1.1) 2.2) 3.3) 어느 각 두 경찰대 (99~17 학년도 ), 사관학교 (02~17 학년도 ) 단원 : 경우의수, 확률 일때, 순서쌍 의개수는? [2000 년경찰대 ] 4.4 ) 자리숫자가 부터 까지인 자리수로된여행용가방의 비밀번호를잊어버렸다. 그런데, 비밀번호의일의자리숫자는, 백의자리숫자는 이고, 비밀번호가 로나누어떨어진다는것을알고있다. 이때, 비밀번호로가능한것은몇가지인가? [3 점 ][2003 년사관학교 ] 1 가지 2 가지 3 가지 4 가지 5 가지 일때, 순서쌍 의개수는? [2001 년경찰대 ] 5.5 ) 사건 에대하여 P BA, P A, P B 일때, P A B 의값은? ( 단, P X 는사건 가일어날확률이다.) [ 점 ][2005 년사관학교 ] 1 2 3 4 5 대학교에서는 학년도신입생을면접, 내신과수능성 적으로 명의지원자중에서 명을선발하였다. 면접시험에서 점이상을받은학생은합격자의 이고불합격자의 이다. 이때, 면접시험에서 점이상을받은학생이합격 할확률은? 1 2 3 [4 점 ][2002 년사관학교 ] 4 5 6.6 ) 의전개식에서 1 의값은? 2 3 의계수를 이라할때, [ 점 ][2005 년사관학교 ] 4 5 1 40
7.7) 오른쪽 8.8) A 10.10) 컴퓨터에 11.11) A 두 수학영역경우의수, 확률 그림과같이한변의길이가 인정삼각형 개로이루어진정육각형모양의도형이있다. 동전을던져앞면이나오면정삼각형의변을따라 만큼씩움직이고, 뒷면이나오면움직이지않는다. 갑과을이각각동전을한번씩던지고난후에갑은점 A 에서, 을은점 F에서출발하여움직였을때, 두사람사이의거리가 이될확률은? ( 단, 두점 A F에서각변을따라움직 9.9 ) 개의주머니 A B 가있다. A 주머니에는흰공 개와검 은공 개가들어있고 B 주머니에는검은공 개가들어있다. A 주머니에있는공을 개꺼내어 B 주머니에넣은후, 다시 B 주머니에서공을 개꺼내어 A 주머니에넣는과정을 번의시행이라하자. 이와같은시행을 번반복하였을때, A 주머니에횐공이들어있을확률은? 1 2 3 [ 점 ][2005 년사관학교 ] 4 5 일확률은모두 이다.) [ 점 ][2005 년사관학교 ] 1 2 3 4 5 중요한자료를넣어두고다른사람이보는것을 방지하기위하여 부터 까지 개의자연수에서서로다른세개의수를뽑아세자리정수의비밀번호를설정하려고한다. 비밀번호는소수가두개이상포함되도록하여가장큰정수부터차례로나열할때 번째의수이다. 이비밀번호를구하시오. [ 점 ][2005 년사관학교 ] 고등학교의학생비율은 학년이각각 이고 학년은 이다. 이학생들에게사관학교에진학할의향이있는지를조사하였더니 학년은, 학년은, 학년은 가졸업후사관학교에진학하기를희망한다고답하였다. 사관학교에진학하기를희망하는학생중 명을택하였을때, 그학생이 학년이거나 학년학생일확률은 이다. 이때, 의값을 구하시오. ( 단, 과 은서로소인자연수이다.) [ 점 ][2005 년사관학교 ] 고등학교의학생비율은 학년이각각 이고 3 학년 은 이다. 이학생들에게사관학교에진학할의향이있는지를조사하였더니 1 학년은, 2 학년은, 3 학년은 가졸업후사관학교에진학하기를희망한다고답하였다. 사관학교에진학하기를희망하는학생중 1 명을택하였을때, 그학 생이 1 학년이거나 2 학년학생일확률은 이다. 이때, 의값을구하시오. ( 단, 과 은서로소인자연수이다.) [ 점 ][2005 년사관학교 ] 2 40
12.12) 그림과 13.13) 헌혈을 15.15) 빨간 16.16) 양궁대회에 경우의수, 확률수학영역 같이개폐식스위치 를갖춘전기체계가있 다. 이전기체계의각스위치들은모두서로독립적으로작동되고, 전류는스위치 과 가모두닫혀있거나 가닫혀있을 때, 에서 로흐르도록되어있다. 이때, 각각의스위치 ( ) 가닫혀있을확률이모두 로같다고할때, 전 14. 각자리의숫자가 만으로이루어지고 의배수인 자 리자연수의개수는? 14) [2006년경찰대 ] 1 2 3 4 5 류가 에서 로흐를확률은? [3 점 ][2006 년사관학교 ] 1 2 3 4 5 공 개와파란공 개가들어있는상자 A 가있다. 상 자 A 에서동시에공 개를꺼내어비어있는상자 B 에넣은다음다시상자 B 에서공 개를꺼냈다. 상자 B 에서꺼낸공이파란공이었을때상자 A 에서상자 B 로옮겨진공 개가빨간공 개와파란공 개일확률은? [3 점 ][2006 년사관학교 ] 1 2 3 4 5 하려는학생 명에게자신의혈액형을 A 형, B 형, AB 형, O 형으로만기록하도록하였더니다음과같은결과가나 왔다. A 형인학생수와 B 형인학생수의합은 A B 형인 학생수와 O 형인학생수의합과같다. A 형인학생수와 A B 형인학생수의합은 B 형인 학생수와 O 형인학생수의합과같다. A 형인학생수는 명이다 이때, 이 명의학생이모두헌혈을하였고, 각학생의혈액을혈액형만표시된혈액팩에넣었다. 이 개의혈액팩모두를일렬로나열하는방법은모두몇가지인가? ( 단, 각혈액팩은 A 형, B 형, AB 형, O 형으로만혈액형이기록되어있고, 기록된혈액형으로만구별할수있다.) [3 점 ][2006 년사관학교 ] 1 가지 2 가지 3 가지 4 가지 5 가지 참가한어떤선수가활을쏘아과녁의 점부 분을명중시킨다음다시활을쏘아 점부분을명중시킬확 률이 이고, 점부분을명중시키지못한다음다시 점 부분을명중시키지못할확률이 이다. 이선수가반복하여계 속활을쏜다고할때, 번째에 점부분을명중시킬확률을 이라하자. 이때, lim 의값은? 1 2 3 [4 점 ][2006 년사관학교 ] 4 5 3 40
18.18) 두 21.21) 수학영역경우의수, 확률 17. 정칠각형의꼭짓점중에서임의로세점을선택할때, 이세 점을꼭짓점으로하는삼각형이둔각삼각형이될확률은? 17) [2007년경찰대 ] 1 2 3 4 5 20. 무승부가없고, 두사람이승패를겨루는게임이있다. 게임 에서지는사람은그다음게임에참가하지않기로하고, A B C 세사람이이게임을 회실시한후, 결과를다음과같은게임성적표에작성하려고한다. 선수회 A B C 승 : 패 : 불참 : 아래의세조건을만족하는서로다른게임성적표의개수는? 20) [2007 년경찰대 ] < 조건 > 사건, 에대하여사건 를 라하자. P P P 일때, 조건부확률 P 의값은? ( 가 ) 첫게임은 B 와 C 가실시하여 B 가이겼다. ( 나 ) 마지막게임에서는 A 가졌다. ( 다 ) A 는 승, B 는 승을하였다. 1 2 3 [2 점 ][2007 년사관학교 ] 4 5 1 2 3 4 5 19. 자리의수인 의각자리수 는 를만족 한다. 이와같이 자리이상의자연수중에서항상뒤의자리수가바로앞의자리수보다더큰수를오름수라고하자. 예를들어 는오름수이지만 나 은둘다오름수가아니다. < 보기 > 에서옳은것을모두고른것은? 19) < 보기 > ㄱ. 자리오름수의개수는 이다. ㄴ. 자리오름수의개수와 자리오름수의개수는같다. ㄷ. 자리오름수를크기순으로작은수부터차례로나열 할때, 번째수는 이다. 1 ㄱ 2 ㄴ 3 ㄱ, ㄴ 4 ㄱ, ㄷ 5 ㄱ, ㄴ, ㄷ [2007 년경찰대 ] 개의제비중에서당첨제비가 개있다. 갑이먼저한개의 제비를뽑은다음을이한개의제비를뽑을때, 갑이당첨제비를뽑을사건을, 을이당첨제비를뽑을사건을 라하자. < 보기 > 에서옳은것을모두고른것은? ( 단, 한번뽑은제비는다시넣지않는다.) ㄱ. P P ㄴ. P P ㄷ. P P < 보기 1 ㄱ 2 ㄴ 3 ㄷ 4 ㄱ, ㄴ > 5 ㄱ, ㄷ [3 점 ][2007 년사관학교 ] 4 40
22.22) 주머니 23.23) 집합 24.24) 어느 25.25) 집합 경우의수, 확률수학영역 속에빨간공 개, 노란공 개가들어있다. 이주 머니에서임의로 개의공을꺼내는시행을반복할때, 세번째시행에서처음으로서로다른색의공이뽑힐확률은? ( 단, 꺼낸공은다시넣지않는다.) 1 2 3 [3 점 ][2007 년사관학교 ] 4 5 에서 로의함수중에서다음조건 을모두만족하는함수 의개수를구하시오. [4점][2007년사관학교 ] ( 가 ) 의역함수가존재한다. ( 나 ) ( 다 ) 는 의양의약수 의원소중에서서로다 른 개의원소를택하여일렬로나열할때, 양끝에놓인두수의곱과나머지두수의곱이서로같은경우의수는? [4 점 ][2007 년사관학교 ] 1 2 3 4 5 26. 다음을만족시키는집합 와 의순서쌍 의개수는?26) < 다음 > (i) (ii) [2008 년경찰대 ] 1 2 3 4 5 사관학교에서는매년휴가기간에 학년생도전부를 대상으로해외배낭여행을실시하고있다. 여행 개월전에희망지역을조사한결과, 유럽, 미국, 아시아지역을희망한생도의비율이각각 %, %, % 이었다. 비자발급을위해여행 개월전에희망지역을최종적으로조사한결과유럽지역을희망했던생도의 %, 미국지역을희망했던생도의 %, 아시아지역을희망했던생도의 % 가여행지를변경하였다. 여행지역을변경한생도 명을임의로택할때, 그생도가최초에미국 지역을희망했을확률은 이다. 의값을구하시오. 27. 각자리의수의합이 인세자리자연수의개수는? 27) [2008 년경찰대 ] 1 2 3 4 5 ( 단, 는서로소인자연수이다.) [4 점 ][2007 년사관학교 ] 5 40
29.29) 서로 30.30) 한 31.31) 32.32) 좌표평면 수학영역경우의수, 확률 28. police academy 에는 개의 를포함하여 개의문 자가있다. 이중에서 개를뽑을때, 뽑힌문자가모두다를확률은? 28) 1 2 3 4 [2008 년경찰대 ] 5 이자연수일때, 명의학생을두명씩 개의조로나누 는방법의수를 이라하자. 이때, 의값은? [3 점 ][2008 년사관학교 ] 1 2 3 4 5 독립인두사건, 에대하여 P, P 일때, P 의값은? 위의원점에놓인점 P 가 개의동전을던질때 마다다음과같이움직인다고한다. 1 2 3 [2 점 ][2008 년사관학교 ] 4 5 앞면이나오면 축의방향으로 만큼, 축의방향으로 만큼평행이동하고, 뒷면이나오면 축의방향으로 만큼, 축의방향으로 만큼평행이동한다. 예를들어, 동전을 번던져서차례로앞면, 앞면, 뒷면이나왔을 때점 P 가지나간자취는그림과같고, 이자취는직선 과 두점에서만난다. 동전을 번던질때, 점 P 가지나간자취와 직선 이오직한점에서만날확률은? [4 점 ][2008 년사관학교 ] 개의주사위를 번던질때, 의눈이나오는횟수를, 의눈이나오는횟수를 라하자. 일확률은? 1 2 3 [4 점 ][2008 년사관학교 ] 4 5 1 2 3 4 5 6 40
33.33) 그림과 34.34) 그림과 37.37) 10 경우의수, 확률수학영역 같이정사각형과서로합동인 개의원으로이루어 진놀이판이있다. 각원의중심은정사각형의네꼭지점과두대각선이만나는점이다. 서로다른 개의돌중에서 개를뽑아 개의원안에각각 개씩올려놓는방법의수는? ( 단, 회전하여같은경우는한가지로계산한다.) [4 점 ][2008 년사관학교 ] 35. 3 명의경위와 8 명의순경이 4 명, 4 명, 3 명으로나누어서로 다른세순찰차에탑승하려고한다. 3명의경위는각각다른순찰차에탄다고할때, 탑승하는방법의수는? 35 ) 1 3360 2 6720 3 8400 4 10080 5 13640 [2009 년경찰대 ] 1 2 3 4 5 36. 개의주사위를던져서나온눈의수의최댓값이 5 일확률을 P 이라할때, 무한급수 P 의합은? 36) [2009 년경찰대 ] 1 2 3 1 4 5 3 같이 개의가로줄과 개의세 로줄로이루어진전화기의숫자판이있다. 이때, 다음조건을모두만족시키면서숫자판에있는숫자를누르는방법의수를구하시오. [4 점 ][2008 년사관학교 ] ( 가 ) *, # 을제외한 개의숫자중에서서로다른 개 의숫자를누른다. 이때, 누르는순서가다르면서로 다른경우이다. ( 나 ) 개의가로줄에서는각각숫자를 개씩누른다. ( 다 ) 개의세로줄에서는숫자를 개누르고, 나머지 개 의세로줄에서는각각숫자를 개씩누른다. 보다큰자연수 에대하여집합 의두부 분집합 와 를택할때, 인경우의수는? ( 단, 는집합 의원소의개수 ) 1 C 3 C 2 C 4 C [2009 년경찰대 ] 5 C 7 40
38.38) 39.39) 세 40.40) 주사위 41.41) 그림과 42.42) 수학영역경우의수, 확률 자리의자연수중에서 의배수전체의집합을 라하자. 집합 의원소중에서각자리의수가 이상이고 이하인것의개수는? [2 점 ][2009 년사관학교 ] 1 2 3 4 5 같은직사각형모양의도로가있다. P 지점에서출발 하여 Q 지점까지도로를따라최단거리로갈때, 도중에방향을바꾸는횟수가모두 번이되는경로의수는? [3 점 ][2009 년사관학교 ] Q P 1 2 3 4 5 개의주사위를동시에던질때나오는눈의수를각각 라하자. 이때세수 의최대공약수가 일확률 은? 1 2 3 [3 점 ][2009 년사관학교 ] 4 5 한개를 번던지는시행에서나타나는눈의수들 중에서가장큰수를, 가장작은수를 이라하자. 예를들 면, 주사위를한번던지는시행에서나타나는눈의수가 이면 이고, 주사위를두번던지는시행에서나타나는눈 의수가 이면, 이다. 가될확률을 이라할때, 의값은? 개의구슬이들어있는주머니가있다. 개의구슬각각 에는 부터 까지서로다른자연수가하나씩적혀있다. 이주머니에서한개의구슬을꺼내어숫자를확인한후다시집어넣는시행을세번반복하여첫번째나온수를, 두번째나온수를, 세번째나온수를 라하자. 다음과같은규칙으로 를정할때, 일확률은? [4 점 ][2009 년사관학교 ] [ 규칙 1] 가모두다르면중간크기의수를 라 한다. [ 규칙 2] 중에서두개이상이같으면같은수를 1 라한다. 2 3 4 5 [4 점 ][2009 년사관학교 ] 1 2 3 4 5 8 40
43.43) 철수가 44.44) 45.45) 사관학교 경우의수, 확률수학영역 자동차로그림과같은바둑판모양의도로를따라 A 지점에서약속장소인 B 지점까지최단거리로가는도중에, 도로 PQ 위에서약속장소가 C 지점으로변경되었다는연락을받고곧바로 C 지점을향하여도로를따라최단거리로이동하였다. 이때, 철수가 A 지점에서출발하여 C 지점까지최단거리로이동하는경로의수는? ( 단, 연락받은위치가달라도이동경로가같으면동일한경우로간주한다.) [4 점 ][2009 년사관학교 ] B 생도의 는입교전에확률과통계과목을배 웠고, 는배우지않았다고한다. 확률과통계과목을배운생도들의, 배우지않은생도들의 는통계학성적이 A 학점이었다. 임의로한명의생도를뽑았더니그생도의통계학성적이 A 학점이었을때, 그생도가입교전에확률과통계과목을배웠을확률은? 1 2 3 [3 점 ][2009 년사관학교 ] 4 5 P Q A C 1 2 3 4 5 46. 의배수인세자리의자연수중에서하나를뽑을때, 일의 자리의수또는십의자리의수또는백의자리의수가 인자연수를뽑을확률은? 46) [2010 년경찰대 ] 1 2 3 4 5 장의카드가들어있는상자가있다. 장의카드각각에는 부터 까지서로다른자연수가하나씩적혀있다. 이상자에서임의로 장의카드를꺼내어숫자를확인한후다시넣는시행을 번반복하여제 번째에꺼낸카드에적힌숫자를 ( ) 라하자. 가될확률이 일 때, 의값을구하시오. ( 단, 는서로소인자연수이다.) [3 점 ][2009 년사관학교 ] 47. 어느경찰관이 월에관할구역을이틀연이어순찰하지않으 면서 일순찰하는방법의수는? 47) [2010 년경찰대 ] 1 C 2 C 3 C 4 C 5 C 9 40
49.49) A 50.50) 최대공약수가 51.51) 다음은 수학영역경우의수, 확률 48. 다음은 를한번씩사용하여만든 자리의자 연수를가장작은수부터가장큰수까지크기순서로나열한수열이다.,,,, 이수열에서 번째항은? 48) 1 2 3 4 5 [2010 년경찰대 ] 가자연수일때 인모든자연수 에대하여 등식 C C 이성립함을수학적귀납법으로증명하 는과정이다. [ 증명 ] (1) 일때 ( 좌변 ) C ( 가 ), ( 우변 ) C ( 가 ) 이므로주어진등식이성립한다. (2) ( ) 일때주어진등식이성립한다고 가정하면 C C 이다. 일때성립함을보이자. C C ( 나 ) 그룹에남자 명과여자 명, B 그룹에도남자 명과여 자 명이있다. A 그룹과 B 그룹에서각각 명씩뽑아동시에상대그룹으로이동시킬때, A 그룹에남자 명과여자 명이있을확률은? 1 2 3 [2 점 ][2010 년사관학교 ] 4 5 ( 다 ) C 따라서 일때주어진등식이성립한다. (1), (2) 에의하여 인모든자연수 에대하여 주어진등식이성립한다. 위증명에서 ( 가 ), ( 나 ), ( 다 ) 에알맞은것은? [3 점 ][2010 년사관학교 ] ( 가 ) ( 나 ) ( 다 ) 1 C 2 C 3 C, 최소공배수가 이되는두자연수, ( ) 의순서쌍 의개수는? [4점][2010년사관학교 ] 1 2 3 4 5 4 C 5 C 10 40
52.52) 어느 54.54) 좌표평면 경우의수, 확률수학영역 보안전문회사에서바이러스감염여부를진단하는프 로그램을개발하였다. 그진단프로그램은바이러스에감염된컴퓨터를감염되었다고진단할확률이 % 이고, 바이러스에감염되지않은컴퓨터를감염되지않았다고진단할확률이 % 이다. 실제로바이러스에감염된컴퓨터 대와바이러스에감염되지않은컴퓨터 대에대해이진단프로그램으로바이러스감염여부를검사하려고한다. 이 대의컴퓨터중임의로한대를택하여이진단프로그램으로감염여부를검사하였더니바이러스에감염되었다고진단하였을때, 이컴퓨터가실제로감염된컴퓨터일확률은? 1 2 3 [3 점 ][2010 년사관학교 ] 4 5 위에서점 P 는한번의이동으로다음의 ( 규칙 ) 또는 ( 규칙 ) 를따라이동한다. ( 규칙 ) 축의양의방향으로 만큼, 축의양의방향으 로 만큼이동한다. ( 규칙 ) 축의양의방향으로 만큼, 축의양의방향으 로 만큼이동한다. 예를들어, 원점 O 에있는점 P 가두번의이동으로도달할수있는곳을표시하면그림과같다. 점 P 가 ( 규칙 ) 을따라이동할확률은 이고 ( 규칙 ) 를따라 이동할확률은 일때, 위와같은규칙으로점 P 가원점 O 에 서부터다섯번의이동으로점 에도달할확률은 이다. 이때, 서로소인두자연수, 의합 의값을구하시오. ( 단, 매번이동하는사건은서로독립이다.) [4 점 ][2010 년사관학교 ] 53. 아래그림과같이 A B C D E F 의 개구역이경찰서를 중심으로하여길로연결되어있다. A 와 B 의넓이는각각 km 이고 C D E F 의넓이는각각 km 이다. 명의경찰관이이 개구역을넓이의합이같아지도록 부분으로나누어 부분씩을맡고, 각자맡은모든구역을순서를정하여순찰하는방법의수는? ( 단, 개구역을나누지는않는다.)53) O [2011 년경찰대 ] 1 2 3 4 5 55. 다항식 의전개식에서 의계수가 일때, 상수 의값은?55) [2011년경찰대 ] 1 2 3 4 5 11 40
56.56) 두 57.57) 두 58.58) 어느 59.59) 그림과 60.60) 집합 수학영역경우의수, 확률 사건 에대하여 P, P, P 일때, P C P C 의값은? [2점][2011년사관학교 ] 1 2 3 4 5 같이직사각형모양으로이루어진도로망이있고, 이 도로망의 개의지점에이표시되어있다. A B 사격선수 A B 가한번의사격에서 점을얻을확률은 A 지점에서 B 지점까지가는최단경로중에서이표시된 개의지점중오직한지점만을지나는경로의수는? [4점][2011년사관학교 ] 1 2 3 4 5 각각 라고한다. 두선수가임의로순서를정하여각각한 번씩사격하였더니먼저사격한선수만 점을얻었다고한다. 이때, 먼저사격한선수가 A 이었을확률은? [3 점 ][2011 년사관학교 ] 1 2 3 4 5 에서집합 로 의함수중에서다음세조건을만족시키는함수 의개수는? [4 점 ][2011 년사관학교 ] 지역에서사관학교에지원한학생들을대상으로안경 착용여부를조사하였더니그결과가다음표와같았다. 남학생 여학생 안경을쓴학생 명 명 안경을안쓴학생 명 ( ) 명 이학생들중에서임의로한명을선택할때, 그학생이남학생일사건을, 안경을쓴학생일사건을 라하자. 두사건 가서로독립일때, 자연수 의값은? ( 가 ) 집합 의임의의두원소 에대하여 이면 이다. ( 나 ) 합성함수 가정의된다. ( 다 ) 이다. 1 2 3 4 5 [3 점 ][2011 년사관학교 ] 1 2 3 4 5 12 40
61.61) 사과 62.62) 집합 63.63) 두 66.66) 정육면체 경우의수, 확률수학영역 개와복숭아 개가있다. 이 개의과일중에서임의 로 개의과일을택하여네명의학생에게각각하나씩나누어주었다. 남아있는 개의과일을네명의학생중임의의한명에게주었을때, 이학생이가진 개의과일이같은종류일확률은? 1 2 3 [4 점 ][2011 년사관학교 ] 4 5 64. 개의숫자 중서로다른 개를사용하여네자리의자연수를만들때, 의배수가되는경우의수는? 64) [2012년경찰대 ] 1 2 3 4 5 의서로다른두원소를 라하고, 집합 의서로다른두원소를 라하자. 순서쌍 중에서네수의곱 가짝수인것의개수를구하시오. [3 점 ][2011 년사관학교 ] 65. 부터 까지의자연수가적힌 개의공이각각들어있는 두상자 A B가있다. A B에서임의로각각 개의공을동시에뽑아네자리자연수 를만든다. 이때, 와 를서로같은자리의수끼리비교하였을때, 어느자리의수도서로같지않을확률은? 6 5) 1 2 3 4 [2012 년경찰대 ] 5 사격선수 A B 가한번의사격에서 점을얻을확률은 각각 라고한다. 두선수가임의로순서를정하여각각한 번씩사격하였더니먼저사격한선수만 점을얻었다고한다. 이때, 먼저사격한선수가 A 이었을확률은? 1 2 3 [3 점 ][2011 년사관학교 ] 4 5 모양의주사위한개를세번던져서나온눈의수 를나온순서대로 라할때, 이될확률은? 1 2 3 [3 점 ][2012 년사관학교 ] 4 5 13 40
67.67) 어떤 68.68) 69.69) 세 70.70) 학생 71.71) 다음 72.72) 1 수학영역경우의수, 확률 시행에서일어날수있는모든결과의집합을 라하 자. 의부분집합인세사건 는다음조건을만족한다. 사건 와사건 는서로배반이다. 사건 와사건 는서로독립이다. 15 명중에서적어도한명의남학생과적어도한명의 여학생이포함되도록 3 명의대표를선출하는서로다른방법이 286 가지일때, 남학생수와여학생수의차는? [2013 년경찰대 ] 1 2 3 4 5 일때, 의 값은? [3 점 ][2012 년사관학교 ] 1 2 3 4 5 을만족시키는서로다른순서쌍 다항식에서 의계수는? [2013년경찰대 ] 1 2 3 4 5 의개수를구하여라. ( 단, 는음이아닌정수이고 이다.) [3 점 ][2012 년사관학교 ] 개의주사위를동시에던질때, 세주사위에나타난눈의 수가 2, 5, 3 또는 1, 1, 2 또는 6, 4, 2 와같이두주사위에나타난눈의수의합이나머지주사위의눈의수와같을확률은? 1 2 3 4 [2013 년경찰대 ] 5 부터 까지모든자연수의집합을 라고하자. 그리고 와 를만족시키는두집합 와 의순서 쌍 의개수를 라할때, 1 2 3 의값은? 4 [2013 년경찰대 ] 5 14 40
73.73) 그림은 74.74) 어느 75.75) 76.76) 77.77) 경우의수, 확률수학영역 어떤정보 를 과 의두가지중한가지의송신 신호로바꾼다음이를전송하여수신신호를얻는경로를나타낸것이다. 의전개식에서 의계수를구하여라. [3 점 ][2013 년사관학교 ] 정보 송신신호 수신신호 이때송신신호가전송되는과정에서수신신호가바뀌는경우가생기는데, 각각의경우에따른확률은다음과같다. 정보 가 의송신신호로바뀔확률은각각 이다. 송신신호 이수신신호 로전송될확률은 각각 이다. 송신신호 이수신신호 로전송될확률은 각각 이다. 정보 를전송한결과수신신호가 이었을때, 송신신호가 이었을확률은? 개의문자 중에서중복을허락하여 개 를선택하여문자열을만들때, 문자열이 를반드시포함할확률은? 1 2 3 [4 점 ][2014 년경찰대 ] 4 5 [4 점 ][2013 년사관학교 ] 1 2 3 4 5 인터넷동호회에서한종류의사은품 개를정회원 명, 준회원 명에게모두나누어주려고한다. 정회원은 개이상, 준회원은 개이상을받도록나누어주는방법의수는? ( 단, 사은품은서로구별하지않는다.) [3 점 ][2013 년사관학교 ] 1 2 3 4 5 개의알파벳 P O L I C E M A N 을반드시한번 씩사용하여사전식으로배열할때, POL 로시작하는문자열중에서 POLICEMAN 은몇번째문자열인지구하여라. [4 점 ][2014 년경찰대 ] 15 40
78.78) 모든 79.79) 자연수 80.80) 방정식 81.81) 일어날 82.82) 어떤 수학영역경우의수, 확률 자연수 에대하여 C 이성립한다. 에알맞은식을 이라할때, 의값을구하여라. ( 단, ) [5 점 ][2014 년경찰대 ] 확률이 인사건이일어날때놀람의정도를 라하면관계식 log 는양의상수 ) 이성립한다고한다. 일어날확률이 인사건이일어날때놀 람의정도는 이고, 두사건 는다음조건을만족시킨다. 는 개의동전을던질때앞면이 개나오는사건 이다. 와 는서로독립이다. 두사건 가동시에일어날때놀람의정도가 일때, 사건 가일어날때놀람의정도는? ( 단, log 으로계산한다.) [5 점 ][2014 년경찰대 ] 1 2 3 4 5 에대하여 이라하자. 두조건 을만족시키도록세집합 를정하는방법의수를 이 라하자. 의값은? [4 점 ][2014 년사관학교 ] 1 2 3 4 5 제품은전체생산량의 가각각세공 장 A B C 에서생산되고, 제품의불량률은각각 라고한다. 세공장 A B C 에서생산된제품중임의로선택한한개의제품이불량품일때, 그제품이 C 공장에서생산된 제품이었을확률은 이다. 의값은? ( 단, 세공장 A B C 에서는다른제품은생산되지않는다.) [3 점 ][2014 년사관학교 ] 1 2 3 4 5 를만족시키는자연수 의순서 쌍 의개수를구하여라. [3 점 ][2014 년사관학교 ] 16 40
83.83) 84.84) 지호와 85.85) 86.86) 87.87) 88.88) 좌석의 경우의수, 확률수학영역 과같이각자리의숫자의합이 인네자리의자 연수의개수는? [3점][2014년사관학교 ] 1 2 3 4 5 이하의자연수중에서서로다른 개의수를뽑을때, 어 느두수도 이상차이가나도록뽑는방법의수는? [4점][2015년경찰대 ] 1 2 3 4 5 영수는가위바위보를한번할때마다다음과같은 규칙으로사탕을받는게임을한다. 이긴사람은 개의사탕을받고, 진사람은 개의사 탕을받는다. 비긴경우에는두사람모두 개의사탕을받는다. 게임을시작하고나서지호가받은사탕의총개수가 인경우 가생길확률은 이다. 자연수 의값을구하여라. 부터 까지자연수가하나씩적혀있는 개의공이주머 니에들어있다. 이주머니에서 개의공을임의로한개씩꺼낼때, 나중에꺼낸공에적혀있는수가더큰순서로꺼낼확률은? ( 단, 꺼낸공은다시넣지않는다.) 1 2 3 [3 점 ][2015 년경찰대 ] 4 5 ( 단, 두사람이각각가위, 바위, 보를낼확률은같다.) [4 점 ][2014 년사관학교 ] 부터 까지자연수가하나씩적혀있는 개의공이주머 니에들어있다. 이주머니에서 개의공을임의로한개씩꺼낼때, 나중에꺼낸공에적혀있는수가더큰순서로꺼낼확률은? ( 단, 꺼낸공은다시넣지않는다.) 1 2 3 [3 점 ][2015 년경찰대 ] 4 5 수가 인어느식당에서예약한사람이예약을취소 하는경우가 명중 명꼴이라고한다. 명이예약했을때, 좌석이부족하게될확률은 이다. 의값은? 1 2 3 [4 점 ][2015 년경찰대 ] 4 5 17 40
89.89) 백의 90.90) 두 91.91) 등식 92.92) 주머니 93.93) 주머니 수학영역경우의수, 확률 자리의수, 십의자리의수, 일의자리의수가이순서 대로등차수열을이루는세자리의자연수의개수를구하시오. [4 점 ][2015 년경찰대 ] A 에는흰구슬 개, 검은구슬 개가들어있고, 주 머니 B 에는흰구슬 개, 검은구슬 개가들어있다. 한개의주사위를던져서 의배수의눈이나오면주머니 A 에서임의로한개의구슬을꺼내고, 의배수가아닌눈이나오면주머니 B 에서임의로한개의구슬을꺼낸다. 주사위를 번던지고난후에주머니 A 에는검은구슬이, 주머니 B 에는흰구슬이각각 한개씩남아있을확률은 이다. 의값을구하시오. ( 단, 와 는서로소인자연수이고, 꺼낸구슬은다시넣지않는다.) [4 점 ][2015 년사관학교 ] 사건, 에대하여 P, P 일 때, P 의값은? ( 단, 는 의여사건이다.) [3 점 ][2015 년사관학교 ] 1 2 3 4 5 A 에는흰공 개, 검은공 개가들어있고, 주머니 B 에는흰공 개, 검은공 개가들어있다. 주머니 A 에서임 의로 개의공을꺼내어주머니 B 에넣고섞은다음주머니 B 에서임의로 개의공을꺼내어주머니 A 에넣었더니두주머니에있는검은공의개수가서로같아졌다. 이때주머니 A 에서꺼낸공이모두검은공이었을확률은? [3 점 ][2015 년사관학교 ] 1 2 3 4 5 를만족시키는세자연수 의순서쌍 의개수는? [3점][2015년사관학교 ] 1 2 3 4 5 18 40
94.94) 그림과 95.95) 어떤 96.96) 두 97.97) 주머니에 98.98) 수직선 경우의수, 확률수학영역 같이정사각형모양으로연결된도로망이있다. 사건, 가서로독립이고 P, P 일때, P 의값은? [3 점 ][2016 년사관학교 ] 1 2 3 4 5 이도로망을따라 A 지점에서출발하여 B 지점까지최단거리로가는경우의수는? [3 점 ][2015 년사관학교 ] 1 2 3 4 5 크기와모양이같은흰공 개와검은공 개가 들어있다. 이주머니에서임의로 개의공을꺼내어색을확인한후다시넣지않는다. 이와같은시행을두번반복하여두번째꺼낸공이흰공이었을때, 첫번째꺼낸공도흰공이었을확률이 이다. 의값을구하시오. [3 점 ][2016 년사관학교 ] 프로파일러가사람을면담한후범인여부를판단할확 률이다음과같다. 범행을저지른사람을범인으로판단한확률은 이다. 범행을저지르지않은사람을범인으로판단할확률은 이다. 이프로파일러가범행을저지른사람 명과범행을저지르지않은사람 명으로이루어진집단에서임의로한명을선택하여면담하였을때, 이사람을범인으로판단할확률은? [4 점 ][2016 년경찰대 ] 1 2 3 4 5 위의원점에있는두점 A, B 를다음의규칙에따라 이동시킨다. ( 가 ) 주사위를던져 이상의눈이나오면 A를양의방향으로 만큼, B를음의방향으로 만큼이동시킨다. ( 나 ) 주사위를던져 이하의눈이나오면 A를음의방향으로 만큼, B를양의방향으로 만큼이동시킨다. 주사위를 던지고난후두점 A, B 사이의거리가 이하가될 확률이 일때, 의값을구하시오. ( 단, 와 는서로소인자연수이다.) [4점][2016년사관학교 ] 19 40
99.99) 어느 102.102) 주머니에 103.103) 바닥에 104.104) 집합 수학영역경우의수, 확률 공연장에 개의좌석이일렬로배치되어있다. 이좌 석중에서서로이웃하지않도록 개의좌석을선택하려고한다. 예를들면, 아래그림의색칠한부분과같이좌석을선택한다. 흰공 개, 파란공 개, 검은공 개가들어있 다. 이주머니에서임의로 개의공을꺼내어색을확인한후꺼낸공과같은색의공을 개추가하여꺼낸공과함께주머니에넣는다. 이와같은시행을두번반복하여두번째꺼낸공이검은공이었을때, 첫번째꺼낸공도검은공이었을확률은? ( 단, 공의크기와모양은모두같다.) 1 2 3 [3 점 ][2016 년사관학교 ] 4 5 이와같이좌석을선택하는경우의수를구하시오. ( 단, 좌석을선택하는순서는고려하지않는다.) [4 점 ][2016 년사관학교 ] 100.100 ) H H H 의값은? [2점][2016년사관학교 ] 1 2 3 4 5 놓여있는 개의동전중임의로 개의동전을선 택하여뒤집는시행을하기로한다. 개의동전은앞면이, 개의동전은뒷면이보이도록바닥에놓여있는상태에서이시행을 번반복한결과 개의동전은앞면이, 개의동전은뒷면이보이도록바닥에놓여있을확률을 라할때, 의값을구하시오. ( 단, 동전의크기와모양은모두같다.) [4 점 ][2016 년사관학교 ] 101.101 ) 명의순경이세구역을순찰하려고한다. 각구역에는 적어도한명이순찰하고, 각구역의순찰인원은 명이하가되도록인원수를정하는경우의수는? ( 단, 한명의순경은하나의구역만순찰하고, 순경은서로구분하지않는다.) [4 점 ][2016 년경찰대 ] 1 2 3 4 5 A B C 에대하여 두함수 A B B C 의합성함수 A C 가역함수를갖도록하는순서쌍 의개수는? [4 점 ][2017 년경찰대 ] 1 2 3 4 5 20 40
한 서로 108.108) 다음 109.109) 아래 110.110) 한 경우의수, 확률수학영역 105.105 ) 부터 까지의자연수가하나씩적힌카드 장중 에서한장을뽑을때, 적힌수가다음세조건을만족하는경우의수는? ( 가 ) 적힌수는홀수이다. ( 나 ) 각자리의수의합은 의배수가아니다. ( 다 ) 적힌수는 의배수가아니다. [4 점 ][2017 년경찰대 ] 조건을만족시키며 일동안친구 A B C 를초대하 는방법의수를구하시오. [4점][2017년경찰대 ] ( 가 ) 매일 A B C 중 명을초대한다. ( 나 ) 어떤친구도 번넘게초대하지않는다. 1 2 3 4 5 106.106 ) 개의주사위를두번던져나오는눈의수를차례로 그림은어느도시의도로를선으로나타낸것이다. 교 차로 P 에서는좌회전을할수없고, 교차로 Q 는공사중이어서지나갈수없다고한다. A 를출발하여 B 에도달하는최단경로의개수는? [4 점 ][2017 년경찰대 ] 라하고복소수 를 라할때, 가실수일 확률은? [3 점 ][2017 년경찰대 ] 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 107.107 ) 다른 개의물건을남김없이서로다른 개의상자 에임의로분배할때, 빈상자가없도록분배할확률은? 1 2 3 [4 점 ][2017 년경찰대 ] 4 5 개의주사위를던질때짝수의눈이나오는사건을, 소수의눈이나오는사건을 라하자. P P 의값은? ( 단, 은 의여사건이다.) [3점][2017년사관학교 ] 1 2 3 4 5 21 40
주머니 집합 두 114.114) 주머니에 115.115) 방정식 수학영역경우의수, 확률 111.111 ) 속에흰공이 개, 검은공이 개들어있다. 이 주머니에서임의로 개의공을동시에꺼낼때, 나오는검은공의개수를확률변수 라하자. E 의값은? 1 2 3 [3 점 ][2017 년사관학교 ] 4 5,,,, 의숫자가하나씩적혀있는다섯 개의구슬이들어있다. 주머니에서임의로한개의구슬을꺼내어구슬에적혀있는숫자를확인한후다시넣는다. 이와같은시행을 회반복하여얻은 개의수중에서 개의수의합의최댓값을 이라하자. 다음은 일확률을구하는과정이다. (ⅰ) 인경우 가적힌구슬이 회나올확률은 이고, 가적힌구슬이 회, 이하의수가적힌구슬중 가 한개가 회나올확률은 (ⅱ) 인경우 이다. 가적힌구슬이 회, 가적힌구슬이 회나올확 률은 이고, 112.112 ) 에대하여집합 를 라하자. 집합 의원소중 번째로큰원소는 이다. 의값은? [3 점 ][2017 년사관학교 ] 1 2 3 4 5 가적힌구슬이 회, 가적힌구슬이 회, 이하 의수가적힌구슬중한개가 회나올확률은 나 이다. 다 (ⅰ), (ⅱ) 에서구하는확률은 이다. 위의 ( 가 ), ( 나 ), ( 다 ) 에알맞은수를각각,, 라할때, 의값은? [4 점 ][2017 년사관학교 ] 1 2 3 4 5 113.113 ) 학생 A, B 를포함한 명의학생을임의로 명, 명, 명씩 개의조로나눌때, 두학생 A, B 가같은조에속할확률은? [3점][2017년사관학교 ] 1 2 3 4 5 를만족시키는자연수,,,, 의모든순서쌍 의개수를구하시오. [3 점 ][2017 년사관학교 ] 22 40
그림과 어느 118.118) 자연수 119.119) 한 120.120) 두 경우의수, 확률수학영역 116.116 ) 같이 개의영역으로나누어진도형을서로다른 가지색을사용하여모든영역을칠하려고한다. 다음조건을만족시키도록한영역에한가지색만을칠할때, 그결과로나타날수있는모든경우의수를구하시오. ( 단, 경계가일부라도닿은두영역은서로이웃한영역으로본다.) 의분할중에서짝수로만이루어진것의개수는? [3 점 ][2017 년사관학교 ] 1 2 3 4 5 [4 점 ][2017 년사관학교 ] ( 가 ) 가지의색의전부또는일부를사용한다. ( 나 ) 서로이웃한영역은서로다른색으로칠한다. 개의주사위를던질때짝수의눈이나오는사건을, 소수의눈이나오는사건을 라하자. P P 의 값은? ( 단, 은 의여사건이다.) [3 점 ][2017 년사관학교 ] 1 2 3 4 5 117.117 ) 부대가그림과같은바둑판모양의도로망에서장애 물 ( 어두운부분 ) 을피해 A 지점에서 B 지점으로도로를따라이동하려고한다. A 지점에서출발하여 B 지점까지최단거리로가는경우의수를구하시오. [3 점 ][2017 년사관학교 ] B 학생 A, B 를포함한 명의학생을임의로 명, 명, 명씩 개의조로나눌때, 두학생 A, B 가같은조에속할확률은? [3점][2017년사관학교 ] 1 2 3 4 5 A 23 40
같은 주머니에 수학영역경우의수, 확률 121.121 ) 종류의볼펜 개, 같은종류의연필 개, 같은종류 의지우개 개가필통에들어있다. 이필통에서 개를동시에꺼내는경우의수는? ( 단, 같은종류끼리는서로구별하지않는다.) [4 점 ][2017 년사관학교 ] 1 2 3 4 5 122.122 ),,,,, 의숫자가하나씩적혀있는 개의공이들어있다. 이주머니에서임의로 개의공을차례로꺼낸다. 꺼낸 개의공에적힌수의곱이짝수일때, 첫번째로 꺼낸공에적힌수가홀수이었을확률은 이다. 의값을 구하시오. ( 단, 꺼낸공은다시넣지않고, 와 는서로소인자연수이다.) [4 점 ][2017 년사관학교 ] 24 40
경우의수, 확률수학영역 [ 해설 ] 경찰대, 사관학교 : 확통-경우의수, 확률 갑과을의위치가 A F 이고거리가 이므로 1) 9 의조건에서 원소 는각각 중하나에포함되므로 순서쌍 의개수는 가지 2) 16 집합 와집합 의교집합의원소가 이므로집합 는 을반드시 원소로가져야한다. 그리고 이므로 를결정하면 는 2, 3, 4, 5 에서 를제외한나머지부분이다. 를정하는경우의수는 3) 2 합격자중면접시험에서 85 점이상을받은학생은합격자의 80% 이므로 학생의수는 명이고, 불합격자중면접시험에서 85 점이상을받은학생은불합격자의 30% 이므로 학생의수는 명이다. 그러므로면접시험에서 85 점이상을 받은학생이합격할확률은 ⅱ) HT 일때, 을의위치는 F 이고을의위치는 G 가되어야거리가 이므로 ⅲ) TH 일때, 갑의위치는 A 이고을의위치는 G 가되어야거리가 이므로 ⅳ) HH 일때, 1 갑의위치가 B 이면을의위치는 A 또는 G 가되어야거리가 이고 2 갑의위치가 G 이면을의위치는 A 또는 E 가되어야거리가 이고 3 갑의위치가 F 이면을의위치는 A 또는 G 또는 E 가되어야거리가 이고 그러므로구하고자하는확률 는 4) 1 비밀번호가 9 로나누어떨어지므로 9 의배수이다. 그러므로각자리수의합이 9 의배수이면된다. 천의자리수의숫자를 십의자리의숫자를 라두자. 단 는자연수 ⅰ) 일때, 1 가지 ⅱ) 일때, 8 가지 5) 4 가지 P A P B P B A 에서 P A B P B A P A P A B P A B P B P A B 6) 2 의전개식의일반항은 항의계수는 일때이므로 n n n C n n 7) 4 갑과을이각각동전을던지면경우의수는 TT HT TH HH ⅰ) TT 일때, 8) 1 학년 2 학년 3 학년 A고등학교학생비율 40% 40% 20% 사관학교진학을희망하는학생비율 30% 10% 15% 전체학생중 명을택할때, 사관학교에진학하기를희망하는학생이 택하여지는사건을 E, 학년학생인사건을 A, 학년학생인사건을 B, 학년학생인사건을 C 라두면조건부확률에서 PA E P B E P PA E P B E P C E 9) 2 한번시행에서주머니 A 에흰공이들어있을확률 이라두면 이다. 번시행후주머니 A 에흰공이들어있을확률을 이라 두면 번시행후주머니 A 에흰공이들어있을확률 은 이므로 수열 은첫째항은 이고공비가 인등비수열이므로 10) 부터 까지의자연수중소수는 이고비밀번호는소수가두개 이상포함되어야하므로가장큰수부터생각하면 25 40
수학영역경우의수, 확률 ⅰ) P ( 개 ) 3) 일때 : ( 가지 ) ⅱ) P ( 개 ) ⅲ) 4) 일때 : ( 가지 ) 소수 개포함 C C ( 개 ) 소수 개포함 P ( 개 ) 5) 일때 : ( 가지 ) ⅰ), ⅱ), ⅲ) 까지 개이므로 번째의수는백의자리의숫자가 이고소수를두개포함하는가장큰 수이므로 11) 1학년 2학년 3학년 A고등학교학생비율 사관학교진학을희망하는학생비율 전체학생중 명을택할때, 사관학교에진학하기를희망하는학생이 택하여지는사건을 E, 학년학생인사건을 A, 학년학생인사건을 B, 학년학생인사건을 C 라두면조건부확률에서 PA E P B E P PA E P B EP C E 12) 5 가연결될확률 : 과 가연결될확률 : 따라서, 가능한모든경우의수는 ( 가지 ) 15) 5 상자 A 에서선택한 3 개의공중에서파란공이 개 ( ) 가있는 사건을, 상자 B 에서파란공을선택하는사건을 라고하면 P G P C G P C G P C G P C G P G 16) 5 [ ] [ ] lim lim [에서 로전류가흐를확률 ] 13) 4 A 형학생수를, B 형학생수를, AB 형학생수를, O 형학생수를 라고 하면 -----1 -----2 -----3 -----4 [1 2] : ---1 [3 1 2] : -----2 [3 1 4] : -----4 [2 4 ] : A형은 4명, B형은 1명, AB형은 1명, O형은 4명이다. ( 혈액형에따라서나열하는방법의수 ) ( 가지 ) 14) 3 으로이루어진 자리자연수가 의배수가되려면각자리수의 합이 의배수가되어야한다. 즉, 이가능하다. 각각의경우에대해나열하는방법을고려하면 17) 4 B C A D G E F 정칠각형의 개의꼭지점중에서 개를택하는방법의수는 C ( 가지 ) 이다. 이중에서둔각삼각형이되는경우는 정칠각형의한내각의크기는 이므로그림에서둔각삼각형이되는 경우는 ABC ABD AFE 와같은형태뿐이다. 두경우와같은 모양의삼각형은각각 개가가능하므로둔각삼각형이될확률은 이다. 18) 1 1) 일때 : ( 가지 ) 2) 일때 : ( 가지 ) 벤다이어그램을이용하면 26 40
경우의수, 확률수학영역 19) 5 ㄱ. 십의자리와일의자리수를각각 라하면, 부터 까지의자연수 중에서 개를꺼내는경우와같다. C 가지 ( 참 ) ㄴ. 네자리수인경우 부터 까지의자연수중에서 개를선택하는 경우이므로 C 가지, 다섯자리수인경우 C 가지이다. ( 참 ) ㄷ. 세자리수중에서오름수를백의자리수에따라각각구하면 1) 백의자리수가 인경우 : 부터 까지의수중에서 개를꺼내는방법의수와같다. 즉, C ( 가지 ) 2) 백의자리수가 인경우 : 부터 까지의수중에서 개를택하는경우와같다. 즉, C ( 가지 ) 따라서, 번째로작은오름수는 이다. ( 참 ) 20) 3 첫번째경기에서 B C 가경기해서 B 가이겼으므로두번째경기는 반드시 A B 가경기해야한다. 또한, 전체경기에서 B 는한번만이겼기때문에반드시 A 가이겨야 한다. 세번째경기는 A C 가경기한다는것을알수있다. 또한, A 가진 마지막경기에서 B 가이길수없으므로반드시 C 가이겨야한다. 이로부터 번째경기는 B 가진경기임을알수있다. 번째 경기의결과가다르게되는경우의수를구하면답이된다. 확정된경기 ( ) 의결과를종합하면 A 는 번, B 는 번 승리하였으므로나머지 번의경기에서 A 는 번 B 는 번 승리하여야한다. 이것은 A 가이기지않는두경기가홀수번째경기에서 시작하여연속할때만가능하다. 짝수번째경기는 A 와 B 가경기하기 때문에 A 가진다는것은 B 이기는경우를의미하는데조건에위배되기 때문이다. 따라서가능한경우의수는 가지이다. 21) 5 ㄱ. 갑이당첨제비를뽑을확률 는 을이당첨제비를뽑을확률 는갑이당첨제비를뽑은경우와그렇지 않은경우, 두가지가가능하므로 ( 참 ) ㄴ. 갑이당첨제비를뽑았을때, 을이당첨제비를뽑을확률 한편, 갑이당첨제비를뽑지않았을때, 을이 당첨제비를뽑을확률 는 ( 거짓 ) ㄷ. 갑이당첨제비를뽑았을때, 을이당첨제비를뽑을확률 는 을이당첨제비를뽑았을때, 갑이당첨제비를뽑을확률 는 ( 참 ) 22) 3 첫번째와두번째꺼낸공의색이같은경우와다른경우에대하여나누어 구하면 색이다른경우 색이같은경우 : 노랑공을 개씩두번꺼낸경우이므로남아있는공은 모두빨강공이되어서로다른색의공을꺼낼수없다. 따라서, 구하는 값은 이다. 23) 5 집합 이므로두수의곱의크기에따라나누어 고려하면 두수의곱이 인경우 처음과끝이오는두수가 또는 이고나머지두수가가운데오는 경우의수는 ( 가지 ) 두수의곱이 인경우 두가지즉, 와, 세가지이다. 따라서가능한경우의수는 ( 가지 ) 두수의곱이 인경우 두가지즉, 와 일때가능하다, 따라서, 가능한경우의수는 의 경우와같다. 따라서, 가능한경우의 수는 ( 가지 ) 24) 학년생도수를 라하면여행 개월전에희망지역을변경한생도수는 표와같다. 희망지역유럽미국아시아 최초희망자수 변경한희망자수 따라서, 여행지역을변경한생도 명을임의로택할때, 그생도가최초에 미국지역을택했을확률은 따라서, 25) 함수 는역함수가존재하므로일대일대응이다. 또한 ( 단, ) 라고하면 이므로 로부터 을만족해야한다. 따라서 은 와대응할수있다. 인경우에가능한경우의수는나머지 를일렬로나열하는방법의수와같으므로 ( 가지 ) 이다. 와 인경우에도마찬가지이므로가능한함수 의 개수는 ( 가지 ) 27 40
수학영역경우의수, 확률 26) 1 주어진조건을만족하기위해서 A B c B A c, A B 이다. 따라서가능한순서쌍 A B 의개수는 C C C ( 개 ) 27) 5 세자리자연수의각자리수를 라하면 이므로가능한순서쌍은, 이다. 세수가모두다른경우에는각자리에나열하는방법이 가지이고, 두수가같은경우에는나열하는방법은 가지이다. 따라서모든경우의수는 ( 가지 ) 28) 2 는두개가있으므로뽑은 개의문자중에이들세문자가몇 개가들어있는가에따라나누어고려하자. 전체가능한경우의수는 C ( 가지 ) 이다. 1) 서로다른 개의문자에서 개를선택하는경우 : C ( 가지 ) 2) 서로다른 개의문자에서 개를선택하고 문자중에하나를 선택하는경우 : C ( 가지 ) 여기서 문자 개중에서하나를선택하는방법은모두 가지임을 의미한다. 3) 서로다른 개의문자에서 개를선택하고 중에서 개를 선택하는경우 : C ( 가지 ) 여기서뒤에있는 은 중에서 개의문자를선택하는방법의수를 의미하며, 는선택된두문자에서선택할수있는방법의수를의미한다. 예를들면, 가선택된경우에문자 와 는각각 개씩있으므로 선택할수있는방법은 가지이다. 4) 서로다른 개의문자에서 개를선택하고 중에서 개를 선택하는경우 : C ( 가지 ) 가모두한번씩선택되는경우이고 를선택하는방법이 가지, 와 를선택하는방법또한 가지이므로선택하는방법의수는 가지이다. 따라서구하는확률은 29) 5, 가서로독립, 도독립 P P AP B P A P B (1) P A B c P A P B c P A P B (1) 식을변형하면 P A P B P B (2) 식을 (1) 식에대입하여계산하면 P B (3) 식을 (2) 식에대입하면 P A (3) (2) 28 40 30) 4 인경우 : 인경우 : = 위의두가지이외에는나타나지않으므로구하는모든확률의합은 31) 4 이라두고 의값을구해보면, 32) 3 전체경우의수는 가지 앞면을 H, 뒷면을 T 라하면주어진직선과오직한번만만나는경우는 HHHHH, HHHHT, HHHTH, THHHH, HTHHH 의 5 가지이다. 33) 1 주어진 5 개의돌중에서 3 개의돌을뽑는경우의수는 주어진경우의수는가운데원에돌을놓경우와그렇지않은경우로 분류할수있다. i) 가운데원에색칠하는경우 뽑은 3 개의돌중에가운데배열할돌을뽑는경우의수는 3 가지 이때, 정사각형의네꼭지점에 2 개의돌을배열하는경우의수는 2 개의 돌과 2개의빈자리를돌리는원순열의수와같으므로 가지가있다. ii) 가운데원에색칠하지않는경우 이경우는결국 3 개의돌과한개의빈자리를돌리는경우의수로생각할 수있으므로 i), ii) 는배반사건이므로구하는총경우의수 34) 분할 - 분배의아이디어를활용하여, 이문제에서도먼저숫자들을뽑은 후에나열하는방법을채택하기로하자. 우선, 주어진조건에맞게수를뽑는경우의수를구해보면, 각가로줄마다 숫자를적어도한개씩은택해야하니 4 행의 0 은반드시택해야만한다. 이경우, 2 개의숫자를뽑는열은 0 이포함되어있는 2 열과 0 이없는 1 열, 3 열의경우로나누어서생각할수있다. i) 2 열에서 2 개의수를쓰는경우 2 열의수 2, 5, 8 중 1 개를택하는경우의수는 이때, 1 열에서택할수있는수는 2 열에서택한수를제외한행의 것이어야하므로 그러므로이경우에는숫자를뽑는경우의수가 이된다. ii) 1 열 (3 열 ) 에서 2 개의수를뽑는경우
경우의수, 확률수학영역 1열의수 1, 4, 7 중 2개를택하는경우의수는 2번사용하는수 1번사용하는수 이때, 2열에서는이미 0이택해져있으므로 3열에서는 1열에서뽑지 2 4 않은행의수를택해야하므로경우의수는 1가지가된다. 4 2 2 6 이때, 1열에서 2개뽑는경우와 3열에서 2개뽑는경우는경우의수가 6 2 같다. 4 6 6 4 i), ii) 에서숫자를뽑는총경우의수는 12 가지가된다. 문제조건 ( 가 ) 에서누르는순서가다르면다른것으로취급하자고하였기 때문에주어진 4 개의숫자를나열해주어야한다. 4 개의서로다른수를나열하는경우의수는 숫자판의수를누르는방법 35) 4 명의경위가서로다른세순찰차에탑승하는방법의수는 ( 가지 ) 명의순경이 명, 명, 명의세조로나뉘어서로다른세순찰차에 탑승하는방법의수는 C C C 따라서탑승하는방법의수는 ( 가지 ) 36) 5 ( 가지 ) 개의주사위를던져서나온눈의수의최댓값이 5 가되기위해서는 의 눈은나오지않아야하고 의눈은적어도하나가나와야한다. 의눈이나오지않을확률은, 의눈이나오지않을확률은 이므로 6의눈은나오지않고, 5의눈은적어도하나가나올확률은 P 이다. 따라서 P 37) 5 원소의개수가 인집합 를만드는경우의수는 C 전체집합의원소 개에서집합 의원소 개를제외한 개를 이용하여집합 를만드는경우의수는 그런데, 조건에서 이므로집합 의원소중하나를집합 에넣어주면된다. 따라서구하는경우의수는 C ( 가지 ) 38) 1 9 의배수 자릿수의합이 9 의배수여야한다. 1, 2, 3 을 4 번이하로사용한숫자의합으로만들수있는수의조합은 (2, 2, 2, 3), (1, 2, 3, 3) 의 2 가지가있다. 또한, 이 2가지를나열하면그수자체가하나의자연수에대응되므로 39) 5 최대공약수가 2 라고하였으므로짝수에서그경우를따져주면된다. 짝수는 2, 4, 6 이있고, 사용하는짝수의수에따라분류할수있다. i) 숫자를 1 개만사용하는경우 이경우는세번모두 2 가나오는경우만해당하므로경우의수는 1 가지이다. ii) 숫자를 2 개사용하는경우 사용하는숫자의수를나눠서새는방법은다음과같이나타낼수있다. 29 40 총 6가지경우가생기고, 에배분하는경우는각각 이므로총 18가지가나온다. iii) 숫자 3 개를사용하는경우 이경우는 2, 4, 6 을모두사용하는경우이므로 2, 4, 6 을 에배분하는경우의수와같으므로 총 6가지의경우의수가있다. 확률 40) 2 이므로결국 개의수중 과 이동시에나타나지않으면 된다. 1 을제외한나머지 5 개의수로 개의자리를채우는사건을, 6 을제외한나머지 5 개의수로 개의자리를채우는사건을 라두면 6 개의수로 개의자리를채우는경우의수는 이다. 41) 1 방향을바꾼다는것은가로세로의진행방향이바뀐다는것을의미한다. (ex :, ) 즉, 7 번방향을바꾼다는것은가로의진행방향과세로의진행방향으로 각각 4 번씩진행할때, 와같이꺾이는부분이 7 군데발생한다는 것이다. 이때 방향이 4 번, 방향이 4 번나와야된다. 이때, 세로방향은 4 칸, 가로방향은 5 칸이므로가로방향에서한번은 2 칸을 연속으로진행해야한다. 또가로방향과세로방향이서로엇갈려서나와야하므로경우의수는 가로방향진행으로시작하는경우와세로방향의진행으로시작되는경우로 나눌수있다. i) 가로방향으로진행을시작하는경우 으로진행하는경우이고, 4 개의가로방향진행중 2 칸을 움직일순간을구하면되므로총 4 가지의경우가있다. ii) 세로방향으로진행을시작하는경우 으로진행하는경우이고, 4 개의가로방향진행중 2 칸을 움직일순간을구하면되므로총 4 가지의경우가있다. i), ii) 에서총경우의수는 8 가지가있다. cf) 선택지에나와있는숫자가적으므로직접세어도된다. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 42) 2 i) 가모두다른경우 5 는반드시포함되어야하기때문에우선 1, 2, 3, 4 중한개의수와 6, 7, 8, 9, 10 중한개의수를선택해야한다. 선택하는경우의수는 이고세수를 에배분하는경우의
수학영역경우의수, 확률 수는 이므로총 120가지의경우가생긴다. 에서 이므로 의배수인세자리자연수는 ii) 중 2 개의수가같은경우 가 이여야하므로 가 2 번등장하고나머지숫자중한개를뽑으면 된다. 나머지숫자중 1개를뽑는경우의수가 9가지이고같은것이 2개 포함된 3개의숫자를배열하는경우의수는 이므로총 27가지의 경우가생긴다. iii) 인경우 : 1 가지 확률 43) 4 A C P 주어진도형을 PQ 를기준으로펼치면된다. 주어진경우의수는위의그림에서 A 에서 C 로가는경우의수와같다. 44) 값이증가함에따라 값이증가한다. 즉, 순서가정해진수열이므로내가구하고자하는경우의수는 5장의카드중 4장을뽑아주기만하면자동배열되므로 C 가지가있다. 전체경우의수는중복순역이므로 이므로 확률 B Q 총 개이다. 또한 의배수는각자리의숫자의합이 의배수이므로어느한자리에 가포함된 의배수는나머지두자리수의합이 의배수이다. 이때, 를제외한두자리수를순서쌍으로나타내면합이 인경우 합이 인경우, 합이 인경우,,, 합이 인경우,,,, 합이 인경우,,, 합이 인경우, 합이 인경우 위의각경우에 를포함시켜 의배수인세자리의자연수를구하면 (ⅰ), 인경우 : 의 개 (ⅱ) 인경우 : 의 개 (ⅲ) 와같이 이포함되고각자리수가다른경우 : ( 개 ) (ⅳ) 와같이 이포함되지않고각자리수가다른경우 : 이 포함되지않고각자리수가다른경우가총 가지이므로 ( 개 ) (ⅴ) 와같이같은수가 개포함된경우 : 같은수가 개포함된 경우가총 개이므로 ( 개 ) 따라서일의자리의수또는십의자리의수또는백의자리의수가 인 자연수의개수가 이므로구하는확률은 47) 2 월의마지막날은 일이므로 일을순찰하면 일은순찰하지않는다. 이를연이어순찰하지않으면서 일순찰하는방법의수는순찰하지않는 날사이사이와양끝에순찰하는날을끼워넣는방법의수와같다. 즉, 순찰하지않는 일사이사이와양끝 군데중 군데를선택하는 경우의수가 C 이므로구하는방법의수는 C 이다. 45) 3 확률과통계배움 확률과통계 배우지않음 통계학성적이 A 학점 6 2 8 통계학성적이 A학점이아님 [ 다른풀이 ] 계 24 18 42 계 30 20 50 입교전확률과통계를배우는사건을 A, 확률과통계과목에서 A 학점을받을사건을 B, 사관학교생도생수를 라두면 P A B P A B P BA P P A A B PA B c 46) 2 의배수인세자리자연수를작은수부터차례로나열하면첫째항은, 끝항은 이고, 공차가 인등차수열을이룬다. 48) 4 인경우자연수의개수는 인경우자연수의개수는 인경우자연수의개수는 여기까지자연수의개수가 이므로 번째항은첫번째 자리의수가 이다. 인경우자연수의개수는 인경우자연수의개수는 인경우자연수의개수는 여기까지자연수의개수가 이므로 번째항은두 번째자리의수가 이다. 인경우자연수의개수는 인경우자연수의개수는 인경우자연수의개수는 여기까지자연수의개수가 이므로 번째항은 로 시작하는 자리자연수중가장큰수인 이다. 49) 3 A 그룹에서 2명, B 그룹에서 2명이동시에상대방그룹으로움직이는 경우를표로나타내면다음과같다. 30 40
경우의수, 확률수학영역 A B B A 이동후 A 그룹이동후 B 그룹 C 남2 남2 남2, 여2 남2, 여2 ⅰ), ⅱ) 에서구하는방법의수는 남2 남1, 여1 남1, 여3 남3, 여1 남2 여2 남0, 여4 남4, 여0 54) 323 남1, 여1 남2 남3, 여1 남1, 여3 ( 규칙1) 에따라 번, ( 규칙2) 에따라 번움직였다하면남1, 여1 남1, 여1 남2, 여2 남2, 여2 남1, 여1 여2 남1, 여3 남3, 여1 여2 남2 남4, 여0 남0, 여4 위연립방정식을풀면 가나온다. 여2 남1, 여1 남3, 여1 남1, 여3 여2 여2 남2, 여2 남2, 여2 표에서 A 그룹에남자 1 명과여자 3 명이있는경우는굵은글씨와밑줄로 표현된부분이다. 이때, A 그룹에서 B 그룹으로이동할 2 명을뽑는경우의수는 C 이고, B 그룹에서 A 그룹으로이동하는인원을뽑는경우역시 C 이다. A 그룹에서 B 그룹으로남자 2 명이가는경우의수는 C 이고 B 그룹에서 A 그룹으로남자 1 명, 여자 1 명이가는경우의수는 C C 이다. 또한, A 그룹에서 B 그룹으로남자 1 명, 여자 1 명이가는경우의수는 C C 이고 B 그룹에서 A 그룹으로여자 2명이가는경우의수는 C 이다. 구하고자하는확률 C C C C C C C C 50) 3 에서 부분을제외하고나면 각소인수들을두집합으로분할하는경우의수 가지 두분할중에서큰것은, 작은것은 로지정 51) 1 ( 가 ) ( 나 ) C ( 나 ) ( 다 ) 이므로 ( 다 ) ( 가 ), ( 나 ), ( 다 ) 이때, 내가원하는사건이한번일어날확률은 이고 그러한경우는 2개, 3개를나열하는경우만큼존재하게된다. 5번의이동으로 에도달할확률 55) 1 이두번, 가한번곱해지거나 이한번, 이두번곱해지거나, 이각각한번, 가두번곱해지거나 이세번 가한번곱해질때, 이만들어지므로 의계수는 에서 56) 4 P C P C 57) 3 먼저사격한선수만 10 점을얻는사건을 C, 먼저사격한선수가 A인사건을 A라하면, 를구하는문제이다. 먼저 점득점 먼저 점득점 52) 1 실제감염됨 실제감염안됨 감염으로진단 188 6 비감염으로진단 12 294 53) 2 ⅰ) A, B 의구역을어느한경찰관이맡는경우다른경찰관은 C, D, E, F의구역을순찰하게되므로이때순찰하는방법의수는 C ⅱ) A, B 의구역을두경찰관이하나씩맡는경우두경찰관은구역 C, D, E, F 중두구역씩맡게되므로이때순찰하는방법의수는 58) 3 남학생 여학생 안경을쓴학생 명 명 안경을안쓴학생 명 ( ) 명 두사건 가독립이므로,,,, 59) 1 좌상 / 우하를지나는경우 가지씩 31 40
수학영역경우의수, 확률 중상 / 중하를지나는경우 가지씩 63) 3 좌중 / 우중를지나는경우 가지씩 먼저사격한선수만 10점을얻는사건을 C, 좌하 / 우상을지나는경우 가지씩먼저사격한선수가 A인사건을 A라하면, 중앙점을지나는경우 가지 를구하는문제이다. 따라서 가지 먼저점득점 먼저 점득점 60) 5 여사건을이용한다. 조건 ( 가 ) 와 ( 나 ) 를만족하는함수 중에서조건 ( 다 ) 를만족하지않는 함수 를제거하면되므로 조건 ( 가 ) 와 ( 나 ) 를만족하는함수 의개수 : 조건 ( 가 ) 와 ( 나 ) 를만족하면서조건 ( 다 ) 를만족하지않는함수 의개수 : 함수,,, 중하나의값을가진다. 이때, 라면 이면 이므로 ( 일때 중하나를선택 ) 또는 ( 일때, 나머지숫자가배열되는 에서 일때의함수의개수를뺀다.) 이다. 따라서함수의개수는 개다. [ 다른풀이 ] 함성함수 가정의되기위해서는 의함숫값으로 은 선택될수없다. 그러므로 이면 이므로나머지 의 의 원소가일대일대응하면되므로 가지 이면 로서로크로스로연결되고 나머지수가일대일대응하면되므로 가지이다.,, 일때도 와마찬가지이므로 에의하여 가지 61) 4 개의과일을 사람에게나누어주려면먼저 개의과일꾸러미로 분할을한다. 개 개 개 개로먼저분할하는방법은 다시 사람에게분배하는방법은 개를받은학생이같은종류의과일을받을수있는경우의수는ᄀ과일 개를받은학생의경우수 : 가지 ( 학생 명 ) ᄂ과일의종류 : 사과로써같을때, 복숭아로써같을때 ᄃᄀ ᄂ이결정될때나머지 3 개의과일이나머지 학생에게나누어 줄수있는경우수 : 에서 개를받은학생이같은종류의과일을받을수있는경우의수 : ( 사과 개가한학생에게분배되는모든경우 : 복숭아 개가한학생에게분배되는모든경우 : ) 따라서확률은 62) 네개모두홀수가되는경우의수를전체의경우의수에서뺀다. : 전체경우의수 : 네개모두홀수가되는경우의수 64) 2 의배수는십의자리이하가 또는 또는 이다. ⅰ) 꼴인경우의수는 천의자리에 이오면안되므로 ( 가지 ) ⅱ) 꼴인경우의수는 ( 가지 ) ⅲ) 꼴인경우의수는 천의자리에 이오면안되므로 ( 가지 ) ⅰ), ⅱ), ⅲ) 에서구하는경우의수는 ( 가지 ) 65) 3 와 를정하는모든방법의수는각각 P 인데이중에서 와 의각자리의수를비교하였을때, 어느자리의수도서로갖지않는 경우는 와 의숫자조합이같은경우와같지않은두가지의경우가있다. 우선 일때를살펴보자. ⅰ) 와 의숫자조합이같은경우 의 이위치한자리에 가위치한 는다음과같이 개이다. 의 이위치한자리에, 가위치한 도마찬가지이므로 이경우를만족하는서로다른 의개수는 개이다. ⅱ) 와 의숫자조합이다른경우 우선 에 이없고 가포함된경우를살펴보자. 의 이위치한자리에 가위치한 는다음과같이 개이다. 의 가위치한자리에 가위치한 는다음과같이 개이다. 의 이위치한자리, 의 가위치한자리에 가위치한 도마찬가지로 개이다. 따라서 에 이없고 가포함된경우조건을만족하는 의개수는 이다. 에 가없고 가포함된경우, 이없고 가포함된경우, 가없고 가 포함된경우도모두같으므로이경우를만족하는서로다른 의개수는 개이다. ⅰ), ⅱ) 에서 ( ) 가결정되었을때, 조건을만족하는 의개수는 개이므로구하는확률은 이다. 32 40
경우의수, 확률수학영역 를만족하는순서쌍의개수는 66) 1,,,, 인경우이므로 H H H H H ⅰ) 일때, 이고 C C C C C 이때, 순서쌍 를정하는방법의수는 가지 ( 개 ) ⅱ) 일때, 이고, 를만족하는순서쌍의개수도각각 개다. 이때, 순서쌍 를정하는방법의수는 가지따라서구하는확률은 ⅲ) 일때, 이고 이때, 순서쌍 를정하는방법의수는 가지 ⅳ) 일때, 이고 이때, 순서쌍 를정하는방법의수는 가지 ⅴ) 일때, 이고 이때, 순서쌍 를정하는방법의수는 가지 ⅰ)~ⅴ) 에서구하는확률은 67) 4 조건 ( 다 ) 에의해서 P P P 이므로 P P P P 조건 ( 가 ), ( 나 ) 에맞게벤다이어그램을그리면다음과같다. 70) 4 ⅰ) 남학생또는여학생수가 명인경우에대표를선출하는방법의수는 C C 이경우주어진조건을만족시키지못한다. ⅱ) 남학생또는여학생수가 명인경우에대표를선출하는방법의수는 C C C C 이경우주어진조건을만족시키지못한다. ⅲ) 남학생과여학생수가모두 명이상인경우에대표를선출하는방법의 수는 남학생의수를 이라할때, C C C C 에서 또는 ⅰ), ⅱ), ⅲ) 에서남학생수와여학생수는각각 명, 명또는 명, 명이다. 따라서구하는남학생수와여학생수의차는 이다. 조건 ( 가 ) 에의해서 이고 조건 ( 나 ) 에의해서 P P 이므로 P P P P P 68), 라하면, 가음이아닌정수이므로 에서, ⅰ) 을만족하는순서쌍 을정하는 방법의수는 H H C C ⅱ) 을만족하는순서쌍 을정하는 방법의수는 H H C ⅰ), ⅱ) 에서구하는순서쌍의개수는 69) 3 세주사위를 A, B, C 라하고 주사위 A, B, C 를던져나온눈의수를각각,, 라하자. 71) 5 에서 항의계수는 C C 에서 항의계수는 C C 에서 항의계수는 C C 에서 항의계수는 C C 따라서구하는계수는 C C C C C C C C C C C C C C C C C C C [ 다른풀이 ] 위풀이에서 C C C C [ 다른풀이 ] 주어진다항식은첫째항이 이고공비가 인등비수열의 첫째항부터제 항까지의합이다. 33 40
수학영역경우의수, 확률 따라서주어진다항식은 에서,,, 라하면ᄀ을만족하는자연수해의개수는 를만족하는음이아닌정수해의개수와같다. 따라서구하는방법의수는 따라서구하는 의계수는 의 의계수와같다. 따라서구하는계수는 H C C C 72) 3 집합 를정하는방법의수는 C 집합 는집합 의원소를반드시포함해야한다. 이때, 집합 의원소는포함해도그렇지않아도되므로집합 에대하여 집합 를정하는방법의수는 이다. 따라서가능한순서쌍 의개수 는 lim lim 73) 4 정보 가 의송신신호로바뀌는사건을 라하고송신신호가수신신호 로전송되는사건을 라할때, 구하는확률은 P 이다. 주어진조건에의해서 P, P P, P 이므로 P P P P P P PP PP P P 74) 4 정회원을 A, B 라하고준회원을 C, D 라하자. A, B, C, D 가받는사은품의개수를각각,,, 라하면 구하는방법의수는,, ᄀ 를만족하는자연수해의개수와같다. 75) 160 의전개식의일반항은 C C 이다. 에서 이므로 구하는 의계수는 C 76) 4 전체문자열의개수는 가포함되지않은문자열의개수는 문자열이 를반드시포함하는사건은문자열이 를포함하는사건의 여사건이므로 여사건의확률에의하여구하는확률은 77) 393 I, C, E, M, A, N 을알파벳순서대로나열하면 A, C, E, I, M, N 이다. POLA 인문자열은 개 POLC 인문자열은 개 POLE 인문자열은 개 POLIA 인문자열은 개 POLIC A 인문자열은 개 POLIC E A 인문자열은 개 POLIC E MAN 은 POLIC E A 인문자열다음으로등장하므로 구하는수는 이다. 78) 720 일때, C C C C C C 34 40
경우의수, 확률수학영역 따라서사건 가일어날때놀람의정도는 P log log log log log log 79) 2 82) 3 제품이세공장,, 에서생산되는제품일사건을각각,, 라 하고제품이불량일사건을 라하면 P, P, P 이고 P, P, P 이다. 집합 의각원소가위벤다이어그램의,,,, 의위치중어느 하나에속하게될때, 집합,, 가주어진조건을만족시킨다. 따라서집합,, 를정하는방법의수 이다. 80) 45 가 의배수이므로 도 의배수이어야한다.,, 가자연수이므로,,,,, 이고이때,,,,,,,,, 이다., 이라하면,,,, 이고순서쌍 을정하는방법의가짓수는 H H H H C C C C C C C C C C C C 이다. 따라서구하는순서쌍의개수는 개다. 81) 2 log log 이고확률이 인사건이일어날때, 놀람의정도가 이므로 log, log 조건 ( 가 ) 에의하여 P C 두사건, 가동시에일어날때, 놀람의정도가 이고 조건 ( 나 ) 에의하여 P PP 이므로 log PP P P P P P P P P P PP PP PP PP 따라서 에서 이다. 83) 1 네자리자연수의각자리의숫자를천의자리부터차례로,,, 라 하면구하는자연수의개수는 이고 을만족시키는음이아닌정수의순서쌍 의개수와같다. 를만족시키는순서쌍의개수는 H C C 이다. 이중 인순서쌍의개수는 를만족시키는순서쌍의 개수와같으므로 H C C 이다. 따라서구하는자연수의개수는 이다. 84) 182 가위바위보를한번할때, 지호가사탕을 개받는경우는가위바위보에서이긴경우이므로확률은 이고 사탕을 개받는경우는가위바위보에서비기거나지는경우이므로확률은 이다. 게임에서사탕을 번받는횟수를, 번받는횟수를 라할때, 에서,, 이다. ⅰ) 인경우확률은 C ⅱ) 인경우확률은 C ⅲ) 인경우확률은 C 35 40
수학영역경우의수, 확률 ⅰ), ⅱ), ⅲ) 에서구하는확률은 89) [ 다른풀이 ] 가위바위보를한번할때, 백의자리의수를 ( ), 십의자리의수를, 일의자리의수를 라하면 지호가사탕을 개받는경우는가위바위보에서이긴경우이므로,, 가이순서대로등차수열을이루므로, 가성립한다. 사탕을 개받는경우는가위바위보에서비기거나지는경우이므로 인경우는존재하지않으므로 는 이하의자연수이고 이때, 는짝수이다. 지호가받은사탕의총개수가 개인경우가생길확률을 이라할때, 지호가받은사탕의총개수가 개인경우는사탕을 개가지고 있는상태에서가위바위보에서비기거나질때, 또는사탕을 개가지고 있는상태에서가위바위보에서이기는경우이므로다음점화식이성립한다. 이므로 은공비가 인등비수열을이룬다., 이므로 85) 4 꺼낸공을다시넣지않으므로 전체경우의수는 P 이고 조건을만족시키는경우의수는 C 이다. 따라서구하는확률은 P 86) 3 C 뽑히는네수를작은수부터차례로,,, 라하면 조건을만족시키는,,, 는,, 이고, 이다. 따라서 이성립한다. 이때, 이하의자연수중에서위부등식을만족시키는네자연수,,, 를정하는방법의수는 H 이다. 따라서구하는방법의수는 H C 이다. 87) 4 꺼낸공을다시넣지않으므로 전체경우의수는 P 이고 조건을만족시키는경우의수는 C 이다. 따라서구하는확률은 P C 와 의값이정해지면 로 도정해지므로 구하는자연수의개수는 가짝수가되도록 와 를정하는방법의 수와같다. ⅰ) 가홀수인경우 도홀수이어야한다. 보다작은홀수는,,,, 이므로 와 를정하는방법의수는 ⅱ) 가짝수인경우 는 또는짝수이어야한다. 보다작은짝수는,,, 이므로 와 를정하는방법의수는 ⅰ), ⅱ) 에서구하는자연수의개수는 90) 4 P P P 이므로 P, P 에서 P P P P 91) 5 이므로,, 는모두 (,,, ) 꼴로나타낼수있는자연수이다.,, 라할때, 이므로 순서쌍 의개수는 을만족시키는음이아닌정수,, 의순서쌍 의개수와같다. 따라서구하는순서쌍 의개수는 C C 92) 주사위를한번던질때, 의배수의눈의나올확률은 이고 의배수가아닌눈이나올확률은 이다. 따라서주사위를한번던질때, 주머니 A 에서공을꺼낼확률은 이고 88) 1 예약한손님이예약을취소할확률은 예약한손님 명중예약을취소한사람이 명이하면좌석이부족하므로 이때의확률은 C C 주머니 B 에서공을꺼낼확률은 이다. 주어진조건을만족시키는경우는 주머니 A 에서흰구슬을 개씩 번꺼내고, 주머니 B 에서검은구슬을 개씩 번꺼내는경우이다. 주사위 번을던지는시행중주머니 A 와 B 에서각각 개씩의구슬을 꺼낼확률은 C 주머니 A 에서공을꺼내는두번의시행에서모두흰구슬을꺼낼확률은 36 40
경우의수, 확률수학영역 주머니 B 에서공을꺼내는두번의시행에서모두검은구슬을꺼낼 확률은 따라서구하는확률은, 93) 1 주머니 A 에있는검은공의개수가주머니 B 에있는검은공의개수보다 크므로시행을마친후두주머니안에있는검은공의수가같으려면 주머니 A 에서적어도하나의검은공을꺼내어주머니 B 에넣어야한다. ⅰ) 주머니 A 에서검은공 개를꺼내어주머니 B 에넣는경우 주머니 B 에서검은공 개, 흰공 개를꺼내어주머니 A 에넣어야두 주머니에있는검은공의개수가서로같아진다. 이때의확률은 C C C C C ⅱ) 주머니 A 에서흰공 개, 검은공 개를꺼내어주머니 B 에넣는 경우 주머니 B 에서흰공 개를꺼내어주머니 A 에넣어야두주머니에있는 검은공의개수가서로같아진다. 이때의확률은 C C C C C A 지점에서 P 지점까지최단거리로가는경우의수는 A지점에서 C지점까지최단거리로가는경우의수 이다. P 지점에서 B 지점까지최단거리로가는경우의수는 D 지점에서 B지점까지최단거리로가는경우의수 이다. 따라서이때의경우의수는 이다. ⅰ), ⅱ), ⅲ) 의경우는동시에일어나지않으므로구하는경우의수는 이다. 95) 4 96) 4 P P P ⅰ), ⅱ) 에서구하는확률은 94) 2 도로망을따라 A 지점에서출발하여 B 지점까지최단거리로갈때, 그림의 P, P, P 지점중어느한지점을지난다. 두사건, 가서로독립이므로 P PP P P P P P P P P 97) (ⅰ) 첫번째꺼낸공과두번째꺼낸공이모두흰공일확률은 C C C C (ⅱ) 첫번째꺼낸공이검은공이고두번째꺼낸공이흰공일확률은 C C C C ⅰ) A P B 인경로로이동하는경우 A 지점에서 P 지점까지최단거리로가는경우의수는, P 지점에서 B 지점까지최단거리로가는경우의수는 이므로 이때의경우의수는 이다. ⅱ) A P B 인경로로이동하는경우 A지점에서 P 지점까지최단거리로가는경우의수는, P 지점에서 B지점까지최단거리로가는경우의수는 이므로 이때의경우의수는 이다. ⅲ) A P B 인경로로이동하는경우 (ⅰ), (ⅱ) 에의하여 98) 이상의눈이나오는횟수를 라하면 이하의눈이나오는횟수는 이므로 점 A 의위치는 이고 점 B 의위치는 이다. 이때, 두점 A, B 사이의거리는 37 40
수학영역경우의수, 확률 이다. 에서 C C C C, 즉 (ⅰ), (ⅱ) 에서구하는확률은 주사위를던져 이상의눈이나올확률은 이므로 확률변수 는이항분포 B 를따른다. 따라서두점 A, B 사이의거리가 이하가될확률은 P P P C C, 99) 선택된 개의좌석을 로표현하자. A B C D E 조건을만족시키려면 A, E 자리엔각각 개이상의좌석이놓이면되고, B, C, D 자리엔각각 개이상의좌석이놓이면된다. A, B, C, D, E 자리에놓이는좌석의수를각각,,,, 라하면,, 이라하면 구하는경우의수는위의등식을만족시키는음이아닌정수,,,, 의순서쌍 의개수와같다. 따라서구하는경우의수는 C C 100) 5 H H H C C C [ 참고 ] 을만족시키는음이아닌정수,,, 을 정하는방법의수는 H 이다. 그런데 이면 을 만족시키는음이아닌정수 이존재하므로결국 H H 이다. 위의공식에의하여 H H H H H 로계산할수있다. 101) 2 각구역을순찰하는순경의인원수를 라하면, 인정수해의가짓수를구하면된다. 이는 이므로 이다. 102) 4 (ⅰ) 첫번째꺼낸공이흰공또는파란공이었을때, 두번째꺼낸공이 검은공일확률은 C C C C (ⅱ) 첫번째꺼낸공이검은공이었을때, 두번째꺼낸공도검은공일 확률은 103) 앞면이보이도록바닥에놓여있는동전의개수가, 뒷면이보이도록바닥에놓여있는동전의개수가 일때, 로 나타내기로하면 최초의상태는 이고 번의시행의결과도 이다. 가능한경우를표를이용하여나타내면다음과같다. (ⅰ) 의확률은 시행 시행 시행 (ⅰ) (ⅱ) (ⅲ) (ⅳ) (ⅴ) (ⅵ) C C C C C C C (ⅱ) 의확률은 C C C C (ⅲ) 의확률은 C C C C C C C (ⅳ) 의확률은 C C C C C C (ⅴ) 의확률은 C C C C C C C (ⅵ) 의확률은 C C C C C C C C C (ⅰ)~(ⅵ) 에서 104) 4 에서 개를뽑고 에서 를대응시키고 에서 를대응시킨다. ( 의치역 개를먼저순열로대응시킨후 나머지하나를대응시킴 ) 따라서 개다. 105) 2 은주어진조건을만족하지못하니제외하고 ( 가 ),( 다 ) 에의하여다음경우로나누어생각할수있다. or 이때 ( 나 ) 에의하여각자리수의합이 의배수가되면안된다. 0 부터 9 까지 으로나눈나머지를살펴보자. 38 40
경우의수, 확률수학영역 나머지가 나머지가 나머지가 112) 5 이면,, 각각 5가지 = 25가지 이므로백의자리와십의자리의나머지의합이 2 가되어서는안된다. 따라서 전체경우에서나머지의합이 2 가되는경우를제외하면, 이고 의경우 2 가지이니 개다. or 같은방법으로백의자리와십의자리의나머지의합이 3 이되어서는 안되므로 이고 의경우 2 가지이니 개다. 따라서 개다. 106) 3 이므로실수가되기위해선 이어야한다. 따라서가능한순서쌍 는 개이므로 이다., 이면 : 5 가지, 이면 : 5 가지, 이면 : 5 가지 여기까지 40번째수이므로 41번째로큰수는,, 일때이다. 113) 2 전체경우의수 A, B 가 3 명인조에속하는경우의수 A, B 가 2 명인조에속하는경우의수 A, B가같은조에속할확률 107) 3 다음상황은정의역 공역, 에대하여 전사함수가될확률을구하는문제이다. 따라서 이다. 108) 친구들에게날짜를분배하는방법을생각하자. (1) 각 일씩분배한경우 (2) 1 일 2 일 3 일씩분배한경우 (3) 0 일 3 일 3 일씩분배한경우 이므로 이다. 109) 4 전체경로중불가능한경로를제거하자 전체경로는 불가능한경로는 의경우 의경우 이므로 이다. 110) 1 111) 1 0 1 2 3 계 1 114) 4 (ⅰ) 주어진확률은 가 (ⅱ) 주어진확률은 (ⅲ) 구하는확률은 115) 90 다 나, 이므로준식을만족하는자연수순서쌍은 이다. 116) 72 ㄱ ) 3 가지색으로칠하는경우 : 색결정 칠하는방법 ㄴ ) 4 가지색으로칠하는경우 중복색결정 4 가지 중복위치결정 2 가지 나머지색칠하는방법 3! 117) 62 P A 경유 : 가지 경유 : Q 경유 : 가지 가지 118) 1 R B 가지 39 40
수학영역경우의수, 확률 개 119) 1 120) 2 전체경우의수 A, B 가 3 명인조에속하는경우의수 A, B 가 2 명인조에속하는경우의수 A, B가같은조에속할확률 121) 4 구하는경우의수는 을만족하는정수 순서쌍의개수이다. 인경우 : 여기서제외할경우의수는 인경우 : 2 가지, 인경우 : 1 가지 도각각 3 가지 122) 28 ( 세수의곱이짝수 ) ( 세수모두홀수 ) ( 홀, 홀, 짝 ) ( 홀, 짝, 홀 ) ( 홀, 짝, 짝 ) 구하는확률 40 40