1 경우의수 장미 일 ::8879 1 경우의수 1 경우의수 일 ::4716 일 ::2079 유형 01 [1] 합의법칙 경우의수 두사건, 가일어나는경우의수각각각, 이고두사건, 가동시에일어나지않을때, 사건 또는사건 가일어 나는경우의수는 이고이를합의법칙이라고한다. [2] 곱의법칙 사건 가일어나는경우의수가 이고사건 가일어나는경우 의수가 일때, 사건 와사건 가동시에일어나는경우의수 는 이고이를곱의법칙이라고한다. [ 참고 ] 이므로 의약수의개수는 의약수의개수와 의약수의개수의곱인 이다. 경우의수는합의법칙이나곱의법칙을이용하여숫자를배열하 는경우의수을구하거나색칠하는방접의수를구하는문제가출 제된다. 2. 2. [ 정답률 : 63%], 인두자연수, 에대하여 이자연수가되도록하는순서쌍 의개수는? 1 2 3 4 5 [3 점 ][2010( 나 ) 9 월평가원 26] 1. 1. [ 정답률 : 78%] 송이, 카네이션 송이, 백합 송이가있다. 이중 송이를골라꽃병 A 에꽂고, 이꽃과는다른종류의꽃들중꽃 병 B 에꽂을꽃 송이를고르는경우의수를구하시오. ( 단, 같은 종류의꽃은서로구분하지않는다.) [4 점 ][2016( 가 ) 10 월 / 교육청 26] 3. 3. [ 정답률 : 77%] 집합 에서선택한세개의원소 이 을만족시키는경우의수는? ( 단, < < 이다.) 1 2 3 4 5 [3 점 ][2006( 나 ) 6 월 / 평가원 9] 꽃병 A 꽃병 B 1
1 경우의수 1 경우의수 일 ::1385 일 ::2355 1 경우의수 일 ::5338 4. 4. 집합,, 은다음과같다. [ 정답률 : 84%],, 집합 에서한개의원소를선택하여백의자리의수, 집합 에서한개의원소를선택하여십의자리의수, 집합 에서한개의원소를선택하여일의자리의수로하는세 자리의수를만들때, 각자리의수가모두다른세자리의수의 개수는? 1 2 3 4 5 [3 점 ][2005( 나 ) 9 월 / 평가원 8] 6. 6. [ 정답률 : 34%] 집합 에대하여 에서 로의 함수 는다음조건을만족시킨다. ( 가 ) 의모든원소 에대하여 이다. ( 나 ) 이면 이다. 함수 의개수를구하시오. [4 점 ][2016( 가 ) 3 월 / 교육청 29] 5. 5. [ 정답률 : 37%] 그림과같은모양의종이에서로다른 가지색을사용하여 색칠하려고한다. 이웃한사다리꼴에는서로다른색을칠하고, 맨 위의사다리꼴과맨아래의사다리꼴에서로다른색을칠한다. 개의사다리꼴에색을칠하는방법의수를구하시오. [4 점 ][2008( 나 ) 6 월 / 평가원 25] 2
2 순열 그림과 일 ::4697 2 순열 2 순열 2 순열 여학생 일 ::3117 일 ::2146 일 ::698 유형 02 순열 서로다른 개에서 개를택하여일렬로배열하는것을 개에서 개를택하는순열이라하고, 이순열의수를기호로 P 와같이 나타낸다. P ( 단, ) [ 참고 ] (1) P, 로정의한다. (2) P ( 단, ) 8. 8. [ 정답률 : 89%] 명이먼저, 남학생 명이나중에한명씩차례로놀 이공원에입장하려고한다. 이학생 명이놀이공원에입장하는 방법의수는? 1 2 3 4 5 [3 점 ][2007( 나 ) 9 월 / 평가원 7] (3) P P ( 단, ) 순열에대한문제는다양한형태로출제되므로단순히공식만암기하지말고그원리를이해하도록한다. 7. 7. [ 정답률 : 68%] 같이경계가구분된 개지역의인구조사를조사원 명이담당하려고한다. 명중에서 명은서로이웃한 개지역 을, 나머지 명은남은 개지역을각각 개씩담당한다. 이조사 원 명의담당지역을정하는경우의수는? ( 단, 경계가일부라도닿은두지역은서로이웃한지역으로본다.) [3 점 ][2010( 나 ) 9 월평가원 7] 9. 9. [ 정답률 : 84%] 여학생 명과남학생 명이순서를정하여차례로뜀틀넘기 를할때, 여학생 명이연이어뜀틀넘기를하게되는경우의수 는? 1 2 3 4 5 [3 점 ][2006( 나 ) 9 월 / 평가원 6] 1 2 3 4 5 10. 10. [ 정답률 : 77%] 을한번씩만사용하여만들수있는여섯 자리자연수중에서일의자리의수와백의자리의수가모두 의 배수인자연수의개수를구하시오. [3 점 ][2005( 나 ) 6 월 / 평가원 21] 3
2 순열 2 순열 일 ::4578 일 ::4084 2 순열 2 순열 일 ::3958 일 ::110 11. 11. [ 정답률 : 80%] 개의본사와 개의지사로이루어진어느회사의본사로 부터각지사까지의거리가표와같다. 지사가나다라마 13. 13. [ 정답률 : 80%] 다음그림의빈칸에 장의사진 A B C D E F를하나 씩배치하여사진첩의한면을완성할때, A 와 B 가이웃하는경 우의수는? ( 단, 옆으로이웃하는경우만이웃하는것으로한다.) [4 점 ][2009( 나 ) 9 월 / 평가원 28] 거리 (km) 본사에서각지사에 A, B, C, D, E 를지사장으로각각발령할 때, A 보다 B 가본사로부터거리가먼지사의지사장이되도록 명을발령하는경우의수는? [4점][2010( 나 ) 6월평가원 28] 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 12. 12. [ 정답률 : 76%] 두인형 A B에게색이정해지지않은셔츠와바지를모 두입힌후, 입힌옷의색을정하는컴퓨터게임이있다. 서로다 른모양의셔츠와바지가각각 개씩있고, 각옷의색은빨강과 초록중하나를정한다. 한인형에게입힌셔츠와바지는다른인 형에게입히지않는다. A 인형의셔츠와바지의색은서로다르게 정하고, B 인형의셔츠와 바지의색도서로다르게정한다. 이게 임에서두인형 A B 에게셔츠와바지를입히고색을정할때, 그 결과로나타날수있는경우의수는? 1 2 3 4 5 [4 점 ][2010( 나 ) / 수능 14] 14. 14. [ 정답률 : 89%] 할머니, 아버지, 어머니, 아들, 딸로구성된 명의가족이 있다. 이가족이그림과같이번호가적힌 개의의자에모두앉 을때, 아버지, 어머니가모두홀수번호가적힌의자에앉는경우 의수는? [3 점 ][2016( 나 ) 4 월 / 교육청 10] 1 2 3 4 5 4
2 순열 2 순열 할머니 일 ::2493 일 ::2995 2 순열 일 ::2303 15. 15. [ 정답률 : 46%] 할아버지, 할머니, 아버지, 어머니, 아들, 딸로구성된가족 이있다. 이가족 명이그림과같은 개의좌석에모두앉을때, 할아버지, 할머니가같은열에이웃하여앉고, 아버지, 어머니도 같은열에이웃하여앉는경우의수를구하시오. [4 점 ][2008( 나 ) 9 월 / 평가원 23] 17. 17. [ 정답률 : 38%] 어른 명과어린이 명이함께놀이공원에가서어느놀 이기구를타려고한다. 이놀이기구는그림과같이앞줄에 개, 뒷 줄에 개의의자가있다. 어린이가어른과반드시같은줄에앉을 때, 명이모두놀이기구의의자에앉는방법의수를구하시오. [4 점 ][2007( 나 ) 수능 ( 홀 ) 23] 16. 16. [ 정답률 : 43%], 할아버지, 어머니, 아버지, 영희, 철수모두 명의 가족이자동차를타고여행을가려고한다. 이자동차에는앉을수 있는좌석이그림과같이앞줄에 개, 가운데줄에 개, 뒷줄에 개가있다. 운전석에는아버지나어머니만앉을수있고, 영희와 철수는가운데줄에만앉을수있을때, 가족 명이모두자동차 의좌석에앉는경우의수를구하시오. [4 점 ][2007( 나 ) 6 월 / 평가원 25] 5
2 순열 일 ::8913 2 순열 일 ::659 [ 정답률 : 5%] [ 정답률 : 43%] 18. 18. 교내수학경시대회에 A 학급학생 명, B 학급학생 명, 19. 19. 집합 에서 로의함수중에서다음 C 학급학생 명이참가신청하였다. 그림과같이두분단, 네줄의좌석에다음조건을만족시키도록이학생 명을배정하는방법의수를구하시오. [4점][2016( 나 ) 10월 / 교육청 30] ( 가 ) 같은줄의바로옆에같은학급학생이앉지않도록배정한다. ( 나 ) 같은분단의바로앞뒤에같은학급학생이앉지않도록배정한다. ( 다 ) 같은학급학생을같은분단에배정할경우학급번호가작을수록교탁에가까운자리에배정한다. 두조건을만족시키는함수 의개수를구하시오. [4점][2005( 가 ) 6월 / 평가원 22] ( 가 ) 함수 는일대일대응이다. ( 나 ) 정의역 의한원소 에대하여 이다. 교탁 분단 분단 첫째줄 둘째줄 셋째줄 넷째줄 6
3 원순열과중복순열 일 ::4287 3 원순열과중복순열 3 원순열과중복순열 일 ::5845 일 ::5734 유형 03 원순열과중복순열 [1] 원순열서로다른 개를원형으로배열하는순열을원순열이라하고, 이 원순열의수는 이다. [ 참고 ] 원순열의경우다음 가지는같은배열이므로 로나눈다. 같은이유로서로다른 개를원형으로배열하는경우 을 으로나눈다. 21. 21. [ 정답률 : 94%] 그림과같이최대 6개의용기를넣을수있는원형의실험 기구가있다. 서로다른 6 개의용기 A B C D E F 를이실험 기구에모두넣을때, A 와 B 가이웃하게되는경우의수는? ( 단, 회전하여일치하는것은같은것으로본다.) [ 참고 ] 다각형탁자에서의원순열 1 2 3 4 5 [3 점 ][2011( 가 ) 9 월평가원 6] [2] 중복순열서로다른 개에서중복을허락하여 개를택한후일렬로배열하는순열을중복순열이라하고, 이중복순열의수를기호로 와같이나타낸다. 개 원순열의경우단순히원형으로배열하는경우뿐만아니라세모, 네모등의다각형모양의배열로출제된다. 중복순열의경우함수의개수또는집합 의원소를집합 의원소에대응시키는대응관계의개수를구하는문제등이출제된다. 22. 22. [ 정답률 : 65%] 그림과같이서로접하고크기가같은원 개와이세원의 중심을꼭짓점으로하는정삼각형이있다. 원의내부또는정삼각 형의내부에만들어지는 개의영역에서로다른 가지색을모 두사용하여칠하려고한다. 한영역에한가지색만을칠할때, 색칠한결과로나올수있는경우의수는? ( 단, 회전하여일치하는것은같은것으로본다.) [4 점 ][2011( 가 ) 6 월평가원 15] 20. 20. [ 정답률 : 87%] 서로다른종류의연필 자루를 명의학생 A B C D 에게남김없이나누어주는경우의수는? ( 단, 연필을받지못하는학생이있을수있다.) 1 2 3 4 5 [3 점 ][2015(B) 6 월평가원 9] 1 2 3 4 5 7
3 원순열과중복순열 3 원순열과중복순열 일 ::2294 일 ::8918 3 원순열과중복순열 3 원순열과중복순열 일 ::8722 일 ::8663 23. 23. [ 정답률 : 46%] 의숫자가하나씩적힌 개의공을 개의상 자 A B C 에넣으려고한다. 어느상자에도넣어진공에적힌 수의합이 이상이되는경우가없도록공을상자에넣는방법 의수는? ( 단, 빈상자의경우에는넣어진공에적힌수의합을 으로한다.) 1 2 3 4 5 [4 점 ][2007( 나 ) 수능 ( 홀 ) 14] 25. 25. [ 정답률 : 81%] 서로다른과일 개를 그릇 A, B, C 에남김없이담으 려고할때, 그릇 A 에는과일 개만담는경우의수는? ( 단, 과 일을하나도담지않은그릇이있을수있다.) 1 2 3 4 5 [4 점 ][2016( 가 ) 9 월 / 평가원 19] 24. 24. [ 정답률 : %] 숫자 중에서중복을허락하여네개를택해 일렬로나열하여만든네자리의자연수가 의배수인경우의수 는? 1 2 3 4 5 [3 점 ][2017( 가 ) / 수능 5] 26. 26. [ 정답률 : 48%] 세수,, 중에서중복을허락하여다섯개의수를택 해다음조건을만족시키도록일렬로배열하여자연수를만든다. ( 가 ) 다섯자리의자연수가되도록배열한다. ( 나 ) 끼리는서로이웃하지않도록배열한다. 예를들어, 은조건을만족시키는자연수이고 은조건을만족시키지않는자연수이다. 만들수있는모든자연수 의개수는? 1 2 3 4 5 [4 점 ][2016( 나 ) 7 월 / 교육청 21] 8
4 같은것이있는순열 4 같은것이있는순열 일 ::7344 일 ::6774 4 같은것이있는순열 4 같은것이있는순열 일 ::6654 일 ::5964 유형 04 같은것이있는순열 개중에서같은것이각각 개, 개,, 개씩있을때, 개를 일렬로배열하는순열의수는 ( 단, ) 같은것을포함한순열의개수와이를이용한최단경로의수등 을묻는문제가출제된다. 특히, 최단경로의수는같은것이있는 순열의공식을이용하여쉽게답을구할수있는형태보다최단 경로의의미를생각해가면서하나씩따져보아야하는문제가주 로출제된다. 27. 27. [ 정답률 : 85%] 부터 까지의자연수가하나씩적혀있는 장의카드가 있다. 이카드를모두한번씩사용하여일렬로나열할때, 가적 혀있는카드는 가적혀있는카드보다왼쪽에나열하고홀수가 적혀있는카드는작은수부터크기순서로왼쪽부터나열하는경 우의수는? 1 2 3 4 5 [3 점 ][2013(B) 6 월평가원 5] 29. 29. [ 정답률 : 94%] 그림과같이마름모모양으로연결된도로망이있다. 이도로망을따라 A 지점에서출발하여 B 지점까지최단거리로가 는경우의수는? 1 2 3 4 5 [3 점 ][2012( 가 ) 9 월 / 평가원 5] 28. 28. [ 정답률 : 92%] 그림과같이마름모모양으로연결된도로망이있다. 이도 로망을따라 A 지점에서출발하여 C 지점을지나지않고, D 지점도 지나지않으면서 B 지점까지최단거리로가는경우의수는? [3 점 ][2013( 가 ) / 수능 5] 30. 30. [ 정답률 : 94%] 흰색깃발 개, 파란색깃발 개를일렬로모두나열할 때, 양끝에흰색깃발이놓이는경우의수는? ( 단, 같은색깃발끼리는서로구별하지않는다.) 1 2 3 4 5 [3 점 ][2012( 가 ) / 수능 5] 1 2 3 4 5 9
4 같은것이있는순열 4 같은것이있는순열 어느 일 ::4836 일 ::4580 4 같은것이있는순열 4 같은것이있는순열 다음 좌표평면 일 ::3960 일 ::3815 31. 31. [ 정답률 : 70%] 행사장에는현수막을 개씩설치할수있는장소가 곳이있다. 현수막은 세종류가있고, 는 개, 는 개, 는 개가있다. 다음조건을만족시키도록현수막 개를택 하여 곳을설치할때, 그결과로나타날수있는경우의수는? ( 가 ) 는반드시설치한다. ( 나 ) 는 곳이상설치한다. ( 단, 같은종류의현수막끼리는구분하지않는다.) < 보기 > 1 2 3 4 5 [3 점 ][2011( 나 ) / 수능 6] 33. 33. [ 정답률 : 35%] 표와같이 개과목에각각 개의수준으로구성된 개의과제가있다. 각과목의과제는수준 Ⅰ 의과제를제출한후 에만수준 Ⅱ 의과제를제출할수있다. 예를들어 국어 A 수 학 A 국어 B 영어 A 영어 B 수학 B 순서로과 제를제출할수있다. 수준 과목 국어수학영어 Ⅰ 국어 A 수학 A 영어 A Ⅱ 국어 B 수학 B 영어 B 개의과제를모두제출할때, 제출순서를정하는경우의수를 구하시오. [4 점 ][2009( 나 ) 9 월 / 평가원 30] 32. 32. [ 정답률 : 58%] 을한개이하사용하여만든세자리자연수중에서각 자리의수의합이 인자연수는,,,, 이다. 을한개이하사용하여만든다섯자리자연수중에서각자리 의수의합이 인자연수의개수를구하시오. [4 점 ][2010( 나 ) 6 월평가원 30] 34. 34. [ 정답률 : 15%] 위의점들의집합 와 는정수 가있다. 집합 에속하는한점에서 에속하는다른점으로 이동하는 점프 는다음규칙을만족시킨다. 점 에서한번의 점프 로점 로이동할때, 선분 의 길이는 또는 이다. 점 에서점 까지 번만 점프 하여이동하는경 우의수를구하시오. ( 단, 이동하는과정에서지나는점이다르면다른경우이다.) [4 점 ][2009( 나 ) 6 월 / 평가원 25] 10
4 같은것이있는순열 일 ::2625 4 같은것이있는순열 4 같은것이있는순열 일 ::2635 일 ::2481 35. 35. [ 정답률 : 71%] 어떤사회봉사센터에서는다음과같은 가지봉사활동프 로그램을매일운영하고있다. 프로그램 A B C D 36. 36. [ 정답률 : 15%] 직사각형모양의잔디밭에산책로가만들어져있다. 이산 책로는그림과같이반지름의길이가같은원 개가서로외접하 고있는형태이다. 봉사활동시간 시간 시간 시간 시간 철수는이사회봉사센터에서 일간매일하나씩의프로그램에참 여하여다섯번의봉사활동시간합계가 시간이되도록아래와같은봉사활동계획서를작성하려고한다. 작성할수있는봉사활동계획서의가짓수는? [4점][2009( 나 ) / 수능 15] 봉사활동계획서성명 : A 지점에서출발하여산책로를따라최단거리로 B 지점에도착하는경우의수를구하시오. ( 단, 원위에표시된점은원과직사각형또는원과원의접점을나타낸다.) [4점] [2009( 나 ) / 수능 25] 참여일 참여프로그램 봉사활동시간 봉사활동시간합계 시간 1 2 3 4 5 37. 37. [ 정답률 : 35%] 그림과같이이웃한두교차로사이의거리가모두 인바 둑판모양의도로망이있다. 로봇이한번움직일때마다길을따 라거리 만큼씩이동한다. 로봇은길을따라어느방향으로도움 직일수있지만, 한번통과한지점을다시지나지는않는다. 이 로봇이지점 O 에서출발하여 번움직일때, 가능한모든경로의 수는? ( 단, 출발점과도착점은일치하지않는다.) 1 2 3 4 5 [4 점 ][2008( 나 ) 9 월 / 평가원 11] 11
4 같은것이있는순열 4 같은것이있는순열 그림과 일 ::2360 일 ::3122 4 같은것이있는순열 4 같은것이있는순열 4 같은것이있는순열 일 ::1207 일 ::1129 일 ::1067 38. 38. [ 정답률 : 30%] 박자는 4 분음을한박으로하여한마디가네박으로 구성된다. 예를들어 박자한마디는 분음표 ( ) 또는 분음 40. 40. [ 정답률 : 55%] 를일렬로배열하여여섯자리자연수를만 들때, 보다큰자연수의개수를구하시오. [4 점 ][2005( 나 ) 수능 ( 홀 ) 30] 표 ( ) 만을사용하여 또는 와같이구성할수 있다. 분음표또는 분음표만사용하여 박자의한마디를구성하 는경우의수를구하시오. [4 점 ][2008( 나 ) 6 월 / 평가원 30] 39. 39. [ 정답률 : 60%] 같은모양의도로망이있다. 지점 A 에서지점 B 까 지도로를따라최단거리로가는경우의수는? ( 단, 가로방향도로와세로방향도로는각각서로평행하다.) [4 점 ][2007( 나 ) 9 월 / 평가원 12] 41. 41. 그림과같은바둑판모양의 도로망이있다. 갑은 A 에서 C 까지 굵은선을따라걷고, 을은 C 에서 A 까지굵은선을따라걸으며, 은 B 에서 D 까지도로를따라최단거리로 걷는다. 갑, 을, 병세사람이모두 [ 정답률 : 46%] 만나도록병이 B 에서 D 까지가는경우의수를구하시오. ( 단, 갑, 을, 병은동시에출발하고같은속력으로걷는다고가정한다.) [4 점 ][2004( 나 ) 9 월 / 평가원 22] 1 2 3 4 5 42. 42. [ 정답률 : 22%] 개의문자 를일렬로나열할때, 끼리 또는 끼리이웃하게되는모든경우의수를구하시오. [4 점 ][2004( 나 ) 6 월 / 평가원 30] 12
1 조합 1 조합 일 ::8725 일 ::4848 1 조합 1 조합 1 조합 일 ::4709 일 ::4850 일 ::8475 유형 01 조합 (1) 서로다른 개에서순서를생각하지않고 개를택하는것을 개에서 개를택하는조합이라하고, 이조합의수를기호로 C 와같이나타낸다. (2) 조합의수 P C C ( 단, ) 45. 45. 시오. [ 정답률 : 85%] 등식 를만족시키는자연수 의값을구하 [3 점 ][2010( 나 ) 9 월평가원 19] P 1 C ( 단, ) 2 C C 3 C C ( 단, ) 4 C C C ( 단, ) 조합에대한문제는순열에대한문제처럼다양한형태로출제되 므로단순히공식만암기하지말고그원리를이해해야한다. 또한 순열의수와조합의수를모두이용해야하는문제등이출제된다. 43. 43. [ 정답률 : 90%] C 의값을구하시오. [3점][2016( 가 ) 9월 / 평가원 22] 46. 46. [ 정답률 : 60%] 서로다른 개의공을두바구니 A B에 개씩담을때, 그결과로나올수있는경우의수를구하시오. [3 점 ][2011( 나 ) / 수능 20] 44. 44. 하시오. [ 정답률 : 81%] 등식 를만족시키는자연수 의값을구 [3 점 ][2011( 나 ) / 수능 18] 47. 47. [ 정답률 : 79%] 어느학교동아리회원은 학년이 명, 학년이 명이다. 이동아리에서 명을뽑을때, 학년에서 명, 학년에서 명을 뽑는경우의수를구하시오. [3 점 ][2016( 가 ) 6 월 / 평가원 24] 13
1 조합 1 조합 일 ::4717 일 ::4076 1 조합 1 조합 일 ::3938 일 ::3259 [ 정답률 : 87%] [ 정답률 : 90%] 48. 48. 지수는다음규칙에따라월요일부터금요일까지 일동안 50. 50. 어느김밥가게에서는기본재료만포함된김밥의가격을 하루에한가지씩운동을하는계획을세우려한다. ( 가 ) 일중 일을선택하여요가를한다. ( 나 ) 요가를하지않는 일중하루를선택하여수영, 줄넘기중한가지를하고, 남은하루는농구, 축구중한가지를한다. 지수가세울수있는계획의가짓수는? 1 2 3 4 5 [3 점 ][2010( 나 ) 9 월평가원 27] 원으로하고, 기본재료외에선택재료가추가될경우다음표에따라가격을정한다. 예를들어맛살과참치가추가된김밥의가격은 원이다. 선택재료가격 ( 원 ) 햄 맛살 김치 불고기 치즈 참치 선택재료를추가하였을때, 가격이 원또는 원이되는김밥의종류는모두몇가지인가? ( 단, 선택재료의양은가격에영향을주지않는다.) 1 2 3 4 5 [4 점 ][2009( 나 ) 9 월 / 평가원 8] [ 정답률 : 78%] 49. 49. 어느회사원이처리해야할업무는 A B를포함하여모두 가지이다. 이중에서 A B 를포함한 가지업무를오늘처리하 려고하는데, A 를 B 보다먼저처리해야한다. 오늘처리할업무 를택하고, 택한업무의처리순서를정하는경우의수는? 1 2 3 4 5 [3 점 ][2010( 나 ) / 수능 6] 51. 51. [ 정답률 : 82%] 부와 부로나누어진행하는어느음악회에서독창 팀, 중창 팀, 합창 팀이모두공연할때, 다음두조건에따라 팀 의공연순서를정하려고한다. ( 가 ) 부에는독창, 중창, 합창순으로 팀이공연한다. ( 나 ) 부에는독창, 중창, 합창, 합창순으로 팀이공연 한다. 이음악회의공연순서를정하는방법의수는? [3점][2008( 나 ) 수능 ( 홀 ) 9] 1 2 3 4 5 14
1 조합 1 조합 1 조합 일 ::2982 일 ::2085 일 ::686 1 조합 1 조합 1 조합 일 ::1128 일 ::4573 일 ::3275 52. 52. [ 정답률 : 80%] 어느동아리에속한여학생수와남학생수가같다. 이동 아리에서 명의대표를선출하려고한다. 남녀구분없이 명의 대표를선출하는경우의수가여학생중에서 명의대표를선출하 는경우의수의 배일때, 이동아리에속한여학생수는? 1 2 3 4 5 [3 점 ][2007( 나 ) 6 월 / 평가원 12] 55. 55. [ 정답률 : 38%] 개의증권회사, 개의통신회사, 개의건설회사가 있다. 증권, 통신, 건설각업종별로적어도하나의회사를선택하 여총 개의회사에입사원서를내는경우의수를구하시오. [3 점 ][2004( 나 ) 9 월 / 평가원 21] 53. 53. [ 정답률 : 50%] 어느회사에서사원연수를위하여네지역서울, 부산, 광 주, 대구에서각각 명씩모두 명의사원을선발하였다. 같은 지역에서선발된사원끼리는같은조에속하지않도록각지역에 서한명씩선택하여 명으로구성된 개의조로나누는방법의 수는? 1 2 3 4 5 [3 점 ][2006( 나 ) 6 월 / 평가원 15] 56. 56.A, B [ 정답률 : 54%] 두사람이서로다른 개의동아리중에서 개씩 가입하려고한다. A 와 B 가공통으로가입하는동아리가 개 하가되도록하는경우의수를구하시오. ( 단, 가입순서는 하지않는다.) 이 고려 [4 점 ][2010( 나 ) 6 월평가원 23] 54. 54.A [ 정답률 : 76%] 지역에는세곳, B지역에는네곳, C지역에는다섯곳, D 지역에는여섯곳의관광지가있다. 이중에서세곳을선택하여 관광하려고할때, 선택한세곳이모두같은지역이되는경우의 수는? 1 2 3 4 5 [3 점 ][2005( 나 ) 6 월 / 평가원 9] 57. 57. [ 정답률 : 53%] 서로다른 종류의체험프로그램을운영하는어느수련원 이있다. 이수련원의프로그램에참가한 A 와 B 가각각 종류의 체험프로그램중에서 종류를선택하려고한다. A 와 B 가선택하 는 종류의체험프로그램중에서한종류만같은경우의수를구 하시오. [4 점 ][2008( 나 ) 수능 ( 홀 ) 25] 15
1 조합 1 조합 일 ::2999 일 ::2164 1 조합 1 조합 일 ::2094 일 ::2100 58. 58. [ 정답률 : 49%] 부터 까지의서로다른자연수 에대하여 로나타내어지는다섯자리의자연수 중에서 의배수이고 >>, << 를만족시키는모든자연수의개수는? 1 2 3 4 5 [4 점 ][2007( 나 ) 6 월 / 평가원 29] 60. 60. [ 정답률 : 23%] 종류의과자,,,,,,, 로다음조건에따 라세트상품을만들려고한다. ( 가 ) 각세트에는서로다른 종류의과자를각각한개씩담 는다. ( 나 ) 또는 를담는경우에는 와 를같은세트에담는 다. ( 다 ),, 모두를같은세트에담지않는다. 서로다른세트상품을만들수있는방법의수를구하시오. [4 점 ][2006( 나 ) 6 월 / 평가원 24] 59. 59. [ 정답률 : 38%] 수련회에참가한여학생 명과남학생 명을 개의방에 배정하려고한다. 여학생은 호실에 명, 호실에 명을배정하 고, 남학생은 호실과 호실에각각 명씩배정하는방법의수를 구하시오. [4 점 ][2006( 나 ) 9 월 / 평가원 24] 61. 61. [ 정답률 : 28%] 남학생 명과여학생 명이함께놀이공원에가서어느 놀이기구를타려고한다. 이놀이기구는그림과같이한줄에 개 의의자가있고모두 줄로되어있다. 남학생 명과여학생 명 이짝을지어 명씩같은줄에앉을때, 명이모두놀이기구의 의자에앉는방법의수를구하시오. [4 점 ][2006( 나 ) 6 월 / 평가원 30] 16
1 조합 일 ::3572 1 조합 1 조합 일 ::1534 일 ::1545 [ 정답률 : 79%] [ 정답률 : 45%] 62. 62. 한변의길이가 인정사각형모양의시트지 장, 빗변의 63. 63. 다음그림과같이크기가같은정육면체모양의투명한유 길이가 인직각이등변삼각형모양의시트지 장이있다. 정사각형모양의시트지의색은모두노란색이고, 직각이등변삼각형모양의시트지의색은모두서로다르다. [ 그림 1] 과같이한변의길이가 인정사각형모양의창문네개가있는집이있다. [ 그림 2] 는이집의창문네개에 장의시트지를빈틈없이붙인경우의예이다. 이집의창문네개에시트지 장을빈틈없이붙이는경우의수는? ( 단, 붙이는순서는구분하지않으며, 집의외부에서만시트지를붙일수있다.) [4 점 ][2016( 가 ) 3 월 / 교육청 15] 리상자 개로직육면체를만들었다. 이중에서 개의유리상자를같은크기의검은색유리상자로바꾸어넣은직육면체를위에서내려다본모양이 ( 가 ), 옆에서본모양이 ( 나 ) 와같이되도록만들수있는방법의수는? [4점][2006( 나 ) 수능 ( 홀 ) 17] ( 가 ) ( 나 ) [ 그림 1] [ 그림 2] 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 64. 64. [ 정답률 : 49%] 부터 까지의홀수중에서서로다른두수를선택할 때, 두수의합이 의배수가되는경우의수는? [4점][2006( 나 ) 수능 ( 홀 ) 28] 1 2 3 4 5 17
2 중복조합 2 중복조합 숫자 일 ::8718 일 ::7588 2 중복조합 2 중복조합 2 중복조합 일 ::7439 일 ::6811 일 ::8935 유형 02 중복조합 서로다른 개에서중복을허락하여 개를택하는조합을중복조 합이라하고, 이중복조합의수를기호로 H 와같이나타낸다. H C 구별되지않는 개의사물을 명에게나누어주는경우의수를묻 거나 일때, 인함수의개수를묻는문제등 이출제된다. 67. 67. [ 정답률 : 79%] 을만족시키는자연수,,, 의모든순서쌍 의개수는? 1 2 3 4 5 [3 점 ][2013(A) 9 월평가원 10] 65. 65. [ 정답률 : 88%] 각자리의수가 이아닌네자리의자연수중각자리의 수의합이 인모든자연수의개수는? 1 2 3 4 5 [4 점 ][2016( 가 ) 9 월 / 평가원 15] 68. 68. [ 정답률 : 59%] 같은종류의주스 병, 같은종류의생수 병, 우유 병을 명에게남김없이나누어주는경우의수는? ( 단, 병도받지못하는사람이있을수있다.) 1 2 3 4 5 [3 점 ][2013( 나 ) / 수능 12] 66. 66. [ 정답률 : 90%] 에서중복을허락하여 개를택할때, 숫 자 가한개이하가되는경우의수는? 1 2 3 4 5 [3 점 ][2014(B) / 수능 9] 69. 69.H 의값을구하시오. [ 정답률 : %] [3 점 ][2017( 가 ) / 수능 22] 18
2 중복조합 2 중복조합 2 중복조합 일 ::5981 일 ::8478 일 ::2467 2 중복조합 2 중복조합 일 ::5022 일 ::8690 70. 70. 오. [ 정답률 : 85%] 자연수 에대하여 H C 일때, H 의값을구하시 [3 점 ][2012( 가 ) / 수능 22] 73. 73. 세정수,, 에대하여 를만족시키는모든순서쌍 의개수는? 1 2 3 4 5 [ 정답률 : 81%] [4 점 ][2016(B) / 수능 14] 71. 71. [ 정답률 : 69%] 사과, 감, 배, 귤네종류의과일중에서 개를선택하려고 한다. 사과는 개이하를선택하고, 감, 배, 귤은각각 개이상을선택하는경우의수를구하시오. ( 단, 각종류의과일은 개이상씩있다.) [4 점 ][2016( 가 ) 6 월 / 평가원 27] 74. 74. [ 정답률 : 74%] 다음조건을만족시키는세자연수,, 의모든순서쌍 의개수는? [4 점 ][2016( 가 ) 7 월 / 교육청 18] 72. 72. [ 정답률 : %] 사과주스, 포도주스, 감귤주스중에서 병을선택하려고 ( 가 ) 세수,, 의합은짝수이다. ( 나 ) 1 2 3 4 5 한다. 사과주스, 포도주스, 감귤주스를각각적어도 병이상씩 선택하는경우의수는? ( 단, 각종류의주스는 병이상씩있다.) [3점][2008( 가 ) 9월 / 평가원 37] 1 2 3 4 5 19
2 중복조합 2 중복조합 일 ::8385 일 ::8224 2 중복조합 2 중복조합 일 ::7567 일 ::1517 75. 75. [ 정답률 : 66%] 다음조건을만족시키는자연수,, 의모든순서쌍 의개수를구하시오. ( 가 ) 는홀수이다. ( 나 ) [4 점 ][2015(B) / 수능 26] 77. 77. [ 정답률 : 73%] 흰색탁구공 개와주황색탁구공 개를 명의학생에게 남김없이나누어주려고한다. 각학생이흰색탁구공과주황색탁 구공을각각한개이상갖도록나누어주는경우의수는? 1 2 3 4 5 [4 점 ][2014(A) / 수능 18] 76. 76. [ 정답률 : 81%] 네개의자연수 중에서중복을허락하여세수 를선택할때, 세수의곱이 이하가되도록선택하는경우의 수는? 1 2 3 4 5 [4 점 ][2014(A) 9 월평가원 15] 78. 78. [ 정답률 : %] 네종류의사탕중에서 개를선택하려고한다. 초콜릿사 탕은 개이하, 박하사탕은 개이상, 딸기사탕은 개이상, 버터 사탕은 개이상을선택하는경우의수를구하시오. ( 단, 각종류의사탕은 개이상씩있다.) [4 점 ][2006( 가 ) 수능 ( 홀 ) 40] 20
3 방정식의해의개수 3 방정식의해의개수 일 ::8495 일 ::7467 3 방정식의해의개수 3 방정식의해의개수 3 방정식의해의개수 일 ::7349 일 ::6554 일 ::5741 유형 03 방정식의해의개수 방정식 의해의개수 (은자연수 ) (1) 음이아닌정수인해의개수 H (2) 양의정수인해의개수는 H ( 단, ) 주어진조건을만족시키는미지수의음이아닌정수의순서쌍의개수또는자연수의순서쌍의개수를묻는문제가꾸준히출제되고있다. 81. 81. [ 정답률 : 80%] 고구마피자, 새우피자, 불고기피자중에서 개를주문하는 경우의수가 일때, 고구마피자, 새우피자, 불고기피자를적어도 하나씩포함하여 개를주문하는경우의수는? 1 2 3 4 5 [3 점 ][2013(B) 6 월평가원 10] 79. 79. [ 정답률 : 70%] 방정식 를만족시키는양의정수 의모든순서쌍 의개수는? 1 2 3 4 5 [4 점 ][2016( 나 ) 6 월 / 평가원 14] 82. 82. [ 정답률 : 80%] 방정식 를만족시키는음이아닌정수해 의순서쌍 의개수를구하시오. [3 점 ][2012( 가 ) 6 월 / 평가원 25] 80. 80. [ 정답률 : 88%] 방정식 를만족시키는 이상의정수,, 의모든순서쌍 의개수는? 1 2 3 4 5 [3 점 ][2013(B) 9 월평가원 8] 83. 83. [ 정답률 : 57%] 방정식 을만족시키는음이아닌정수 에대하여순서쌍 의개수를구하시오. [3 점 ][2011( 가 ) 6 월평가원 22] 21
3 방정식의해의개수 3 방정식의해의개수 점수가 일 ::4067 일 ::3108 3 방정식의해의개수 3 방정식의해의개수 3 방정식의해의개수 일 ::8940 일 ::4995 일 ::4387 [ 정답률 : %] [ 정답률 : %] 84. 84. 같은종류의사탕 개를 명의아이에게 개이상씩나누 86. 86. 다음조건을만족시키는음이아닌정수 의모든 어주고, 같은종류의초콜릿 개를 개의사탕을받은아이에게만 개이상씩나누어주려고한다. 사탕과초콜릿을남김없이나누어주는경우의수는? 1 2 3 4 5 [3 점 ][2010( 가 ) / 수능 37] 순서쌍 () 의개수를구하시오. ( 가 ) ( 나 ) 은 의배수이다. [4 점 ][2017( 가 ) / 수능 27] 87. 87. [ 정답률 : 79%] 다음조건을만족시키는음이아닌정수,,,, 의 모든순서쌍 의개수는? [4 점 ][2016(A) / 수능 17] 85. 85. [ 정답률 : %] 표시된그림과같은과녁에 개의화살을쏘아점 ( 가 ),,,, 중에서 의개수는 이다. ( 나 ) 수를얻는경기가있다. 개의화살을모두과녁에맞혔을때, 점수의합계가 점이상이되는경우의수는? ( 단, 화살이과녁의경계에맞는경우는없다.) [3점][2007( 가 ) 9월 / 평가원 38] 1 2 3 4 5 88. 88. [ 정답률 : 82%] 다음조건을만족시키는음이아닌정수 의모 1 2 3 4 5 든순서쌍 의개수는? ( 가 ) ( 나 ) [4 점 ][2015(A) 9 월평가원 19] 1 2 3 4 5 22
3 방정식의해의개수 3 방정식의해의개수 3 방정식의해의개수 일 ::4915 일 ::4305 일 ::8347 3 방정식의해의개수 3 방정식의해의개수 3 방정식의해의개수 일 ::8265 일 ::8139 일 ::3790 89. 89. [ 정답률 : 54%] 다음조건을만족시키는 이상의자연수 의 모든순서쌍 의개수를구하시오. ( 가 ) ( 나 ) 는모두 의배수이다. [4 점 ][2015(B) 9 월평가원 27] 92. 92. [ 정답률 : 55%] 자연수 에대하여 을만족시키는 1보다큰자연 수 의순서쌍 의개수가 일때, 의값을구 하시오. [4 점 ][2014(B) 9 월 / 평가원 26] 90. 90. [ 정답률 : 59%] 다음조건을만족시키는음이아닌정수 의모 든순서쌍 의개수를구하시오. ( 가 ) ( 나 ) [4 점 ][2015(B) 6 월평가원 27] 93. 93. [ 정답률 : 71%] 다음조건을만족시키는음이아닌정수 의모든 순서쌍 의개수는? ( 가 ) [4 점 ][2014(B) 6 월 / 평가원 20] ( 나 ) 좌표평면에서세점 가직선위에 있지않다. 1 2 3 4 5 91. 91. 연립방정식 [ 정답률 : 81%] 을만족시키는음이아닌정수,,, 의모든순서쌍 의개수는? 1 2 3 4 5 [4 점 ][2015(A) / 수능 18] 94. 94. [ 정답률 : %] 빨간색, 파란색, 노란색색연필이있다. 각색의색연필을 적어도하나씩포함하여 개이하의색연필을선택하는방법의 수를구하시오. ( 단, 각색의색연필은 개이상씩있고, 같은색 의색연필은서로구별이되지않는다.) [4 점 ][2009( 가 ) 6 월 / 평가원 40] 23
4 집합의분할 4 집합의분할 1 집합의분할 일 ::8696 일 ::1303 일 ::607 1 집합의분할 1 집합의분할 일 ::5333 일 ::2538 유형 04 집합의분할 (1) 원소의개수가유한인집합을공집합이아니고서로소인몇개 의부분집합의합집합으로나타내는것 (2) 원소의개수가 인집합을공집합이아니고서로소인 개의집합으로분할하는경우의수 : 교육과정이바뀌면서새롭게추가된단원이므로출제될가능성이 높으며자연수의분할과의차이점을숙지해야하며다양한실생활 문제등이출제될수있다. 98. 98. [ 정답률 : 40%] 원소의개수가 인집합을공집합이아닌 개의서로소인 부분집합으로분할하는방법의수를구하시오. [3 점 ][2016( 가 ) 3 월 / 교육청 24] 95. 95. 집합의분할의수 의값을구하시오. [ 정답률 : 69%] [3 점 ][2016( 가 ) 7 월 / 교육청 24] 96. 96. [ 정답률 : %] 원소의개수가 인집합을공집합이아닌두개의부분집 합으로분할하는경우의수는? 1 2 3 4 5 [3 점 ][2005( 가 ) 7 월 / 교육청 36] 99. 99. 크기가각각 MB, MB, MBMB, MB 인 개의동영상 파일을용량이각각 GB 이고서로구별 이안되는두개의저장장치에나누어저 장하려고한다. 각파일은하나의저장장치 에만저장하고파일을저장하는순서는고 [ 정답률 : %] 려하지않는다고할때, 파일을저장하는방법의수는? ( 단, GB MB 로계산한다.) 1 2 3 4 5 [3 점 ][2008( 가 ) 10 월 / 교육청 38] 97. 97. [ 정답률 : %] 집합 에대하여원소의개수가 개, 개, 개인집합으로분할하는방법의수를구하시오. [4 점 ][2005( 가 ) 4 월 / 교육청 40] 24
5 자연수의분할 2 자연수의분할 일 ::76 일 ::4826 2 자연수의분할 2 자연수의분할 2 자연수의분할 일 ::3246 일 ::2276 일 ::8459 유형 05 자연수의분할 (1) 자연수를순서대로생각하지않고몇개의자연수의합으로나 타내는것 (2) 자연수 을 개의자연수로분할하는경우의수 : 집합의분할과더불어새롭게추가된단원이다. 집합의분할은조 합과결합하여출제되지만자연수의분할은단독으로출제될가능 성이높다. 102. 102. [ 정답률 : %] 의분할중에서홀수의합으로만만들어지는서로다른 분할의형태의개수는? 1 2 3 4 5 [3 점 ][2008( 가 ) 수능 ( 홀 ) 36] 100. 100. [ 정답률 : 85%] 자연수 을세개의자연수로분할하는방법의수는? [3점][2016( 가 ) 4월 / 교육청 6] 1 2 3 4 5 103. 103. [ 정답률 : %] 같은종류의사탕 개를같은종류의봉지 개에빈봉 지가없도록나누어넣는방법의수는? 1 2 3 4 5 [3 점 ][2007( 가 ) 수능 ( 홀 ) 36] 101. 101. [ 정답률 : 38%] 자연수 의분할중에서, 이하의자연수의합으로나 타내어지는서로다른분할의수는? 1 2 3 4 5 [3 점 ][2011( 가 ) / 수능 36] 104. 104. [ 정답률 : 82%] 자연수 을짝수개의자연수로분할하는방법의수는? 1 2 3 4 5 [3 점 ][2016( 가 ) 6 월 / 평가원 8] 25
2 자연수의분할 2 자연수의분할 일 ::8653 일 ::675 2 자연수의분할 일 ::4759 105. 105. [ 정답률 : 80%] 같은종류의접시 개에같은종류의쿠키 개를남김 없이나누어담을때, 빈접시가없도록담는모든방법의수는? 1 2 3 4 5 [3 점 ][2016( 나 ) 7 월 / 교육청 11] 107. 107. [ 정답률 : %] 자연수 을 개의자연수의합으로나타내는서로다른 분할의형태의개수를 로나타내자. 예를들어 이므로 이다. 옳은것만을 < 보기 > 에서있는대로고른것은? ( 단, 더하는순서가바뀐것은같은분할의형태로본다.) [4 점 ][2010( 가 ) 10 월 / 교육청 39] < 보기 > ㄱ. ㄴ. ㄷ. 을만족시키는세자연수 에대하 여 이다. 1 ㄱ 2 ㄴ 3 ㄱ, ㄴ 4 ㄱ, ㄷ 5 ㄱ, ㄴ, ㄷ 106. 106. 자연수 을두자연수, 의합 [ 정답률 : %] 으로나타내는방법의수를 이라하자. 예를들어, 이다. < 보기 > 에서항상옳은것을모두고른것은? [4점][2005( 가 ) 6월 / 평가원 38] < 보기 > ㄱ. ( 단, 는 보다크지않은최대의정수이다.) ㄴ. ( 단,, 은자연수이다.) ㄷ. 1 ㄱ 2 ㄴ 3 ㄷ 4 ㄴ, ㄷ 5 ㄱ, ㄴ, ㄷ 26
6 이항계수 3 이항계수 일 ::6531 일 ::4569 3 이항계수 3 이항계수 3 이항계수 일 ::2491 일 ::8457 일 ::2089 유형 06 이항계수 자연수 에대하여다항식 을전개한식의계수에대한정 리로 이자연수일때, C C C 이고각항의계수 수라고한다. C C C C, C, C,, C,, C 을이항계 이항정리를이해하고이항계수를구할수있는지묻는문제가출 제된다. 이항정리의기본공식만알고있으면구할수있는간단한 계산문제가대부분이다. 110. 110. 시오. [ 정답률 : 50%] 다항식 의전개식에서 의계수를구하 [3 점 ][2008( 나 ) 9 월 / 평가원 21] 108. 108. 다항식 의전개식에서 의계수는? 1 2 3 4 5 [ 정답률 : 94%] [2 점 ][2012( 가 ) 6 월 / 평가원 2] 111. 111. 1 4 의전개식에서 의계수는? 2 5 [ 정답률 : 84%] [3 점 ][2016( 가 ) 6 월 / 평가원 6] 3 109. 109. 의전개식에서상수항을구하시오. [ 정답률 : 79%] [3 점 ][2010( 나 ) 6 월평가원 19] 112. 112. 의전개식에서 의계수를구하시오. [ 정답률 : 76%] [3 점 ][2006( 나 ) 6 월 / 평가원 19] 27
3 이항계수 3 이항계수 일 ::1383 일 ::7455 3 이항계수 3 이항계수 일 ::2619 일 ::2222 113. 113. [ 정답률 : 70%] 다항식 의전개식에서 의계수는? 1 2 3 4 5 [3 점 ][2005( 나 ) 9 월 / 평가원 6] 115. 115. 의전개식에서 의계수는? 1 2 3 4 5 [ 정답률 : 81%] [4 점 ][2009( 나 ) / 수능 9] 114. 114. [ 정답률 : 69%] 이 이상의자연수일때, 에대한다항식 의전개식에서 의계수를 이라하자. lim 의값을구하 시오. [4 점 ][2013(A) 9 월평가원 26] [ 정답률 : 74%] 116. 116. 을전개한식에서 항의계수는? 1 2 3 4 5 [4 점 ][2006( 나 ) 10 월 / 교육청 12] 28
7 이항정리를이용한미정계수구하기 4 이항정리를이용한미정계수구하기 4 이항정리를이용한미정계수구하기 일 ::8336 일 ::8142 일 ::6703 4 이항정리를이용한미정계수구하기 4 이항정리를이용한미정계수구하기 4 이항정리를이용한미정계수구하기 다항식 일 ::5997 일 ::4089 일 ::3132 유형 07 이항정리를이용한미정계수구하기 특정한항에대한계수가주어질때, 이항정리를이용하여미정계 수를구하는문제가출제된다. 간단한계산문제가대부분이지만 정수조건의부정방정식과결합된유형의문제도출제된다. 117. 117. 수 의값은? [ 정답률 : 91%] 다항식 의전개식에서 의계수가 일때, 양 1 2 3 4 5 [3 점 ][2015(A) / 수능 7] 120. 120. [ 정답률 : 88%] 다항식 의전개식에서 의계수가 일때, 의계수는? ( 단, 는상수이다.) 1 2 3 4 5 [3 점 ][2012( 나 ) / 수능 8] 118. 118. [ 정답률 : 91%] 의전개식에서상수항이 일때, 양수 의 121. 121. [ 정답률 : 77%] 다항식 의전개식에서 의계수가 일때, 자 연수 의값을구하시오. [3 점 ][2010( 나 ) / 수능 19] 값을구하시오. [3 점 ][2014(B) 6 월 / 평가원 23] 119. 119. [ 정답률 : 86%] 다항식 의전개식에서 의계수가 일때, 양수 의값을구하시오. [3 점 ][2012( 나 ) 9 월 / 평가원 24] 122. 122. [ 정답률 : 74%] 의전개식에서 의계수가 의계수의 배일때, 양의상수 의값을구하시오. [3 점 ][2007( 나 ) 9 월 / 평가원 22] 29
4 이항정리를이용한미정계수구하기 4 이항정리를이용한미정계수구하기 4 이항정리를이용한미정계수구하기 다항식 일 ::2990 일 ::2287 일 ::5896 4 이항정리를이용한미정계수구하기 4 이항정리를이용한미정계수구하기 일 ::2170 일 ::1547 [ 정답률 : 73%] [ 정답률 : 71%] 123. 123. 의전개식에서 의계수가 일때, 126. 126. 다항식 의전개식에서 의계수가 일때, 의값을구하시오. [3 점 ][2007( 나 ) 6 월 / 평가원 20] 의계수를구하시오. ( 단, 는상수이다.) [4 점 ][2006( 나 ) 9 월 / 평가원 30] 124. 124. [ 정답률 : 64%] 다항식 의전개식에서 의계수와상수항의합 이 일때, 양의상수 의값은? [3점][2007( 나 ) 수능 ( 홀 ) 7] 1 2 3 4 5 127. 127. [ 정답률 : 20%] 다항식 의전개식에서 의계수와다항식 의전개식에서 의계수가같게되는모든순서쌍 에대하여 의최댓값을구하시오. ( 단, 는자연수이고, 은 인자연수이다.) [4 점 ][2006( 나 ) 수능 ( 홀 ) 30] 125. 125. [ 정답률 : 81%] 다항식 의전개식에서 의계수와 의계수 가같을때, 의값을구하시오. ( 단, 는양수이다.) [4 점 ][2011( 나 ) 9 월평가원 27] 30
8 이항정리와조합 자연수 일 ::3567 5 이항정리와조합 다음은 일 ::3805 유형 08 이항정리와조합 자연수 에대하여다음이성립한다. (1) C C C C 129. 129. [ 정답률 : 50%] 이 이상의자연수일때 의값을 (2) C C C C C (3) C C C C C C (4) C C C C 이항정리와관련된여러가지조합공식에대한증명문제가빈칸 채우기형식으로출제된다. 수식을직접전개하여계산하는증명 문제보다는문제에서주어진상황을이용하여두값이서로같음 을보이는형식이대부분이다. 128. 128. 에대하여 C [ 정답률 : 64%] 일때, log 을만족시키는 의최솟값은? ( 단, log 로 계산한다.) 1 2 3 4 5 [3 점 ][2016( 가 ) 3 월 / 교육청 10] 구하는과정이다. < 증명 > 두다항식의곱 에서 의계수는 * 이다. 등식 의좌변에서 의계수는 ( 가 ) 이고, *을이용하여우변에서 의계 수를구하면 ( 나 ) ) 이다. 따라서 ( 가 ) ( 나 ) ) 이다. 한편 일때, 이므로 ( 나 ) ) ( 나 ) ) ( 다 ) 이다. 위의과정에서 ( 가 ), ( 나 ), ( 다 ) 에알맞은것은? [4 점 ][2009( 나 ) 6 월 / 평가원 15] ( 가 ) ( 나 ) ( 다 ) 1 2 3 4 5 31
5 이항정리와조합 5 이항정리와조합 일 ::3813 일 ::1402 5 이항정리와조합 일 ::1054 130. 130. [ 정답률 : 41%] 이하의자연수 중에서 의값이 의배수가 되도록하는 의개수를구하시오. [4 점 ][2009( 나 ) 6 월 / 평가원 23] 132. 132. 다음은두자연수 과 < 에대하여 의값을이항정리를이용하여구하는과정이다. 는 이아닌실수라하자. 은다항식 에서 의계수이다. 은다항식 에서 의계수이다. 은다항식 에서 의계수이다. 따라서 [ 정답률 : 31%] 은다항식 ( 가 ) 에서 의계수이다. 그러므로 ( 나 ) 이다. 위의과정에서 ( 가 ) 와 ( 나 ) 에알맞은것을차례로나열한것은? [4 점 ][2004( 나 ) 6 월 / 평가원 17] 131. 131. 자연수 에대하여 C k C k C k C k [ 정답률 : 43%] 1 2 ( 가 ) ( 나 ) 일때, 의값을구하시오. [4 점 ][2005( 나 ) 9 월 / 평가원 25] 3 4 5 32
124 5 125 126 84 127 128 2 129 3 130 131 682 132 1 1 2 4 3 2 4 5 5 30 6 7 5 8 2 9 3 10 48 11 3 12 4 13 5 14 5 15 64 16 72 17 18 19 120 20 1 21 2 22 2 23 2 24 3 25 5 26 5 27 2 28 2 29 4 30 1 31 1 32 33 34 35 5 36 37 3 38 34 39 1 40 41 42 43 44 45 46 47 48 4 49 3 50 4 51 4 52 2 53 3 54 4 55 56 57 58 3 59 200 60 25 61 160 62 4 63 4 64 5 65 4 66 4 67 4 68 5 69 70 71 72 3 73 3 74 5 75 76 3 77 5 78 79 3 80 3 81 2 82 83 84 5 85 4 86 87 4 88 1 89 90 91 2 92 9 93 5 94 95 6 96 1 97 98 99 1 100 3 101 3 102 2 103 4 104 2 105 3 106 1 107 3 108 4 109 110 102 111 4 112 135 113 5 114 115 2 116 2 117 2 118 119 120 1 121 122 20 123 12 1. [ 정답 ] [ 출제의도 ] 합의법칙을이해하여경우의수를구한다. ⅰ) 꽃병 A 에장미를꽂은경우꽃병 B 에꽂을꽃 송이중카네이션이 송이, 백합이 송이라하면 로가능한경우의수는,,,,, 의 이다. ⅱ) 꽃병 A 에카네이션을꽂은경우꽃병 B 에꽂을꽃 송이중장미가 송이, 백합이 송이라하면 로가능한경우의수는,,,,,,, 의 이다. ⅲ) 꽃병 A 에백합을꽂은경우꽃병 B 에꽂을꽃 송이중카네이션이 송이, 장미가 송이라하면 로가능한경우의수는,,,,, 의 이다. ⅰ), ⅱ), ⅲ) 에서구하는경우의수는 2. [ 정답 ] 4 에서 이자연수가되는경우는 인경우에 인경우에 인경우에 따라서순서쌍 의개수는 3. [ 정답 ] 2 [ 출제의도 ] 순열과조합 구하는 의순서쌍 의개수는 (2, 4, 6), (4, 6, 8), (6, 8, 10), (8, 10, 12), (2, 6, 10), (4, 8, 12) 의 6 이다. 4. [ 정답 ] 5 i) 십의자리의수가각각 중의하나일때 ( 가지 ) ii) 십의자리의수가각각 중의하나일때 ( 가지 ) ( 가지 ) ( 다른풀이 ) 백의자리의수를택하는경우의수는 2 가지십의자리의수를택하는경우의수는 3 가지일의자리의수를택하는경우의수는 4 가지따라서구하는경우의수는 2 3 4=24( 가지 ) 5. [ 정답 ] 30 [ 출제의도 ] 순열과조합 서로다른 가지의색을 라하고사다리꼴을오른쪽그림과같이ㄱ, ㄴ, ㄷ, ㄹ, ㅁ이라하면ㄱ에 를칠하는방법의 수는다음그림에서 가지이다. 33
9. [ 정답 ] 3 [ 출제의도 ] 또, ㄱ에 또는 를칠할수도있으므로구하는방법의수는 ( 가지 ) 이다. 10. [ 정답 ] 48 일의자리의수와백의자리의수가모두 3 의배수인경우는다음두가지이다. 3 6, 6 3 이때, 나머지네자리에 1, 2, 4, 5 의숫자를배열하는방법의수는각각 4!=4 3 2 1=24( 가지 ) 따라서구하는자연수는모두 2 24=48( 개 ) 이다. 6. [ 정답 ] [ 출제의도 ] 곱의법칙을이용하여조건을만족시키는함수의개수를구한다. 함수 가집합 에대하여 에서 로의함수라고하자. 또는 이므로 인 의원소 에대하여다음이성립한다. ⅰ) 일때, ⅱ) 일때 또는 ⅲ) 일때, 따라서 과 을대응시키는경우의수는 이고, 와 를대응시키는경우의수와 와 을대응시키는경 우의수는각각 이므로조건을만족시키는함수 의개수는 이다. 7. [ 정답 ] 5 6 개지역을다음과같이구분하자. 1 5 6 2 3 4 서로이웃한 2 개지역은 (1,2) (1,5) (1,6) (2,3) (2,6) (3,4) (3,6) (4,5) (4,6) (5,6) 의모두 10 개이다. 또한서로이웃한 2 개지역을조사하는조사원을정하는경우의수는 5 개이고나머지 4 개지역을나머지 4 명의조사원이조사하는경우의수는 개이므로구하고자하는경우의수는 8. [ 정답 ] 2 [ 출제의도 ] 여학생 2 명이입장하는방법의수는 남학생 3 명이입장하는방법의수는 따라서, 이학생 5 명이입장하는방법의수는 ( 가지 ) 11. [ 정답 ] 3 가지사장으로발령되는경우는가, 나, 다, 라, 마중두곳을골라 가까운곳은, 먼곳은 를배치하고, 그중 가같은거리인 가, 나에배치되는경우를빼면되므로 이다. 이각각의경우에 가발령되는경우는 이므로, 전체의경우는 이다. 12. [ 정답 ] 4 A 인형의셔츠의모양을정하는경우의수는 가지 B 인형의셔츠의모양은 A 인형의셔츠의모양과다르 므로 B 인형의셔츠의모양을정하는경우의수는 가지 마찬가지로 A 인형과 B 인형의바지의모양을정하는 경우의수는각각 가지와 가지 한편, A 인형의셔츠와바지의색이서로다르므로셔츠와바지의색은 ( 빨강, 초록 ), ( 초록, 빨강 ) 의 가지 마찬가지로 B 인형의셔츠와바지의색을정하는경우 의수는 가지 따라서, A 인형에게셔츠와바지를입히고색을정하는 경우의수는 ( 가지 ) B 인형에게셔츠와바지를입히고색을정하는경우의 수는 ( 가지 ) 따라서, 구하는경우의수는 ( 가지 ) 13. [ 정답 ] 5 우선 를이웃하도록배열하는방법은 가지이고나머지 개를배열 하는경우의수는 이므로 14. [ 정답 ] 5 [ 출제의도 ] 순열이해하기홀수번호가적힌 개의의자중에서 개의의자를택하여아버지, 어머니가앉는경우의수는 P 나머지 개의의자에할머니, 아들, 딸이앉는경우의수는 P 따라서구하는경우의수는 34
15. [ 정답 ] 64 [ 출제의도 ] 경우의수의실생활에의응용 i 열에할아버지, 할머니가앉는경우 열에아들, 딸중에서 명을선택하고조부모와자리를바꾸는방법의수는 C ( 조부모끼리자리바꿈 ) (2 열의부모끼리자리바꿈 ) ii1 열에아버지, 어머니가앉는경우 i 과같은방법으로생각하여 가지 iii ii 에서 가지 16. [ 정답 ] 72 운전석에앉는사람을정하는방법은 ( 가지 ) 영희와철수가앉는방법은 P ( 가지 ) 남아있는 명이앉는방법은 ( 가지 ) ( 가지 ) 17. [ 정답 ] 어른 2 명이앉는방법 : 가지 어린이 3 명이앉는방법 : 가지 가지 18. [ 정답 ] [ 출제의도 ] 순열과조합을활용하여실생활과관련된문제를해결한다. 각분단에는같은학급학생이 명올수없으므로 분단에는 A 학급학생이 명또는 명이배정된다. 분단에 A 학급학생 명이배정되는경우를먼저생각하자.( 단, 빈좌석에는 B 학급학생을배정한다.) ⅰ) 첫째줄에 A 학급학생이앉지않는경우 C C C A C A A () A C A A () A A A C () ⅱ) 둘째줄에 A 학급학생이앉지않는경우 A A C A C C C A A C A C A () A () A () ⅲ) 셋째줄에 A 학급학생이앉지않는경우 A A C A C A A A C C C A () A C () A () ⅳ) 넷째줄에 A 학급학생이앉지않는경우 A C A A C () A A A C C () A C A A C () ( ) 과 ( ) 의경우 C 학급학생이같은분단에배정되어학급번호가작은학생이항상앞줄에앉기때문에 C 학급학생이배정되는방법의수는 이다. ( ),( ),( ),( ),( ),( ),( ),( ),( ),( ) 의경우 C 학급학생이서로다른분단에배정되는방법의수는 이다. 그러므로 C 학급학생이배정되는모든방법의수는 A 학급학생이배정되는방법의수는 B 학급학생이배정되는방법의수는 분단에 A 학급학생 명이배정되는경우학생이배정되는방법의수는 분단에 A 학급학생이 명배정되는경우는 분단에 A 학급학생이 명배정되는경우와같으므로위에서구한 분단에 A 학급학생이 명배정되는방법의수와같다. 따라서구하는방법의수는 19. [ 정답 ] 120 집합 {1, 2, 3, 4, 5, 6} 에서 로의함수 에대하여정의역의한 원소 이 를만족하려면, 이어야한다. 일때, 이므로함수 의개수는 4! 이고,, 3,, 5 일때도마찬가지이므로구하는함수 의개수는 5 4!=120 이다. 20. [ 정답 ] 1 [ 출제의도 ] 중복순열 중복순열의계산 서로다른종류의연필 자루를서로다른학생 A B C D 에나누어주는경우의수는 ( 가지 ) 21. [ 정답 ] 2 [ 출제의도 ] 원순열에대한경우의수를구할수있는가? A 와 B 를한묶음으로생각해서 5 개를원형의실험기구에넣는경 우의수는 또한, A 와 B 가자리를바꾸는경우의수는 따라서구하고자하는경우의수는 22. [ 정답 ] 2 정중앙영역에칠하는경우의수 : 정삼각형외부의세원의세영역에세가지색을칠하는경우의수 : 정삼각형내부의세원의세영역에칠하는경우의수는순열이므로 3! 따라서 23. [ 정답 ] 2 개의공을상자 A, B, C 에넣는전체방법의수는 합이 이상이되는경우는, 24. [ 정답 ] 3 출제의도 : 중복순열을이용하여경우의수를구할수있는가? 35
일의자리수는 이어야하므로나머지 자리에들어갈수있는수의개수는중복을허락하므로모두 개씩이다. 따라서구하는경우의수는 A C B 25. [ 정답 ] 5 조합과중복순열을이용하여경우의수를구할수있는가? 그릇 A 에담을과일 종류를선택하는방법이 C 가지이고 나머지서로다른과일 개를나머지 B C 그릇에담는경우의수가 가지이므로 C 26. [ 정답 ] 5 [ 출제의도 ] 순열과조합을활용하여문제해결하기 을네번이상사용하면반드시 끼리서로이웃하게되므로 은세번이하로사용된다. (ⅰ) 이사용되지않는경우 (ⅱ) 이한번사용되는경우 로시작되는경우의수는 로시작되는경우의수는 (ⅲ) 이두번사용되는경우 로시작되는경우의수는 로시작되는경우의수는 (ⅳ) 이세번사용되는경우 첫번째, 세번째, 다섯번째에는반드시 이사용되므로 따라서조건을만족시키는자연수의개수는 A 지점에서 C 지점까지최단거리로가는경우의수는 C 지점에서 B 지점까지최단거리로가는경우의수는 따라서구하는경우의수는 30. [ 정답 ] 1 양끝에흰색이놓이면, 가운데 개는흰색깃발 개, 파란색깃발 개를일렬로나열하는방법의수가된다. 31. [ 정답 ] 1 의개수에따라분류하면 ⅰ) 가 개쓰일때! 를설치!! ⅱ) 가 개쓰일때! 를설치! ⅲ) 가 개쓰일때! 를설치! 27. [ 정답 ] 2 와 는순서가정해져있고, 홀수인 가순서가정해져있으므로 [ 다른풀이 ] 숫자가들어갈 6 자리중 2 개를택하여, 두자리중왼쪽에 2 를적고 오른쪽에 4 을적는다. 나머지 4 자리중 1 자리를택하여 6 을적 은다음나머지자리 3 자리에순서대로홀수를나열하면된다. 따라서 28. [ 정답 ] 2 ⅰ), ⅱ), ⅲ) 에서 가지 32. [ 정답 ] 을한개이하사용하여만든다섯자리자연수중에서각자리의수의 합이 인자연수는 ⅰ) 모두 만사용한경우 한가지 ⅱ) 처럼 을 개, 를각각 개사용한경우 전체경우에서 이맨앞에사용되는경우를빼면되므로 ⅰ), ⅱ) 에서전체경우의수는 가지이다. 위의그림과같이 P 지점과 Q 지점을잡자. C 지점과 D 지점을모두지나지않으면 P 지점과 Q 지점은반드시지난다. 따라서구하는경우는 A P Q R B 를지날때이므로 33. [ 정답 ] 국어 는배열순서가정해져있으므로같은문자로취급한다. 수학영어도마찬가지로생각하면 와같은문자를배열하는방법의수와같다. 가지 경우의수는 29. [ 정답 ] 4 36
34. [ 정답 ] A P Q 점프방법은 의세가지경우가있다. : : : 로나타내면 4 번을점프하여 에서 로이동하는경우는 를배열하는경우의수로나타낼수있다. i) : 1 가지 ii) : 가지 iii) : [ 그림 2] B [ 그림 1] 에서 A 지점에서출발하여산책로를따라최단거리로 B 지점에도착하는경우의수는 [ 그림 2] 에서 A 지점에서출발하여실선을따라최단거리로 B 지점에도착하는경우의수와같다. (1) A P B 의경우 ( 가지 ) (2) A Q B 의경우 ( 가지 ) 따라서구하는경우의수는 ( 가지 ) 가지 35. [ 정답 ] 5 다섯번의프로그램에참여하여시간합계가 시간이되도록하는방법은다음과같다. (1) 의경우작성할수있는봉사활동계획서의가짓수는 A A A A D를나열하는방법의수와같으므로 ( 가지 ) (2) 의경우작성할수있는봉사활동계획서의가짓수는 A A A B C를나열하는방법의수와같으므로 ( 가지 ) (3) 의경우작성할수있는봉사활동계획서의가짓수는 A A B B B를나열하는방법의수와같으므로 ( 가지 ) 따라서구하는가짓수는 ( 가지 ) 36. [ 정답 ] B 지점 A 지점 [ 그림 1] 37. [ 정답 ] 3 [ 출제의도 ] 같은문자가들어있는수열 로봇이원점 O 에서출발하여 번움직일때가능한모든경로의수는오른쪽그림과같이나타내는점들이다. 오른쪽으로 칸움직이는것을 왼쪽으로 칸움직이는것을 위쪽으로 칸움직이는것을 아래쪽으로 칸움직이는것을 라하면 (ⅰ) 원점 O에서점 A로움직이는경우의수는 를 개나열하는경우 의수 가지 (ⅱ) 원점 O 에서점 B F 로움직이는경우의수는 한개 를 개또 는 를 개 를한개나열하는경우의수이므로 가지 (ⅲ) 원점 O에서점 C로움직이는경우의수는 가 개 각각 개씩나열하는경우의수이고단 와 는한번통과한지점은다시 지나지않으므로이웃할수없다. 따라서 가지경우이 므로 가지 O A B C D E F (ⅳ) 원점 O에서 D로가는경우는 가 개 가 개나열하는경우의 수 가지 (ⅴ) 원점 O 에서 E 로가는경우는 37
인경우의수 가지 따라서구하는경우의수는 (ⅰ)~(ⅴ) 에의하여 가지경우이고이런경우 가 번반복되므로 가지이다. 38. [ 정답 ] 34 [ 출제의도 ] 순열과조합 ⅰ) 분음표만 개를사용하는경우는 C ( 가지 ) ⅱ) 분음표 개, 분음표 개를사용하는경우는 C ( 가지 ) ⅲ) 분음표 개, 분음표 개를사용하는경우는 C ( 가지 ) ⅳ) 분음표 개, 분음표 개를사용하는경우는 C ( 가지 ) ⅳ) 분음표만 개를사용하는경우는 C ( 가지 ) 따라서 ⅰ)~ⅳ) 에의해 ( 가지 ) 이다. [ 순열 ] 보다큰자연수는다음과같이구분하여생각할수있다. (i) 십만자리의수가 인경우의수는 를 일렬로배열하는경우의수와같으므로 ( 개 ) (ii) 십만자리의수가 인경우의수는 를 일렬로배열하는경우의수와같으므로 ( 개 ) 따라서 (i), (ii) 에의하여구하는경우의수는 ( 개 ) 41. [ 정답 ] [ 출제의도 ] 순열과조합갑, 을이같은속력으로굵은선을따라걸으므로두사람이만나는곳은다음그림의 Q 이고, 이때, 병도갑, 을과같은속력으로걸어가고있으므로세사람이모두만나려면병도 Q 를반드시지나야한다. 39. [ 정답 ] 1 [ 출제의도 ] A 1 2 2 3 4 4 5 1 번길을이용하여 B 로가는경우 ( 가지 ) 2 번길을이용하여 B 로가는경우 ( 가지 ) 3 번길을이용하여 B 로가는경우 ( 가지 ) 4 번길을이용하여 B 로가는경우 ( 가지 ) 5 번길을이용하여 B 로가는경우는최단거리로가는경우가아니다. 따라서구하는경우의수는 ( 가지 ) [ 다른풀이 ] (1) 각갈림길까지 1 최단경로로 1 1가는경우의수를적으면다음과같다. A 1 2 2 3 4 4 5 1 1 2 3 4 3 3 1 3 7 7 B (2) 구하는최단경로의 4수는다음 7 그림에서 B 14 A에서 B로가는최단경로의수와같다. A 따라서세사람이모두만나는경우의수는병이 B 에서출발하여 Q 를거쳐 D 에도달하는경우의수와같다. 이때, 병의 B에서 R에이르는최단경로의수는 이고, S에서 D에이르는최단경로의수는 이므로구하는경우의수는 가지이다. 42. [ 정답 ] ⅰ) 가이웃하는경우의수는 를일렬로나열하면 : ⅱ) 가이웃하는경우의수는 를일렬로나열하면 : ⅲ) 와 가동시에이웃하는경우의수는 를일렬로나열하면 : 그러므로총경우의수는 ( 가지 ) ( 가지 ) 43. [ 정답 ] [ 출제의도 ] 조합의기호를알고, 그값을구할수있는가? C ( 가지 ) 40. [ 정답 ] B 44. [ 정답 ] 38
이므로 45. [ 정답 ] 에서, 46. [ 정답 ] 47. [ 정답 ] 학년 명중에서 명을뽑는경우의수는 C 가지 학년 명중에서 명을뽑는경우의수는 C 가지 따라서 학년에서 명을뽑고 학년에서 명을뽑는방법의수는 C C 가지 48. [ 정답 ] 4 5일중 3일을선택하여요가를하는방법의수는 나머지 2 일중하루를수영, 줄넘기중한가지를하고남은하루는농구, 축구중한가지를하는방법의수는 따라서구하고자하는방법의수는 49. [ 정답 ] 3 오늘처리할업무를택하는방법은 A B 를제외한 가지업무중 가지를택하는조합이므로 ( 가지 ) 택한 가지업무중 A B 는순서가정해져있으므로 이를같은업무로생각하면이 가지업무의처리순서 를정하는경우의수는 ( 가지 ) 따라서, 구하는경우의수는 ( 가지 ) 50. [ 정답 ] 4 기본재료만포함된김밥의가격이 1000 원이므로차액만큼의선택재료가추가되면된다. i) 가격이 1500 원일때, 200 원짜리와 300 원짜리재료를각각하나씩선택하면되므로 i) 가격이 2000 원일때, 200 원짜리와 300 원짜리재료를각각두개씩선택하면되므로 따라서, 이다. 51. [ 정답 ] 4 1 부 2 부 독 중 합 독 중 합 합 52. [ 정답 ] 2 남학생, 여학생의수를각각 ( 명 ) 이라고하면 C n C 53. [ 정답 ] 3 [ 출제의도 ] 순열과조합 12 명을 4 명씩 A, B, C 의세조로나눈다고하자. 각지역에서선발된 3 명을세조에한명씩배치하는경우의수는각각 이므로 4 지역의 12 명을모두배치하는경우의수는 이다. 그런데, 세조 A, B, C 는서로구별되지않으므로구하는경우의수는 54. [ 정답 ] 4 (ⅰ) 선택한세곳이모두 A 지역일경우 ( 가지 ) (ⅱ) 선택한세곳이모두 B 지역일경우이는 B 지역의네곳중세곳을선택한경우와같다. C ( 가지 ) (ⅲ) 선택한세곳이모두 C 지역일경우위와같은방법으로 C ( 가지 ) (ⅳ) 선택한세곳이모두 D 지역일경우위와같은방법으로 C ( 가지 ) 따라서 (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ), (ⅳ) 에의하여 ( 가지 ) 55. [ 정답 ] [ 출제의도 ] 경우의수각업종별로적어도하나의회사를선택해야하므로 3 개의회사중어느한회사에는 2 개의입사원서를내게된다. 따라서다음의세경우로나누어확률을구하면 (ⅰ) 증권회사에 2 개, 통신회사에 1 개, 건설회사에 1 개의원서를내는경우 C C C (ⅱ) 증권회사에 1 개, 통신회사에 2 개, 건설회사에 1 개의원서를내는경우 C C C 39
(ⅲ) 증권회사에 1 개, 통신회사에 1 개, 건설회사에 2 개의원서를내는경우 C C C (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ) 에서구하는경우의수는 36+36+54=126( 가지 ) 를제외한 개의과자에서 개를택하는방법의수이므로 C C ( 가지 ) 따라서 (i), (ii) 에의해서로다른세트상품을만들수있는방법의수는 ( 가지 ) 56. [ 정답 ] 전체의경우에서 가모두같은동아리에가입하는경우를빼면된다. 가각각동아리를선택하는경우는 이므로 가지 57. [ 정답 ] A 가 종류를선택하므로 C ( 가지 ) B 는 A 가선택한것중하나와 A 가선택하지않은 나머지셋중하나를선택하므로 ( 가지 ) C ( 가지 ) [ 다른풀이 ] 공통인것하나를먼저택하고나머지넷중서로다른것을하나씩택한다. C ( 가지 ) 58. [ 정답 ] 3 가 의배수이므로 인경우 는 ( 가지 ), 는 C ( 가지 ) C ( 가지 ) 인경우 는 ( 가지 ), 는 C ( 가지 ) C ( 가지 ) 인경우 는 ( 가지 ), 는 C ( 가지 ) C ( 가지 ) ( 가지 ) 59. [ 정답 ] 200 [ 출제의도 ] 여학생 5명을 1, 2호실에각각 3명, 2명씩배정하는방법의수는 남학생 6명을 3, 4호실에각각 3명씩배정하는방법의수는 따라서구하는모든방법의수는 60. [ 정답 ] 25 [ 출제의도 ] 순열과조합 (i) 를포함하는세트의개수 를제외한 개의과자에서 개를택하는방법의수이므로 ( 가지 ) C (ii) 를포함하지않는세트의개수 61. [ 정답 ] 160 [ 출제의도 ] 순열과조합놀이기구의좌석을다음과같이나타내면 A B (i) A 행의좌석에서 개를택하여남학생두명을앉히는방법의수는 P ( 가지 ) 각각의옆자리에는여학생을앉히는방법의수는 ( 가지 ) 이므로구하는방법의수는 ( 가지 ) 마찬가지로, A 행의두좌석에여학생을앉히는방법을생각하면구하는경우의수는 ( 가지 ) (ii) 남학생 명과여학생 명을택하여 A 행의두좌석에서앉히면그옆자리에앉는사람은주어진조건에의해자동으로결정되므로구하는경우의수는 C C P ( 가지 ) 따라서 (i), (ii) 에의해구하는경우의수는 ( 가지 ) 62. [ 정답 ] 4 [ 출제의도 ] 순열과조합을이용하여경우의수를구한다. 정사각형모양의노란색시트지 장을창문네개중두개를택하여붙 이는경우의수는서로다른 개에서 개를택하는조합의수와같으 므로 C 이다. 나머지창문 개를직각이등변삼각형모양으로각각나누는경우의수는 이고, 나누어진네개의영역에직각이등변삼각형모양의시트지 장을붙이는경우의수는 이다. 따라서곱의법칙에의하여구하는경우의수는 C 63. [ 정답 ] 4 주어진조건을만족하려면 개의가로행에는각각적어도하나의검은색유리상자가들어가야하고, 개의세로열에도각각적어도하나의검은상자가들어가야한다. 따라서 개의가로행중에서 개의검은색유리상자 가포함될 개의행을택하는방법의수는 가지이고, 이행의 개의유리상자중에서검은색유리상자로 바뀔 개의상자를택하는경우는수는 ( 가지 ) 이다. 이제위의 가지경우의수중의하나가아래의그림과같다고하자. a b c d 40
이제 중에서한행을택하고 중에서나머지 한행을택하는방법의수는 ( 가지 ) 이다. 따라서구하는방법의수는 64. [ 정답 ] 5 부터 까지의홀수중에서 으로나눈나머지가 ( ) 인집합을 라하면,, 이때, 두수의합이 이되는경우는다음과같다. i) ( 의원소 )+( 의원소 ) 인경우 ( 가지 ) ii) ( 의원소 )+( 의원소 ) 인경우 ( 가지 ) 이상에서구하는경우의수는 ( 가지 ) 67. [ 정답 ] 4 부터 까지의 개의자연수중중복을허락하여 개를뽑고작은것부터 로놓으면된다. 따라서구하는순서쌍의개수는 C C 68. [ 정답 ] 5 (ⅰ) 주스 병을 명에게남김없이나누어주는경우의수는 C C C (ⅱ) 생수 병을 명에게남김없이나누어주는경우의수는 C C (ⅲ) 우유 병을 명에게남김없이나누어주는경우의수는 이다. 따라서구하는경우의수는 65. [ 정답 ] 4 [ 출제의도 ] 중복조합또는자연수의분할과같은것이있는순열의수를이용하여경우의수를구할수있는가? 천의자리수를, 백의자리수를, 십의자리수를, 일의자리수를 라하면 이고 이므로 라하면 ( 단, 은음이아닌정수 ) 을만족하는해의개수는 H C [ 다른풀이 ] 을 개의자연수로분할하면 각경우로나누어자연수의개수를구하면다음과같다. (ⅰ) 각자리의수가 인경우 자연수의개수는 (ⅱ) 각자리의수가 인경우 자연수의개수는 (ⅲ) 각자리의수가 인경우 자연수의개수는 따라서, (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ) 에의하여구하는자연수의개수는 69. [ 정답 ] 출제의도 - 중복조합의수를구할수있는가? H C C 70. [ 정답 ] H C C C H H C C 71. [ 정답 ] 감, 배, 귤을각각,, 개택한다고했을때 (ⅰ) 사과를 개택하는경우 (,, 는자연수 ) 따라서 H C (ⅱ) 사과를택하지않는경우 (,, 는자연수 ) 따라서 H C (ⅰ), (ⅱ) 로부터구하고자하는경우의수는 66. [ 정답 ] 4 경우를분류해보면 (i) 숫자 가한개일때, (ii) 숫자 가한개도없을때의두가지경우이다. 숫자 가한개일때는 을중복하여 개를뽑으면되므로 의개수를 라하면, H C 숫자 가한개도없을때는 을중복하여 개를뽑는경우이므로, H C 따라서두가지경우를합하면 가지가된다. 72. [ 정답 ] 3 [ 출제의도 ] 중복조합이용하기 사과주스, 포도주스, 감귤주스개수를각각 라고하면 을만족하는양의정수의값을구하는것이다. 적어도 병이상씩선택을해야하므로 라하고 인 이상인정수를구하는것과같다. 따라서 H C C C 개이다. 41
73. [ 정답 ] 3 [ 출제의도 ] 중복조합을이용하여순서쌍의개수를구할수있는가? 주어진조건을만족시키는세자연수 의순서쌍 의개수는 이하의자연수중에서중복을허락하여 개를택하는중복조합의수와같다. 이때 는각각음의정수와양의정수의값을가질수있으므로 순서쌍 의개수는 의개수의 배와같다. 따라서구하는순서쌍의개수는 H C C 74. [ 정답 ] 5 [ 출제의도 ] 중복조합이해하기 (ⅰ),, 가모두짝수인경우 H C (ⅱ),, 중 개만짝수인경우짝수 개를선택하는경우의수는 홀수 개중중복을허락하여 개를선택하는경우의수는 H 선택한세수를크기순으로나열하는경우의수는 이므로 H 따라서 (ⅰ), (ⅱ) 에의하여구하는경우의수는 75. [ 정답 ] [ 출제의도 ] [ 중복조합 ] 가홀수이므로 모두홀수 의조건에의해 이하의홀수들중중복하여 3 개를뽑는경우의수를구하면된다. 이하의홀수는총 개이므로구하고자하는경우의수는 76. [ 정답 ] 3 네개의자연수중에서중복을허락하여세수를선택하는경우의수는 ᄀ 이때, 네개의자연수 은각각 으로나타낼수 있고, 이므로ᄀ중에서 인경우는제외해야하므로구하고자하는경우의수는 77. [ 정답 ] 5 명의학생이흰색탁구공을각각 개씩받는다면 ( 인자연수 ) C C ᄀ 주황색탁구공을각각 개씩받는다면 ( 인자연수 ) C C ᄂ ᄀ, ᄂ에서 78. [ 정답 ] i) 초콜릿사탕 개를택할때, 박하사탕, 딸기사탕, 버터사탕을각각 개, 개, 개씩택한후, 박하사탕, 딸기사탕, 버터사탕중에서중복을 허락하여나머지 개의사탕을추가로택하면된다. 이때, 이경우의수는서로다른 개에서중복을허락 하여 개를뽑는중복조합의수와같으므로 ii) 초콜릿사탕 개를택할때, 박하사탕, 딸기사탕, 버터사탕을각각 개, 개, 개씩택한후, 박하사탕, 딸기사탕, 버터사탕중에서중복을 허락하여나머지 개의사탕을추가로택하면되므로이경우의수는 iii) 초콜릿사탕 개를택할때, 박하사탕, 딸기사탕, 버터사탕을각각 개, 개, 개씩택한후, 박하사탕, 딸기사탕, 버터사탕중에서중복을 허락하여나머지 개의사탕을추가로택하면되므로이경우의수는 iv) 초콜릿사탕 개를택할때, 박하사탕, 딸기사탕, 버터사탕을각각 개, 개, 개씩택한후, 박하사탕, 딸기사탕, 버터사탕중에서중복을 허락하여나머지 개의사탕을추가로택하면되므로이경우의수는 v) 초콜릿사탕 0 개를택할때, 박하사탕, 딸기사탕, 버터사탕을각각 개, 개, 개씩택한후, 박하사탕, 딸기사탕, 버터사탕중에서중복을 허락하여나머지 개의사탕을추가로택하면되므로이경우의수는 따라서구하는경우의수는 79. [ 정답 ] 3 (ⅰ) 일때 (,, 는자연수 ) 이므로 H H (ⅱ) 일때 (,, 는자연수 ) 이므로 H H (ⅰ), (ⅱ) 로부터구하고자하는순서쌍 의개수는 80. [ 정답 ] 3 로놓으면 가 이상의정수이므로 은 이상의정수이다. 이때, 주어진방정식에대입하면 을만족시키는 이상의정수 의순서쌍 의개수를구하는방법의수와같다. 즉, 의 개의문자중에서중복을허용하여 개를뽑는중복조합의수와같으므로 H C C C 81. [ 정답 ] 2 고구마피자를 개, 새우피자를 개, 불고기피자를 개주문한다고 하자. 단, 는음이아닌정수 ) 42
하나씩시킨후더시키는개수의합은 이므로 86. [ 정답 ] 방정식 을만족시키는모든순서쌍 () 의개수는 H C C 이때, 조건 ( 나 ) 를만족시키지않는순서쌍 는 뿐이다. 82. [ 정답 ] 순서쌍 의개수는,,, 의 개중에서중복을 허락하여 개를택하는중복조합의수와같다. ( 개 ) 83. [ 정답 ] 서로다른세문자 에서중복을허락하여 개를뽑는조합의수이므로 84. [ 정답 ] 5 A B C 명의아이에게사탕 개를 개이상씩나누어주는경 우를먼저생각하면 A B C (ⅰ) (ⅱ) (ⅲ) (ⅳ) (ⅴ) (ⅵ) (ⅰ)~(ⅲ) 의경우 개의사탕을받은아이에게만 초콜릿 개를 개이상씩나누어주는경우는 의 가지이므로 경우의수는 (ⅳ)~(ⅵ) 의경우는 개의사탕을받은아이가 명이 므로그아이가초콜릿 개를모두가진다. 따라서, 구하는경우의수는 85. [ 정답 ] 4 [ 출제의도 ] 으로이루어진 6 개의점수를순서를고려하지않고나열하는방법의수는 3 개에서 6 개를택하는중복조합의수와같다. 즉, H C C ( 가지 ) 이때, 점수의합이 51 점미만이되는경우는,,, 의 4 가지이다. 따라서구하는경우의수는 ( 가지 ) 87. [ 정답 ] 4 [ 출제의도 ] 중복조합을이용하여순서쌍의개수를구할수있는가? 인것 개를정하는경우의수는 C ᄀ 일때 을만족시키는자연수 의순서쌍 의개수는,, ( 단, 는음이아닌정수 ) 라하면 을만족시키는순서쌍 의개수와같으므로 C C C ᄀ, ᄂ에서구하고자하는순서쌍의개수는 ᄂ 88. [ 정답 ] 1 [ 출제의도 ] 중복조합 이므로 일때는만족하는순서쌍이없다. (ⅰ) 일때, ( 가 ) 조건에서 Н С С (ⅱ) 일때, ( 가 ) 조건에서 Н С (ⅰ), (ⅱ) 로부터구하고자하는순서쌍 의개수는 89. [ 정답 ] [ 출제의도 ] 중복조합의수를이용하여순서쌍의개수를구할수있는가? ( 나 ) 에서 가모두 의배수이므로 ( 가 ) 의좌변 는 의배수이다. 따라서 는 또는 또는 만가능하다. 1 일때, 단, 은자연수 ) 로놓으면 단, 은자연수 ) 를만족시키는 순서쌍 의개수가순서쌍 의개수와 같으므로 가지이다. 2 일때, 단, 은자연수 ) 로놓으면 을만족시키는자연수 은존재하지않는다. 3 일때, 43
단, 은자연수 ) 로놓으면 단, 은자연수 ) 를만족시키는 순서쌍 의개수가순서쌍 의개수와 같으므로 가지이다. 4 일때, 단, 은자연수 ) 로놓으면 단, 은자연수 ) 를만족시키는 순서쌍 은 밖에없으므로 순서쌍 의개수는 가지이다. 5 이면만족시키는순서쌍 은존재하지않는다. 따라서조건을만족시키는모든순서쌍 의개수는 가지이다. 90. [ 정답 ] [ 출제의도 ] 경우의수 - 중복조합 인경우의수에서 인경우의수를빼면된다. 을만족하는음이아닌정수해개수는 이고 1 일때 을만족시키는음이아닌정수해개수는 가지 2 을만족시키는음이아닌정수해개수는 가지 3 을만족시키는음이아닌정수해개수는 가지 4 을만족시키는음이아닌정수해개수는 인 가지 따라서구하는순서쌍 ( ) 의개수는 가지이다. 91. [ 정답 ] 2 [ 출제의도 ] ᄀ ᄂᄀ에서ᄂ을변끼리빼면 이므로 ᄂ에서 를대입하여정리하면 따라서 을만족하는음이아닌정수 의순서쌍 의개수는서로다른 개에서 개를택하는중복조합의수와같으므로 H C C 이때, 는항상 이므로순서쌍 의개수는 이다. 92. [ 정답 ] 9 자연수 에대하여 을만족시키는 보다큰자연수 는 ( 단, 는자연수 ) 꼴이므로 이라하면 이고 을만족시키는자연수 의순서쌍 개수가 일때이다. 즉, 을만족시키는자연수 의값은 이다. 93. [ 정답 ] 5 을만족하는음이아닌정수해의순서쌍 의 개수는 H C 개이다. ( 나 ) 조건에서 는한직선위에있지않으므로 즉, 이다 를만족하는다음 5 가지를제외한다. 따라서순서쌍 를구하면 이다. 따라서만족하는개수는 ( 개 ) 94. [ 정답 ] 각색의색연필이적어도하나씩포함되므로구하는방법의수는 개의 색중에서중복을허용하여 개, 개, 개,, 개를뽑는방법의수와같다. 따라서구하는방법의수는 C C C C C C C C C C C C C C 95. [ 정답 ] 6 [ 출제의도 ] 집합의분할이해하기 은원소의개수가 인집합을집합의원소가각각 개, 개, 개인부분집합으로분할하는방법의수와같다. C C C 96. [ 정답 ] 1 명을두팀으로나누는경우의수와같다. ( 명을두팀으로나누는경우의수 ) =( 명을두팀으로나누는경우의수 ) +( 명을한팀으로나누는경우의수 ) ( 명을두팀으로나누는경우의수 ) =( 명을두팀으로나누는경우의수 ) +( 명을한팀으로나누는경우의수 ) = 44
이므로 이다. < 다른풀이 > C C C 97. [ 정답 ] [ 출제의도 ] 유한집합을서로소인몇개의집합의합집합으로나타낼수있는방법의수를구하기 [ 출제의도 ] 자연수의분할이해하기 따라서 을세개의자연수로분할하는방법의수는 98. [ 정답 ] [ 출제의도 ] 집합의분할을이해하고분할하는방법의수를구한다. 원소의개수가 인집합 를공집합이아닌 개의서로소인부분집합 으로분할하는방법의수는원소의개수가 인집합과 인집합, 원 소의개수가 인집합과 인집합, 원소의개수가 인집합과 인 집합, 원소의개수가 인두개의집합으로분할하는경우의수를모두더한값과같다. ⅰ) 원소의개수가 인집합과원소의개수가 인집합으로분할하는방법의수 집합 에서원소가 개인집합을선택하는방법의수와같으므로 C ⅱ) 원소의개수가 인집합과원소의개수가 인집합으로분할하는방법의수 집합 에서원소가 개인집합을선택하는방법의수와같으므로 C ⅲ) 원소의개수가 인집합과원소의개수가 인집합으로분할하는방법의수 집합 에서원소가 개인집합을선택하는방법의수와같으므로 C ⅳ) 원소의개수가 인두개의집합으로분할하는방법의수 개의원소중 개를택하여하나의집합을만들고, 남은 개의원 소로다른한집합을만들면중복되는경우가 개씩나타나므로그 경우의수는 C ⅰ), ⅱ), ⅲ), ⅳ) 로부터구하는방법의수는 [ 다른풀이 ] 원소의개수가 인집합 의부분집합의개수는 집합 의부분집합중공집합또는전체집합이아닌부분집합의개수는 따라서두개의부분집합으로분할하는방법의수는 [ 참고 ] 일반적으로원소의개수가 ( 은자연수 ) 인집합을공집합이아닌 개의 서로소인부분집합으로분할하는방법의수는 99. [ 정답 ] 1 [ 출제의도 ] 경우의수를구할수있는가를묻는문제이다. 개, 개로나누어저장하는경우는 가지이고, 개, 개로나누어저장하는경우는 C C 가지이므로 ( 가지 ) 이다. 100. [ 정답 ] 3 101. [ 정답 ] 3 이하나도없는경우 의합으로 을만들려면, 의개수는 네가지이다. 가지 이 개가있는경우 의합으로 를만들려면, 개의개수는 세가지이다. 가지 이 개가있는경우 의합으로 을만들려면, 가능한방법은 가지뿐이다. 가지 에서분할의수는 ( 가지 ) 102. [ 정답 ] 2 103. [ 정답 ] 4 의 분할을모두나열하면다음과같다. 따라서구하는방법의수 P 이다. 104. [ 정답 ] 2 이므로구하고자하는방법의수는 [ 다른풀이 ] 자연수 6 을짝수개로분할하는방법의수는 PPP 이다. [ 참고 ] P 는 로 개 P 는 로 개 P 는 로 개 105. [ 정답 ] 3 [ 출제의도 ] 자연수의분할을활용하여문제해결하기같은종류의접시 개에같은종류의쿠기 개를남김없이나누어담는방법의수는 을 개의자연수로분할하는방법의수 과같다. 45
을 개의자연수로분할하는방법은 따라서구하는방법의수는 106. [ 정답 ] 1 ㄱ. (i)이짝수일때 라하면 (ii)이홀수일때 이라하면 (i), (ii) 에서 ( 참 ) ㄴ. 라하면 이고이때, 이므로 따라서 ( 거짓 ) ㄷ. 일때 따라서 ( 거짓 ) 이상에서옳은것은ㄱ뿐이다. 107. [ 정답 ] 3 [ 출제의도 ] 수의분할을이해할수있는가를묻는문제이다. ㄱ. 이므로 ( 참 ) ㄴ. 이므로 ( 참 ) ㄷ. [ 반례 ] ( 거짓 ) 108. [ 정답 ] 4 다항식 의전개식의일반항은 의계수는 110. [ 정답 ] 102 [ 출제의도 ] 이항정리 의일반항 C r r C s s r s C r C s s r s 이므로 ⅰ) C C ⅱ) C C ⅲ) C C 의계수는 111. [ 정답 ] 4 위식을이항정리를이용하여일반항 C 이고 이를정리하면 C C C 이고, 를대입하면 의계수는 C 이다. 112. [ 정답 ] 135 [ 출제의도 ] 순열과조합 따라서 은 일때이므로구하는계수는 이다. 113. [ 정답 ] 5 C 이므로 의전개식에서 의계수는 일때이므로 C 의전개식에서 의계수는 일때이므로 C 따라서 의전개식에서 의계수는 109. [ 정답 ] 의전개식의일반항은 이므로 일때상수항이다. 을대입하면 114. [ 정답 ] 의전개식에서 차항은 C 이므로 46
lim lim 115. [ 정답 ] 2 의전개식에서일반항은 C C 의항은 에서 일때이므로 의계수는 C 120. [ 정답 ] 1 의계수는 C 이므로 C 따라서, 이계수는 C 121. [ 정답 ] 의전개식의일반항은 ( 단, ) 이므로 의계수는, 116. [ 정답 ] 2 [ 출제의도 ] 이항정리를이용하여계수를구할수있는가를묻는문제이다. 의일반항은 C C 이므로 에서 일때, 를만족하는정수 의값이존재하지않으므 로 항은존재하지않는다. 일때, 를만족하는 의값은각각 이므 로, 항의계수는 C C C 이다. 117. [ 정답 ] 2 [ 출제의도 ] 이항정리 을전개하였을때의일반항은 이므로 의계수는 일때 이다. 따라서 에서양수 의값은 122. [ 정답 ] 20 [ 출제의도 ] 의전개식에서일반항은 C 의계수가 의계수의 배이므로 C C ) 123. [ 정답 ] 12 C r n r x r 의계수는 일때이므로 C n 118. [ 정답 ] 의전개식의일반항은 상수항은 일때이므로 상수항은 124. [ 정답 ] 5 C 이므로 의계수는 에서 C 상수항은 에서 C, ( 는양수 ) ᄀ ᄂ 119. [ 정답 ] 의전개식의일반항은 이때, 항은 일때이므로 의계수는 이므로 125. [ 정답 ] [ 출제의도 ] 이항계수를구할수있는가? 의계수는 이고, 의계수는 이다. 따라서 에서 ( ) 126. [ 정답 ] 84 47
[ 출제의도 ] 의전개식에서일반항은 ( ) 이므로 의계수는 이다. 의계수는 이므로 에서 따라서 의계수는 은다음과같이설명할수있다. 127. [ 정답 ] 의전개식에서 의계수는 의전개식에서 의계수는 이때, 즉, 이어야하므로 ᄀ을만족하는모든경우는다음과같다. 따라서구하는 의최댓값은 이다. 128. [ 정답 ] 2 [ 출제의도 ] 이항정리를이용하여로그부등식의해를구한다. C C C C log log log log log 집합 에서 개의수를뽑는경우의수는 이 다. 이것을다음과같이나누어구할수있다. 1 을반드시포함하는경우의수는 을미리뽑았으므로나머지 개의수에서 개의수를더뽑으면되기때문에 2 를포함해서 개의수를뽑는경우의수는 3 을포함해서 개싀수를뽑는경우의수는 그런데각각의수는모두 가지경우에중복되게계산되었으므로위경우의수의합은 이것이 과같아야하므로 130. [ 정답 ] 이 의배수이므로 일때이다. 의개수는 개이다. 131. [ 정답 ] 682 따라서구하는자연수 의최솟값은 이다. 129. [ 정답 ] 3 에서 의계수는 이고 을이용하여 의계수를구하면 이다. 따라서 이다. 한편, 일때, 이므로 132. [ 정답 ] 1 의전개식에서 의계수이다. C m m C m n C m n C m 이므로 48
은 차식이므로 의계수는존재하지않고 은 의전개식의 의계수가 의계수이 다. 49