 P =4 P =60 C =5 H = C = 9_0_0 = C 04 P B 4 P, C Q, R Q A B A R (-)! A B C _ C _(-)!=0! 7!_6! =76 09 A P B A Q B 6! 7! _ =700!_! 4!_! { C _ C _ }_!=6!! 6_!_!=4 05 A R B =04 «C =«C«=«C n-=5 n=8 n(n-)(n-)(n-) =60_ (n-)(n-)(n-)! 0 4 x, y, z, w x+y+z+w=5 x, y, z, w H = C =64 n(b)=k B A (A, B) «C «C _ k 0 n næ4 n=60_ n=0! ;Kn+) «C _ =(+)«=«56
152 a, b, c, d 5 P(0, 4) yy` 4!=4 yy` 0 4 e, i, u a, b, c, d 0=7+++=6+++ e, i, u =5+++=5+++ P =60 =4+4++=4+++ =4+++=+++ 4_60=440 yy` =+++ yy` a, b, c, d 4 0,,,,,, 4 P(0, 4)=9 P(n, k) 0 4 yy` 7! =840 yy`! 0,,,,,, 4 7! =60 yy`!_! _0 A =00 yy` 6 x, y x+y=0x, y (x, y) (0, 5), (, 4), (4, ), (6, ), (8, ), (0, 0) yy` A Cº+ C + C + C +ªC + ºC º=89 yy` 4 «C yy` n_«c «C -n_«c -n=6 n -9n +0n-96=0 n=8 n= '4å7i n yy` n n=8 yy` n 4 7 (+x) C x (+x )««Cß x ß C _«Cß_x ± ß yy` x r+s= r=0, s= Cº_«C =n r=, s=0 C _«Cº=6 x n+6 yy` n+6= n=6 yy` (+x) (+x )«x n I. 57
153 II p.68 n(a),,, 0, P(A;B), P(A) p.56 5 A={, 6, 9}, B={,, 5, 0} A, B p.57 H T {HH, HT, TH, TT} {HH}, {HT}, {TH}, {TT} A, B {(, ), (, ), (, ), (, 4), (, 4), (4, ), (4, ), (4, 4)},,,,,, 4! 4! + =6+4=0!_!!!! + =6!! 6 = p P =0 700 P + P =4+4=48 48 = 0 5 A B A, B P(A'B)=P(A)+P(B) A A B B P(A'B)=P(A)+P(B)-P(A;B) 4!+4! 4!+4! = + - 5! 5! 7 = + - = (5-)!_! (6-)! C C = + C C 0 = + = = 5 - = 5 5!_! 5! 58
154 8 9 =6 A B A B 6 =6 a, b, c b -4ac 0 9! 5!_4! 5! 4! _ =60!_!!_! 6!! _ =60!_!! 5!! =0!_!! = = b 4 ac >ac b a, c (a, c) b= (, ), (, ), (, ) b=4 (, ), (, ), (, ), (, ), (, ) 5 b=5 (, ), (, ), (, ), (, 4), (, 5), (, 6), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (4, ), (5, ), (6, ) 4 b= b 4 (, ), (, ), (, ), (, 4), (, 5), (, 6), (, ), (, ), (, ), (, 4), (, ), (, ), (4, ), (4, ), (5, ), (6, ) 6 ~ = = p _ = 4 5 _ = 4, 4 4 : 5 _ +{ } 5 +{ _ }= 6 5 +{ _ }= 6 5, 6 6 :5 II. 59
155 p p p.77 A B B=(A;B)'(AÇ ;B) (A;B);(AÇ ;B)= P(B)=P(A;B)+P(AÇ ;B) P(B)=P(A)P(B A)+P(AÇ `)P(B AÇ ) =P(A)P(B A)+P(AÇ `)P(B A) ={P(A)+P(AÇ `)}P(B A) =P(B A) A B A B P(A)=0.7, P(AÇ )=0. P(B A)=0.7, P(B AÇ )=0.4 P(B)=P(B;A)+P(B;AÇ ) =P(A)P(B A)+P(AÇ )P(B AÇ ) =0.7_0.7+0._0.4=0.6 A B P(A)= 5, P(B)= P(A;BÇ )=P(A)-P(A;B) =P(A)-P(A)P(B) =P(A){-P(B)} =P(A)P(BÇ ) A, BÇ P(A;BÇ ) P(BÇ A)= = P(A) 8 A 0 Cº{ }0 { }4 = A C { }{ } = { + }= =P(BÇ )=- = 4 4 P(A)P(BÇ ) P(A) 7 p.8 A, B, C R P(A), P(B A), P(A B), P(B), -p P(R)=P(R;A)+P(R;B)+P(R;C) =P(A)P(R A)+P(B)P(R B) +P(C)P(R C) = _+ _0+ _ = 60
156 8 P(R;A) ;!; P(A R)= = = P(R) ;!; P (, ) C { } { } 80 = 4 P (, ) C { } { } 60 = 79 P (, ), (, ) C { } { } 80 _ = = p.8 S G T P(S)=, P(G)= 8 0 P(T)=P(T;S)+P(T;G) =P(S)P(T S)+P(G)P(T G) = _0+ _= 6! =60! p k, m, o 4! _!=7! 7 = P(A'B)=P(A)+P(B) 4 =P(B)+P(B) P(B)=, P(A)=P(B)= a=0 A b=0 B P(A'B)=P(A)+P(B)-P(A;B) 5 = + - = = ªC = = { + }= II. 6
157 A B ;8@0*; P(A;B) 8 P(B A)= = = P(A) 4 ;8$0#; 08 C { }{ } = { + }= A 4! 4, 4, 4, 5 =4! B P(A)=0.6, P(AÇ )=0.4 P(B A)=0.0, P(B AÇ )=0.005 P(B)=P(B;A)+P(B;AÇ ) =P(A)P(B A)+P(AÇ )P(B AÇ ) =0.6_ _ , 4, 5, 5 4! =6!_! 4, 5, 5, 5 4! =4! 4, 4, 5, 6 4! =! 4, 5, 5, 6 4! =! =0.04 P(B;AÇ ) 0.00 P(AÇ B)= = = P(B) ! 4, 5, 6, 6 =! =50 yy` 09 A A B B C C E =8 yy` 50 8 yy` P(E)=P(E;A)+P(E;B)+P(E;C) 7 = + _ + = ;6ª4; P(E;C) 9 P(C E)= = = P(E) 7 ;6#4&; 4 A, B A, B _ +{ } _ = 8 C P(C)=P(C;A)+P(C;B) =P(A)P(C A)+P(B)P(C B) = _{ _ }+ _{ _ } = yy` 7 0 Cº { }0 { }4 = P(C;A) ;8!; 9 P(A C)= = = yy` P(C) ;7!#; 6
158 5 6 A A B C B P(A)= 4 8 P(B)= + - = 9 9 P(A;B)=P(A)P(B) 8 6 = _ = yy` = yy` 7 7 A B C A A B C A yy` A B C A A A C _ C _ C = 8 C { }{ }+ C { }{ }+ C { }4{ }0 = yy` = = yy` A III p cm p.9 x- P(X=x)= (x=,,, 4, 5) cm p E(X)=, r(x)= E(X-)=, r(x-)=8 E(T)=50, r(t)=0 65 p III. 6
159 a=, P( X )= 8 E(X)=0, V(X)= E(X+)=, V(X+)= 9 5 p.09 B(0, 0.4) B{8, } E(X)=40, V(X)= % E(X), E(X ), np, p X, 4, 5, 6 C C P(X=)= =, P(X=4)= = C 0 C 0 C 6 C 0 P(X=5)= =, P(X=6)= = C 0 C 0 Æ C P(X=x)= (x=, 4, 5, 6) C P(X 4)=P(X=)+P(X=4) +a+ +b+ = a+b= E(X)= yy` 0_ +_a+_ +_b+4_ = a+b= X = + = = 4 yy` a=, b= 8 8 V(X)=0 _ + _ + _ _ +4 _ X X P(X=x) E(X)= , V(X)= 5 E(X+5)=0, V(X+5)= 5 4 E(X)=(-)_ +0_ +_ +_ = V(X)=(-) _ +0 _ + _ _ - 0 = 64
160 8 E(Y)=aE(X)+b=a+b a+b=0 yy` V(Y)=a V(X)=a a = a= a>0 a= a= f(x)æ0 f(x) f(x) b=- aæ0 x - _4_a= a= f(x) P(- X )=-_{ }= a O x C _0.0046_ =0.04 X X n=400, p=0. B(400, 0.) npæ5, nqæ5 n np=40, npq=6 X N(40, 6) X -40 P(X )=P{Z } 6 =P(Z -) = X X B{8, a a+ } a E(X)=5 8_ =5 a=5 a+ X X N(00, 5 ) 8 Y=8X E(Y)=8E(X)=400 r(y)=8r(x)=0 Y N(400, 0 ) P(400 Y 700) =P{ Z } 0 0 =P(0 Z.5)=0.498 X X B(0, 0.0) P(Xæ)=-P(X<) =-P(X=0)-P(X=) =- ºCº_ ºC _0.0_0.99 = p X(X=0,,, y, 5) 6X, 4(5-X) 6X>0+4(5-X) X> X B{5, P(X>)=P(X=4)+P(X=5) } = C { } { }+ C { } fi { } = 4 p.6 E(X)=0V(X)= III. 65
161 p =0= = [0.7, 0.49] p.9 9 =60, = p.6 P(-.58 Z.58)=0.99 m 99 % r r [x -.58, x +.58 ] 'n 'n [6.5, 65.47] [0.555, ] 554 P(-.58 Z.58)=0.99 p 99 % p^q^ p^q^ [p^-.58æ, p^+.58æ ] n n [0., 0.578] X N(0, 5) X N{0, 8-0 P(X 8)=P ª Z º ;4%; P(8 X ) 5 } 6 =P(Z -.6)= =P Z ª º ;4%; ;4%; =P(-.6 Z.6) =_P(0 Z.6)= p^ p=0. npæ5, nqæ5 n p^ N{0., 0._ P(0. p^ 0.) } =P Z ª 0._0.8 æ 00 =P(0 Z.5)=0.498 x =80 s=50 95 % æ 0._ [80-.96_, _ ] 'n 'n 50.96_ =9.8 n=00 'n º p p^ p^=0.5 np^æ5, nq^æ5 n p^ r pq p^q^,,.96,.96,, p^q^ n n n n N{0.5, 0.5_0.5 } 6 66
162 95 % 0.5_ _0.5 [ æ, æ ] 6 6 [0.7, 0.66] 95 % [6578, 48] [0.9, 0.47] 7 p^-p n Z= æ p^q^ n N(0, ) P( p^-p 0.5øπp^q^) p^-p 0.5øπp^q^ =P ª º æ p^q^ æ p^q^ n n =P( Z 0.5'n) æ 'næ.96 næ6.4656, 6 p X 50 X x = (0_0+00_5+500_5)=04 50 S s = {0_(0-04) +5_(00-04) 49 = 'ƒ96 s=æ = _(500-04) } 95 % 0'ƒ96 [ _, _ ] 'ß50 [65.78, 4.8] 0'ƒ96 'ß X 0,, Cº_ C P(X=0)= = C 0 C _ C 6 P(X=)= = C 0 C _ Cº P(X=)= = C 0 CÆ_ C Æ P(X=x)= (x=0,, ) C P(X )=P(X=0)+P(X=) 6 9 = + = a + +a= 9a +9a-4=0 9 a= a=- aæ0 a= 5 E(X)=_ +_ +5_ = 9 9 X X P(X=x) E(X)=0_ +_ +_ +_ E(X)= _ 4 6 p _ 6 III. 67
163 V(X)=0 _ + _ + _ + _ E(X)= _ +5 _ -{ } V(8X+)=8 V(X)=8 _ =665 4 Y N(8000, 000 ) P(Y 5490)=P{Z } 000 =P(Z -.5)= _0.006= 04 V(X)=E(X )-{E(X)} 9=6a-a a= E(X)= E(4X-)=4E(X)-= N{00, 5 } 6 05 f(x)æ0 f(x) f(x) x x=4 kæ0 f(x) 4k f(x)=kx O 4 x 09 n=00 x =.5 s= % [.5-.96_,.5+.96_ ] ' 00 ' 00 [.84,.676] 06 _4_4k= k= X B{0, 40 E(X)=0_ = 8 } 0 0 p^ 6 p^= = % 0._0.7 0._0.7 [0.-.96æ, æ ] 0 0 [0.8, 0.6] r(x)=æ 0_ _ = Y B{0, E(Y)=0_ = 0 r(y)=æ 0_ _ = ' 0 ' 0 E(Y-5)=E(Y)-5=5 r(y-5)=r(y)='å0 } P(X=0)=a E(X)=0_a+_(-a) =-a P(X=)=-a E(X )=0 _a+ _(-a) =-a V(X)=E(X )-{E(X)} =(-a)-(-a) =-a +a yy` yy` 07 X X E(X)=V(X) -a=(-a +a) N(80, 0 ) 00 Y=00X E(Y)=00E(X)=8000 r(y)=00r(x)=000 a= a= a+ a= P(X=0)= yy` 68
164 E(X) a V(X) a P(X=0) P(Xæ70)=P{Zæ } 4 =P(Zæ-.5)=0.998 yy` f(x) x _(+a)_ = a= yy` P{a X a}=p{ X } = _ = yy` r Z k r k = k yy` ' 0 kr=6'å0 X X a n r k =6 yy` 'n X X N(65, 00) 9 8 c 8 P(Xæc)= =0.9 yy` 000 ' 0 kr=6'å0 =6 n=40 'n 40 6 yy` P{Zæ c-65 0 }=0.9 c-65 P{0 Z }= =0.8 0 yy` 6 99 % p^= 5 ;5!;_;5$; a=.58 = yy` 4 c-65 =.8 c= yy` X X 4 4 n=00, p= B{00, } 5 5 yy` 95 % p^= b(n)=.96 b(n) a ;4!;_;4#; n næ4.84y ;4!;_;4#; n 4 yy` n 44 yy` npæ5, nqæ5 n np=80, npq=6 X N(80, 6) yy` a b(n) n III. 69
165 70 z O f(z) z P(0 Z z) f(z)=;;::;;;e -;:: z p ' z
166 «P 5 n! 7 «P «C 9 «H S(n, k) 7 P(n, k) 8 P(A) 59 P(B A) 74 P(X=x) 95 E(X) 97 V(X) 99 r(x) 00 B(n, p) 0 N(m, r ) 4 N(0, ) 6 X 9 S 9 S 9 p^ 7
167 Gan, L. Is the Zipf law spurious in explanining city-size distributions?, Economics Letter 9, 56-6, 006 Martin, G., The Colossal Book of Mathematics, W. W. Norton & Company, 00 Tomas, G. & Kevin, M., An Introduction to Biostatistics, Waveland Press,
168 I ! 4! 4! P M, O, N, S, T, E, R P P P 08 6 I.
169 09 4 0,, 4 A D B A D 8 a, a, b, b, b, c, c, c C A B 5 4 A, B, C, D 4 B A A B C D
170 6 n «P :«P =4: 9 5 a, b, c, d, e abcde edcba bcdea «P =56 «P X={a, b, c, d}, Y={,,, 4, 5, 6} f:x Y f(a)+f(b)=9 f 8 I.
171 A B C C B A Z Y , 0,,,, 7 P 4 9 W, E, L, L, B, E, I, N, G N G 7 P 4
172 A Y A B B A A x (i=,, y, 9) (x, x, y, xª) x -,, x +x +y+xª=0 I. 5
173 I Cº C ºC 0 A={,,, 4, 5, 6, 7} 4 06 A={,,, 4, 5, 6} H H (x-)fi (x+y) 6
174 09 (x-) x 78 0 Cº+ C + C +y+ C 4 7 ºCº- ºC + ºC -y+ ºC º C + C + C +y+ C 5 X={,,, 4, 5} Y={a, b, c, d} n 6 n r «C = «C««C«=5 «H =8 ºH =ª C I. 7
175 x+y+z+w=8 {x - } x x 9 (a+b+c) +(+x)+(+x) +y+(+x) x (a+b) 8
176 5 7 7 (+x) (-x)fi x (x+)«x 9, 0, n 9 l, m, n n l, n m n ;K+) C μc«= μc«i. 9
177 II A, B, 7 C B A, B, C A, B 0 5 A, B, C, D, E E
178 09 A, B A a B b x +ax+b=0 X={a, b, c} Y={,,, 4, 5} f f f(a) f(b) f(c) II.
179 9 A, B P(A)=, P(B)=, P(AÇ'BÇ )= 4 6 P(A'B) 0 a, b 0.6 ab 7 A, B, C A B 0.6, B C 0.5, C A 0.5 A A A B C
180 A={,,, 4, 5, 6, 7} a, b, c a+b_c 5 4 A 4 B A B 6 4 a, a, a, a a a a a A 8 5 B II.
181 II A, B P(A)=, P(A;B)= P(B) A, 4 B, 6 C A B B C 0 A, B P(A)=, 4 P(B)=, P(A;B)= 5 5 P(A B) P(B A) , 0.8 A, B 0 5,
182 08 A, B P(A)=, 4 P(B)=, P(B A)= P(BÇ AÇ ) AB 5 % AB % AB 0., A, B, C 0 %, 0 %, 50 % 0.5 %, %, % A B II. 5
183 4 A, B, A, B P 6 P P P(A)>0, P(B)>0 A, B A B P(A B)=P(A) P(B AÇ )=P(B) P(B A)=P(A B) P(BÇ A)=P(B) 9 6
184 0 0.8, 0. 0 % k k+ 6 A, B A, B k A, B 5,,, 4, 5 5 A B log =0.0, log =0.477 II. 7
185 III X 5-x P(X=x)= (x=,,, 4) 0 X X X X 0 X x+ P(X=x)= (x=0,,, ) k X P(X=x) k 0 X 06 X 4 X X- P(X<) 8
186 07 X f(x) (0 x ) P(0 X ) [0~] z P(0 Z z) f(x) f(x) O x 0 Z N(0, ) P( Z ) P(Z.5) P(Zæ) 08 X f(x)=-x (0 x ) P{0 X } X N(60, 4) P(6 X 64) 4 09 X B{6, 4 } X B{00, 5 } X X III. 9
187 n,,, y, n n X X X X X X 4 4 X X 7 X X a, b X 0 P(X=x) a b ;4!; P(5 X 6) 8 X, Y a, b 5 X P(X ) X Y=aX+b E(X)=0, V(X)=6 a>0 P(X=x) a a-;9!; ;!; a E(Y)=0, V(Y)= 0
188 9 4 X 5X+ 0 % 0 0 4D X X X f(x)(0 x ) f(x) a f(x) 4 A, B, C 0 %, 0 %, 0 % 40 % O x 00 A a P( X ) X X III.
189 5 X N(m, r ) X 8 80 g, 5 g f(x) 70 g 90 g 400 x=0 P(0 Z )=0.48 m r r m 6 N(m, 9) X P(Xæ6)=0.08 m 9 40 %
190 0 A, B 7 4 A B 0.6 X X y, n n X X 5 X 5 g g g 500 7% P(0 Z.5)=0.4, P(0 Z )=0.48 III.
191 III. 0 TV PC PC p^ p^ 0 00, 5 44 X 0 N(0, 6) 9 X % 99 % 4
192 kg, kg 9 95 % 99 % 7 kg (X, X, X ) N(50, 5) n X P(49 X 5)= n (,, ) (,, ) 09 6,,,,, 6 4 X III. 5
193 p 49 p^ P( p^-p a"çp^q^)=0.95 a q^=-p^) p 95 % [0.0706, 0.94] p^ % 7 n % 99 % 0.0 n % n 6
194 8 5 g, 4 g g 7 g 6 (5-a) g (5+a) g a 0 m n X f(m)=p{x.96_ } 'n f(0)+f(0.9).055 n 9 m 0 n X X -m 0.95 n 0 % 95 % 0.0 III. 7
195 I p. 6 =6 =7 6-7=89 4 A B D _=9 A C D _=4 9+4= 5 A 4 B A C A, B D B, C =48 4 «P =«P 4n(n-)=n(n-)(n-) næ 4=n- n=6 (n+)(n+)n(n-)=56n(n-) næ (n+)(n+)=56 n=6 n=-9 n=6 P P 4 4! P _ P _4!=6!!!_!_=7 f(a)+f(b)=9 f(a), f(b) (f(a), f(b)) (, 6), (4, 5), (5, 4), (6, ) f(c), f(d) 4 P 4_ P =48 a 4! ba! bca! bcda! 4!+!+!+!= bcdea 4 8
196 (-)!=!!!_!= 8 4 8! = Pª= n Z Y ««æ00 næ8 8 N G 8 N G! 8!!_! _!=060 8!!_! 7 8 5! =0!_! 5 5! =0!_! 0+0=40 7 x 7-x P x-(7-x)=x-7 x-7= x= 7 P 7!!_4! =5 6 5 A P B 4!!_! =6 A Q B _=0 A B 6+0=6 B C! =! 5!!_! A P B Q C 9,,! 6_!=6 A A!! 6_=48!_!_!_!=48 I. 9
197 0!_!_!=8 48_8=84 5 (5-)!=4! 5 5! 4!_5!=880 a=, b=7 c=0 (x, x, y, xª) - 7 9! =6!_7! a=, b= c=4 (x, x, y, xª) -, 4 9! =60!_!_4!, (x, x, y, xª) 6+60=96 B Q P P, Q A B A! =46 6!_5! A P B! 7! =05! 4!_! A Q B 6! 4! =80!_!! A P, Q B! 4!! =4!! =0 -,, x (i=,, y, 9) a, b, c a, b, c 0 9 a+b+c=9, -a+b+c=0 5a+b=7 a, b a=, b=7 a=, b= p xfi -80x +80x -40x +0x- 8x +6x y+6x y +96xy +6y (+x) = Cº+ C x+ C x +y+ C x x= = Cº+ C + C +y+ C 56 (+x) = ºCº+ ºC x+ ºC x +y+ ºC º x 0
198 4 5 x=- 0= ºCº- ºC + ºC -y+ ºC º (+x) = Cº+ C x+ C x +y+ C x yy x=, x=- = Cº+ C + C +y+ C 0= Cº- C + C -y+ C - =( C + C +y+ C ) = C + C +y+ C 048 «C = «C «= «C«5=n- n-5=n- n 4, 6 «C«=«C =5 (n+)(n+) =5 n=-7 n=4 næ0 n=4 yy yy n «C =78 n(n-) =78 n=- n= næ n= C _ C _ C _ =05! X 5 C 4! C _4!=40 6 «H =«C =8 (n+)n =8 n=-8 n=7 næ n=7 ºH =ª C =ª Cª ª Cª=ª C 9=r+ r=8 7 4 H = C =5 8 H = C =65 H = C =5 9 (a+b+c) a b cω x+y+z=7(x, y, z ) H =ªC =6 0 S(7, ) 7 (6, ), (5, ), (4, ) (6, ) C _ C =7 (5, ) C _ C = (4, ) C _ C =5 S(7, )=7++5=6 P(, 4) 4 =8+++=7+++ =6+++=6+++ =5+4++=5+++ =5+++=4+4++ =4+++=4+++ =+++ P(, 4)= I.
199 4 5 6 {x - x }8 C (x ) {- }r = C (-) x fl x x fl =x r=4 x C _(-) =70 +(+x)+(+x) +y+(+x) (+x) - = = (+x)- (+x) x =(+) C =65 = ºCº_ + ºC _ _ +y+ ºCª + ºC º_ ºC º_ ºC º_ 7,, C _ C _ C _ =70! C _ C = 70 =60 4 a, b, c a b, c C _ C _ C =6 b a, c C _ C _ C =4 c a, b (+x) - x C _ C _ C = b c a,, 6+4+=7 7 (+x) C (x) = C x (-x)fi Cß(-x)ß= Cß(-)ßxß C _ Cß_ _(-)ß_x ±ß x r+s= r=0, s= Cº_ C _ _(-) =0 r=, s= C _ C _ _(-) =-40 r=, s=0 C _ Cº_ _(-) =4,, x =-6 8 (x+)«x 9, 0, «C, «Cª, «C º _«Cª=«C +«C º _n! n! n! = + 9!(n-9)! 8!(n-8)! 0!(n-0)! næ0 n -7n+=0 n=4 n= 9 (+x) = Cº+ C x+ C x +y+ C x (+x)μ =μcº+μc x+μc x +y+μcμxμ (+x) (+x)μ =( Cº+ C x+ C x +y+ C x ) _(μcº+μc x+μc x +y+μcμxμ ) (+x) (+x)μ x«;k+) C μc«(+x) ±μ x«μc«(+x) (+x)μ =(+x) ±μ n n ;K+) C μc«= μc«
200 II {5, 7, 8, 9, 0,,, 4, 5} B C p.0 7 7! 5 5!! 5!_! 5!_! = 7! 7!_4!!_4! = 7! 5 5 (5-)!=4! (-)!=!!!_! = 4! =6 a, b a -b<0 a <b a, b (a, b) f P =5 f(a) f(b) f(c) f H =5 5 7 = 5 5 (, ), (, ), (, ), (, 4), (, 5), (, 6), (, ), (, ), (, 4), (, 5), 4 7 C =5 (, 6), (, 4), (, 5), (, 6), (4, 6) = = _ _ =4 60= 5 60 C _ C + C _ C =0 0 6 = 5 7 = = 4 5 x ÆC = 4 C 4 II.
201 x(x-) = 8 4 x -x-4=0 x=-6 x=7 xæ x=7 7 4 A 0 B P(A'B)=P(A)+P(B)-P(A;B) C 9 = + - ºC ºC ºC 0 9 = = 90 A B 0.5_0.6=0.5 A C (-0.5)_(-0.5)= =0.55 C _ C ªC 40 = 84 C 0 = ªC = = P(AÇ 'BÇ )=P((A;B)Ç )= 6 5 P(A;B)=- = 6 6 P(A'B)=P(A)+P(B)-P(A;B) = = 7 0 ab a, b (-0.6)_(-0.6)= =0.84 C =0 6_0=60 60 = = 5 H =56 H = = = 8 8 a, b, c P =0 a+b_c (a, b, c)!=6 P _ P =4 P _ P =4 P =4 ~ = = 0 5 4
202 4 _4= a, b (a, b) (, ), (4, ), (4, ), (9, ), (9, ), (9, 5), (9, 8) = p.4 6 A B B C C _ C C _ C = P(A;B) P(B A)= = P(A) - = 5 5 P(A;B)= P(A)= P(A'B)=P(A)+P(B)-P(A;B) 6 a a a a 0 a, a, a, a 5 P(BÇ AÇ )= = + - = 4 P(AÇ ;BÇ ) P(AÇ ) 4 A, 5 B P(A)={ } 5, P(B)={ } 6 = P((A'B)Ç ) P(AÇ ) -;@; 4 = = 9 -;4!; P(A;B)={ } a a a a 0 P(A'B)=P(A)+P(B)-P(A;B) ={ } 5 +{ } -{ } 6 = AB A B P(A)=0.5, P(A;B)=0. P(A;B) 0. P(B A)= = = P(A) A B 5 - = C P(A)= = ºC II. 5
203 C C _ C P(A;B)= + ºC ºC 8 9 = + = = P(B A)= _ = = = 5 A B P(A)=0.6, P(AÇ )=0.4 P(B A)=0., P(B AÇ )=0.4 P(A;B) P(A) P(B)=P(B;A)+P(B;AÇ ) =P(A)P(B A)+P(AÇ )P(B AÇ ) =0.6_0.+0.4_0.4=0.4 A, B, C A B C E P(A)=0., P(B)=0., P(C)=0.5 P(E A)=0.005, P(E B)=0.0 P(E C)=0.0 P(E)=P(E;A)+P(E;B)+P(E;C) =P(A)P(E A)+P(B)P(E B) +P(C)P(E C) =0._ _ _0.0 =0.04 P(E;(A'B)) P((A'B) E)= P(E) P(E;A)+P(E;B) = P(E) = = A B 6 _ + _ = 7 7 x A B P(A;B)=P(A)P(B) 0 80+x 50 = 80+x x=45 0 x 0+x x 80+x 0+x 80+x 45 P(B;A) P(A B)= P(B) P(B)P(A) = P(B) =P(A) P(B;AÇ ) P(B AÇ )= P(AÇ ) P(B;AÇ )=P(B)-P(A;B) =P(B)-P(A)P(B) =P(B){-P(A)} =P(B)P(AÇ ) P(B)P(AÇ ) P(B AÇ )= =P(B) P(AÇ ) P(A B)=P(A) P(A;B) P(B A)= P(A) P(A)P(B) = P(A) =P(B) P(A)+P(B) 6
204 P(BÇ A)= P(A;BÇ ) P(A) P(A;BÇ )=P(A)-P(A;B) P(A;B) P(B A)= = = P(A) 0. =P(A)-P(A)P(B) =P(A){-P(B)} =P(A)P(BÇ ) P(A)P(BÇ ) P(BÇ A)= P(A) =P(BÇ ) A, B 5 P(A)= = 5 5 P(B A)= = C (0.) (0.7)=0.89 P(A;B)=P(A)P(B A) = _ = C (0.) =0.07 k P(A)=, P(B)= k =0.6,,, 4, P k P(A) P(B) P(A)P(B) P(A;B) ;!; ;6!; ; ; 0 5 C { } { } = 6 ;!; ;!; ;!; ;!; ;6!; ;4!; ;6!; ;6!; ;!; ;!; ;@; ;6%; ;!; ; ; ;!; ;!; C { } { }_ = 7 A, B k, 4 0 A B P(B)=0., P(BÇ )=0.7 P(A B)=0.8, P(A BÇ )=0. P(A)=P(A;B)+P(A;BÇ ) =P(B)P(A B)+P(BÇ )P(A BÇ ) n -«Cº{ } «-{ } «æ0.99, { } « n(log -log 5) - næ =0._ _0. næ9.009y =0. 0 II. 7
205 III P(X=x)= (x=,,, 4, 5, 6) 6 E(X-)=7, r(x-)=' 4 p.8 E(X)=4, r(x)=' N(0, 6) X 5, 6, 7, 8, 9, 0 C C P(X=5)=, P(X=6)= ºC ºC C C P(X=7)=, P(X=8)= ºC ºC C ªC P(X=9)=, P(X=0)= ºC ºC Æ C P(X=x)= (x=5, 6, 7, 8, 9, 0) ºC X 4, 5, 6, 7, 8 P(X=4)= Cº{ }0 { }4 = 6 4 P(X=5)= C { }{ } = 6 6 P(X=6)= C { } { } = 6 4 P(X=7)= C { } { }= 6 P(X=8)= C { }4 { }0 = 6 P(X=x)= CÆ { }4 (x=4, 5, 6, 7, 8) P(5 X 6)=P(X=5)+P(X=6) = + = a+a- + +a = 9 9a +8a-7=0 a= a=- aæ0 a= P(X )=P(- X ) =-P(X=-)= X,, y, n n P(X=x)= (x=,, y, n) n E(X)=_ +_ +y+n_ n n n = (++y+n) n n(n+) = _ n = n+ 7 8
206 7 V(X)= _ + _ +y+n _ n n n a+b+ 4 n+ -{ } n+ = ( + +y+n )-{ } n n(n+)(n+) = _ - n 6 = a+b= n - = 4 yy` E(X)=0_a+_b+_ =b+ 4 E(X )=0 _a+ _b+ _ 4 (n+) 4 9 X 0,, X E(X)=0_ +_ +_ = Cº_ C P(X=0)= = C 5 C _ C P(X=)= = C 5 C _ Cº P(X=)= = C 5 X P(X=x) r(x)=æ = 'å0 5 5 V(X)=0 _ + _ + _ - = r(5x+)=5r(x)='å0 =b+ 0 V(X)=b+-{b+ } =-b + b æ0 X b=0 b=0 a= 4 4 X X f(x)= (0 x 0) 0 f(x) ;::; 0 P(Xæ0)=0_ = 0 O f(x)=;::; x 8 E(Y)=aE(X)+b=0a+b 0a+b=0 yy` f(x) x V(Y)=a V(X)=6a 6a = a= 4 a= a= P( X )= _{ + }_= a>0 a= 4 a= b=-5 4 X X B{0, } 5 III. 9
207 P(X ) =P(X=0)+P(X=)+P(X=) 4 4 = ºCº{ }0 { } 0 + ºC { }{ } ºC { } { } = = = = 5 X X N(80, 5) X B{0, 0 E(X)=0_ = V(X)=0 = 40 9 } P(70 X 90) =P{ Z } 5 5 =P(- Z ) =_P(0 Z )= A 80 4 = X 00 5 B{00, 4 5 } 4 E(X)=00_ = V(X)=00 =6 5 5 r(x)='å6= _0.96=04 50 X 40 X n=50, p= = 00 5 B{50, } 5 npæ5, nqæ5 n np=50_ = x=m ' pr P(Xæ6)=P{Zæ }= m P{0 Z }= =0.477 P(0 Z )= m 6-m = m=57 0 npq=50 =6 5 5 X N(60, 6) P(Xæ75)=P{Zæ } 6 =P(Zæ.5) =0.5-P(0 Z.5) =0.006 X 4, 5, 6, = P(X=4)= P(X=5)=( C _0.6 _0.4)_0.6 +( C _0.6_0.4 )_0.4 40
208 P(X=6)=( C _0.6 _0.4 )_0.6 +( C _0.6 _0.4 )_0.4 P(X=7)=( C _0.6 _0.4 )_0.6 +( C _0.6 _0.4 )_0.4 X P(X=x) =Æ C _0.6 _0.4 +Æ C _0.6 _0.4 =Æ C (0.6 _ _0.4 ) (x=4, 5, 6, 7) +++y+n= X X P(X=x) 4 E(X)=_ +_ n(n+) n(n+) n +y+n_ n(n+) = ( + +y+n ) n(n+) n(n+)(n+) = _ n(n+) 6 n+ = E(X)=5 n+ =5 n=7 n(n+) y n n(n+) 4 n(n+) 4 4 V(X)= _ + _ +y+7 _ = y n n(n+) E(Y)=(0+a)E(X)-0a =0-8a E(Y)=0 0-8a=0 a=.5.5 X -5 P(X )=P{Z } =P(Z -) =0.5-P(0 Z ) = Y Y n=500, p=0.0 B(500, 0.0) npæ5, nqæ5 n np=500_0.0=50 npq=500_0.0_0.98=49 Y N(50, 49) c c-50 P(Y c) 0.07 P{Z } P{Zæ 50-c 7 } 0.07 P(Zæ.5)=0.5-P(0 Z.5) = = c æ.5 c X X B{0, } E(X)= 5 Y a Y=0X-a(0-X) =(0+a)X-0a p E(X )=00, V(X )=, r(x )= 5 44 III. 4
209 N{0, } 9 0 E(p^)=0., V(p^)=0.008 [48.869, 49.] [48.88, 49.7] [0.6, 0.784] [0.0968, 0.0] = = X X X P(X=x) 70 6 E(X)=_ +_ +_ = V(X)= _ + _ + _ -{ } = 6 4 X 7 6 V(X )= = 4 7 X X N(4, 9) X N(4, ) 7-4 P(X æ7)=p{zæ } =P(Zæ) =0.5-P(0 Z ) =0.00 X N(50, 5) 6 X N{50, 6 5 } n P(49 X 5)= P Z = 'n 'n P{- Z }= 'n P{0 Z }= P(0 X )=0.477 'n 5 5 'n = n=00 00 p^ p=0.5 npæ5, nqæ5 n p^ 0.5_0.75 N{0.5, } 00 P(0. p^ 0.) =P Z æ =P(- Z ) =_P(0 Z ) = P( p^-p aøπp^q^)=0.95 aøπp^q^ P Z =0.95 ª º æ p^q^ 49 P( Z 7a)=0.95 P(-7a Z 7a)=0.95 P(0 Z 7a)=0.475 P(0 Z.96)= a= _ a=0.8 4 n=64 x =75 s=4 95 % 4 4 [75-.96_, _ ] '6å4 '6å4 [74.0, 75.98] 5 'n æ 0.5_
210 5 r=5 99 % 9 X N(m, 0) 5 0 _.58_ X N{m, } 'n n næ = _.96_ æ p^(-p^) = p^(-p^)=0.09 p^=0. p^= % [0.0706, 0.94] _.58_æ næ p^=0. 7 p^= % X X N(5, 6) P( X 7) =P{ Z } 4 4 =P(-0.5 Z 0.5) 6 6 X N{5, } 6 P(5-a X 5+a) -a a =P Z ;@; ;@; 0.0_0.98 n =P{- a Z a} P(-0.5 Z 0.5)=P{- a Z a} 0.5= a a= 0 P{ X -m }æ0.95 ;!; P Z æ0.95 æ : nº: P( Z.96)=0.95 ;!; æ.96 næ5.664 æ : nº: n 54 X N(m, 4) X N{m, f(m)=p{x.96_ } 'n }.96_-m 'n =P Z 'n m'n =P{Z.96- } f(0)=p(z.96)= f(0)+f(0.9) f(0.9).055 f(0.9) f(0.9)=p(z 'n) =P(Zæ0.45'n-.96) P(Zæ.64)= = 'n-.96æ.64 næ64 n 64 n p^=0. p^-p.96æ 0._0.9 n 4 n _0.9.96æ 0.0 næ864.6 n 865 III. 4
Unknown
0 THEME!!!_!_!_!_!=_6=8 pp. ~8!!!_!=70 0, P =_=, 0, _=9, _=9,, +9+9=0 6 6!=70, f, l, w, r P _!= =88 70-88= THEME (-)!=!!!_!=6 (-)!=!!!_!= 6 (-)!=! 6_!=6_= 6 (6-)!=!=0 0_=60, 6! 6 = =60 _ e, t l, r 6! =80!!
III 3 0 0 03 04 6 «P! «C = 34= 343 r! r!(-r)! 3 5 0 6 7 8 9 0 4 8 4 0 A p A r «C p (-p) -r ( r=0y) () {()_() } = 3 ( ) 4 P(X=x)E(X)V(X)r(X) H T S S={(TT)(TH)(HT)(HH)} T H H H Tyy(TT) Hyy(TH) Tyy(HT)
II 2 72 90 % 0 % 74 80 % 80 % 90 % 0 % 00 90 0 80 % 0 80 % 8 20 % 9020 % 8 268 ;2 6;=0307y 3 % (90) 72 8 (0) 2 8 74 26 75 0 02 2 5 25 A B AB AB pq A B p+q 2 5 5 2 np r =n(n-)y(n-r+) np r n! nc r = 2 =
확률과통계.indd
(Pascal, B. ; 16~166) (de Me're' C. ; 1607~168) 80 01 8 % 1 0 0 0 60 70 1 100 100 61 7 68 7 88 1 100 1... A B A;B 81 A n(a;b) 1111 A n(a) A A;B n(a;b) 61 B 11111 = 1 n(a) 88 SAB 0 A B A B P(B A) S A B
Check 0-9, 9,, - 6, 6, 6, =0.04, (-0.) = , =64 8 8, -8 (-6) =6 (-6) 6, -6 7, , -0. 8, -8 6, '7 ' '
0 06 0 4 4 9 4 8 5 40 45 5 57 Check 0-9, 9,, - 6, 6, 6, -6 0-0. =0.04, (-0.) =0.04 0.04 0., -0. 8 =64 8 8, -8 (-6) =6 (-6) 6, -6 7, -7 0. 0., -0. 8, -8 6, -6 0-7 7 '7 ' 0.5 0.5 -' 0.5 ;!; ;!; æ;!; '7 '
기본서(상)해답Ⅰ(001~016)-OK
1 1 01 01 (1) () 5 () _5 (4) _5_7 1 05 (5) { } 1 1 { } (6) _5 0 (1), 4 () 10, () 6, 5 0 (1) 18, 9, 6, 18 1,,, 6, 9, 18 01 () 1,,, 4, 4 1,,, 4, 6, 8, 1, 4 04 (1) () () (4) 1 (5) 05 (1) () () (4) 1 1 1 1
, _ = A _ A _ 0.H =. 00=. -> 0=. 0= =: 0 :=;^!;.0H =.0 000=0. -> 00= 0. 00= =: 0 0 :=;()$; P. 0, 0,, 00, 00, 0, 0, 0, 0 P. 0.HH= = 0.H =0. 0=. -> =0.
0 P. 8 -, 0, -, 0. p 0 0., 0., =0. =0.., 0., 0., 0., =. =0. =0. =0. P. 0,.8 0.H 8, 0.H8,.H, 0.HH,.HH, 0.H, 0.HH 0.8 0.. 0. 0, - p k k k 0.=0.H 8 0.888=0.H8.=.H 0.=0.HH.=.HH 0.=0.H 0.=0.HH P., 0.H, 0.HH,
14고등확통지도서2권(159~179)
[01~02] 01 3 5 1 6 6 3 3 6 2 5 5 1 2+1=3 04 7 2 3 5 7 4 7 7 1 7 7 4+1-1=4 02 1 6 6 1 3 5 3 2 4 6 3 3+3=6 [05~06] 05 2 3 a b (a b) a+b=2 (1 1) 1 a+b=3 (1 2) (2 1) 2 1+2=3 [03~04] 1 10 10 1 03 4 5 4 4 8
#수Ⅱ지도서-4단( )
IV 4 3 4 5 5 exponent 3 3 Archimedes B.C. 87~B.C. Diophantos?00~?84 a m _a n =a m+n (mn=0y) Stifel M. 487~567 Arithmetica integra y-3--03y y ;8!; ;4!; ;!; 48y Stevin S. 548~60 xx x ()()(3) x ;!; x ;3!;
수-적분2-1(126~153)eps교
.. 0 0 6 03 04 (+x)«05 7 06 84~93 «P ~5 94~96 «H 6~7 97 8 98~0 03 04~05 06 07 9 ~0 ~3 07 6~7/3 94~96 «H 3 8 08 8 64 6 Brahmagupta598670 n n(n-)(n-) y BhaskaraA485 n k n(n-)(n-) y (n-k+) k(k-)(k-) y 7 Pascal
A y y y y y # 2#
0. 9 A 0 0. 0-0.5748 0 0.454545 04 0.4 05 0.5 06 0.4 07-0.555 08 0.9666 09 5@ 5@ 00 0.5 0 5 5 5@ 5 # # 7 0.07 0.5 0.55 4 0.5 5 0.06 6 7 8 \ 9 \ 0 \ 0.^ 40-.4^0^ 4 50.^5^ 5 55.0^5^ 6 0.4^857^4857 7 0.^8^8
(001~042)개념RPM3-2(정답)
- 0 0 0 0 6 0 0 06 66 07 79 08 9 0 000 000 000 000 0 8+++0+7+ = 6 6 = =6 6 6 80+8+9+9+77+86 = 6 6 = =86 86 6 8+0++++6++ = 8 76 = = 8 80 80 90 00 0 + = 90 90 000 7 8 9 6 6 = += 7 +7 =6 6 0006 6 7 9 0 8
수-적분3-1(154~185)eps교
1. 2. ;10!0; 16 01 02 154 03 04 05 155 06 110~116 P(A) 117~120 5~9 121 10 122~126 P(B A) 11~14 127~131 15~18 132 19 133~134 135 1~4 20~21 07 11~12/21 123~125 P(B A) 2 156 08 16 CardanoG 15011576 100 17
( )서술특쫑 3학년해설_교사용.pdf
3 . 3 ab;ba;(b+0) 0 p. 00 ' 00="ç0 =0 "ç3.h9='4=" = ' 8=" 9 =9 9 ;5@; 30 4 0. 'ß -' 0. 3'6 4Æ;5#;!7'7 @' 49=" 7 =7' 49-'7 #(-5) =5(-5) ' 5=" 5 =5 a='7b=-'7c=5a+b+c=5 a+b+c=5 4 A D E F p. 0 0 993-3 9'9'9="
¹ÌÀûºÐ-±³°úA(001~007)
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C ontents EBSi Q&A
C otets EBSi www.ebsi.co.kr Q&A S tructure EBSi www.ebsi.co.kr EBSi VOD 0 f() a a f() a f() a f()=a af() a, a =a f() f()=c c a f()=c f() a a f() f() f()= af() a f() f() f()=- af() - a a a a a a a-0 a-0f()
-주의- 본 교재는 최 상위권을 위한 고난이도 모의고사로 임산부 및 노약자의 건강에 해로울 수 있습니다.
Intensive Math 극악 모의고사 - 인문계 등급 6점, 등급 점으로 난이도를 조절하여 상위권 학생들도 불필요한 문제에 대한 시간 낭비 없이 보다 많은 문제에서 배움을 얻을 수 있도록 구성하였습니다. 단순히 어렵기만 한 문제들의 나열이 아니라 수능에 필요한 대표 유형을 분류 하고 일반적인 수험환경에서 흔하게 배울 수 있는 내용들은 과감하게 삭제 수능시험장
( )EBS문제집-수리
www.ebsi.co.kr 50 024 www.ebsi.co.kr 025 026 01 a 2 A={ } AB=2B 1 4 B a 03 æ10 yæ10 y 10000 y (log )( log y) Mm M+m 3 5 7 9 11 02 { -2 1} f()=-{;4!;} +{;2!;} +5 Mm Mm -21-18 -15-12 -9 04 a =1a«+a«=3n+1(n=1,
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www.ebsi.co.kr 2 A A 1 133 Cs 1 11 1 A C C A A B A B 15 A C 30 A B A C B. 1m 1m A. 1 C.1m P k A B u k GPS GPS GPS GPS 4 2 www.ebsi.co.kr A B t B A ;2!;t v v= = (3_t)+(6_0.5t) v=4 m/s t+0.5t 3 m/s 6 m/s
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20, 30, 40 20, 30, 40 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 3.1 6.3 9.4 12.6 15.7 18.8 22.0 25.1 28.3 31.4 2.4 4.7 7.1 9.4 11.8 14.1 16.5 18.8 21.2 23.6 7.1 14.1 21.2 28.3 35.3 42.4 49.5 56.5 63.6 70.7 5.9 11.9 17.8 23.7
0 000., 000 0., 000-0., 000 0.666, 0 0.H6 0 0 0.0H8 0 06 07 08 9 09 6 00 0.H 0.H8 000 0.87, 0006-0.66, 0007 0.8, 0008 0.097, 0009 6, 0.H6 000,.HH 0 00
~9 0~6 0 0 0 7 0 0 0 06 6 07 6 08 69 09 78 0 8 9 0 0 0 000., 000 0., 000-0., 000 0.666, 0 0.H6 0 0 0.0H8 0 06 07 08 9 09 6 00 0.H 0.H8 000 0.87, 0006-0.66, 0007 0.8, 0008 0.097, 0009 6, 0.H6 000,.HH 0
A 001~A 036
4 3 2 0 8 91 0 1 2 3 4 5 6 08 09 00 01 02 03 04 18 19 10 29 20 22 23 39 30 31 32 33 48 49 40 41 59 50 69 1 2 3 4 1 2 3 4 1 4 7 10 13 1 2 3 4 5 6 rev. C C r C a f h f h L h h nrpm f h f n L C 3 P L
1 1,.,
,.,. 7 86 0 70 7 7 7 74 75 76 77 78 79 70 7 7 7 75 74 7 7 7 70 79 78 77 76 75 74 7.,. x, x A(x ), B(x ) x x AB =x -x A{x } B{x } x >x AB =x -x B{x } A{x } x =[ -x(xæ0) -x (x
3 x =2y x =-16y 1 4 {0 ;4!;} y=-;4!; y x =y 1 5 5'2 2 (0 0) 4 (3-2) 3 3 x=0 y=0 x=2 y=1 :: 1 4 O x 1 1 -:: y=-:: 4 4 {0 -;2!;} y=;2!; l A y 1
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미통기-3-06~07(052~071)
06 F() f() F'()=f()F() f() : f()d f() f() f() f() F()f() F()+C : f()d=f()+c C F'()=f(): f()d=f()+c C d [: f()d]=f() d : k d=k+c k C : «d= + +C =0C + : k f()d=k: f()d k : { f() g()}d=: f()d : g()d =f()
1
절대수학 검은 대장간 인문 Blacksmith Day 1 최석호 1. 그림과 같이 A B C D E의 다섯 개의 영역에 빨강, 노랑, 파 랑, 초록의 네 가지 색으로 색칠을 하려고 한다. 네 가지 색 중 한 색 은 두 번 사용하고 나머지 세 가지 색은 한 번씩만 사용하여 칠하는 데, 인접한 영역에는 서로 다른 색을 칠하기로 할 때, 색칠하는 방법 의 수를 구하시오.
3 g.06 g > 3.06>3 < 3+.06< { }< 수리 영역 가 형 5. 다음 그림과 같이 크기가 같은 정육면체 개가 한 모서리씩을 공유하 면서 각 면이 평행 또는 수직 관계를 유지한 채로 한 평면 위에 놓여있 다. 그림의 세 꼭짓점 A, B, C에 대한 두 벡터 BA 와 BC 가 이루는 각 의 크기를 h라 할 때,
제``교시 수리 영역( 가 형) 시간:00분 점수:00점 성명 수험 번호 쭚 반드시 본인이 선택한 유형( 가 형 또는 나 형)의 문제인지 확인하시오. 쭚 문제지와 답안지에 성명과 수험 번호를 정확히 기입하시오. 쭚 MR 답안지에 성명, 수험 번호, 응시 유형 및 선택 과목, 답 등을 표기할 때에는 반드시 수험생이 지켜야 할 사항 에 따라 표기하시오. 쭚 문항에
LTUR Q X 01 LTUR LTUR K 6 5, 6, 6, 7, 8, 9, 9, 9, 10, b= =: :=8.5 a+b= cm , = =: 7 := a+b+c 0 =1 a+b+
우공비 중등 수학 (하) 특강편 SLUTIN LTUR K WRK K 0 LTUR Q X 01 LTUR LTUR K 6 5, 6, 6, 7, 8, 9, 9, 9, 10, 10 8+9 b= =: :=8.5 a+b=17.5 17.5 1 159 cm 6 9 58 6, 7..5 01 = +0+1++++ 7 =: 7 := a+b+c 0 =1 a+b+c=6 6+8+1 =:
0 cm (++x)=0 x= R QR Q =R =Q = cm =Q =-=(cm) =R =x cm (x+) = +(x+) x= x= (cm) =+=0 (cm) =+=8 (cm) + =0+_8= (cm) cm + = + = _= (cm) 7+x= x= +y= y=8,, Q
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2 KAIST 1988,,KAIST MathLetter, 3,,, 3,, 3, 3,
(M 2 ) 2 KAIST 1988,,KAIST MathLetter, 3,,, 3,, 3, 3, 3,,, 2003 8, 4 1 7 11 8 12 26 2 39 21 40 22 54 23 67 24 80 3 93 31 n! 94 32 101 33 115 4 131 41 132 6 42 146 5 163 51 164 52 180 1 8 11 4 4?!,? 2??,?
특목고 8-나 해설Ⅰ(001~024)OK
I II III I Step - - - - - - - - 8 - - 0 - - - 9 - - 9 - - 00-8 - 90 - - 80-0 8-0 - - - - - 0 0 0-0 - - 8 - - - 00 8-00 8-0 0 8 - ( 8) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 8 a a b b aabb bbaa abba baab abab baba
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Áß2±âÇØ(01~56)
PRT 0 heck x=7y=0 x=0y=90 9 RH RHS 8 O =8 cmp =6 cm 6 70 7 8 0 0 0 SS 90 0 0 0 06 07 08 09 0 cm 6 7 8 9 0 S 6 7 8 9 0 8cm 6 9cm 7 8 9 cm 0 cm x=0 y=00 0 6 7 9 8 9 0 0 cm 6 7 8 9 60 6 6 6 6 6 6 7 8 7 0
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0. 4 0. 8 03. 3 04. 44 05. 56 06. 68 07. 80 08. 9 09. 04 0. 6. 8. 40 i i .. 3. 4. Level - Level - Level 3 0. F(x) f(x) F'(x)=f(x)F(x) f(x) : f(x)dx : f(x)dx=f(x)+c F'(x)=f(x) : f(x)dx=f(x)+c C f(x) F(x)
고등RPM수1해(002~033)
고등RPM수해(00~0) 0.6. :0 PM 페이지 다민 50DPI 75LPI 하나를 알면 0개, 0개를 풀 수 있는 개념원리수학 RPM 개념원리수학 익힘책 [알피엠] 수학Ⅰ 정답과 풀이 RPM 0 000 A-B =( - ++)-( - -) = - ++-6 +9 + =- +5 +6+ 5B-(A+B) =5B-A-B=-A+B =-( - ++)+( - -) =-
파이널생명과학1해설OK
EBS EBS 00 Finl E d u c t i o n l B r o d c s t i n g S y s t e m CO A B A~C CHON CHONP N.5 % 86.5 % 5.... 5. 6.. 8. 9. 0..... 5. 6.. 8. 9. 0. X Y X X 6 G DNA DNA S (A) (B) G DNA DNA (A)=; ;=;6!; (B)=;
121_중등RPM-1상_01해(01~10)ok
1-01 00 11 03 1804 4 05 3506 45 07 5 65 0001 000 0003 0004 0005 01 4 4 6 5 6 9 Í = + =,, Í=Í=Í = = Í Í Í,, 0006 0007 0008 0009 0010 0011 001 7c 5c 3, 3 3, 6, 6 +50 =180 =130 130 +90 +30 =180 =60 60 =60
16중등빨이수학3-2교부(01~23)
9 a b c a+b+c 0 7 a 79799 79a 0 9 1 0 7 0 99 9 9 0 0 7 7 0 717 9 7 0 1 7-1 - - 7 1 0 0 1 ab b-a 0 997 7 9191 17 S 7 1 0 0 1 0 0 a b c a+b+c 1 7 [0~09] 0 _ 7 7 0 0 0 [~0] [09~] 777 017 0 09 0 0 1 0 1 9
13일등예감수학1-1정답(077~120)
- ~8 0 00,,, 00,, 8, 9, 0 00 00,,, 9 00,,,, 9 00 00 008 009 0 00 8 0 0 fi 0 0 0 9fi 0 0 fl 08 _ 09 _ 00 _ _ 0 _ _ 0 { } ~ 0 _ _ 0 0 _ _ fi _ 0,, 0,,, 8 08,, 9 09, 00,,,,, 8,, 0,,, 0,, 0 0 0 0 0 0, 0, 08,,
ÃÖ»óÀ§5³ª-Á¤´ä(01~23)
2.4 3 5.26 8.225m 4523.3 8 0 36.63 3.26 46.7 4670-46.7=4523.3. _ 0. 3 422222 (_3) (_3) (_3) 422222. 4 5 _3 5 =5 _3 4 = _3+ _3+5=, _3=6 =2 ++=2++5=8 2.5 4 =2.5_4-7_.2=0-8.4=.6, 7.2 0.3 7.3 =0.3_7.3-.5_0.5.5
중등수학2팀-지도서7
3 6~7 8~3 3 ª 33~37 4-38~39 40~45 4 46~53 5 54~58 3 59-60 ~6 6~63 64 VII. 4 9 (Klein F849~95) (rlangen Program) (group of transformation) ' O' =k O ' O k O ' O ' O ' ' ' ' (topology) = = O O' =k O ' '
2
rev 2004/1/12 KAIST 2 6 7 1 13 11 13 111 13 112 18 113 19 114 21 12 24 121 24 122 26 13 28 131 28 132 30 133 (recurrence) 34 134 35 4 2 39 21 39 211 39 212 40 22 42 221, 42 222 43 223, 45 224 46 225, 48
유형편(수Ⅰ)-해설-01-OK
0 0 64 0 04 4 05 8 06 8 0 0 0 0 04 05 06 65 07 08 09 0 8 4 5 6 7 8 7 9 0 0 "ç' 7_æ 6_ ' 56 "ç' 7_æ 6_ ' 56={( )! }! ' _ 45_ " 4 " 4 9~ ' "ç' 7_æ 6_ ' 56=' 4= 4 0 # 8 -# # 8 -# = # ( ) -# = # -( # 8 -#
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미적분-1.indd
k k k= k= =4 =-3 = +5- = - 3 P t =t -t +3t- t=3 (NASA) NASA 44 0 (Galilei, G. ; 564~64) C m f() f()=-4.9 +C(m) mm3m f () mf () mf () m.. -9.8 3. 3 f {}=-4.9@+3 f {}=-4.9@+ f {}=-4.9@+ f() f'() f() f()
(001~007)수능기적(적통)부속
0 6 06. C : k d=k+c k «+-, : «d= «± +C + =- : d=: ;[!; d=l +C : kf()d=k: f()d k : { f()+g()} d=: f()d+: g()d : { f()-g()} d=: f()d-: g()d : si d=-cos +C : cos d=si+c 008 : sec d=ta +C : cosec d=-cot +C
(01~80)_수완(지학1)_정답ok
www.ebsi.co.kr 01 THEME 005 ABC abcd C A b 20~30 km HR HR 10 6 10 5 10 4 10 3 10 2 (=1) 10 1 10 _1 10 _2 10 _3 10 _4 10 7 30000 10000 6000 3000 (K) 11111111 11111111 10 8 10M 6M 10 9 3M 10 10 1M 10 11
........1......
Contents 1 10 11 12 13 2 14 15 16 17 18 3 19 20 21 22 23 24 25 1 28 29 30 F a b W = mg a b F W = mg b F a W = mg 31 32 33 34 35 36 2 37 38 39 40 41 3 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 4 54 55 56
14일등예감수학2-2교사(001~026)
9 8 8 9 0 0 09 0 9 8~9 / [~] [~] [0~] 0 [~] 0 00 00 [~9] 8 9 8 0 00 00 0~ / [~] [~] 8 8 0 0 8 9 0 - ~ / [~] [0~] 0 0 [~9] [~] 0 8 8 9 0 0 - ~ / [~] 8 9 0 [~] ~ /0 8 0 9 0 0 0 8 0 8~9 /0 0 ;#; 0 0 0 8
LTUR OOK Q OX 0 6 (, 5), (, 4), (, ), (4, ), (5, ) 5 0- x+y=0 (x, y) (, 4), (4, ), (6, ) 0,, 5, 7 4 0-4,,, 4, 6, 8,, 4 8 8 0 5. 000 ( ) 0 500 ( ) 4 5
SOLUTION LTUR OOK WORK OOK LTUR OOK Q OX 0 6 (, 5), (, 4), (, ), (4, ), (5, ) 5 0- x+y=0 (x, y) (, 4), (4, ), (6, ) 0,, 5, 7 4 0-4,,, 4, 6, 8,, 4 8 8 0 5. 000 ( ) 0 500 ( ) 4 5 00 ( ) 0 5 0 5 5 0-00 (
587.eps
VP7-6 Series VP7-6-FPG-D- (FG-S) (FG-D) (YZ-S) (YZ-D) Closed center (FHG-D) Exhaust center (FJG-D) (FPG-D) Pressure center(fig-d) VP7-6-FHG-D- VP7-6-FG-S- VP7-6-FG-D- (V) (A) ) (A) ) (V) ) 0.15~0.9{1.5~9.}
dnu.pdf
ISODNU 1 ISO DNU/DNUL DNU DNUL 32 40 50 63 80 Gx G G Gy Gy G M10x1.25 M12x1.25 M16x1.5 M16x1.5 M20x1.5 M20x1.5 [mm] 19 21 23 23 30 30 4 [MPa] 1.2 [ C] 20 80 0.6MPa [N] 482 753 1178 1870 3015 4712 415 633
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0, + = =" -, =" -, =" + =90, + SS =+ (+) = +_ + = =90 - =+ =(-) +_ = + =90 = // = =L // SS =L I=L =I+ = + L 0.. m m. m. I 9 m,, + = =, =, = < + jk + jk >90 < < + = + + = + =90, + = + =90
01 02 03 01 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 CO C CO C C CO 04 05 06 RNA DNA 07 A B C C B A 08 TMV TMV TMV TMV 09 02
w w w. e b s i. c o. k r 01 02 03 01 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 CO C CO C C CO 04 05 06 RNA DNA 07 A B C C B A 08 TMV TMV TMV TMV 09 02 10 ADH 11 A CO H O NH B AB 12 2 1 DNA 02 01 02 03 04 05
a b c d e f^xh= 2x 2 + ax a f^1+ hh -f^1h lim 6 h 0 h = " A B C D E A J an K O B K b 1O C K 1 1 c 1 0O D K O 0 d K O E Le 1
b c d e + + + + x + x f^+ hh -f^h lim 6 h h " A B C D E A J N K O B K b O C K c O D K O d K O E Le P - - 5 A B C D E A J N K O B K b O C K c O D K d O K O E Le P f^+ hh - f^h lim 6 h " h f l^h 6 x + x
제 9 도는 6제어항목의 세팅목표의 보기가 표시된 레이더 챠트(radar chart). 제 10 도는 제 6 도의 함수블럭(1C)에서 사용되는 각종 개성화 함수의 보기를 표시하는 테이블. 제 11a 도 제 11c 도까지는 각종 조건에 따라 제공되는 개성화함수의 변화의
(19) 대한민국특허청(KR) (12) 특허공보(B1) (51) Int. Cl. 5 B66B 1/18 (45) 공고일자 1993년09월28일 (11) 공고번호 특1993-0009339 (21) 출원번호 특1989-0002580 (65) 공개번호 특1989-0014358 (22) 출원일자 1989년03월02일 (43) 공개일자 1989년10월23일 (30) 우선권주장
480제 생물Ⅰ 해설
001~023 001 002 003 004 005 006 007 008 009 010 011 012 013 014 015 016 017 018 019 020 021 022 023 01 001 정답찾아가기 B 3L/100kg A 2L/100kg B A 1.5 오답피하기 A B 002 정답찾아가기 A B A B B A 27æ 003 정답찾아가기 D D D 오답피하기
(해01~40)300제(물리Ⅰ)-ok
EBS w w w. e b s i. c o. k r 01 001 002 GPS GPS GPS 3 3 003 h h L L tanh=;lh; L= h tanh 004 001~020 001 002 003 004 005 006 007 008 009 010 011 012 013 014 015 016 017 018 019 020 ;3!; ;3@; y ;6!; ;3!;
4. 1 포인터와 1 차원배열 4. 2 포인터와 2 차원배열 4. 3 포인터배열 4. 4 포인터와문자그리고포인터와문자열
- Part2-4 4. 1 포인터와 1 차원배열 4. 2 포인터와 2 차원배열 4. 3 포인터배열 4. 4 포인터와문자그리고포인터와문자열 4.1 포인터와 1 차원배열 4.1 1 (1/16)- - - [4-1.c ] #include int main(void) { int array[3]={10, 20, 30}; } prind("%x %x %x
#( )지도1-1
I. 0 i i =- 3 0~ ~8 ~3 p.0~ 9 4 0~ ~5 5~6 6~3 7~8 p 35 q ~p p jjk q p HjK q p.~3 3~33 9 34~38 0~ 39~43 ~3 44~45 4 p.36~37 3 46~57 5~9 i a+bi a+bi p.48~49 3 58~59 0 60~6 6~63 64 65 9 (Cantor, G.) (Zermelo,
(004~011)적통-Ⅰ-01
0 f() F'()=f() F() f(), : f() F'()=f(): f()=f()+c C 4 d d : [ f()]=f()+c C [: f()]=f() «`` n C : n = n+ +C n+- : =ln +C n+ f() g() : kf()=k: f() k : { f()+g()}=: f()+: g() : { f()-g()}=: f()-: g() 5 C
1. A B C 4. ABC B C A B A B C A C AB BC ABC. ABC C + A + B C A B A B C A B C B A C B C A C A B C B A 5. AB xy pqr x B xy p -y AB. A. A. B. TV B. C. AB
018 학년도대학수학능력시험문제및정답 1. A B C 4. ABC B C A B A B C A C AB BC ABC. ABC C + A + B C A B A B C A B C B A C B C A C A B C B A 5. AB xy pqr x B xy p -y AB. A. A. B. TV B. C. ABC lålılç lå
확률과통계 강의자료-1.hwp
1. 통계학이란? 1.1 수학적 모형 실험 또는 증명을 통하여 자연현상을 분석하기 위한 수학적인 모형 1 결정모형 (deterministic model) - 뉴톤의 운동방정식 : - 보일-샤를의 법칙 : 일정량의 기체의 부피( )는 절대 온도()에 정비례하고, 압력( )에 반비례한다. 2 확률모형 (probabilistic model) - 주사위를 던질 때
= =180 5=90 = O=O+O=;!;O+;!;OE O=;!;(O+OE)=;!;OE O=;!;_180 = y=180 _ =180 _;9%;= = =180 5=15 =5
VI 01 a=5b=8 a+b=5+8=1 01- a=8b=1c=6 a-b+c=8-1+6= 01-01 0 Í 0 04 05 06 07 08 e f e f 01 4 6 0 8 1 01 01-01- 46 8~1 0 0-0- 0-0 0-15 cm 0-0- 0-1 cm 04 0 04-04- 18 04-60 04-05 05-05- 06 06-16. 06-07 07-07-
<C1DF3320B0B3B3E4BFCFBCBA20C0AFC7FCC3BCC5A92035C8A328C7D8BCB3292E706466>
V. 5 EGc F=EG+4 {a+b}@= c@ +4\ ab Step /a@+b@= c@ Z=4@+@=5=5{cm} EG EG=Z @ =5@=5{cm@} 5 6 x=5y=4 x=y=5 x=4@+@=5=5 x=0@-8@=6=6 x=@-@=5=5 y=4@+5@=4 x=0@-6@=44= y=@-@=5=5 4 {a-b}@a@+b@ 9`cm `cm 9`cm@ E=4+FG
고등학교 수학 요약노트 - 확률과 통계
고등학교 수학 요약노트 확률과 통계 Sooji Shin soojishin@live.com 이 노트에서는 고등학교에서 배우는 수학의 내용 중 확률과 통 계에 관련된 개념과 공식을 정리하고 그에 따른 예제와 풀이를 소개합니다. 필요한 경우 중학교 과정의 내용도 포함하고 있습 니다. 이 노트에서 포함하고 있는 내용은 다음과 같습니다. 경우의 수 대푯값과 산포도 확률의
<C1A4C3A5BAB8B0EDBCAD D325F32B1B32E687770>
ä Ð mf XXXHHXGPSLS Ð º < > r ek ò ä õää Š å õ ò ä Œ ý * r } r } Ð j r 7 } Ð k 46.."3: m j } m n j² Ð j º n m º j² ä º Ð Ð î m m² m Ð Å a mj º j m² m m í e jí Ù ä º ² º n j í a³j m jí ز ä º n n m k Ð j
<3230B4EBBFA9BCBAC3EBBEF7C7F6BDC728C0CCBDB4BAD0BCAE292E687770>
2대 여성 청년층의 취업현실 개요 2 대는 면학시기 이면서 입직시기, 결혼적령기 등 자신의 생애주기 가운데 가장 다양한 변수를 품고 있는 시기임. 그럼에도 노동시장의 환경은 대다수 2대 여성에게 특정 선택 을 강요하며, 2대 여성들의 취업률은 육아와 가사로 인해 3대 초반부터 감소하기 시 작함. 비경제활동인구 역시 3대에 들어서면서 급격히 늘어나며 이러한 경력단절
歯02-BooleanFunction.PDF
2Boolean Algebra and Logic Gates 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 IC Chapter 2 Boolean Algebra & Logic Gates 1 Boolean Algebra 1854 George Boole Chapter 2 Boolean Algebra & Logic Gates 2 Duality Principle
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w sw x w w w x y w w sw J[FTQRJ[VG w 5CVQƒw e UWDOGTIGF J[FTQRJ[VG šw z w w w w ù p w s w r w z w w kw p ³ w š w z w š w w kw mƒ w š w s w q 8CNNKUPGTKC FGPUGUGTTWNCVC½ ½ Õ 6[RJC NCZKOCPPK -KO CPF %JQK
A n s w e r 4 0 0 20 13 40 13 14 1 13 14 15 16 17 20 % 13 13 5 13 2 47.0 ml 55.0 15.0 13 14 15 5.0 g/cm 1.8 kg B E A C 13 14 LNGLPGLNG LPG 15 << 13 A<
우공비Q 과학 2 (하) 정답 및 채움해설 빠른 정답 찾기 2~4 Ⅴ. 물질의 특성 1. 물질의 특성 ⑴ 5 2. 물질의 특성 ⑵ 9 3. 혼합물의 분리 13 Ⅵ. 일과 에너지 전환 4. 일 21 5. 에너지 27 Ⅶ. 자극과 반응 6. 감각 기관 39 7. 신경계 44 8. 항상성 48 13강 일차방정식의 풀이 1 A n s w e r 4 0 0 20 13
HWP Document
CODE A00-B99 A00-A09 A00 KOR_TITLE 특정 감염성 및 기생충성 질환 창자 감염 질환 콜레라 A00.0 비브리오 콜레리 01 전형균에 의한 콜레라 A00.0 전형균에 의한 콜레라 A00.1 비브리오 콜레리 01 엘토르형균에 의한 콜레라 A00.1 엘토르형균에 의한 콜레라 A00.9 상세불명의 콜레라 A01 A01.0 장티푸스 장티푸스
1 1 x + # 0 x - 6 x 0 # x # 2r sin2x- sin x = 4cos x r 3 r 2r 5 r 3r
# 0 0 # # si si cos # 0 # 0 ^ h ^h^h# 0 ^! 0, h ^h^h# 0 ^! 0, h si si cos sicos si cos si ^cos h ^cos h si ^cosh^cos h 0 ^sih^cos h 0 0 # # cos cos, ^ si! h,, ` 0 # 혼자하는수능수학 0 년대비 9 월 A B, y f^h f^h, 0
(001~008)고등기본서Ⅰok
01 1. 1, 2 n r(nær) n r «C n r «C CZ Z «P n(n-1)(n-2)y(n-r+1) n! «C = 123 = 1121111111112 = 11112 ( 0 r n) (n-r)! «C C Combination, N, C, R «P =«C _, ( )=( )_( ), 2 3 A B C 2 (A, B), (A, C), (B, A), (B,
10-2 삼각형의닮음조건 p270 AD BE C ABC DE ABC 중 2 비상 10, 11 단원도형의닮음 (& 활용 ) - 2 -
10 단원 : 도형의닮음 10-1 닮음도형 p265 ABC DEF ABC DEF EF B ABCD EFGH ABCD EFGH EF A AB GH ADFC CF KL 중 2 비상 10, 11 단원도형의닮음 (& 활용 ) - 1 - 10-2 삼각형의닮음조건 p270 AD BE C ABC DE ABC 중 2 비상 10, 11 단원도형의닮음 (& 활용 ) - 2 -
고등수학Ⅱ기본서해(001~035)-ok
0 I. 0 A={4, 8,, 6, 0} 4 A 03 {3, 5, 7, 9} {3, 5, 7, 9} {3, 5, 7} {, 3, 5, 7, 9} {, 3, 5, 7} 04 A={, 4, 6, 8} B a, 4, 6, 8, 3_a- 3_-=4, 3_4-=0, 3_6-=6, 3_8-= B={4, 0, 6, } {4, 0, 6, } 05 B»A B A - 0-0
<C3D1C1A4B8AE20303120B0E6BFECC0C720BCF620323030B9AE2E687770>
1. 1. 1) 1. 경우의 수 주사위를 한 개를 던질 때, 다음 경우의 수 (1) 소수 4. 4. 4) 집에서 학교로 가는 버스는 3 개 노선, 지하철은 4 개 노선이 있다. 버스나 지하철을 이용하여 집 에서 학교로 가는 방법은 모두 몇 가지인가? (2) 5의 약수 2. 2. 2) 1~10 숫자에서 하나를 뽑을때, (1) 3의 배수 경우의수 5. 5. 5)
5 3
48 5 56 60 64 68 5 3 cm 3 cm 3 3 3 3 3 3 3 3 3 8 3 3 3 3 6 7 8 78 65=85 0.50. 79= =35 7 5 8 9 3 = 3 48 5600 4 3 34 67 9 06 3=64 84=3 43=86 37=94 = 3.3 4 35 46 4 49 90 3 60 5 5490= 35 500 8 69 =45 7 3
경제학 최종마무리 박 태 천 편저 미시경제학 3 경제학의 기초 및 수요공급이론 제1회 01 기회비용에 대한 서술로서 가장 옳지 않은 것은? 1 욕구충족에 아무런 제약이 없으면 기회비용이 생기지 않는다. 2 예금하지 않은 현금의 보유에 따른 기회비용은 예금으로부터의 이자소득이다. 3 의무교육제도 아래서 무상교육은 개인적으로는 무료이지만,사회적으로는 기회비용이
제 2 장육상관측소지상종관기상전문의해독과기입,.,. (FM 12) (FM 13). (WMO) FM 12-Ⅸ Ext. SYNOP, FM 13-Ⅸ Ext. SHIP. ZCZC 612 SMKO01 RKSL AAXX
제 2 장육상관측소지상종관기상전문의해독과기입,.,. (FM 12) (FM 13). (WMO) FM 12-Ⅸ Ext. SYNOP, FM 13-Ⅸ Ext. SHIP. ZCZC 612 SMKO01 RKSL 221200 AAXX 22124 47140 11662 82709 10240 20226 39941 49970 52015 60112 72166 8552/ 333 10248
<312D303128C1B6BAB4BFC1292E666D>
k Ÿy y y + ûz m Ì ˆw k Ÿ ø ky w y y» wk Ÿ v w k w w ƒ Ÿ ew k Ÿy yø k Ÿ ý k z» w ƒ w Ÿ y k y w x mw w w ³Ÿ wšy v mw y w r œw yÿ ý w z»ÿ Ÿ»» Ÿ ¾ Ÿ 6TCXGN 9GGMN[ ýw k Ÿ Ÿ ƒ š wš y w k Ÿ ƒ m ³ w w y y y 'EQVQWTKUO
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D A S U I N A C A D E M Y Green 2nd 4 1 Green DASUIN ACADEMY STORY TELLING 3 % 14 35 12 3 8 2 6 15 4 1 35 % 3 % 2 % 15 % DASUIN ACADEMY 1 18 8 1 4 4 18 8 _1=45 (% _1=2 (% 4 4 1 4 _1=25 (% _1=1 (% 4 4 1
InRow RP TDM KO.book
InRow RP 냉각수 / 직접 확장 - 50/60 Hz 공냉식 ACRP100 ACRP101 ACRP102 냉각수 ACRP500 ACRP501 ACRP502 기술 데이터 American Power Conversion 법적책임 부인 American Power Conversion Corporation 은 본 설명서에 제공된 정보가 믿을 수 있으며 오류가 없거나
Microsoft Word _kor.doc
사용자설명서 한글 APC Smart-UPS 1400VA XL 230VAC/120VAC/100VAC 3U 랙및스택형무정전전원공급장치 990-1080, Revision 01 10/01 sÿ 1:G Ž y... 1G Ž... 1G Ž... 1G ŽŸ Ž... 2G w p Ž... 2G 2:G ƒ... 3G ³ µ... 3G UPS... 3G Smart-UPS ƒ...
금안13(10)01-도비라및목차1~13
ISSN 1975-667 13. 1 13. 1 1 1 8 8 6 6 5 5 1, 3.8 8 6 1.7 1.9 5 3.8 1 1 5-5 -1-1 5-5 6 3 67.7 3 1 8 65. 96.1 96.9 1 8 5 5 188.5 15 17.7 15-1 -.1 -.3 -.9-1 - -1.7 - -3-3 - - -5-5 -6-5.5-6
(01-16)유형아작중1-2_스피드.ps
01 p.10 0001 000 61 0003 4 8 3 4 5 7 4 3 3 3 6 8 9 5 1 1 3 7 9 6 0 1 0004 4 0005 0006 3 0007 6 0008 30 0009 3 19 0010 10 ~14 14 ~18 9 18 ~1 11 1 ~16 4 16 ~0 4 30 0011 160 cm 170 cm 001 10 cm 5 0013 135
고등수학(B)_지도서
자습서-(44~6)-OK 009..6 0:56 PM 페이지44 경우의 수 순열과 조합 mac0 T 자습서-(44~6)-OK 009..6 0:56 PM 페이지45 mac0 T 상생활에서 일어나는 사건이나 현상은 놀랍고도 다양하다. 또한, 솜털 같은 뭉게구름 뒤에 거센 폭풍우가 오는 경우와 같이 예측하 일 기 어려운 사건들이 많이 있다. 그러나 이러한 현상들도
적분통계개념정답_
N o t i o s. l u s. T e F= = F=++C= C= C= F=si +cos F=si +cos =- - - f= - + d d [ - f ]= - + - f= - - f=- f= f= = {eå cos -si -} =be cos -c+ d [ {eå cos -si -} ] d = be cos -c+ eå cos -si -=be cos -be
VP3145-P1495.eps
eries,,,,,, 4 W 0 W Q Q 9 9 eries D J -K - X X5 X6 X7 X9 X X3 X4 X5 X6 X7 X X9 X0 X X X X X X6 X7 X X X X X X6 ( 0 ) (5mm/s) ( 0 ),, (U4) U ).,. 40 eries Q 4 eries,,,,, L F D T F L J K N R H P.43. ( )...
3A6384B, GrindLazer, 작동, 부품, 한국의
w² GrindLazer 3A6384B KO ƒ m s oœ q q n ym ƒ t µ d µ Œ Œ GrindLazer ² DC21 E 25M841 1 HP 120VAC 25N391 1 HP 230VAC i ³i 25N609 1 HP 230VAC ANZ ³i GrindLazer ² RC7I E 25M848 1 HP 120VAC 25N392 1 HP 230VAC
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ª Œª Œ 27ƒ 2B Á 2007 3œ pp. 193 ~ 199 ª ƒ w d w ƒ sƒ Methodology of Drought Assessment Using National Groundwater Monitoring Network Data «x Á½ Kwon, Hyung JoongÁKim, Seong Joon Abstract The objective
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F 69 6; 1101 ;99 7 7; 7 주간기술동향 `FM Ð Ë Ð æ ý æ ÿ Ð F F æ OFG` c_x] `FM Ð î `FM `Z ` cf_ c_ Mc` ` `]2 î ý F 5 F 6 MM MM; ý 5 Ð ý7 `FM Ð O 5D 5 5 Ð í 5 5 5 ý7 5 `FM Ð 5 ÿ í `FM Ð ý7 목 차 M K M Y]Z Z ] a `_
오투중3-2과학정답1
1 01 1 3 4 a a 4 1 2 3 4 01 02 5 6 7 8 10 C D C D 11 C D 1 2 3 + + +C 1 C+ 4 5 6 02 C D = 1 + 1 + + + 1 2 + 1 1 + +C 1 C+ 3 4 6 7 8 + 1 + 9 H,.N +3H 12,2.NH 11 3333 13 3_2=6 2_3=6 N,1.N +3H 12,2.NH 112
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Math. Statistics: Statistics? 1 What is Statistics? 1. (collection), (summarization), (analyzing), (presentation) (information) (statistics).., Survey, :, : : QC, 6-sigma, Data Mining(CRM) (Econometrics)