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1 기초천체역학 이희원 March 1, 2015

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3 Contents 1 역학과운동학 어림계산과단위 운동학의기본 데카르트좌표계에서물체의운동 데카르트좌표계에서면적속도 뉴턴의운동법칙 시간과공간 질량,관성좌표계 운동법칙의간단한내용들 운동량과운동량의보존 일과에너지 에너지보존법칙 각운동량과각운동량의보존 고전역학과 미분방정식 고전역학과미분방정식 미분방정식의분류 미분방정식의해와초기조건 Fundamental Theorem of Differential Equations 선형미분방정식의성질 간단한해법들 변수분리 적분인자 전미분, total differential, or exact differential 상수계수의선형미분방정식 Euler공식 보조방정식 중근이 있는 보조방정식을 갖는 상수계수의 선형미분방 정식 inhomogeneous equation i

4 ii CONTENTS 3 조화진동자와 공명 단순조화진동자, simple harmonic oscillator 단순조화진동자의에너지 단순조화진동자의운동과에너지적분 마찰을 받는 단순조화진동자 Damped Harmonic Oscillator 마찰을받는조화진동자의에너지 외부힘이구동하는조화진동자와공명 외부힘이구동할때에조화진동자의운동방정식 공명현상 작은진동 (Theory of Small Oscillations) 위상공간과조화진동자 위상공간과마찰없는조화진동자 마찰받는조화진동자와 위상공간 단진자 단진자의운동방정식 단진자의 위상공간 타원적분과단진자 등시 흔들이 (isochronous pendulum and tautochrone curve) 라플라스변환 (Laplace Transform) 라플라스변환의정의 라플라스변환의선형성 도함수의라플라스변환과미분방정식 Externally Driven Harmonic Oscillations 중력과케플러법칙 중력의법칙 만유인력의 법칙 (Law of Universal Gravitation) 공껍데기의중력 체문제 - Two Body Problem 극좌표계의운동학 차원극좌표에서물체의운동 차원극좌표계와면적속도 차원극좌표계에서운동 원뿔곡선 (2차곡선) 원뿔곡선의극좌표방정식 케플러법칙과뉴턴역학 케플러제2법칙과달의칭동 유효위치에너지와운동의양상 케플러제1법칙과원뿔곡선궤도방정식 원뿔궤도운동의분석 -동력학과기하학의상호관계 케플러제3법칙 근점 이각과케플러해 타원의면적과관련된적분들 근점 이각(Anomaly)과 타원 궤도 운동의 분석 이심근점이각과달의경도칭동 이심근점이각과행성의속도

5 CONTENTS iii 4.6 이심률벡터또는 Laplace-Runge-Lenz Vector Superintegrability and Hodograph Kepler Problem in Cartesian Coordinates 데카르트좌표계에서케플러법칙 데카르트좌표계에서케플러방정식 포물선궤도운동 (Parabolic Motion) Radial motion with zero angular momentum 원운동 말굽궤도 Horseshoe Orbit 토성의양치기 위성 쌍곡선궤도와케플러역학 Deflection Angle Rutherford Scattering 케플러법칙과천체의운동 제한 3체문제 (Restricted Three Body Problem) 등각속력회전좌표계에서운동방정식 제한3체 문제와 라그랑쥬 위치 (Lagrange Points) 올챙이 궤도의 안정성 (Stability of Tadpole Orbits 수성의근일점 이동 지구-달사이의조석현상 동주기 자전 지구 자전의느려짐-영년변화 태양계천체의 2:3공명 수성궤도의 2:3공명 명왕성, Orcus와해왕성의 2:3공전궤도공명 항성계의천체역학 항성계의동력학적마찰 별떼의역학적진화 질량 분리, 증발과 중심 붕괴, Mass Segregation, Evaporation and Core Collapse 은하의천체역학 주전원 이론 - Epicycle theory 유효퍼텐셜과원에가까운궤도운동 Oort Constants와주전원각진동수 은하와나선팔 나선팔의모양함수 Closed orbits in a rotating frame 최소작용의원리와대칭성 최소작용의원리 변분법, Calculus of Variation 최속 강하 곡선 (The Brachistochrone Problem) Fermat원리와 Snell의법칙 겉넓이가 가장 작은 표면-Minimum Area Surface 다른형태의오일러방정식

6 iv CONTENTS 라그랑쥬 승수법, Method of Lagrange s Multipliers δ기호 라그랑지안함수와최소작용의원리 일반좌표와오일러-라그랑지안방정식 최소작용의원리와라그랑지안역학의간단한예들 일반좌표계와운동에너지 에너지 보존과 시간의 균일성- energy conservation and temporal homogeneity 운동량 보존과 공간의 균일성-linear momentum conservation and spatial homogeneity 각운동량 보존과 공간의 등방성-angular momentum conservation and spatial isotropy Noether의정리 Legendre변환과 Hamiltonian 간단한해밀토니안예제들 특수상대성이론과 Lagrangian Formulation 슈테켈퍼텐셜 연결된조화진동자 개의연결된조화진동자 약한 연결과 맥놀이 (Weak Coupling and Beating) 운동의모드 Liouville의정리 Poisson Brackets 회전운동 회전운동의소개 모여 있는 입자들의운동 벡터 연산-스칼라곱, 벡터곱, Kronecker delta와 Levi-Civita 기호 강체회전-2차원회전 각운동량과회전관성 회전운동에너지 강체회전-일반적인회전 각운동량과관성텐서 강체의회전운동에너지 관성텐서의대각화(diagonalization of inertia tensor) Hermite matrix의성질 관성텐서의대각화 관성좌표계(실험실 좌표계)와 회전좌표계(비관성좌표계) 회전좌표계에서보이는관성력들 -원심력과코리올리힘 지구 자전에 의한코리올리효과 Foucault Pendulum 강체회전 - 일반회전 토크를받지않을때의 자유회전운동 - Torque free motion 관성타원체의운동과 Poinsot Construction 대칭강체의 자유회전과 Chandler Wobble

7 CONTENTS v 토크없는회전의안정성 회전변환과직교행렬(orthogonal matrix) 유클리드공간의회전변환 임의의회전축에대한회전변환 오일러각과 입체회전 대칭팽이의회전 대칭팽이의운동방정식 팽이의 세차와 장동-precession and nutation of a spinning top Locus of Figure Axis -팽이축의궤적 꼿꼿한팽이 - sleeping top 지구춘분점의세차 : Lunisolar Precession 직관적계산 더해석적인계산 중력퍼텐셜 중력장의가우스법칙 중력퍼텐셜 중력퍼텐셜과에너지보존 공껍데기의중력퍼텐셜 고른밀도를갖는공내부의퍼텐셜 Poisson방정식 -밀도와퍼텐셜 타원체의중력퍼텐셜 Legendre함수와구면조화함수 타원체의퍼텐셜 자전에 의한타원율 Green함수와중력퍼텐셜 조화진동자의그린함수

8 vi CONTENTS

9 Chapter 1 역학과 운동학 1.1 어림계산과단위 천문학이나물리학에서다루는숫자크기의범위는우리가다른사회생활에 서사용하는숫자들보다범위가훨씬크다.원자핵에서강한핵력이 작용하는 범위는십조분의 1센티미터정도이고 은하와 은하가서로중력을 작용하는거 리들은수백만광년이넘는다. 1광년을센티미터로표현하면 1다음에 0이 18 개가붙는다.그러므로,우리 은하와 이웃안드로메다 은하까지거리 250만광 년을센티미터로표현하면 2.5에 10의 24제곱을곱한값이된다.그리고,우주의 탄생이나거대 은하단의구조를논할때에는 이들숫자보다훨씬더작은크 기와더큰크기를 이야기하게된다.우리가공부하는천문학은 이와같이넓은 범위의숫자를다루기때문에많은 유효숫자를데리고정밀한계산을하는 것보다는개략적인계산을통한어림값을먼저알아보려는시도를많이한다. 이때에는주어진물리량들의크기를 10의거듭제곱으로표현할때에그거듭 제곱수만이중요하다. 이와같이 10의거듭제곱으로표현한크기를흔히 order of magnitude라고한다. 이러한 order of magnitude계산의예를들어보자. 우리태양은궁수자리에 있는 은하중심을중심으로초속약200 km/s의 속도로돌고 있다.그리고,태양은 은하중심에서 8 kpc정도떨어져 있다.여기 에서태양의속도나태양과 은하중심까지거리를정밀하게측정하려고많은 노력을기울이고 있지만,생각만큼쉬운 일이아니다.그렇기때문에 이정도 정보로나마우리 은하에대하여많은정보를캐보려는노력을기울인다.예를 들면,태양이 은하를한바퀴도는데에얼마의시간이걸릴지살펴보자. 1 pc 의거리는 1AU의약20만배이고, cm로환산하면 cm이다.그러므로, 태양의궤도거리는 cm 이다. 이값을 200 km/s = cm/s로나 누면 초를얻는다.즉,태양이우리 은하중심을한바퀴도는데에걸리는 시간은초단위로그order가 16이다.또한 1년은 3천만초이다.그러므로,태 양이 은하한바퀴도는데에걸리는시간은약3억년이된다.태양의나이가 수십억년이므로,적어도태양은 은하를 10바퀴 이상돈셈이다.그리고, 1억년 이하의수명이매우짧은조기형항성들은태어나서 은하를한바퀴를돌수 없는운명에놓여 있다. 이러한논의의증거를우리 은하에서나타나는별들의 분포에서도찾을수있다. 은하를더오래배회한늙은별들은 은하원반으로부 1

10 2 CHAPTER 1. 역학과 운동학 터더많이퍼져 있어서 thick disk를 이루고,태어난지얼마안되는젊은별들은 은하면가까이에만분포하여 thin disk를 이룬다. 이책에서 order of magnitude계산을 자주하지는않겠지만,종종많은 자연 현상의대체적이고그럴듯한설명을빨리얻고자할때에사용할것이고,연습 문제에종종나타날것이다. 천체물리학을공부할때에고민스러운점하나가사용할단위에관한것이 다. 일반물리학을시작할때에당연히국제표준으로쓰고 있는 SI단위계를 쓰면간단하겠지만,안타깝게도상황이꼭그렇지만은않다.많은천문학자들 은여전히 cgs단위계를써서계산을해왔고,많은논문이 cgs단위계로결과가 제시되어 있다.그렇지만,또한점점많은천문학자들이 자신의연구결과를 SI 단위계로표현하여논문을쓰고 있으며,또한 SI단위계를사용하는교재들도 늘어나고 있는추세이다. 이러한점을고려한다면, SI단위계를사용하는것이 바람직하겠지만그래도,전통적으로 cgs단위계를써온 이유를외면할수만은 없는것이사실이다.특히, cgs단위계는역학보다는전자기학에서전기마당과 자기마당을같은물리적단위를갖는물리량으로취급하기때문에매우편리한 단위계이다.그래서,소수의물리학자혹은천문학자들은 cgs단위계를사용한 교재의존재가반드시필요하다고생각하고 있으며,나도 이러한생각에동 의한다.그러므로, 이책에서는다수의생각과같지않더라도, cgs를기반으로 논의를전개하려고한다.그러나,실질적으로역학에서는어떤단위계를사용 하더라도,물리공식의표현이다르지않기때문에 이시점에서고민할부분은 아닌것같다. 물리학은단순한상황에서물리법칙을적용하여,물리적시스템의행동을 정량적으로기술하고자하는경우가대부분이지만,실질적으로물리법칙을깔 끔한수식을통하여기술하기어려운때가대부분이다. 이러한상황에서는그 물리적시스템을기술하는몇가지물리량들이갖는단위로부터그물리적시 스템의행동을예측할수있는경우가많다.다음과같은논의는한가지예라고 볼수있다. 보기 1-별의탄생시간규모 거대한분자구름이스스로무게를 이기지못해서무너져내리는상황을 생각해보자.많은천문학자들이궁금해하는 의문가운데하나는 이러한거대 분자구름이중력붕괴하는데에걸리는시간이다. 이때에분자구름의질량을 M,크기를 R이라고하자.실제로 이문제는대단히복잡하면서도중요하기 때문에,컴퓨터를사용해서열심히연구하고 있는문제이다.여기에서는지나 치게단순하게생각해서스스로의무게로주저앉는시간의 order만을단위에 집착해서계산해보자.중력의크기를주는상수 G는힘을질량제곱으로나눈 후에거리제곱을곱한단위를갖는다.그리고,힘은질량과가속도의곱이다. 그러므로, G의단위는 [G]=[힘]/[질량*질량]*[거리*거리]=[질량*거리/시간/시간]/[질량*질량]*[거 리*거리] =[거리*거리*거리/시간/시간/질량] 이다.그러므로,시간을단위로갖는물리량을얻으려면 G에거리세제곱을 나누고질량을곱한후그제곱근역수를얻으면되겠다.거리를갖는물리량 은분자운의크기 R이고질량은분자운의질량 M을쓰면되겠다.그러므로, 시간의단위를갖는물리량은 G,M,R을써서

11 1.1. 어림계산과단위 3 T (R 3 /GM) 1/2 (1.1) 과같은조합이된다. R 1 pc의크기를갖고,밀도가 n 10 2 cm 3 인분자 구름은그질량이대략 M m p nr 3 [10 24 g][10 5 cm 3 ][10 55 cm 3 ] g 10 3 M 으로주어진다. 이러한값을대입하면,분자구름이중력붕괴하는데 에걸리는시간규모가 T [ / /10 36 ] 1/2 sec sec 10 6 years를얻는다.그러므로, 이러한분자구름이별을만들기 위하여수축하 는데에걸리는시간규모를수백만년정도로어림할수있다.그러나,실제의 분자구름의경우중력에 의하여수축을시작하면,구성 입자들의열운동이 활발해져 이에 의한압력을고려해야한다. 이러한다양한물리적논의를무시 하면매우개략적인붕괴시간만을어림할수있을뿐이다. 보기 2-우주의광자밀도 (photon density of the universe) 우리우주는 3K에열평형을 이루는광자의집단이배경복사를 이루고 있다. 1세제곱센티미터라는 작은공간에광자의개수를어떻게헤아릴까?정확하게 세려면흑체복사의광자분포에대한정확한식을사용해야한다.여기에서는 간략하게흑체복사를 이루는광자의개수밀도가흑체를대표하는광자의파 장길이크기의정육면체에대략 1개정도로분포한다는사실을받아들여서 계산하자.온도 T 의흑체를대표하는광자의파장λ란 h c λ = k BT or, λ = hc k B T (1.2) 를만족한다는사실을 의미한다.여기에서 k B = J K 1 으로주어진 볼츠만상수이고 h = J s로주어지는플랑크의상수이다. 이것도 h,c,k B,T를써서길이의차원을갖는물리량을조합하는방법으로부터 λ를 찾을수있음을 의미한다. 이식을계산하면대략온도가 K인흑체에대 하여 λ 10 6 m의값을얻는다.또는온도가 3 K인흑체에대해서는약4mm 의값을얻는다.따라서,현재우주에는 1세제곱센티미터의정육면체에대략 10 개정도의광자가존재한다.세밀한계산을하면대략 1000개정도존재하며그 이유는흑체를대표하는광자의파장을 위식에서나타낸값보다약4분의 1값 을사용해야하기때문이다.한편, 이에반해원자를대표하는양성자의개수는 이보다수십억배적게존재한다. 문제 1. 산란과 꺾임각 (Scattering and Deflection Angle) 작은질량을가진천체가큰질량의천체의근처를빠르게지나가면,가벼 운천체의궤도가살짝어긋난다.어긋나는정도를꺾임각 φ으로나타낸다. 궤도가어긋나는 이유는무거운천체의중력이 작용하였기때문이다.무거운 천체의중력을나타내는척도는 GM이고, M은 이천체의질량이다.가벼운천 체가속력v 0 으로운동하고,무거운천체에접근하는거리가b일때에G,M,b,v 0 를적당히조합하여그단위가 φ와같게정하시오. 문제 2. 중력적색편이와 시간 팽창 (Gravitational Time Dilation)

12 4 CHAPTER 1. 역학과 운동학 (1)지표면에 있는시계는지구로부터아주먼곳에놓인동일한시계보다 더천천히째깍인다.그이유는지구중력에 의하여시공간이휜다는아인슈타 인의 일반상대성 이론으로설명된다.지표면에서두사건이서로다른시각에 일어났을때에지표면에 있는시계로두사건사이에경과한시간을 T라고 하고, 이두사건을지구에서아주먼곳에 있는관측자가측정한시간간격을 τ라고하자. 이두물리량사이의비율 γ = T/ τ은당연히차원이없는 물리량이다.지구의질량을 M,지구의반지름을 R,중력상수를 G,빛의 속력을 c로놓고 이들을조합하여단위가없는물리량을만드시오. γ는어떤 조합으로 나타날까? (2)지구표면으로부터질량m을갖는물체의탈출속도 v esc 를 m 2 v2 esc = GM m/r 와같이놓아정의한다고하자.즉, v 2 esc = 2GM R (1.3) 위 (1)에서구한 γ의표현을 v esc 와 c를써서나타내시오. 문제 3.플랑크물리량 (Planck Area, Mass and Length) (1)중력상수 G,플랑크상수 h,빛의속도 c를사용해서넓이의차원을갖는 표현을 제시하시오. (2)중력상수 G,플랑크상수 h,빛의속도 c를사용해서질량의차원을갖는 표현을 제시하시오. (3)중력상수 G,플랑크상수 h,빛의속도 c를사용해서길이의차원을갖는 표현을 제시하시오. 1.2 운동학의 기본 물체의운동을기술하기 위해서는물체의 위치를시간에따라서나타낼수있어 야한다.우리는 일반물리학이나기초미적분학에서 이러한연습을해본경험이 있다.고전물리학에서는시간이공간과철저히분리되어완전히독립된물리 량이다.따라서,우주전체에걸쳐하나의시간이공간적인 위치와무관하게 흘러간다.시간이달라지면서물체의 위치가달라지면물체의 위치를시간의 함수로표현할수있을것이다. 3차원공간에서물체의 위치는 3개의공간좌 표로표현되고 이들 3개의공간좌표는각각시간의함수이다.흔히,수학에서 x를독립변수로나타내고, y(x)를종속변수혹은 x의함수로나타내는것과 같이,고전물리학에서물체의운동을다룰때에흔히시간 t가독립변수가되 고물체의 위치를나타내는세개의공간좌표 x(t),y(t),z(t)가종속변수혹은 t의함수가된다 데카르트 좌표계에서 물체의 운동 물체의 위치(position)를 나타내 주는 수학적인 양은 벡터 양이며 흔히 위치벡터 (position vector)r이라고 나타낸다. 우리과 3차원 공간을 생각하면, 위치벡터는

13 1.2. 운동학의 기본 5 3개의성분을갖는다.데카르트좌표계를 잡으면, 위치벡터는 r = xˆx+yŷ+zẑ (1.4) 과같이표현할수있다.여기에서 ˆx는 x축방향의단위벡터이다.앞서언급 하였듯이,물체의 위치가시간에따라달라지므로 위치벡터 r = r(t)처럼 t의 함수이다. 따라서, r(t) = x(t)ˆx+y(t)ŷ+z(t)ẑ (1.5) 처럼시간 t의함수로나타나며,특히 이들은모두매끄러운함수로간주할 것이다. 물체의속도(velocity)역시방향과크기를갖기때문에벡터를써서표현할 수 있으며,같은취지로속도벡터(velocity vector)v로흔히나타낸다.주어진시 간간격 t동안에물체가 이동하여 위치의변화 r = r(t+ t) r(t)가생겼을 때에,두값의몫 r/ t은주어진시간동안나타난평균적인 위치변화율일 것이다.시간의간격을한없이 작게만들면,순간적으로 일어나는 위치변화의 정도를얻을수있으며, 이양을속도벡터라고정의한다.즉, r v(t) = lim t 0 t (1.6) 이제,앞에서소개한좌표계에서속도벡터의모습이어떻게보이는지살펴 보자.먼저,데카르트좌표계에서시각t일때에물체의 위치가 r(t) = x(t)ˆx + y(t)ŷ+z(t)ẑ에 있다가다음순간의시각t+ t에 r(t+ t) = x(t+ t)ˆx+y(t+ t)ŷ + z(t+ t)ẑ = (x + x)ˆx +(y + y)ŷ +(z + z)ẑ로 자리를옮겼다고 하자. 이때에 위치변화는 r = r(t+ t) r(t) = xˆx+ yŷ+ zẑ (1.7) 으로주어진다.따라서,속도벡터는 v = v xˆx+v y ŷ+v z ẑ = dx dy dz dtˆx+ dtŷ+ dtẑ (1.8) 과같이나타낼수있다. 물체운동을기술할때에는 t로미분하는 일이다반사이므로,표현을간단히 하기 위하여 t에대한도함수를머리에점을찍어표현하기도한다.즉, dx dt = ẋ 와같이표현한다. 이와같은표현은뉴턴이미적분학을만들면서사용했던방식 이다.여기에비하여 dx나 와같은기호는 Leibniz가도입한기호이다. Newton 식표현법으로는 v = ẋˆx+ẏŷ+żẑ (1.9) 와같이나타낸다. 속도 벡터의 크기를 속력(speed)이라고 부른다. 데카르트 좌표계에서 속력v 의표현은 v = v v = [v 2 x +v 2 y +v 2 z] 1/2 (1.10) 과같이나타난다.속력은 0이상의값을가지며,속력이 0이면그물체는순간 적으로정지하여 있다.속력을시간에대하여적분하면움직인거리를얻을수 있다.물체가주어진시간동안 t = a에서 t = b까지운동한거리 s(a,b)는 s(a,b) = b a v(t)dt (1.11)

14 6 CHAPTER 1. 역학과 운동학 로나타낼수있다. 이것은속력 v로짧은시간간격 dt동안 이동한거리 ds를 ds = [dx 2 +dy 2 +dz 2 ] = [v 2 x +v 2 y +v 2 z]dt = vdt (1.12) 과같이나타낼수있기때문이다. 속도벡터를시간에대하여미분하여가속도표현을다음과같이얻을수 있다. a = d2 x dt 2 ˆx+ d2 y dt 2 ŷ+ d2 z ẑ. (1.13) dt2 뉴턴식표현법을다시도입하면ẍ = d 2 x/dt 2 이다. 이표현법으로가속도를다시 나타내면 a = ẍˆx+ÿŷ+ zẑ (1.14) 와같다. 보기 1.등속도운동 등속도운동하는물체의 위치를표현해보자. v = v 0 으로 일정한값을가지 므로, 위치벡터는 r(t) = r 0 +v 0 t (1.15) 와같이주어진다. 이를성분에따라적으면 x(t) = x 0 +v 0x t, y(t) = y 0 +v 0y t, z(t) = z 0 +v 0z t (1.16) 보기 2.등가속도운동 등가속도운동하는물체의 위치를표현해보자. a = a 0 으로 일정한값을 가지므로,속도벡터는 v(t) = v 0 +a 0 t (1.17) 와같이주어진다. 이를성분에따라적으면 v x (t) = v 0x +a 0x t, v y (t) = v 0y +a 0y t, v z (t) = v 0z +a 0z t (1.18) 따라서,물체의 위치는 x(t) = x 0 +v 0x t+ 1 2 a 0xt 2, y(t) = y 0 +v 0y t+ 1 2 a 0yt 2, z(t) = z 0 +v 0z t+ 1 2 a 0zt 2, (1.19) 과같이주어진다. a = 0이면앞에서살펴본등속도운동과같은결과가나타 난다. 보기 3.등속력원운동 물체가반지름이 R인원위를따라서운동하고 있다고하자. 이운동이등 속력이면물체는 일정한시간간격동안 일정한각도만큼회전한다. 이물체가 그리는원이 x y평면에 있고중심이원점과 일치하게 잡으면 이물체의 위 치는 (Rcosθ,Rsinθ)와같이나타나는데,여기에서적당한상수 ω가 있어서

15 1.2. 운동학의 기본 7 θ = ωt를만족한다. 이때에 ω를각속력이라고부른다.물체의속도벡터의 x,y 성분은 v x = ωrsinωt, v y = ωrcosωt (1.20) 한번더시간에대하여미분하여가속도벡터의성분을구하면 a x = ω 2 Rcosωt = ω 2 x, a y = ω 2 Rsinωt = ω 2 y (1.21) 임을알수있다.특히, v r = 0이어서속도벡터가 위치벡터와수직이고, a = ω 2 r이어서 가속도 방향은중심을 향하여 이를 구심가속도(cenripetal acceleration)라고도 부른다. 가 문제 1.등가속도운동 (1)등가속도운동하는물체에대하여주어진시간 t동안 이동한거리 s s = 1 2 a t2 (1.22) 임을 보이시오. (2) x축방향으로 a의크기로등가속도운동하는물체에대하여 이성립함을보이시오. 문제 2.등속력운동과등가속력운동 v 2 2 v2 1 = 2a(x 2 x 1 ) (1.23) (1)어떤물체의운동을조사하였더니, 이물체가원점으로부터거리가항상 R로 일정하였다.즉,반지름 R인원위에서만운동한다고한다. 이물체의속도 벡터는언제나 위치벡터와수직임을증명하시오. (2)어떤물체의운동을조사하였더니, 이물체의속력v가항상 일정하였다. 즉, 이물체는속력 v로등속력운동을한다고한다. 이물체의가속도벡터는 속도벡터와수직임을증명하시오 데카르트 좌표계에서 면적 속도 데카르트좌표계에서물체의 위치가시간에대하여 (x(t),y(t),z(t)) = r(t)로 주어진다고하자. 일반적인 3차원운동은 잠시후에살펴보고,먼저물체의 운동이 x y평면에서만 일어난다고생각하여 z(t) = 0이라고놓자. x y평 면에서물체가 t = t 1 에 r(t 1 )인곳에 있다가짧은시간 dt이경과하여 이웃인 지점인 r(t 1 + dt)인곳으로 위치를옮겼다고하자. 이때에우리는원점 O에 대하여 이물체의 위치가 이루는선분이휩쓸고가는넓이 da를생각할수있다. 두평면벡터 a = (a 1,a 2,0)과 b = (b 1,b 2,0)이펼치는평행사변형의넓이는 A(a,b) = a 1 b 2 a 2 b 1 과같이주어진다. dt가매우 작은값이면,선분이휩쓴 부채꼴은삼각형이라고생각할수있으며,물체가 t 1 에서 t 1 +dt동안움직이면 서만든부채꼴의넓이는 r(t 1 )과 dr = r(t 1 +dt) r(t 1 ) 이펼치는평행사변형의

16 8 CHAPTER 1. 역학과 운동학 절반이라고 생각해도 좋다. 그러므로, da = 1 xdy ydx (1.24) 2 와같이주어짐을알수있다.그러므로,면적속도 Ȧ = da/dt를 와같이쓸수있음을알수있다. Ȧ = da dt = 1 xẏ yẋ (1.25) 2 예 1.등속력원운동하는입자의면적속도 일정한각속도 ω 0 로반지름 R인원을따라등속력원운동하는원의중심에 대한물체의면적속도를알아보자. 이물체의 위치를 x(t) = Rcosω 0 t, y(t) = Rsinω 0 t (1.26) 과같이쓸수있다. 이때에 dx = Rω 0 sinω 0 tdt, dy = Rω 0 cosω 0 tdt과같이 나타나므로, Ȧ = 1 2 R2 ω 0 (cos 2 ω 0 t+sin 2 ω 0 t) = 1 2 R2 ω 0 (1.27) 과같이상수로주어짐을알수있다.또한, 이물체가원을한바퀴도는데에걸 리는시간인주기는 T = 2π/ω 0 으로주어진다.따라서, TȦ = πr2 는물체가원 궤도를한바퀴돌면서반지름이휩쓸고넓이로서원궤도의넓이에해당한다. 예 2.등속도직선운동하는입자의면적속도 일정한속도로직선운동하는 입자의면적속도를알아보자. 이물체의 위치 는 x(t) = x 0 +v x,0 t, y(t) = y 0 +v y,0 t로주어진다.dx = v x,0 dt이고,dy = v y,0 dt 이므로 Ȧ = 1 2 x 0v y,0 y 0 v x,0 (1.28) 과같이상수로주어짐을알수있다.그러므로, 이 입자의면적속도 일정하다. 원점 O가 입자의궤도 위에놓여 있지않다면,원점에서직선궤도에 이르는 수직거리 h가양수로주어질것이다. 이때에 Ȧ = hv/2와같음을알수있다. 그 이유는면적속도가 일정하기때문에직선궤도의어느 위치에서계산해도 같은값이나올수밖에없고, 입자의 위치가속도에수직인곳에서계산하면 hv/2일 것이기 때문이다. 앞의예에서등속도운동하는 입자의경우면적속도가상수로주어짐을알 아보았다.그이유를다시다음과같이새겨보자.다음과같은양을생각하자. l z = xẏ yẋ (1.29) 이양의절대값의절반이면적속도의크기가된다.등속도운동하는 입자의 경우가속도의값이 0이다.그러므로, d dt l z = xÿ ẍy = 0 (1.30)

17 1.2. 운동학의 기본 9 을얻는다. 이결과로부터평면에서등가속도운동하는 입자의 l z 는상수임을 알수있다. 이와같이정의된물리량 l z 를비각운동량의 z-성분이라고말한다. 이것은 l = ˆx(yż zẏ)+ŷ(zẋ xż)+ẑ(xẏ yẋ) = r v (1.31) 과 같이 정의된 비각운동량 벡터의 z-성분이다. 비각운동량 벡터(specific angular momentum vector)는 입자의운동이갖는회전성분을나타내주는중요한 물리량이다.비각운동량을 2로나눈벡터는 입자가원점에대하여휩쓸고가는 면적을알려준다. 여기에서우리는면적은방향과크기를갖는벡터로생각하는것이매우 자 연스럽다는점을살펴보아야겠다.물체가 위치 r인곳에 있다가 dr의변위에 해당하는운동을했을때에 이물체가휩쓴면적벡터를 da = 1 r dr (1.32) 2 과같이나타내고, da/dt = 1 2 r v를면적속도벡터라고부르면좋을것이다. 물체가시선방향으로만운동하면물체의면적속도는언제나 0임을확인하는 것도 의미가 있다. 등속도운동하는물체의경우면적속도벡터가 일정하다는사실을다음과 같이증명해보자. d dtȧ = 1 [ṙ v+r a] = 0+0 = 0 (1.33) 2 이다.우변의첫항이 0인 이유는같은벡터끼리외적이 0벡터이고,두번째항이 0인 이유는등속도운동이라는조건때문이다. 문제 1. Motion along a parabola 다음과같은식으로주어진포물선을따라 t = 0일때에 입자가원점을 출발하여 1사분면에서 일정한면적속도로운동한다고하자. y 2 = 4px (1.34) (1) 입자가 (x,y)에 위치할때에원점부터 이곳까지휩쓴면적이 A(x) = ( x 4px 6 2) + p (1.35) 로주어짐을보이시오. (2)상수 C가면적속도일때에 dx dt = 2C x (1.36) p(x+p) 와같이주어짐을보이시오.또한 dy dt = p dx x dt = 2C x+p (1.37)

18 10 CHAPTER 1. 역학과 운동학 임을 보이시오. (3)가속도가다음과같이주어짐을보이시오. d 2 x dt 2 = 2C2 p p x d 2 y (x+p) 3, dt 2 = 2C2 p y (x+p) 3 (1.38) 초점 (p,0)에대한물체의 위치벡터를 R = (x p,y)라고했을때에 이식의 벡터표현이 d 2 R dt2r = 2C2 p R 3 (1.39) 임을보이시오.나중에뉴턴의운동법칙과케플러법칙을공부하면, 이 입자의 운동은초점으로부터거리제곱에반비례하는힘을받아운동한다는사실을 확인할수있을것이다. 문제 2. Motion along a hyperbola 쌍곡선 x 2 /a 2 y 2 /b 2 = 1을따라운동하는 입자를생각하자. 이 입자의 위치를매개변수 ψ를써서 x(t) = acoshψ(t), y(t) = bsinhψ(t) (1.40) 과같이나타낼수있다. (1) 비각운동량의 z성분이 lz = ab ψ (1.41) 로주어짐을보이시오. 이결과로부터 입자의면적속도는 과같음을알수있다. da dt = 1 2 ab ψ (1.42) (2) ψ = 0인곳(점 V)부터 임의의양수 ψ로표현되는곳까지휩쓸고지나간 면적은 A(ψ) = 1 2 abψ = 1 ( a2 x 2 2 abtanh 1 = ab ) x 2 ln x x a + 2 a 2 1 (1.43) (3) 이제 입자가휩쓰는면적을쌍곡선의초점인 F(f,0)에대하여측정하 자.여기에서 ǫ이쌍곡선의 이심률(eccentricity)일때에 f = aǫ = a 2 +b 2 임에 주의하자. 임의의 위치 P에 있는 입자를매개변수 ψ로표현할때에, 이 입자가 ψ = 0인점V로부터휩쓴면적은 와같이주어짐을보이시오. Area(VFP) = 1 ab(ǫsinhψ ψ) (1.44) 2

19 1.3. 뉴턴의 운동법칙 11 문제 3. Motion along an ellipse 장축과단축의반지름이a와b인타원(x 2 /a 2 ) (y 2 /b 2 ) = 1을따라운동하는 입자를생각하자. 이 입자의 위치를매개변수 θ를써서 x(t) = acosψ(t), y(t) = bsinψ(t) (1.45) 과같이나타낼수있다. (1) 비각운동량의 z성분이 lz = ab ψ (1.46) 로주어짐을보이시오. 이결과로부터 입자의면적속도는 과같음을알수있다. da dt = 1 2 ab ψ (1.47) (2) ψ = 0인곳(점 V)부터 임의의양수 ψ로표현되는곳까지휩쓸고지나간 면적은 A(θ) = 1 ( ab a2 x abψ = tan 1 = ab ) x 2i ln x a +i 1 x2 a 2 (1.48) (3) 이제 입자가휩쓰는면적을타원의초점인 F(f,0)에대하여측정하자. 여기에서 f = aǫ = a 1 b 2 /a 2 이며 ǫ = 1 b 2 /a 2 은타원의 이심률(eccentricity)임에주의하자. 임의의 위치P에 있는 입자를매개변수ψ로표현할때에, 이 입자가 ψ = 0인점V로부터휩쓴면적은 와같이주어짐을보이시오. Area(VFP) = 1 ab(ψ ǫsinψ) (1.49) 2 문제 4. Motion near the Earth s Surface 지표면에균일한중력가속도 g = gŷ에 의하여 y축에수직인직선 x = a 을따라등가속도운동하는물체를생각하자. 이물체의시각 t일때위치는 y = 1 2 gt2, x = a (1.50) (1)원점에대하여 이물체의면적속도Ȧ를구하시오. (2) Ä = ag임을보이시오. 1.3 뉴턴의 운동법칙 고전역학은기본적으로뉴턴의운동방정식을푸는학문이라고말할수있다. 뉴턴의운동법칙은 잘알려진바와같이 3개의법칙으로되어 있다.

20 12 CHAPTER 1. 역학과 운동학 제1법칙 -관성의법칙 : Law of Inertia 힘이외부에서 작용하지않는한,정지한물체는계속정지하고 있으며,운 동하는물체는속도를바꾸지않는다. 제2법칙 -운동의법칙 : Law of Motion 질량이 m인물체에외부에서힘이 작용하면,물체에생기는가속도는힘의 크기에 비례하고 질량에 반비례한다. 제3법칙 - 작용과반작용의법칙 : Law of Action and Reaction 두물체가서로 작용하는힘은크기는같고방향은반대이다 시간과 공간 흔히 제1법칙을 관성의 법칙(law of inertia)이라고 부르고, 제2법칙은 운동의 법 칙(law of motion), 제3법칙은 작용-반작용의 법칙(Law of action and reaction) 이라고부른다. 이 3가지법칙은뉴턴이물체들의운동을기술하기 위하여가정 한 법칙이다. 수학에 비유한다면, 수학에서 공리(axiom)에 해당한다. 수학에서 공리는증명하지않는명제이며, 이들을논리의출발점으로삼는다.예를들면 기하학에서는서로다른두점을연결하는직선은 유일하게존재한다는것이 여러개의공리가운데하나이다.공리로삼은명제들은기하학이라는학문을 건설하기 위하여그냥받아들이고, 이들을시작점으로삼아더복잡하고 의미 있는 명제들을 증명한다. 또한,공리를 이루는단어들에대한엄밀한정의를부여할수는없다.예를 들어기하학에서점,선,면과같은용어는정의를내리지않는다.점을크기가 없고 위치만 있는도형이라고정의를내린다면,다시크기, 위치,도형따위의 용어를새롭게정의해야하고, 이들을정의하기 위해서새로운용어들을도입한 다면끝이없을것이다.따라서,공리를구성하는용어들에게는특별한정의를 내리지않고 이들의 의미를서로 이해하고 있다고가정하고사용한다. 이들을 흔히 무정의 용어(undefined term)이라고 부른다. 운동법칙을 이야기할때에힘,질량,운동,물체와같은용어들을쓰고 있는 데, 이러한용어들은엄밀하게정의를내릴수없는용어들이다.그러나,물리학 이수학과그체계가다른점은물리학을통하여실제로 일어나는 자연현상을 이해하거나 일어나지않았던현상을정량적으로예측하려고한다는점에 있다. 따라서,우리는실험을통해서물리학법칙을통해서올바른예측을하였는지 검토할수있다.따라서,물리학의운동법칙은실험을통해서검증받아야하며, 법칙을 이루는용어들은조작가능해야한다.즉,우리는물질의질량을엄밀 하게정의하지못하더라도, 1그램의물질을준비할수있어야하고,길이라는 물리량을엄밀하게정의내리기어렵더라도, 1cm의길이를실험실에서 잘준비 해야한다. 이와같은 의미에서물리법칙을구성하는용어들은우리가조작을 통해서 실험실에서 준비할 수 있는 그러한 조작가능한 양(operational quantity) 이되어야한다. 현재국제적으로조작적인정의를내리는물리량을살펴보자.예를들어 1초라는 시간은 세슘(Cs) 원자의 초미세구조(hyperfine structure)에서 나오는 천이선의주파수의역수를사용해서정의하고 있다. 1미터라고하는길이는

21 1.3. 뉴턴의 운동법칙 13 빛이 2조999억8천만분의 1초동안진행한거리로정의한다. 이와같은정의는 실험실에서쉽게준비될수있도록만들어진것이다. 이러한정의는역사적으로 많은변화가 있었다. 1미터라고하는정의는원래프랑스혁명이 일어난 이후, 자본주의의발달과함께경제규모가커지면서국제교역이늘어난시대배경 으로부터나타났다.나라와나라사이에도량형의통일은당시에매우중요한 문제였다.서로다른길이의정의를사용한다면심각한무역분쟁이 있을수있 다.따라서,모든국가가 이의없이사용할길이의정의가필요했고,그에따라 지구측량사업이제안되었다.즉,지구전체의길이를 재고,그길이를적당히 나누어서온세계에서납득할수있는길이의정의로사용하자는제안이었다. 이제안에따라, 1미터는지구둘레의 4천만분의 1로정의되었다.실제지구의 크기를측량한결과지구는적도부분이부풀어오른타원체임이증명되었다. 이결과는 이미지구의 자전에 의하여원심력이가장큰적도부분이부풀어 오를것으로오래전에예측된사실을확인하는순간이기도했다. 이러한측량사업에기반하여 1미터를정의한다음, 이사업을주도한프랑 스에 1미터길이에해당하는막대를제작하였다. 이막대는열팽창률이극도 로 작은합금으로제작되었으며,온도를각별히 일정하게 유지하여보관하고, 길이의표준으로삼았다. 이를미터원기라고불렀다.다른나라에서도각각 프랑스의미터원기와정확하게대조하여나름대로미터원기를제작하여보 관하였고,표준의정밀도를 유지하기 위하여프랑스미터원기와필요에따라 비교하였다.그러나, 이러한 작업은쉽게상상할수있듯이대단히번거로운 일이었다. 이후에길이의정의는양자역학의등장에따라원자를세밀하게 이해하게 되면서,크립톤(Kr)원자가방출하는천이선의파장을단위로길이의정의를 다시정의하였다. 이정의는어느특정한나라가미터원기를온정성을다해 보관할필요성을없애버렸다.언제어디서건크립톤원자를들뜨게하고거기 서나온천이선파장을측정하면길이의단위를얻을수있으므로,한결진보된 길이의조작적정의가된다. 현재쓰이는길이의단위는빛의속도가 일정하다는사실에기초해서먼 저,시간을정의하고,거기에다가빛의속도를곱하여길이의단위를얻는다. 과거에는길이를정의해서빛의속도를측정하였고,여러파장의다른빛이같 은속도로움직이는지확인하는실험을했다면, 이제는더이상빛의속도의 불변성을묻지않고받아들인다는뜻이다. 문제원래 1미터의정의를생각하여 위도 1도의거리를어림하시오.우리 나라를흔히삼천리강산이라고한다. 10리가 4 km라고할때에우리나라한 반도가실제로삼천리라면,남북으로 위도몇도에걸쳐 있어야하는가?실제 우리나라는 위도 10도에걸쳐 있다. 이거리는몇리인가? 시간의경우도비슷한역사를갖는다.시간은 일찌기천문학과 인연을맺 은가장중요한물리량이다.쉽게짐작할수있듯이, 1년을 365일로나누고 1 일을 24시간으로나눈다음, 1시간을 3600등분하여시간의기초단위인 1초를 얻는다.그러나, 이 작업이대단히복잡하고골치아픈 일이다.하루는지구가 스스로한바퀴도는운동에관련된시간이고, 1년이라는단위는지구가태양을 도는운동과관련되어 있는데, 이두시간규모가서로정수배로깔끔하게떨어 져야할 이유는전혀없다.그리고,실제로전혀정수배로나타나지않는다. 이 현상은달력을제작해야하는 임무를맡은사람에게는평생을바쳐도해결하기

22 14 CHAPTER 1. 역학과 운동학 어려운 문제이다. 지구는먼항성을기준으로 1회전하는데에 일걸리며, 이를항 성년(sidereal year)이라고 부른다. 그러나, 실제로 인간 생활에 관련된 1년은 태양이춘분점에서다음춘분점으로되돌아오는데에걸리는시간이다. 이 를 회귀년(tropical year)이라고 부르며, 이 값은 일이다. 1회귀년에 소수부분이 일이 있기때문에 4년이지나면 일의오차가남는다. 따라서, 4년마다 1일을더두는 윤년(leap yar)제도가생긴것이다.그러나,여 기에서도 일의오차가생기고, 이오차가 100번쌓이면 3.12일의오차를 남긴다. 4년씩 100번을 가려면 400년이 지나므로, 400년마다 3.12일을 빼주어야 한다.그렇게하기 위해서 100으로나뉘는해를다시평년으로만든다음 400 년으로나뉘는해를 윤년으로두어 이오차를 400년마다 -0.12의오차를남기는 방법을택한것이다. 그러나,더복잡한문제가산적해 있다.지구가태양주위를도는공전궤 도는정확히원궤도가아니라약간찌그러진타원궤도이다.우리는뒤에서 행성의궤도를구하는문제를풀것이다.타원궤도를운동하는지구의공전 은태양에가까울때에빠르고,멀리 있을때에느리다.따라서,별자리를따라 위치를 이동하는태양의속도가계절마다달라진다.지구에서태양이남중할 때부터다음남중할때까지걸리는시간을태양일(solar day)이라고한다. 이 시간은지구가먼항성을기준으로한바퀴회전하는항성일(sidereal day)과약 간의차이를갖는다.지구가먼항성에대하여 자전한바퀴를하는동안태양이 전체공전궤도의약1/365만큼 이동하므로약1도정도더이동한다.지구가 1도를더돌기 위해서는 60분/15=4분정도를더가야한다.즉, 1태양일이 1 항성일보다약4분길다.실제로 1항성일은 23시간 56분??이고 이값이진정한 의미에서지구 자전속도에해당한다.태양이 위치 이동하는속도가달라지면, 1 태양일도 그때그때 달라진다. 따라서, 태양이 남중하는 기간을 기준으로 시간의 척도를삼으면,날마다약간씩달라질수밖에없다.따라서, 1년동안태양일을 평균을얻어태양의움직임을평균해서얻은하루의기준을 1평균태양일(mean solar day)라고 한다. 이렇게복잡한천문현상에도불구하고,천문관측의정밀성은 20세기전 반까지는다른분야의추종을불허할정도였다.모든공장과실험실에서제 작된시계의정밀성은천문현상에기초한시간측정의정밀성을따라오지 못했다.따라서,천문관측이대단히어렵고,힘든 3D업종에들었지만,시간의 operational definition은 여전히 천문 현상에 기초하였다. 그러나,레이저의발명을필두로양자역학이동원된광학,전자공학의눈부 신발전에힘입어드디어천문학에바탕한시간측정에도전할준비가되었다. 원자의내부구조를제대로 이해할수있게되면서,원자들이만드는방출선 의 주파수는 양자역학의 뼈대가 되는 불확정성 원리(uncertainty principle)에 의하여어쩔수없는오차가 있다는사실을알게되었다.그리고, 이오차는원 자마다,또는같은원자라도천이선마다다르다 (공명에서다룬 quality factor Q가천이마다모두제각각다르며,시계의정밀성은 Q가결정한다.) 이제는 원자 자체가다양한정밀성을갖는시계로서역할을한다는사실을깨닫게된 것이다.물리학자들은천이율이 작아서 Q가대단히큰천이에주목하였다. 이 들은주파수가극초단파정도에 있어서전자공학적으로제어할수있는 Cs의 초미세구조의천이선을택하여시간의기준을정하게되었다. 이와같은시계들은보통정밀성이 이상을 자랑한다.즉, 초가지 나면 1초 이내의정밀성을 유지한다. 이러한시계는나중에상대론을공부할

23 1.3. 뉴턴의 운동법칙 15 때에다시논의되겠지만,지구의중력에 의하여휘어진시공간에도영향을받 을정도의놀라운정밀성이다.현재천문학적으로대단히높은정밀성을주는 시계역할을하는천체는펄사이다. 이제는천문학에서 자랑하는시간의정밀 성은천문현상과원자물리학에기초한새로운시간의정의에 의하여상대론의 영역까지세밀한과학적실험을수행할수있게되었다. 문제 1. General Relativity and Accuracy of Timing 일반상대성 이론에따르면지구표면에서시계의째깍거림과지구로부터 무한히먼곳에서시계의째깍거림이서로다르다.지표면에서시계의째깍거 림의시간간격 T 1 과무한히먼곳에 있는시계의째깍거림 T 사이에는 다음과같은관계가주어진다고한다. T 1 = T (1 h) (1.51) 여기에서 h라는물리량은중력상수 G,빛의속도 c,지구의질량 M,지구의 반지름 R의함수로서 h = GM α R β c γ (1.52) 의꼴로나타난다고한다. α,β,γ의값을구하고, 이결과로부터 h의값을구하 시오. GPS시간을결정하는원자시계를써서 h의값을실험적으로구할수 있을까? 질량, 관성 좌표계 운동방정식은뉴턴의제2운동법칙에 의하여 F = ma (1.53) 이다. 이식역시각항들을 일일이정의를내리면서시작하는 작업은불가능한 일이다.우리는직관적으로질량(mass)이 의미하는바를알고 있지만,질량 자 체를정의할수는없다.흔히질량을언급할때에같이생각하는개념은관성 (inertia)이다. 그리고, 질량을 관성의 척도로서 이야기한다. 한자말로 관성이라 는용어 자체는상태를바꾸고싶지않은성향을뜻하고,영어도같은 의미를 갖는다. inert gas라는용어를화학에서사용하는데, inert gas는원자의껍질이 모두채워져서도무지화학반응을 일으키지않고단독의원자상태로남아 있 는기체를 일컫는다.예를들면 He, Ne, Ar과같은기체들이다. 이런원소들은 상태를 바꾸려하지 않는다. 관성은뉴턴보다앞서서갈릴레이가물체의운동에대한세밀한관찰로부 터알려지게되었다.갈릴레이는당시아리스토텔레스적인세계관을공격하기 위하여많은노력을하였으며,관성의개념도비슷한맥락에서나온것같다. 마찰을무시할수있는면에서물체를한번살짝밀면물체는계속같은속도 로운동하리라는논리를그림과같은 장치를통해서논증하였다.물론, 이런 사실은 잘준비된실험실에서실험을할수있다.갈릴레이는외부의요인이 작 용하지않을때에는물체는운동의상태를 유지하려는경향이 있다고판단했을 것이다. 따라서,물질의운동상태를바꾸기 위해서는외부에서 작용하는 인자가 필요하다고생각했을것이다.그리고,경험으로부터무거운물체와가벼운물 체에같은힘을 작용하였을때에가벼운물체가더크게운동상태를바꾸는

24 16 CHAPTER 1. 역학과 운동학 것을목격해왔다.뉴턴은관성이라는모든물질이갖고 있는성질을정량화하 는 물리량을 제시하고, 그것을 질량(mass)이라고 불러서 운동방정식에 넣었다. 질량을엄밀한논리로서는정의내릴수없겠지만,조작적으로는정의를내릴 수 있을것이다.우리가앞에서시간과길이를정의하였기때문에,특정한물 질,예를든다면물을정확히부피 1000 cm 3 가갖는관성을단위로 잴수있을 것이다. 이런개념으로 1 kg의질량원기를만들수있다. 힘이라는개념은운동방정식을통하여들어간양이다.시간과길이의정의 를통하여가속도를정의할수있을것이다.또한,질량의정의와결합하면,힘은 주어진물질이 일으키는가속도의값을측정하고,그값을질량과곱하여얻을 수 있다. 이런 의미에서힘은다른더기본적인양으로부터 유도된양이라고할 수 있다.그러나,앞에서거리가시간과독립된양이고,빛의속도를측정했었 다가, 이제는빛의속도가더근본적이고, 이에따라거리를시간에종속적인 물리량으로표현하였다. 이처럼,더근본적이고,덜근본적인양을말하는것 은어느정도는상대적일수있고,또한물리학의근본체계와연관된문제일 것이다.어쩌면,우리는힘이나혹은 이와비슷한다른물리량을더근본적인 물리량으로생각하고,질량과같은물리량을 이에종속시킬려고할수도 있을 지모른다. 우리가역학이라는학문을통하여물리학이라는학문에첫발을디딘다.물 리학은수학과그체계에서많은비교를할수있고, 이런비교를통하여서로의 학문에대하여더깊이 이해하고,우리지식의범위를더넓힐수있을것이다. 역학에서또는다른분야의물리학에서많이사용되는용어가운데하나 가 관성좌표계(inertial reference frame) 이다. 물리학에서 reference frame은 수 학에서 이야기하는 좌표계(coordinate system)라고 생각할 수 있다. 좌표계는 주어진상황을기술하고자할때에기술하려는관측자에게편리하도록 임의로 잡을수있는것이다.따라서,같은주어진상황을기술하는데에 있어서,관 측자마다 자기에게편리한좌표계를도입할수있게되어,실질적으로같은 물리적상황을겉보기에는달라보이게기술할수있다.그러므로,물리학에서 가장중요한원리는좌표계에따라얼핏달라보이는물리적상황에서도실제 물리법칙은동일하게 작동한다는사실이다. 이원리를상대성원리(Principle of relativity)라고 한다. 다양한좌표계가운데역학에서중요한좌표계인관성좌표계는단적으로 표현해서뉴턴의운동법칙이성립하는좌표계이다.그리고,뉴턴의운동법칙이 성립하지 않는 좌표계는 비관성좌표계(non-inertial reference frame)이다. 관성 좌표계에대하여중요한정리는다음과같다. 관성좌표계정리한관성좌표계에대하여등속운동하는다른좌표계도관 성좌표계이다. 증명 한관성좌표계를 (x,y,z)로나타내고,다른좌표계를 (x,y,z )이라고쓰자. 두좌표계가서로등속운동하고 있으므로,관성좌표계에대하여다른좌표계가 움직이는속도를 v 0 라고하자. 이뜻은 x = x+v0,xt y = y +v0,yt z = z +v0,zt (1.54)

25 1.3. 뉴턴의 운동법칙 17 로쓸수있다는뜻이다. 이것을벡터형식으로쓴다면 r = r+v 0 t (1.55) 와같이되고 이때에 v 0 는상수벡터이다. 이제,다른좌표계도관성좌표계가될지확인하려면,뉴턴의운동법칙이성 립하는지 보면 된다. 뉴턴의 운동법칙이 성립한다면, 이 좌표계도 관성좌표계가 될것이다. ma = m d2 dt 2r = m d [ ] d dt dt (r+v 0t) = m d [v 0 + ddt ] dt (r) = m d d r = ma = F (1.56) dt dt 를얻는다.따라서, F = ma 이므로, 이좌표계도관성좌표계이다. 증명끝 이결과를다시표현하면한관성좌표계에대하여등속운동하는좌표계에서 는뉴턴의운동방정식의형태가바뀌지않는다.즉,뉴턴운동방정식은관성좌 표계에서 불변(invariant)이다. 이에 따라서, 관성좌표계는 단 하나만 존재하는 것이아니라무한히많이존재한다.혹시,우리가단하나의특별한관성좌표 계를선택하고,나머지모든관성좌표계를 이좌표계에대하여등속운동하는 좌표계라고말해도될까?아마도,뉴턴은특별한관성좌표계로먼항성들에 대하여정지한좌표계를특별한관성좌표계로생각했던것같다.그리고, 이 좌표계에대하여등속운동하는좌표계를관성좌표계로삼아,운동법칙이성 립한다고가정하고,역학의문제를해결하려고했던것같다.그러나,실제로, 먼항성들은하늘에고정되어정지한물체들은아니다.우리 은하에속한항성 들은 200 km/s라는대단히빠른속도로회전운동을하고 있다.우리 은하도 넓게보아서는우주의팽창에벗어나는운동을하고 있다.따라서,엄밀하게 특별한관성좌표계를 잡고거기에서뉴턴의운동법칙을논의하는것은다분히 철학적인문제이다. 이와관련된문제가바로 Mach의원리이다. 비관성좌표계에서는 F ma가 0이아니다.따라서, F inert = ma F (1.57) 라고쓰면, F inert 는비관성좌표계이기때문에나타나는가짜힘이다. 이러한힘 을 흔히 관성력(inertial force)이라고 부른다. 관성력의 예는 갑자기 올라가기 시작하는엘리베이터안에서느낄수있다.또는급히회전하는놀이기구에서 우리는원심력이라는힘을느끼면서벽면으로눌리는힘을받는다. 이러한힘들 은관성좌표계가아닌곳에서움직임을기술하려고시도했기때문에나타나는 힘이다.뒤에서더자세히 이야기하겠다. 문제-비관성 좌표계 다음과같이급한가속도로올라가는엘리베이터를생각해보자.엘리베 이터밖에 있는사람의좌표계는 (x,y,z)로나타내고,엘리베이터안에 있는

26 18 CHAPTER 1. 역학과 운동학 사람의좌표계를 (x,y,z )이라고하자.엘리베이터는밖에 있는사람이볼때 에 일정한가속도 a e 로움직인다.즉,엘리베이터바닥의좌표 Z 0 의값은 z 0 = 1 2 a et 2 (1.58) 이다. 이에따라,엘리베이터내부와외부에 있는사람들이택하는좌표계사이 에성립하는변환은 x = x, y = y z = z a et 2 (1.59) 와같이쓸수있다.엘리베이터내부에 있는사람에게성립하는운동방정식을 구하시오.

27 1.4. 운동법칙의간단한내용들 운동법칙의간단한내용들 운동량과 운동량의 보존 뉴턴의운동법칙으로부터증명되는몇가지내용들을정리해보자. 질량과속도를곱한물리량을운동량(momentum)이라고부른다. 이양은 뉴턴 자신은 quantity of motion이라고불러서우리말번역인운동량과같은 의미를갖는다.속도가방향과크기가 있는벡터양이기때문에운동량도벡터 량이다. p = mv (1.60) 힘이 작용하지않으면,운동량이보존될것이다.즉,운동법칙을 F = m d2 dt 2r = d mv (1.61) dt 과같이쓴다면, F = 0일때에 p = mv의시간에대한도함수가 0이므로,시간 에따라바뀌지않을것이다. 이것이운동량의보존법칙(law of conservation of momentum)이다. 보기 Dirac의 Delta Function Dirac의델타함수는엄밀한 의미에서는수학적인함수가아니지만 (수학 에서는 generalized function 혹은 distribution이라고 부른다.) 물리학과 또한 수학에서매우중요한역할을한다. Dirac의델타함수δ(x)는다음의 2가지성 질로서 정의한다. δ(x) = 0 if x 0 (1.62) 임의의양수 ǫ에대하여 ǫ ǫ δ(x)dx = 1 (1.63) 다음과같이정의된함수들이 Dirac델타함수의예가된다. (a) 자연수 n에대하여 f n (x) = 2n for x < 1/n and f n (x) = 0 otherwise. 이때에 δ(x) = lim n f n (x). (b) 자연수 n에대하여 g n (x) = n 1 π 1/2 e n2 x 2 로정의된함수들 g n (x)가 있을때에 δ(x) = lim n g n (x). Heaviside의 step function θ(x)는다음과같이정의된함수로서디락델타 함수와함께중요한함수이다. θ(x) = { 0 if x < 0 1 if x > 0 (1.64) 비록 x = 0에서 이함수는미분가능하지않지만, 이함수의도함수가 Dirac의 delta함수임을알수있다.즉, Heaviside함수는 x = 0이아닌곳에서는변하지 않으므로도함수값이 0이고 ǫ dθ ǫ dx dx = θ(ǫ) θ( ǫ) = 1이되어 Dirac의델타 함수의요건을모두갖추고 있다. 이제 이들두함수를써서다음과같은물체의 운동을들여다보자.

28 20 CHAPTER 1. 역학과 운동학 질량m인물체가 t < 0일때까지 x = 0인곳에멈추어 있다가 t = 0인순간에 impulse p 0 를받아운동하기시작한다. 이물체의운동방정식이 m d2 x dt 2 = p 0δ(t) (1.65) 와같이기술될것이다. 이운동방정식의해를구하려면양변을간단히적분 하면될것이다. mv(t) = p 0 θ(t)+constant (1.66) 로주어질것이다. t < 0일때에물체의속력이 0이었으므로적분상수가 0이다. 즉,물체운동은 mv(t) = p 0 θ(t) (1.67) 과같이주어지고, t > 0일때에물체는 일정한속력 v = p 0 /m으로움직인다. 문제 1. Impulse as a Dirac Delta Function 보기에서살펴본문제를조금더세밀히분석하자.다음과같은힘F n (t) 들이 t < 0일때에멈추어 있던질량 m의물체에가해진다고하자. { F n (t) = nf0 if (0 < t < T 0 /n) (1.68) 0 otherwise (1) 이러한 힘에 대하여 t > T 0 /n에서 나타나는 물체의 운동은 v(t) = F 0 T 0 /m임을보이시오. (2) F 0 T 0 = p 0 으로고정한채n 인극한에서물체에가한힘이 p 0 δ(t) 로쓸수있음을보이시오 일과 에너지 물체에힘을주어 위치를옮기게하면,우리는물리학적으로 일(work)을했다고 말한다. 이때에주어진물체에한일은힘벡터와 위치 이동에따른 위치변화 벡터의내적으로정의한다.즉, W = F r (1.69) 으로 일을정의한다. 일의단위는 MKS단위에서는열과 일에대한연구로 유명 한물리학자 Joule의 이름을따서만든단위 Joule을쓴다. cgs단위에서는 erg 를쓴다. 이말은그리스말로 일이라는뜻을갖고 있다. 이와같은정의에서는운동의방향이힘의방향과수직하게 일어날때에는 일이 0으로주어진다. 자기력과같은경우힘이언제나운동방향에수직하게 나타나므로 자기력이한일은 0이다.또는,책상 위에놓인물체에책상이주는 법선방향의힘은물체가다른힘에 의하여 이동한다고하더라도책상은 이 물체에대하여 일을하지않는다. 어떤물체에힘을주어운동의상태를바꾸었을경우에 이물체는에너지를 갖는다고 표현한다. 에너지(energy)라는 용어의 erg는 그리스말로 일을 뜻하는 말임을앞에서언급하였다.따라서,에너지는 일을할수있는상태에놓여 있 음을암시한다.질량이 m이고정지해 있었던물체에힘을주어 이물체가속도

29 1.4. 운동법칙의간단한내용들 21 v에다다르게되었다고하자. 이물체에해준일의양을계산해보자.운동 방정식의양변에속도 v = d dt r을내적하면 f dr dv = mv a = mv dt dt (1.70) 이다. 이때에 f dr = dw 이다.즉, f라는힘으로 작은 위치변화dr을 일으킨 d dv 것이다.또한, dt (v v) = 2v dt 이다.그러므로, 위식은바로 dw = 1 dt 2 m d dt (v v) = d ( ) mv 2 (1.71) dt 2 과같이쓸수있다.양변에 dt를생략하고,적분하면 (즉,치환적분하면) W = dw = v v i=0 d mv2 2 = 1 2 mv2 (1.72) 을얻는다.즉,정지한상태에대하여속도 v로운동하는물체는 1 2 mv2 의 일 을얻은상태에해당한다.따라서, 이물체는 이양만큼의운동에너지(kinetic energy)를갖고 있다고말한다.즉,질량m인물체가속력v로운동할때에 이 물체의운동에너지 K를 과같이정의한다 에너지 보존 법칙 K 1 2 mv2 (1.73) 우리는미적분학에서스칼라함수의기울기벡터(gradient)를배웠다.어떤스 칼라함수 φ(x,y,z)에대하여, 이함수의기울기벡터는데카르트좌표계에서는 φ(x,y,z) = φ φ φ x+ y+ x y z z (1.74) 으로나타난다.즉, x성분은 x로편미분한값이되고,나머지성분도마찬가지 로정의된다.그런데,물리학에서많이다루는힘이 이와같이스칼라함수의 기울기벡터로나타난다.기울기벡터의수학적인정의는다음과같은관계로 주어진다. dφ(r) = φ(r) dr (1.75) 즉,주어진곳r에대하여 이곳의 이웃인 r + dr에서스칼라함수값의차이 dφ = φ(r+dr φ(r)가기울기벡터와변위벡터의스칼라곱으로나타난다. 이러한기울기벡터는선적분에대하여매우특별한성질을갖는다.즉,주어 진두점P 1 (x 1,y 1,z 1 ), P 2 (x 2,y 2,z 2 )사이를연결하는 임의의경로 C를 잡아서 기울기벡터와선적분을하면,선적분의값이경로C에는무관하게주어진다. 즉, P2 P 1,C φ dr = φ(p 2 ) φ(p 1 ) (1.76)

30 22 CHAPTER 1. 역학과 운동학 와같이나타나고,경로적분의값이시작점과끝점의스칼라함수값으로만 주어진다. 우리가다루는많은물리적상황에서나타나는힘은 이와같이어떤스칼라 함수의기울기벡터로주어진다.그런데, 이러한경우에관습에 의하여스칼라 함수에 음의부호를넣어 이함수의기울기벡터로서주어진물체에 작용하는 힘을표현한다.즉,어떤스칼라함수 φ에대하여주어진물체에 작용하는힘이 f = φ (1.77) 로나타나는경우가많다. 이때에스칼라함수 φ를퍼텐셜에너지(potential energy) 혹은 위치에너지라고 부른다. 이와같은 이름이붙은 이유를 잠시생각해보자. φ가 있는동네에서 이물 체를 위치 r 1 에서 r 2 로옮겼다고하자. 이때에 이물체에한일은 W 12 = r2 r 1 f dr r2 = φ dr r 1 = φ(r 2 )+φ(r 1 ) (1.78) 로주어진다.따라서, 이물체가 이동하면서 이물체에주어지는 일은 위치 이 동에따라 φ의값으로나타난다. 이물체의운동속도를 v 1 에서 v 2 로바꾼다면,같은 일을통하여 W 12 = 1 2 mv mv2 1이될것이다.그러므로, φ의기울기로주어진동네에서물체가 스스로 운동하면 W 12 = 1 2 mv mv2 1 = φ(r 2 )+φ(r 1 ) (1.79) 이되어 E = 1 2 mv2 2 +φ(r 2 ) = 1 2 mv2 1 +φ(r 1 ) (1.80) 가상수가된다.시간에따라바뀌지않는 이양을전체에너지라고부르며, 운동에너지와 위치에너지의 합으로 주어진다. 연습문제 1식(4.176)을미분형태로다시쓰면 dw = f dr = φ dr = dφ = mv dv (1.81) 과같이적을수있음을보이시오. 마지막등식을적분하여에너지보존법칙을다시적으시오. 예.당구공의정면충돌 다음과 같이 두 개의 동일한 질량을 갖는 당구공의 정면 충돌을 생각해 보자. 충돌하기전에 1번당구공이속력 v로운동하여정지하고 있던 2번당구공에 충돌하는경우를생각하자.두당구공의질량은 m 1 = m 2 = m이라고하자.

31 1.4. 운동법칙의간단한내용들 23 충돌전이나후에는당구공들에 작용하는힘은없다고한다.운동의제3법 칙에 의하여충돌때에 1번당구공이받는힘은 2번당구공이받는힘과같은 크기이며,방향만반대이다.그러므로,충돌때에두당구공이받는전체힘의 합은 0이다.따라서,충돌하기전,충돌당시,충돌후그어느때이건두당구 공에 작용하는힘의합은언제나 0이다.그러므로,두당구공이갖는운동량의 전체합은언제나 일정하다.충돌전에두당구공의운동량합은 1번당구공의 운동량과같을것이다. 충돌후에 1번당구공의속력을 u 1, 2번당구공의속력을 u 2 라고하면,충돌 전후의전체운동량은 와같이나타난다.따라서, p = m 1 v 1 = m 1 u 1 +m 2 u 2 = m(u 1 +u 2 ) (1.82) v 1 = u 1 +u 2 (1.83) 이다. 한편,에너지도충돌전후에보존되므로,충돌전후의당구공들이갖고 있는 에너지의전체합을생각하자. E = 1 2 m 1v 2 1 = 1 2 m 1u m 1u 2 2 = 1 2 m(u2 1 +u 2 2) (1.84) 일것이다. m 1 = m 2 = m이므로,결국 v 2 1 = (u2 1 +u2 2 )이다.따라서,앞에서얻은 식v 1 = u 1 + u 2 를대입하면 2u 1 u 2 = 0을얻는다.즉, u 1 = 0이거나 u 2 = 0이 어야한다.그런데, 1번당구공이 2번당구공을때리면서 2번당구공이운동을 해야하므로, u 2 > 0이어야한다.그러므로, u 1 = 0이다.즉,정면충돌할때에는 오던당구공은서있던당구공이 있던 자리에멈추고,대신 2번당구공이 1번 당구공의초기속력과같은속력으로뛰쳐나간다.그리고, u 2 = 0인경우는 실제로충돌이 일어나지않고아슬아슬하게빗나간경우를나타내주는해이 다. 이경우에애초에정지해 있던당구공은계속정지하고,처음에굴러가던 당구공은계속같은방향으로같은빠르기로운동하는것이다. 이결과는매우 재미 있는결과이다.다음과같은실험을해보자.질량이 똑같은여러개의당구공을한줄로나란히 일정한간격으로세워놓자.여기에 똑같은 0번당구공을굴려서 1번당구공에정면충돌시키자.그러면, 1번당구공 은 0번당구공과같은속력으로움직이기시작하며, 0번당구공은 1번당구공이 있던 자리에멈춘다. 이제움직이는 1번당구공은옆의 2번당구공을때리고 2 번당구공이 있던 자리에멈춘다. 2번당구공은곧3번당구공을때리고 3번 자리에멈춘다. 이상황이계속반복되고,결국맨끝에 있던 N번당구공이 0번 당구공과같은속력으로운동한다.결국, 0번이 1번, 1번이 2번,, N 1번이 N번으로 자리바꿈을하고, N번당구공이처음속도와같은속도로운동한다. 이제, 이들당구공의간격을좀더촘촘하게하자.그리고,다시같은실험을 반복하면역시같은결과를얻는다.즉,서있는당구공의배치는변하지않고, 오던당구공대신맨오른쪽에 있던당구공이처음속도를갖고나간다. 이제, 이들당구공의간격을더욱더촘촘하게 해서 이웃하게세워보자. 그렇더라도운동량과운동에너지의보존법칙은동일하게성립하므로,처음 당구공이충돌하면,멈춘당구공의배치가고정된채맨마지막당구공만뛰쳐 나간다.

32 24 CHAPTER 1. 역학과 운동학 Newton s cradle이라는놀이기구는 이와같은원리를 잘보여준다. Newton s cradle은탄성충돌하는쇠구슬여러개를나란히서로거의닿도록매달아 놓은것이다.가장자리에 있는쇠구슬을당겼다놓으면,중간에놓인쇠구슬들 은제자리에서거의움직이지않고반대편가장자리에놓인쇠구슬이같은빠 르기로튕겨나간다.중간에놓인쇠구슬들은실제로제자리에서가만히 있었던 것이아니라충돌당시 입사한쇠구슬과같은빠르기로움직인것이다.그러나, 바로 이웃에 자기와같은질량의쇠구슬이 있으므로 이쇠구슬과충돌하여 자 신은멈춘것이다.그러므로, 이쇠구슬이운동한거리는 자기 이웃쇠구슬까지 거리인데, 이거리가미미하게 작기때문에움직임이포착되지않은것이다. 예제-구슬치기우리는고전역학이라는학문이결국은 f = ma로주어진 방정식을풀어해를얻거나, 이해가갖는성질을 이해하려는것이라고언급하 였다.물론많이단순화한견해이지만,뉴턴역학의공리(axiom)을명확히짚고 강조할필요가 있다.뉴턴역학을집대성한뉴턴의불후의명저는 자연철학의 수학적원리 이며,여기에는고전역학의틀을세개의운동법칙으로요약하고 있으며, 이것이고전역학의공리이고우리가 잘알고 있는뉴턴운동의 3가지 법칙이다. 이법칙을 이제구슬치기에적용해보자. 충돌하기전과후에 이두구슬에미치는힘은 0이다.그러므로,구슬들은 등속운동을한다.그러므로,구슬 1과 2의질량을각각 m 1, m 2 라고부르고, 이들의충돌전속도를 v 1, v 2 라고놓고,충돌후의속도를 V 1, V 2 라고놓자. 이 때에충돌전의구슬속도를알고 있을때에충돌후의구슬속도를알고싶다. 많은 일반물리학교재에서다루는문제이지만,몇가지를추가하면천문학에서 가장핵심적인물리학적개념을얻을수있을것이다. 먼저,구슬의운동상태를바뀌면 (다른말로말하면,속도가바뀌면)가속도 가발생한것이고,그원인은힘이 작용했기때문이다.구슬충돌에서힘은아주 짧은시간동안두구슬이접촉하면서주고받는때나타난다.여기에서뉴턴 운동의제3법칙이주는것은두구슬이서로주고받는힘들 (작용과반작용) 이서로같은크기로방향이반대라는점이다.즉,합하여 0이된다는것이다. 그러므로,두구슬의운동량이보존되고, m 1 v 1 +m 2 v 2 = m 1 V 1 +m 2 V 2 (1.85) 를얻는다. m 2 = m 1 = m으로두구슬이같은질량을갖는경우를먼저생각해 보자.그리고, v 1 = v, v 2 = 0이어서,멈추어 있는구슬을속도 v로다른구슬이 달려와치는경우를생각하자.그런데, 위식하나로는V 1 과V 2 를모두결정할수 없다.단지,알수있는사실은 V 1 +V 2 = v라는점이다.따라서, V 1 = V 2 = v/2 도하나의가능성이고, V 2 = 0,V 1 = v도또다른가능성이며 V 1 = 0,V 2 = v도 좋은가능성이고, V 1 = 2V 2 = 2v/3도생각할수있으며,무한히많은다른가능 성이존재한다. 이와같이무한히많은가능성가운데실험을통해서확인하면 어떤결과가나올까?당연히예상하겠지만,구슬의 재질에따라대단히많은 가능성 자체가다가능하다.실제로는 v 1 = v, v 2 = 2v와같은상황도만들 수 있다.예를들어,구슬의 재질이찰흙이라서,두구슬이접촉하는순간뗄수 없는한덩이가되었다고하자.그러면,두구슬은 이제같이움직여야한다. 이 경우 V 1 = V 2 라는추가적인조건이붙기때문에두구슬 (실은한몸이지만) 의속력이 v/2임을알수있다.또다른경우로운동에너지가보존되는경우를 생각하자.충돌전의두구슬이갖고 있던운동에너지가 K = mv 2 /2이었으므

33 1.4. 운동법칙의간단한내용들 25 로,나중의운동에너지도 K = m(v 2 1 +V 2 2 )/2 = mv2 /2이어야한다. 이조건을 부여하면해는 V 1 = v,v 2 = 0혹은 V 1 = 0,V 2 = v를얻는다.앞의경우는 사실상충돌이 일어나지않고스쳐지나간경우이고,나중의경우는완전탄성 충돌의경우이다. 이에비하여두구슬이한몸이되는경우를비탄성충돌이 라고부른다.그리고,비탄성충돌의경우충돌후의운동에너지는충돌전의 운동에너지보다 작다.다음에서비탄성충돌의예를더깊이들여다보자. 예제 - 비탄성 충돌(inelastic collision)과 총알 속력 위구슬치기의물리적과정을좀더세밀하게보자. 입사하는구슬에용 수철이달려 있다고생각하자.그리고,비탄성충돌의경우에는충돌과동시에 용수철이표적구슬에들러붙은경우이며 이때에구슬에달려 있는용수철 은원래길이보다더오무러들것이다.용수철을원래길이에서늘이거나혹은 줄이면, 이용수철에 위치에너지가저장된다.그러므로,두구슬이들러붙는 비탄성충돌에서에너지보존이어긋나는것이아니라,원래구슬이갖고 있 던운동에너지 일부가다른형태의에너지로전환되는것이다.용수철을달지 않은실제구슬치기에서 이러한비탄성충돌이 일어난다면,여러가지형태의 에너지로전환된다.예를들면,충돌할때에발생하는 음파에너지,구슬의온도 증가로 인한내부에너지의증가등의형태로구슬이원래갖고 있던운동에너 지의 일부가전환된다.실제로구슬을 이루는원자나분자들을하나혹은여러 개로 이루어진 작은용수철들이모여 있다고생각해도좋다. 이경우구슬의 운동에너지가여러개의용수철진동에쓰였다고보아도좋다.구슬의온도는 이러한 작은용수철들진동이활발한정도를결정하는물리량으로볼수있을 것이다. 용수철을달고 있는구슬충돌의경우여러다양한현상들을불러 일으킬 수 있다.예를들어, 입사구슬에 있는용수철을미리 잔뜩수축해놓고,표적 구슬에충돌하는순간용수철이한껏원래길이로돌아가면서두구슬을동 시에힘껏밀었다고가정하자. 이때에두구슬은용수철이방향은반대이고 같은크기의힘으로밀면서용수철안에저장되어 있던에너지를두구슬의 운동에너지로더해준다.두구슬이용수철로부터받은힘의합은 0이기때 문에여전히운동량은보존된다.그러나,용수철에저장된에너지가두구슬의 운동으로 이전된다. 이문제를조금더간단히다루기 위하여두구슬의질량이같고,서로반대 방향에서같은속력으로 입사하는경우를생각하자.두구슬의질량을각각 10 g이고,용수철에 1J = erg의에너지가저장되어 있다고하자.두구슬의 충돌전속도를 v 1,2,충돌후속도를 V 1,2 라고쓰자. 이때에용수철에저장된 에너지가두구슬에옮겨간다고할때에두구슬의충돌후의속력을구하시오. 운동량보존과에너지보존법칙을쓰면 V 1 +V 2 = v 1 +v 2 = 0 m 2 (V 1 2 +V2 2 ) = m 2 (v2 1 +v2 2 )+E (1.86) 이다.여기에서추가적으로 v 1,v 2 의크기가용수철에저장된에너지 E에비 하여무척 작다고가정하자.운동량보존식에서 V 1 = V 2 이다.에너지식의

34 26 CHAPTER 1. 역학과 운동학 Figure 1.1:행성상성운 NGC6543의허블우주망원경으로얻은영상. 이행성상 성운의별명은 cat s eye성운으로서뜨거운백색왜성인중심별로부터대단히 빠른항성풍이방출되고 있다. 우변은그저 E로근사할수있다.따라서, V 1 = V 2 E m = 105 cm s 1 (1.87) 를얻을수있다. 이속력은상당히큰값이고용수철에저장된에너지가전적으 로운동에너지로전환되어나간다.용수철에저장된에너지를총알을구성하는 화약에저장된화학에너지라고간주하면총에서총알이발사되는역학적과 정을 이해하기쉬을것이다. 비탄성충돌이가장중요하게쓰이는천문학적인상황이그림(1.1)에보인 것과같은방출선성운이다.방출선성운에서빛이나오는과정은 이곳에서 원자나 이온들이빠르게운동하는다른전자혹은 이온과비탄성충돌과깊은 관련이 있다.빛은원자나 이온이높은에너지상태로들뜬후에다시낮은에너 지상태로되가라앉을때에방출될수있다.여기에서원자나 이온을용수철로 간주하고여기에빠른속도로달려와충돌하는전자를생각해보자.전자가 원자나 이온을때려더높은에너지상태로올리는것은물체가걸쇠가달린 용수철에충돌하여용수철을눌러놓는과정과비슷하다.빠른물체가용수철을 눌러놓으면 물체 자신의 속도는 느려지듯이, 원자나 이온을 높은 에너지 상태로 올려놓고튕겨나간전자의속력은느려진다.즉,빠른전자가원자나 이온에 입사하여 자신의운동에너지를 잃고,원자나 이온은 이운동에너지를써서높 은에너지상태로옮아간것이다.성운에서나오는방출선빛은 이러한원자나 이온이원래에너지상태로되가라앉으면서나온것이다. 이처럼방출선빛은 빠르게운동하는전자들의에너지를체계적으로앗아간다.성운의열에너지는 전자들의빠른운동으로나타나며,결국방출선빛은성운의냉각제로 작용한 다.따라서,성운은중심별에서에너지를얻어가열되고,방출선빛을내면서 냉각되며, 이둘이균형을 이루면 일정한온도를 유지할수있다.

35 1.4. 운동법칙의간단한내용들 27 연습문제 1질량 m 1 인물체와질량 m 2 인물체가 x축 위에서각각 u 1,u 2 의속력으로운동한다. u 1 > u 2 이기때문에두물체는적당한시간에충돌하며, 충돌은 탄성적이라고 한다. (1)충돌 이후두물체가 x축 위에서각각 v 1,v 2 로운동한다고하자. 이때에 두 v 1,v 2 를구하시오. (2) m 2 의극한을생각하자. 이때에 v 1,v 2 의극한값을구하시오. 이 결과를 음미하여 해석하시오 각운동량과 각운동량의 보존 물체의회전운동을고려할때에매우중요한물리량이각운동량(angular momentum)이다. 각운동량l은 위치 벡터r과 운동량 벡터p의 벡터곱으로 정의된 다. l = r p (1.88) 뉴턴의운동법칙이운동량의시간변화율이힘과같다는것이라면,각운동량의 시간변화율은돌림힘혹은토크(torque)라고부르는양으로나타난다.토크의 정의는 τ = r F (1.89) 이다.운동량의시간변화가그물체에 작용하는힘이듯이,각운동량의시간 변화도그물체에 작용하는전체토크와같다. 이사실을확인하기 위하여각 운동량의시간변화를살펴보자. d dt l = d dt (r p) = v p+r d dt p = r f = τ (1.90) 여기에서속도벡터와운동량벡터는같은방향이므로,같은방향의두벡터 의벡터곱이 0이라는사실을썼다.따라서,물체에 작용하는전체힘의크기가 0일때에운동량이보존되듯이,물체에 작용하는전체토크의크기가 0이면 각운동량이 보존된다. 가장중요한예로만약에힘이 r과같은방향으로 있으면,돌림힘은 0이된 다. 이경우에각운동량은보존된다.뒤에서 자세히공부하겠지만,대표적으로 Newton의만유인력의법칙에따르면두물체사이에 작용하는중력은두물체 를연결하는방향으로 작용한다.따라서,두물체가서로중력으로 잡아당겨서 일어나는운동에서는각운동량은보존된다.각운동과돌림힘의개념이중요한 회전운동에대해서는뒤에서 자세히다룰것이다.

36 28 CHAPTER 1. 역학과 운동학

37 Chapter 2 고전역학과 미분방정식 2.1 고전역학과미분방정식 천문학은 자연과학의여러분야에서아마도가장오래된학문분야일것이다. 인류의문명의시작과함께,농경에서달력의제작은더없이중요한 일이었 을것이다.우리가사용하고 있는시간의기본적인단위는지구의 자전운동과 공전운동에관련되어 있다.지구의운동에서더나아가달의운동,태양계를 이루는행성의운동을 이해하려는노력으로부터최초의근대과학인역학이라 는분야가탄생하였다.역학의기본원리는뉴턴의운동법칙(Law of motion) 과 만유인력의 법칙(Law of universal gravitation)으로 요약된다. 뒤에서 자세히 다루겠지만, 이들법칙은더근본적인법칙으로부터 유도된다기보다는 자연 현상을세밀하게관측하거나실험실에서실험을수행하여정량적으로관측결 과와실험 자료를분석해서 자연이준수하는사실로받아들인것이다.우리는 물체를 던지면 포물선(parabola)을 그린다는 사실을 경험으로부터 잘 알고 있으 며,먼과거에서부터먼미래까지계속던져진물체는포물선을그릴것이라고 믿는다.그리고,뉴턴의운동법칙을던져진물체에적용하면그해가항상포물 선으로나타난다.우리는아직까지던져진물체가포물선 이외의다른곡선을 그리는경우를관찰한적이한번도없었으며,앞으로도그럴것이라고믿는다. 이러한믿음,즉자연현상은어떤기본법칙이존재하며, 이기본법칙을항상 준수하리라는믿음을밑바탕으로 자연과학을공부하고 있다.천문학은 이러한 자연과학이시작되는기초 자료를제공하였다. 자연법칙은 수학적인 방정식으로 표현되리라는 것도 하나의 믿음이다. 우리 인류는 자연을 이해하기 위하여수학이라는언어를택하였으며,대단히큰성 공을 거두었다. 특히, 물리학의 대표적인 분야인 고전역학(classical mechanics), 전자기학(electromagnetism), 양자역학(quantum mechanics)에서는 각각의 학 문을규정하는방정식들이 있다.역학은앞에서언급하였고,전자기학은막스 웰방정식,양자역학은쉬뢰딩어방정식이다.역학의경우뉴턴의운동법칙은 물체에 작용하는힘에비례하여가속도가주어진다는것이다.가속도는 위치를 시간에대하여두번미분해서얻은양이므로,뉴턴의운동방정식은 자연스럽 게미분된함수사이의방정식이된다. 이처럼미분된함수가포함된방정식을 미분방정식(differential equation)이라고 부른다. 따라서, 역학의 문제가 뉴턴의 29

38 30 CHAPTER 2. 고전역학과 미분방정식 운동방정식을풀어물체의운동을기술하는학문이므로,수학적인관점에서본 다면뉴턴운동방정식이라는미분방정식의해를구하는학문이라고단적으로 표현할수있을것이다. 또한,현대물리학의시작으로볼수있는양자역학은뉴턴역학과비슷하 게표현하자면 Schrödinger방정식의해를구하는학문이라고볼수있다.원자 안에서돌아다니는전자는기본적으로 Schrödinger방정식으로 잘기술되기때 문이다. 그런데, Schrödinger 방정식은 Laplacian을 포함하는 연산자의 형태로 흔히 표현하기 때문에 이 방정식은 편미분방정식(partial differential equation) 이된다.즉,양자역학은수학적인관점에서보면편미분방정식의해를다양 한조건에서구하는문제로귀착한다.물론 이러한견해는극단적인견해일 것이다. Schrödinger 방정식이 가장 궁극적인 운동법칙이 아니며, 양자역학의 구조는단순한편미분방정식의체계뿐만아니라힐버트공간의다양한성질 이물리적현상과대응하기때문이다.또한,전자기학의기본방정식인막스웰 방정식도편도함수가들어가 있어서편미분방정식의형태로 이루어져 있다. 미분방정식은 이처럼 자연현상의가장기본적인운동법칙을표현하는방 정식이기때문에미분방정식의해법과해들이갖는 일반적인성질을 이해하는 것은대단히중요하다 미분방정식의 분류 미분방정식은도함수를포함하는방정식을 일컬으며,그해는적당한구간에서 미분가능한함수가된다.예를들면 y 5y +4y = 0 (2.1) 이라는방정식이 있을때에 위등식을만족하는미분가능한함수 y = f(x)가 해가된다. 위미분방정식의경우에는 f 1 (x) = 2e x 는해가된다.그러나, 이함 수만해가되는것은아니다. f 2 (x) = 3e 4x 를대입해도 위미분방정식의해가 됨을알수있다.실제로는 f(x) = ae x + be 4x 를대입해도 위의미분방정식을 만족함을확인할수있다. 미분방정식에등장하는최고차도함수에대하여그차수가 n일때에 (즉, n 계도함수가최고차도함수일때에)그미분방정식을 n계미분방정식(nth order differential equation)이라고 부른다. 예를 들면, 위 방정식(1)은 2계 미분방정식 이다.그이유는미분방정식에등장한도함수는 y 과 y 이 있는데, 이가운데 가장많이미분된도함수가 2계도함수인 y 이기때문이다.마찬가지로 y +y +y +y = 0 (2.2) 과같은미분방정식은 3계미분방정식이라고부른다. 위미분방정식 (1)의경우 에서보았듯이, 2계미분방정식은서로다른 2개의함수의조합으로해가된다. 이것은마치 2차대수방정식 ax 2 +bx+c = 0이 2개의서로다른근을갖는것 과비슷한상황이다.즉, n차의대수방정식과비슷하게 n계미분방정식에서는 독립된해가 n개가 일반적으로존재하기때문에, n개의해를구해야만하겠 다.앞으로적당한때가되면,체계적으로 n개의서로다른미분방정식의해를 구하는방법들을공부할것이다. 또한, 미분방정식을 분류하는 중요한 기준이 선형성(linearity)이다. 즉, 주 어진 미분방정식은 형태에 따라 선형미분방정식(linear differential equation)

39 2.1. 고전역학과미분방정식 31 과 비선형미분방정식(nonlinear differential equation)으로 나눌 수 있다. 선형 미분방정식은구하려는미지함수와그도함수가언제나 1차식으로만나타난 방정식을 일컫는다.예를들면 위에서본방정식 (1)과방정식(2)는선형미분방 정식이다. 선형미분방정식의 다른 예로 (1 x 2 )y 2xy +l(l+1)y = 0 (2.3) 방정식이다. 선형미분방정식이아닌미분방정식은모두비선형미분방정식이다.즉, y 2, yy, y 2 과같은항이등장하는미분방정식을비선형미분방정식이다.예를들면 y y +y 2 = 0 (2.4) 과 같은 미분방정식은 비선형미분방정식이다. 이와같이 미분방정식을 분류하 는 이유는선형미분방정식의해들은벡터공간(vector space)을 이루어선형대 수학에서공부한 일반적인성질들이성립하여,선형미분방정식의해들을큰 틀에서 이해할수있기때문이다. 이에반하여,비선형미분방정식의경우에는 일반적인 이론이지극히제한되어 있으며,방정식마다그성질들이매우복잡 하거나혹은개별적으로성립하는성질들만이 있어서 일목요연하게 이해하는 것이거의불가능하다.따라서,여기에서는비선형방정식을다루는 일은극히 제한적일 것이다 미분방정식의해와초기조건 간단한미분방정식들의해를구하는첫걸음을떼어보자.다음과같은 1계미 분방정식을 생각하자. y = cosx (2.5) 이방정식도도함수를포함하는방정식이므로당연히미분방정식이고 1계도 함수가최고차이므로 1계미분방정식이다.그런데, 이미여러분은 이미분방정 식의해를금방알아차릴것이다.그것은당연히 y = y dx = cosxdx = sinx+c (2.6) 과같은방법을통하여 y = sinx +C가해임을주장할것이다.여기에서 C는 임의의 상수이다. 이제다음과같은 2계미분방정식을생각해보자. y = cosx (2.7) 이미분방정식의해도앞에서와마찬가지로 2번적분해서구할수있을것이다. 한번적분하면앞에서와같이 y = sinx+c 1 를얻고, 이를다시적분하면 y = cosx+c 1 x+c 2 (2.8) 를얻을수있다. 여기에서세가지사실을짚고넘어가자.먼저,미분방정식을푸는행위는 미분이라는연산을뒤짚는 일인적분을하는것이다. 이것은마치우리가ax = b

40 32 CHAPTER 2. 고전역학과 미분방정식 라는 1차대수방정식이 있을때에미지수 x가 a가곱해져 있는상황에서곱하기 를뒤짚는연산인나누기를통해서 x = b/a로얻는것과비슷한상황이다.즉, 미분방정식을푸는것은적분하는과정이다. 두번째사실은 1계미분방정식을풀기 위해서는 1회의적분이, 2계미분방 정식을풀기 위해서는 2회의적분이필요하다.따라서, 이를확장하면, n계미 분방정식을풀기 위해서는 n회의적분이요구된다는사실을쉽게알수있을 것이다. 세번째사실은적분할때에언제나적분상수가나타난다는것이다.어떠 한상수라도미분하면 0이기때문에그저적분이라는행위를함으로써 임의의 적분상수가생긴다. 위방정식(3)에서 y = sinx+1이나 y = sinx+2나모두 주어진 미분방정식을 만족하는 해이다. 따라서, 미분방정식을 풀 때에 나타 나는적분상수는미분방정식 자체로부터는결정할수없다.그러므로,해가 유일하게결정되지않는다.해를 유일하게결정하기 위해서는미분방정식과는 별도의조건이필요하다. 이러한조건가운데가장흔하게주는조건이초기조 건(initial condition)과 경계 조건(boundary condition)이다. 이들은 모두 뒤에서 다시논의할것이다. 2계미분방정식을풀때에는적분을 2번하므로 임의의적분상수가 2개가 생긴다.그리고,마찬가지로 n계미분방정식을풀때에생기는 임의의적분상수 는 n개이다.그러므로,미분방정식에덧붙여필요한조건들은 n개의초기혹은 경계조건들이필요한것이다. 다음과같은간단한미분방정식을생각해보자. y +y = 0 (2.9) 뒤에서 이와같은미분방정식의해를구하는여러가지방법을소개할것이다. 여기에서는미분방정식의해를다음과같이구해보자.양변을 y로나누어적 분하자. y +1 = 0 (2.10) y 여기에서 y /y = d dx lny임을생각하면 이므로, 양변을 적분하면 dlny dx +1 = 0 (2.11) lny +x = const (2.12) 를얻고,정리하면 y = e x+const = Ae x 라는해를얻는다.여기에서 const는 임의의상수를뜻하고, e const 역시 임의의상수이므로,새로운 임의의상수A 로바꾸어서마지막과같이썼다. y = Ae x 를대입해보면 y = Ae x 이므로, y + y = 0임을금방알수있다.여기에서,상수 A의값은미분방정식에서는 정해지지않는다.어느값을대입하더라도미분방정식은성립한다. 이것은상수 A의값을결정하려면미분방정식과는별개의다른조건이 있 어야함을 의미한다. 이러한조건은많은경우초기조건(initial condition)으로 준다.초기조건이란뜻은 x = 0에서함수값과같이정의구역의특정한점에서 함수값혹은도함수값을뜻한다.예를들면 이문제에서 x = 0일때에 y = 2 라고알려져 있다면, 이를만족하는해는 A = 2일때뿐이다.즉, y = 2e x 가

41 2.1. 고전역학과미분방정식 33 y +y = 0,y x=0 = 2라는초기조건이달린미분방정식의 유일한해이다. 위에서 임의의상수가발생한원인을살펴볼수있다. 임의의상수가생긴곳은한번 적분했을때이다.즉, 이 임의의상수는결국적분상수이다. 다음과같은문제를생각해보자. y +4y = 0 (2.13) 이와같은미분방정식의해법도뒤에서소개할것이다.여기에서는 이미분방 정식의 일반해가 y = Acos2x+Bsin2x (2.14) 와같이쓸수있다는사실을받아들이자. sine이나 cosine함수는두번미분하 면 자신의 음수가되므로, y = 4Acos2x 4Bsin2x임을알수있다.따라서 y + 4y = 0가되어 위의미분방정식을만족함을확인할수있다. 이제,앞의 문제와는조금다르게,미분방정식만으로는결정할수없는 임의의상수가 2 개가 있다.따라서 x = 0에서함수값을정한다고하더라도,여기에서는상수 2 개를한꺼번에정할수는없다. x = 0일때에 y = 1이라고한다면,우리가알수 있는사실은 A = 1이라는것뿐이고,여전히 B의값은정할수없다.따라서, 이문제에서두임의의상수를결정하기 위해서는초기조건이 2개가필요하다. 많은경우에나머지한조건은 x = 0에서 y의도함수값을준다.즉, x = 0에서 y = 2라고한다면, y = 2Asin2x+2Bcos2x (2.15) 이므로, B = 1이어야한다.따라서, x = 0일때에함수값 y와,도함수값 y 의 값이 있어여해가단하나로결정된다. 이처럼미분방정식의해는언제나결정 되지않는상수가개입하며, 이를결정하기 위해서는초기조건들이필요하다. 일반적으로 n계미분방정식에서는 n개의결정되지않는상수들이 일반해에등 장하며, 이를 유일하게결정하기 위해서는 n개의조건이추가적으로필요하다. 앞에서본바와같이 임의의상수는적분상수라는 의미를가지며, n계미분 방정식을푸는행위는 n번의적분과정을필요로하기때문에, n개의 임의의 상수가발생하는것이다.정의구역의특정한점을 잡아(예를들면 x = 0과같 이), 이점에서 y,y,...,y (n 1) 의값들을주는것을초기조건(Initial condition) 이라고부른다.초기조건이부여된미분방정식의해는언제나 유일하게결정 된다 Fundamental Theorem of Differential Equations 앞에서언급한바와같이초기조건이부여된미분방정식은계수가대체적으로 매끈한함수들로주어질경우에는언제나해가존재하며 (existence),그리고 단하나만 있다 (uniequeness). 이와같이미분방정식의해가존재하며단하나 있다는 사실을 미분방정식의 기본정리라고 부른다. 이미분방정식의기본정리는실제로물리학에서대단히많은사실들을알 려준다.예를들면,물체가따르는운동방정식을생각해보자.뉴턴이우리에게 알려준운동의법칙은물체에가해준힘에비례하여가속도가생기고,그비례 상수가물체의질량이라는것이다.즉, F = ma = m d2 dt2r (2.16)

42 34 CHAPTER 2. 고전역학과 미분방정식 여기에서알수있는것과같이운동방정식은 위치를두번미분한것을힘과같 게놓고푸는 2계미분방정식이다.따라서,역학을극단적으로표현한다면, 2계 미분방정식을푸는학문이다. 이러한 2계미분방정식이 유일한해를갖게하는 초기조건은주어진시각 t = t 0 에서 r(t 0 )와 v(t 0 ) = dr dt (t 0)의값이다. 이것은초기 위치와초기속도라는물리적 의미를갖는다. 이초기조건에 의하여운동방정식의해는존재하며단하나만 있게된다.그러므로,물체의운 동은주어진힘에대하여초기 위치와초기속도가정해지면, 자취(trajectory) 가 유일하게결정된다. 우리가스포츠를즐길수있는여러가지 이유가운데미분방정식의기본 정리도포함된다.야구경기에서투수가던진공을타자가쳤을때에타자의 방망이에맞은순간공의 위치와공의초기속도를 잘파악하면,공의 자취가 유일하므로,낙하지점이 유일하게결정된다. (여기에서는힘이공간의함수로 잘정의되어 있다고가정한다.만약에바람이심하게시시각각바뀌며힘이시 간의함수로 잘정의되지않는다면,공의 위치를순간순간 잘파악하면서낙하 지점을골라야하겠다.그렇지만,공기의상태가매우 일정하면,미리공의낙하 지점을 잘알수있겠다.) 문제주어진함수들이미분방정식의해가됨을확인하고,초기조건이만족 되도록 임의의상수를결정하시오. (1) y 2xy = 0, y = Ae x2, x = 0에서 y = 5 (2) y 4y = 0, y = Acosh2x+Bsinh2x, x = 0에서 y = 1, y = 2 (3) y 4y = 0, y = Ae 2x +Be 2x, x = 0에서 y = 1, y = 선형미분방정식의 성질 우리가 선형미분방정식을 특별하게 취급하는 이유는 선형미분방정식이 다양 한현상을설명하기때문에 유용하며,선형성이라는성질이대단히강력하기 때문이다. 선형성(Linearity)은 벡터 공간을 공부하면서 접하는 개념이며, 이 용어가미분방정식에서도등장하는 이유는함수들을모아놓은집합이 자연스 럽게벡터공간을 이루기때문이다. 무한히 미분가능한 함수(이러한 함수들을 앞으로 매끈한 함수, smooth function,라고부르도록한다)들을모아놓은집합을 V라고하자. V 안에 있는 임의 의두함수 f,g와 임의의실수 a,b가 있을때에선형결합(linear combination) af +bg V 이다. 이것은매끈한함수들의모임이실수를스칼라로갖는벡터 공간이된다는것을 의미한다. 두벡터공간을서로비교하기 위하여벡터공간사이에서선형사상을설 정한다.선형사상은벡터공간의구조를비교하는사상이라는 의미에서 L(af +bg) = al(f)+bl(g) (2.17) 의관계를만족하는사상이다. 이제,매끈한함수에대하여미분이라는연산은 함수공간 V에서 V로가는 일종의선형사상이다.즉, d dx (f) f V (2.18) 이므로, d/dx는하나의함수f를새로운함수g = f 으로대응시킨다. 이때에

43 2.2. 간단한 해법들 35 미분이선형사상이라는점은 d d (af +bg) = a dx dx f +b d dx g (2.19) 가된다는사실로부터간단하게확인할수있다. 수학이나물리학에서는함수공간에서함수를새로운함수에대응시키는사 상을 흔히 operator라고 한다. 따라서, d/dx는 미분연산자이며, 미분연산자는 하나의선형사상이다.또한, n계도함수로대응시키는연산자역시선형연산 자이며, 이들이선형결합된 L(g(x)) = [f n (x) dn dx n +f n 1(x) dn 1 dx n 1 + +f 0(x)]g(x) (2.20) 도선형연산자이다. 이러한선형연산자에대하여적당한함수가 0함수로대 응될것이며, 이러한함수가곧homogeneous미분방정식을만족하는해이다. 선형대수학에서우리는두벡터공간을비교하기 위하여선형사상을도입하였 으며, 이러한선형사상에 의하여 0벡터에대응되는정의구역에 있는벡터들의 모임을선형사상의 kernel이라고불렀다.그리고, kernel역시하나의벡터공간 이되어정의구역이되는벡터공간의부분공간이된다는사실을배웠다.선형 연산자에서도 마찬가지가 되며, kernel이 미분방정식의 해공간이라는 사실을 대입하면 된다. 물리학에서는미분연산자의선형성이라는용어대신에흔히중첩원리(superposition principle)라는 용어를 쓰기도 한다. 2.2 간단한 해법들 변수 분리 미분방정식을푼다는 의미,즉미분방정식을만족하는해를구한다는것은결 과적으로는방정식에등장하는미분의역연산인적분을해야함을뜻할것이다. 그러나,대부분의미분방정식은단번에적분가능한꼴로주어지지않으며,특 별한기교가필요하거나혹은 이미 잘알려진함수들의 유한한조합으로나타나 지않는경우가많다.따라서,간단한조작을통하여쉽게적분가능한꼴로바뀔 수 있는미분방정식의경우에는쉽게해를구할수있으며,여기에서소개하는 변수분리법이그러한예가된다.하지만,많은경우의미분방정식은 이와같이 간단하게풀리지않을것이다.여기에서는간단하게풀리는경우에만한정해서 미분방정식의 풀이법을 공부하자. 변수의 분리는 독립변수에만 의존하는 항과 종속변수에만 의존하는 항이 좌 변과우변으로따로나뉠수있는상황에서가능하다.간단한예를들어보자. 지구표면근처에서낙하하는물체가속도의함수로마찰을받는경우를생각해 보자.마찰력이 v n 에비례해서주어진다면, 이물체가따르는운동방정식은 ma = mg mβv n (2.21) 으로주어진다. 이때에내려가는방향을양의방향으로 잡았고,따라서중력 가속도를양수로주고,마찰력에 의하여가속도가줄어들도록 잡았다.가속도

44 36 CHAPTER 2. 고전역학과 미분방정식 Figure 2.1:공기저항을받는물체의운동속도그래프.공기저항이속도에 비례할때f r = mβv,종단속도는 v term = g/β로주어지고,지수함수로종단 속도에가까워진다.공기저항이속도의제곱에비례하는경우 f r = mβv 2,종 단속도는 v term = sqrtg/β가되며, tanh gβt의함수로속도가주어진다.두 경우모두속도가 작을때에는공기저항이무시되므로,운동이중력가속도에 의한등가속도운동을하므로,원점근처에서는 v = gt가된다. a = dv dt 임을기억하면 위의미분방정식은 dv dt = g βvn (2.22) 이다. 이제독립변수 t와종속변수 v를좌변과우변으로분리하여쓰면 dv = dt (2.23) g βvn 가되어간단히적분가능한꼴로나타난다. 낙하하는물체에대하여공기가주는마찰력은보통움직이는속력에비례 하거나제곱에비례한다고알려져 있다.따라서, n = 1혹은 n = 2인경우가 비교적떨어지는물체의운동을기술하는데에필요한경우일것이다.

45 2.2. 간단한 해법들 37 먼저 n = 1일때에적분을해보자. vf v i dv tf g βv = dt (2.24) t 1 이다. 이때에시각 t i 일때에속도를 v i 라놓고,시각 t f 일때에물체의속도를 v f 라고놓은것이다. 위적분은간단한로그적분으로서 t f t i = 1 β ln g βv i g βv f (2.25) 를얻는다. 이식을속도에대하여시간의함수로써보면 v(t) = v i e β(t ti) + g β (1 e β(t f t i) ) (2.26) 과같다. 시간이매우길어지면 (즉, t 이면) v i 를포함하여지수함수로나타난 부분은 0으로수렴한다.따라서, v v term = g/β이된다. 이때에 v term 은종 단속도(terminal velocity)라고 부른다. 이와같은 양상은 이미 운동 방정식에서 예견된다.시간이매우오래흘러서종단속도에다다르면 이제속도의변화는 찾아보기어렵게된다.운동은거의등속운동이되며가속도항이거의 0이 된다.따라서운동방정식은 0 = g βv가되어종단속도의값이 g/β가된다. 당연하지만종단속도의크기는중력의세기가클수록큰값이될것이고,마찰 계수가 작을수록클것이다. 또한,낙하하는물체가종단속도에 이르는과정은시간에대하여지수함 수적으로매우빠르게도달한다. 이때에,지수함수에들어가는마찰계수β는 시간의역수라는차원을갖고 있다. 이것은낙하하는물체가종단속도에다 다르는데에걸리는시간규모와밀접한관계를갖는다.즉,초기속도와관계 없이시간이1/β가지나면지수함수의값이빠르게0에가까워져서낙하속도는 종단속도에거의가까워진다. 이와같은종단속도는매우먼거리를낙하하는물체에적용된다.실제로떨 어지는빗방울은종단속도로떨어진다.그렇지않고저항없이중력가속도에만 의하여 자유낙하한다면떨어지는빗방울의속도는엄청날것이다.예를들어,빗 방울이고도 5km상공에서형성된다고하자.저항이없이중력가속도에 의한 등가속도운동을한다면지표면에서 이빗방울이운동하는거리 1 2 gt2 = h (2.27) 가되어 t = 2h/g 10 3 s 30 s의시간이걸려떨어질것이다. 이때 빗방울의속도는 v cm s m s 1 에 이르러 음속에 육박한다. 이제반지름이 1 mm=0.1 cm인빗방울을생각해보자. 이빗방울의질량은 0.03 그램이다.따라서, 이빗방울한개가주는충격량은 10 3 g cm s 1 이다. 이값의크기를상상하기 위해서사람이보통휘두를주먹에맞을때에느 낄충격량을생각해보자.사람의주먹이갖는질량을약100 g이라고하고, 시속 60 km s 1 의빠르기로휘두른다고생각하자. 이속력을초속으로환산 라면 160 cm s 1 이다.따라서, 이사람이휘두른주먹이갖는충격량은 1.6

46 38 CHAPTER 2. 고전역학과 미분방정식 10 4 g cm s 1 이다.따라서,앞에서구한빗방울한개가주는충격량의 16배이 다.만약에,사람이공기저항없이떨어지는비를맞고 있다면,빗방울 20개 정도를맞으면서몇초간 있다가는그대로 knock-out이될것이다. 예제 - Parachuter의 낙하종단속도 빠르게낙하하는물체에주는공기저항력D은다음과같이주어진다고한 다. D = 1 2 ρv2 sc d (2.28) 여기에서 ρ는공기의밀도, s는낙하하는물체의단면적(cross sectional area), c d 는공기저항계수이다. 이제,질량이 80 kg인 skydiver가몸을활짝펴서단 면적을 180 cm 50 cm가되도록 자세를 잡아지구표면에서 skydiving을한다 고하자.공기의밀도를 ρ = g cm 3 라고할때에 이 skydiver의 terminal velocity를 구하면 v term1 = 2mg ρs = cm s 1 = 150 km h 1 (2.29) 를얻는다.여기에서 c d 는편의상 1로놓았다.공기저항계수 c d 는여러가지요 인들에따라달라질것이다. 위에서얻은값은고속도로에서과속질주할때에 접할수있는빠르기이다.쉽게짐작하겠지만,고속도로에서 이정도속도로 승용차를운전한다면운전자가태우는휘발유가대부분쓰이는곳은공기저 항과의싸움이되겠다.따라서, 이와같은운전방법은휘발유를낭비하는지름 길이다. 한편, 이친구가최대로몸을웅크렸을때얻을수있는속도는웅크린모 양에따라다르겠지만,어림잡아한변의길이가약50cm인정사각형과크게 다르지않을것이다. 이경우면적은몸을활짝폈을때보다 4배가량줄어들고, 종단속도는 2배가량빨라질것이다.그러므로,한껏웅크린 자세에서최종낙 하속도는약300 km/h에 이른다.액션영화에서많이보았던 장면을연상하여 보자.추락하는비행기에서오직하나남은낙하산을갖고먼저뛰어내린악 당을따라내려간주인공은 자세교정을멋있게하여다이빙 자세혹은 유선형 자세를 잡아낙하단면을최소화한다. 이경우낙하종단속도가크게증가하기 때문에먼저뛰어내렸지만펑퍼짐한 자세로낙하하는악당을따라 잡을수 있을 것이다. 그리고, 위식으로부터낙하산의대체적인크기를어림할수도 있겠다.사람 이약2m높이에서떨어져지면에닿기직전의속도는 v s = 2gh 60 cm s 1 이다.식(2.29)에서얻은값의약7분의 일의빠르기이다.따라서,지름 7미터 내외의낙하산을펼쳤을때에종단속도는높이 2미터의건물에서뛰어내려 지면에닿기직전의속도와비슷하다. 이계산은세밀한부분을과감하게생략 하여심하게어림해서얻은결과이기때문에실제로제작하는낙하산크기와는 다르다.하지만, 이와같은계산연습을통하여 자연과생활에서보이는현상을 논리적사고를통하여분석하려는시도는좋은과학공부의태도라고생각한다.