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1 수험경제학 동국대학교 교수이시영 이교과목은교육과학기술부국고지원금으로개발되었습니다.

2 제 10 장 생산함수와생산자균형

3 학습목표 단기생산함수에대해이해한다. 생산의장기분석을안다. 실증적생산함수에대해이해한다.

4 학습순서 단기생산함수 생산의장기분석 실증적생산함수

5 10-1. 단기생산함수 (1) 생산함수 (production function) 의정의 : 생산요소투입량 (input) 에따른생산물산출량 (output) 사이의기술적관계. 생산요소로서자본 K 와노동 L 만있다고가정할때생산함수는다음과같이나타낸다. (2) 단기의생산함수 : 단기란생산요소중에서불변적 ( 변할수없는 ) 생산요소가존재하는경우를뜻한다. 불변요소인자본의투입량이이고노동 L 만이가변요소인경우에단기생산함수를노동의총생산물 (total product of labor, TPL) 이라한다.

6 (3) 노동의평균생산물 (average product, AP L ) 과 한계생산물 (marginal product, MP L )

7 (4) 총생산물과평균생산물, 한계생산물의관계 : 총생산물곡선은 [ 그림 10-1] 에서보는것과같이대체로종 ( 鐘 ) 모양이다. 노동투입량이 L=L 0 일때 AP L 은각 θ 의탄젠트 (tangent) 값이므로각 θ 가커질수록점점커진다. 따라서 θ 의빗변이 TP L 과접하는 L 1 에서 AP L 이가장커지고 L 1 보다노동투입량이증가하면 AP L 이감소한다. 그리고 MP L 은 TP L 의기울기이므로기울기가증감이바뀌는변곡점까지 MP L 이증가하다가이후에는감소하며, AP L 이극대가되는점에서 AP L =MP L 이된다.

8 (5) 생산의 3단계 : 한계생산물의크기에따라생산을다음과같이 3단계로구분한다. 1 생산의 Ⅰ단계 : 원점에서 AP L 이극대가되는점까지의영역으로서, 노동의한계생산물은양 (+) 이지만자본의한계생산물은음 (-) 이되는구간. 2 생산의 Ⅱ단계 : AP L 이극대인점과 MP L 이 0인점사이의영역으로서, 노동의한계생산물과자본의한계생산물이모두양 (+) 인구간이므로생산의경제적영역. 3 생산의 Ⅲ단계 : MP L 은음 (-) 이지만자본의한계생산물은양 (+) 인구간.

9 퀴즈문제 ( 정답 4) 수확체감의법칙이작용하고있을때가변생산요소의투입이한단위더증가하면?(2002 감평 ) 1 총생산물은반드시감소한다. 2 평균생산물은반드시감소하지만총생산물은증가할수도 있고감소할수도있다. 3 한계생산물은반드시감소하지만총생산물과평균생산물은 반드시증가한다. 4 한계생산물은반드시감소하지만총생산물과평균생산물은 증가할수도있고감소할수도있다. 5 한계생산물이마이너스가된다.

10 10-2. 생산의장기분석 (1) 등생산량곡선 ⅰ. 등생산량곡선 (isoquant) 의정의 : 장기에서는노동뿐만아니라자본도가변적이므로두생산요소의변동을동시에고려해야한다. 일정한생산량 Q 0 을얻기위한두생산요소인노동 L과자본 K의결합비율들을연결한곡선으로서, 등량곡선또는생산무차별곡선 (production indifference curve) 이라고도한다. 등생산량곡선 : Q 0 =f(l, K)

11 ⅱ. 등생산량곡선의성질 : 등생산량곡선은무차별곡선과거의유사한성질을가진다. 1 두생산요소 L 과 K 의한계생산물이모두양인범위내에서는음의기울기를갖는다. [ 그림 10-2] 에서구간 Ⅰ 은 K 의한계생산물이음이며구간 Ⅲ 은 L 의한계생산물이음인영역인데, 이것은 [ 그림 10-1] 에서생산을세단계로구분하는것과이론적으로동일하다. 등생산량곡선의기울기가음인생산의 Ⅱ 단계에서는두생산요소의한계생산물이모두양이다. 그리고 Ⅰ, Ⅱ, Ⅲ 구간의경계선을분계선 (ridge lines) 이라한다.

12 2 서로다른생산량의두등생산량곡선은절대교차하지않는다. 3 원점으로부터멀리위치하는등생산량곡선일수록더많은생산량을나타낸다. [ 그림 10-2] 에서등생산량곡선 c 는 b 보다, b 는 a 보다높은생산량을나타낸다. 4 등생산량곡선은원점에대해볼록하다.

13 (2) 기술적한계대체율 ⅰ. 기술적한계대체율 (marginal rate of technical substitution, MRTS LK ) 의정의 : 노동 L 을한단위더고용할때동일한생산량을유지하기위해줄여야하는자본 K 의양. 즉, 이는등생산량곡선기울기의절대치이다. 등생산량곡선이원점에대해볼록하다는것은노동 L 의고용량이증가할수록 MRTS LK 는감소한다는것을뜻한다.

14 ⅱ. 기술적한계대체율과한계생산물의관계 : 노동 L 의고용량을 ΔL 만큼늘리면생산량은 ΔL MP L ( 노동의한계생산물 ) 만큼증가하며, 자본 K 의고용량을 ΔK 만큼줄이면생산량은 ΔK MP K ( 자본의한계생산물 ) 만큼감소한다. 따라서노동과자본의고용량을각각 ΔL 과 ΔK 만큼늘리고줄여서생산량을동일하게유지하려면, ΔL MP L +ΔK MP K =0. 이식을정리하면,

15 (3) 등비용선 (isocost) : 일정한비용을모두지출하여구입할수있는두생산요소의배합점을모두연결한선으로서, 등비선이라고도한다. 생산요소시장에서노동 L 과자본 K 의가격이각각 P L 과 P K 이며기업의총비용이 C 0 이라면, 등비용선은 C 0 =P L L+P K K

16 (4) 생산자균형 (producer's equilibrium) : 주어진비용하에서생산량을최대로하는생산요소의배합. 아래 [ 그림 10-4] 에서보는것과같이생산자가 A 또는 B 와같은생산요소의배합을선택한다면비용 C 0 을모두지출하여 Q 0 만큼의생산량밖에는얻을수없으나, E 의생산요소배합을선택한다면상대적으로더높은 Q 1 을생산할수있다.

17 (4) 따라서주어진비용 C 0 로최대의생산량을얻는방법은주어진등비용선과등생량곡선이접하는점의생산요소배합을선택하는것이다. 즉, 등비용선과등생산량곡선의기울기가같은점 E 가생산자균형이므로생산자균형의조건은

18 (5) 확장선 (extension line, expansion path) : 총비용이증가하면등비용선은우측으로이동하는데, 이에따라생산자균형도이동한다. 이와같이총비용의변화에따라이동하는생산자균형을연결한궤적을확장선이라고하며, 규모선 (scale line) 이라고도한다.

19 (6) 기술진보 (technical progress) : 동일한양의생산요소를투입하여더많이생산하거나생산요소를종전보다적게투입하여동일한생산량을얻을수있게하는기술의변화. 따라서기술진보가발생하면, 등생산량곡선이원점의방향으로이동한다. 1 중립적기술진보 2 자본집약적기술진보 3 노동집약적기술진보

20 ⅰ. 중립적 (neutral) 기술진보 : [ 그림 10-6] 과같이기술진보가일어나서등생산량곡선이 Q 0 에서 Q 1 로이동하여생산자균형이 E 0 에서 E 1 로이동하더라도생산요소노동 L 과자본 K 의결합비율이동일하게유지되는기술진보.

21 ⅱ. 자본집약적 (capital intensive) 기술진보 : [ 그림 10-7] 과같이기술진보가일어나서등생산량곡선이 Q 0 에서 Q 1 로이동하여생산자균형이 E 0 에서 E 1 로이동하면노동과자본의결합비율 K/L 이증가하는기술진보. 노동절약적 (labor saving) 기술진보라고도한다.

22 ⅲ. 노동집약적 (labor intensive) 기술진보 : [ 그림 10-8] 과같이기술진보가일어나서등생산량곡선이 Q 0 에서 Q 1 로이동하여생산자균형이 E 0 에서 E 1 로이동하면노동과자본의결합비율 K/L 이감소하는기술진보. 자본절약적 (capital saving) 기술진보라고도한다.

23 10-3. 실증적생산함수 (1) 동차생산함수 (homogeneous production function) : 생산요소의투입을모두 λ배증가시킬때생산량이 λ k 배증가하면, 생산함수 Q=f(L, K) 를 k차동차생산함수라한다. f(λl, λk)=λ k f(l, K) k>1 : 규모의경제 k=1 : 규모에대한수확불변 k<1 : 규모의비경제

24 (2) 요소간대체탄력성 (elasticity of substitution) : 생산요소의대체의정도를측정하는계수로서, 값이클수록생산요소간대체가상대적으로용이하다. 요소간대체탄력성은노동과자본의기술적한계대체율 MRTS LK 의변화율 ΔMRTS LK /MRTS LK 에대한생산요소결합비율 K/L 의변화율 Δ(K/L)/(K/L) 로정의된다. 즉, 요소간대체탄력성 δ 는

25 [ 그림 10-9] 의 a 와같이 δ=0 이면생산요소간의대체가전혀이루어질수없기때문에등생산량곡선이 L 자형이고, b 와같이 δ= 이면두생산요소가완전대체재인경우로서등량곡선은직선이다.

26 (3) 실증적생산함수 ⅰ. 레온티에프생산함수 (Leontief production function) : 두생산요소가완전보완재이기때문에대체가불가능한경우 (δ=0) 의생산함수. 구체적인함수형태는다음과같은데, 여기서 α 와 β 는상수이며, min(x, y) 는 x 와 y 중에서작은것이값이되는함수이다. 레온티에프생산함수의등량곡선은앞의 [ 그림 10-9] 의 a 와같다. ⅱ. 콥 - 더글라스 (Cobb-Douglas) 생산함수 : 1934 년에콥 (C. W. Cobb) 과더글러스 (P. H. Douglas) 에의해발표된최초의실증적생산함수. 이생산함수는 1 차동차이며요소간대체탄력성은 1 이다. Q=AL α K 1-α (0<α<1)

27 ⅲ. 고정대체탄력성 (constant-elasticity-of-substitution, CES) 생산함수 : 에로우 (K. J. Arrow) 와솔로우 (R. M. Solow) 등의학자들이발표한실증적생산함수. 1 차동차함수이며요소간대체탄력성은 δ=1/(1+ρ) 로서항상일정한값을갖는다. Q=A[αL -ρ +(1-α)K -ρ ] -1/ρ (0<α<1, ρ>-1) ⅵ. 가변대체탄력성 (variable-elasticity-of-substitution. VES) 생산함수 : 레반카 (N. S. Revankar) 에의해 1970 년대에발표되었으며, 자본과노동의결합비율 K/L 이변함에따라요소간대체탄력성도변한다는가정하에서도출된생산함수. Q=AK α(1-ρσ) [L+(σ-1)K] αρσ (A>0, α>0, 0<ρ<1, 0 ρσ 1)

28 퀴즈문제 ( 정답 5) 노동 L 과자본 K 를투입하여생산하는어떤재화의생산함수가 Q=αL+βK 라면, 다음중에서옳지않은말은? 단, 여기에서 α 와 β 는양의상수이다. 1 생산요소의결합비율에관계없이기술적한계대체율이항상일정하다. 2 1 차동차생산함수이다. 3 노동과자본이완전보완재인경우이다. 4 한가지생산요소만을계속적으로증가시키더라도생산량은지속적으로증가한다. 5 α+β>1 이면, 이재화의생산에는규모의경제가작용한다.

29 문제풀이

30 10-1. 풀이 : 노동투입량이 20 에서 30 으로 10 단위증가할때생산량은 100 에서 180 으로 80 증가하였다. 그러므로노동투입량이한단위더증가할때생산량의증가분을의미하는노동의한계생산물은 MP L =80/10=8 이다. 그리고노동의평균생산물은 AP L =Q/L=180/30=6 이다.

31 10-2. 풀이 : AP L 이극대가되어 AP L =MP L 이되는점으로부터 MP L 이 0이되는점까지의 Ⅱ단계영역이생산의경제적영역이다. 그러므로다음의표에따르면, 노동투입량의경제적영역은 40 70이다. 노동 생산량 MP L AP L

32 10-3. 풀이 : L=16 과 K=9 일때생산량은 Q=24L 0.5 K 0.5 = =288 이다. 그러므로노동의평균생산물은 AP L =Q/L=288 16=18 이다. 그리고 Q 를 L 에대해편미분하면 MP L = Q/ L=12L -0.5 K 0.5 이다. 그러므로 L=16 과 K=9 일때 MP L = Q/ L=12L -0.5 K 0.5 =12 (1/ ) =12 (1/4) 3=9 이다.

33 10-5. 풀이 : : Lagrange 함수 F(L, K, λ)=l 0.6 K 0.4 +λ(100-5l-10k) 를 K, L, λ 에대해편미분하여 0 으로두면 1 과 2 식을정리하면, 4 식에서 λ 를소거하고정리하면, 6K=2L 이다. 이를 3 식과연립하여풀면, L=12 와 K=4 이다. 즉, 노동 12 단위와자본 4 단위를투입하면생산량이극대화된다.

34 10-7. 풀이 : 생산의극대화조건은 MP L /MP K =P L /P K 인데, 이를변형하면 이를한계생산물균등의법칙 (law of equal marginal products) 이라한다. 그런데문제에서 MP L =20, MP K =40, P L =4, P K =6 이므로 MP L /P L =20/4<40/6=MP K /P K 이다. 따라서단기에서기업은가변요소의한계생산물만변화시킬수있으므로생산의 Ⅱ 단계에서한계생산물균등의법칙을만족하기위해서는노동투입량을감소시켜서 MP L 을증가시켜야한다. 소비자이론에서한계효용균등의법칙이생산이론에서한계생산물균등의법칙에대응하는개념이라할수있다.

35 10-9. 풀이 : 노동과자본의가격이 P L 과 P K 이고총비용이 C 0 이면등비용선은 C 0 =P L L+P K K 이다. 등비용선의기울기가 - P L /P K 이므로노동의가격인임금이상승하면기울기는더급하게된다. 따라서확장선도기울기가커진다.

36 풀이 : a 는자본과노동의결합비율 K/L( 이를노동장비율이라함 ) 이 6/10 에서 5/5 로증가하고노동과자본의투입량이모두감소하였으므로자본집약적 ( 노동절약적 ) 기술진보이다. 그리고 c 는 K/L 이 6/10 에서 3/8 로증가하고노동과자본의투입량이모두감소하였으므로노동집약적 ( 자본절약적 ) 기술진보이다. 그러나 b 는과거에비해노동투입은감소하였으나자본투입은증가하였으므로기술진보가있었는지판단할수없는경우이다. 즉, 지금의등생산량곡선이과거에비해원점쪽으로더접근하였다는확실한근거가없다.

37 풀이 : K/L=k 와 MRTS LK =S 라두면, 요소간대체탄력성 δ 는 생산함수가 Q=AL α K β 일때 MP L =αal α-1 K β 와 MP K =βal α K β-1 이다. 그런데 S=MRTS LK =MP L /MP K 이다. 그러므로 S=(α/β)(K/L)=(α/β)k 이다. 따라서 ds/dk=α/β 이다. 이에따르면 δ 는 따라서생산함수가 Q=AL α K β 일때요소간대체탄력성은항상 δ=1 이다.

38 풀이 : CES 생산함수 Q=A[αL -ρ +(1-α)K -ρ ] -1/ρ 에서요소간대체탄력성은 δ=1/(1+ρ) 이다. 문제의생산함수는 ρ=0.5 인경우이므로 δ=1/(1+0.5)=2/3 이다.

39 10C-2. 풀이 : 노동자 10 명을고용한경우의평균생산물이 20 단위이므로총생산물은 20 단위 10 명 =200 단위이다. 노동자 1 명을더고용했을때평균생산물이 19 단위이므로총생산물은 19 단위 11 명 =209 단위이다. 그러므로 11 번째노동자의한계생산물은 =9 단위이다.

40 학습정리 총생산물, 평균생산물, 한계생산물 조업의 3단계 등량곡선과예산선 생산자균형 Leontief생산함수, Cobb-Douglass 생산함수, CES생산함수, VES생산함수

1 경제학기출문제의달인 생산자이론 2008 CPA 10. 어떤기업의생산함수는 이다. 여기에서 는생산량, 은노동투입량, 그리고 는자본투입량을나타낸다. 노동의단위당임금이 300, 자본의단위당임대료가 500 인경우이 기업

http://blog.daum.net/ecomania 1 경제학기출문제의달인 생산자이론 2008 CPA 10. 어떤기업의생산함수는 이다. 여기에서 는생산량, 은노동투입량, 그리고 는자본투입량을나타낸다. 노동의단위당임금이 300, 자본의단위당임대료가 500 인경우이 기업의비용함수 로알맞은것은? 1 2 3 4 5 11. 어떤기업이전력 (E) 과노동 (L) 을투입하여일정한양의제품을생산한다.