untitled

Transcription

1 韓國數學敎育學會誌시리즈 A < 數學敎育 > Journal of the Korea Society of Mathematical Education 제 34권, 제 2호, Series A: Dec. 1995, Vol. 34, No. 2, 1-1. van Hieles 의理論에의한국민학교幾何圖形學習의分析硏究 1) 徐成輔 ( 부산교육대학교 ) 논문의요약 : van Hiele의思考水準理論에는基礎水準, 第 1 水準, 第 2 水準, 第 3 水準, 第 4 水準등 5가지가있고, 이중에서국민학교에해당되는것은基礎水準 (1학년), 第 1 水準 (2, 3학년 ), 第 2 水準 (4, 5, 6학년 ) 등세가지뿐이다. 그리고幾何學의構造認識論에는觀察, 構成, 定義, 公理, 定理, 證明, 測度, 作圖, 應用등 9 가지단계가있고, 이 9가지단계를基礎水準, 第 1 水準, 第 2 水準의각수준에대응시켜서거기에해당되는幾何圖形學習을연구 분석하였다. 幾何圖形에관한學習은주로경험성과창의성을바탕으로하는보기문제를제시하여그흐름을가늠하였고, 또아동들이직접이문제들을해결함으로써각수준의각단계들을스스로認識하도록하였다. 특히여기에서처음으로등장하는幾何學의構造認識論이라는것은위에서언급한 9가지단계를차례로거쳐가야만아동들은도형을올바르게빠짐없이認識할수있다는이론이다. 이이론의특징을예를하나들어서설명해보면, 흔히들定義를단순히無定義語와定義語로구분하고있는데반하여, 이이론에서는서로力動的인관계를갖고있는基礎定義, 狀況定義, 包括定義, 基本定義, 附隨定義, 特殊定義등으로나누었다는점이다. Ⅰ. 연구의목적및필요성 1988년初에國際敎育成就度評價聯合會 (International Association for the Evaluation of Educational Achievement) 는우리나라를포함하 1) 이논문은 1994년도한국학술진흥재단의대학부설연구소연구과제연구비에의하여연구되었음. 여스페인, 영국, 아일랜드, 미국등 5개국과캐나다의 4개주에서영어권및불어권으로나누어, 모두 12개집단에서 13세학생 ( 우리나라의중학교 1학년 ) 총 24,338명에게 63개의問項으로구성된 45분용수학문제를치른결과를 敎育向上에관한國際的인評價 (International Assessment of Edu- cational Progress) 2) 라는보고서에상세하게보이고있다. 여기에서보면우리나라는단연 1위의자리를차지하였다. 그러나, 國際數學올림픽 IMO가주관한고등학교수학경시대회에서는우리나라학생들은거의해마다중위권을맴돌고있었다는사실은퍽대조적이다. 그렇다면, 우리나라 13세학생들은 1위인데반하여, 우리나라의고등학생들은왜중위권밖에되지않은가? 여기에는여러가지이유가있겠지만, 그중에서도가장큰이유는 13세학생들이게실시한문제는우리가평소학교에서많이평가받고있는출제형식인單答型이거나選多型의수학문제이지만, 고등학교학생이치른문제는평소에전혀접촉을해보지않았던論述型문제이기때문이다. 만일 13세학생에게도綜合的이고創意的인主觀式문제로출제되었다고하면, 우리나라가과연 1위의자리를차지했을까? 정말장담할수없는처지이다. 왜냐하면, 그러한경우에도능히극복할수있을정도로우리나라의수학교육이완벽하게준비되어있다고볼수없기때문이다. 한편, 1995년부터改正이되어학년별로일선현장에서점차시행되고있는제6차數學科敎育課程 3) 이改善되어야할세가지방향을다음 2) 徐成輔외 : 世界 13 歲學生의數學및科學科目의評 價에 관한 小考, 부산교육대학교 과학교육연구소, ) 교육부 : 국민학교교육과정해설 (Ⅰ), p

2 2 徐成輔 과같이서술하고있다. 첫째, 수학교육의본질추구를위한교수 학습및평가방법이필요하다. 둘째, 수학교육의획일성, 경직성을개선할필요성이있다. 셋째, 정보화시대에적응하기위한수학교육이필요하다는것이다. 그래서국민학교수학교과서 1학년에서 6학년까지내용중에서약27% 를차지하는圖形및測度부분을이세가지方向에맞추어효율적으로학습하느냐에따라서, 이를배운아동들이나중에성인이되었을때물리학, 기계공학, 건축공학등다른학문분야에적절하게轉用할수있는정도가결정될것이다. 그동안幾何學이초 중 고등학교의數學에서차지하는비중이 1960년대와비교해볼때많이축소조정이되었다. 이는幾何學이일상생활의활용면에서나다른학문에미치는영향등으로봐서代數學및解析學등에비하여적다는이유도있었겠지만, 幾何學에대한학자들간의편견도전혀배제할수없다. 그러나여기서곰곰이생각해보면幾何學이이렇게큰대접을받지못한이유중의하나는이분야를전공한사람들이幾何學을 Euclid의옛틀에서전혀벗어나게하지못하고있었기때문이다. 지금부터 2300년전 Euclid(330? 275?B.C.) 가지은 Στοιχεία, 즉유크리드의原論 (Elements) 13권은그나름대로의결함과모순을지니고있으면서도약 2200년이라는세월동안이지구상에있는모든나라의기하교육을장악해왔었다. 그러다가 1898년에독일의수학자 David Hilbert( ) 가 Euclid의原論에담긴내용을전면적으로개정보완하여, 그의저서 幾何學基礎論 (Grund- lagen der Geometrie) 4) 에수록을하였던것이다. 그러나이것역시활용면에서너무번거로워실질적으로幾何를지도하는사람으로부터큰호응을얻지못하였으며, 설령호응을얻었다해도그골격 (frame) 은역시 Euclid의것이니까, 현재까지의幾何敎育도역시유크리드의原 4) 서성보외 : 대학수학, 경문사, p.196 論에바탕을둔것이라고하겠다. 이처럼불안전한 Euclid의옷을걸치고있는幾何敎育을그대로방치하고있었다는사실은幾何學을전공한사람들에게그책임을묻지않을수없다. 그래서, 이러한분위기에편승하여, 20세기초프랑스의수학자 Jean Dieudonné(1906?) 는지금현재까지도유크리드의構造 (structure) 가마냥학교기하교육을완전히장악하고있다고비난하면서, Euclid must go!" 5) 라고외치며, Euclid는학교기하교육에서완전히손을떼기를강력히주장하였다. 그렇다면, 이러한주장에대응이될만한다른代案이있는가? 사실 Euclid 말고는다른代案이없다. 그런데다행히 1960년대초에네덜란드의수학교사이었던 Pierre van Hiele부부 6) 가 Euclid의기하학구조인定義, 公理, 補助定理, 本定理, 따름定理등의槪念을살리면서, 유크리드의原論에서결여된논리성과창의력및응용력을보완가미시킨幾何學習水準理論을개발하여소련등의수학교육자들로부터직접검증도받았고, 또많은지지도얻어내었다. 특히, 본연구자는고등학교와교육대학에서 36 년이라는긴세월동안기하과목을직접담당하여왔고, 또이분야에관한저서와논문을수십편손수집필하였기때문에, 기하교육에대한나름대로의견해를갖고있는터이다. 그래서본연구자는幾何學의構造認識論 (Structural Epistemology of Geometry) 7) 이라는도형학습이론을새로구축하여, 이를 van Hiele의學習水準理論에접목시켰던것이다. 다시말하면 van Hiele의어느學習水準에도반드시幾何學의構造認識論의 9가지단계를차례로거쳐야만, 아동들은그수준에맞는기하도형학습을완전하게이해할수있다는것이다. 그 5) 박선화 : 幾何의선형대수적접근, 제 9 회數學敎育세미나,1991.p.139 6) Han Tae-Sik : The Effects on Achievement and Attitude of a Standard Geometry Textbook and a Textbook consistent with the van Hiele Theory, University of Iowa, p.1 2 7) 서성보 : 예비교사를위한초등수학, 도서출판교문사, p.21 37

3 van Hieles 의理論에의한국민학교幾何圖形學習의分析硏究 3 러면, 이러한두가지이론을바탕으로해서, 우리나라국민학교幾何圖形學習을분석하고또더나아가서새로운학습내용을개발할까한다. Ⅱ. 연구의내용및방법 van Hiele은 Piaget의認知發達理論에큰도움을얻어, 기하학습에서의思考水準체계를세웠다고한다. 그러면 Piaget의理論에대해서잠시생각해보자. A. Piaget 의認知發達理論 사실, 금세기에있어서우리수학교육에가장지대한영향을끼친사람은역시 Swiss의학자 Jean Piaget( ) 라고볼수있다. 그의認知發達理論 (Cognitive development theory) 에의하면, 인간의知的行動은주위에있는환경에대한順應 (adaptation) 으로보았으며, 이順應은同化 (assimilation) 와調節 (accomodation) 8) 의두가지보충적과정을거쳐서이루어진다고한다. 그리고그는학습은아동의認知發達에종속된다고보고, 保存槪念의발달단계에맞는적절한知的行爲가이루어져야만학습은일반화될가치가있고, 轉移效果도있으며把持力도생긴다고한다. 다시말하면, 知的成長發達에적합한學習이수행되어야만, 아동은그학습내용이자기것으로保存되고同化되어, 상위개념과의調節이가능해져서, 그學習은더욱더의미있는단계로접어든다고한다. 그러면수학에서의保存槪念 (Concept of Conservation) 9) 이란무엇을말하는가? 어떤사물이그모양이바뀌어도그특징, 즉量, 數, 角度, 길이, 무게, 부피등이변하지않는다고생각하는능력을말한다. 이를테 8) 이돈희외 : 교육학용어사전, 도서출판하우, p.753 9) 박성택 : 인지발달에근거를둔수학학습유형탐색, 한국수학교육학회,1995. p 면, 아동이 6 7세가되면數의保存槪念이형성이되고, 7 8세가되면길이나넓이의保存槪念이형성된다고한다. 그러면圖形과測度영역에서의保存槪念이형성되는시기와 van Hiele의학습수준을구체적으로비교해보자. 실로, 이러한保存槪念形成에대한실험은아동의學習遂行段階를결정하는데매우중요한것이다. 그러나이러한실험은자칫잘못하면수학의진정한性質糾明은스쳐가고, 오히려그외형적인것에만너무치우치는경향이있다고본다. 예컨대, 앞에서언급하였듯이길이의保存槪念이 7 8세에서形成이된다고하지만아동이, 심지어대학생까지도正四角形을그려보라고하면, 80% 이상의학생들이가로보다세로의길이가조금짧은直四角形을그리고있는것을볼수있다. 사실길이의保存槪念형성시기가훨씬넘었는데도, 학생들이이러한誤謬를습관적으로범하고있는것은, Piaget가한실험이너무視覺的이고經驗的인것에만의존한것이아닌가하는의문을던지고있다. 우리는兒童들에게길이등과같은기하도형에관한모든사항들을視覺的이고經驗的인짐작에만의존하여認知하도록지도할것이아니라, 오로지 Euclid 道具인자 ( 尺 ) 와컴퍼스 (compasses) 를사용하여서그것들을정확히파악할수있는構造認識論的인학습으로전환하여야만한다고본다. 그러나비록 Piagrt 의認知水準에대한임상實驗이수학의진수를비켜가는국소적이고편파적인면도없지않으나, 거기에서얻은결과는우리에게매우소중한것이아닐수없다. 결국 Piagrt가스쳐간부분들은우리數學敎育學者들이보충해야할몫이라고생각한다. 그러면, Piaget의認知發達理論에근거를두고있는 van Hiele의思考水準理論에대하여언급해보자. B. van Hiele의思考水準理論 van Hiele 夫婦 :1950년대, 네덜란드 (Nether-

4 4 徐成輔 <Piaget 의圖形및測度領域의保存槪念形成時期 > 연령圖形및測度영역 圖形영역 기본모형그리기 位相的圖形에서位置, 順序關係파악 位相的性質로서의接近, 開閉, 順序이해 位相幾何의綜合的構成능력 Euclid 幾何圖形의기초 平行과垂直 Euclid 幾何圖形의空間탐구 三角形의合同 三角形의닮음 角의相等 四角形의닮음 測度영역 길이의保存 길이의單位 線分의分割 넓이의保存 넓이의單位 直四角形의넓이 부피의保存 直六面體의부피 保存槪念형성시기 연령및 van Hiele 의학습수준 6 7 0, 1수준 6 8 0, 1수준 8 9 1, 2수준 수준 6 7 0, 1수준 9 2수준 수준 수준 12 2수준 12 2수준 13 2수준 7 8 1수준 8 9 1, 2수준 , 2수준 7 8 1수준 , 2수준 수준 수준 수준 lands) 에서는초 중등학교의幾何敎育에여러가지문제점이많이있음을발견하고, 이에대한적절한조사연구가일어나기시작하였다. 당시네덜란드의 Lycée에서數學을가르치고있었던 van Hiele 부부교사도 왜많은학생들이幾何學的認知發達過程중에서, 특히圖形의여러가지성질을규명하는과정에서, 어려움을느끼고있는가? 라는자연스러운疑問을갖기시작하였고, 이러한어려움을어떻게하면해소할수있는지다각적인연구를하기시작하였다. 마침, 남편인 Pierre van Hiele는 Piaget 理論을연구하고있던중이라, 이에도움을얻어기하에서學習思考水準체계를세워지도하는것만이그유일한해소방안이라고주장하였다. 그는종전의기하학습에서아 동에게제시되는문제나과제가가끔그아동의思考水準을넘어서는용어사용이나, 성질규명요구가있었음을발견하였다. 그리하여학습지도가아동의思考水準을넘어서서행하여진다고하면, 그학습내용은아동에게아무런의미가없다는것을밝혀내었다. 그후, van Hiele의스승인 Freudental도 아동이자신의학습행위에대하여적절한反省 (reflection) 을얻어내지못한다고하면, 보다높은水準에의학습접근은불가능하다 는비슷한입장을피력하였다. 그래서 1957년, van Hiele 부부는기하학습에대한아동들의이해력과통찰력을신장시키기위해서, 思考의水準을다루는실험연구와그에따르는이론을정립시켜, 幾何敎授 - 學

5 van Hieles 의理論에의한국민학교幾何圖形學習의分析硏究 5 習에서直觀 (Intuition) 의역할 과 幾何學的敎授法 (Didactics) 이라는논문을각각발표하여, Utrecht대학에서공동으로박사학위를받았다. 더욱이남편인 Pierre van Hiele는심리학적원리에초점을맞추고, 그의부인인 Dina van Hiele-Geldof는아동의思考水準의신장에대한현장실험에역점을두어서, 그들의이론을완전체계화한 兒童의思考와幾何學 (The Child s Thought and Geometry) 이라는논문을 1959년에내놓아학계의많은관심을얻었다. van Hiele의思考水準理論 : 그러면지금부터 van Hiele의思考水準理論 10) 의다섯가지단계를정의하고거기에맞는적절한보기를들어서설명해보도록하자. (1) 基礎水準 ( 視覺的認識水準 ): 주변에있는어떤 物體 가학습의대상이되어, 단순히시각적으로외형적인형태로만인식하는단계로서, 아무리기초적인도형이라도그구성요소가무엇이며, 그요소사이에서발생하는기본적인性質이어떤것이있는가에대하여전혀思考를하지않고, 오직 圖形 그자체만을하나의학습수단으로삼는수준을말한다. 이를테면직육면체의상자를보고그면들이네모모양이다, 삼각형의자 ( 尺 ) 를보고세모모양이다, 맛있는피자 (pizza) 를보고동그란모양이라고인식하며, 또그들모양이서로다르다는것을구별할줄아는정도이다. 이처럼삼각형, 사각형, 원등이있으면그외형적인形態를인지할줄알며, 또같은모양의도형에서크기가다른것이두개이상있으면, 이것은저것보다크다는정도의외연적인특징만을파악하고있다. 그러나정사각형과옆으로긴직사각형과는서로모양이다른별개의도형으로만인식하고, 이들이갖고있는공통의特性을인지하지는못한다. 다시말하면, 이수준의아 10) Walker, J.: Investigation of the van Hiele Levels of the Geometric Thought in the Undergrade Reservice Teachers, 1981.p.3 15 동은현재자기갖고있는언어로써 세모모양이다, 네모모양이다, 동그란모양이다 하고어느정도의표현은가능하나, 그圖形이갖고있는性質을명확히설명하지는못한다. 그래서이수준은우리나라국민학교 1학년학습수준정도라고하겠다. (2) 第 1 水準 ( 圖形의分析的水準 ): 주변에있는어떤물체나물건에있는形態에서이끌어낸 圖形 이학습의대상이되어서, 그것의구성요소와 性質 에대한비형식적인分析을통해도형을파악하는수준이다. 이수준의아동들은어떤물건의길이와높이, 그리고두께등의대소개념이형성되어서, 어떤상자에있는직사각형을보고 마주보는두변의길이는서로같다 는것을인식하게된다. 더나아가서이圖形은 네개의곧은線으로만들어져있고, 그線들이만나면하나의뽀죽한點이생기는데그點은모두네개이다 는등, 도형의구성요소와기본성질에대한초보적인分析만하고있다. 그러나, 직사각형의두대각선의길이는같다 는것은認知하고있으나, 두대각선이서로다른것을이등분하고있다 는사실은조작적검증을거쳐야만이해를할수있을뿐이다. 그래서이水準에서는도형과그性質과의상호관계를명확하게연결시킬수는없으나, 어떤특성을그것에대한豫測 (pre-estimate) 과조작적檢證을통하여인식할수있는단계이다. 그래서이水準은우리나라국민학교 2, 3학년學習水準이라하겠다. (3) 第 2 水準 ( 理論的整理水準 ): 도형을어떤물체나물건에있는형태에서떠나, 순수한도형의입장에서그것을정의하고, 그 性質 을파악하며, 또도형과도형사이의관계를수학적인언어도구인 命題 를수단으로하여정리하는수준이다. 이를테면앞수준에서 三角形이란세개의선분으로둘러싸인圖形이다 라고정의한기계적인이해에서관계적인이해 11) 로전환되는단계이기때문에, 이수학적인 11) Skemp, Richard: Structure Activities for Primary

6 6 徐成輔 문장을이론적으로정리된하나의命題로인식하게된다. 이렇게이해된정의위에서, 삼각형의세각의합은어떻게되겠는가? 라고疑問 (doubt) 을하게되며, 이러한의문을歸納的推論의방법으로풀어서, 결국 삼각형의세각의합은 이다 는하나의定理를유도해내는것이다. 그러나이같이간단한성질을규명할줄은아나, 觀察한결과를입증할수있는예비적인보조명제를구성하지는못한다. 그래서, 이水準에서는公理와定理의의미를모를뿐만아니라, 그구별조차할수없으므로, 演繹的推論은아직어려운상태이다. 그러므로이수준은우리나라국민학교 4, 5, 6학년학습수준이라하겠다. (4) 第 3 水準 ( 演繹的推論水準 ): 여기에서는 命題 가연구의대상이되며, 命題사이의 論理的關係 가정리수단으로등장하여, 公理, 定義, 定理, 證明의의미와역할을이해하고기하전체의연역체계를파악하는수준이다. 이러한하나의명제로부터다른명제로의演繹을위해일련의명제체제, 즉證明을구성하여성질을규명하는단계이다. 이단계부터는국민학교아동의수준을넘어서서중학교의과정으로넘어가야한다. 이를테면, 두변의길이가같은삼각형을이등변삼각형이라한다 는定義에서 이등변삼각형의두밑角의크기는같다 는證明을할줄안다. 그러나학생들은명제의추론과정에서嚴密性이얼마나필요한지를깨닫지못할뿐더러, 어떤한演繹에서다른연역체계로넘어갈때의사고의이행관계도이해하지못한다. 예컨대, 직선밖의한점을지나고이직선에평행인직선은존재하고단하나존재한다 는 平行線公理 를사실그대로인식을해야하는건지, 아니면증명을해야하는건지를모르고있다. 그리고이것이 삼각형의내각의합은 이다 는증명에반드시있어야만되는사실인지, 또꼭필요하다고하면, 이것이그다음의演繹체계에어떻게 Mathematics, University of Warwick, 적용하는건지도잘모르고있다. 이수준은우리나라중학교學習水準이라하겠다. (5) 第 4 水準 ( 幾何學의嚴密化水準 ): 기하학구조의 論理性 그자체가연구의대상이되어, Hil-bert의여러가지公理體系를이해하고, 기하학의형식적嚴密性을파악하여, 다양한 抽象的推論 의방법으로도형의특성을분석하고이해한다. 추론의방법으로는직접증명법과간접증명법이있으며, 직접증명법에는演繹法과數學的歸納法등두가지가있고, 간접증명법에는歸謬法, 同一法, 轉換法등세가지가있다. 이수준에있는학생들은어떤명제를추론할때, 어느증명방식으로접근해야하는지판단하여, 그과정의전개에서완벽성을기하고있다. 이를테면, 앞에서언급한 平行性公理 를근거로하여 평행인두직선이제3의직선과만나서이룬엇각은서로같다 는사실을歸謬法으로證明할수도있고, 이러한平行線公理와보조정리를이용하여 삼각형의세내각의합은 이다 는정리를演繹法的으로증명할줄안다. 이수준은우리나라고등학교학습수준이라하겠다. 水準決定의判斷基準 : 이상과같이, van Hiele 가제시한다섯단계의각수준을구별하고결정지우는중요한판단기준 12) 은, 첫번째로그단계에서아동들이당하고있는학습의장애요소가무엇이며, 또그장애요소들의제거가어느단계에서가능한가에초점을맞추었다. 만약어떤아동이 n 水準에서도장애를받고있는용어, 개념, 성질규명등을그와같은수준에서나, 아니면그보다한단계높은 n+1 水準에서다루게된다고하면, 그아동은심리적으로좌절과불안을느낄뿐만아니라, 그다음단계로의학습진입이불가능하다는것이다. 그리고두번째판단기준은비록 n 水準에서장애를받고있는學習要素들이라도, 그학습내용전체의적절한構成과교사의열의있는指導 12) 우정호 : van Hieles 의수학교과수준이론에관한소고, 서울사대, p.87 88

7 van Hieles 의理論에의한국민학교幾何圖形學習의分析硏究 7 로써그장애요소들의해소가가능한가에도역점을두었다. 마지막세번째판단기준은학습의連續性이다. 학습의내용들이적절한수준에맞게잘배정되어있다고치더라도, 전후수준의연결상태에문제가있어실제로連續的인학습으로이루어지지않는다고하면, 아동들은系統的이고一貫性있는학습을할수없다. 그래서이웃水準의개념들이서로連續이되어야할뿐만아니라, 그연결부분의앞뒤가약간은겹쳐지게하여反復學習의효과를노려야할것이다. van Hiele 理論의基本槪念 : 한편, van Hiele 의理論의기본개념은무엇인가? 이이론은우리가생활주변에서항상느끼고있는경험의세계를조직화하고이론화하여수학의構造속으로진입시키는수학적思考 - 活動에근거를두고있다. 그렇게하자면, 어느한수준에서경험을정리하는手段이새로운학습의對象으로의식되어, 그것을조직화하려는活動이점진적으로이루어지면서부터, 그다음上位水準에로의도약을하게되는과정을계속전진반복하게된다. 이렇게해서, 수학의학습-지도는그렇게전진반복된사이클 (cycle) 에맞게진행되어야만다음단계의대상이자연스럽게再發見되어간다는것이다. 이러한사실을보기를들어서설명해보자. (1) 우리생활주변에있는종이상자를보자. 이러한주변의 事物 이기초수준에서는학습의對象이되고, 그상자의面에있는직사각형이란 圖形 이학습의수단으로등장하여 그모양은네모꼴이다 는정도로인지하게된다. (2) 이러한직사각형, 삼각형, 원등의 圖形 들이제1수준에서학습의대상이되고, 이러한圖形의관찰에서 직사각형의마주보는두의길이는같다 는간단한 性質 규명을하게된다. 이러한 性質 규명이이수준에서학습의手段이된다. (3) 이러한 性質 규명이제2수준에서는학습의대상이되고, 이러한性質을바탕으로하여 네각이모두직각이고, 마주보는두쌍의길이가같은사각형을직사각형이다 라고정의를하게된다. 이렇게올바른판단으로나타낸문장인 命題 가이水準에서학습의수단이된다. (4) 이러한 命題 가제3수준에서학습의대상이되는데, 이때는定義, 公理, 定理등의모든기하학적인요소들이命題라는도구로써표현이된다. 이러한命題를사용하여기하학의構造를논리정연하게나타낸다. 예컨대, 직선밖의한점을지나고이직선에平行인직선은존재하고단하나존재한다 는平行性公理를論理에어긋나지않게표현한다. 이러한 論理 가이수준에서학습의수단이된다. (5) 이러한 論理 가제4수준에서학습의대상이되고, 平行性公理를근거로하여 평행인두직선이제3의직선과만나서이룬엇각은서로같다 는사실을歸謬法으로증명할수도있고, 이러한平行性公理와補助定理를이용하여 삼각형의세내각의합은 이다 는정리를演繹法的으로증명할수도있다. 이러한논리적인판단의대상이되는모든수학적인사실을추상화함으로써, 기하학을더욱일반화하고확대발전시킨다. 이러한 抽象化 가이수준에서학습의수단이된다. 이러한다섯단계를일목요연하게도표화 13) 하면다음과같다. 13) 김수미 : van Hieles 의기하교육수준이론, 수학교육세미나, p.208

8 8 徐成輔 수준기능 기초수준 제1수준제2수준 제3수준 제4수준 대상 주변의事物 수단 圖形 대상 圖形 수단 性質 대상 性質 수단 命題 대상 命題 수단 論理 대상 論理 수단 抽象化 C. 幾何學的인要素 우선, 幾何學을정의해보자. 幾何學이란 空間 (space) 과그空間의성질을취급하며, 그 空間안에 있는 圖形의 성질과 서로의 관계를 다루는數學의한분야 라고정의하고있다. 空間 (space) 0 次元空間 : 點 (point) 點 1 次元空間 : 直線 (straight-line) 線分, 半直線, 直線 2 次元空間 : 平面 (plane) 1 角 (angle) 2 多角形 : 삼각형, 사각형, 사다리꼴, 마름모등 3 二次曲線 : 두개의직선, 원, 포물선, 타원, 쌍곡선 등 5가지 3 次元空間 : 空間 (space) 1 多面角 (polyhedral angle) 2 多面體 : 직육면체, 정육면체, 평행육면체, 각기둥등 3 線織曲面 : 원기둥, 원뿔, 원뿔대 4 二次曲面 : 원, 포물면, 타원면, 쌍곡면등 위와 같이 空間에는 0 次元 空間 ( 點 ), 1 次元 空間 ( 直線 ), 2 次元空間 ( 平面 ), 3 次元空間 ( 空間 ) 등이있고, 이들각空間에는거기에해당되는 圖形들이있다. 幾何學의정의에서보면, 空間 의성질을취급한다고했는데, 空間은點, 直線, 平面, 空間이고, 이들은基礎圖形 (basic figures) 으로서그성질규명은그자체로써는어렵고, 결국그공간내에있는여러가지도형으로 투영해서구하는수밖에없다. 그렇다면, 위에 서 언급한 기하학적인 모든 요소들이란 결국 각次元에있는외연적인모든圖形과이도형에內包되어있는모든性質을말한다. 이를테면, 三角形이라는이 圖形 자체와 三角形의두변의합은다른한변보다크다, 三角形의세內角의합은 이다 는등등의성질모두가幾何學的인要素 (geometric essential ele-ments) 가된다. D. 幾何學의構造認識論 그런데, 기하학적인要素만으로기하학이성립되는것이아니다. 기하학적인要素들을얽어매는하나의틀 (frame) 이필요한것이다. 그틀이바로幾何學의構造 (Geometrical structure) 인것이다. 그런데이러한構造는지금부터무려 2,300년전 Euclid에의하여이루어진것이므로, 현재의아동의知的發達過程과學習理論에는다소어울리지않는부분도있다는것이현대수학자들의불만이었다. 그러나이러한불만에앞서, 그것에대한해답을내어놓고자하는노력은별로없으면서, 오히려기하학의흐름을차단하고축소하려는움직임만있었을뿐이다. 그런데다행히앞에서언급한 J. Piaget의認知發達理論과 van Hiele의學習水準理論은기하학에큰빛을던져주었다고볼수있다. 그렇지만수학교육학에서아무리현대감각에맞는훌륭한學習理論을제시했다고치더라도, 마지막에가서는 數學은數學으로, 幾何學은幾何學으로풀어야한다 는것이본연구자의지론인것이다. 數學의語源 : 더욱이그리스의수학자 Pythagoras(582? 500 B.C.) 는數學을 qui quod discitur 14) 이라고말했다. 이 Latin 語는영어로는 that which is learned 로고쳐지고, 이것을직역하면 배워지는것 이되며, 좀더살을붙이면 數學을이미알고있는사람으로부터배워지는학문 이란뜻이된다. 이런語源으로 14) 서성보 : 예비교사를위한초등수학, 도서출판교문사, p.10 11

9 van Hieles 의理論에의한국민학교幾何圖形學習의分析硏究 9 보면, 數學은이미그학문적인체계가구축이된자의이끌어짐이없이는, 아동이나학생들자신만으로는그것을이해하기가어려운과목이라는말이다. 특히幾何學에관한학습은더욱교사의학문적인이해력과지도력이요청되고있다. 構造認識論 : 그래서본연구자는위의두학자 Piaget와 van Hiele가닦아놓은幾何圖形學習理論에기하학의構造認識論 (Structural Epistemology for Geometry) 을접목적용시켜도형학습을분석연구해서효과적인학교기하교육을구축할까한다. 다시말하면, van Hiele 의각學習水準마다기하학의構造認識論의 9가지단계를배열하고, 그단계별로국민학교幾何圖形學習을분석하고또거기에맞는적절한새로운학습내용을제시하고자한다. 그러면기하학의構造認識論이란무엇인가? 우리가어린이에게 세모 라는하나의모양을제시하였을때, 그어린이는그야말로시각적으로세모라는하나의형태만認識할뿐, 그이상의다른特性에관해서는아무것도느끼지못할것이다. 역시이 세모 를국민학교 1학년아동과또 2학년아동에게도계속해서아무런언급도없이그냥제시하였다고해도별다른관찰의변화를얻지못할것이다. 그렇다면어떻게해야이 세모 라는모양을올바르게인식할수있겠는가? 그것은오로지기하학의構造認識論이라는학습이론에의하여서만이가능하다는것이다. 다시말하면 아동이나학생들이幾何學의 9가지構造 (structure) 를단계별로거쳐야만圖形을올바르게認識할수있다 는것이다. 그러면기하학의構造認識論의 9가지단계를하나하나씩알아보도록하자. (1) 觀察단계 : 먼저 1학년아동에게세모, 네모, 동그라미등의모양을한물건들을보여주면, 정확한언어적인표현은못해도그물건의모양새를시각적으로느낄줄은알것이다. 이것이幾何學의첫번째構造인觀察 (observation) 인것이다. 그러나觀察은삼각자, 종이 상자, 연필통등구체물을직접만져보고느껴보고해서, 여기서부터세모, 네모, 동그라미등의圖形을인식한다는것이다. (2) 構成단계 : 그리고세모, 네모, 동그라미등의모양을구체물로부터관찰하고나서, 그것들을그려보고, 또가위로오려보게한다던가, 또는가느다란휴즈 (fuse) 를접던가구부려서, 그끝을스카치테이프로붙여세모, 네모, 동그라미등을만들게한다. 또수수깡이라던가, 찰흙, 쌓기나무등을이용하여多面體나球등을만드는모든작업을幾何學의두번째構造인圖形의構成 (composition) 인것이다. (3) 定義단계 : 이처럼도형의構成이끝난후도형의언어적인설명을하게되는데, 이것을세번째構造인도형의定義 (definition) 라고한다. 定義라는것은어떤用語 (terms) 의뜻을설명하는것을말하는데, 이를테면三角形이라는用語를 세개의직선선분으로둘러싸인폐곡선 이라고설명하고있다. 이러한도형의定義는크게하나로묶어서간단히처리할수있지만, 여기에서는基礎定義, 狀況定義, 包括定義, 基本定義, 附隨定義, 特殊定義등여섯가지로나누어상세히설명을하기로한다. 사실국민학교에서는이부분을상당히중요시하고있다. 왜냐하면, 언어적인조작이이루어지지않으면圖形의性質규명은사실상기대할수없기때문이다. 基礎定義 : 위에서구성한세모의한邊은어떤모양을하고있느냐고물으면, 똑바르다 또는 곧은선 이라고답할것이다. 그러면, 이러한곧은선을여러분의아빠와엄마는무엇이라고할까? 집에가서조사해보라고하면, 쉽게 直線 또는 線分 이라는답을얻어올것이다. 그리고나서이直線과요直線이만나서이루는곳을무엇이라하느냐고물으면, 즉석에서 點 이라고답할것이다. 물론, 이때는 꼭지점 이라는말은아직나올단계가아니다. 이렇게해서 直線, 點, 그리고여기에 平面 을덧붙인이셋

10 10 徐成輔 도형들은가장基礎槪念으로서직관적인표현을갖게되는데, 이것을基礎圖形의정의인基礎定義 (basic definition) 라고한다. 이러한基礎圖形인點, 直線, 平面을無定義語 (undefined terms) 라고하며, 이들은모든도형을구성하는데근간이되고있다. 그런데平面曲線 (plane curve) 과空間曲線 (space curve) 을포함한매끄러운一般曲線 (smoothly general curve) 과또매끄러운一般曲面 (smoothly general surface) 을基礎圖形속에넣는것이理論的으로타당하지않겠느냐하는주장도있으나, 그것은그렇지않다. 왜냐하면, 三角形은 세개의線分으로둘러싸인폐곡선 으로定義하고있기때문에, 直線에서정의된 線分 이三角形의구성요소가되고있지만, 圓은 한定點에서같은거리에있는點의자취 로定義되고있어, 이때의構成要素는曲線이아니고오히려 點 인것이다. 그리고이圓을회전시키면 球 라는曲面이생긴다. 그래서基礎圖形속에는點, 直線, 平面이외의다른도형은넣을필요가없다. 狀況定義 : 다음에는基礎圖形인點, 直線, 平面을가지고다음과같은 < 狀況定義 > (situational de-finition) 를할수있다. 1차원공간에서 點은直線위에있다 (A point lies on a straight line) 는狀況定義를비롯해서, 2차원공간위에서 點은直線밖에있다, 두直線은일치한다 (coincide), 두直線은한點에서만난다 (meet), 두直線은평행한다 (parallel) 등등을정의할수있다. 그리고또 3차원공간위에서는 두直線은꼬인다 (skew), 한점은평면밖에있다, 두平面은一致한다, 두平面은한直線에서만난다, 두平面은평행한다, 세平面은한點에서만난다 등을정의할수있다. 包括定義 : 基礎圖形인點, 直線, 平面을바탕으로하고, 狀況定義에서기술한여러가지수학적인문장을사용해서包括的인圖形을정의할수있다. 다시말하면, 閉曲線, 多角 形, 閉曲面, 多面體, 線織曲面 등의정의를包括定義 (inclusional definition) 라한다. 이러한包括圖形은基本圖形을정의하는데쓰인다. 基本定義 : 1차원공간에있는線分과半直線은基礎圖形인直線에서정의되고, 2차원공간에있는角은두개의半直線으로정의되며, 三角形과四角形등은包括圖形인多角形으로부터정의되고, 3차원공간에있는도형인사면체와육면체는包括圖形인多面體로부터, 또기둥 (cylinder) 과뿔 (cone) 등은線織曲面으로부터각각정의된다. 그러나圓, 球등은包括圖形을거치지않고바로정의된다. 이상에서보면삼각형, 사각형, 사면체, 육면체, 기둥, 뿔, 원, 구등을基本圖形이라하고, 이圖形들의언어적인설명을基本定義 (fundamental definition) 라한다. 附隨定義 : 基本圖形에서부수적으로생기게되는여러가지도형, 즉변, 꼭지점, 꼭지각, 밑변, 높이, 모서리, 二面角, 중심, 반지름, 지름, 밑면, 母線등을附隨圖形이라하고, 이러한도형의정의를附隨定義 (appendant definition) 라한다. 特殊定義 : 基本圖形에서特殊한성질을갖는도형의정의를特殊定義 (particular definition) 라한다. 즉, 삼각형의定義위에서이등변삼각형, 정삼각형, 직각삼각형등을정의하고, 사각형의定義위에서정사각형, 직사각형, 사다리꼴, 마름모, 평행사변형등을, 육면체의定義위에서직육면체, 정육면체평행육면체등을, 기둥 (cylinder) 의정의위에서직원기둥을, 뿔 (cone) 의정의위에서직원뿔을정의한다. 이상의 6가지定義를도식화하여다음과같이간단하게나타낼수있다. 基礎定義 包括定義 基本定義 特殊定義 狀況定義附隨定義

11 van Hieles 의理論에의한국민학교幾何圖形學習의分析硏究 11 (4) 公理단계 : 기하학의네번째構造는公理 (axiom) 인것이다. 도형에관한여러가지성질중에서증명을요하지않고, 경험적으로또직관적으로인정해주는중요한사실을公理라고한다. 이러한公理는어떤사실을규명할때, 반드시필요한것으로서 Euclid가처음으로그존재를인정하고그것을구성하였다고해서 Euclid 公理라고도한다. 이公理는다음과같이모두 10가지가있다. [ 유크리드의公理 (Euclidean Axioms)] 幾何學을위한 5개의公準 (Postulates) 1 어느한點에서다른어느한점으로直線을긋는다 (To draw a straight line from any point to endpoint). 2 유한한直線을하나의直線으로계속해서연장한다 (To produce a finite straight line continuously in a straight line). 3 어떤中心과반지름을갖는圓을그린다 (To describe a circle with any center and radius). 4 모든直角은같다 (That all right angles are equal). 5 한直線이두개의直線과만나서 보다작은同側內角을이루면, 그두直線을무한히연장할때, 그들은同側內角이 보다작은쪽에서만난다 (That,if a straight line falling on two straight lines makes the interior angles on the same side less than two right angles, then the two straight lines, if produced indefinitely,meet on that side on which the angles are less than the two right angles). 代數學을위한 5개의槪念 (Common Notions) 1 同一한것에같은것들은또한서로같다 (Things which are equal to the same thing are also equal to one another). 2 同一한것에同一한것을더하면, 그전체들은서로같다 (If equals be added to equals,the wholes are equal). 3 同一한것에同一한것을빼면, 그나머지들은서로같다 (If equals be subtracted from equals, the remainders are equal). 4 서로一致되는것들은서로같다 (Things which coincide with one another are equal to one another). 5 全體는部分보다크다 (The whole is greater than the part). 여기서第 5 公準은 한직선이두개의직선과만나서 보다작은同側內角을이루면, 그두직선을무한히연장할때, 그들은同側內角이 보다작은쪽에서만난다 로번역이되어있다. 이처럼조금난해한말을독일의수학자 David Hilbert( ) 는 직선밖의한점을지나고, 이직선에平行인직선은단하나존재한다 로간단히수정하였다. 이公理를 Euclid의平行線公理 라하며, 이公理를인정한바탕위에서학문적인전개를한기하학을 Euclid기하학이라하고, 이를부정한기하학을非 Euclid기하학이라한다. 현재우리초 중 고등학교에서가르치고있는기하학은 Euclid 幾何學이며, 이는평면기하학과입체기하학으로나눌수있다. 국민학교에서는대개학년이올라갈수록평면도형에서입체도형쪽으로많이다루어지고있다. (5) 定理단계 : 기하학의다섯번째構造는定理 (theorem) 이다. 推理 : 이미알려진하나또는그이상의判斷을근거로하여새로운하나의判斷을이끌어내는사고활동을推理 (inference) 라한다. 歸納的推理 : 觀察된개개의사례를총괄하고정리하여, 그들사례의규정이필연적으로도출될수있는일반적주장인어떤판단을확립하는推理, 즉특수사실로부터일반진리를이끌어내는推理를歸納的推理 (inductive inference) 라한다.

12 12 徐成輔 命題 : 이러한推理에의하여얻어낸논리적인判斷을言語또는記號로나타낸것을命題 (proposition) 라한다. 定理 : 수학에서는公理와定義그리고數와圖形에관한생활경험을기초로하여추리해낸수학적인命題를定理라한다. 그리고중요한定理를증명하기위하여補助로서사용되는정리를補助定理 (lemma) 라하고, 이러한定理에서즉시유도되는것으로서이용가치가높은것을命題의형식으로서술한것을따름定理 (corollary) 라한다. 그리고命題로서의가치는있으나, 다른命題의성질규명에크게효용이되지않는것을그냥도형에관한問題 (problem) 로제시되고있다. 국민학교에서는어떤命題를이끌어낼때 그것은무엇이될것이다 라고豫測 (preestimate) 하는경우와 그것은어떻게되겠는가? 라고疑問 (doubt) 을갖는경우등두가지심리적인충동과욕구에서비롯되고있다. Piaget는操作 (operation) 을 손 ( 身體 ) 을가해서구체물을움직이는行動 이라고언급했고, 또우리가보통檢證 (verification) 을 어떤가설로부터그것을관찰하고실험하여, 한命題의진위를밝히는일 이라고규정지운다고하면, 操作的檢證은 손의동작을통하여관찰하고실험해서, 한命題의옳고그름을찾아내는일 이라고정의할수있다. 우리가비교적경험적으로직관적으로쉽게豫測할수있는命題, 이를테면, 이등변삼각형에서꼭지각의이등분선은밑변을垂直二等分할것이다 라는예측을직관적으로가질수있다. 이러한豫測의眞僞 (true & false) 를알아보기위해서는, 이三角形을가위로오려서꼭지각의이등분선을따라서반으로접어포개어본다. 이렇게하면, 이등변삼각형에서꼭지각의이등분선은밑변을垂直二等分한다 는수학적인命題를얻어낼수있다. 이렇게종이로만든삼각형을오려서접어보고하여처음豫測했던바를판정하는 작업을 操作的檢證 (operational verification) 이라한다. 그리고또이러한예측을할수있는문제와는다른유형의문제가있다. 즉三角形의세角의합이 가될것이라는사실을아무도예측을못한다. 오직 三角形의세角의합은어떻게되겠는가? 라고疑問만을갖게되고, 이러한疑問을풀기위해서, 종이로만든三角形을세角이각각품어지도록세등분으로잘라서, 이들을한直線위에알맞게놓아본다. 그랬더니놀랍게도그합이 가되는것을알아내었다. 물론여러종류의다른三角形을모두이와같은방법으로조사해보아도모두그합이 가되는것을알아낼수있다. 그래서 三角形의세角의합은 이다 라는중요한數學的인命題를추리해낸다. 이같이여러가지三角形을종이로오려서그角들을맞추어보고해서어떤중요한사실을유도해내는작업을 歸納的推理 (inductive inference) 또는 歸納的推論 (inductional re-asoning) 이라한다. 사실다른영역에많이활용되는중요하고도참신한數學的인命題, 즉定理의발견은이러한豫測과疑問에서시작이된다. 지금부터약 2500년전에 Pythagoras학파사람들은다음과같은疑問을갖기시작하였다. 中國의木手들이直角을구성할때, 마디의길이가 3, 4, 5인줄자를삼각형으로만들어서사용하였다. 그렇게하면왜直角이되겠는가? 이러한疑問을풀기위하여, 어떤삼각형에서여러가지補助線 (assistant line) 을긋고관찰하는歸納的推論의과정을그쳐서 직각삼각형에서빗변위에있는정사각형의넓이는다른두변위에있는정사각형의넓이의합과같다 는중요한定理, 즉그유명한 Pythagoras의定理 를발견하게되는것이다. (6) 證明단계 : 어떤命題를참 (true) 으로인정할때또는주어진전제의결론으로주장할때, 그것을公理나補助命題에서, 또는주어진假定이나조건에서논리적이고합리적인論證에의

13 van Hieles 의理論에의한국민학교幾何圖形學習의分析硏究 13 하여어떤결론에도달되는일련의명제전개과정을證明 (demonstration) 이라고한다. 이것이기하학의여섯번째構造이다. 어떠한수학적인命題도證明이라는과정을거치지않고는참이라고인정을할수없다. 그래서推理에의하여얻어진定理를證明이라는형태로다시檢證을받아야한다. 일반적으로證明에는直接證明法 (direct proof) 과間接證明法 (indirect proof) 등두가지가있고, 그세부적인내용은다음과같다. 證明直接證明法 : 演繹法 (deduction) : 85% 數學的歸納法 (mathematical induction) : 4% 間接證明法 : 歸謬法 (reduction to absurdity) : 10% 同一法 (rule of identity) : 0.5% 轉換法 (rule of conversion) : 0.5% 일반적으로수학에서는演繹法이약 85% 로가장많이쓰이고, 歸謬法이약 10%, 數學的歸納法이약 4% 이고, 나머지 1% 정도가同一法과轉換法이라고볼수있다. 그러나국민학교에서는證明이라는용어자체를아예취급도하지않는다. 왜냐하면, 證明이라는사고개념이형성되려면논리적인言語및記號의자유로운사용이우선되어야하는데, 국민학교아동에게는아직이단계가이르기때문이다. 그래서바로앞에서도잠깐언급되었듯이, 본인은證明의선수개념으로서操作的檢證과歸納的推論을제시하였다. 그러면定理를설정하기까지의과정과證明의위치등을도식화해보기로하자. < 定理의設定과證明 > 圖形 觀察 構成 定義 公理 그것은무엇이될것이다 豫測 命題를假定그것은어떻게되겠는가? 疑問 歸納的推理 操作的檢證 命題를確定 命題를誘導 定理의設定 定理의證明 (7) 測度단계 : 기하학의일곱번째構造는測度 (measure) 이다. 어떤量을수치화했을때의수를測度라한다. 量 (quantity) 과상응되는개념은質 (quality) 이라고한다. 量이라는것은角 길이 넓이 부피 무게등의크기의정도를말하고, 質이라는것은物件의근본적인속성을말한다. 수학에서는量만취급하나, 科學 (science) 에서는量과質모두를취급한다. 그러면量에대하여좀더상세하게분류해보자. 量 scalar 量 : 크기 (magnitude) 만갖고있다 分離量 ( 個體의개 ) : 1사람, 2마리, 3개등 連續量 : 外延量 數學的인量 : 각도 (degree of an angle), 길이 (length), 넓이 (area), 부피 (volume) 物理的인量 : 무게 (weight), 時間 (time) 內包量 單價 (unit price) : 1개 150원 速力 (speed) : 時速 100km 濃度 (density) : 알코올 5% vector 量 : 크기와方向 (direction) 을갖고있다. 힘 (force), 速度 (velocity) 등위에서보인바와같이수학적인量을수치화하기위해서는단위각, 단위길이, 단위넓이,

14 14 徐成輔 단위부피등을우선적으로규정하여야하며, 이러한量을수치화함으로써, 그圖形이지니고있는여러가지特性을더욱명확하게하고, 또다른영역에의응용도가능하게된다. 그래서圖形의測度를중요시하지않을수없다. (8) 作圖단계 : 앞에서잠시언급을했듯이, 아동이심지어대학생까지도正四角形을그려보라고하면, 80% 이상의학생들이세로의길이를가로의길이보다조금짧게直四角形을그리고있는것을볼수있다. 사실길이의保存槪念형성시기가훨씬넘었는데도, 학생들이이러한誤謬를습관적으로범하고있는것은우리가도형을너무視覺的이고經驗的인것에만의존한것이아닌가하는의문을던지고있다. 우리는아동들에게각도, 길이등과같은기하도형의測度에관한모든사항들을視覺的이고經驗的인짐작에만의존하여인지하도록지도할것이아니라, 오로지 Euclid 道具인자 ( 尺 ) 와컴퍼스를사용하여서그것들을정확히파악할수있는構造認識論的인학습으로전환할필요가있다고본다. 그래서기하학의여덟번째構造는作圖 (construction) 인것이다. 도형을간단한도구나재료를사용하여그리던가만드는작업을構成이라고하면, 유크리드道具인눈금이없는곧은자 (straight edge) 와컴퍼스 (compasses) 를사용하여주어진조건에맞는도형을그리는것을作圖라한다. 이러한작업에서허용되는作圖公準은 1 임의의두점을지나는직선을긋는일 2 임의의점을중심으로하여임의의반지름으로원을그리는일 등두가지이다. (9) 應用단계 : 마지막으로기하학의아홉번째構造는應用 (application) 인것이다. 이때應用이라는것은다른학문분야에의응용과幾何學자체의다른영역에의응용도모두포함하고있다. 構造認識論의例 : 이러한아홉가지의構造가幾何圖形學習에어떻게적용되며, 또도형에대한아동의인식을어떤모양으로변화시 키고있는지보기를들어서설명해보자. 이를테면 삼각형의세角의합은 이다 는사실을기하학의構造認識論의아홉가지단계를거처서밝혀보도록한다. 첫째觀察단계 : 세모모양의자 ( 尺 ) 와기 ( 旗 ) 를주의깊게觀察하도록하자. 이때, 변과꼭지점의개념은모르지만이모양속에는어떤것들이세개씩있구나하는認識을하게된다. 둘째構成단계 : 종이로세모를만들어서가위로오려보고, 또휴즈또는성냥개비로세모를構成하여보자. 이경우, 종이세모는속이차고 (full), 휴즈세모는속이빈 (vacant) 것을認識하나, 아직三角形의定義를하지않았으므로, 별의식없이그냥넘어갈것이다. 셋째定義단계 : 圖形들을다음과같이여섯단계로나누어정의한다. (1) 基礎定義 : 點, 直線등의기초도형에대한定義가이루어져야한다. 1세모에있는곧은線을直線이라한다. 사실, 세모에있는곧은線은直線이아니고線分이다. 그러나아동들은直線과線分을구별할정도의인식을하지못하고, 그냥곧은선이있는것만의식할것이다. 더욱이직선이나선분의길이 (length) 나폭 (width) 에대하여서도아직認識할단계가아니다. 2직선과직선이만나는곳을點이라한다. 여기서아동들은點의크기가막연히있는것으로여길것이다. (2) 狀況定義 : 點과直線에대한狀況定義가이루어져야한다. 1직선BA와 CA가만나서點 A를이룬다. 2 點 A는직선BC밖에있다. (3) 包括定義 : 包括圖形의定義가이루어져야한다. 1양끝이일치되는닫힌曲線을폐곡선이라한다. 2 單一閉曲線으로서이웃하는변이共線的이지않는線分들의합집합을多角形이라한다.

15 van Hieles 의理論에의한국민학교幾何圖形學習의分析硏究 15 (4) 基本定義 : 선분, 반직선, 각, 삼각형, 사각형등의基本圖形에대한정의가이루어져야한다. 1직선을그위에있는한점에서잘랐을때, 그양쪽에있는도형을半直線 (half line) 이라하고, 그잘려진점을끝점 (an end point) 이라한다. 2직선위에서로다른두점을잡았을때, 그사이에있는도형을線分 (segment) 이라하고, 그양쪽에있는두점을양끝점 (both end points) 이라한다. 3두개의반직선이끝점에서만난도형을角 (angle) 이라한다. 이렇게해서角에는큰것과작은것두개가있는것을인식하게된다. 4세개의선분으로둘러싸인閉曲線을삼각형 (triangle) 이라한다. 이정의에의하여삼각형은속이비어있는것을알게된다. 5네개의선분으로둘러싸인폐곡선을사각형 (quadrilateral) 이라한다. 그런데사각형은平面四角形과空間四角形등두가지가있으나, 보통사각형이라고하면平面四角形을말한다. 이경우에도사각형은속이비어있는것을알게된다. (5) 附髓定義 : 변, 꼭지점, 꼭지각, 밑변, 높이, 內角, 동위각, 엇각, 평각등의附髓圖形에대한정의를해야한다. 1삼각형에서세개의선분을변이라하고, 변과변이만나는점을꼭지점, 변과변이이루는각을꼭지각이라한다. 그리고삼각형의어느한변을밑변이라할때, 이에마주보는꼭지점에서이밑변에내린垂線의길이를높이라한다. 2두개의직선이제3의직선과만났을때, a와 b를동위각, a와 c를엇각이라한다. 3 角을이루는두반직선이서로반대편으로일직선을이룰때, 그각을平角이라하고, 그크기를 라한다. (6) 特殊定義 : 기본도형인삼각형으로부터정삼각형, 이등변삼각형, 직각삼각형등의特殊 圖形에관한정의를해야한다. 1세변이같은삼각형을정삼각형이라한다. 2두변이같은삼각형을이등변삼각형이라한다. 3한각이직각인삼각형을직각삼형이라한다. 넷째公理단계 : 세개의公理가전제되어야한다. (1) 線分은무한히연장할수있다. (2) 直線밖의한점을지나고이직선에平行인直線은단하나존재한다. (3) 같은것에같은것을더하면그전체는서로같다. 다섯째定理단계 : 다음과같은세개의定理가歸納的推論에의하여얻어진다. (1) 補助定理가검증되어야한다. 평행하는두직선이제3의직선과만났을때, 同位角은서로같고엇각도서로같다 (2) 증명하고자하는本定理가제시되어야한다. 삼각형의세內角의합은 이다 (3) 본정리에서따름定理가도출되어야한다. 平面四角形의내각의합은 이다 여섯째證明단계 : 이들定理를證明하여야한다. 여기서는본정리만演繹法으로증명하도록하자. 우선삼각형의정의가이루어져야하고, 삼각형의밑변을어느한쪽으로연장할수있고, 또밑변의연장한쪽에있는꼭지점에서맞보는변에평행인직선을단하나그을수있다는公理가인정되어야하며, 두직선이平行일때동위각과엇각은각각서로같다는補助定理가미리입증이되어야한다. 이것을기호로나타내어증명해보자. 삼각형ABC의밑변 BC를오른쪽으로연장하여그끝점을 D라하고, 또점C에서변 BA에평행되게그어그끝점을 E 라하면, A= ACE ( 엇각 ), B= ECD ( 동위각 ),

16 16 徐成輔 C= ACB ( 자기자신 ) 이되고, 同一한것에같은것을더하면, 그전체들은서로같다 는公理를사용하면, 이들세등식의좌변과우변을각각더하면그합도같아진다. 그리고또 一直線의角은 이다 는정의에의하면, 삼각형의밑변을연장한직선도역시 이다. 그래서, A+ B+ C= ACE+ ECD+ ACB=180 이다. (Q.E.D.) 사실이러한증명은국민학교수준에서는실시할수없다. 다만국민학교수학교과서에있는것과같이操作的檢證에의하여 임을보이는것이가장바람직하다. 일곱째測度단계 : 三角形의測度가다루어져야한다. 어떤三角形이주어졌을때, 세변의길이와꼭지각의크기는얼마인가? 그리고이삼각형의높이는얼마이고그넓이는어떻게구하는가? 물론이때, 단위길이와각도의정의가우선되어야한다. 여덟째作圖단계 : 三角形의作圖가이루어져야한다. 세변의길이, 두변의길이와그사이각의크기, 한변의길이와그양끝각의크기등이주어졌을때, 자와컴퍼스로써이조건에맞는삼각형을그리는것을作圖하라. 이와같은경우에, 국민학교에서는선분의이동은컴퍼스를사용해서하고있으나, 각의이동은컴퍼스를사용하지않고角度器 (pro-tractor) 로하고있다. 이것은作圖라고할수없다. 그래서角의이동도컴퍼스를사용하여하도록지도하여야할것이다. 아홉째應用단계 : 위의모든성질을다른영역에應用하여야한다. 삼각형의세內角의합은 임으로정삼각형의한角의크기는 60 0 가된다. 이처럼 삼각형의세內角의합은 이다 는사실을생활주변에있는여러가지문제에應用을하 게되며, 더나아가서수학영역인삼각법, 해석기하학, 미분기하학등에이용될뿐만아니라, 다른학문영역인물리학, 기계공학, 건축공학, 토목공학등에도활용이될것이다. 이상에서언급한기하학의構造認識論에의한도형학습은아동이나학생들의논리적인판단력과학문의조직적이고체계적인구성면에서는칭찬을받을만하나, 귀납적인추리력과생활에바탕을둔창의성등의신장면에서는나름대로의결점을지니고있었던종전의幾何學習형태를대폭수정보완하였다고볼수있다. E. 幾何圖形學習의分析앞절에서이미상세하게논의한 van Hiele 의 5가지學習水準중에서, 첫번째기초수준은주변의사물을시각적으로관찰해서圖形이라는모양만을느끼고, 그렇게느껴진圖形을수단으로하여幾何學의構造認識論의 9가지단계를차례로거치면, 주어진圖形의특징과그圖形과다른圖形과의動的인관계를올바르게인식할수있게되며, 또두번째제1수준은앞수준에서얻어진圖形을역시 9가지단계별로분석을하게되면, 도형의여러가지性質과도형의상호위치관계를체계적으로규명할수있다는것이다. 세번째제2수준은앞수준에서규명된도형의성질과도형의상호위치관계를또한역시 9가지단계를순서대로밟으면다양한수학적인命題를얻을수있다는것이다. 그리고네번째제3수준과다섯번째제4수준은중 고등학교에해당됨으로여기에서는제외하도록한다. 본연구는기하도형에대한학습내용의분석을국민학교아동들의기능과흥미에초점을맞추었기때문에, 그내용을지루한설명식으로나열하지않고, 다만전후단계와상하수준에맞는서로補完促進적인보기를들어서아동들이직접관심과흥미를갖고그문제를

17 van Hieles 의理論에의한국민학교幾何圖形學習의分析硏究 17 해결하도록하였다. 그렇게함으로써아동들은그단계에맞는수준을이해하고, 더나아가서높은수준에의점직적인진입도가능해진다. 그러면지금부터 van Hiele의 3가지水準에맞는기하도형학습내용을構造認識論의 9가지단계를차례로거치면서분석연구해보도록한다. [1] 基礎水準 ( 視覺的認識水準 ) 인경우 : 국민학교 1학년學習水準 Piaget는 知能은操作의체계이다, 操作이없는知識은생각할수없다 는등의주목받을말을하면서, 操作 (operation) 은 손 ( 身體 ) 을가해서구체물을움직이는行動 15) 이라고정의하였다. 이처럼저학년에서의학습은어떤구체물을시각적으로인식하고, 그것을직접손으로 操作 하는행위가절대적으로필요한것이다. 그러면이水準에서의기하도형학습의특징을분석해보자. 이水準의아동들은주변에있는어떤對象을단순히시각적으로감각적으로인식하여, 그것의外形的인모양만을이해한다. 즉대상의크기, 위치, 색깔등의外延的인요소에만관심을갖는다. 이를테면, 다음 4개의도형에서같은것끼리서로연결하라고하면, 크기가비슷하고, 같은위치에놓여있다고하여 1과 2, 3과 4 끼리연결할것이다. 사실은직각삼각형인 1과 3을, 이등변삼각형인 2와 4를연결해야한다 아무리기초적인도형이라도그構成要素가무엇이며, 그要素사이에서발생하는기본적 15) 김재은 : 교사를위한삐아졔입문상, 배영사,1977. p 인性質이어떤것이있는가에대하여전혀사고를하지않는다. 이를테면직육면체의상자를보고그面들이 네모모양이구나 하는정도만인식하지, 그것이네개의線分으로둘러싸이고, 네角이모두직각이다는사실은전혀이해하지못한다. 그래서이수준에서는주변의사물을학습의대상으로삼고, 圖形을학습의수단으로등장한다. 예컨대정육면체의종이상자와필통이라는사물을對象으로하여거기에서인식된정사각형과긴직사각형이라는圖形을學習의수단으로취급되어서, 이들이서로모양이다른별개의도형으로만인식할뿐, 사각형이갖고있는공통의特性은전혀인지하지못한다. 다시말하면, 아동은현재자기갖고있는언어로써 세모모양이다, 네모모양이다, 동그란모양이다 는정도의認識과表現은가능하나, 그도형이갖고있는特徵을명확히설명할수있는단계는아니다. 그래서이단계에서는삼각형이니사각형이니, 또는도형이니하는수학적인用語는사용하지말고, 단순히그모양들을직접손으로그려보고, 또그것들을가위로오려보는操作的인과정을거친후, 그것들을말로표현하는언어적인훈련을반복하는것이좋겠다. 그러면, 이수준에맞는학습내용을構造認識論의 9가지段階를차례로거치면서분석연구해보자. 첫째觀察단계 : 기초수준에있는아동들은시각적인觀察을통하여물체를인식하게되므로, 이단계에특별한관심을갖고지도하여야될것이다. 아동들은구체물에서여러가지모양의圖形을시각적으로觀察하고, 이를인식한다. [ 보기 0.1.1]: 위쪽에있는물건들과아래쪽에있는그림들을보고그모양이같은것끼리서로연결하시오.

18 18 徐成輔 단계 수 준 기초수준 ( 視覺的認識水準 ) 국민학교 1학년 觀察단계 아동들은구체물에서여러가지모양의圖形을시각적으로한다. 視角에따라구체물의모양이다르게보이는것을인식한다. 정답 : 1, 3, 6. 2, 5. 4, 7. 예상되는점 : 위쪽의 종이 상자와 아래쪽의 직육면체가그모양이비슷하더라도가로, 세 로, 높이의比가현저하게틀리거나, 크기가아 주다르면서로다른모양이라고생각해서연 결하지않을가능성이있다. 교사의지도 : 보기문제에서, 직육면체, 원기 둥, 구그리고圖形이라는말은아동들에게쓰 지않는것이좋겠다. 물체와圖形의모양이같 다는것은, 그크기를말하는것이아니고, 그 것이 이루고 있는 面이 평평한 면 ( 平面 ) 이냐, 아니면 굽은 면 ( 曲面 ) 이냐에 따라 결정된다는 것을인식시켜야할것이다. 視角에따라구체물의모양이다르게보 이는것을인식한다. [ 보기 0.1.2]: 아래와같은네모난나무토막을 앞에서, 왼쪽에서, 또위에서본모양이각각어 떻게다릅니까? 해당되는그림을연필로각각 연결해보시오. 앞에서본모양 1 왼쪽에서본모양 2 위에서본모양 3 정답 : 앞에서본모양 : 2, 왼쪽에서본모 양 : 1, 위에서본모양 : 3. 예상되는점 : 직육면체의 각 面의 크기를 조 구체물에있는여러가지모양의圖形을손으로직접그려본 생활주변에있는물체와물건은어떤圖形의모양을지니고 2. 構成단계 구체물을종이위에올려놓고그밑바닥을연필로그려서가 로그린圖形과비교해본다. 3. 定義단계 주어진圖形의모양을현재가지고있는언어로나타낸다. ( 基本定義 ) 圖形의位置상태를나타내는문장을이해한다. ( 狀況定義 ) 4. 公理단계 두點을지나는곧은線을자 ( 尺 ) 로그어본다. 5. 定理단계 ( 歸納的推理 ) 여러가지圖形사이의닮은점과다른점을깨닫는다. 位置가달라져도圖形의모양이변하지않고保存됨을이해한 6. 證明단계 ( 操作的檢證 ) 문제에서제시된圖形들을가위로오려서그것을접어본다알아본다. 7. 測度단계 물체의길이, 높이, 두께의개념을이해한다. 目測과實測의차이점을이해하고이를圖形에적용시킨다. 8. 作圖단계 圖形을직접자 ( 尺 ) 로그려본다. 9. 應用단계 무엇인가를알아본다. 우리주위에있는건축구조물을여러가지圖形과연관시켜 려본다. 절하지못할것이다. 이를테면 앞에서본面 과왼쪽에서본面의공통인모서리의길이가 같아야하는데, 아동들은각각다르게나타낼 것이다. 교사의지도 : 각視點에서보고그린세개 의직사각형에서공통인모서리가어느것인가 를이해시키고, 그렇다면그길이는어떻게되 어야하느냐고반문한다. [ 보기 0.1.3]: 연필 통을 앞에서, 왼쪽에서, 또 위에서본모양이각각어떻게다릅니까? 해당 되는그림을연필로각각연결해보시오.

19 van Hieles 의理論에의한국민학교幾何圖形學習의分析硏究 19 앞에서본모양 1 다. 그러나그크기는모두다른것으로그릴것이다. 교사의지도 : 아동들은도형개념형성에서유 왼쪽에서본모양 2 위에서본모양 3 정답 : 앞에서본모양 : 3, 왼쪽에서본모양 : 2, 위에서본모양 : 1. 예상되는점 : 연필통을앞에서그린모양이나, 왼쪽에서그린모양은같은것으로認識하겠으나, 오른쪽의그림과같이위에있는가로는위로볼록, 아래에있는가로는아래로볼록하게그리는아동도있을것이다. 교사의지도 : 연필통을종이위에옆으로눕히고, 그두밑면에책받침을붙여서그받침과종이와만나는線을연필로긋는다. 이때그두線이굽은線이아니고곧은線임을인식시킨다. [ 보기 0.1.4]: 탁구공을앞에서, 왼쪽에서, 또위에서본모양이각각어떻게다릅니까? 해당되는그림을연필로각각연결해보시오. 크리드的槪念보다位相的槪念이먼저형성되므로, 다같이閉曲線으로그리겠지만, 유크리드的크기는등한시할것이다. 그러나실제로자 ( 尺 ) 를가지고그지름을재어서크기가모두같은것임을인식시켜야한다. 둘째構成단계 : 주어진圖形을어떠한道具도사용하지않고시각적으로느낀것을그대로맨손 (free-hand) 으로그려본다. 構成이라는것은作圖와는근본적으로다르다. 구체물에있는여러가지모양의圖形을손으로직접그려본다. [ 보기 0.2.1]: 종이상자, 삼각형기둥, 연필통을각각앞에서본그림, 위에서본그림을그려보시오. 정답 : 실제의모양종이상자삼각형기둥 연필통 앞에서본모양 1 앞에서본그림 위에서본그림 왼쪽에서본모양 2 위에서본모양 3 정답 : 앞에서본모양 : 2, 왼쪽에서본모양 : 2, 위에서본모양 : 2. 예상되는점 : 모두동그랗게圓을그릴것이 예상되는점 : 이것은다른道具의힘을빌리지않고맨손으로그리기때문에, 정답과는달리잘못된모양을그리는아동도있을것이다. 이를테면, 직사각

20 20 徐成輔 형의옆면을오른쪽과같이그릴것이다. 교사의지도 : 앞에서어떤물체의앞면, 옆면, 윗면등의觀察은이미했었다. 그러나이것들을실제로그리게하면정확한답을내는아동이드물것이다. 왜냐하면, 아동들이앞면을그릴때앞면을수직으로보지않고약간기운視角으로보기때문에잘못된그림을그린다. 그래서어떤물체의면을그릴때보는角度를정확하게하도록지도하여야할것이다. 어떤구체물을종이위에올려놓고그밑면을연필로그려서가위로오린그림과, 앞에서손으로그린圖形과비교해본다. [ 보기 0.2.2]: 종이상자, 삼각형기둥, 연필통을각각종이위에올려놓고닿는면의테두리를연필로그려보시오. 또이물건들을옆으로눕혀서그닿는면도그려보시오. 그리고이것들을가위로오려보시오. 정답 : [ 보기 0.2.1] 와같이그릴것이다. 예상되는점 : 이것은다른道具의힘을빌려서그리기때문에, 아동들은비교적틀리지않고잘그릴것이다. 그러나연필통을옆으로눕혔을때, 그닿는면은어떤것일까? 아동들은상당히당황할것이다. 엄밀히말하면연필통의높이와같은길이의線分이다. 교사의지도 : 그냥눈으로보고그린그림과닿는면으로그린그림들과비교해서무엇이잘못되었는가를살펴보게하고, 틀린부분은다시그려보도록한다. 이것은사람이圖形을感覺的으로, 또經驗的으로그리는것이, 다른도구를사용하여그리는것보다얼마나부정확한가를보여주는좋은예가될것이다. 셋째定義단계 : 基礎定義는이수준에서는다루지않는다. 여기서는구체물에있는面들이어떤모양인지를말로나타내고, 또몇개의圖形들이서로놓여있는상태를간단한言語로표현한다. 주어진圖形의모양을현재가지고있는언어로나타낸다. [ 보기 0.3.1]: 네모난나무토막, 삼각자, 둥근연필통에있는면 ( 面 ) 들은각각어떤모양인지말로나타내어보시오. 1 ( ) 2 ( ) 3 ( ) 정답 : 1네모난나무토막의면 : 네모, 2삼각자의면 : 세모, 3둥근연필통의면 : 동그라미. 예상되는점 : 아동들은네모난나무토막의面을 네모꼴 또는 네모모양 으로, 삼각자를 세모꼴 또는 세모모양 으로나타내겠으나, 둥근연필통의양밑면을 둥근모양 또는 공 등으로나타내는아동도있을것이다. 그런데, 여기서 공 이라는표현만제외하면대체적으로맞다고인정하겠으나, 가급적이면 네모, 세모, 동그라미 등으로나타내도록하는것이바람직하겠다. 교사의지도 : 위와같은용어사용으로써만족해야한다. 사전에, 특별한개인지도를받은아동들은사각형, 삼각형, 원등으로말할수도있겠으나, 이水準에서는이러한용어들을미리앞당겨서사용할필요는없다. [ 보기 0.3.2]: 다음그림은어떤모양들인지말해보시오. 1 ( )

21 van Hieles 의理論에의한국민학교幾何圖形學習의分析硏究 21 2 ( ) 다 등으로나타낼것이다. 교사의지도 : 位置의관점에서보면 네모는 3 ( ) 정답 : 1 네모같기도하나, 모양이조금틀린다. ( 사실은마름모이다 ) 2세모와비슷하나, 오른쪽이이상해서세모가아니다. ( 사실은오목오각형이다 ) 3 옆으로긴동그라미이다. ( 사실은타원이다 ) 왼쪽에, 세모는가운데에, 그리고동그라미는오른쪽에있다 고말할것이고, 順序의관점에서보면 네모는첫번째에, 세모는두번째에, 그리고동그라미는세번째에있다 고말할것이다. 또力學的인관점에서보면 세모는네모와동그라미사이에있다 고말해야할것이다. [ 보기 0.3.4]: 아래에있는그림들은어떤모양으로놓여있읍니까? 예상되는점 : 이도형들을잘못인식하여각 각 네모, 세모, 동그라미 등으로나타내는아동도있을것이다. 교사의지도 :(1) 첫번째도형은직사각형인네모와는다르다는것을인식시키고, 마름이라는열매와연관시켜 마름모 라고말해도좋겠다. (2) 두번째도형은한변이곧은線이아니라는것을인식시키고, 이것이세모가되도록고쳐보는것도좋겠다. 오목오각형이라는용어사용은불가능하다. (3) 세번째도형은圓과는달리옆으로조금길다는것을인식시킨다. 두개이상의도형의位置상태를나타내는문장을이해한다. [ 보기 0.3.3]: 다음과같이네모, 세모, 동그라미가있다. 이것은어떤상태로있는지여러가지말로나타내어보시오. 정답 : 네모는왼쪽에있고, 동그라미는오른쪽에있으며, 세모는그가운데에있다. 예상되는점 : 어떤아동들은 네모, 세모, 동그라미가나란히있다, 네모, 세모, 동그라미가같이있다, 네모, 세모, 동그라미가세개있 정답 : 네모와마름모가차례로붙어있다. 예상되는점 : 어떤아동들은약간미숙한표현으로 네모와마름모가붙어있다 고말할것이다. 교사의지도 : 네모와마름모가차례로붙어있다 는정도로지도하는것이바람직하겠으나, 언어적기능이뛰어난아동에게는 네모와마름모가번갈아붙어있다 또는 네모와마름모가교대로연결되어있다 는표현으로지도해도무방하겠다. 넷째公理단계 : 한點을지나는直線은여러개그을수있으나, 두點을지나는直線은단한개만그을수있음을인식시킨다. 두點을지나는곧은線을자 ( 尺 ) 로그어본다. [ 보기 0.4.1]: (1) 한개의점을지나는곧은선을그어보시오. 몇개까지그을수있는가? (2) 두점을지나는곧은선을그어보시오. 몇개를그을수있는가? (3) 세점을모두다지나는곧은선을그어보시오. 몇개를그을수있는가? (4) 다음세점을모두다지나는곧은선을

22 22 徐成輔 그어보시오. 그을수없으면, 두점씩짝지어서그어보시오. 몇개를그을수있는가? 그러면이그림은어떤모양인가? 다섯째定理단계 : ( 歸納的推理 ) 도형들을직접觀察해서그특징을찾아낸다. 여러가지圖形사이의닮은점과다른점을깨닫는다. [ 보기 0.5.1]: 다음 8개의그림에서같은모양을한것끼리서로연결해보시오 정답 : 여러개 4 단한개 정답 : 1 와 5, 2 와 7, 3 와 8, 4 단한개 세개 세모 예상되는점 : 다음과같이그어도맞는것으 로한다 교사의지도 : 두點을지나는곧은線을그 어라하면 와 모두맞는것 으로하지만, 두點을지나는線分을그어라하 면 만을맞는것으로한다. 아무렇든, 두點을지나는곧은線은단한개존재한 다 는것을보일필요가있다. 그리고아래와 같은경우에는 세모 라고말할수있으나, 오른쪽은세모라고말할수없다. 다만 세모 영역이들어있는圖形 이라고해야옳을것이 다. 와 6. 예상되는점 : 어떤 아동들은 사다리꼴 1 와 5, 직사각형 3 와 8 등 4개의도형을모두 같은모양으로볼것이다. 교사의지도 : 변과 변 사이의 길이의 比와 변과변이이루는角의크기등을관찰해서같 은모양을한도형끼리서로연결하도록지도 한다. 位置가 달라져도 도형의 모양이 변하지 않고保存됨을이해한다. [ 보기 0.5.2]: 베드민튼채를다음과같이 5가 지방향으로움직이고있다. 그러면네모모양을 이와같이 5가지방향으로움직여보시오. 여러 분이그린네모 5개는크기와모양이같습니 까? 정답 :

23 van Hieles 의理論에의한국민학교幾何圖形學習의分析硏究 23 예상되는점 :(1) 圖形을움직이는과정에서네모의크기와모양이조금씩틀릴것이다. (2) 圖形을차례로 45 0, 90 0, 135 0, 의방향으로놓아야되는데, 그렇게하지못한아동이많을것이다. 교사의지도 : 위와같이손으로직접그려보고, 또두꺼운종이로주어진직사각형을만들어서 5가지방향으로움직여본다. 어떤차이점이있는가를비교한다. 이렇게움직여보아도그모양이나크기가변하지않는것을이해한다. 여섯째證明단계 : ( 操作的檢證 ) 기초수준에서는圖形을오린다던가, 반투명종이로圖形의모양을떠서다른것과비교하여, 그圖形의특징을알아낸다. 문제에서제시된圖形들을가위로오려서그것을접어본다던가하여, 그특징을알아본다. [ 보기 0.6.1]: 우리몸 ( 身體 ) 은오른쪽과왼쪽모양이똑같습니다. 그러면다음그림에서오른쪽과왼쪽모양이똑같은것은어느것입니까? 정답 : 오른쪽과왼쪽모양이똑같은것은 1, 2, 3, 5이고, 같지않은것은 4, 6이다. 예상되는점 : 圖形이반듯하게놓여져있는경우에는對稱여부를쉽게알수있지만, 圖形 와 가비딱하게놓여져있으면, 비록그것이對稱이더라도그렇지않다고할것이다. 을주의깊게관찰하여좌우가對稱인것을찾아보게하고, 그대칭축도조사해본다. 물론이때, 對稱軸이한개인지, 아니면여러개인지를알아본다. 그래도대칭도형을찾지못하는경우에는그도형을반투명종이로떠서, 그것을여러가지로접어본후對稱여부를알아보게한다. 일곱째測度단계 : 물체의길이, 크기, 높이, 두께등의개념을이해해서두개이상의물체를비교할줄알며, 目測과實測에의한결과의차이점을안다. 물체의길이, 높이, 두께의개념을이해한다. [ 보기 0.7.1]: 길이가각각다른연필 5자루가있다. 가장긴것은어느것입니까? 그리고가장짧은것은어느것입니까? 정답 : 가장긴것은 3이고, 가장짧은것은 4이다. 예상되는점 : 연필 5자루가모두같은基準 (criterion) 에서나란히있기때문에길고짧은것의비교가용이한것으로생각된다. 교사의지도 : 움직일수있는물체의길이는위와같이어떤基準에맞추어비교하는것이바람직하다. 目測과實測의차이점을이해하고이를圖形에적용시킨다. [ 보기 0.7.2]: 연필통이 5개가있습니다. 가장높은것은어느것입니까? 그리고가장낮은것은어느것입니까? 교사의지도 : 우선문제에서제시된도형들

24 24 徐成輔 는가를정확하게찍고나서, 도형을그려야할것이다. 정답 : 가장높은 2이고, 가장낮은것은 4 이다. 예상되는점 : 연필통이놓여있는방향이일정하지않고, 또높낮이가쉽게구별되지않는경우에는오답이나올수도있다. 교사의지도 : 오답을한아동들에게는제3의도구를사용해서, 높낮이를올바르게구별하도록지도하여야할것이다. 여덟째作圖단계 : 이水準에서는컴퍼스는사용할수없고자로써여러가지多角形을그리도록한다. 여러가지圖形을직접자 ( 尺 ) 로써그려본다. [ 보기 0.8.1]: 왼쪽에있는모양을오른쪽동그라미속에그려넣어보시오 아홉째應用단계 : 이水準은圖形의초기도입단계에불과하므로, 다른도형영역에대한응용은불가능하다. 다만앞단계에서얻은圖形에대한情報를생활주변에있는물체나물건에재활용하는정도로보면되겠다. 생활주변에있는물체와물건이지니고있는圖形의모양을직접손으로그려보고, 또그특징은무엇인가를알아본다. [ 보기 0.9.1]: 오른쪽에있는컴퓨터마우스를앞에서, 옆에서, 그리고위에서보았을때, 각각어떤모양을하고있습니까? 손으로직접그려보시오. 정답 : 마우스앞에서본그림옆에서본그림위에서본그림 정답 : 예상되는점 : 앞에서본그림이나, 옆에서본그림은정답과비슷하게그릴것으로예상되나, 위에서본그림은오른쪽과같이그릴가능성이높다. 교사의지도 : 마우스를흰종이위에놓고 예상되는점 : 여기에서는자 ( 尺 ) 로써두점을잇는直線, 즉線分을긋는단순한학습활동이므로, 별다른어려움은없을것이다. 그러나 5 의경우, 6각형을그리지않고 5각형을그리는아동이있을것이다. 교사의지도 : 대응하는꼭지점이어디에있 전등불이나, 햇빛에반듯하게비추어서, 그그림자가어떻게나타나는가를보여줄필요가있다. 우리주위에있는물체나건축구조물을여러가지圖形과연관시켜직접그려본다. [ 보기 0.9.2]: 여러분의학교건물과그주위에있는물체들을그려보시오. 어떤모양의그림이많이있습니까? 정답 : 학교건물과국기게양대, 꽃밭, 운동

25 van Hieles 의理論에의한국민학교幾何圖形學習의分析硏究 25 장, 조례단상등을그릴것이다. 학교건물, 창 문, 조례단상등은네모모양이고, 태극기의 가운데는동그라미, 운동장에꼽힌조그만한 표시기는세모모양이다. 예상되는점 : 비교적 아동들은 흥미 있게 잘 그릴것이다. 교사의지도 : 미술 시간에 이러한 그림을 그 리는것이효과적이다. 실제로있는물체이외 에, 상상을해서더추가하여그리고난다음, 거기서여러가지모양을찾아보는것이좋겠 다. [ 보기 0.9.3]: 성냥개비 16개로네모를 5개만 든그림 ( 가 ) 에서, 성냥개비 3개만움직여서네모 4개가있는그림 ( 나 ) 를만들었다. 그러면성냥개 비 20개로네모를 7개만든그림 ( 다 ) 에서, 역시 성냥개비 3개만 움직여서 네모 5개가 있도록 만들어라. 16) ( 가 ) ( 나 ) ( 다 ) 잘못된그림 ( 라 ) 정답 : 예상되는점 : 그림 ( 라 ) 와 같이, 성냥개비 3개 16) Gagné, R.M.: The Conditions of Learning, 3rd edition, Holt, Rinehart & Winston. Inc, p.159 를그냥떼서네모 5개를만드는아동도있을것이다. 교사의지도 : 실제로성냥개비를준비해서여러가지방법으로시행해본다. [2] 第 1 水準 ( 圖形의分析的水準 ) 인경우 : 국민학교 2, 3학년학습수준미국의교육학자 Benjamin Bloom(1913? ) 은 어떤자료를구성요소나부분으로분할하여부분의확인, 부분간의관계의확인및부분들의조직원리를찾아내는것을分析 (analysis) 이라했고, 프랑스의學者 de Bono 는 논리적사고의유형으로서, 문제해결을위하여주어진단위요소로서의자료나정보간의논리적관계를分析하며, 그렇게분석된사념체계속에서이루어지는수렴적사고의한형태를分析的思考 (analytic thinking) 라고정의했다. 그러면기하학에서는外延과內包와의관계, 속성의로서의포함관계등의지적조작기능을바탕으로하여, 어떤사실의特性을표면적으로들추어내어서새로운하나의체계로정리하는사고행위를分析이라고하겠다. 이러한것을근거로하여, 이水準의특징을알아보도록하자. 주변의어떤물체나물건에있는여러가지形態, 즉圖形이그연구대상이되어圖形의構成요소와성질에대한비형식적인分析을통해圖形의전반적인특징파악이학습의수단으로제시된다. 이를테면, 이水準의아동들은어떤물건의길이와높이, 그리고두께등의大小槪念이이미형성되어서, 어떤상자에있는직사각형을보고 네개의點과네개의곧은線으로이루어져있다 는사실과 마주보는두곧은線의길이는서로같다 는것을인식하게되고, 이러한點과곧은線을각각꼭지점과邊 이라고정의하게된다. 더나아가서이圖形은 네개의곧은線으로만들어져있고, 그線들이만나면하나의角이생기는데, 그것을꼭지각이라하고, 그角은모두直角이

26 26 徐成輔 단계 수 준 제 1 수준 ( 圖形의分析的水準 ) 국민학교 2, 3 학년 1. 觀察단계 圖形의여러가지형태를觀察해서간단한특성을認識한다. 位置가달라져도圖形의모양이變하지않고保存됨을이해한다. 圖形의색깔이나모양의변화를관찰하고그것이연속적으로변할때, 어떤결과가일어나는지조사한다. 2. 構成단계 基礎圖形을직접그려보고, 그것들은어떤특징이있는가를조사해본다. 基礎圖形이基本圖形을구성하는데어떤역할을하는가를이해한다. 3. 定義단계 ( 基礎定義 ) ( 狀況定義 ) ( 包括定義 ) ( 基本定義 ) ( 附隨定義 ) ( 特殊定義 ) 基礎圖形에는어떤것이있으며, 그것은數學的인言語로定義할수없음을이해한다. 구체물을사용하여包括圖形에대한定義를이끌어낸다. 基本圖形은基礎圖形과包括圖形의개념을써서수학적인언어로간명하게정의한다. 基本圖形에서여러가지附隨圖形에대한定義를이끌어낸다. 特殊圖形을基本圖形의개념을써서정의한다. 4. 公理단계 두點을잇는곧은線을한개그을수있음을이해한다. 線分을양쪽으로계속해서늘일수있음을이해한다. 5. 定理단계 ( 歸納的推理 ) ( 數學的인命題 ) 6. 證明단계 ( 操作的檢證 ) 特殊圖形 ( 직육면체 직삼각형 이등변삼각형 정삼각형 직사각형 정사각형등 ) 의여러가지特徵을귀납적인방법으로推理해내고, 그것을. 수학적인명제로나타낸다. 特殊圖形 ( 직삼각형 이등변삼각형 정삼각형 정사각형등 ) 에서推理해낸여러가지特徵을수학적인언어를사용하여檢證한다. 7. 測度단계 길이의單位를여러가지로변화시켜線分의길이를재어보고, 서로비교해본다. 눈금이표시되어있는자 ( 尺 ) 을사용해서, 선분의길이를실제로재어본다. 8. 作圖단계 서로다른두點을자로이어보고, 또양쪽으로늘여본다. 컴퍼스로圓을그려본고, 그둘레를 6 등분한다. 9. 應用단계 생활주변에있는物理的인대상도여러가지幾何圖形으로구성되어있으며, 또그것이幾何學的인特性을지니고있음을認知한다. 다 는등, 도형의構成要素와基本性質에대한초보적인분석을할줄안다. 이러한성질분석이學習의수단으로등장한다. 그러나, 직사각형의두대각선의길이는같다 는것은認知하고있으나, 두대각선이 서로다른것을二等分하고있다 는사실은조작적검증을거쳐야만이해를할수있다. 그래서이수준에서는도형과그性質과의상호관계를명확하게연결시킬수는없으나, 어떤특성을그것에대한豫測 (pre-estimate) 과조작적

27 van Hieles 의理論에의한국민학교幾何圖形學習의分析硏究 27 檢證을통하여인식할수있는단계이다. 그래 서이수준에서는도형과그성질과의상호관 계를명확하게연결시킬수있는단계가아니 다. 다시말하면, 圖形의여러가지性質을수 학적인언어, 즉命題로확실하게나타낼수있 는수준이아니다. 그러면, 幾何學의構造認 識論의 9가지단계를차례로나열하고, 각단계 마다제1수준에맞는학습내용을분석연구한 다. 첫째觀察단계 : 이수준에서는直線, 三角 形, 圖形등의용어를사용해도좋다. 그래서 이러한 수학적인 용어를 사용하여 여러 가지 圖形을관찰하도록한다. 도형의여러가지형태를觀察해서간단 한특성을인식한다. [ 보기 1.1.1]: 다음 15개의도형에서같은모 양을한것끼리모아보시오. (1) 사각형끼리 (2) 삼각형끼리 (3) 직선으 로만된도형끼리 (4) 곡선으로만된도형끼리 (5) 직선과곡선으로된도형끼리 (6) 방 ( 房 ) 이 한개있는도형끼리 (7) 방 ( 房 ) 이두개있는 도형끼리 (5) 곧은線과굽은線으로된모양끼리모으면 : (6) 방 ( 房 ) 이한개있는것끼리모으면 : (7) 방 ( 房 ) 이두개있는것끼리모으면 : 예상되는점 : (1) 도형 12를三角形으로잘못생각하여, 사각형분류에서빠뜨릴가능성이높다. (2) 直線으로만된도형과曲線으로만된도형은따로구별할수있으나, 직선과곡선으로혼합된圖形은별도로인식할논리적인사고가되어있지않아, 따로분류하지못하는아동이많을것이다. (3) 領域 (region) 이라는말대신에방 ( 房 ) 이라는용어를사용하면쉽게이해할것이다. (4) 正多角形 1, 8, 10을따로모으고싶었으나, 이水準에서는어려움으로제외시켰다. 교사의지도 : (1) 直線과曲線을분명히이해시키면, 直線과曲線으로혼합된圖形을認知할것이다. (2) 領域을한개갖는單一閉曲線과그렇지않는圖形을여러가지실험 ( 이를테면, 개미 ant로) 을그쳐, 그차이점을論理的으로이해시킨다. 位置가달라져도圖形의모양이변하지않고保存됨을이해한다. [ 보기 1.1.2]: (1) 세모ᄀ과모양 17) 이같은것은자기것과합하여모두몇개입니까? (2) 세모ᄂ과모양이같은것은자기것과합하여모두몇개입니까? 정답 : 세모ᄀ과ᄂ은위치가서로바뀌어있 정답 : (1) 네모끼리모으면 : (2) 세모끼리모으면 : (3) 곧은線으로만된모양끼리모으면 : (4) 굽은線으로만된모양끼리모으면 : 2 6 어도모양이같은것이므로, 10 개의세모는모 17) Heffe, Lédé, Constans: Activités Mathématiques au Cours Elémentaire, Ferand Nathan, 1985.

28 28 徐成輔 두같은것이다. 예상되는점 : (1) 세모ᄀ과모양이같은것은자기것과합하여모두 5개이고, 세모ᄂ과모양이같은것도역시자기것과합하여모두 5 개라고답할것이다. (2) 모양이같더라도색깔이틀리면, 다른것으로잘못판단할것이다. 교사의지도 : (1) 위치가다르더라도그모양이같으면같은것이라는사실을분명히주지시킨다. (2) 세모ᄀ과ᄂ은위치가서로바뀌어있기때문에, 그모양이다른것으로생각하는아동들에게는이두圖形을셀로판紙로각각떠서포개어보고, 같은것인지를판단하게한다. [ 보기 1.1.3]:(1) 그림ᄀ과모양이같은것은자기것과합하여모두몇개입니까? (2) 그림ᄂ과모양이같은것은자기것과합하여모두몇개입니까? 지를판단하게한다. 圖形의색깔이나모양의변화를관찰하고그것이연속적으로변할때, 어떤결과가일어나는지조사한다. [ 보기 1.1.4]: 네개의도형이있다. 색깔이같으면모양이틀리고, 모양이같으면색깔이틀린다. 지금, 표시 : ( 색깔 ) 은모양은그대로두고색깔만변화시키고, 표시 : ( 모양 ) 은색깔은그대로두고모양만변화시킨다고하자. 그러면주어진도형은어떻게변화됩니까? 그반대쪽에그려넣으시오. 1 ( 색깔 )? 2 ( 모양 )? 정답 : 그림ᄀ과ᄂ은위치가서로바뀌어있어도모양이같은것이므로, 6개의그림은모두같은것이다. 예상되는점 : (1) 그림ᄀ과모양이같은것은자기것과합하여모두 4개이고, 그림ᄂ과모양이같은것은자기것과합하여모두 2개라고답할것이다. (2) 모양이같더라도색깔이틀리면, 다른것으로잘못판단할것이다. 교사의지도 : (1) 위치가다르더라도그모양이같으면같은것이라는사실을분명히주지시킨다. (2) 그림ᄀ과ᄂ은위치가서로바뀌어있기때문에, 그모양이다른것으로생각하는아동들에게는앞에서와같이이두圖形을셀로판紙로각각떠서포개어보고, 같은것인 3 ( 모양 )? 4 ( 색깔 )? 정답 : 예상되는점 : 색깔 대신에 모양을 바꾸거나, 모양대신에색깔을바꾸는경우도있을것이 다. 교사의지도 : 지시된 사항이 무엇인지를 잘 파악해서, 조건에맞는도형을그려야할것이

29 van Hieles 의理論에의한국민학교幾何圖形學習의分析硏究 29 다. 둘째構成단계 : 이수준에서는基礎圖形으로서點과直線을취급하고있으나, 平面은그용어자체조차도언급하지않는다. 다만, 직육면체2의面 (face) 은정의되어있으므로, 이것을평평한면, 즉平面 (plane) 이라고생각해도좋겠다. 기초도형을직접그려보고, 그것들은어떤특징이있는가를조사해본다. [ 보기 1.2.1]:(1) 點을찍어보시오. 곧은선을그어보시오. (2) 點과直線은여러분이갖고있는물건어디에서찾아볼수있습니까? (3) 여러분의책상면은평평한면입니까? 그것을어떻게그리면좋겠습니까? 정답 : (1) 點 : 直線 : (2) 점은책상의모서리와모서리가만나는곳에있고, 直線은상자의면과면이만나면생긴다. (3) 平面은평행사변형으로그린다. 책상의면은평평한면이다. 이것은위에서보면直四角形으로보이나, 視角을위에서아래로 45 0 방향으로잡고, 또책상의대각선방향으로취하면, 이면은평행사변형으로보인다. 이것을보통平面이라고한다. 예상되는점 : 點을지나치게크게찍는아동도있을것이다. 直線을손으로그어서, 곧게그리지못하는경우도있을것이다. 平面을직사각형으로그리는아동도있을것이다. 교사의지도 : 點은보일정도로살짝찍는것이좋겠다. 이수준에서의直線은자 ( 尺 ) 를사용하여그리도록지도하여야할것이다. 책상의면은평평한면이다. 이것은위에서보면직사각형으로보이나, 視角을위에서아래로 45 0 방향으로잡고, 또책상의대각선방향으로취 하면, 이면은평행사변형으로보인다. 이렇게그린그림을보통平面이라고한다. [ 보기 1.2.2]:(1) 아래그림과같이네개의직선두쌍이서로만나면점이모두몇개생깁니까? (2) 이중에서점 [ 가 ] 를 ( ㄱ,1) 로표시한다고하면, 나머지점들은어떻게표시할수있습니까? ㄱㄴㄷㄹ [ 가 ]:( ㄱ,1) [ 나 ]:(, ) [ 다 ]:(, ) [ 라 ]:(, ) [ 마 ]:(, ) [ 바 ]:(, ) 정답 :(1) 모두 16개의점이생긴다. (2) [ 나 ]: ( ㄴ,2) [ 다 ]:( ㄷ,1) [ 라 ]:( ㄷ,3) [ 마 ]:( ㄹ,2) [ 바 ]: ( ㄹ,4). 예상되는점 : 이를테면, 점 [ 나 ] 의좌표를 (2, ㄴ ) 으로나타낼가능성이있다. 교사의지도 : 두직선이만나면하나의點이생긴다는것과, 點은그크기는없으나, 그位置는있다는것을이해시켜야할것이다. 기초도형이基本圖形을구성하는데어떤역할을하고있는가를이해한다. [ 보기 1.2.3]:(1) 다음세도형,, 의이름을말하시오. (2) 도형 위에서로다른두점을잡아서가위로잘랐을때, 어떠한도형들이생깁니까? (3) 도형 를왼쪽으로늘일때, 그것은어떤도형이됩니까? (4) 도형 를오른쪽으로늘일때, 그것은어떤도형이됩니까? (5) 도형 를양쪽으로늘일때, 그것은어떤도형이됩니까?

30 30 徐成輔 정답 : (1) 직선 반직선 선분 (2) 가운데도형은선분, 양쪽에있는도형은방향 이반대인반직선 2개 (3) 직선 (4) 반직선 (5) 직 선. 예상되는점 : 이러한물음은비교적쉽게답 할것이다. (undefined terms) 라하고, 모든도형의기초요소가됨으로基礎圖形이라한다. 그리고이러한도형의정의를基礎定義라한다. 구체물을사용하여包括圖形에대한정의를이끌어낸다. [ 보기 1.3.2]: (1) 휴즈 (fuse) 세개를가지고다음과같은곡선도형을세개만들어보았다. 그각각의이름을말해보시오. 교사의지도 : 화살표를하지않으면세개를 모두 곧은선 또는 직선 이라고할것이다. 일반적으로기초도형인直線에서기본도형인半直線과線分을유도할수있으나, 그반대로線分에서나머지두圖形을이끌어낼수있다는것도지도하여야할것이다. (2) 휴즈 (fuse) 세개를가지고다음과같은도형을세개만들어보았다. 그각각의이름을말해보시오. 셋째定義단계 : 이수준에서는基礎定義, 基本定義, 附隨定義, 特殊定義등을많이취급하고, 狀況定義, 包括定義는아주가볍게다루고있다. 기초도형에는어떤것이있으며, 그것은수학적인언어로定義할수없음을이해한다. [ 보기 1.3.1]: 세개의선분으로둘러싸인도형을삼각형이라고한다면, 점, 직선, 평면은어떤말로나타낼수있습니까? 정답 :(1) 닫힌곡선 ( 단일폐곡선 ) 닫힌곳이한개있는곡선 닫힌곳이두개있는곡선 ( 단일폐곡선이아님 ). (2) 열린곡선 닫힌곳이한개있는곡선 닫힌곡선 ( 다각형 육각형 ). 예상되는점 :(1),, 를모두닫힌곡선이라고할것이다. (2), 를닫힌곡선이라고할것이다. 교사의지도 :(1) 양끝점이서로만나서 정답 : 점, 직선, 평면은어떠한말로도나타낼수없다. 예상되는점 : 點은조그만한것, 직선은곧은선, 平面은평평한면이라고말할것이다. 교사의지도 : 어떠한표현도맞지않다. 點은그냥연필끝으로종이위에찍고, 直線은곧은자로죽그으면된다. 平面은평행사변형을그려서나타낸다. 이같이이들세도형은어떠한말 (word) 로도표현이불가능하므로, 無定義語 닫힌곡선을閉曲線 (closed curve) 이라하고, 특히자기자신과만나지않는폐곡선을單一閉曲線 (simple closed curve) 이라한다. 양끝점이서로만나서이루어진곡선이아니기때문에, 閉曲線이아니다. 다만닫힌領域을하나갖고있는曲線 (a curve with a region) 이라고한다. 자기자신과만나는곳이있기때문에, 單一閉曲線이아니다. 닫힌領域 (region) 을두개갖고있는閉曲線 (a closed curve with two regions) 이라고한다. (2) 開曲線 (open curve) 닫힌영역을하나갖고있는曲線 多角形이란單一閉曲線으로서이웃하는邊이共線的

31 van Hieles 의理論에의한국민학교幾何圖形學習의分析硏究 31 (collinear) 이아닌線分들의합집합으로되어있는閉曲線을말한다. 여기서보면, 多角形의정의는單一閉曲線이우선적으로규정되어야한다. 그러나아동들에게는위와같이어려운용어를사용하여정의하지말고, 閉曲線과多角形은그림을보고설명식으로정의하는것이바람직하다. 基本圖形은基礎圖形과包括圖形의개념을써서수학적인언어로간명하게定義한다. [ 보기 1.3.3]: (1) 직선위에는몇가지의다른도형을만들수있습니까? (2) 직선에서이끌어낸어느도형을몇개가지고각을만들수있습니까? 그리고각을어떤말로나타내면좋겠습니까? (3) 직선에서이끌어낸어느도형을몇개가지고삼각형을만들수있습니까? 그리고삼각형을어떤말로나타내면좋겠습니까? (4) 직선에서이끌어낸어느도형을몇개가지고사각형을만들수있습니까? 그리고사각형을어떤말로나타내면좋겠습니까? 형 이라고정의하고있으나, 이는아래그림과같은혼란스러운경우를생각해서가급적피하는것이좋겠다. 그래서 두개의半直線이그끝점에서서로만나는도형, 또는 끝점에서만나는두개의半直線이이룬도형 을角으로정의하면가장합당하겠다. (3) 국민학교교과서에서는, 三角形을 세개의線分으로둘러싸인도형 이라고정의하고있다. 그런데, 어떤사람은다음과같이끝점에서만나지않는경우를예상해서, 이것은적절한정의가되지않는다고말하고있다. 그러나, 세선분으로둘러싸인 이라는표현은세선분이모두사용이되어야하지, 그일부가사용이되어서는안된다. 그래서위의정의는맞다고본다. 그리고三角形을 세개의線分으로둘러싸인폐곡선 또는 세개의線分으로둘러싸인多角形 으로정의할수있다. 그러나국민학교에서는閉曲線이니, 多角形이니하는包括圖形에대한정의가없기때문에, 그냥삼각형을 세개의線分으로둘러싸인도형 이라고정의하는수밖에없다. 정답 : (1) 반직선, 선분 (2) 반직선 2 개. 두개 의반직선이그끝점에서만난도형을角이라한다. (3) 선분 3개. 세개의선분으로둘러싸인도형을삼각형이라한다. (4) 선분 4개. 네개의선분으로둘러싸인도형을사각형이라한다. 예상되는점 : (1) 대부분아동은반직선, 선분이라고답할것이다. (2) 線分 2개를가지고角을만든다고해도좋다. (3) 대부분아동은선분 3개라고할것이다. [ 보기 1.3.4]: 직선ㄱㄴ과반직선ㄷㅇ은다음과같이만나고있다. (1) 두도형ㄱㄴ과ㄷㅇ는만나서무엇을이루고있습니까? (2) 두도형ㄱㄴ과ㄷㅇ는어떤상태에있습니까? 교사의지도 : (1) 直線을한點에서자랐을 때, 그양쪽에있는두도형을半直線 (halfline) 이라하고, 直線위에서로다른두점을잡았을때, 그사이에있는도형을線分 (segment) 이라한다. (2) 보통, 角 (angle) 을 한點에서만나는두線分으로이루어지는도 정답 :(1) 점ㅇ (2) 수직또는직각예상되는점 : 垂直이라는용어를모르기때문에, 반직선ㄷㅇ와직선ㄱㄴ은똑바로놓여있다, 또는반듯하게놓여있다고말할것이다.

32 32 徐成輔 교사의지도 : 처음으로狀況定義를다루고있다. 角은정의되어있지만, 角度는아직언급이되어있지않기때문에, 아동들은수직이니직각이니하는개념을잘모르고있을것이다. 그래서두直線이반듯하게놓여져있는상태를垂直이라고정의시켜주면될것이다. 기본도형에서여러가지附隨圖形에대한정의를이끌어낸다. [ 보기 1.3.5]: (1) 반직선의시작점ㅇ와선분의양끝에있는점ㄱ과ㄴ을각각무엇이라합니까? (2) 각ㄱㅇㄴ에서, 점ㅇ와반직선ㄱㅇ과ㄴㅇ을각각무엇이라합니까? (3) 삼각형ㄱㄴㄷ에서, 세점ㄱ, ㄴ, ㄷ과세선분ㄱㄴ, ㄴㄷ, ㄷㄱ과세각ㄷㄱㄴ, ㄱㄴㄷ, ㄴㄷㄱ을각각무엇이라합니까? (4) 원 ( 圓 ) 의가운데있는점을무엇이라합니까? 이점을지나는직선중에원의안에있는선분을무엇이라합니까? 이선분의반을무엇이라합니까? 반직선각 수있다. 한편, 원을 한정점에서같은거리에있는점의자취 로정의할수있으나, 국민학교에서는정의없이그냥컴퍼스로원을그리고난후, 附隨圖形인중심, 지름, 반지름을정의하고있다. 特殊圖形을基本圖形의개념을써서정의한다. [ 보기 1.3.6]:(1) 어떤선분위에두점을찍어, 잘려진세선분의길이가같게끔한다. 이렇게한선분을두점에서접어삼각형을만들어보시오. 그리고이도형을무엇이라하며, 또어떻게정의할수있습니까? (2) 역시어떤선분위에두점을찍어, 잘려진세선분중에서처음두선분은그길이가같고, 세번째선분은조금짧다고한다. 이렇게만든선분을두점에서접어삼각형을만들어보시오. 그리고이도형을무엇이라하며또어떻게정의할수있습니까? (3) 앞 (1) 에서만든삼각형에서크기가가장작은꼭지각을반으로해서접으면, 어떤도형이되겠습니까? 그리고이도형을무엇이라하며또어떻게정의할수있습니까? 선분 삼각형 원 정답 :(1) 정삼각형 : 세변의길이가같은삼각 정답 :(1) 끝점, 양끝점 (2) 角의꼭지점과두변 (3) 세꼭지점, 세변, 세꼭지각 (4) 중심, 지름, 반지름. 예상되는점 : 기본도형인각, 삼각형, 원에서부수적으로나오는부수도형의명칭이므로, 별다른어려움이없을것이다. 교사의지도 : 附隨圖形에대한명칭을잘기억해두어야, 수학적인명제를정확하게표현할 형 (2) 이등변삼각형 : 두변의길이가같은삼각형 (3) 직각삼각형 : 한각이직각인삼각형. 예상되는점 : 처음나오는용어이기때문에, 정삼각형, 이등변삼각형, 직각삼각형이라는말이나오기힘들것이다. 교사의지도 : 이러한정삼각형, 이등변삼각형, 직각삼각형은基本圖形인삼각형에서나온特殊圖形임을이해시켜야할것이다. 넷째公理단계 : 제1수준에서의公理는 두

33 van Hieles 의理論에의한국민학교幾何圖形學習의分析硏究 33 點을지나는直線은단한개뿐이다 와 線分은直線으로계속연장할수있다 는것등두개뿐이다. 두點을잇는곧은線을한개그을수있음을이해한다. [ 보기 1.4.1]: 두점ㄱ과ㄴ을지나는곡선은다음과같이여러개그을수있다. (1) 두점ㄱ과ㄴ을지나는여러개의곡선중에서점ㄷ과ㄹ을지나는곡선을각각그어보시오. 이두점이좀더가까이있을때도그어보시오. (2) 만일두점ㄷ과ㄹ이합쳐졌을때, 점ㄱ과ㄴ을지나는곡선은몇개있습니까? 이경우에그곡선을무엇이라합니까? 정답 : (1) (2) 직선예상되는점 : 直線을왜曲線이라고하느냐? 이런질문이나올것이다. 교사의지도 : 두點을지나는曲線은여러개가있으나, 두點을지나는直線은단한개뿐 이라는것과이는 Euclid기하학의중요한 公理 라는것을이해시켜야할것이다. 그리고直線과曲線을합해서넓은의미의曲線이라는것도이해시켜야할것이다. 線分을양쪽으로계속해서늘일수있음을이해한다. [ 보기 1.4.2]:(1) 점ㄱ에서점ㄴ으로자 ( 尺 ) 를써서이어보아라. 이도형을무엇이라고하느냐? (2) 이도형을양끝에있는점에서양쪽으로이어보아라. 그러면이도형은무엇이됩니까? 정답 : (1) ㄱ ㄴ : 선분, 양끝점 (2) ㄱㄴ : 직선예상되는점 : 별다른문제없이선분을긋고, 또그것을양끝점에서연장하여직선으로만들것이다. 교사의지도 : 線分은直線으로계속연장할수있다 는사실도 Euclid 公理중의하나임을이해시켜야할것이다. 다섯째定理단계 : 직관적인觀察과귀납적인推理에의하여수학적인명제를이끌어낸다. 이때참신한명제를도출해내기위해서는창의적, 발견적학습이그밑바탕이되어야한다. 特殊圖形 ( 직육면체 직삼각형 이등변삼각형 정삼각형 직사각형 정사각형등 ) 의여러가지특징을推理해내고, 그것을수학적인명제로나타낸다. [ 보기 1.5.1]:(1) 종이상자모양의입체도형을무엇이라합니까? (2) 이도형의 8 개의점을차례대로ㄱ, ㄴ, ㄷ, ㄹ그리고ㅁ, ㅂ, ㅅ, ㅇ이라고할때, 이러한점들을무엇이라고말합니까? (3) 두점ㄱ과ㄴ을지나는선분을무엇이라합니까? 이러한선분들은모두몇개있습니까? (4) 도형ㄱㅁㅂㄴ은어떤사각형입니까? 그리고입체도형에서이사각형을무엇이라하며, 모두몇개있습니까? 정답 : (1) 직육면체. (2) 꼭지점. (3) 모서리 : 모두 12개. (4) 직사각형, 면 : 모두 6개. 예상되는점 : 직육면체의꼭지점, 모서리, 면의개수를셀때, 한두개를빠뜨리는경우가있다.

34 34 徐成輔 교사의지도 : 이수준에서는직육면체의정의를할수가없다. 그래서구체물인종이상자를보고직육면체를규정해야할것이다. [ 보기 1.5.2]:(1) 종이로만든직각삼각형ㄱㄴㄷ의세변중에서가장긴변ㄱㄷ을빗변이라한다. 이빗변을반으로접어서그중점을찾아보시오. (2) 그중점을ㅇ이라할때, 이점과꼭지점ㄴ을잇고그선을가위로잘라보아라. 그러면어떤삼각형이두개생깁니까? (3) 이들삼각형에서길이가같은두변을등변이라한다. 이등변을어떤색으로칠하여라. 그리고이두삼각형을다시합쳐서원래대로직각삼각형으로만들어라. 그러면어떤색으로칠한선분이몇개있는가? 이들선분의길이는모두같습니까? (4) 이러한조작에서보면, 직각삼각형은어떤성질을갖고있습니까? 다음괄호속을메우시오 : 직각삼각형의 ( 가 ) 의중점에서각 ( 나 ) 까지의거리는같다. 그래서이점을 ( 다 ) 으로하고, 빗변의길이의 ( 라 ) 을반지름으로하는 ( 마 ) 을그리면, 이 ( 마 ) 은세꼭지점을모두지난다. 지점까지의거리는같다 는명제를言語化하는일과종이위에 직각삼각형을그려서, 빗변의중점을중심으로하고, 빗변의길이의半을반지름으로하는圓 을컴퍼스로그리는작업은약간서툴것이다. 교사의지도 : 직각삼각형의빗변의중점에서각꼭지점까지의거리는같다 는명제를증명하는단계는중학교수준이다. 국민학교에서는 직각삼각형의빗변의중점을잡았을때, 이點에서세꼭지점까지의거리는같을것이다 는것을직관적으로豫測을하고, 이豫測을위와같이操作的인檢證을거쳐서확정을지운다. 그리고직각삼각형의外接圓을그리는것은매우중요하므로, 아동들이직접한번그려보도록지도하여야할것이다. [ 보기 1.5.3]:(1) 종이위에이등변삼각형을하나그리고그것을가위로오려보시오. (2) 밑변의중점과꼭지점을지나는직선을긋고, 그선을따라삼각형을반으로접어보아라. 그러면어떠한성질을알수있습니까? 정답 : (1) 이등변삼각형을그리고가위로오린다. (2) 1두밑각의크기가같다. 2밑변의중점과꼭지점을지나는직선은꼭지각을이등분한다. 3또이직선은밑변과수직이다. 정답 : (1) 빗변의중점 (2) 2 개의이등변삼각 예상되는점 : 위에서말한세가지성질이외에 좌우에있는두변의길이는같다 는성질도더추가하는아동도있을것이다. 그러나이것은이등변삼각형의定義이지, 성질은아니다. 그래서어떤도형에있어서定義와性質을분명히구별해야할것이다. 교사의지도 : 이등변삼각형을위와같이반으 형 (3) 3개의線分의길이같다. (4) ( 가 ) 빗변 ( 나 ) 꼭지점 ( 다 ) 중심 ( 라 ) 반 ( 마 ) 원 ( 바 ) 원예상되는점 : 직각삼각형을오려서지시된순서에맞추어조작을하면, 쉽게이해할것이다. 그러나 直角三角形의빗변의중점에서각꼭 로접었을때, 두삼각형은직각삼각형이고, 이들은서로合同이다는것을이해시킨다. 合同이라는용어는다음에나올제2수준에서취급한다. [ 보기 1.5.4]: 컴퍼스로중심ㅇ인원을하나그리고, 그원둘레를 6등분하여라. 여기에서생긴

35 van Hieles 의理論에의한국민학교幾何圖形學習의分析硏究 35 6개의점에ㄱ, ㄴ, ㄷ, ㄹ, ㅁ, ㅂ을붙여보시오. (1)6개의점중에서한개씩띄어서만든삼각형을ㄱㄷㅁ이라하자. 그러면이삼각형은어떤모양입니까? (2) 이삼각형의꼭지점ㄱ과마주보는점ㄹ을, 꼭지점ㄷ과마주보는점ㅂ을, 꼭지점ㅁ과마주보는점ㄴ을각각연결하여라. 그러면이세개의선은어떻게만납니까? (3) 직선ㄱㄹ과밑변ㄷㅁ이만나는점을ㅅ이라하면, 선분ㄷㅅ과같은길이의선분은어느것입니까? (4) 또선분ㅇㅅ과같은길이의선분은어느것입니까? (5) 그러면두선분ㄱㅇ과ㅇㅅ의길이의비는얼마입니까? 정답 : (1) 삼각형ㄱㄷㅁ은정삼각형이다. 때, 1이점들은세변의중점이다. 그래서세직선ㄱㅅ, ㄷㅈ, ㅁㅊ을삼각형의中線 (medium line) 이라한다. 2 ㄱㅅ ㄷㅁ, ㄷㅈ ㅁㄱ, ㅁㅊ ㄱㄷ이다. 3ㅇㅅ = ㅅㄹ, ㅇㅈ = ㅈㅂ, ㅇㅊ = ㅊㄴ이다. 4ㄱㅇ : ㅇㅅ =2 : 1이므로, 점ㅇ는中線ㄱㅅ을 2:1로內分한다고한다. 나머지두中線에도마찬가지의성질이성립한다. [ 보기 1.5.5]:(1) 종이상자에있는옆면을자와컴퍼스를사용해서그려보시오. 이도형을무엇이라하며, 이는어떻게정의할수있습니까? (2) 이도형을종이로만들어서어느한대각선을자로긋고, 그것을가위로오려보시오. 이때어떤도형이두개생깁니까? (3) 처음도형을한번더다시종이로만들어서, 대각선두개를긋고, 그선을따라가위로오려보시오. 그러면어떤도형이네개생깁니까? (4) 이들도형을차례로 [ 가 ],[ 나 ],[ 다 ],[ 라 ] 라고하면어느도형끼리그크기가같습니까? (5) 처음도형의두대각선이서로만나서어떠한일이생깁니까? 말로나타내보시오. (2) 세개의직선은중심ㅇ에서모두만난다. (3) 선분ㅅㅁ, 즉점ㅅ은밑변ㄷㅁ의중점이다. (4) 선분ㅅㄹ, 즉점ㅅ은선분ㅇㄹ의중점이다. (5) ㄱㅇ : ㅇㅅ =2 : 1. 예상되는점 : 원을그리고난후에, 컴퍼스의 폭을움직이지않도록특별히조심을해야할것이다. 반지름으로원둘레를자르면, 6등분되는이유를잘모르는아동도있을것이다. 교사의지도 :(1) 우선반지름으로원둘레를자르면, 6등분되는이유를잘지도하고난후, 삼각형ㄱㄷㅁ이정삼각형이되는것을설명해야할것이다. (2) 원의中心 (center) ㅇ은정삼각형ㄱㄷㅁ의內心 (inner center), 外心 (outer center), 무게중심 ( 重心 center of gravity), 垂心 (orthocenter) 모두다된다. (3)(4)(5) 세직선과세변이만나는점을차례로ㅅ, ㅈ, ㅊ이라할 정답 : (1) 직사각형 : 네각이모두직각인사각형. (2) 직각삼각형이 2개. (3) 이등변삼각형이 4개. (4)[ 가 ] 와 [ 다 ], [ 나 ] 와 [ 라 ] 의크기가같다. (5) 직사각형의두대각선은서로다른것을이등분한다. 예상되는점 :(1) 직사각형을그릴때, 꼭지각을직각으로하지않는아동이많을것이다. (2)(3)(4) 비교적정확히답할것이다. (5) 직사각형의두대각선은서로다른것을이등분한다 는성질을직관적으로판단할수는있으나, 수

36 36 徐成輔 학적언어로표현하는것은어려울것이다. 교사의지도 :(1) 직각삼각형자와컴퍼스를사용하여직사각형을정확하게그리도록지도하여야할것이다. 한편, 자와컴퍼스를사용해서垂直되는두직선을긋는작도는다음제2수준에서다루게된다. (2) 두직각삼각형의크기가같다는것을주지시켜야한다. (3) 네개의이등변삼각형의등변의길이가모두같다는사실을컴퍼스를이용해서검사하여야할것이다. (4) 앞 (3) 에서등변의길이가모두같고, 또맞꼭지각의크기가서로같다는것을이해시켜서마주보는두이등변삼각형끼리크기가서로같다는것을알도록하여야할것이다. (5) 이렇게하면, 자연히 직사각형의두대각선은서로다른것을이등분한다 는성질을직관적으로판단할수있을것이다. 여섯째證明단계 : 操作的檢證으로도형의특징을확인한다. 特殊圖形 ( 직삼각형 이등변삼각형 정삼각형 정사각형등 ) 에서推理해낸여러가지特徵을수학적인언어를사용하여檢證한다. [ 보기 1.6.1]: 네변의길이가같고네각의크기가같은사각형을정사각형이라한다. (1) 한변의길이가주어졌을때, 이도형을자와컴퍼스를이용해서그려보시오. 이도형의어느한대각선을그어보면, 어떤도형이두개생깁니까? (2) 여기에서나머지대각선을하나더그어서처음대각선과만나는점을이도형의중심이라고한다. 이점에서네꼭지점까지의거리가같은지컴퍼스를사용해서검증해보시오. (3) 두대각선이서로만나는각이어떤지직각삼각형자로조사해보시오. (4) 그러면, 어떤정사각형을두대각선으로잘랐을때생긴네개의도형은어떤삼각형입니까? (5) 이러한여러가지사실로미루어보았을때, 정사각형의두대각선은서로다른것을 ( ) 한다는성질을알수있다. 괄호속은무엇인가? 정답 :(1) 직각이등변삼각형이 2개. (2) 중심에서네꼭지점까지의거리는같다. (3) 네개의맞꼭지각이모두직각이다. (4) 직각이등변삼각형이 4개. (5) 수직이등분. 예상되는점 :(1) 정사각형을그릴때, 꼭지각을직각으로하지않고, 또네변의길이를다르게그릴가능성이있다. 또그냥이등변삼각형, 또는직각삼각형이라고답할것이다. (2) 이것도그냥이등변삼각형이라고답할것이다. (3)(4)(5) 바로앞문제에서다루었기때문에, 정사각형의두대각선은서로다른것을이등분한다 는성질은판단할수있으나, 수직으로만나는사실은이해하지못할것이다. 교사의지도 :(1) 직삼각형자와컴퍼스를사용하여정사각형을정확하게그리도록지도하여야할것이다. 사실이수준에서는컴퍼스로직각을작도하기가어렵다. 그리고두직각이등변삼각형의크기가같다는것을주지시켜야한다. (2)(3)(4) 네개의직각이등변삼각형의등변의길이가모두같고네개의꼭지각이모두직각이라는사실을컴퍼스와직각삼각형자를이용해서각각검사해야할것이다. (5) 이렇게하면, 자연히 정사각형의두대각선은서로다른것을수직이등분한다 는성질을직관적으로판단할수있을것이다. 일곱째測度단계 : 이수준에서는單位길이에대한개념을이해시킨후, 선분의길이를다룬다. 길이의單位를여러가지로변화시켜線

37 van Hieles 의理論에의한국민학교幾何圖形學習의分析硏究 37 分의길이를재어보고, 서로비교해본다. [ 보기 1.7.1]: 다음선분ㄱㄴ의길이를두개의다른자 ( 가 ) 와 ( 나 ) 로써재어보고, 그눈금을각각말하시오. 자 :( 가 ) ㄱㄴ자 :( 나 ) 정답 :( 가 ) 로재었을때는길이가 3이고, ( 나 ) 로재었을때는길이가 4이다. 예상되는점 : 아동들은두개의자로써각각정확히재어볼것이다. 교사의지도 : 일상생활에서사람마다基準 (criterion) 이다른자를사용한다고하면얼마나불편한가를보여주는문제이다. 그래서아동들이이를통일해야되겠다는생각을갖도록지도하여야할것이다. 눈금이표시되어있는자 ( 尺 ) 를사용해서, 선분의길이를실제로재어본다. [ 보기 1.7.2]: 길이단위 cm의눈금이매겨져있는자를가지고다음의길이를재어보시오. (1) 세점ㄱ, ㄴ, ㄷ사이의거리를각각재어보시오. (2) 점ㄱ에서점ㄴ을거쳐점ㄷ까지가는거리와점ㄱ에서점ㄷ까지바로가는거리를비교해보시오. 어느것이더가깝습니까? 한변보다크다 는성질을이해시켜야한다. 여덟번째作圖 : 이수준에서는서로다른두점을지나는線分을자로써긋고, 또양쪽으로연장하는일과컴퍼스로원을그려서그둘레를 6등분하는작도만다룬다. 서로다른두點을자로이어보고, 또양쪽으로늘여본다. [ 보기 1.8.1]: 점ㅇ을중심으로하는원을하나그려보시오. 이원둘레위에서로다른두점을잡고그것을자로써이어보시오. (1) 이러한일을여러번되풀이해보시오. 그러면중심ㅇ을지나는선분이있을것이다. 그것을무엇이라고합니까? (2) 원안에있는여러개의선분중에서아무것이나두개를취하여, 그것들을양쪽으로연장해보시오. 어느쪽에서만납니까? (3) 두개의선분을취해서아무리연장해보아도만나지않는경우가있을것이다. 이런경우를무엇이라고합니까? 정답 :(1)) 지름. (2) 이러한선분을양쪽으로연장하면직선이되고, 또이들두직선은오른쪽이아니면, 왼쪽에서만난것이다. (3) 두직선은평행이다. 예상되는점 : 평행이라는용어를아직한번도 정답 :(1) 점ㄱ과ㄴ사이의거리 : 2cm, 점ㄴ과ㄷ사이의거리 : 5cm, 점ㄱ과ㄷ사이의거리 : 6cm. (2) 점ㄱ에서ㄷ으로가는거리는 6cm이고, 점ㄱ에서점ㄴ을거쳐점ㄷ까지가는거리는 7cm이므로, 점ㄱ에서점ㄷ까지바로가는거리가더가깝다. 예상되는점 : 비교적잘측정할것이다. 교사의지도 : 삼각형에서두변의합은다른 다루지않았지만, 생활용어이기때문에자연스럽게표현이될것이다. 교사의지도 :(1) 원둘레위에있는두점을이은선분을弦 (chord) 이라한다. 이러한현중에서가장긴것은지름 (diameter) 이다. (2) 현을양쪽으로연장한직선을割線 (secant) 이라한다. (3) 한평면위에서두직선이만나지않으면, 그들은서로평행이라고한다.