2011 학년도수학성취도측정시험 (2011 학년도정시모집합격생대상 ) 2011 년 2 월 15 일, 고사시간 90 분 1번부터 11번까지는단답형이고, 12번부터 16번까지는서술형입니다. 답안지는깨끗한글씨로바르게작성하되, 단답형은답만쓰고, 서술형은풀이과정과답을명시하시오.

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창정 금
5 years ago
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1 20 학년도수학성취도측정시험 (20 학년도정시모집합격생대상 ) 20 년 2 월 5 일, 고사시간 90 분 번부터 번까지는단답형이고, 2번부터 6번까지는서술형입니다. 답안지는깨끗한글씨로바르게작성하되, 단답형은답만쓰고, 서술형은풀이과정과답을명시하시오. 총배점은 00점이고, 각문항의배점은, 기본문제 (-6번) 각 3점, 발전문제 (7-3번) 각 7점, 심화문제 (4번-6번) 각 점입니다. n 3 20년정시 번 lim n (n )(2n + ) 2 =. [ 풀이 ] n 3 (n )(2n+) 2 n3 4n 3 이므로극한값은 4 이다. 20 년정시 2 번함수 f(x) = x 3 + x 2 + ln x 의도함수 f (x) = 이다. [ 풀이 ] f (x) = 3x 2 2 x 3 + x. 20년정시 3번 e x ln x dx =. [ 풀이 ] 부분적분법을사용하면 [ 2 x2 lnx 4 x2] e = 4 (e2 + ). 20 년정시 4 번행렬 ( ) 의역행렬은 ( ) 이다. [ 풀이 ] 역행렬공식을이용하면 a =, a 2 = 2, a 2 = 3, a 22 = 5 임을알수있다. 20 년정시 5 번벡터 a, b 의크기가각각 a = 3, b = 4 이고, a + b = 6 이면 a b = 이다. [ 풀이 ] a + b 2 = a 2 + b 2 + 2(a b) 를이용하면 a b = 년정시 6 번좌표공간에서두점 (2,, 4) 와 (, 2, ) 을지나는직선이 xy 평면과만나 는점의좌표는이다. [ 풀이 ] 두점 (2,, 4), (, 2, ) 을지나는직선의방정식은 x 2 = y = z 4 3 이고, xy 평면과만날때의 z값은 0이므로식을풀면 x = 2/3, y = 7/3을얻는다. 따라서 xy 평면과의교점은 (2/3, 7/3, 0) 이다.

2 2 20 년정시 7 번 e x dx =. [ 풀이 ] x = t 라치환하여부분적분을이용하면원식 = 2 te t dt = 2e t (t ) + C. 따라서 e x dx = 2e x ( x ) + C 를얻을수있다. 20 년정시 8 번공간에서세점 A, B, C 가 AB = 2, AC = 3, AB AC = 을만족 시킬때, 점 A 에서선분 BC 에내린수선의발을 H 라하자. 두실수 s, t 가 를만족시키면 s =, t = 이다. AH = s AB + tac [ 풀이 ] 0 = BC AH 이므로식을풀면 s = 2t 라는관계식을얻는다. 그리고 AH 는수선의발 이므로 s + t = 을만족한다. 따라서 s = 2 3, t = 3 이다. 20년정시 9번구간 (0, ) 에서정의된함수 f(x) = 2 ln x + a x 가극댓값과극솟값 x 을모두가지도록하는실수 a 의범위는이다. [ 풀이 ] 극댓값과극솟값을모두갖기위해서는 f (x) = 0 이양의서로다른두실근을가져야 한다. f (x) = x 2 (x 2 2x + a) 이고이식의근은 x 2 2x + a = 0 의근이다. 이것이양의서 로다른두실근을갖기위해서는판별식인 a 가 0 보다커야하고두근의곱인 a 도 0 보다커야 한다. 따라서조건을만족하는 a 의범위는 0 < a < 이다. 20년정시 0번 타원 x2 4 + y2 = 과직선 x = 로둘러싸인부분중그크기가작은영 역의넓이는 이다. [ 풀이 ] 영역의넓이는2 2 x2 4 dx 이다. x = 2 sin θ로치환하여적분하면 2 2 x2 4 dx = 4 π/6 π/2 cos2 θdθ = 2 π/6 π/2 cos 2θ + dθ = 2π 이다. 20 년정시 번단위원내부 x 2 + y 2 < 에있는점들중에서, 준선이단위원 x 2 + y 2 = 에접하고초점이원점인어떤포물선에도놓여있지않은점들로이루어진영역의넓이는 이다. [ 풀이 ] 영역은중심이원점이고, 반지름이 - 포물선에서원점사이의 ( 최소 ) 거리 - 인원의내부 이다. 따라서반지름은포물선의정의에의해 2 이되고, 넓이는 π 4 가된다. 20년정시 2번좌표공간에서원점 O 와, 원 x 2 + y 2 = 9, z = 0 위를움직이는점 P 에대하여, OQ : QP = 2 : 을만족시키는점 Q 의자취의부피를구하시오.

3 [ 풀이 ] B-2번 점 P = (x 0, y 0, z 0 ) 가 x y 2 0 = 9, z = 0를만족한다고하고, 점 Q = (x, y, z) 가주어진조건 을만족한다고하자. 그러면, OQ : OP = 2 : 2 (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 + z 2 = x 2 + y 2 + z 2 = 4((x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 + z 2 ) = x 2 + y 2 + z 2 (x 4 3 x 0) 2 + (y 4 3 y 0) 2 + z 2 = 2 2 를얻는다. 그래서, Q의자취는중심이 ( 4 3 x 0, 4 3 y 0, 0) 이고, 반지름이 2인구면임을알수가있 다. 이때, 이구면의중심과원점간의거리를구해보면 ( 4 3 x 0) 2 + ( 4 3 y 0) 2 = 6 9 (x y 2 0 ) = 4 2 이 므로, 4이다. 3 한편, 점 P 가곡선 x 2 + y 2 = 9, z = 0를따라연속적으로이동함에따라생성되는 Q의자취들을모두모으면속이꽉찬도너츠모양임을알수있다. 이도너츠구멍의중심은원점이고, 반지름이 2인원판을움직일때, 원판의중심과원점과의거리는 4이므로, 이도너츠의부피는 [ 원판의넓이 원판의중심이그리는원의길이 ] 이므로, 4π (2 4π) = 32π 2 를얻는다. [ 채점기준 ]. 바른논리적전개를통해답을얻은경우는 7점. 2. 답은얻었으나풀이과정이부실한경우는 5점. 3. 자취가도너츠형태임을알고, 원판의반지름과회전시킬때의반지름을맞았으나부피계산이틀린경우는 4점. 4. 자취가도너츠형태임을알지만원판의반지름이나회전시킬때의반지름이틀린경우는 2점. 5. 자취가도너츠형태임을알지못한경우는 0점. 6. 자취를추론할때, 구면을회전시키지않고원을회전시켜도너츠형태임을알게된경우는총점에서 점감점. [ 채점소감 ] 문제에서요구하는답을구하기위해꼭필요한요소들을명확히적어두지않은풀이들은자신이실제로알고있더라도좋은점수를받기힘들다는것을알아야합니다. 또한, 단순한그림으로만모든것을설명하려는풀이들이많이있었는데, 어떻게그그림을얻었는지와그것이의미하는바를정확히서술하지않으면감점요인이된다는것을알아야합니다. 마지막으로, 문제를단순한식을세워푸는것을떠나서, 이문제가의미하는바와기하학적으로어떤의미를가지는지를한번더생각해보면, 좋은답을얻는데도움이될것이라고생각합니다. 20년정시 3번양수 x 에대하여적분 x 0 t sin t dt 의값을 f(x) 로두면, 모든자연수 k 에대하여방정식 f(x) = 0 이구간 (kπ, (k + )π) 에서적어도하나의실근을가짐을보이시 오.

4 4 [ 풀이 ] f(x) = x 0 tsintdt = xcosx + sinx. ( 부분적분적용 ) f(kπ) = kπcos(kπ), f((k + )π) = (k + )πcos((k + )π) 이므로 f(kπ)f((k + )π) = k(k + )π 2 cos(kπ)cos((k + )π). k는자연수이고, 모든 k에대해 cos(kπ)cos((k + )π) = 이므로, f(kπ)f((k + )π) < 0 () 이성립한다. f가 [kπ, (k + )π](k : 자연수 ) 에서연속이고, () 이성립하므로중간값정리에의해 f의실근이 (kπ, (k + )π) 상에적어도하나존재한다. [ 채점기준 ] 감점된경우 - k 에대해귀납법사용할때틀린경우. - 중간값정리에대한조건안쓴경우. - () 에대한수학적근거가명확하지않은경우. - 계산실수 [ 채점소감 ] 정리를적용할때, 정리가성립하기위한조건을명확히명시하지않은경우가많 았고, 귀납법을제대로증명하는학생이별로없었다. 문제를풀때수학적으로명확한근거를 제시하는습관이요구되고, 명제가일반적으로성립함을보이는훈련도필요하다고느꼈다. 20 년정시 4 번좌표공간에서구면 x 2 + y 2 + z 2 = 과평면 x + 2y + z = 0 의공통 부분은원이다. 이원위의점 P 와점 A(0, 0, 2) 사이의거리의제곱 P A 2 의최솟값, 최댓값 을구하시오. [ 풀이 ] 마지막페이지에첨부되어있음. [ 채점기준 ] [ 채점소감 ] 20 년정시 5 번실수 a, b, c, d 에대하여부등식 ln(e a + e b ) ln(e c + e d ) max{ a c, b d } 을증명하시오. ( 여기에서 max{α, β} 는두수 α, β 중작지않은수를뜻한다.) [ 풀이 ] α = max ( a c, b d ) 라하자. e a + e b e c + e d = ea c eb d + + ed c e c d + e α + e d c + e α e c d + = eα ()

5 5 따라서 ln(e a + e b ) ln(e c + e d ) α. e c + e d e a + e b = 따라서 ln(e c + e d ) ln(e a + e b ) α. ec a ed b + + eb a e a b + e α + e b a + e α e a b + = eα (2) 위의두부등식 (),(2) 에의해, ln(e a + e b ) ln(e c + e d ) max ( a c, b d ). ( 별해 ) f(t) = ln(e c+t(a c) + e d+t(b d) ) 라하자. 미적분학의기본정리에의하여다음이성립한다. ln(e a + e b ) ln(e c + e d ) = f() f(0) = = 0 f (t)dt 0 f (t) dt (a c)ec+t(a c) + (b d)e d+t(b d) 0 e c+t(a c) + e d+t(b d) dt max ( a c, b d ) [ 채점기준 ] 문제의난이도가높아부분점수를받은경우조차거의없었습니다. 단, a, b, c, d 의 범위를나누어풀이를시도하였으나모든경우에대해정확하게증명하지못한경우는 5 점만 받을수있었습니다. [ 채점소감 ] 부분의학생이정확하게풀이하지못한문제입니다. a, b, c, d 의범위를나누어풀 이한경우극히간단한경우만다루었으며, a 가가장큰수임을가정하자 등일반적이지않은 가정을하여문제를접근한경우도많았습니다. 특히, a c b d 일때 ea +e b e a c 임을이 e c +e d 용하는등자명하지않은사실을정확한증명없이이용한학생들이많이볼수있였습니다. 20 년정시 6 번행렬 ( (x + y)p p p (x y)( p) ) 가 x 2 y 2 = 인모든실수 x, y ( 단, x = ) 에대하여역행렬을가지도록하는실수 p 의값 을모두구하시오. [ 풀이 ] 2 2행렬의역행렬이존재한다는것의필요충분조건은행렬식이 0이아닌것이므로, 이를수식으로표현하면 ((x + y)p )((x y)( p) ) p( p) = 0. 이된다. 이를정리하면, 2py x + y + = 0

6 6 이된다. x = 일때를제외했을때 x 2 y 2 = 과 2py x + y + = 0 을항상만족하는 p 를찾아야한다. 다시말해서, 2py x + y + = 0 과 x 2 y 2 = 해가 x =, y = 0 뿐인 p 를찾아야한다. 2py x + y + = 0 을 x 에대해정리하여 x 2 y 2 = 에대입하면, (( 2p)y + ) 2 y 2 = (4p 2 4p)y 2 + 2( 2p)y = 0 이된다. 이로부터 y = 0인해를갖는 p는 0, 또는 2밖엔없다. 이 p들을 2py x + y + = 0 에대입하면, y = x y = x + x = p = 0 인경우 p = 인경우 p = 2 인경우 이므로, 모든경우에 y = 0 인경우 x = 임을확인할수있다. 그러므로, x 2 y 2 = 인모든 실수 x, y( 단,x = ) 에대해주어진행렬이역행렬을갖는 p 는모두 0,, 2 이다. [ 채점기준 ] 2 2 행렬의역행렬이존재한다는것의필요충분조건은행렬식이 0 이아닌것을 알고있는지여부를확인하였고, 또한주어진행렬의행렬식이 0 이아니면서 x 2 y 2 = 을만 족하도록하는 p 를구할때명확한이유를제시하여구하였는지확인하는데중점을두었다. 답 과이유는맞았으나 p = 0,, 2만가능하다는것을보이지않은경우감점하였다. [ 채점소감 ] 몇몇학생들의풀이에서명확히이유를밝히지않고, 대충그림을그려서설명하거 나유추하여답만쓴경우를볼수있었다. 또한많은신입생들이서술형답안을쓰는것이익 숙하지않다는것을알게되었다. 실제로본인이정확히알고있다고하더라도채점자가풀이 를알아볼수없도록쓰면원하는점수를받을수없으므로학생들에게평소에문제를풀때최 대한자세하고명확하게풀이를쓰는연습을하라고전하고싶다.

7 20 년수학성취도측정시험모범답안 / 채점기준 / 채점소감 (20 학년도정시모집합격자대상 ) 20 년 2 월 5 일, 고사시간 90 분 [ 모범답안 ] C-4. 구면과평면의공통부분을원 O 라하고, 그중심을 C 라하자. 그리고점 A 에 서평면에내린수선의발을 H, 직선 CH 와원 O 와의 교점을각각 P, P 2 라하자. ( 단, H 에가까운쪽을 P 이라둔다.) 그러면 AH 2 의최솟값과최댓값은각각 P A, P 2 A 임을알수있다. C와 H의좌표는각각 ( 6, 3, 6 ),( 2,, 3 2 ) 이고 5 원 O의반지름의길이 r은 6 이므로 P A = AH 2 + (CH r) 2 = 7 3 P 2 A = AH 2 + (CH + r) 2 = 9

8 ( 별해 ) P = (a, b, c) 라놓자. 그러면 P A 2 = a 2 + b 2 + (c + 2) 2 = a 2 + b 2 + c 2 + 4c + 4 = 5 + 4c 이다. 따라서 c 의범위만구하면충분하다. 그런데 a 2 + b 2 + c 2 = 이므로, a 2 + b 2 = c 2 a + 2b + c = 0 이므로, a + 2b = c By.Cauchy-Schwarz s inequality ( )(a 2 + b 2 ) (a + 2b) 2 5( c 2 ) ( c) 2 0 3c 2 c 2 = (c )(3c + 2) 2 3 c 7 3 4c [ 채점기준 ] 감점된경우 - 점 A와점 P 2 를잇는직선이원점을지난다는사실을바로쓴경우점수를다받지못하였음. - 서술형문항의특성상풀이에대한설명이지나치게적은경우점수를다받지못하였음. - 계산실수 [ 채점소감 ] 꽤많은학생들이직선 P 2 A위에원점이있다고생각했다. 운이좋게도이문제에선그렇게생각하고구해도답이일치하고, 실제로이직선이원점을품고있다. 하지만일반적으로맞는명제가아니기때문에, 위와같은논리로답을구한학생을감점을하였다. 대부분의학생들이그림을잘그려, 모범답안과비슷한과정으로답을잘구했다. 특히소수의학생들은코시슈바르 2

9 츠부등식을잘이용하여문제를풀었다. 최댓최솟값을제대로구한학생들 은많았지만, 만점을받은학생은많지않았다. 서술형문제의답안을작성하 는데, 좀더신경써야할것이다. 3

2013 학년도수학성취도측정시험 (2013학년도수시모집및외국인특별전형합격자대상 ) 2012년 12월 18일, 고사시간 90분 1번부터 11번까지는단답형이고, 12번부터 16번까지는서술형입니다. 답안지는깨끗한글씨로바르게작성하되, 단답형은답만쓰고, 서술형은풀이과정과답을명시

2013 학년도수학성취도측정시험 (2013학년도수시모집및외국인특별전형합격자대상 ) 2012년 12월 18일, 고사시간 90분 1번부터 11번까지는단답형이고, 12번부터 16번까지는서술형입니다. 답안지는깨끗한글씨로바르게작성하되, 단답형은답만쓰고, 서술형은풀이과정과답을명시 학년도수학성취도측정시험 (학년도수시모집및외국인특별전형합격자대상 년 월 8일, 고사시간 9분 번부터 번까지는단답형이고, 번부터 번까지는서술형입니다. 답안지는깨끗한글씨로바르게작성하되, 단답형은답만쓰고, 서술형은풀이과정과답을명시하시오. 총배점은 점이고, 각문항의배점은, 기본문제 (-번 각 점, 발전문제 (7-번 각 7점, 심화문제 (4번-번 각 점입니다. x x