Control Engineering Tutorial Analysis of control system in frequency domain 개요 이장에서는보데선도를이용하여주파수영역에서제어시스템을해석하고설계하는방법을다룬다. 우선보데선도의기본작성법을익히고이선도로부터시스템의주파

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1 Control Engineering Tutorial Analysis of control system in frequency domain 개요 이장에서는보데선도를이용하여주파수영역에서제어시스템을해석하고설계하는방법을다룬다. 우선보데선도의기본작성법을익히고이선도로부터시스템의주파수영역특성과상대안정성을분석하는방법과이선도를컴퓨터꾸러미를활용하여그리는방법을익힐것이다. 그리고이주파수응답해석법을활용하여대상시스템의주파수응답특성을보상하는장치인보상기 (compensator) 를주파수영역에서설계하는방법을다룬다. 여기서보상기란대상시스템의위상특성의일부를적절히바꾸기위해추가되는장치를일컬으며, 미리설정된안정성과성능목표를달성하기위해시스템전체의특성을고려하여설계되는제어기와구별된다. ) 보데선도 (Bode diagram) 는주파수응답을크기응답과위상응답으로분리하여두개의그림표로나타낸것이다. 두개의그림표모두가로축은주파수에대한대수눈금을쓰며, 세로축은크기응답에서는크기를데시벨 [db] 로나타내는대수눈금을, 위상응답에서는위상각을각도단위도 [ ] 로나타내는선형눈금을쓴다. 2) 직렬연결된시스템들의보데선도는각부시스템의보데선도를더하는꼴로구해지기때문에 주파수응답을나타내기가쉬우며, 간단한시스템에대해서는필산으로계산하여손으로그릴수 도있다. 3) 그러나시스템이복잡한경우에는보데선도를필산으로그리기에는번거로울뿐만아니라전달함수의극점이나영점이서로가까이있으면계산오차도커진다. 따라서이경우에는컴퓨터를활용하는것이좋다. 셈툴꾸러미에는일반적인전달함수에대해서보데선도를쉽게그릴수있는명령어가제공된다. 4) 주파수영역에서제어시스템을설계하면설계과정이나변수에약간의오차가있더라도제어시 스템의성능이웬만큼보장되기때문에시간영역에서설계하는것에비해상당히견실한제어시 스템을구성할수있다. 5) 안정성여유 (stability margin) 는개로시스템모델의불확실성에대해서폐로시스템이안정한정도를나타내는상대적지표로서상대안정성 (relative stability) 이라고도부른다. 개로시스템모델에서위상은변하지않고이득만이변할때폐로안정성을유지할수있는이득변화성분의최대값을이득여유 (gain margin), 이득은변하지않고위상만이변할때폐로안정성을유지할수있는위상변화성분의최대값을위상여유 (phase margin) 라고한다. 바람직한안정성여유는이득여유가 6[dB] 이상이고위상여유가30~60[ ] 이다.

2 6) 앞섬 ( 뒤짐 ) 보상기는대상시스템의위상을적절히앞서도록 ( 뒤지도록 ) 보상하는장치로서각각 차의전달함수로표시된다. 이보상기들은따로쓰이거나또는주파수역을달리하여함께쓰이 기도하며, 함께사용할경우에는 2 차전달함수로표시된다. 7) 앞섬보상기는시스템의상승시간을빠르게하고대역폭을증가시키는등과도응답특성을개선시킨다. 반면에뒤짐보상기는시스템의정상상태오차를줄이는등정상상태응답특성을개선시키지만상승시간이나정착시간이느려진다. 앞섬 / 뒤짐보상기는과도응답과정상상태응답특성을함께개선시키기위해쓰인다. 이장에서다루는보데선도를이용한제어기설계법에서는설계목표로서 4.5.절의 ), 2), 3) 에해당하는안정성과성능및견실안정성까지고려한다. 보데선도에서는안정성여유인이득여유와위상여유를쉽게구할수있기때문에이선도를이용한설계법에서는견실안정성을고려할수있는것이다. 목차. 보데선도법 2. 보데선도작성법 3. CEMTool에서의보데선도관련함수 4. 안정도여유의정의 5. 안정도여유의계산 6. 시간영역특성계수와의관계 7. 앞섬뒤짐보상기 8. 앞섬보상기의특성 9. 뒤짐보상기의특성 0. 보데선도를이용한보상기설계. 뒤짐보상기설계 2. 앞섬 / 뒤짐보상기설계 3. 근궤적을이용한보상기설계 4. 요점정리 5. 참고문헌 보데선도법 보데선도 (Bode diagram) 는 942 년 H.W. Bode 에의해개발된기법으로서주파수응답을크기응답 과위상응답으로분리하여각각그림표로써나타낸다. 두개의응답그림표에서가로축은모두주 파수에대한대수눈금을쓰며, 세로축은크기응답에서는크기를데시벨 [db] 로나타내는대수눈금 2

3 을, 위상응답에서는위상각을각도단위 [ ] 로나타내는선형눈금을쓴다. 보데선도에서는크기응답에데시벨표현법을쓰기때문에전달함수가각각 G ( jw ), G ( jw ) 2 G( jw) = G ( jw) G ( jw) 의크기응답은 인두시스템이직렬연결된경우의전체전달함수 2 다음에서알수있듯이각시스템의크기응답을더한것과같다 : G = 20log G( jw) = 20log G ( jw) G ( jw) db db 2dB 2 2 = 20log G ( jw) + 20log G ( jw) = G + G 또한, 직렬연결시스템의위상응답도선형시스템의일반적인성질로부터다음과같이각시스템 의위상응답의합과같다 : Ð G( jw) = Ð G ( jw) G ( jw) = Ð G ( jw) + Ð G ( jw) 2 2 따라서직렬연결시스템의보데선도는각시스템의보데선도를더한것과같다. 보데선도를써서 주파수응답을나타낼때의장점은다음과같이요약할수있다 : ) 직렬연결된시스템들의보데선도는각부시스템의보데선도를더하는꼴로구해지기때문에주파수응답을나타내기가쉬우며, 간단한시스템에대해서는필산으로계산하여손으로그릴수도있다. 2) 보데선도에서는대수눈금을써서주파수를나타내기때문에아주넓은주파수범위에걸쳐서주파수응답을나타낼수있다. 3) 주파수영역에서제어시스템을설계하면설계변수에오차가있더라도제어시스템의성능이웬만큼보장되기때문에시간영역에서설계하는것에비해상당히견실한시스템을구성할수있다. 4) 보데선도는개로전달함수의주파수응답을나타낸것이지만이로부터폐로시스템의주파수응답특성을알아낼수있다. 그러면보데선도를그리는방법에대해알아보기로한다. 우선간단한기본적인인수에대한보 데선도를작성하고, 이인수들로구성되는전달함수에대한보데선도작성법을정리한다. 그리고 셈툴꾸러미를활용하여보데선도를그리는방법을다루기로한다. 보데선도작성법 보데선도의성질에의하면, 어떤인수들의곱의꼴로이루어지는전달함수에대한보데선도는각 인수들의보데선도들의합으로구할수있다. 따라서기본적인인수들의보데선도를알면이로부 터일반적인전달함수의보데선도를작성할수있다. 전달함수의기본적인인수로는 ` 상수항 ', ` 차 3

4 인수 ', `2 차인수 ' 따위가있으므로이인수들에대한보데선도를구해보기로한다. ) 상수항 G( jw) = K 의경우 크기는 20log K [db], 위상은 K > 0 일때 0 [ ], K < 0 일때 80 [ ] 이므로보데선 도는 < 그림 7.> 과같다. num = [0]; den = []; w = logspace(-0.5,3,00); bode(num,den,w); hold on; bode(-num,den,w); < 그림 7.> 상수인수의보데선도 4

5 2) 차인수 G( jw) jwt = 의경우 크기는 GdB = -20log wt [db] 이므로, 주파수 w 가 0배씩증가할때 -20 [db] 의비 j 율로감소하며, wt = 일때 G db = 0 [db] 을알수있다. 그리고 G( jw) = - 이므 wt 로위상은 j ( w) = - 90 [ ] 이다. 따라서이경우에보데선도는 < 그림7.2> 와같다. G( jw) = jwt 의경우에는크기가 GdB = 20log wt [db] 이므로주파수 w 가 0배가될때마다 20 [db] 의비율로증가하며, 위상은 j ( w) = 90 [ ] 이므로, 대응하는보데선도는 < 그림 7.2> 를가로축에대해대칭이동한것과같다. num = []; den = [0. 0]; w = logspace(-0.5,3,00); bode(num,den,w); 5

6 < 그림 7.2> 차인수의보데선도 : G( jw) = jwt 3) 차인수의경우 G( jw) = jwt + : 전달함수의크기는 GdB w T ( w T ) = - 20log + = - 0log + [db] 이므로, wt = 일때 G db = -3 [db] 이고, wt 0.일때 G db» 0 [db] 이며, 따라서차단주 파수와대역폭은 wc = wb =, 대역이득은 G B = 0 [db] 이다. wt ³ 0 일때에는 T GdB» -20log wt [db] 로근사화되어주파수 w 가 0배가될때마다 20 [db] 로감소한다. 위상은 j ( w)» - 90 [ ] 이므로, 차단주파수에서 j ( w c )» - 45 [ ] 이고, wt 0.일때 j ( w)» 0 [ ], wt ³ 0 일때 j ( w)» - 90 [ ] 로근사화된다. 따라서 차인수에대한보데선도는 < 그림7.3> 과같다. G( jw) = jwt + 의경우에는 jwt + = jwt + 면구해진다. - 의비율 이므로이경우의보데선도는 < 그림 7.3> 을가로축에대해대칭이동시키 num = []; den = [0. ]; w = logspace(-0.5,3,00); bode(num,den,w); 6

7 < 그림 7.3> 차인수의보데선도 : G( jw) = jwt + 4) 2 차인수의경우 G( jw) = 2 æ ö æ ö jw jw ç + 2x ç + è wn ø è wn ø : 이경우의크기를구하면 G( jw) = é ù é ù æ w ö æ w ö ê - ç ú + ê2x ç ú ê wn w ë è ø úû ë è n øû 이고, G( jw) 의 분모를최소로만드는주파수에서공진이나타나므로공진주파수와공진최대값을구하면다음과 같다 : 7

8 w r M r = w - n 2 2 x, 0 x = G( jwr ) = 2 2x -x (7.) 따라서 2차시스템에서는감쇠비가 x < 인경우에공진이생기며감쇠비 x 가작을수록공진주파수는고유진동수 wn 에수렴하며공진최대값 M r 의크기는더커진다. 그리고이득이 2 이되는차단주파수와대역폭을구하면다음과같다 : c B n ( ) w = w = w - x + x - x + (7.2) 2x w - wn f( w) = - tan 이므로 w = w 2 n 일때 f ( w) = - 90 [ ] 이고, æ w ö - ç è wn ø w = 0.w n 일때 f ( w)» 0, w = 0w n 일때 f ( w)» - 80 [ ]-80[ ] 가된다. 따라서 위상은 2 차인수에대한보데선도는 < 그림 7.4> 와같다 2 æ jw ö æ jw ö G( jw) = ç + 2x ç + è wn ø è wn ø 대한보데선도는 < 그림 7.4> 를가로축에대해대칭이동시킨것과같다. 의경우에 wn=; zeta=0.707; num = []; den = [/wn^2 2*zeta/wn ]; w = logspace(-0.5,2,00); bode(num,den,w); hold on; zeta=0.2; den = [/wn^2 2*zeta/wn ]; bode(num,den,w); legend("zeta=0.707", "zeta=0.2"); 8

9 < 그림 7.4> 2 차인수의보데선도 : G( jw) = 2 æ ö æ ö jw jw ç + 2x ç + è wn ø è wn ø 모든전달함수는위에서살펴본기본인수들의곱의꼴로분해할수있으므로일반전달함수의보 데선도는기본인수들의보데선도를이용하면쉽게구할수있다. 이방법을써서몇가지예제를 풀어보기로한다. CEMTool 에서의보데선도관련함수 셈툴상에서보데선도를그리기위한명령어로서 `bode' 라는함수가제공되는데, 대상시스템이 전달함수로표시되는경우에이명령을사용하는방법은다음과같다 : [mag, phase] = bode(num, den, w) (7.3) 여기에서우변의입력변수가운데 `num' 과 `den' 은시스템전달함수의분자와분모다항식의계 9

10 수를나타내는행벡터로서그입력방법은앞에서살펴본 `step' 함수의경우와같다. 세번째입력변수 'w' 는주파수응답이계산되는주파수값들을저장하는벡터이다. 이것은앞으로나올주파수응답과관련된함수들에서계속사용하게되는변수인데, 이변수는보통 `logspace' 라는함수를이용하여만든다. 예를들어다음과같이입력하면, W=logspace(-2, 3, 00) (7.4) 부터 3 0 [rad/sec] 까지의범위안에있는 00개의주파수값에대하여주파수응답을계산 한다는뜻이고, 따라서 w 라는변수는 0.0[rad/sec] 에서 000[rad/sec] 까지대수눈금으로등간격인 00 개의값으로이루어지는행벡터가된다. 만일 bode 명령을사용하면서주파수범위를지정하 지않으면이경우에는 w=logspace(-,,50) 가자동지정주파수범위로쓰인다. 이와같이하여 `bode' 명령어를실행하면실행결과로서변수 `mag' 에는크기응답이, `phase' 에는위상응답이행 벡터로저장된다. 따라서이값들을 `plot' 명령으로그리면보데선도를얻을수있다. 여기에서유 의할점은, 위상값은 [ ] 단위로출력되지만크기 'mag' 는절대값으로나오기때문에 [db] 로나타내 려면 '20*log(mag)' 를써야한다는것이다. 셈툴에서는이와같이사용자가주파수범위와결과를저장할변수를지정하는방식으로보데선 도를그릴수도있지만, 다음과같은형식을사용하면셈툴안에서자동으로지정되는주파수범 위 logspace(-,,50) 에서크기와위상을계산하여그림을자동으로그려준다 : bode(num,den); 이방식은어떤시스템의보데선도만을보고자할경우에간편하게사용할수있다. 이방식으로 우선보데선도를개략적으로본다음에, 자세한선도가필요하면관심주파수범위를식 (7.4) 와같 이지정하여다음과같은명령으로보데선도를구할수있다 : bode(num,den,w); 이방식의명령을사용할때에유의할점은이명령은보데선도만을그려주고크기와위상값을저장하지않는다는점이다. 그러므로이방식은대상전달함수의주파수응답에대해대략의선도만을알고싶은경우에사용하며, 크기와위상값을써서어떤후속처리를해야할때에는식 (7.3) 의형식을써야한다. 또한이방식에서그림제목과단위표시를특별히지정하고자할때에는그림표유지명령인 'holdon' 명령을실행하고서그림표지정명령인 'subplot' 과제목지정명령인 'title', 'xtitle', 'ytitle' 따위를사용해야한다. 그러면몇가지예제를통하여셈툴에서보데선도를그리는방법을익히기로한다. < 예제 7.3> 다음과같은전달함수를갖는시스템의보데선도를구하라 : 단, 주파수범위는 [rad/sec] 를사용하고, 그림제목과가로세로축의변수표시에한글을쓰기로한다. 0

11 G( s) = s s Control7_3.cem num=25; den=[ 4 25]; w=logspace(-2,2,00); bode(num,den,w); 위와같은명령을실행시키면보데선도자체는 < 그림 7.7> 과같은결과를얻을수있다. 달라지는점은자동방식으로구성되는그림에서는그림제목이나타나지않으며, 가로축과세로축의표시가모두영문으로표시된다는것이다. 이렇게자동지정방식으로얻어진그림에제목을붙이려면 'holdon' 명령을실행한다음에제목지정명령들을사용하면된다.

12 < 그림 7.7> 예제 7.3 의보데선도 안정도여유의정의 우리는 6 장에서안정도판별법을사용하여개로시스템의전달함수특성으로부터폐로시스템의안 정도를검사하는방법을다루었다. 6 장에나오는안정도판별법은단지시스템이안정한가, 또는 불안정한가만을판단하는것으로서절대안정도를다루고있다. 그러나실제의제어시스템을설계 할때에대상플랜트들은안정하여절대안정도를만족하는경우가많기때문에, 절대안정도보다는 오히려안정한정도, 즉상대안정도 (Relative stability) 를높이는것이주요제어목표가된다. 상대 안정도를나타내는지표로사용되는개념이바로안정도여유인이득여유와위상여유이다. 시스템에불확실한성분이있어서대상시스템의전달함수모델 G( s) 가다음과같이변화되었 다고가정하자 : j G ( s) G( s) Ke - q T = (7.5) j 여기서 GT ( s) 는실제전달함수, Ke q K 는이득의불확실성을나타내고 q 는위상의불확실성을나타낸다. K = 이고 q = 0 이면 GT ( s) = G( s) 가되어모델 G( s) 에불확실성이없는경우를뜻하며, K 가 과의차이가크던가, q 가 0과의차이가크면 G ( s) ¹ G( s) 가되어모델 G( s) 에불확실한성분이많 T - 항은전달함수모델의불확실성을나타내는부분으로서 은경우를나타낸다. K 와 q 는실제로는입력주파수의함수이지만해석을쉽게하기위해서편 j 의상상수로가정하면불확실성분 Ke - q 은주파수에무관한단순한형태가되면서전달함수에서의불확실성을나타내기에적합한꼴이된다. 안정도여유란전달함수모델 G( s) 에식 (7.5) 와 같은불확실성이존재할때에, 단위되먹임에의해폐로시스템의안정도가보장되는 K 와 q 의 범위로서다음과같이정의된다 : < 정의7.> 식 (7.5) 와같은불확실성을갖는불확정시스템에 < 그림7.8> 과같은단위되먹임시스템을구성할때, q = 0 인경우에폐로시스템의안정도가보장되는 K 의범위를 ( ) 득여유 (gain margin) 라하며, K = 인경우에폐로안정도가보장되는 q 의범위를 G( s) 의 위상여유 (phase margin) 라부른다. G s 의이 2

13 정의7.에서는안정도여유를정의할때제어기는 C( s ) = 로가정하고있지만, C( s ) ¹ 인경우에는제어기를플랜트에포함시켜서개로전달함수 G( s) C( s) 에이정의를적용할수있 다. 또한, 제어기가되먹임경로에들어가는경우에도고리전달함수 G(s)C(s) 에대해이정의를적용할수있다. 정의7.에서유의할것은이득과위상이동시에바뀌지는않는다고가정하고있다는점이다. 그런데실제로는이득과위상이동시에바뀔수있으며, 이경우에는정도여유가정의 7.에서의값보다대체로줄어들게된다. 그러나이경우에안정도여유를계산하기가쉽지않기때문에정의7.에서와같은가정아래에서안정도여유를정의하여사용하는것이다. < 그림 7.8> 의기본모델 G(s) 가안정하고나이키스트선도가 < 그림 7.9> 와같다고할때, 정의 7. 의 안정도여유를나이키스트선도에서나타내보자. 실제전달함수의나이키스트선도는불확실성 K 와 q 에따라바뀌게되는데, 6 장에서다루었던나이키스트선도의성질에의하면 K 가커질 수록나이키스트선도도 K 만큼커지며따라서실수축과만나는교점도그만큼원점으로부터멀 어진다. 그리고위상각 -q 는나이키스트선도를 q 만큼시계방향으로회전시키는역할을한다. 개로전달함수가안정한경우에폐로시스템에대한안정도의필요충분조건은나이키스트선도가 (-,0) 점을둘러싸지않는것이다. 따라서, 나이키스트선도에서볼때, 개로시스템이안정한경우 의이득여유와위상여유는 < 그림7.9> 와같이정의할수있다. 즉, 이득여유는나이키스트선도가좌실수축과만나는점에서개로전달함수크기 G( jw) 의역수와같고, 위상여유는나이키스트 선도상에서이득이 인점과좌실수축이이루는각과같다. 안정도여유를이렇게정의할수있 는것은불확실성이값을초과하기전까지는 (-,0) 점을둘러싸지않아서폐로시스템안정도가유 지되기때문이다. 3

14 나이키스트선도는주파수응답특성을극좌표형식으로함께그린것이고보데선도는이것을크기와위상응답으로따로나타낸것이기때문에두선도사이에는항상호환성이있다. 따라서 < 그림7.9> 의나이키스트선도에서정의되는안정도여유를보데선도에서도정의할수있으며, 다음과같이요약할수있다 : 이득여유 GM = - 20log G( jw ) [db], G( jw ) = - 80 위상여유 PM = 80 + Ð G( jw ) [ ], G( jw ) = 0 [db] pc pc (7.6) pc pc (7.6) 여기서 G( jw) 는주어진개로전달함수의주파수응답특성이고, wpc 는개로전달함수의위상 응답이 -80[ ] 를지나는순간의주파수, 즉위상교차주파수 (Phase crossover frequency) 이며, wgc 는개로전달함수의이득특성이 0[dB] 를지나는순간의주파수, 즉이득교차주파수 (Gain crossover frequency) 이다. 식 (7.6) 으로정의되는안정도여유를보데선도에서나타내면 < 그림 7.0> 과같다. < 그림7.8> 에서개로시스템이안정한시스템일때, 단위되먹임에의한폐로시스템이안정하기위해서는 [db] 로표시된이득여유나위상여유가모두 0보다커야하며, 그값이크면클수록상대안정도가높다고할수있다. 이득여유나위상여유가운데어느하나라도 0보다작으면폐로시스템은불안정하다. 따라서상대안정도조건으로는이득여유와위상여유가함께고려되어야하며둘중에하나만으로는상대안정도의충분한지표가될수없다. 안정도여유가클수록상대안정도는높아지지만반면에시간응답특성이느려지기때문에안정도와성능을함께고려한바람직한안정도여유는위상여유가 30 60[ ] 이고, 이득여유가 6[dB] 이상이되는것이다. 주어진시스템에서상대안정도가불만족스러울때에는 < 그림7.8> 에서단위되먹임대신에이득이 이아닌제어기를추가하여상대안정도를조절하는데, 이득여유는쉽게조절할수있기때문에, 대부분의경우위상 4

15 여유조절에초점을맞추어제어기를설계한다. 이러한주파수영역에서의설계법에대해서는 7.4 절에서다룰것이다. < 그림7.9> 와 < 그림7.0> 으로표시되는안정도여유는개로시스템이안정한경우로서안정도에대한필요충분조건은이득여유 [db] 와위상여유가모두 0보다큰것이다. 그러나개로시스템은불안정하지만단위되먹임시스템이안정한경우에는, 나이키스트선도가 (-,0) 점을둘러싸기때문에이조건이성립하지않으므로주의해야한다 ( 익힘문제 [7.2] 참조 ). 안정도여유의계산 앞에서정의한안정도여유를계산하려면먼저나이키스트선도나보데선도를구해야한다. 그런데나이키스트선도로부터이득여유나위상여유를계산하려면단위원을추가로그려야하고, 또좌실수축과의교점을구하고이값의대수값을계산해야하는따위의번거로움이있기때문에, 이방법보다는보데선도로부터계산하는것이훨씬더편리하고정확하다. 그러면몇가지예를들어안정도여유를계산하는방법을익히기로한다. < 예제 7.4> 다음과같은개로전달함수를갖는시스템의보데선도를그린다음, 이선도로부터 이득여유와위상여유를계산하라. 5

16 G( s) H ( s) = 0 s( s)( s). Control7_4.cem num = 0; den = conv([ 0],conv([0.02 ],[0.2 ])); bode(num,den); figure; w=logspace(,2); bode(num,den,w); 위의프로그램을실행시키면개로전달함수의보데선도가그려지는데여기서이득여유, 위상여유를구하려면선도상의임의의점에서의값을알수있어야한다. 이값은셈툴그림창에있는좌표추적기능을사용하면된다. < 그림 7.> 로부터이득교차주파수가약 6.2[rad/sec] 인것을알수있고, 이주파수에해당하는위상각이약 -48.5[ ] 인것을알수있다. 따라서위상여유는 80+(-48.5)=3.5[ ] 가된다. 6

17 < 그림 7.> 예제 7.4 의위상여유구하기 < 그림 7.> 의보데선도는주파수범위를자동지정으로하여구한것이기때문에최대주파수가 0[rad/sec] 인데, 위상교차주파수는이보다크기때문에 < 그림 7.> 에서는이득여유를구할수 없다. 7

18 < 그림 7.2> 예제 7.4 의이득여유구하기 이렇게하여다시구한보데선도는 < 그림 7.2> 와같다. 이그림에서위상교차주파수를구하면 약 5.3[rad/sec] 라는것을알수있고, 이주파수에해당하는이득을 < 그림 7.2> 에서구하면약 -4.2[dB] 가되므로이득여유는약 4.2[dB] 가된다. 이득여유와위상여유는주파수영역에서시스템을해석하거나설계할때에꼭필요로하는값들이기때문에자주사용하게된다. 이값들은예제7.4와같이보데선도로부터구할수있지만, 단순히이값들만을정확하게구하고자하는경우에는보데선도를그리지않고서도식 (7.6) 을이용하여계산에의해얻어낼수있다. 셈툴에서는이득여유와위상여유를계산해주는간단한명령어를제공하는데, 사용법은다음과같다 : [mag,phase]=bode(num,den,w); [Gm,Pm,Wpc,Wgc]=margin(mag,phase,w); 여기서 Gm 과 Pm 은이득여유및위상여유, Wpc 와 Wgc 는위상교차및이득교차주파수를나타 낸다. 단, Gm 은이득여유의절대크기로나타나기때문에데시벨 [db] 로나타내려면한번더계산 을해야한다. 예제 7.4 의시스템에이방법을적용하는예를살펴보기로한다. 8

19 < 예제 7.5> 예제 7.4 의시스템에대해 'margin' 명령을써서이득여유, 위상여유, 위상교차및이 득교차주파수를구하라. 단, 이득여유는 [db] 로나타내라. G( s) H ( s) = 0 s( s)( s). Control7_4.cem num = 0; den = conv([ 0],conv([0.02 ],[0.2 ])); bode(num,den); figure; w=logspace(,2); bode(num,den,w); 위의프로그램을실행하면다음과같은결과를얻을수있다 : Gm = Pm = Wpc = 5.84 Wgc = 이렇게구한값들은수치계산에의한상당히정확한결과로서예제 7.4 의결과와거의 일치하는데, 약간의차이가나는것은그림표를읽어서결정하는방식에서는판독오차가있기 때문이다. 9

20 시간영역특성계수와의관계 지금까지살펴본주파수영역특성계수들은시간영역특성계수들과상관관계를갖고있다. 이관계를수식으로명확하게나타내기는어렵지만, 이특성계수들사이의관계를이해하는것은제어기설계과정에서기초지식으로필요하다. 제어기설계문제에서성능목표는대부분의경우에시간영역특성계수로주어지는데, 이제어기설계문제를주파수영역에서풀고자하는경우에는시간영역특성계수에대응하는주파수영역특성계수를산출해야하며이때두가지특성계수들사이의관계를필요로한다. 이관계를 차및 2차의표준형시스템에서살펴보기로한다. 차시스템 < 그림 7.3> 의단위되먹임시스템에서개로전달함수가다음과같을때, G( s) =, Tc > 0 T s c 이시스템의안정도여유는다음과같다 : * 이득여유 GM = [db] * 위상여유 PM = 90 [ ] * 위상교차주파수 wpc 는없음. * 이득교차주파수 w gc = [rad/sec] T c 폐로시스템은다음과같이 Tc 를시정수로하는표준형 차시스템이된다 : T ( s) = T s + c 따라서이폐로시스템의주파수응답특성은다음과같다 : 20

21 * 대역이득 G B = 0 [db] * 대역폭 wb = [rad/sec] Tc * 차단주파수 wc = wb = [rad/sec] T * 공진주파수 wr 와공진최대값 c M r 은없음. 위의결과를요약하면, 표준형 차시스템의주파수응답특성은이득교차주파수, 대역폭, 차단주 파수가서로같고시정수의역수가되며, 그밖의특성들은시간영역특성과무관하다는것이다. 2 차시스템 < 그림 7.3> 의단위되먹임시스템에서개로전달함수가다음과같을때, 2 wn G( s) =, ( x, wn ³ 0) s( s + 2 x w ) n (7.7) 폐로시스템은다음과같은표준형 2 차시스템이된다 : T ( s) = w s w s w 2 n x n + n 식 (7.7) 로부터이시스템의안정도여유는다음과같이구해진다 : * 이득여유 GM = [db] * 위상여유 2x PM = * 위상교차주파수 w pc = [db] - tan [ ] ( + 4x - 2x ) w = w + 4x - 2 x [rad/sec] * 이득교차주파수 ( ) gc n 이결과를보면, 이득여유와위상교차주파수는모두무한대로서시스템계수와무관하며, 위상여유와이득교차주파수는감쇠비만의함수로서결정된다. 식 (7.8) 의관계를그림표로나타내면 < 그림7.4> 와같은위상여유대감쇠비곡선을얻을수있다. 이곡선은다음과같이근사적으로나타낼수있다 : 2

22 PM ì00 x, 0 x 0.6 ï» í ( x - 0.6), 0.6 x 0.8 ï î ( x - 0.8), 0.8 x.2 zeta=0:0.6:0.0; y = 00*zeta; zeta=( ):0.8:0.0; y2 = 60+50*(zeta-0.6); zeta=( ):.2:0.0; y3 = 70+25*(zeta-0.8); y = [ y y2 y3 ]; zeta = 0:.2:0.0; plot(zeta, y); < 그림 7.4> 위상여유대감쇠비곡선 22

23 폐로시스템의최대초과 M p 와공진최대값 (7.) 로부터다음과같이구해진다 : M r 은모두감쇠비 x 의함수로서각각식 (6.2) 와 M M px - 2 -x p = e x < r, 0 =, 0 x x -x 이식에서보면, M p 와 M r 은모두 x 에관한단조감소함수이기때문에 도커지는관계를갖고있다. 이관계식에서 x 를없애고 M p 와 로표현하는것은쉽지않지만, < 그림 7.5> 의초과대감쇠비곡선을이용하면, M p 가클수록 M r M r 의관계를직접해석적으 M p 에대응하는 x 를구하고이 x 로부터 r 하로주어진다면, M p 0.인데, 이에대응하는감쇠비는 < 그림7.5> 에서 x ³ 0.59 M 임을알수있다. 대입하면.05 r M 을쉽게계산할수있다. 예를들어, 성능목표로서초과가 0% 이 이고, 에 zeta=0::0.0; Mp=exp(-pi.*zeta./sqrt(-zeta.^2)); plot(zeta, Mp); 23

24 < 그림 7.5> 초과대감쇠비곡선 표준형 2차시스템에서감쇠비가 x = 0.5 로서일정할때, 상승시간과공진주파수및대역폭은 식 (6.0), (7.), (7.2) 로부터다음과같이표시된다 : t r w.8 =, x = 0.5 w n 2 r = wn - 2x = w n 2 x = ( x x x ) B = n =.27 n x = 0.5 w w w 위의관계에서알수있는것처럼, 감쇠비가일정할때에공진주파수와대역폭은서로정비례하 며상승시간과는반비례관계에있다. 따라서시스템에서요구하는성능목표인상승시간이짧을 수록요구되는공진주파수와대역폭은커진다. 24

25 앞섬뒤짐보상기 보데선도는 7.3 절에서다룬것과같이주파수영역에서의제어시스템해석에도쓰이지만제어기 설계에도많이활용된다. 이절에서는간단한고전제어기로서시스템의특성보상용으로쓰이는 앞섬보상기와뒤짐보상기의설계에보데선도를활용하는방법을살펴보기로한다. 이제어기의 전달함수는다음과같다. s + z H ( s) = Kc s p + (7.0) 여기서 0 < z < p 일때, 이보상기를앞섬보상기 (lead compensator) 라고하며, 0 < p < z 일 때에는뒤짐보상기 (lag compensator) 라고한다. 이제어기들은안정한플랜트나주제어기 (main controller) 에의해이미안정화된플랜트에서시스템에요구되는주파수영역성능기준을만족시키 기위해추가로사용되는것이기때문에주제어기와구분하여보상기 (compensator) 라고부른다. 이절에서는 < 그림7.6> 과같은되먹임시스템에서안정성여유및 M r, w b, wr 등의주파수영 역성능기준을만족하도록보상기전달함수식 (7.0) 의이득 설계과정에보데선도를활용하는방법을익힌다. K 와극 p, 영점 z 를선정하는 c 앞섬보상기의특성 앞섬보상기의극. 영점그래프는 < 그림7.7> 과같다. 이그림에서알수있듯이, 보상기의영점이극점보다허수축에더가까이있기때문에앞섬보상기의위상은항상 0보다큰값을갖는다. 따라서이보상기를사용하면전체시스템의위상이플랜트의위상보다앞서기때문에앞섬보상기라고부르는것이다. 예를들어, 다음과같은앞섬보상기를생각해보자. 25

26 0( s + ) H ( s) = s + 0 이앞섬보상기의보데선도는 < 그림 7.8> 과같다. 이그림을보면보상기의위상이 5[ ] 부터 55[ ] 까지변화하면서앞서는것을확인할수있다. 이선도를그리기위한과정은다음과같다. num=[0 0]; den=[ 0]; w=logspace(-,2,200); bode(num,den,w); 26

27 < 그림 7.8> 앞섬보상기 0( s + ) H ( s) = s + 0 의보데선도 그러면여기에서앞섬보상기의주파수응답특성을분석하기로한다. 이분석을위해앞섬보상기 의전달함수식 (7.0) 은다음과같이고쳐쓸수있다. + ats H ( s) = K + Ts + ja wt H ( jw) = K + jwt (7.) 여기서 p a =, a > 로정의되는 a 를앞섬비 (lead ratio) 라고부르며, K와 T는앞섬보상기의 z K = K c, T = 로정의된다. 식 (7.) 로부터앞섬보상기의차단 p a 직류이득과시정수로서각각 주파수와대역이득은다음과같음을알수있다. 27

28 w G c db = = p T = 20log ( a K ) (7.2) 그리고이보상기의위상이최대가되는주파수 wm 과최대위상앞섬각 fm 은다음과같다. wm = = T a a - sinfm = a + zp (7.3) 따라서, 앞에서예로든앞섬보상기 H ( s) 의경우에는 a = 0, w f m T = 이므로, wm 과 0 0 = = = T a 0 0 a a m = sin = sin = 54.9 fm 은다음과같이계산할수있다. + 0s H ( s) = 와같이표시되어 + 0.s 위의식 (7.3) 에나타난앞섬각 다. fm 과앞섬비 a 의관계를그래프로나타내면 < 그림7.9> 와같 alpha = :20:0.; deg = asin((alpha-)./(alpha+))*80/pi; plot(alpha, deg); 28

29 < 그림 7.9> 앞섬보상기의최대위상각과계수 a 의관계 이와같은위상특성을갖는앞섬보상기는비례미분제어기형태의보상기라고할수있다. 이것 은인 p z 경우를고려해보면알수있는데, 이경우에 a, T 서앞섬보상기의전달함수는다음과같이근사적으로나타낼수있다. H ( s)» K + KaTs 이므로식 (7.) 에 따라서이근사전달함수는비례항과미분항으로이루어지는비례미분제어기의전달함수와같은 꼴이됨을알수있다. 비례미분제어기에대해서는제 8 장에서다룰것이다. 지금까지살펴본것과같은특성때문에앞섬보상기는전체시스템의위상여유를커지게하여안정성여유를증가시키며, 또한대역폭을증가시켜서응답속도를빠르게해주는효과를나타낸다. 그러나앞섬보상기를사용하면제어입력의크기가대체로커지기때문에입력의제한범위를벗어날우려가있으며 ( 이경우에는제어성능이나빠지게됨 ), 또한제어입력은대부분연료나에너지와관련된신호이기때문에제어신호가클수록비용이더들게되어전체시스템의비용을증가시키는약점이있다. 그리고대역폭이넓어질수록출력에나타나는잡음의영향이커질수있다 29

30 는것에도유의해야한다 뒤짐보상기의특성 뒤짐보상기의전달함수는다음과같다. + ats H ( s) = K, (0 < a < ) + Ts (7.4) 따라서뒤짐보상기의극. 영점도는 < 그림7.20> 과같으며, 이그림에서알수있듯이, 이보상기에서는극점이영점보다허수축에더가까이있기때문에위상이항상 0보다작게된다. 이러한까닭에이보상기를뒤짐보상기라부르며, a 를뒤짐비 (lag ratio) 라고부른다. 뒤짐보상기의주파수응답특성을살펴보기위해다음과같은예를들어보자. H ( s) = 0.( s + 0) s + 이뒤짐보상기의보데선도는 < 그림 7.2> 과같다. 이그림에서보상기의위상이 -5[ ] 부터 -55[ ] 까 지변화하면서뒤지는것을확인할수있다. num=[0. ]; den=[ ]; w=logspace(-,2,200); bode(num,den,w); 30

31 < 그림 7.2> 뒤짐보상기의보데선도 뒤짐보상기의차단주파수와대역이득은다음과같다. w G c db = T = 20log K (7.5) 뒤짐보상기의전달함수식 (7.4) 는앞섬보상기전달함수식 (7.) 과같은꼴로표시되기때문에위상이최대로뒤지는주파수 wm 과그때의최대위상뒤짐각 fm 은식 (7.3) 과똑같은식으로표시된다. 다른점은뒤짐비 a 가 보다작기때문에 fm 이음수로나온다는점이다. 위에서예를든뒤짐보상기의경우에는 0. 면다음과같다. a =, T = 이므로, 최대주파수와최대위상뒤짐각을계산해보 3

32 w f m = = = T a 0. 0 a a m = sin = sin = 이러한위상특성을갖는뒤짐보상기는적분기형의보상기라할수있다. 이것은 z p 일때를고려해보면알수있는데, 이경우에 T 이되므로식 (7.4) 의보상기전달함수는다음과 같이근사화된다. K H ( s)» Ka + Ts 이근사전달함수의꼴은다음의비례적분제어기와같은형태이다. KI H ( s) = KP + s 비례적분제어기는고전제어기로서현장에서많이쓰이고있는데, 이제어기에대해서는제 8 장에 서다룰것이다. 뒤짐보상기는위에서살펴본것과같은위상뒤짐특성에의해폐로시스템의대역폭을줄이는효과를갖고있기때문에시스템출력에서고주파잡음의영향이줄어들며, 또한저주파영역에서시스템의이득을증가시키기때문에출력의정상상태오차를아주작게만드는특성을갖고있다. 따라서이보상기는정상상태에서추적오차가거의 0이될정도로높은정밀도가요구될때적용할수있다. 그러나뒤짐보상기를사용하면과도응답속도가느려지고심한경우에는과도응답이불안정해지는경우가종종생기므로뒤짐보상기를설계할때에는이러한문제점에유의해야한다. 보데선도를이용한보상기설계 지금까지살펴본앞섬. 뒤짐보상기의특성을근거로하여주파수영역에서보상기를설계하는문제를다루기로한다. 제어대상시스템의예로서 3.7.4절에서다룬직류서보모터를사용하기로한다. 직류서보모터의전달함수는식 (3.65) 로주어지는데, 이모델에서전기. 기계상수들이다음의조건을만족한다고가정한다. 32

33 K t [Nm/A], Kb 5 0 [Vsec/rad] R L H K J = = -2 a = 0.2 [ W ], a».33 0 [ ], a = 0. =» [kgm ], B 0 [Nm/rad/sec] 이경우에직류서보모터의전달함수는다음과같다. G( s) = 00 s( s + 5)( s + 0) 이전동기에대한제어시스템은 < 그림 7.22> 와같다. 여기에서제어대상인직류서보모터의입력 u 는전기자전압이고, 출력 y 는회전각이다. 이시스템의제어목표는다음과같이설정한다. ) 정상상태속도오차 0% 이하 2) 정착시간 t s 3초 3) 최대초과 M p 0 이제어목표가운데 ) 은정상상태성능목표이고, 2) 와 3) 은과도상태성능목표이다. ) 의제어목표 는전동기의회전속도가일정하도록제어한다는것이다. 이것은기준신호로서경사입력이들어가 고, 이입력에대해정상상태오차를 0% 이내로유지하는것을뜻한다. 2), 3) 의제어목표는기준 입력이계단입력일때의과도상태성능목표인데, 이것은출력의크기가어떤목표치에도달할때 에걸리는시간을 3 초이내로하고, 목표치를벗어나는오차를 0% 이내로제어한다는뜻이다. 이러한시스템의대표적인예로는전선을틀에감아주는장치라든지음성이나영상테이프기록 기 (tape recorder) 따위를들수있다. 먼저간단한상수이득제어기 H ( s) = K 를사용한다고가정하고, 이제어기에의해제어목표 를달성할수있는가를조사해보기로한다. 제 5 장에서다루었듯이, 기준신호가단위경사입력일때 33

34 R( s) s = 이므로이신호에대한정상상태오차는다음과같이표시된다. 2 K = lim sg( s) H ( s) = lim 2 H ( s) E v s 여기서 s 0 s 0 = = K v lim s 0 2 H ( s ) Kv는정적속도오차상수이다. 따라서상수이득제어기를사용할때에 H ( s) = K 이 므로정상상태오차는다음과같이표시된다. E s = 2K 이결과에서상수이득 K 가크면클수록정상상태오차는반비례하여크게줄어드는것을알수있다. 예를들면, K = 5일때, 경사입력에대한정상상태오차는 0% 가되어정상상태제어목표는만족된다. 만일제어목표가이것하나뿐이라면이상수이득제어기에의해목표가달성되므로제어기설계는끝난것이라고할수있다. 그러나이시스템의제어목표로서과도응답성능목표가함께설정되어있으므로 K가증가함에따라과도응답성능에미치는영향도고려해야한다. 이영향을조사하기위해 K를증가시키면서각경우의계단응답을구하여비교하는프로그램을작성하면다음과같다. K = [ ]; numg = 00; deng = [ ]; t = [0:5:0.]; for(i=;i<5;i=i+) { [nums,dens] = series(k(i),,numg,deng); [num,den] = cloop(nums,dens); y = step(num,den,t); Ys(:,i) = y; } plot(t,ys); legend("k=0.5", "K=", "K=2", "K=5"); 34

35 < 그림 7.23> 상수이득제어기에대한직류서보모터시스템의계단응답 이프로그램을실행한결과가 < 그림7.23> 에나타나있다. 이그림을보면, K 가커질수록진동이생기면서초과가커지는현상이나타나며, 정상상태성능목표를만족시키는이득인 K = 5 일때에는계단입력에대해서초과가 70%, 정착시간이 8 초정도로나온다. 이러한과도응답은목 표를크게벗어나는적절치못한성능이므로상수이득제어기로서는제어목표를달성할수없다 는것을알수있다. 그러면이시스템에앞섬과뒤짐보상기를써서이문제를해결하는방법을 다루기로한다. 앞섬보상기설계 앞섬보상기는과도응답특성을개선시키는효과를지니고있으므로, 우선앞섬보상기를써서이제어문제를해결해보기로한다. 앞섬보상기의설계를위해주파수영역의접근법을사용한다. 여기에서사용하는앞섬보상기의전달함수는다음과같다. + ats H ( s) = K, a > + Ts 35

36 이보상기의설계과정은다음과같이요약할수있다. ) 정상상태성능목표를만족시키는보상기직류이득 K를계산한다. 2) 직류이득만사용하고다른보상을하지않은경우의보데선도를구하여위상여유를계산하고제어목표달성에필요한위상앞섬각 fm 을결정한다. 3) 식 (7.3) 의 a - sinfm = a + + sinfm a = (7.6) - sinf m 를만족하는 a 값을계산한다. 4) 2) 단계의비보상보데선도에서이득이 -0loga 이되는주파수를찾고이것을새로운이 득교차주파수로만들기위해이주파수를최대위상주파수 w m = 으로정한다. 이로부터 at 보상기시정수를다음과같이선정한다. T w m = (7.7) a 5) 설계된앞섬보상기를포함하는보데선도를그린다음위상여유를조사한다. 이보데선도에서위상여유가만족되도록 K, fm 을조절하고필요하면위의단계를반복한다. 6) 마지막으로모의실험에의해시간응답성능을확인한다. 성능이만족되지않으면필요한설계과정을반복한다. 제어기설계목표가시간영역지표로주어지는경우에는이지표들로부터 2) 단계에서필요한위상 여유를계산해야한다. 식 (5.0), (5.) 로부터초과와정착시간은감쇠비 x 와고유진동수 함수로서다음의관계식을만족한다. wn 의 M p px - 2 -x = e t s [ ] 00 % 0 4» 3 x w n 이식을풀거나 < 그림 7.5> 를이용하면과도상태성능목표를만족하는감쇠비와고유진동수는 다음과같다. 36

37 x ³ 0.592, w n ³ 감쇠비를으로 x = 0.6 하면식 (7.9) 로부터위상여유는다음과같이선정할수있다. PM x» = 이제제어목표달성을위해이루어야할위상여유가계산되었으므로, 이를근거로앞섬보상기를 설계할수있다. 그러면위의설계절차에따라단계별로앞섬보상기를설계하기로한다. 단계 ) 먼저, 정상상태오차성능목표를만족하려면다음의조건이성립하여야한다. K v = = = 0 = 2K E 0. s 따라서보상기이득은 K = 5로설정할수있다. 단계 2) K = 5일때, 비보상시스템의위상여유를계산하면.4[ ] 이다. 그런데위에서계산하였듯이과도상태성능목표를만족하기위한위상여유는 PM = 60 이므로앞섬보상기에서필요한위상앞섬각은 f = 48.6 = [ rad] 이다. m 단계 3) 식 (7.6) 에의해위상앞섬각으로부터앞섬비를계산하면다음과같다. + sinfm + sin(0.8482) a = = = sinf - sin(0.8482) m 단계 4) 이득이이되는주파수를찾으면 [rad] 이고, 식 (7.7) 에의해이다. 따라서앞섬보상기전달함수는다음과같다. + ats s H ( s) = K = 5 + Ts s 단계 5) 설계된보상기를적용한시스템의보데선도를구하면 < 그림7.25> 와같다. 여기에서좌표추적기능을이용하여위상여유를구하면 34.7[ ] 로서성능목표를만족시키기위한위상여유인 60[ ] 에미치지못한다. 위상여유를 60[ ] 로만들려면 < 그림7.25> 에서이득교차주파수가 5.2[rad/sec] 가되도록조정하면된다. 이주파수에서이득곡선을조사하면이득이약 6[dB] 이므로, 37

38 이득곡선을 -6[dB] 만큼평행이동하면, 즉보상기의직류이득을 /2로줄이면이조건을만족할수있다. 따라서보상기이득을다음과같이조정한다 s H ( s) = s 이보상기를적용한경우의보데선도는 < 그림 7.26> 과같고, 위상여유는 59.4[ ] 로서목표값을거 의만족한다. 단계 6) 위의보상기를적용한폐로시스템의시간응답을구하면 < 그림7.27> 과같다. 계단응답을보면정착시간과초과는목표를만족시키고있는데, 이것은앞섬보상기를사용하여위상여유를증가시킴으로써과도응답특성을개선하는효과에의한것이다. 그러나보상기이득이줄어들어서 속도오차상수가 K = 2K = 5 가되어경사입력에대해 20% 의정상상태오차가생겨서정상 v 상태응답에대한성능목표는만족시키지못하고있다. K = 5; numg = 00; deng = [ ]; [num,den] = series(k,,numg,deng); w = logspace(-,2,200); [mag,phase] = bode(num,den,w); [Gm,Pm,Wcg,Wpc] = margin(mag,phase,w); Phi = (60-Pm)*(pi/80); alpha = (+sin(phi))/(-sin(phi)); M = -0*log(alpha)*ones(length(w),); bode(num,den,w); 38

39 < 그림 7.25> 앞섬보상기로보상된시스템의보데선도 K = 5; numg = 00; deng = [ ]; numgc = K*[0.285 ]; dengc = [ ]; [num,den] = series(numgc,dengc,numg,deng); w = logspace(-,2,200); [mag,phase] = bode(num,den,w); [Gm,Pm,Wcg,Wpc] = margin(mag,phase,w); bode(num,den,w); figure; [nums,dens] = cloop(num,den); t=0:2:0.0; subplot(2,,); step(nums,dens,t); subplot(2,,2); step(nums,[dens 0],t); 39

40 holdon subplot(2,,); title(" 계단응답 "); subplot(2,,2); title(" 경사응답 "); < 그림 7.26> 앞섬보상기의이득을조정한시스템의보데선도 40

41 < 그림 7.27> 앞섬보상기로보상된시스템의계단응답과경사응답 지금까지살펴본앞섬보상기설계결과를보면, 앞섬보상기를사용하여위상여유를키움으로써 과도응답특성을개선시켜서성능목표를만족시키고있지만, 정상상태성능목표는이루지못하고 있다. 뒤짐보상기설계 지금까지설계한같은제어문제에서뒤짐보상기를써서정상상태오차를개선하는문제를다루기로한다. 여기에서사용하는뒤짐보상기의전달함수는다음과같다. + ats H ( s) = K, 0 < a < + Ts 주파수영역에서뒤짐보상기의설계과정은다음과같다. ) 정상상태설계목표에따라뒤짐보상기의이득 K 를결정한다. 4

42 2) 비보상시스템 KG( s) 의보데선도를그린다. 3) 성능목표를만족시키기위하여필요한위상여유를구하고, 비보상보데선도에서이러한위상여 유를갖도록만들새로운이득교차주파수 답곡선이 0[dB] 점을지날주파수로잡는다. ' wc 를구한다. 이주파수를보상된보데선도의크기응 ' 4) 새로운이득교차주파수 wc 에서크기곡선이 0[dB] 이되도록만드는데에필요한이득감쇠를 ' ' 구한다. 이값은바로 wc 에서비보상보데선도의크기 KG( jwc ) 와같다. < 그림7.2> 에의하 면뒤짐보상기에서얻을수있는크기감쇠는 20log0 a 이므로, 다음과같이뒤짐비 a 를결 정할수있다. KG jw a = 0 ' ( c ) = - 20log 0 a [ db], a < ' c KG( jw ) - 20 (7.8) 5) 뒤짐보상기에서는 T 와 at 따라서 사이에서이득의감쇠가일어나면서또한위상뒤짐도일어난다. ' wc 근방에서위상곡선이크게영향을받지않도록하기위하여다음의조건을만족하도 록시정수 T 를결정한다. ' wc at 0 T = [sec] aw ' c (7.9) 6) 뒤짐비 a 와시정수 T 를갖도록설계된보상기가설계목표를만족하는지검사한다. 이설계절차에따라직류서보모터제어문제에뒤짐보상기를적용하기로한다. 앞섬보상기설계에 서이미계산하였듯이, 성능목표를이루기위해필요한위상여유는 60[ ] 이다. 단계 ) 정상상태성능목표를만족시키는보상기직류이득은 K = 5이다. 단계 2) KG( s) 의비보상보데선도를그린다. 이선도를그리기위한파일은다음과같다. K = 5; numg = 00; deng = [ ]; 42

43 w = logspace(-,2,200); bode(k*numg,deng,w); 이파일의실행결과로얻어지는보데선도가 < 그림 7.28> 이다. < 그림 7.28> 비보상시스템의보데선도 단계 3) 우리가원하는위상여유는 60[ ] 이므로 < 그림 7.28> 의비보상보데선도위상곡선에서 - 20[ ] 의위상값에해당하는주파수를좌표추적기능을이용하여구하면다음과같다. w =.77 [rad/sec] ' c 단계 4) < 그림 7.28> 에서위상교차주파수 ' wc 에대응하는이득을구하면다음과같다. KG jw = ' ( c ) 4.29 [db] 그러면식 (7.8) 로부터뒤짐비를다음과같이선정할수있다. 43

44 단계 5) 식 (7.9) 로부터시정수를결정한다. T 0 = = 29.4 [sec] aw ' c 단계 6) : 뒤짐보상기의전달함수는다음과같이결정된다 s s H ( s) = 5 = s s 이뒤짐보상기를포함하는폐로시스템의계단응답을구하는셈툴파일은다음과같고, 실행결과는 < 그림 7.29> 와같다. K = 5; numg = 00; deng = [ ]; numgc = K*[5.59 ]; dengc = [29.4 ]; [nums,dens] = series(numg,deng,numgc,dengc); [num,den] = cloop(nums,dens); t=0:20:0.0; step(num,den,t); 44

45 < 그림 7.29> 뒤짐보상기에의한폐로시스템의계단응답 위에서설계한뒤짐보상기를사용하면, 속도오차상수가 K = 2K = 0 이되어경사입력에대 한정상상태속도오차는 0% 로서성능목표를만족하지만, < 그림7.29> 의결과를보면초과와정착시간에대한과도상태성능목표는만족시키지못하고있다. v 앞섬 / 뒤짐보상기설계 지금까지주파수영역에서보데선도를이용하여앞섬보상기와뒤짐보상기를설계하는방법을다루었다. 직류서보모터제어문제에적용하는예를통하여이보상기를설계해본결과, 앞섬보상기는과도상태성능개선에는효과적이지만정상상태성능목표는만족시킬수없었으며, 뒤짐보상기는이것과는정반대의특성을보임을알수있었다. 따라서과도상태와정상상태성능을함께개선시키려면앞섬보상기와뒤짐보상기가직렬로연결된앞섬 / 뒤짐보상기를사용해야한다. 앞섬 / 뒤짐보상기의설계방법은앞섬 ( 또는뒤짐 ) 보상기설계법에따라먼저 차보상시스템을설계한다음에이보상기와플랜트를포함하는시스템에대해뒤짐 ( 또는앞섬 ) 보상기를설계하는절차를거치는것이다. 이절차에따라직류서보모터시스템에대한앞섬 / 뒤짐보상기를설계하면다음과같은보상기를얻을수있다. 45

46 s s H ( s) = s s 이보상기를적용한폐로시스템의계단응답과경사응답을구해보면각각 < 그림 7.30>, < 그림 7.3> 과같다. 이결과를보면앞섬 / 뒤짐보상기에의해과도상태와정상상태의성능목표가모두만족됨 을알수있다. 근궤적을이용한보상기설계 제어기를주파수영역에서설계하는방법으로서근궤적을이용할수도있다. 이절에서는 6 장에서 다룬근궤적을이용한극배치법에의하여뒤짐보상기를설계하는예를들어보기로한다. 대상시 스템으로는보데선도를이용한보상기설계에서다루었던 < 그림 7.22> 의직류서보모터시스템을 사용하기로한다. 보상기전달함수로는근궤적작성에적합한형태인식 (7.0) 을채택한다. 근궤적 을이용한보상기설계단계는다음과같다. ) 개로시스템 KG( s) 에대한근궤적을그린다. 2) 식 (5.0) 이나 < 그림 7.5> 로부터성능목표달성에필요한주극점의감쇠비 x 를계산한다음, ) 의근궤적에서감쇠비가 x 가되는근의위치를찾는다. 3) 찾은근의좌표에해당하는이득 K 를구하고, 이에대한비보상속도오차상수 한다. 4) 정상상태설계목표에대응하는속도오차상수 Kv 에대한비보상속도오차상수 뒤짐비 ' Kv a = 로선정한다. K v ' Kv 를계산 ' Kv 의비를 5) 선정한뒤짐비 a 에대하여보상된근궤적이폐로근의주변에서크게달라지지않는한도내 에서보상기의극점과영점을결정한다. 6) 설계된보상기를적용한폐로시스템의계단응답을확인해보고, 만족스럽지못할때에는필요 한단계를반복한다. 이설계절차에따라직류서보모터제어시스템에대한뒤짐보상기를설계해보기로한다. 단계 ) : 개로시스템 KG( s) 에대한근궤적은 < 그림7.32> 와같다. 단계 2) 앞섬보상기설계에서이미계산하였듯이, 성능목표를달성에필요한 2차극점의감쇠비는다음과같다. x =

47 s 평면에서감쇠비가일정한궤적은기울기가 -x x 2 - 이면서원점을지나는직선이므로이 직선과근궤적이만나는점의좌표를좌표추적기능을써서찾을수있다. < 그림 7.32> 에서감쇠 비가일정한직선을그린다음교점의좌표를찾으면 s = j2.367 이된다. numg = 00; deng = [ ]; zeta = 0.592; x = -0:0:0.; y = -sqrt(-zeta^2)/zeta*x; //ζ=0.592에해당하는직선 K = logspace(-3,,200); rlocus(numg,deng,k); holdon // 한그림창에두개의그림표를그리기위한명령 plot(x,y); < 그림 7.32> 비보상개로시스템의근궤적 47

48 단계 3) 2) 에서찾은근에해당하는이득을계산한다. 이이득 K 를계산할때에는 6 장에서다룬 'rlocval' 명령을이용하면다음과같이쉽게이득값을얻을수있다. K=rlocval(00, [ ], *i); 따라서비보상속도오차상수는다음과같이계산된다. K ' v = 2K =.9230 단계 4) 정상상태성능목표를이루기위한속도오차상수는 K v = 0 이므로뒤짐비는다음과 같이선정한다. ' Kv.9230 a = = = K 0 v 단계 5) 이로부터뒤짐보상기의영점 z 와극점 p 를각각다음과같이선정한다. z = 0. p = z a» 여기서영점z는임의의값이지만, 원래의비보상근궤적인 < 그림7.32> 의모양을크게변화시키지않도록하기위하여원점에가까운값으로정하는것이보통이다. 그리고이러한가정이성립하는지반드시선정후에확인하여야한다. 뒤짐보상기가추가된경우의근궤적을구하면 < 그림 7.33> 과같은데, 이궤적은원래의궤적인 < 그림7.32> 와거의같음을확인할수있다. 보상기를연결한후에도이처럼근궤적도가크게달라지지않는것은보상기의영점과극점이 s평면의원점에아주가깝게있어서단계 2) 에서정한근주위의근궤적에영향을거의미치지않기때문이다. numg = 00; deng = [ ]; z = 0.; p = 0.092; numgc = [ z]; dengc = [ p]; [num,den] = series(numg,deng,numgc,dengc); K = logspace(-3,,200); rlocus(num,den,k); 48

49 < 그림 7.33> 뒤짐보상기로보상된시스템의근궤적 단계 6) 이렇게정한보상기의영점과극점을써서설계된뒤짐보상기의전달함수는다음과같다. s + 0. H ( s) = s 이뒤짐보상기를적용한폐로시스템의계단응답을구해보면 < 그림 7.34> 와같다. 이결과는보데 선도를이용하여설계한뒤짐보상기에의한폐로시스템의계단응답인 < 그림 7.29> 와비슷하다. K = 0.965; numg = 00; deng = [ ]; numgc = K*[ 0.]; dengc = [ 0.092]; [nums,dens] = series(numg,deng,numgc,dengc); [num,den] = cloop(nums,dens); 49

50 t = 0:20:0.; step(num,den,t); < 그림 7.34> 뒤짐보상기에의한폐로시스템의계단응답 이파일의실행결과가 < 그림7.34> 이다. 이것은보데선도법으로설계한결과인 < 그림7.29> 의응답곡선과거의같다는것을알수있다. 또한구해진뒤짐보상기의전달함수들을비교해보아도서로비슷하다는것을확인할수있다. 즉, 보상기의설계에있어서보데선도를이용한방법이나근궤적을이용한방법모두그유용성과결과가비슷하다고할수있다. 두기법의차이점은보데선도를이용한설계법에서는안정성여유를고려할수있기때문에견실안정성까지설계목표로할수있는반면에근궤적을이용한설계법에서는견실안정성을직접고려할수는없다는점이다. 그러나보데선도를이용한설계법에서는성능목표달성을위한설계가쉽지않은반면에, 근궤적을이용한설계법에서는원하는성능목표를고려한극점선정을통해성능목표달성을위한제어기설계를쉽게할수있다. 따라서두방법모두장단점이있기때문에어느방법이더낫다고말할수는없으며, 사용자의편의에따라어느것이나사용할수있다. 요점정리 50

51 ) 주파수영역에서제어시스템을설계하면설계변수에오차가있더라도제어시스템의성능이웬 만큼보장되기때문에시간영역에서설계하는것에비해상당히견실한시스템을구성할수있다. 2) 보데선도는크기응답과위상응답그림표로이루어진다. 이그림표에서가로축은모두주파수에 대한대수눈금을쓰며, 세로축은크기응답에서는크기를데시벨 [db] 로나타내는대수눈금을, 위 상응답에서는위상각을각도단위 [ ] 로나타내는선형눈금을쓴다. 3) 보데선도는주파수응답특성을필산으로도할수있도록고안된방법이지만시스템이복잡한경우에는이것을필산으로그리기에는번거로울뿐만아니라계산오차도커진다. 따라서이경우에는컴퓨터를활용하는것이좋은데, 이러한용도로셈툴꾸러미에는일반적인전달함수에대해서보데선도를쉽게그릴수있는명령어가제공된다. 4) 안정도여유는시스템모델의불확실성에대해서안정한정도를나타내는상대적지표로서이득여유와위상여유로표시한다. 바람직한안정도여유는이득여유 6[dB] 이상, 위상여유 30 60[ ] 이다. 유의할점은이득과위상여유는이득과위상가운데각각하나만변화할때의안정도여유이며, 둘이동시에바뀌는경우에는여유가상당히줄어든다는것이다. 5) 보상기란대상시스템의위상특성의일부를적절히바꾸기위해추가되는장치를일컬으며, 미리설정된안정도와성능목표를달성하기위해시스템전체의특성을고려하여설계되는제어기와구별된다. 앞섬 ( 뒤짐 ) 보상기는대상시스템의위상을적절히앞서도록 ( 뒤지도록 ) 보상하는장치로서각각 차의전달함수로표시된다. 이보상기들은따로쓰이거나또는주파수역을달리하여함께쓰이기도하며, 함께사용할경우에는 2차전달함수로표시된다. 6) 앞섬보상기는시스템의상승시간을빠르게하고대역폭을증가시키는등과도응답특성을개선시킨다. 반면에뒤짐보상기는시스템의정상상태오차를줄이는등정상상태응답특성을개선시키지만상승시간이나정착시간이느려진다. 앞섬 / 뒤짐보상기는과도응답과정상상태응답특성을함께개선시키기위해쓰인다. 7) 주파수영역에서제어기를설계할경우에보데선도를이용하는방법과근궤적을이용한방법은모두유용한기법으로서같은문제에대해비슷한결과를얻을수있다. 보데선도를이용한방법에서는견실안정도까지고려할수있으나성능을고려한설계가쉽지않으며, 근궤적을이용한극배치법에서는견실안정도를직접고려할수는없으나성능을고려한설계를쉽게할수있어서서로간장단점을갖고있다. 따라서어느방법이더낫다고할수는없으며, 사용자의편의에따라어느것이나사용할수있다. 참고문헌 제어시스템공학, 권욱현, 권오규, 홍금식, 이준화저, 999, 청문각. 5