1.1) 등비수열 전체집합 제 2 교시 나 형 2016 년 3 월고 3 모의고사문제지 수리영역 성명수험번호 3 1 먼저수험생이선택한응시유형의문제지인지확인하시오. 문제지에성명과수험번호를정확히기입하시오. 답안지에수험번호, 응시유형및답을표기할때는반드시 수험생이지켜야할일 에따

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1 1.1) 등비수열 전체집합 제 2 교시 2016 년 3 월고 3 모의고사문제지 성명수험번호 3 1 먼저수험생이선택한응시유형의문제지인지확인하시오. 문제지에성명과수험번호를정확히기입하시오. 답안지에수험번호, 응시유형및답을표기할때는반드시 수험생이지켜야할일 에따라표기하시오. 단답형답의숫자에 0 이포함된경우, 0 을 OMR 답안지에반드시표기해야합니다. 문항에따라배점이다르니, 각물음의끝에표시된배점을참고하시오. 배점은 2점, 3점또는 4점입니다. 계산은문제지의여백을활용하시오. 3.3 ) 에대하여, 일때, 의값은? [2점][2016년 3월 ] 지선다형 의값은? [2 점 ][2016 년 3 월 ] ) 는 이하의자연수 의두부분집합, 에대하여집합 의원소의개수는? [3점][2016년 3월 ] ) lim 의값은? [2 점 ][2016 년 3 월 ]

2 5.5) 양수 6.6) 두 7.7) 어느 10.10) 유리함수 에대하여 log 일때, 의값은? ) 이아닌두양수, 에대하여 log log 일때, log 의값은? 집합, 에대하여 집합 에서집합 로의일대일함수를 라하자. 일때, 의최댓값은? ) 의그래프가제 사분면을지나지않도 록하는정수 의최솟값은? 고등학교 학년 반학생 명을대상으로책 A, 책 B 를읽었는지조사하였다. 책 A 를읽지않고책 B 만읽은학생이 명일때, 책 A 와책 B 를모두읽은학생수의최댓값은? 에대한이차방정식 의두근의합 을 ( 은자연수 ) 라하자. 의값은? [3점][2016년 3월 ]

3 11.11) 두 12.12) 그림과 13.13) 점 14.14) 곡선 집합 는자연수, 에대하여두 함수, 가 를 로나눈나머지 [13 ~ 14] 자연수 에대하여좌표가 인점을 P, 함수 이라하자. 점 P 을지나고 축과평행한직선이곡선 와만나는점을 Q 이라할때, 13번과 14 번의두물음에답하시오. 이다. 합성함수 의치역의원소의개수가 이되도록하는자연수 의최솟값은? Q 의 좌표를 이라할때, 의값 은? 같이곡선 와직선 가원점과점 에서만난다. 일때, 의값은? lim 위의점 R 은직선 P R 의기울기가음수이 고 좌표가자연수인점이다. 삼각형 P OQ 의넓이를, 삼 각형 P OR 의넓이가최대일때삼각형 P OR 의넓이를 이라하자. lim 의값은? ( 단, O 는원점이다.)

4 15.15) 무리함수 16.16) 다음은 에대하여좌표평면에곡선, 와세점 A, B, C 를꼭짓점으로하는삼각형 ABC 가있다. 곡선 와함수 의역함수의그래프가삼각형 ABC 와만나도록하는실수 의최댓값은? 모든자연수 에대하여 이성립함을수학적귀납법으로증명한것이다. (ⅰ) 일때, ( 좌변 ) (*) ( 우변 ) 따라서 (*) 이성립한다. (ⅱ) 일때, (*) 이성립한다고가정하면 가 나 가 이다. 따라서 일때도 (*) 이성립한다. (ⅰ), (ⅱ) 에의하여모든자연수 에대하여 (*) 이성립한다. 위의 ( 가 ), ( 나 ) 에알맞은식을각각, 이라할때, 의값은? [4점][2016년 3월 ]

5 17.17) 두 18.18) 한 양수, 에대하여한변의길이가 인정사각형 ABCD 의네변 AB, BC, DC, DA 를각각 로내분하는점을 E, F, G, H 라하고, 선분 FH 의중점을 M 이라하자. 그림은위의설명과같이그린한예이다. 변의길이가 인정사각형이있다. 그림과같이지름이 인두원이서로한점 P 에서만나고정사각형의두변에각 각접하도록그린다. 정사각형의네변중원과접하지않는변의중점을 Q 이라하고, 선분 P Q 을대각선으로하는정사각 형 을그린다. 이때, 의한변의길이를 이라하자. 지름이 인두원이서로한점 P 에서만나고정사각형 의두변에각각접하도록그린다. 정사각형 의네변중원과접하지않는변의중점을 Q 라하고, 선분 P Q 를대각선으로하는정사각형 를그린다. 이때, 의한변의길이를 라하자. 지름이 인두원이서로한점 P 에서만나고정사각형 < 보기 > 에서옳은것만을있는대로고른것은? [4점][2016년 3월 ] ㄱ. FM GM ㄴ. EFM FGM ㄷ. FH 일때, 삼각형 FGM 의넓이의최댓값은 이다. 1 ㄱ 2 ㄷ 3 ㄱ, ㄷ 4 ㄴ, ㄷ 5 ㄱ, ㄴ, ㄷ 의두변에각각접하도록그린다. 정사각형 의네변중원과접하지않는변의중점을 Q 이라하고, 선분 P Q 을대각선으로하는정사각형 을그린다. 이때, 의한변의길이를 이라하자. 이와같은과정을계속하여 번째그린정사각형 의한변 의길이를 이라할때, 의값은?

6 19.19) 이차함수 20.20) 자연수 21.21) 수열 22.22) log 가다음조건을만족시킨다. ( 가 ) ( 나 ) 이차방정식 의실근의개수는 이다. 방정식 의서로다른실근을모두곱한값은? [4점][2016년 3월 ] 에대하여 집합 는자연수 가공집합이되도록하는자연수 를작은수부터크기순으로나열할때, 번째수를 이라하자. 예를들어, 은 를만족시키는자연수 가존재하지않는첫번째수이므로 이다. 1 의값은? 에대하여 을만족시키는자연수 을 이라하자. 의값은? 단답형 일때, 의값을구하시오. 6 16

7 23.23) 수열 24.24) 25.25) 실수 26.26) 자연수 이 을만족시킬때, 의값을구 하시오. [3점][2016년 3월 ] 전체의집합 의두부분집합, 또는 가다음조건을만족시킨다. ( 가 ) ( 나 ) 두상수, 에대하여 의값을구하시오. 이하의자연수 에대하여 이정수가되도록하는 의개수를구하시오. 에대하여곡선 와직선 이만나는두점을각각 P, Q 이라하자. 삼각형 OP Q 의무게중심의 좌표를 이라할때, lim 의값을 구하시오. ( 단, O 는원점이다.) 7 16

8 27.27) 전체집합 28.28) 두 29.29) 두 30.30) 유리함수 는 이하의자연수 에대하여조건 의진리집합을, 두조건, 의진리집합을각각, 라하자. 두명제 와 가모두참일때, 두집합, 의순서쌍 의개수를구하시오. 집합, 에대하여집합 가다음조건을만족시킨다. ( 가 ) ( 나 ) ( 다 ) 집합 의모든원소의합은 이다. 집합 의모든원소의곱을구하시오. 함수, 에대하여합성함수 의치역이 일때, 상수 의값을구하시오. 와수열 에대하여 이다. 을만족시키는자연수 의최댓값을구하시 오. 확인사항 문제지와답안지의해당란을정확히기입 ( 표기 ) 했는지 확인하시오. 8 16

9 2016년 3월수리나형고3 모의고사해설 따라서 ) 4 [ 출제의도 ] 지수를계산하여값을구한다. 2) 2 [ 출제의도 ] 수열의극한을계산한다. lim 의분모와분자를 으로나누면 lim lim 3) 4 lim lim [ 출제의도 ] 등비중항의성질을이용하여특정항을계산한다. 수열 이등비수열이므로 즉, 따라서 6) 3 [ 출제의도 ] 일대일함수의정의를이해하여조건에맞는함숫값을구한다. 함수 가일대일함수이고 이므로 가아닌집합 의서로 다른두원소, 에대하여, 로놓을수있다. 의최댓값은 의최댓값과같다. 그런데, 또는, 일때 가최대이다. 따라서 의최댓값은 이다. 7) 4 [ 출제의도 ] 주변에서일어나는상황을집합의포함관계로나타내어원소의개수를 구한다. 전체학생의집합을, 책 A 를읽은학생의집합을책, 책 B 를읽은 학생의집합을 라하자. A 를읽지않고 B 만읽은학생의집합은, 이고두집합 와 은서로소이다. 그러므로 그런데 이므로 따라서 의최댓값은 이다. [ 다른풀이 ] 책 A 를읽지않고책 B 만읽은학생 명은책 A 와책 B 를모두읽은 학생의집합에속하지않는다. 전체학생수가 명이므로책 A 와책 B 를 모두읽은학생의최댓값은 8) 4 [ 출제의도 ] 밑변환공식을이해하여식의값을구한다. log log log 에서 log log 따라서 log 4) 2 [ 출제의도 ] 드모르간의법칙을활용하여원소의개수를계산한다. 전체집합 는 이하의자연수 이므로 드모르간의법칙에의해서 그러므로 따라서집합 의원소의개수는 이다. 5) 3 [ 출제의도 ] 로그의정의를이해하여식의값을구한다. log 에서 즉, 9) 1 [ 출제의도 ] 유리함수의그래프의성질을이해하여조건을만족시키는값을구한다. 주어진함수의그래프는함수 의그래프를 축의방향으로, 축의방향으로 만큼평행이동한그래프이므로점근선의방정식은, 이다. 이면곡선 는반드시제 사분면을지나므로 9 16 이다.

10 인범위에서함수의그래프는제 사분면만을지난다. 일때주어진함수의그래프가제 사분면을지나지않기위해서는 lim 일때 의값은 0이상이되어야한다. 그러므로 이다. 마찬가지로문제에서, 이므로 따라서조건을만족시키는최소의정수 는 이다. 10) 5 [ 출제의도 ] 이차방정식의근과계수의관계를이해하여수열의합을구한다. 이차방정식의두근의합 은근과계수의관계에의해 11) 3 [ 출제의도 ] 합성함수의정의를이해하여조건을만족시키는값을구한다. 함수 는자연수 를 로나눈나머지이므로함수 의치역은 이다. ⅰ) 인경우, 함수 이므로 합성함수 이다. 그러므로합성함수 의치역은 이다. ⅱ) 인경우, 함수 이므로 합성함수 를 로나눈나머지 이다. 그런데 가 의배수이고 의배수를 로나눈나머지는 또는 이므로 합성함수 의치역은 이다. ⅲ) 인경우, 함수 이므로 합성함수 를 로나눈나머지 이다. 그런데 는 의배수이고 의배수를 로나눈나머지는,,, 이므로합성함수 의치역은 이다. ⅳ) 인경우, 함수 이므로 합성함수 를 로나눈나머지 이다. 그런데 가항상 의배수이므로 로나눈나머지는 이다. 즉, 합성함수 의치역은 이다. 이처럼 이 의배수가아닌경우에는치역의원소의개수가 이상이다. 하지만 과같이 이 의배수인경우에는 합성함수 의치역은 이다. 따라서치역의원소의개수가 이되도록하는자연수 의최솟값은 이다. 12) 3 [ 출제의도 ] 수열의극한값을구하는방법을이해하여그값을구한다. 직선 는원점과점 을지나므로직선의방정식은 이다. 문제에서, 이므로 lim lim lim lim lim 따라서 13) 5 [ 출제의도 ] 거듭제곱근의성질을이해하여식의값을구한다. 점 Q 의 좌표는점 P 의 좌표와같다. 이므로, 의역함수는 이다. 그러므로, 따라서 14) 1 [ 출제의도 ] 수열의극한값을구하는방법을이해하여그값을구한다. 삼각형 P OQ 의넓이 은 OP P Q 이다. 점 R 은곡선위의점이고 의좌표가자연수이므로자연수 에대하여 로놓을수있다. 그런데직선 P R 의기울기가음수이므로 삼각형 P OR 의넓이가최대가되기위해서는 R 의 좌표 가 최대일때이다. 그러므로 인경우이고, 이때점 R 의좌표는 이다. 즉, 삼각형 P OR 의넓이는 OP 이다. 따라서 lim lim 10 16

11 lim 그러므로, lim lim lim 15) 2 [ 출제의도 ] 평행이동한무리함수의역함수의그래프를추측하여문제를해결한다. 이므로 이다. 따라서 17) 5 [ 출제의도 ] 절대부등식을이용하여도형의성질을추론한다. ㄱ. 삼각형 GDH 와삼각형 FCG 는직각이등변삼각형이므로각 FGH 는 직각이다. 또, 문제에서점 M 은선분 FH 의중점이므로세점 F, G, H 는중심이 M 인한원위에있다. 그러므로 FM GM 이다. ( 참 ) ㄴ. 삼각형 AEH 와삼각형 BFE 가합동이므로 AEH BEF 이고, 삼각형 EFH 는직각이등변삼각형이다. 즉, EF EH 그러므로삼각형 EFH 의넓이는 이다. 선분 EM 은삼각형 EFH 를이등분하므로삼각형 EFM 의넓이는 이다. 또한삼각형 FGH 는직각삼각형이므로넓이는 그림과같이 의값이증가하면곡선 는점 B 를지난이후에삼각형과만나지않고곡선 가점 B 를지날때 이므로 는 이다. 즉, 이면곡선 와삼각형은만나지않는다. 또, 의역함수를구하면 ( ) 이다. 의값이증가하면곡선 가점 A 를지난이후삼각형과만나지않고곡선 가점 A 를지날때 이므로 는 이다. 즉, 이면곡선 와삼각형은만나지않는다. 따라서함수 의그래프와역함수의그래프가삼각형과동시에만나도록하는실수 의최댓값은 이다. 16) 3 [ 출제의도 ] 수학적귀납법을이용하여등식을증명한다. 수학적귀납법에의한증명이므로 일때성립함을증명하고 일때성립함을가정하여 일때도성립함을증명한다. 문제에서 일때 (*) 이성립한다고가정하였으므로 ᄀ 이고삼각형 FGM 의넓이는 이다. 그러므로 ( 참 ) ㄷ. 선분 FH 는직각이등변삼각형 EFH 의빗변이므로길이는 문제에서 FH 이므로 에서 이다. 그런데삼각형 FGM 의넓이는 이고 이므로 그러므로삼각형 FGM 의넓이의최댓값은 이다. ( 참 ) 18) 1 [ 출제의도 ] 도형의성질을이용하여등비급수의합을구하는문제를해결한다. 정사각형 의한변의길이를구하기위해점 P 에서그림과같이한변의길이가 인정사각형의한변에내린수선의발을 H 이라하면, P H 이므로 P Q 이다. 또, 은 부터 까지 의합이므로 에 을합한것과같다. 즉, 그러므로 가 는 이다. 또, 등식 가 나 가 와 ᄀ에서 나 는 이때, 피타고라스의정리에의해정사각형 의한변의길이는 이다. ( 최초의정사각형의한변의길이 ) : ( 정사각형 의한변의길이 ) 11 16

12 두함수, 의그래프는그림과같다. 이므로 수열 의공비는, 정사각형 의한변의길이는 이므로 이다. 따라서 lim 19) 1 [ 출제의도 ] 함수의그래프와방정식의관계를이해하여실근의곱을구하는문제를 해결한다. 조건 ( 가 ) 에의해 이차함수 ( 는상수 ) 꼴이다. 조건 ( 나 ) 에의해 이므로 이다. 이차방정식의실근의개수가 이므로 의근도 이다. 즉, 이다. 이므로 이차함수 의꼭짓점은 이다. 을만족하기위해서는 이되어야함을그래프에서 알수있다. 그러므로 에서 이다. 따라서서로다른두실근의곱은근과계수의관계에서 이다. 20) 2 [ 출제의도 ] 절댓값의성질을활용하여수열의합을구하는문제를해결한다. 에서, 은정수이므로 이다. 은 이다. 즉, 따라서 21) 2 이다. [ 출제의도 ] 집합으로정의된부등식의성질을이용하여급수문제를해결한다. 자연수 는 일때 과 사이의수이다. 이때 이므로 이다. 그러므로 는수열 의첫째항이될수없다. 그런데 일때, 부등식 를만족시키는자연수 가존재하지않으므로 A 이다. 즉, 자연수,,, 은 일때 과 사이의 수이다. 이때 이므로 이다. 따라서,,, 은수열 의둘째항이될수없다. 그런데위그림에서 를만족시키는자연수 가 존재하지않으므로 이다. 마찬가지로자연수,,,,, 는 일때 과 사이의수이다. 이때 이므로 이다. 따라서,,,,, 는수열 의셋째항이될수없다. 그런데위그림에서 를만족시키는자연수 가 존재하지않으므로 이다. 위의과정을통해집합 를공집합이되도록하는자연수 는 또는 ( 는자연수 ) 의값임을알수있다. 그런데 ( 는자연수 ) 일때 의값은 ( 는자연수 ) 일때 의값과같고, 일때, 은자연수가 아니므로 ( 는자연수 ) 일때 인자연수를나열하면된다. 따라서 번째나열된수는 이므로 이다. [ 다른풀이 ] lim lim 를정리하면 이자연수 에대해 또는 이면부등식 의해중자연수는존재하지않으므로 가 공집합이다. 이때, ( 는 이상의자연수 ) 를만족시키는자연수 를작은 12 16

13 수부터크기순으로나열한것이수열 이다. 따라서 22) [ 출제의도 ] 로그의정의를알고진수를계산한다. 로그의정의에의해 이다. 따라서 lim 23) lim [ 출제의도 ] 시그마의정의를이해하여일반항을구한다. 이다. 27) [ 출제의도 ] 명제와진리집합의관계를이해하여두진리집합의개수를구하는문제따라서 를해결한다. 24) 에서 이므로 이므로 [ 출제의도 ] 거듭제곱근의성질을이해하여조건을만족시키는지수를구한다. 명제 가참이므로대우명제인 도참이다. 그러므로 이정수가되기위해서는 이자연수이어야하므로 에서, 에서 은 의배수이다. 은 이하의자연수이고, 이하의자연수중집합 는집합 를포함하므로가능한집합 의개수는 이다. 의배수의개수는 이다. 따라서 의개수는 이다. 25) [ 출제의도 ] 집합을이해하여부등식의해를구한다. 에서 이므로 그러므로 조건 ( 가 ) 에서 이므로 이고 이다. 또, 이고 이다. ⅰ) 인경우집합 의원소중가장작은수는 이므로 을만족시키지않는다. 그러므로 이다. ⅱ) 인경우집합 의원소중가장큰수는 이므로 을만족시키기위한 의값은 이다. 같다. 두조건을만족시키는두집합의관계를수직선위에나타내면그림과 따라서, 이므로 이다. 26) [ 출제의도 ] 꼭짓점의위치가변함에따라무게중심이수렴할좌표를추론한다. 두실수 에대해 P, Q 이라하면, 는방정식 의두근이다. 이므로이차방정식의근과계수의관계에의해 이다. 한편삼각형 OP Q 의무게중심의 좌표 ⅰ) 인경우 이므로 이다. 그러므로순서쌍 ( ) 의개수는 이다. ⅱ) 인경우 이면 이다. 이때순서쌍 ( ) 의개수는 이다. 이,, 인경우도가능한집합 의개수는각각 씩 이다. 그러므로순서쌍 ( ) 의개수는 이다. ⅲ) 인경우 이면 이다. 이때순서쌍 ( ) 의개수는 이다. 이 인경우도가능한 집합 의개수는각각 씩이다. 그러므로순서쌍 ( ) 의개수는 이다. ⅳ) 인경우 이면 이다. 이때순서쌍 ( ) 의개수는 이다. 이 인경우도가능한집합 의개수는각각 씩이다. 그러므로순서쌍 ( ) 의개수는 이다. ⅴ) 인경우 이면 이다. 이때순서쌍 ( ) 의개수는 이다. ⅰ) ⅴ) 에의해서순서쌍 ( ) 의개수는 이다. 28) [ 출제의도 ] 합성함수의성질을이해하여주어진식의미정계수의값을구하는문제 를해결한다. 합성함수 이다. 이면 합성함수 의치역이 이므로문제의치역과달라

14 이어야한다. 의꼭짓점의 좌표가음수이므로 합성함수 의치역이 이기위해서는꼭짓점의 좌표가 이다. 에서 또, 이므로 이다. 따라서 의최댓값은 이다. 에서, ± 이므로 29) [ 출제의도 ] 주어진조건을만족시키는집합의원소를구하는문제를해결한다. 에서집합 에속한 개의원소중오직 개만집합 에 속한다. 즉, 집합 의원소중집합 에속하는원소들의합의최댓값은, 최솟값은 이다. 그러므로집합 에속하지않는원소들의합은 이상 이하이다. ᄀ 에서 이고집합 의원소중집합 에속하는원소를 제외한나머지원소들의집합은 이다. ⅰ) 이집합 에포함되는경우원소의합은 이므로ᄀ을 만족시키지않는다. ⅱ) 의부분집합중세원소로이루어진집합이집합 에 포함되는경우원소의합의최솟값은, 최댓값은 이므로ᄀ을만족시키는집합은 이고 ( 다 ) 에의해 는집합 가될수있다. ⅲ) 의부분집합중두원소로이루어진집합은ᄀ을 만족시키지않는다. ⅰ) ~ ⅲ) 에의해 이고 이다. 따라서 의모든원소의곱은 이다. 30) [ 출제의도 ] 유리함수의그래프를활용하여주어진수열의합을구하는문제를해결 한다. 곡선 의그래프는그림과같다. 곡선 의그래프는점 에대해대칭이므로,,,,,, 14 16