수리이과 1 강 이과 1 강 삼차함수그래프의특징 01 삼차함수의그래프 1. 기울기가같은두접선 수리영역이상빈 1 에서극댓값, 에서극솟값 을가진다. 2 에서변곡점을가지고 3 극댓점과극솟점에서 축과평행한접선을그었을때 와만나는점을 이라하면, 은차례대로등차수열을이룬다. ( 간격이모두같다.) 4 극댓점 와접선과의교점 을 2:1로내분한점이극솟점 가된다. 5 같은기울기를가진두접선과교점, 변곡점들도간격이일정하다. 2. 변곡점은삼차함수의정중앙 1 변곡점에대한점대칭함수 2 변곡점을지나는직선과곡선으로둘러싸인넓이는서로같다. 수리영역이상빈 211
01 삼차함수 가서로다른세실수 에대하여 을만족시킨다. 이때, 를 와 로나타내면? <01 수능 > 1 2 3 4 5 26) 02 자연수 에대하여곡선 위의점 에서의접선이이곡선과다시 만나는점의 좌표를 이라할때, 의값은? 1 2 3 4 5 27) 03 양수 a 에대하여점 에서곡선 에그은접선과점 에서곡선 에그은접선이서로평행할때, 90a 의값을구하시오. <08. 6 평가원 > 28) 212 청솔퍼스트클래스
수리이과 2 강 이과 2 강 정사면체의특징 02 정사면체의성질 한모서리의길이가 인정사면체에서 1 마주보는두모서리는항상수직 2 꼭짓점 에서밑면 로내린수선의발 는무게중심, 외심, 내심, 수심 3 높이, 부피 수리영역이상빈 4 옆면과밑면이이루는각이 일때, cos 5 정사면체의내접구의반지름 과외접구의반지름 이다. 01 한변의길이가 인정사면체 OABC가있다. 세삼각형 OAB, OBC, OCA에각각내접하는세원의평면 ABC 위로의정사영을각각,, 이라하자. 그림과같이세도형,, 으로둘러싸인어두운부분의 넓이를 라할때, 의값을구하시오. <08 수능 > 29) 수리영역이상빈 213
02 아래그림과같이한모서리의길이가 9인정사면체 가있다. 모서리 의삼등분점중에서꼭짓점 에가까운점을각각 이라하고, 꼭짓점 에서밑면에내린수선의발을 라하자. 빛이밑면 와수직으로비칠때, 사면체 을선분 를회전축으로하여 만 큼회전시킨다. 이때사면체 에의해면 에생기는그림자의넓이를구하면? 빛 1 2 3 4 5 30) 214 청솔퍼스트클래스
수리이과 3 강 이과 3 강 일속력과분수방정식 03 일속력과분수방정식 속력과분수방정식 거리속력 시간 거리시간 속력 물의양유속 시간 물의양시간 유속 일의양일속력 시간 일의양시간 일속력 수리영역이상빈 1 둘이같이일을하면일속력은합이된다. 2 전체일의양은대개 1로잡는것이편하다. 3 시간을변수로잡고속력의합으로식을표현하는것이편할때가많다. 수리영역이상빈 215
01 막힌고속도로를따라서행운전하던승형이는고속도로를우회하는도로를발견하고급한마음에우회도로를따라고속도로에서의속력보다시속 만큼더빨리운전을했다. 우회도로가다시고속도로와만나는지점까지갔더니원래고속도로를따라운전했던것보다 8분빨리도착했다고한다. 이때승형이가원래의고속도로를따라운전한속력은시속몇 인가? ( 단, 각도로에서의속력은일정하고, 도로의폭은무시한다.) 고속도로 우회도로 02 어느회사의두작업팀 A,B가공단건설사업에참여하였다. 특정구역의작업을하는데두팀이함께일을하면 A팀만일하는것보다 4일이덜걸리고, B팀만일하는것보다 9일덜걸린다고한다. A,B 두팀이함께일을하여작업을마치는데걸리는일수는? ( 단, 두팀의하루평균작업량은일정하다.) 1 4 일 2 5 일 3 6 일 4 7 일 5 8 일 31) 216 청솔퍼스트클래스
수리이과 3 강 03 다음그림과같이석유저장탱크에 세개의관이연결되어있다. 관으로만석유를배출하면 30분, 관으로만석유를배출하면 60 분동안저장탱크의모든석유가배출된다. 어느날정오에석유가가득담긴상태에서 두개의관으로석유를배출하다가 12시 10분이되는순간 관은잠그고 관으로만석유를배출하면서 관을통해석유를유입하였더니 12시 30분에저장탱크가가득찼다고한다. 저장탱크가비어있는상태에서 관만으로석유를유입하면저장탱크가가득찰때까지걸리는시간은몇분이되겠는가? ( 단, 단위시간당각관을통해흐르는석유의양은일정하다.) 1 20 2 22 3 24 4 26 5 28 32) 수리영역이상빈 수리영역이상빈 217
이과 4 강 합성함수의극한 04 합성함수의극한 1. 의그래프를그린다. 2. 로치환하여좌극한과우극한을따로구한다. lim lim, lim lim 3. 는 일때, 가연속인경우합성함수 는연속이다. 4. 함수가연속인경우 ( 좌극한 ) = ( 우극한 ) = ( 함숫값 ) 5. 함수가불연속이되는경우 : ( 분모 ) = 0, ( 좌극한 ) ( 우극한 ), ( 극한값 ) ( 함숫값 ), 정수 01 함수 의그래프가다음그림과같을때, < 보기 > 중옳은것을모두고르면? 보기ㄱ. 의값은존재한다. ㄴ. lim의값은존재한다. ㄷ. 는 에서연속이다. 1 ㄱ 2 ㄴ 3 ㄷ 4 ㄱ, ㄷ 5 ㄱ, ㄴ, ㄷ 33) 218 청솔퍼스트클래스
수리이과 4 강 02 함수 가 이고, 그그래프는그림과같다. 이때, < 보기 > 의설명중옳은것을모두고른것은? <05. 10 교육청 > 보기 ㄱ. lim ㄴ. lim ㄷ. lim 1 ㄴ 2 ㄷ 3 ㄱ, ㄴ 4 ㄱ, ㄷ 5 ㄴ, ㄷ 34) 수리영역이상빈 03 두함수, 에대하여 < 보기 > 에서항상옳은것을모두고른것은? <08. 6 평가원 > 보기ㄱ., 일때, 는 < 에서연속이다. ㄴ. 가 에서연속이면 는 에서연속이다. ㄷ. 가 에서연속이면 는 에서연속이다. 1 ㄱ 2 ㄴ 3 ㄱ, ㄴ 4 ㄱ, ㄷ 5 ㄴ, ㄷ 35) 수리영역이상빈 219
이과 5 강 부채꼴도형의극한 05 부채꼴도형의극한 부채꼴에서의삼각함수극한값구하기 sin tan sin 양변에극한을취하면, lim sin lim sin sin cos lim sin 인경우 : 내접원 의지름 220 청솔퍼스트클래스
수리이과 5 강 01 원 O 위의한점 A 에서 BAC 가되도록두현 AB AC 를긋고 BAC 의삼등분선이원 O 와만나는점을 D E 라고하자. 이때, lim BC DE 의값은? 1 2 3 4 5 36) 수리영역이상빈 02 그림과같이중심각의크기가 θ 이고반지름의길이가 인부채꼴 OAB 가있다. 부채꼴의호 AB 의길이를, 삼각형 OAB 에내접 하는원의둘레의길이를 라할때, lim 의값은? <06. 9 평가원 > 37) 수리영역이상빈 221
03 그림과같이지름의길이가 이고, 두점 A, B 를지름의양끝점으로하는반원위에점 C 가있다. 삼각형 ABC의내접원의중심을 O, 중심 O 에서선분 AB와선분 BC에내린수선의발을 각각 D, E 라하자. ABC 이고, 호 AC의길이를, 호 DE의길이를 라할때, lim 의 값은? ( 단, < < 이다.) <08. 6 평가원 > 1 2 3 4 5 38) 222 청솔퍼스트클래스
수리이과 6 강 이과 6 강 초월함수의극한 06 초월함수의극한 초월함수의그래프이해 tan sin ln 수리영역이상빈 1 lim sin lim tan lim lim ln 2 인경우 sin tan ln 는모두같다 3 lim sin lim tan lim lim ln 4 lim sin lim tan 5 lim cos lim cos lim cos sin cos lim 01 lim 의값은? <05 수능 > tan 1-2 2-1 3 1 4 2 5 4 39) 수리영역이상빈 223
02 lim sin 40) ln 의값을구하시오. sec 03 lim 의값은? <06 수능 > sec 1 2 3 4 5 41) 04 실수에서정의된함수 가 lim 을만족할때, < 보기 > 에서모두고른것은? <04. 9 평가원 > lim 가존재하는 를 보기ㄱ. sin ㄷ. ln ㄴ. cos 1 ㄱ 2 ㄴ 3 ㄱ, ㄷ 4 ㄴ, ㄷ 5 ㄱ, ㄴ, ㄷ 42) 224 청솔퍼스트클래스
수리이과 7 강 이과 7 강 계수의합이 1 인벡터의합 07 벡터의합이 1 인벡터의합 1. 의경우 1 2 : 는 와 의내분점 : 는 와 의외분점 2. 벡터의크기가일정하고각이바뀌는경우 수리영역이상빈 원 ( 구 ) 의둘레 원뿔의모선 구와평면의교선 구밖의점에서의접선 수리영역이상빈 225
01 좌표공간에서 인구가있다. 이구와 평면이만나는교선위에점, 평면과만나는교선위에점 가있다. 구의중심을 라하면 의최댓값과최솟값을각각 이라할때, 의값을구하시오. 43) 02 그림은모든모서리의길이가 인두개의정사각뿔 O ABCD, O DCEF에대하여모서리 CD 를일치시킨도형을나타낸것이다. OB OF 의값을구하시오. ( 단, 면 ABCD 와면 DCEF는한평면위에있다.) <07. 9 평가원 > 44) 03 두평면 의교선을 이라하자. 평면 위에있는원 과평면 위에있는원 는반지름의길이가모두 이다. 그림과같이원 과원 는점 C 에서직선 과접한다. 의중심 O 을지나고평면 에수직인직선과 의중심 O 를지나고평면 에수직인직선이만나는점을 P 라 하자. O CO 일때, 위에있는임의의 점 A 와 위에있는임의의점 B 에대하여 PA PB 의최댓값을, 최솟값을 이라하자. 의값을구하시오. <06. 9> 45) 226 청솔퍼스트클래스
수리이과 8 강 이과 8 강 정사영을이용한벡터내적 08 벡터의정사영 벡터의내적 cos cos 수리영역이상빈 01 다음그림과같이 인직사각형 에서선분 의 3등분점중꼭짓점 에가까운점을 라할때, 의값을구하시오. 46) 3 02 좌표평면에서점 와동점 가있다. 을만족하면서동점 가움직일때, 원점 에서동점 에이르는거리의최솟값을구하시오. 47) 수리영역이상빈 227
03 다음은선분 가지름인원밖의한점 에서지름의양끝점 에그은선분이원과만나는점을각각 라할때, 할선의길이사이의성질을벡터의내적을이용하여증명하는과정이다. 점 에서변 와원이만나는점 로선분을그으면 가지름인원의성질로부터 가된다. 마찬가지로 가성립한다. 라하면, 벡터의내적의정의로부터 cos 가성립한다. 여기서 cos ( 가 ) cos ( 나 ) 가성립하므로, ( 가 ) ( 나 ) 따라서 ( 다 ) 의성질이성립한다. 위의증명과정에서 ( 가 ), ( 나 ), ( 다 ) 에들어갈것으로알맞은것은? ( 가 ) ( 나 ) ( 다 ) 1 2 3 4 5 48) 228 청솔퍼스트클래스