지식이수학이나, 수리적인과학에바탕을두고있지않다면지식이라고확신할수없다!. - 레오나르도다빈치 목표 : 유체유동현상을지배하는기본적인원리공부 Why? 자연의본질을이해 일반적인보존원리들로표현된지배법칙들로기술 주몽드라마 : 철제무기개발? 지배방정식 (Governing equation) 구성방정식 (Constitutive equation)? 난로위에놓인주전자의물은뜨거워지고방한쪽에놓여진컵안의커피는차가워진다. 이러한간단한열현상들은어떤물체가얻거나일어버리는에너지차이는, 각각물체로의총열전달과동일하다는일반원리에의해동일하게지배된다. 모든자연현상들은비록서로다를지라도, 개개의현상들의발전과정에서는몇가지의같은일반적인원리들에의해지배된다. 농구경기에서모든매경기들이서로다를지라도매경기마다심판에의해같은규칙들이적용된다.
보존법칙은보편성을지닐뿐만아니라유사한형태의간단한수식으로표현할수있다. 밀폐시스템에대해시스템의질량 m이움직이고변하는동안시스템의특성물리량의보존은일반적으로다음과같이표현 도함수 D( )/Dt = 밀폐시스템에서의시간 (t) 에관한변화율 B는보존법칙들마다의고유한특정물리량이다. 특성량 A 의밀도를다음과같이정의 보존법칙의일반적인형태는다음과같이표현 최종적으로밀도식 에의해, 기호 ( ) 는보존법칙이수학적으로유도될수없지만, 정의에의해사실로받아들여질때사용된다.
질량보존법칙 ( 연속방정식, continuity equation) : - 물리적시스템내부의총질량은보존된다는관찰 - 밀폐시스템에대해나타낸식 (2.3) 의일반적인형태에다가 을대입하면, - 질량보존방정식은스칼라방정식이므로좌표계의선택에무관. - 밀폐시스템의경우, 카페에서오렌지쥬스를시켰는데유리잔이깨어져있었다 잔을바꾸어달라고하였더니이번에는다른모양의유리잔에담아주었다 이경우잔이바뀌어도 은는달라지지않는다 확인방법은 나프탈렌
만약에작용하는힘이동일하다면더작고가벼운물체의움직임이더많을것이다. B.C 3세기때, Aristotle 선형운동량보존법칙 (= Newton's 제 2 법칙 ) 앞의일반식에 대입따라서, 선형운동량보존은 - 속도과힘은벡터양이므로, 운동량방정식은벡터방정식 ( 몇개?) - 운동량방정식은적절한좌표계에관하여표현되어야한다. - 이법칙은시스템의선형운동량변화율은물체에작용하는합력과평형을이룬다는사실을의미한다. 즉, 초기에멈춰있는유체는오직유효결과력이존재할때만움직이게된다 ( 가속 ). 그때유동은유효합력이가해지는방향으로움직인다.
질량과체적 (Mass and Volume) - 밀폐시스템내부의질량 은일정하다. - 질량과질량이차지하는체적 는시간에따라움직이고변한다. 그러나, 항상질량은시스템경계를통과하지못한다. 속도벡터 (Velocity Vector) - V는밀폐시스템내부의좌표계에상대적인유체의속도벡터이다. - 원칙적으로, 속도는시스템내부의위치와시간에따라변한다. V = V(x,y,z,t). 힘벡터 (Force Vector) Force = Mass x Acceleration - 1N 은 1 제곱초당 1 미터비율로 1 kg 의질량을가속하기위해서필요한힘 - 힘 = 체적력 (body force) + 표면력 (surface force) 체적력 (Body forces). : 물체의전체에작용 ( 예, 무게 ) - 무게벡터는항상국소중력벡터방향과같다. - 다른체적력에는전자기력 ( 다루지않음 )
표면력 (Surface forces). 밀페시스템의경계면의전체나일부분에작용하는외부힘. 대표적인표면력 압력 (pressure force). 이힘은국소압력으로인한압축방향으로작용하는표면력이다. 접촉력 (contact forces). 표면에서유체마찰에의해생기는접선방향의점성력과같이고체또는유체표면에접촉으로인하여발생하는표면력들을접촉력이라한다.
예제 2.1 문제야구선수가 50m 떨어진 2 루베이스로공을던질때 ( 그림 2.4) 초기속도 와각도 를구하라. 지배방정식. - 공을포함하는시스템경계 (system boundary) 를선택 - 고정된좌표계 (coordinate system) 에관하여운동량보존을쓸수있는밀폐시스템을만들면 기본가정. 경험으로부터, 우리는공이공기저항에의해속도가느려짐을알고있다. 그러나문제를단순하게하기위해서공기저항은이문제에서무시하며공주위의압력은일정하다고가정 초기조건. 문제에서주어진조건에따라, 에서, 는각각 와 방향의속도벡터 (velocity vector) 성분이다. 초기에, 공은선택한좌표계 (x=y=0) 는원점에있는것으로가정한다. 풀이. 각성분별운동량방정식은다음과같이표현된다.
높은궤도로던질것인가? 낮은궤도로던질것인가? ------------------------- 이예제는매우단순한문제를통해서선형운동량보존법칙의적용에대해보여주고있다. 그러나, 가정을통하여문제를단순하게했음에도불구하고얻어진해는쉽게다룰수있으며, 또한정확한것임을보여준다. 하지만, 더사실적인문제에서는공기저항을무시한다는가정이타당성이있는지를고려해야한다. 예컨대공기저항에의한힘이최종적으로해에어떤영향을주는지계산하여오차범위를제시하는것을의미한다. 또한이것은주어진문제에대해어떤해를선택하는것이나을지고민해야하는설계딜레마를제공하게된다. 이러한관건들뿐만아니라유사한모델링기법과해석상주요관건들이보다실용적일상적응용을개척하는유체역학연구의핵심을이루고있음을주지하기바란다. -------------------------
유동조건 : 유체가움직이지않는경우 ( 즉, V = 0) 예 : 스쿠버다이버, 잠수함의최대잠수깊이, 수력댐의설계 문제서술. 수면아래임의의점에서의압력 P = 잠겨져있는임의의물체가그물체위에놓여있는정지한유체의무게에의해그물체에작용되는힘 = 우리는유체에노출된단위면적당수직힘 지배방정식. 유체기둥시스템으로선택 ( 밀폐시스템, closed system), 기본가정. 문제에서유체는정지 (V = 0) 하고있다고가정
풀이. 정적인조건에서, 운동량방정식은다음과같다. 모든힘의합은영이다. 정지하고있는유체의동역학 (dynamics) 은 정수역학 (hydrostatics) 또는유체정역학 (fluid statics) 이라고부른다. 밀폐시스템에작용하는체적력과표면력모두고려하면다음과같은식을얻는다. 여기서체적력 (body force) 은? 표면력 (surface force) 은?. 수직방향 1. 체적력? 밀도 가깊이의함수인일반적인경우에무게는벡터 (vector) 형태로나타내면, 여기서 A s 는유체기둥의단면적을나타내므로 dv = A sdy. 밀도가일정하면무게는? 2. 표면력? 아랫부분의경계에서는, 따라서, Why?
윗부분의경계에서도똑같이 ( 압력이외부국소절대압력 P a 와동일 ) j 방향으로의운동량보존은다음과같이정리된다. h는액체기둥의높이이므로, A a = A b = A s 과 V/A s = h ( 유체기둥의깊이 ) 이므로, 만약밀도가일정하다면식 (2.15) 은다음과같이정리된다. P (h ) = P a + ρgh - 자유표면아래지점에서압력은자유표면에서대기압과, 단위면적당자유표면에서잠겨진위치까지의액체기둥무게를더한것과동일 - 유체내부임의의지점에서의압력 P는자유표면으로부터의수직거리로정의했던깊이 h만의함수임을의미한다. 수평방향 수직경계면을따른압력에의한힘은식 (2.15) 를사용하여다음과같이계산한다. 그러나수직경계를따른압력의변화률은동일하고 이므로두수직경계면에서의힘은서로상쇄된다. 따라서수평방향의유효합성력은영이다. 당연하다! -------------------------
문제서술. 마노미터 (manometer): 유체의연속선에의해연결된두지점사이의압력차이를측정하는간단한장치. 그림에서보여주는마노미터관은세가지의비압축성유체들로가득차있다. 관의닫힌끝은일정한압력의저수지와연결되어있다. 이배치에서저수지안의압력과, (a) Pa; (b) 계기압력 (gage pressure), kpa; (c) 동일한물기둥높이 ; (d) 동일한수은기둥높이를구하라. 기본가정. 마노미터안의유체는정지 (V=0) 풀이. 수력압력의정의를사용해서마노미터의해는다음에열거된사실로부터구함 (a) 압력은깊이의증가에따라직접적으로증가한다. (b) 두액체의경계면은유체입자에의한연속선으로연결되어있는한동일한높이에서동일한압력을가진다. 자유표면 (1) 에서의압력은 (2) 지점압력과 그리고 (2) 지점의압력은 (3) 지점압력과다음과같이 동일한방법으로, 그리고, 앞의식들을연립하면
1. 식에값을대입하면 2. 계기압력은 3. 총압력을동일한물기둥의높이 로표현하면, 4. 같은방식으로동일한압력을비중 SG =13.6 인수은의높이로표현하면
열역학제 1 법칙 (first law of thermodynamics) = 에너지방정식 (energy equation)., B= 유효에너지변화율을사용하여식 (2.3) 으로부터 또는 에너지 교환율 에너지 교환율 - 이것은밀폐시스템안에서에너지증가또는감소율이그시스템으로부터유효에너지의교환 / 전달률과동일하다. - 여기서 는시스템을구성하는물질의단위질량당에너지이다. - 에너지방정식은좌표계에독립적인스칼라방정식이다. 시스템의단위질량당에너지 는 - 식의첫번째항은단위질량당운동에너지 (kinetic energy) - 두번째항에서 u는시스템의내부에너지이며, 이것은국소온도에비례한다. < 주의 > - 열역학에서내부에너지를 u, 비체적 (specific volume) 을, 엔탈피를 h, 엔트로피를 s로사용하는것이관례가되어있다. - 그러나유체역학에서는이러한기호들이속도벡터성분, 고도나원호의길이같이다른변수로사용되었다. - 전통을유지하고열역학에서세워진관례에가능한충돌을피하기위하여전통적인기호들을유체와열역학모두사용해야하므로여기에서도그대로사용한다. 변수에대한정의와설명이각각의문장에기술되어있어야한다.
에너지는시스템경계를통한열전달과경계에서주위 (surroundings) 와의상호작용의결과로서생기는일에의해교환 열이가해지는동안시스템의총에너지는증가하고, 시스템이그주위에대해일을했을때시스템의유효에너지는감소한다. 이러한에너지교환현상을더욱정확히기술하기위하여에너지보존 (conservation of energy) 은다음과같이표현된다. = 시스템에서환경으로의전체열전달율 (heat transfer) = 시스템이주위에대해 ( 모두양의부호를갖는다 ) 이루어진유효일률 그리고
- 기계적인일 (W mech) 의정의 ( 스칼라양 ) F= 힘벡터이고, r = 변위벡터 단위 : N m 또는 Joule(J) 단위로측정된다. (1 Joule은 1미터의거리를움직일때가해진 1 Newton의힘에의해발생하는총일 ) - 만약에힘과위치벡터가동일선상이면 ( 같은방향으로작용 ) 간단히, ( 총거리 L 은크기 F 인힘이작용하는방향과같은방향으로의총거리 ) 에너지 = 일을생산하는 잠재력 " 을지닌양으로정의된다. ( 화학, 운동, 포텐셜, 열에너지등등 ) 에너지률은동력P ( 단위시간당 Joule 또는 Watt(W)) 오일안에저장된화학에너지가연소한후에 열에너지 (thermal energy) 로 그때터빈에의해운동에너지 (kinetic energy) 로 최종적으로발전기에의해전기에너지로에너지는형태가변한다. - 일률 은시스템에대해가해진힘 총일률 = 체적력이한일 + 표면력이한일 단위표면면적 fs 당표면력에작용한일률 (dw/dt) (V s 는표면성분 da s 에가해지는작용힘의속도, 그림 2.12a).
- 동일한방법으로체적력에의한일률 (V s 는시스템의체적이차지하는질량의속도, 그림 2.12b). - 체적력에기인한에너지는위치에너지 (potential energy, PE) (z 는중력방향에수직인임의의평면으로부터의높이 ) - 시스템체적에대한위치에너지의변화율 - 전체시스템의총에너지 - 따라서최종적인에너지식의형태는, - 화학에너지나핵에너지같은다른에너지의형태를포함하려면, 는다음과같이수정 기타 에너지
- 열전달 (heat transfer) : 열에너지는물리적인시스템의온도와연관이있는에너지의형태이며이열에너지의전달을일반적으로이라고표현한다. 전도, 대류, 그리고, 복사 전도 (conduction) 대류 (convection) = 대류열전달계수 (convection heat transfer coefficient) 강제대류 (forced convection), 자연대류 (free or natural convection) 복사 (radiation) 예, 태양으로부터전달된열은복사 (Stefan-Boltzmann constant) = 이다. 물체들사이의기하학적인관계에따라결정되는형태계수 (view factor)
예제2.1에서공이운동하는동안총에너지 E T 가보존된다는것을보여라 지배방정식. 밀페시스템안에서총에너지는내부에너지 (U), 운동에너지 (KE), 그리고위치에너지 (PE) 의합 기본가정. 공은주위 (surroundings) 와열적평형 (thermal equilibrium) 을이루고있다고가정한다. 즉공과그주위사이에열전달이없다는것을뜻한다. 풀이. 등온조건에서내부에너지의변화는영이다,. 예제 2.1 의결과를사용하면 운동에너지 그리고지면에대한위치에너지는 두형태의에너지를합하면다음을얻을수있다. 질량 m 과속도 는모두일정하기때문에, 총에너지 E T 는보존된다. -------------------------
열역학제 2 법칙 = 어떠한실제과정도다음의조건을만족해야된다 S ( 엔트로피 ) 열전달 Q 와절대온도 T 로다음과같이정의된다. - 이법칙은물리적으로존재하지않는과정들을확인하는수단으로이용된다. - 예, 35C인따뜻한커피한잔이어떤시간동안일정한온도의방 (25 C) 에놓여져있었다면 45 C로가열될것이다. - 열역학제1법칙은열은충분한비율로전달되면커피가데워질것이라는것을예측하게해준다. 하지만외부에너지의입력이없이더낮은온도에서더높은온도의물체로열유동은물리적으로불가능하다는것을구명하지는못한다. - 열역학제2법칙은이러한과정이불가능하다는것을증명해준다. 설명 : 제어체적 (control volume) 과결합한유효엔트로피변화는 시스템의최종유효엔트로피변화는 분명하게도식의값은음수이므로열역학제2법칙에위배된다. 따라서이과정은물리적으로일어나지않을것이라고단정할수있다. 이러한이유로위와동일한조건일때독자는 35 C의컵의온도가 25 C인방의온도로낮춰지는일이가능하다는것을알수있을것이다.
정적상태 ( 또는전체의유체가일정한속도로움직일때 ) 압력분포식 완전히또는부분적으로잠겨진물체 (submerged bodies) 에가해지는힘과모멘트계산에사용 작용힘계산 임의의 2차원물체를고려해보자. 물체표면의미소면적 (da) 에작용힘 df (n 은바깥쪽을가리키는단위수직벡터 ) 전표면적에작용하는유효힘은적분을통해 수직방향의힘 : 정수압 P=P(h) 를대입하면, 그런데, 로표시하면, Π = ρg ( 유체의무게 )
결과적으로잠겨진물체위에수직힘 는물체위에놓여있는유체의무게와국소대기 압력 때문에생기는힘의합과같다. F y = ( P a Wx max + Π ) projected area liquid weight 수평방향의힘은 개략도를따르면깊이는 h=h-y 이다. 그러므로, 적분하면, 여기서, = (y 의최대값에서의압력 ) 또는, x- 방향의유효힘의크기는그림에서보여주는것과같이투사된면적에서의압력 분포에의한압력프리즘의총체적과같다. 결론 : 정수력계산 - 식 (2.29) 와 (2.30) 을직접수학적으로계산하여얻어지거나 - 다음과같은추론을통해서측정할수있음을알수있다. (a) 힘의수직성분은물체위에놓여있는유체의무게와대기압에의한힘 ( 필요시에만고려함 ) 과의합과같다. (b) 힘의수평성분은수평면에대해수직방향으로투사된물체의영역에서의압력분포에의해형성된프리즘의체적을측정함으로써구할수있다.
Moment 계산 물체들위에작용하는정수력들은또한모멘트 를생성 정적평형에서는, (1) 뿐만아니라 (2) 어떤점에대한모든모멘트들의합은영 이된다. < 방법론 1> 미소면적 da에작용하는힘 df 때문에생기는임의의점주위의모멘트는, (r 은힘의위치벡터 ) 원점에대한총모멘트 는적분에의해 < 방법론 2> ( 그림2.22) 투사된영역 Wdx와 Wdy에작용하는각각의힘에의해생성되는모멘트들을이용
합력의작용점계산 정수력의합력 의작용점의좌표들 (x R, y R) - 그림2.22에서합력의작용점은압력프리즘과잠긴물체위의유체체적을고려하고또한다음사실을인지하여구할수있다. 잠겨진물체위에놓여있는유체무게의작용점과각각의압력프리즘에동등한힘들의작용점은이체적들의도심에위치한다. - 이방법은간단한형태의문제들에서는편리하지만복잡한형상을다루는경우에는실용적이지못하다. 이러한경우직접적인 ( 수치적 ) 접근이더적절하다.
예제2.14 문제서술수직인문에작용하는힘. 물속에잠겨진문을고려하자. 작용하는총합력과작용점을구하라. 또한문이닫혀있도록하기위해서필요한최소한의힘은얼마인가? 그림 2.23 수직면에작용하는정수력 지배방정식. 문을밀폐시스템으로취하고, 문의힌지 (hinge) 에직각좌표계의중심을잡으면문에작용하는총힘 df 는문의미소영역 을가로지르는전후면의압력차이때문에생기는힘 (n 은외부표면을나타내는단위수직벡터 ) 정적평형에대해임의의점을중심으로한모멘트들의합은영이라는사실이용 기본가정정수력조건 - 즉, 유체는정지 (V = 0) 풀이힘결정정수압조건에서깊이에따른압력은, (h = 자유표면으로부터깊이, = 국소대기압 ) 선택된좌표계에대해, 자유표면으로부터깊이는 h=6+x
문제의기하학으로부터, n = -j, (W 는문의폭 ) 위의힘은, depth normal vector area 문에작용하는총합력은적분에의해 다른방법 : 압력프리즘사용 수평방향의유효힘의크기는문의왼쪽면의체적프리즘과오른쪽면의압력프리즘사이의차이 - 힘은두체적중에서큰쪽에서작용 - if, 합력은 방향 ( 양의부호 ). - 개략도와문의높이를 H로정의해서체적들을계산 또는, P top P bottom Area 그리고
따라서유효힘은두체적들의차이 최종적으로는 양수이므로힘은양의 i 방향이다. 이결과는직접적분하여얻어진것과동일하다. 합력의작용점결정 ( ) 합력에의해생성된모멘트 = 분산된정수력때문에생기는모멘트 와동일 따라서 그리고 다음의조건으로부터 합력의위치는 다른방법 : 압력프리즘사용 등가압력프리즘을고려하고문의높이를 H로정의, 합력의작용점은개략도에서보여주는등가힘 을사용해서
의작용점은직사각형의압력분포에서도심 ( ). 유사하게 의크기는 작용점은직사각형의압력분포에서도심 ( 축이되는점으로부터 거리 ). 따라서, 를대입하면합력의작용점 L 은 ( 직접적분을해도동일한결과 ) 외부힘 가문의반대지점에작용하여모우멘트 를발생시켜 결국 인한문는항시닫쳐있게된다. 는모멘트팔이최대가될때최소가된다 ( 즉힘이축으로부터가장먼점인게이트의가장자리에가해질때 ). 따라서,
예제2.15 문제서술경사진문에작용하는힘. 잠겨있는문을고려하자. 문에작용하는합력과그힘이작용하는위치를구하라. 닫힌문을유지하기위해서필요한최소한의힘은얼마인가? 그림 2.26 경사진표면에작용하는정수력 지배방정식문을밀폐시스템으로잡고힌지에직각좌표계의원점으로잡으면문에작용하는총힘은 df 는문의미소면적 을가로지르는압력차이 ( ) 때문에생기는힘이다. (n 은외부표면을나타내는단위수직벡터 ) 정적평형일경우모든점에대해모멘트들의합은영이라는사실을이용 기본가정정수력조건 (V=0) 으로가정 풀이 정수압상태에서국소압력은 ( 여기서 h : 깊이, : 국소대기압력 ) 문제의기하학으로부터, (W 는문의폭 ) 선택한좌표계에관하여,. 따라서,
depth normal vector area 문에작용하는전체힘은적분에의해 다른계산방법수직방향의힘 는문위의유체무게와동일 ( 대기압력영향은무시 ). 유체의체적은 ( 수평방향투영한문의길이 ). 음의부호는힘벡터가아래로작용. 따라서, 값을대입하면 수평방향의힘은그림 2.27 에서보여주는것처럼압력프리즘의체적과동일하다. 값을대입하면
이것은 ( 작은계산에러를제외하고 ) 직접적분을하여구해진힘과동일하다. 또한, ( 이것은합력이문에수직방향으로작용한다는것을보여줌 ) 합력의위치벡터 는원점주위모멘트에의해결정되고합력에의해생성된모멘트 은분포된정수력때문에생기는모멘트 와동일하다. 따라서 그리고 이므로 를적용하면다음결과를얻게된다. 따라서, 또한문의힌지 ( 축지점 ) 으로부터합력의작용점까지의거리 ( 는각각힌지로부터 가작용하는점까지의거리 )
예제2.17 문제서술 Archimedes의정리 (Archimedes's Principle). 정적평형에있는부분적으로또는완전히잠겨있는물체에서자신의무게와잠겨있는부분이차지하는부피만큼의유체의무게가동일. 이러한관찰을통해알수있는사실은무엇인가? 지배방정식그림처럼유체욕조에담겨진임의의모양을가진물체주위에밀페시스템을고려하면정적평형에서운동량보존은 기본가정위의식은정수력조건에대한가정으로얻어진것이다.(V = 0) 풀이 완전히잠긴물체를고려물체의표면을바닥에서꼭대기까지나타낸체적 dv를가진고체의좁은스트립부분 (strip) 에대해, 정적평형에서필요한힘의균형은 body force surface foeces 는각각, 꼭대기, 바닥경계에서의정적유체압력 에의한힘 국소대기압력과깊이는각각 와 y 로표시 (s : 고체, f: 유체 ) 각항들을연립하면수직방향으로힘의평형은
또는, 그러나, yda 는밀폐시스템의체적 dv 와동일 최종적으로밀폐시스템의전체체적에대해적분하면, 이식은배제된유체의무게와물체의무게가실제로같다. - 물체에작용하는수직힘 는부력 (buoyant force) 으로잘알려져있다. - 또한 ( 사용 ) 부력의중심 ( 물체의체적도심 ) 에부력이작용한다는것을보여준다. 부분적으로잠긴경우를고려 : 힘들의평형은 는배제된 (displaced) 유체의체적 = 물체의잠겨진부분의체적 ( ). 이때적분에의해위와같은동일한결과
위의결과들을통해다음의사실들을알수있다. 1. 오직물체의밀도가유체의밀도와동일할때, 물체는임의의깊이에서완전히잠긴상태를유지한다. 이러한상태를중립적부양 (neutrally buoyant) 이라한다. 2. 유체보다가벼운물체 ( ) 는자유표면위로뜰것이다. 이러한경우에배제된유체의 무게는물체의무게와동일하다. 그것은또한 를가진물체는바닥에가라앉을것이라는것을알수있게해준다. 3. 유체보다가벼운물체 는계속해서잠겨있게하기위해서는힘 F 가필요한데이힘 F 는배제된유체의무게와물체의무게차이와같다. 즉, 이다.