서울大學校師大論盡第 3 3 輯 ) Van Hiele 의數學學習水權理論에대한小考 禹 IE 晧 ( 數學敎育科 ) I. 序言 數學 1 짧成의知識體系료써가아니라學習者의構成的活動, 再發明過程, 數學化過 程올통해서만이참 o 로바르게理解되고適用될수있다는主張은

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1 서울大學校師大論盡第 3 3 輯 ) Van Hiele 의數學學習水權理論에대한小考 禹 IE 晧 ( 數學敎育科 ) I. 序言 數學 1 짧成의知識體系료써가아니라學習者의構成的活動, 再發明過程, 數學化過 程올통해서만이참 o 로바르게理解되고適用될수있다는主張은公敎育으로서의數學敎 育이 시착된이래 끊임없이提起되어왔다 (G. Schubring, 1978). 이는결국 過程 目標 블 중시하자는입장인 바, 멜리 Plato까지 거슬러 올라가며 Kant와 Hegel을거쳐 Dewey로이 어지고 Gestalt 心理學者들에게 影響을 끼쳤으며 최근의 Piaget와 Bruner 등에게뿌리를내 린 認識論에의해 뒷받침되어왔다. 그러나이러한 理想 과는달리 現實 i은 內容 目標 를 강조하면서, R. Thorn (1 973 ) 의 표현을빌리면, 帝王切開를하여 럴成熟한 아이를 꺼내려는 外科醫師의 殘忍한道具에 비유될수있는, 강력한抽象化手段인同 f 直關係와같은論理的擺念을이용하여, 곧外延 的定義에의하여짧成의現代數學的용口識에 대한早期敎育을시도하기까지 하였던것이다 年第 5 次數學敎育國際會議에서 행한基調講演가운데에서, ]. Kilpatrkk (1986) 은 最近 數學敎育에 대한 論議에서되풀이 되는 主題가 自己意 識뾰 의 問題업을지적하고 數學的思考와그學習 - 指導에서의 反映과宿環 의 問題를논하였다는것은이러한過程 的目標, 數學的 思考敎育 에 대한 數學敎育界의世界的언關心의 程度플잘대변해 주 고있다. 이러한目標의 실현을위해 지금까지 提示되어 온方案가운데 주목할만한것아 操作的 構成王義에 입각한方案이다. 歷史 - 發生的, 心理 -짧生的立場에서 볼때, 그리고 現代 數學의 發展碩向을생각할때 數學的思考活動의 本質은操作的 schemes이며, 이는行動 이나보다낮은次元의 操作으로부터 反映的抽象化를통해 質的인水準의 飛鍵을 반복하 면서 再構成되어 가는것이다. 이러한측면에서 보면數學的멍 考敎育은 n-1 水準의 操作的 schemesol n 水準의 操作的 schemes으료 再構成되면서, n-1 水準의 操作이 n 水準의 對象이 되는轉旅的過程이 되풀이되어야할것이며, 결국過程的目標를강조하는數學의學習 指導는諸水準의 數學化, 곧局所的組織化의 形態가되어야할것이다 ( 抽橋, 1985)

2 86 師大論題 ( 3 3 ) 일찌기 1957 年네텔란드의 Lycee 數學敎師이었던 van Hiele부부는 數學學習水準理論을 제시하였는데 그기본적인생각은上述한操作的構成主義에 입각한方案과근본적 로다 를바없는것이었다 (P. M. van Hiele & D. van Hiele-Geldof, 1958). 이 理論은 1960 年代 에 소련의 數學敎育學者들의 집중적인 昭究와實驗에 의해 그主張의 쭉當性이 확인되었 A 며 (1. Wirszup, 1976), 幾 { 可敎育課程 開發에 적용되어 成功的안 結果를 가져왔다 (A. M. Pyshkalo, 1968) 年 NCTM 年例 會議에서 1 러한 事寶에 대한 1. W i r s zu p의 報告가 있은後, 최근美國에서는그價 f 直가 새롭게 인식되기 시착하면서 그와關聯된다양한 생 究가이루어져 왔다. 數學敎育 % 究는 J. Kilpatrick ( ) 이 적절히 지척하고있듯이 결맞게 有效性 1 빈약 한 狀況으로보다명확하고일관성있는理論構成이 절실히 몇求되고있는狀況이다. van Hiele의 數學學習水準理論은現場數學敎師이었던 van Hiele부부의 數學的思考, 특히 幾 何學的思考活動에 대한洞察에 바탕을둔것으로그價植가새롭게 評價되고있 면서도 지금까지 다른學習理論과의 關聯性이 명확히 제시되어 있지 못하다. 이러한事實은 P.M. van Hiele 自身센 Piaget의 影響을받았음을 명확히 시인하고 있오면서도 Piaget 理論에 가 하고있는추練한批判이 (P.M. van Hiele, 1986) 본빠究者의 見解로는 Piaget 理論에 대한 充分한理解의 缺如에서 비릇된誤解의 법위를 벗어나지 못하고있다는點에서 특히 두드 러진다. 本橋는操作的構成主義에 입각한數學敎育論의 構成을위한昭究의 일환으로 van Hiele 의 數學學習水準理論과認知學習理論, 특히 操作的構成主義와의 關聯姓을 밝히고자 한것이다. 먼저 van Hi e1e의 數學學習水準理論과 그와關聯된 實證的인諸陽究結果를 考察한다음, 諸學者의 主張을근거로그理論的골격의 쭉當性을뒷받침 하고자한다. 그 려고지금까지 제시된 敎授 - 學習理論이 數學學習過程을적절히 說明하지 뭇하고았음을 보이고자한다. 끌 o로 P.M. van Hiele가제시한 Piaget 理論과 자신들의 理論과의 差異點 내지 Piaget 理論에 대한批判의 몇冒를반박하면서 그의 理論이 결과적우로操作的構成主 義의 그늘을벗어나지 못한數學敎育理論임을밝히고자한다. ll. van Hiele 의數學學휩水準理論및關聯諸冊究 van Hiele의數學學習水準理論은네렐란드의 Lycee 부부數學敎師 1었먼 P.M. van Hiele와그의부인 D. van Hiele-Geldof에의해 1957 年 Utrecht 大學에提出된두편의學位論文 (P.M. van Hiele, 1957; D. van Hiele-Geldof, 1957) 에의해그골격이제시된이래 P.M. van Hiele에의해開發되어온理論이다 ( P. M. van Hiele, 1959, 1976, 1986). van Hiele 理論은 1960 年代初에소련의數學敎育學者와心理學者들의集中的안 Jjff 究와實

3 Van Hiele 의數學學習水準理論어 1 對한小考 87 驗을통해그主張의쭉當性이확인되었 며 Pyshkalo에의해幾何敎育過짧開發에적용되어성공적인結果를가져왔다는것은앞에서이미言及한바와같다. 그러냐西歐에서는 H. Freudenthal(1973) 이그의著書가운례에서그중요성을강조하였을뿐별다른주목을받지못하다가, 앞에서言及한바와같이 Wirszup에의해소개된以後최근그가치가認識되어그와關聯된다양한陽究가이루어지고있다 年代 Lycee의초엄數學敎師이었던 van Hiele부부는自身들이指導하고있는中學校學生들이幾何學習에큰곤란을겪고있음에주목하고그原因을究明하려는노력의결과자신들과學生들사이의思考水準의差異에注目하게되었다. 그들이洞察한것은같은學問의昭究對象이水準에따라전연다르다고하는것이며, 따라서서로다른水準에서생각하고있는敎師와學生은서로다른文服內에서말하게됨오로서로를理解할수없다고하는것이다 (H. Freudenthal, 1973, p.121). van Hiele 理論의기본적인아이디어는數學的思考活動이란經驗의世界를組織化하는活動이며한水準에서經驗을整理하는手段이새롭게經驗의對象 & 로意識되어그것을組織化하는活動이이루어지게되면서그다음水準 로의飛鍵을하게되는過程을反復하는바, 數學의學習 - 指훨는그러한사이클을再發明해가도록되어야한다는것이다. van Hiele 理論에따르면幾何學的思考는다음과같은 5 水準오로區分된다 (P. M. van Hiele & D. van Hiele-Ge1dof, 1958). 0 水準 ; 주변對象을形이란認識手段에 의해把握하는段階로基本的 인圖形을그構成몇素에대한명확한고려없이全體로써의視覺的外親에의해判別한다. 第 I 水準 ; 주변對象의整理手段이던形이昭究의對象이되어圖形의構成몇素와性質에대한非形式的인分析을통해圖形을파악한다. 第 R 水準 ; 圖形의性質과圖形사이의關係가昭究의對象이되고命題가整理手段이된다. 圖形의여러가지性質및圖形사이의關係를把握하고定義블理解한다. 第 m 水準 ; 命題가핍究의對象이되며命題사이의論理的關係가整理手段으로등장하여公理, 定義, 定理, 證明의의미와역할을이해하며全體幾何의演釋體系블파악한다. 第 N 水準 ; 幾何學體系그自體가船究의對象이되어여러가지公理體系즐비교할수있고, Hilbert 類의幾 f 可의形式的嚴密性을파악한다. P.M. van Hiele (1986) 는후에이러한생각을 - 般化하여자신의學習水準理論은모든數學理解에적용된다고主張하면서, 數學的思考水準을크게, 視覺的水準, 記述的水準, 局所的인論理的關係를파악하는理論的水準, 形式的인演釋體系를파악하는水準, 論理的法則의本質을洞察하는水準으로區分하고있으며, 數 困數등의學習水準을거론하고있 나그에대한상세한理論은전개되어있지않다. van Hiele의數學學習水準理論의要冒를정리해보면다음과같다 ( P. M. van Hiele, 1958, 1959, 1986). 첫째, 學生들은數學學習에서 n-1 水準을통과하지않고 n 水準에도달할수없으며數學的思考는모든水準을차례로거쳐發達한다. 둘째, 모든學生들이같

4 88 師大論꿇 (33) 은速度로各水準을통과하지는않 며, 水準의移行은적절한指導에의해 f 足進될수도있고부적절한指導때문에지연될수도있다. 셋째, 앞의水準의思考에서內在的이었떤것이그다음水準에서意識化되어명확히認識되게된다. 各水準의數學的思考는그前水準의數學的思考의內的縣序를대상으로하여 % 究하는것이다. 네째, 각 * 準의思考는그자신의記號와그를연결하는關係網을갖고있다. 水準의移行은言語의확장과관계된다. 다섯째, 서로다른水準에서推理하는사람은서로를理解할수없다. 이것이敎師와學生사이어1 자주發生하여學習 - 指導롤어렵게만드는몇困에되고있다. 여섯째? 思考水準의飛표짧은指導過程에서다음과같은다섯段階를거쳐이루어질수있다. 案內段階 ; 資料를저1 시받고必몇한논의를통해探究할分野에친숙해지기위한活動을한다. 制限된探究段階 ; 제시된資料 -를통해探究分野를찜究하면서그進行方向을갇지하고探究分野의構造가점진적 로파악된다. 明確化段階 ; 말견된關係를표현하는活動을통해그를명확히하며專門的안用語플학습한다. 自由로운探究段階 ; 여러가지解決方法을찾아봄우로써探究分野의構造에정통하게된다. 統合段階 ; 探究活動을개관하여全體블조망하게되면서思考水準飛羅의一步前에이르게흰다. P.M. van Hiele(1959) 는思考水準問題의심각성을휩數의定義블例로들어다음과같이記述하고있다. 휩數가 j(x) 흑은 y=j(x) 로定義된다는모호한說明은낮은思考水準에서國數의定義를내리려는데에서, 곧 E허數的思考活動에충분히친숙해지기전에그러한活動가운데內在的 o로包含된構造, 곧內的縣序즐표현하고자한데에서비훗된것이다. 그러한시도는싣패할수밖에없었오며보다높은水準에이르려困數的思考에서실제로무엇을하였는기- 反省하게되면서困數는 Z와 f(x) 의對應 f란결흔에도달하게되었다. 敎師가自己自身은理解하고있지만學生들은理解하지못하는 關係網에의해서推理블 하고그를근거로數學的關係를學生들에게제시할때, 그러한關係는참 o 료理解되지않는狀態에서學生들의推理의근거를이루게된다. 그러한關係는學生들의經驗과무관한부과된것이기때문에가르쳐진것, 그로부터請導된것만을記憶하게되며그것을득별히고안된 問題 아닌問題狀況에적용하는學習을하는례그치게된다. 그결과數學 敎育은흔히 學生들의意識에서벗어난數學的知識을反짧하면서제시하는惡備環속에서 빠져나올수없는경우를당하는것이다. P.M. van Hiele (1986, p. 45) 는 數學을學習하는것은思考하는갓을學習하는것을뜻한다 " 고단언하면서數學敎育의王몇問題는서로다른水準에서推理하는敎師와學生이서로-블理解하지못하는데에서비롯되므료學生들의思考水準을파악하여그에따른思考敎育을할것을훨求한다. 다음에는지금까지이루어져온 van Hiele 理論과관련된諸없究의結果흘간단히考察해보기로한다. 소련敎育科學아카데미소속數學敎育學者언 Pyshkalo와 Stolyar는 1960 年부

5 van fi i e le의數學學習水準理論에對한小考 89 터 1964 年까지 幾何學的思考의發達水準에대한 van Hiele 理論을寶驗을통해그쭉當性을檢證하였 o며 (1. W~rszup, 1976) A. M. Pyshkalo(1968) 는 van Hiele 理論을골격으로하여國民學校 1"'-'4 學年의幾何敎育課程을開發하였다. 그敎育課程에서는 1 學年에서 O 水準, 2,3 學年에서第 I 水準의幾何學的思考에도달하도록되어있으며第 R 水準의幾何學的思考의學習은 4 學年에서부터시작하게되어있는데이는소련의傳統的언敎育課程의 6 學年課程과매등한것이었다. 그敎育課程에따라學習한 8 學年學生들의幾何理解水準은傳統的인敎育課程에따라學習한 11 學年學生들이달성한것과比較될수있는결과를가져왔는데, 1. Wirszup(I976, p.96) 은이것을 거의 l 世紀동안의러시아數學敎育에서의가장철저한變化 라고지적하고있다. ]. Mayberry(1981) 은 van Hiele부부의論文을분석하여그들이제시한幾何學的思考水準을操作的우로定義하고그를바탕 로職前敎師의幾何에대한理解水準을評價하기위한問項을開發하였다. 檢곁E 結果 Mayberry는 van Hie1e가提示한思 考水準이階層을이룬다는사실을뒷받침하는結果를얻었다. Z. Usiskin (I982) 은 van Hiele 부부의論文에서各水準의兒童의行動을記述한광뱀한引用文句를발궤분석하여 van Hieles가제시한思考水準의도달여부를評價할수있는보다具體的인問項을개발하고中等學校學生들의幾何學習에대한없就度와 van Hieles가제시한思考水準사이의關聯性을檢證하였다. Usiskin은이昭究에서 0"'-' III 水準의存在를뒷받침하는證據를제시하였오나第 N 水準의存在를뒷받침하는證據를찾지는못하였다. Mayberry와 Usiskin의昭究에이어 D. Fuys, D. Geddes, R. Tischler(1985) 의 % 究와 W. F. Burger, ]. M. Shaughnessy의陽究가 van Hieles 가제시한思考水準에對한實證的證據를제시해주고있다. 이러한諸昭究結果와함께네렐란드의幾何敎育課程이 van Hie1e 理論을골격 료하여 alt 編되었다는사실은 van Hiele 理論이幾 f 可敎育課程構없, 냐아가數學學習指導改善을위해유효한準據로사용될수있음을보여주고있다고하겠다 (D. Fuys, D. Geddes, R. Tischler, 1985). m. 數學的思考活動과認知學뽑理論 人間은圖形에의하여形이란現象의世界에縣序를창조하며, 數에의해서量의世界에縣序블창조한다. 보다높은水準에서人間은證明에의해서圖形이란現象에행차序블창조하고十進法에의해서自然數란現象에縣序를창조한다. 나아가보다높은水準에서여러가지數學的現象이群, 體, 位相호間등의擺念으로파악된다. 이와갚이하여人間은數學을밸전시켜나아간다. 여기서注目할것은現象과그整理手段과의關係가相對的인關係에었다는것, 즉어떤水準에서整理手段이었던것이그보다高次의水準에서現象오로파악되며, 보다낮은水準에서실행된數學이보다높온水準에서는觀察되는數學이펀다

6 90 師大論遭 ( 3 3 ) 는點이다. 이러한現象의 整理手段인本質과現象과의 關係가敎授 - 學習過程에서 어떻 게 획득되며 사용되어지는가하는問題를究明하는것을 H Freudenthal (1 9 77) 은敎授學的 現象學이라고부르고있다. 결국 Freudenthal에게 있어서 數學自體는自身 흑은 다른사 람의 活動을反省하는것이며, 數學敎育의主흉흉 問題로써 自身의 實際的 精神的 數學的 活動을反省하도록어떻게 자극할것인가 하는問題를제기하지 않을수없게 되는 것이 다 (H. Freudenthal, 1981). 표라그마티즘의 創始者로科學者요哲學者요論理學者이었던 C.S. Peirce(1956, pp ) 는數學的思考의主몇한특정우로抽象化를들면서그特性을다음과갚아 記述하고 있다. 밝다 를 여기 밝음이 있다 로변형하는抽象化, 이런本質的안抽象化는 매우 특별한思考樣式이다點은움직인다. 여기서幾何學者가點은 線을그린다 고말하는 것은抽象化에의해서이다. 이 線은抽象的擺念이지만그自體가움직인다. 그리고이것 이 面을생성하는것 A로생각된다. 등등마찬가지로解析學者가演算自體블演算의對象 ξl로다울때, 이는그有用性을부정할수없는 方法인데, 이는 抽象化의또다른例가 된다 이들보기는數學的思考의大洋에서의抽象化의굽이치는거대한물결을나타낸 다. 그러나우리가數學的思考를상세히 檢討하게되면모든部分에서 같은思考形態의 끊임없는잔물결을發見할것이다 " 이러한顆點은數學의心理發生을논한 Piaget 理論가운데에서 보다 명확히 드러난다. Piaget(1977) 는數學的思考가行動과操作의一般的調整오로부터의抽象化곧反映的抽 象化에의해 構成된다고보고있는데 그에 딱르면反映的抽象化는 主體自身의 行動이나 操作의보다높은水準에의反射와 거기서의 그에 對한反省이라고하는 分離할수없는 두藝素로이루어지며反射된內容은反省에의한새로운形式의구성을필연화하며 反射 와反省의사이클, 따라서內容, 形式, 보다세련된內容, 새로운形式의사이클이거듭하여이루어진다. 이러한數學的思考發達의特性에대한記述은 Z.P. Dienes의文敵가운데에서도찾아볼수있다. Dienes (1960, PP ) 는數學的思考의發達을패턴化와對象化의반복 로파악하고다음과갚이記述하고있다. 이러한종류의패턴化는바로數學的思考의本質이다. 더우기확립된패턴은곧바로數學的對象오로간주되게되며, 이는그이상의패턴에들어맞는다. 이것은다시친근해지면서對象 로간주되며같은現象이반복된다그것을文法的오로보면述릅홉가또다른述語에대한主語가되고이는다시또다른述語에대한主語가된다. 이러한종류의끊엄없이열려진思考가數學的思考의本質이라면그것은세속적안일상적思 考形態와분명히근본적오로다른것이다. 學習과思考의問題를연구한心理學者들은거의數學者가아니었다. 아마도이것이이러한다소特珠한分野에서일어나는學習을설명하는적절한理論이지금까지제시되지못한理由일것이다 "

7 γan Hieie 의數學學習水準理論에對한小考 91 van Hiele의數學學習水準理論은무엇보다도이러한數學的思考의本性에대한洞察을바탕 6로하여전개련, 말하자변 實用的언理論 우료現場數學敎師의正直한確信에대한合理的正當化이기에그意味가큰것우로생각된다. 흔히數學敎師들은여러해동안數學을가르치면그것이곧學生들의數學的思考를개발하는것 ] 라고생각하고過度한量의時間을數學內容을가르치는데소비하고있오면서도數學的思考過程에는거의注目하지않고있다. van Hiele부부의洞察에따르면數學的思考活動아란經驗의世界를단계적우로抽象化하여組織化하는活動이며한水準에서經驗을정리하는手段이새롭게經驗의對象 로서意識化되어그것을組織化하는活動이이루어지게되면서그다음水準오로의思考의飛鍵을하게된다. van Hiele는이러한數學的思 考活動의사이클을再發明해가도록指導함우로써만이數學的思考敎育이가능하다고본것이다. L. Burton(1984) 은이러한數學的思考活動을操作, 패턴感覺의획득, 패턴을記號로명료화하기, 명료화된패먼의操作, 새로운次元의패턴感覺의획득, 그패턴을記號로 명료화하기와같은사이클이 觀族的오로반복되는過程 로파악하고앞段階를통과하면 서 달성된理解와意識위에 새로운思考段階가거듭구성되어 가는것우로보았다. 이와같이 생각하면결국數學的思考活動의 本質은記號化에 의한거듭된쾌턴화에 있 다고불수있을것이다. 그러나여기서 우리는, G. Vergnaud(1983) 가 지적하고있듯이, 數學的思考가階層을이룬다고하드라도全順序는아니며 部分順序일것이라는點, 따라 서 數學的思考敎育은局所的組織化의 形態가되어야할 것이라는點에 留意해야할것 이다. 學習에 있어서의 主體의 能動的인構成的 活動을 강조하는 諸敎授 - 學習理論은이러한 數學的思考活動이 포함된學習過程을척절히 설명하고있는가? Gestalt 理論에 따르면 心理的組織은 단순하고 規則的아며 안정된 소위 good Gestalt로 향하는데 이것이 소위 Pragnanz 原理이다 (E. R. Hilgard, 1956). 學習過程은 心的不均衝 狀態에서 비롯되며 學 習者는不均衝에서 벗어나均衝狀態로向한다. 問題狀況의 再構造化를통해 good Gestalt가 질현되는순간洞察이 일어나며 均衝이 회복되고대립되는벡터가均衝을찾게 된다. 이러 한 Gestalt 理論은意味있는學習活動을거듭된패턴화와비교될수있는 good Gestalt의 形 成과再構造化로표현되는洞察活動오로설명하고있오면서도패턴의對象化에의한思考 水準의飛羅이란관념을看過하고있다는點에서數學學習을설명하는데충분하지못하다 고볼수있을것이다.. J.S. Bruner(1963) 는認쩌發達을表現樣式의 증대와 그調整能力의 증대로보고學習 을세가지 表現樣式에 따른번역 과정 로보고 있다. 이것이 소위 EIS 理論인 바, 그에 따르면學習의 準備性이란權念은소멸된다. 그러나 EIS 理論에 따라 8세 兒童에게 2 次式의 完全제팝型의 因數分解에 대한學習을시키는發見的敎授法에대한그의 例示 (J. S. Bruner,

8 92 師大論盡 ( 3 3 ) 1968) 역시 思考水準의 飛鍵이란띤에서 볼때 받아블이기 어려운면이 있다 H. Freudential (1973, pp ) 은兒童이 그러한 學習을하였뎌고하드라도前數學的안基隨水 準에 머물러 있는狀態를벗어나지 못하며 自身의 行動을調整 反省하여 數學이 시작되는 水準에까지 이르지 옷한다고批判하고있다. Piaget 心理學 (19 5 0) 의 中核的擺念은 schemes과操作이다. schemes은擺念의理解즉同 化에 필요한道具이며學習의條件이다. 또한 Piaget에게 있어서 뼈的思考의形成은操作 의 構成이며 이는 - 次的오로兒童의具體的活動을통해서 構成되는 것이다. H. Aebli (19 5 1) 는 Piaget 心理學을敎授學에 적용하면서 敎育은 이러한 思考의 操作的本性에 따라 야한다는理論을전개하였다. Aebli의 理論은實際的안行動結果의 관찰로부터 內面化를 통한操作의 構成을목표로하고있오며, A. Fricke(1970) 에 의해 일총 명확히 구체화되어 操作的 學習原理 라고불리우게되었다. 그러나數學的思考活動은操作의 對象化에의 한보다高次的인操作의構成活動이 되풀이 되는것임을생각할때, 操 1'1' 的 學習原理는 數學學習사이클의 첫고리에 해당하는 局所的理論에 불과한것 ξl르 볼수밖에 없을것 이다. 한펀 Z.P. Dienes(1960) 는위에서 言及한數學的 思 考 活動의 本質에 대한 洞察을바탕 으로數學學習을소위 놀이 를동한構造的 活動이라고보고 數學的擺念 形成에 대한 開閔連續體.. 텔을 제시하였다. 自由놀이段階, 方向性이 있고目的指向的언中間段階를 거쳐 擺念이 形成되면數學的擺念은 閒 의 狀態로되지만, 內省的活動에 의한分析 檢 討및 外的狀況에의 應用過程을통해 擺念이 定看되고보다정몽하게 되면서 이미 開 의 狀態로변한다. 이와같은狀態가되면 形成된擺念은 보다 높은水準의 새로운擺念 形成을위한資料곧 놀이 의 對象이 되어 數學的擺念形成의 사이플이 끊임없이 反復된 다는것이다. Di enes는 F. Bartlett의 理論을근거로 數學的擺念形威의 고리 즉開閒連續 體의 閒의 狀態로부터 開의 狀態로옮겨져 새로운構成的思考가展開될해 冒險的思考 가개재한다고보고있다. 이려한 Di enes의 學習理論은 패턴화와對象化의 반복이란 數學 的思 考 活動의 特性에 입각하여 展開된理論이나 具體的안 學習水準을 例示하지 못하고 있을뿐만아니라정상적인數學學習을 너무人工的 A료 解釋한 結果가되었다는批判을 면하기 어려울것이다. N. van.hiele 理論괴 - 操作的構成主義와의關聯性 P.M van Hiele (1970) 는일찍부터그의스승인 H. Freudenthal( 쐐簡, 1984) 과더불어 Piaget 理論에대해신랄한批判을가해온數學敎育學者가운데한사람이다. 그러나 P.M. van Hiele(1986, p. viii) 는최근에출판된그의著書가운데에서다음과같은告白을하기

9 van Hiele 의數學學習水準理論에對한小考 93 에이르렀음은매우흥미있는일이아닐수없다. 나의初期論文에대한몇몇批判은 Piaget에대한냐의見解가본질적우로肯定的이라는것을알아내었다. 그블은옳다. 어떤理論에대해서批判的이라는것은그理論의보다큰部分에대해서同意할때에만意味를갖는것이다. 나의水準理論이 Piaget 理論으로부터나왔다고主張할어느程度의이유조차있다. 그것이내이름을가진다는것은그것을내가아주새로운方式우로다루었 다는것우로說明될수있다 " 그려나 P.M. van Hiele (l986, pp.5-6; ) 는 Piaget 心理學은發達心理學이며 自身의 昭究는學習心理學的인것으로思考水準의 상승을자극하는敎育的問題를다루고있다는 差異點을강조하띤서다음과같은批判的인立場을켠지하고있다. 우선 van Hiele는 Piaget가두가지以上의思考水準의存在를認識하지못하였오며學習過程이보다높은水準에서거듭반복된다는사실을看過하었기때문에잘못된結論에이르렀다고主張한다. Piaget에따르면數學的思考의本質은操作이며그것은行動이內面化된것이라고생각하고있으므로두가지水準만을생각하고있다는것이다 P. M. van Hiele(1986, pp l) 는그典型的안例로써兒童의行動의論理, 具體的取폈의論理라고하는 Piaget의論理擺念을들면서다음과같이記述하고있다. 5옮理란用語에정상이아닌意味즐부여한것은모든思考를한段階에놓a려고한데에서비롯된다. 그는數學的論理的思考블行動과經驗 <:> 로부터한段階로직접이끌어내려고하였다. 우리의水準理論에따르면이런方式으로는두번째思考水準以上은도달할수없다. 보다높이올라가려면두번째水準의關係網에注目하고어떤文뼈가운데에서探究를통해그려한關係의本性과一實性을검토하여, 그水準에서관찰된內的縣序의명확화에참여하고결국自由로운思考指向에의해새로운思考分野에들어가야한다. 그러한思考는活動에의해開發되어야하지만첫번째水準의것과전연다른活動이다 " 더우기具體的操作期의兒童의思考는결코論理를바탕오로할수없 며自然數擺念이論理의發達과뾰行하여발달한다고하는 Piaget의思考方式은學習水準理論에서보면있을수없다고主張하면서 P.M. van Hiele는 Piaget의操作主義的立場이兒童의具體的인思考水準과그보다높은여러思考水準을실질적 & 로同一視하고있는誤꿇에빠져있다고主張한다. 그다음에 P.M. van Hiele는 Piaget가思考水準의상승에서言語가갖는매우중요한投害 U을看過하였다고批判한다. 또한 Piaget에따르면 A 間의精神은어떤정해진理論的觀念의方向 : 로발달하는데, 이는그러한擺念이人間의構成物얼뿐이며시간이지나면서변할수있다는것, 따라서어떤擺念의발달은그시대의사람들에의해影響을받는學習過理오료理解되어야한다는點을認識하지못한데에서비롯된생각이라고 P.M. van Hiele는主張한다. 또한 Piaget에따르면보다높은水準의思考構造는근원적인것오로兒童들은그것을타고냐며成長하면서意識하게되어있우나보다높은水準의思考는보

10 94 師大論講 ( 3 3 ) 다낮은水準의思考構造를지배하는法則이명확히되고昭究되어거기서그 g 體가새 로운構造로될때달성된다고 P.M. van Hiele는主張한다. 그리고, P.M. van Hiele는 Piaget가偶然學習過程에서나타나는兒童發達에대한情報를제공하고있오나, 生物學的成熟, 文化環境과의交流, 探究, 짧導學習過程에의한發達을명확히區分하지않았기때문에그의理論은敎育的으로價 f 直가적다고批判한다. 또한 P.M. van Hiele는兒童의思考와學習過程을이해하고자하는사람은어른의思考에의한解釋을배제하는것이不可能하다는點을강조하면서, 兒童의數學的擺念發達에관힌 : Piaget의理論은兒童의行動으로부터이끌어내진것이아니라 Piaget 自身의독특한생각을兒童의行動에投射하고있다고主張한다. P.M. van Hiele(1986, p.101) 는다음과같이記述하고있다. 行動의內的縣序를아는어른에게兒童들이바르게행동한理由를그自身의水準에서지적하기는쉽다. 그러나이것은兒童들이똑같은理解를통해행동하였다는것을뜻하지는않는다 " 特히兒童의量의保存에대한認識은相補性의認識 o로부터생긴다고보는것은 Piaget 自身의생각을엽증하기위한그自身의解釋이며兒童이그러한근거료부터量의保存에대한判斷을했다고보기는어렵다고主張한다. 다음에는以上과같은 Piaget 理論에대한 P.M. van Hiele의批判을차례로檢討해보기로한다. Piaget에따르면知能은操作의體系이며論理 數學도操作體系이다. 다시말해 Piaget는論理 數學的思考플內面化된行動곧操作과그것을바탕으로한보다高次의操作오로보고兒童의行動가운데그形成의根源을찾고있는것이다. Piaget(196 I) 에따르면論理란具體的操 I); 期의 質的論理 로부터시착하여形式的操作期에命題論理操 I); 에達하는발달의산물이며記號論理도이러한論理的操作을形式化한理論오로보고있다. 具體的操作期의 質的論理 는反映的抽象化에의한소위 論理 數學的經驗 S로부터생기는分類操作과系列化操作오로모든操作의기초가되는基本的操作이라고생각하고있 며, 自然數權念을이들操作의綠合으료보고그發生을연구하였다. 또한 Piaget는論理 數學的思考의말달을말하자면心的考古學으루보고反映的抽象化에의해反射된內容이反省을통해새로운形式을構成하게되면서形式과內容의交代가이루어져말달하는聽旅的過程오로說明한다. 이는 van Hiele 理論에서말하는內的縣序의船究對象化에의한보다높은思考水準에로의移行과다를바없는것이다. 論理블命題의結合操作오로서만파악하고, 그것이兒童의行動 로부터직점이끌어내릴수없 ξl며, 自然數擺念이論理의발달과 stt: 行하여발달할수없다는 P.M. van Hiele의主張은그자신이水準理論을주장하면서도論理 數學的思考에대한 Piaget의發生的段階論을看過한데에서비릇된것이며따라서그意味를잃은것오로생각된다. Piaget는思考의本質은操作이며그根源은行動이므로兒童의言語에는思考가직접反映되지않는다고생각하여操作의發生을파악하려면兒童의言語에대한分析보다兒童이

11 van Hiele의數學學習水準理論에對한小考 95 事物을다루는行動을관찰해보지않오면안된다는입장을명확히하고있다. 認 9iJJ 發達에있어서의外的인社會的文化的흉흉因과敎育的言語的몇因의影響을인정하고있 ξl면서도 Piaget는內的인딩 E 調整 異因을중시하고있는것이다 P. M. van Hiele는 Piaget가思考發達에있어서言語기- 갖는중요한投劃을看過하였다고주장하냐이역시 Piaget 理論에대한충분한理解의缺如에서비릇된것으르밖에볼수없다. Piaget (l970) 는自身이주장하는活動的方法에대한주된誤解로서兒童의 活動 은곧具體的活動이라고생각하는混뽑L을지적하고있다. 活動的方法은兒童이획득해야할知識을스스로再構成해야한다는意味에서 活動的 이므료그活動은內面的抽象的인反省일수도있는것이다. 特허빼雅園이나國民學校의數學指導에서初步的언論理 數學的擺念이具體的對象을다루는主體의行動의調整오로부터이끌어내린다고하는생각은실제적인行動을正當化하는것이지만本格的인探究活動은抽象的인言語的操作무료전개된다는點을看過해서는안될것이다. Piaget에따르면, 兒童은數學的思考를자신의行動 schemes을바탕오로社會的敎育的環境의影響아래스스로의行動과操作을調整하여反映的抽象化를통해操作體系로서構成해간다. 그리고數學自體의歷史的發達을行動 schemes이란內在的인客騙뾰의意識化過程이라고보고있무며, 構成곧發生의順序는反省곧分析의順序의遊이란 Aristotale의思考方式을근거로數學의心理的發生順序는數學의歷史發生의遍 I I 頂이라고假定하고있다. Piaget는自身의操作的構成主義란數學認識論의이러한基本立場이先驗論은아니며, P.M. van Hiele의표현대로人間精神은어떤정해진理論的擺念의方向오로發達한다고생각하고있는點에서, Platonism과유사하나構成의可能性만을받아들이고그實在를認定하지않는다는點에서 Platonism과區別된다는點을애써밝히고있다 (E. W. Beth et ]. Piaget, 1961). 이러한 Piaget의立場은數學의總對 f 生을받아들이고있다는批判을받기쉬운측면이없지않우냐, 數學의發達을時代的社會的狀況에따라변하는 A 間의構成物로생각하고있는 P. M. van Hiele의親點은數學의客觀的彈健 { 生을설명하는데不足함이없지않올것이다. 한펀認쩌發達에있어서素質과環境, 成熟과學習등의구분이명확히고려되어있지못한점은 Piaget 理論의명백한制限點이다. 그러나이問題는敎育的오로절실하게몇求되고있다고하여도그누구도지금까지만족할만큼解決한사람은없 며장래에도解決될가능성이지극히적은問題라고생각펀다. Piaget의理論은學習過程에관한것은아니라하여도論理 數學的擺念의本質과그發達의머1 카니즘을비교적명확히說明한點에서그敎育的意味가큰것오로생각된다. 兒童의? 數學的 ~ 思考의발달에대한 Piaget의理論은兒童의行動으르부터이꿀어내란것이아니며어른인 Piaget 自身의독특한생각에따라서兒童의行動을해석한데불과하다는

12 96 師大論靈 ( 3 3 ) P.M. van Hiele의 批判은특히 數擺念發生에 관한 Piaget의 % 究에 集中되고 있다. 相補 性에의해 量의 保存에 대한說明, 1 對 l 對應에 근거한 集合의 對等關係 곧 數의 保存 認識에 대한說明, ax1+ax1=ax2와같은形式의 乘法的關係의 認識에 대한說明퉁은 Piaget 自身의 解釋에 不過하다는것이다. 이러한 P.M. van Hiele의 批判은 그의 스승인 H.Freudenthal의 Piaget 批判과服을같이 하는것이다 ( 쐐橋, 1984). 數學的思考의 發達 에 관한 Piaget의 初究는그자신의 독특한數學認識論곧操作的構成主義를정렴하기위 한것이었우며 이는 Piaget 自身의 哲學的思索의 결과임은말할필요도없을것이다. }.H. Flavell(1963, p.430) 이 지적하고있드시, Piaget가 自身의 發生的疑問에 答하기위하여實 驗을계획하고自身의 哲學을업증하는方向 로資料를해석하였다는事實자체는非難의 對象이 되지 못할것이다. 量의 保存에 대한認識이 相補性의 發達結果라는解釋은 Piaget 의 操作主義의 중섬적인 아이디어로操作的思考의 全線를나타내는擺念인可遊性의 存표 를立證하려는것안 바, 이를 Piaget 自身의 해석에 불과하다고 간단히 否定해 버릴수있 을것인가? 兒童의 反應은, 처음相補性을이유로모양이 다른容器에 옮겨 부은 구슬의 數가변하지 않는다는것, 곧數의 保存을인식하였다는것을보장하지는못하며, 說明을 하도록요구받았을때 그런根據를제시할수도있는바, 兒童이 어떤근거에서 數의 保 存을理解하는지는아직 解答이 주어지지 않았다 " 는것이 P.M.van Hiele(1986, p.102) 의 對答안것이다. 그리고, L. E.}. Brower외影響을받아直觀主義的立場에 서있는 Freudenthal(1973, p. ix) 이냐 P.M. van Hiele에게 論理主義者인 Cantor의 基數擺念을兒童의 心理發生面에서 확 인하려 한것무로보인 Piaget의 맑究가올바로評價될수는없을것이다. 그러나 Piaget는 Cantor의 集合論에 대한피상적안知識을 바탕오로 數의 心理짧生學을구축하려 한것이 아니라, 數擺念에 대한直觀主義者들과論理主義者들의諸理論을비교검토한후그를바 탕우로數의 心理發生을陽究하였다는사실에 注目하지 않우면 안될 것이다. Piaget 理論은그독특한認識論的立場과방대하고難解한展開, 모호한진술等오로 말 미암아명확히 파악하기 힘든탓ξL로 적지 않은 誤解와非難, 批判의 對象이 되어 왔다. 이상의 考察결과드러난것은 Piaget 理論에 대한 P.M. van Hi eie의 批判이 주로 Piaget 理 論에 대한충분한理解의 缺如에서 비릇된誤解에 불과하다는것이다. 앞에서 考察한바와 같이 Piaget가主張하고있는反映的抽象化의 메카니즙은 van Hiele의 數學學習水準理論 의 기본적인생각과큰본적 ξ로다를바없는것이며, 構造擺念은行動오로부터 나오며 行動에 內在하여 分析과명료화에의해 보다높은思考水準에 이른다 " 는 P.M. van Hiele (1986, p.104) 의 記述에서 명확히 드러나듯이 數學的思考의 行動的起源에 대한解釋에 서, 그리고鍵達水準의 直存 生을假定하고있다는點에서 Piaget와그基本立場을같이하 고있다. 결국 P.M. van Hiele (l986, p.5) 팀身이 나의 맑究의바탕이되는중요한部分

13 γan Hiele 의數學學習水準理論에對한小考 97 은 Piaget 理論가운데에서찾을수있다 " 고告白하고있드시 van Hiele 의數學學習水準 理論은 Piaget 의操作的構成主義의數學敎育에의應用 c> 로보는것이쭉當할것이다. v. 結 { 專統이란바뀌기힘든것이다. 지난 20 年동안數學敎育界에는커다란變훨이있었지만普通敎育으료써의數學敎育이추구해나아가는方向에는근본적인變化가없었다. 普通敎育으로써의數學敎育의目的과內容이어떠해야될것인가에대해서는많은論議가필요하겠지만數學的思考過種, 數學化, 數學的活動經驗의 - 般敎育的重몇性에대한깊은관심은결코새로운것이아니다. 敎育史블잘펴보면活動主義敎育理念은르네상스以前까지거슬러올라가는매우갚은뿐리를갖고있는것을알수있다. 數學敎育이觀成의쩌識體系의傳達에급급할것이아니라兒童 로하여금數學的思考活動經驗에參與하게함 o로써數學的眼目과思考態度를開發하도록努力해야한다는것은學習者의意識性을개발하여數學敎育을 /\ 間化해야된다는主張과다를바없는최근의數學敎育學界의 - 般的인動向이다. 지금까지이러한數學化를통한數學的思考敎育의실현을위해제기되어온方案가운데최근數學敎育學界의관심을끌고있는 van Hiele의數學學習水準理論과관련된몇까지問題點에대해고찰해보았다. van Hiele 理論은現象의整理手段의陽究對象化, 思考의內的 ~ 序의服究對象化흑은패턴化와對象化, 形式化와內容化의거듭된交代로표현되는數學的思考의特性을골격오로하여數學의過程的測面을강조한學習水準理論 르, 관련諸웹究결과그쫓當性이엽증되어數學敎育課種開發에이용되어왔다. 지금까지제시된學習 指導理論이數學的思考의그러한特性을반영한數學學習을說明하는데충분하지옷하다는點은 van Hiele 理論의數學敎育學的價植가새좁게인식되고있는理由중의하나일것이다. 數學的思考活動가운데무엇보다도중요한것은抽象化이다. 操作的構成主義에따르면數學的思考는行動의一般的調整오로부터反映的抽象化를통해構成된操作과그를바탕 c> 로한보다高次의操作이다. 결국行動은數學的思考의起源이며數學的思考를키우는토양인것이다 操作的數學敎育프로그램 의中心問題는數學的操作의그러한心理發生過程을보다具體的 료확인하는것이며그러한發生의메카니즘에따라서그基隨를튼튼히해가면서 자연스런 學習이이루어지도록함우로써數學的思考의참다운開發이가능하도록하는것이다. 本橋의考察결과드러난것은 van Hiele의數學學習水準理論은 P.M. van Hiele 자신의 Piaget 理論에대한批判에도불구하고操作的構成主義의그늘을벗어나지못하고있다

14 98 師大論題 ( 3 3 ) 는點이다. H. Freudenthal을중심 S로 한네델란드의 數學敎育學界, 나아가 20 世紀後半 의 數學敎育學界는 Piaget 理論에 대한批判者를포함하여 操作的構成主義의 影響을벗어나 지 못하고있는것이 事實이다. 그理由는活動主義, 構造主義, 發生主義에 입각하여 展開 된 數學的思考發生에 대한包括的인陽究結果는 Piaget 理論을제외하고는거의찾아보기 어려운點에도기언하지만, Piaget 自身이 자기자신을第 -의 Piaget 修正主義者 로 간주하 고 (B. Inhelder & H.H. Chipman, 1976, p.ll), 反對論者들과의 辯證法的和解 를추구하면서보다包括的인理論을開發해온례에도기인할것이다. 서두에언급한바와같이최근의數學敎育에대한論議에서注目을끄는것이學習者의意識性의開發, 反省的思考를통한數學的思 考의開發問題이다. 自身이한것을反省하면思考가다른次元무로짧鍵하는계기가되고그렇게됨 o로써經驗에意味를부여할수있게된다. J. DeweY(1933, p.3) 는反省的思考를 어떤內容을마음가운데에서굴려면서그것을진지하고지속적으로고려하는思考의종류 로정의하면서學習에서의反省的思考의중요성을강조하였다. van Hiele 理論은數學的活動과思考를反휩하고마음가운데에서굴리는것이數學的思考를개발하는길이됨을主張하고있다. 自身의學生들에게數學的活動을反省하게하여數學的思考를經驗하게하려는敎師는스스로그런經驗을하도록努力하지않 : 면안되며, 아울러自身의指導를反省하고그것을改善하려는시도를끊임없이지속해냐아가야할것이다. 훌융考文歡 抽續. (1984). rpiaget 理論의數學敎育에의適用은數學的敎育學的心理學的誤끓인가? J, 韓國數學敎育學會誌, 數學敎育, vol. xxii, No.3, pp 업 H 積. (1985). r 操作的數學敎育프로그램 J, 師大論靈, 第 3 1 輯, 서울大學校師範大學, pp Aebli, H. (1951). Didactique psychologiqμe, Application a la didactique de la psychologie de Jeaη Piaget, Delachaux et Niestle. Bell, A.W. (1976). The Learning of General Mathematical Strategies, Shell Centre for Mathematical Education, University of Nottingham. Beth, E. W. et Piaget, J. (1961). Epistemologie mathematique et psychologie, Presses Universitaires de France. Bruner, J.S. (1963). The Process of Edμcatioπ, Vintage Books. Bruner, J.S. (1968). Toward a Theory of Instruction, Harvard University Press. ;Burger, W.F. &: Shaughnessy, J.M, (1986). Characterizing the van Hiele levels of de-

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17 van Hiele의數學學習水準理論에對한小考 101 Aη%μ a l Meeting of the North Aηzerican Chαpter of the International Groμ:p for the Psychology of Mathematics Ed;μcation ν o z. 1, Universite de Montreal, FacuIte de Science.s de I Education, pp Wirszup,L (1976). Breakthroughs in the psychology of learning and teaching geometry", ].L. Martin(ed.), Space aηd Geometry, ERIC/SMEAC, pp

18 102 師大論遭 ( 3 3 ) Some Remarks on the van Hiele s Level Theory of Mathematical Learning Woo Cheong Ho Abstract In 1957 the van Hieles, Dutch mathematics teachers, reported on studies about a level theory of mathematical learning. Mathematics educators at the Soviet Academy of Pedagogical Sciences hastened to organize intensive research on the levels of development outlined by the van Hieles, verified the validity of their assertions, and accepted those as a basis for designing a new mathematics curriculum in 1960s. According to 1. Wirszup, the new curriculum is the most radical change in Russian mathematics education in nearly a century. Recently, the levels of mathematical thinking approach has been the focus of increasing interest in the United States of America, and several recent studies have tested the hypotheses that the levels can be identified and form a hierarchy as described by the van Hieles. The van Hieles level theory has a great potentiality for uses in the mathematics curriculum development and classroom practices. In this paper, we found tha t. i) The basic principle of the van Hieles level theory emphasizes the process aspect of mathematics, the characteristics of mathematical thought; treating the means to put in order phenomena as themselves subjects of study, the inner order of thought as subject of study, and alternating patterns and subjects, forms and contents. This is supported also by C:S. Peirce, J. Piaget, H. Freudenthal, Z.P. Dienes and L. Burton. ii) The teaching and learning theories of Gestalt psychologists, }.S. Burner, H. Aebli and Z.P. Di enes, could not sufficiently account the kind of learning emphasizing the charac teristics of mathematical thought. This very fact allows us recognize the value of the van Hieles theory in didactics of mathematics. iii)the criticism of P.M. van Hiele about Piagetian theory-piaget distinguished only two levels, action and operational level, and did not distinguished more. Piaget used the term logic" deviatingly and tried to deduce logical thinking directly from action. Piaget mistakenly thought that the concrete operational thoughts based on logic and natural number concept develops side by side with logic. piaget did not see the very important role of lan e:uae:e in movine: from one level to the next. Pia e:et did got into the absolute point of

19 γan Hieie의數學學習水準理論에對한小考 103 view about mathematics. Piaget did not clearly distinguished between development by biological maturation, confrontation with the cultural environment, and learning process, thus his theory has little value from the educational point of view. Piaget interpreted the subjects' reactions from his own perspective in order to verify his own assertions. These could be considered as misconceptions originating from his insufficient understanding about Piagetian theory, and the van Hieles level theqry could be considered as an application of the operational constructivism to mathematics teaching and learning.