지구에서달까지의거리는얼마일까? ( Hipparchos ;? ~? B. C. 125 ) ( Rheticus, G. K. ; 1514~1576 ) ( Fourier, J. B. J. ; 1768 ~ 1830 )

Ⅶ 삼각함수 1 삼각함수 2 삼각형에의응용

지구에서달까지의거리는얼마일까? ( Hipparchos ;? ~? B. C. 125 ) ( Rheticus, G. K. ; 1514~1576 ) ( Fourier, J. B. J. ; 1768 ~ 1830 )

수학의명언

1 : 의사선생님, 무엇을보고계세요? : 심전도그래프를보고있단다. : 심전도그래프가무엇인가요? : 사람의심장이어떻게뛰고있는지를보여주는그래프지. : 같은모양의그래프가반복되고있네요. : 심장박동이주기적으로반복해서뛰기때문이란다. - 314 -

01 일반각과호도법 새로나오는용어ㆍ시초선ㆍ동경ㆍ일반각 ㆍ라디안 ㆍ호도법 일반각 비보이댄스공연 B Boy 중학교에서는각의크기를 에서 사이의범위에서생각하였다. 이제각의크기를 확장해보자. 오른쪽그림과같이평면위의두반직선 OX 와 OP 에의하여 X OP 가정해진다. X OP 의크기는반직선 OP 가고정된반직선 OX 의위치에서시작하여점 O 를중심으로반직선 OP 의위치까지회전한양으로정의할수있다. 이때반직선 OX 를시초선, 회전한반직선 O P 를동경이라한다. 또, 동경 O P 가시계바늘이도는방향과반대로회전할때양의방향으로회전한다고하고, 시계바늘이도는방향으로회전할때음의방향으로회전한다고한다. 음의방향으로회전한각의크기는음의부호 ( ) 를붙여서음수로나타낸다. - 315 -

(1) (2) X O P 의크기는동경 O P 가양또는음의방향으로몇번회전하고그위치에멈추었 는가에따라달라진다. 이를테면다음그림에서같은위치의동경 O P 가가리키는각의크 기를여러가지로나타낼수있다. 일반적으로 X OP 의크기를 라고할때, 동경 OP 가나타내는각의크기는각의회전수와회전방향에따라다음과같이나타낼수있다. ( 단, 은정수 ) 이를동경 O P 가나타내는일반각이라고한다. 이므로 를나타내는동경 OP 는오른쪽그 림과같다. 또, 이동경 OP 가나타내는일반각은 ( 은정수 ) 이다. 01 OX (1) (2) (3) (4) - 316 -

02 OX OP (1) (2) 시초선 OX 를축의양의방향으로잡았을때, 동경 OP 가제 사분면, 제 사분면, 제 사분면, 제 사분면중어느사분면에있는가에따라, 동경 OP 가나타내는각을각각제 사분면의각, 제 사분면의각, 제 사분면의각, 제 사분면의각이라고한다. 03 (1) (2) 크기가,,,, 인각은어느사분면의각도아니다. 호도법 중심각의크기와호의길이 1. 2. - 317 -

지금까지는각의크기를직각의 을 ( 도 ) 로하는육십분 법을사용하여나타내었다. 이제원의호의길이와중심각의크기 사이의관계를이용하여각의크기를나타내는새로운방법에대 해알아보자. 각 반지름의길이가 인원에서길이가 와같은호 AB 의중심 AOB 의크기를 라고하면, 호의길이와중심각의크기 는비례하므로 따라서 의값은원의반지름의길이 에관계없이항 상일정하다. 이일정한각의크기 를 라디안 (radian) 이라하 라디안 (radian) 에는반지름 (radius) 과각 (angle) 의의 미가들어있다. 고, 라디안을단위로하여각의크기를나타내는방법을 호도법이라고한다. 육십분법과호도법사이에는다음과같은관계가있다. 호도법과육십분법사이의관계 라디안 라디안 각의크기를호도법으로나타낼때, 흔히단위명인라디안은생략한다. (1) (2) ( 라디안 ) 04-318 -

부채꼴의호의길이와넓이 우리별 1 호가움직인거리는? km km 반지름의길이가, 중심각의크기가 ( 라디안 ) 인부채꼴 OAB 에서호 AB 의길이를 이라고하면, 호의길이는중심각의크기에비례하므로 또, 부채꼴 OAB 의넓이를라고하면, 부채꼴의넓이도중심각의크기에비례하므로 2 1, 2 에서 부채꼴의호의길이와넓이반지름의길이가, 중심각의크기가 ( 라디안 ) 인부채꼴의호의길이를, 넓이를 라고하면 호도법을사용하면수학과물리학에서원과관련된공식이간단해지는장점이있다. - 319 -

반지름의길이가, 중심각의크기가 인부채꼴에서 호의길이 은 넓이는 05 (1) 반지름의길이가 cm, 중심각의크기가 인부채꼴의호의길이와넓이 (2) 호의길이가 cm, 넓이가 cm 인부채꼴의반지름의길이와중심각의크기 지형이는오른쪽그림과같은모양의개인용식탁보를만들었다. 큰부채꼴의호의길이가 cm, 작은부채꼴의호의길이가 cm, 옆선의길이가 cm 일때, 다음물음에답하여라. (1) 부채꼴의중심각의크기를구하여라. (2) 큰부채꼴과작은부채꼴의반지름의길이를각각구하여라. (3) 이식탁보의넓이를구하여라. 확인해봅시다 1 (1) (2) 2-320 -

02 삼각함수 새로나오는용어와기호 ㆍ사인함수 ㆍsin ㆍ코사인함수 ㆍcos ㆍ탄젠트함수 ㆍtan ㆍ삼각함수 삼각함수 지구와달, 태양사이의거리 중학교에서공부한삼각비의정의를확장하여삼각함수를정의해보자. 오른쪽그림과같이좌표평면에서 축의양의부분을시초선, 동경 OP 가나타내는일반각의크기를 라디안이라고하자. 동경 OP 와반지름의길이가 인원의교점을 P 라고하면 의값은닮은삼각형의성질에의해 에관계없이 에따라각각 한가지로결정된다. 곧, 와같은대응은각각함수이다. - 321 -

이와같은함수를각각사인함수, 코사인함수, 탄젠트함수라고하며, 이것을기호로각각 sin cos tan 0 와같이나타낸다. 이함수들을통틀어삼각함수라고한다. 삼각함수의정의각 의동경위의점을 P OP 라고할때, 의삼각함수를다음과같이정의한다. sin cos tan 오른쪽그림에서원점과점 P 를지나는동경 OP 가 나타내는각의크기를 라고할때, OP 이므로 sin cos tan 예제 1 sin cos tan [ 풀이 ] 좌표평면위에반지름의길이가 인원을그린후, 의동경과이원의교점을 P 라하고, 점 P 에서 축에내린수선의발을 P 이라고하자. POP 이므로교점 P 의좌표는 따라서 sin cos 이다., tan 이다. sin cos, tan - 322 -

01 (1) sin (2) cos (3) tan 삼각함수의값의부호 삼각함수의값의부호를정리해보자 sin cos tan 각 의동경이어느사분면에위치하는가에따라점 P 의 좌표와 좌표가정해지므로삼 각함수의값의부호가정해진다. 의삼각함수의값의부호를알아보기쉽게나타내면다 음과같다. 크기가 인각은제 사분면의각이므로 sin cos tan - 323 -

02 sin cos tan (1) (2) (3) 03 (1) sin tan (2) cos tan (3) sin cos (4) sin tan cos tan 각 는크기가 인 각을뜻한다. 오른쪽그림과같이사다리차에서건물의꼭대기 로사다리를놓았다. 주어진자료를이용하여이 건물의지면으로부터의높이를구하여라. 확인해봅시다 1 sin cos tan 2 (1) sin cos (2) sin tan - 324 -

03 삼각함수의그래프 새로나오는용어 ㆍ주기함수 ㆍ주기 사인함수와코사인함수의그래프 대관람차 1. A B C D E F G H I J K L A 2. - 325 -

좌표평면위에서각의동경과단위원의교점을 P 라고하면 sin cos 이다. 따라서점 P 가단위원위를움직일때, sin cos 의값의변화 는각각점 P 의 좌표, 좌표의변화와같다. 이를이용하여 sin 와 cos 의그래프를그려보자. 표에서 는증가를, 는감소를나 의값의변화에따른 sin 의값의변화상태는아래표와같다. 타낸다. sin 의값을가로축에나타내고, 그에대응하는 sin 의값을세로축에나타내면다음과같 은사인함수 sin 의그래프를얻는다. sin 의그래프 sin 의정의역은실수전체의집합이고, 치역은 이며 sin sin 이므로그그래프는원 점에대하여대칭이다. 사인함수와마찬가지로, 의값의변화에따른 cos 의값의 변화상태는아래표와같다. cos 의값을가로축에나타내고, 그에대응하는 cos 의값을세로축에나타내면다음과같 은코사인함수 cos 의그래프를얻는다. - 326 -

cos 의그래프 cos 도, sin 와마찬가지로, 정의역은실수전체의집합이고치역은 이며, cos cos 이므 로그그래프는 축에대하여대칭이다. 한편, sin 와 cos 의그래프는모두 간격으로같은모양이반복된다. 곧, 임의의 에대하여 sin sin cos cos ( 은정수 ) 가성립한다. 일반적으로함수 의정의역에속하는모든 에대하여 인 이아닌상수 가존재할때, 함수 를주기함수라하고, 이러한상수 중에서최소인양수를그함수의주기라고한다. 따라서 sin 와 cos 는모두주기가 인주기함수이다. 이상을정리하면다음과같다. 사인함수, 코사인함수의성질 정의역은실수전체의집합이고, 치역은 이다. sin 의그래프는원점에대하여대칭이고, cos 의그래프는 축에대하여대칭이다. 주기가 인주기함수이다. 정의역의원소를로나타내는관례에따라 sin, cos 를각각 sin, cos 로나타내기도한다. - 327 -

예제 1 (1) sin (2) cos sin cos [ 풀이 ] (1) sin sin sin 이므로 sin 의주기는 이다. 또, sin 이므로치역은 이다. 따라서 sin 의최댓값은, 최솟값은, 주기는 이다. sin 의그래프는 sin 의그래프를 축의방향으로 배확대한다 음그래프와같다. (2) cos cos 이므로, cos 의주기는 이다. 또, cos 에서 cos 이므로치역은 이다. 따라서 cos 의최댓값은, 최솟값은, 주기는 이다. cos 의그래프는 cos 의그래프를 축의방향으로 배확대한다음그래프와같다. 01 (1) cos (2) sin - 328 -

02 sin 탄젠트함수의그래프 오른쪽그림과같이각 의동경과단위원이만나는점을 P 라하고, 점 A 에서의단위원의접선과동경 OP 의교점을 T t 라고하면 tan 이므로점 T 의 좌표로 tan 의값이정해진다. 이를이용하여 의값을가로축에, 이에대응하는 tan 의값을세로축에나타내어 tan 의그래프를그리면다음과같다. 와같이 ( 은정수 ) 에서는점 P 의 좌표가 이므로 tan 의값이정의되지않는다. 따라서 tan 의정의역은 ( 은정수 ) 를제외한실 수전체의집합이고, 치역은실수전체의집합이다. 직선 ( 은정수 ) 는 tan 의점근선이다. tan tan 이므로 tan 의그래프는원점에대하여대칭이다. 또한, tan 의그래프는 간격으로같은모양이반복된다. 곧, tan 는임의의 에대하여 tan tan ( 은정수 ) 가성립하는주기가 인주기함수이다. - 329 -

이상을정리하면다음과같다. 탄젠트함수의성질 정의역은 ( 은정수 ) 를제외한실수전체의집합이고, 치역은실수전체의 집합이다. 그래프의점근선은직선 ( 은정수 ) 이다. 그래프는원점에대하여대칭이다. 주기가 인주기함수이다. 정의역의원소를로나타내는관례에따라 tan 를 tan 로나타내기도한다. 예제 2 tan tan [ 풀이 ] tan tan tan 이므로 tan 의주기는 이다. 따라서구하는그래프는다음과같다. 03 (1) tan (2) tan - 330 -

절기는태양의황도상의위치에따라계절구분을 하기위해만든것으로, 춘분점을기점으로 간격 으로점을찍어일년을총 개의절기로나눈것이 다. 춘분날낮의길이는 시간이다. 일년중낮의 길이가가장긴하지와낮의길이가가장짧은동지 의낮의길이의차는 시간이라고한다. 낮의길이 를 시간이라하면 sin ( 는춘분이후의날짜수, ) 의관계식이성립한다고한다. (1) 춘분날 임을이용하여실수 의값을구하여라. (2) 하지의낮의길이와동지의낮의길이의차를이용하여실수 의값을구하여라. 확인해봅시다 1 (1) sin (2) cos (3) tan 2 sin tan 3 cos - 331 -

04 삼각함수의성질 삼각함수사이의관계 코사인과탄젠트가안보여요 cos tan sin cos tan 오른쪽그림과같이원점 O 를중심으로하는단위원과각 의동경의교점을 P 라고하면 sin cos 이므로 tan sin cos 또한, 위의그림에서 P 는단위원위의점이므로 이다. 따라서 cos sin 이다. 삼각함수사이의관계 sin tan cos sin cos 02 (1) tan cos (2) tan sin - 332 -

예제 1 cos sin tan cos sin cos sin [ 풀이 ] sin cos 이므로 sin cos 각 는제 사분면의각이므로 sin 이다. sin sin tan cos sin tan 02 sin cos tan 예제 2 sin cos sin cos sin cos [ 풀이 ] sin cos 의양변을제곱하면 sin sin cos cos sin cos 이므로 sin cos sin cos - 333 -

03 sin cos (1) sin cos (2) sin cos 의삼각함수 와 의삼각함수의값 1. sin sin 2. cos cos 3. tan tan 이정수일때, 각 와 의동경은일치하므로 와 의삼각함수의값은같다. 의삼각함수 이정수일때 sin sin cos cos tan tan 04 (1) sin (2) cos (3) tan - 334 -

의삼각함수 와 의삼각함수의값 P P sin sin cos cos tan tan 각 의동경과각 의동경이단위원과만나는점을각각 P P 이라고하면, 점 P 와점 P 은 축에대하 여대칭이므로 이다. 이때 cos sin 이므로 sin sin cos cos tan tan 깊게알아보기 익힘책 302 쪽 따라서다음공식을얻는다. 의삼각함수 sin sin cos cos tan tan 05 (1) sin (2) cos (3) tan - 335 -

± 의삼각함수 와 의삼각함수의값 P P 1. sin sin 2. cos cos 3. tan tan 각 의동경과각 의동경이단위원과만나는점을각 각 P P 이라고하면, 점 P 와점 P 은원점에 대하여대칭이므로 이다. 이때 cos sin 이므로 sin sin cos cos tan tan 또, 위식의 에 를대입하면 sin sin sin cos cos cos tan tan tan 따라서다음공식을얻는다. ± 의삼각함수 sin sin cos cos tan tan sin sin cos cos tan tan - 336 -

cos cos cos 06 (1) sin (2) cos (3) tan ± 의삼각함수 와 의삼각함수의값 P P 1. sin cos 2. cos sin 3. tan tan 각 의동경과각 의동경이단위원과만나는점을 각각 P P 이라고하면, 점 P 와점 P 은직 선 에대하여대칭이므로 이다. 이때 cos sin 이므로 sin cos cos sin tan tan - 337 -

또, 앞식의 sin 에 를대입하면 cos cos cos sin sin tan tan tan 따라서다음공식을얻는다. ± 의삼각함수 sin cos cos sin sin cos cos sin tan tan tan tan 깊게알아보기 익힘책 303 쪽 07 (1) sin (2) cos (3) tan 예제 3 (1) sin cos (2) tan tan ± ± [ 증명 ] (1) sin sin sin cos (2) tan tan tan tan - 338 -

08 (1) cos sin (2) tan tan (3) sin cos (4) cos sin 삼각함수표에는 에서 사이의각의삼각함수의값이주어져있다. 삼각함수의성질을이용하면임의의크기의각의삼각함수를 에서 사이의각의삼각함수로나타낼수있다. 따라서임의의각의삼각함수의값을삼각함수표를이용하여구할수있다. 다음삼각함수의값을삼각함수표를이용하여구하여라. (1) cos (2) sin (3) tan sin cos tan 확인해봅시다 1 sin cos (1) sin cos (2) sin cos 2 (1) sin (2) cos (3) tan 3 (1) sin tan (2) sin cos - 339 -

05 삼각방정식과삼각부등식 새로나오는용어ㆍ삼각방정식ㆍ삼각부등식 삼각방정식과삼각부등식 음속폭음 sonic boom sin sin cos 과같이삼각함수의각의크기를미지수로하는방정식과부등 식을각각삼각방정식, 삼각부등식이라고한다. 삼각방정식과삼각부등식은삼각함수의그래프나단위원을이용하여풀수있다. 예제 1 sin [ 풀이 ] 함수 sin 의그래프와직선 의교점의 좌표가구하는방정식의해이다. 단위원과직선 의교점을 P P 이라고하면동경 OP OP 이나타내 는각의크기가구하는 이다. 또는 또는 - 340 -

01 (1) cos (2) sin 02 (1) tan (2) sin sin 자세히알아보기 익힘책 301 쪽 예제 2 cos [ 풀이 ] 함수 cos 의그래프가직선 보다아래쪽에있는 의값의범위가구 하는부등식의해이다. 단위원과직선 의교점을 P, P 이라고하면동경 OP OP 이나타내 는각의크기는각각, 이 다. 따라서 cos 을만족하는 의 값의범위는 이다. 따라서 cos 을만족하는 의 값의범위는 이다. 03 (1) sin (2) tan (3) cos (4) sin - 341 -

삼각부등식 sin cos 에대하여다음물음에답하여라. ( 단, ) (1) 주어진 의값의범위에서 sin cos 의그래프를그려라. (2) 두그래프의교점을구하여라. (3) 그래프에서 sin cos 를만족하는 의값의범위를정하여라. 확인해봅시다 1 (1) sin (2) cos (3) tan 2 (1) sin (2) cos (3) tan 용어를알면수학이보인다. 사인sin 이라는용어는반현 ( 半弦 ) 또는활시위를뜻하는그리스어와아라비아어에서유래하였다. 사인을한자로정현 ( 正弦 ) 이라고한다. 弦은활을나타내므로여기에도활시위라는의미가들어있는것이다. 한편, 코사인 (cos) 은 complementary sine이줄어서된용어로사인을보완한다는의미이다. 각 에대하여 를영어로 complementary angle이라고한다. 코사인을한자로여현 ( 餘弦 ) 이라고하는데, 마찬가지로사인을뜻하는弦의餘, 즉남는부분이라는의미를지니고있다. 탄젠트 (tan) 는접선 (tangent) 이라는의미도지니고있다. 단위원에서탄젠트값을계산할때직각삼각형의밑변의길이는단위원의반지름의길이 과같으므로탄젠트값은원의접선의일부인선분의길이또는그것에음의부호를붙인값이된다. - 342 -

다음가로세로퍼즐을풀어보자. 가로열쇠 1 각의방향이시계바늘이도는방향과 방향으로회전할때양의방향으로회전한다고한다. 2 아래그림에서반직선 OP를 ( 이 ) 라고한다. 4 사인함수, 코사인함수, 탄젠트함수를통틀어 ( 이 ) 라고한다. 8 개의바퀴가달린스케이트로지면을활주하는레저스포츠를 스케이트라고한다. 10 위의그림에서반직선 OX 를 ( 이 ) 라고한다. 12 sin 의그래프는 에대하여대칭이다. 13 숯ᆞ석탄ᆞ금강석은 ( 으 ) 로이루어져있다. 14 기호를근호라고하며, 를 라고읽는다. 16 호의길이로각의크기를표현하는방법을 ( 이 ) 라고한다. 세로열쇠 3 로나타내어지는각을 ( 이 ) 라고한다. 4 세개의선분으로둘러싸인평면도형을 ( 이 ) 라고한다. 5 사인함수와코사인함수의정의역은 전체 의집합이다. 6 함수 의정의역에속하는모든 에대하 여 인 이아닌최소의양수 를그함수의 ( 이 ) 라고한다. 7 사인함수 sin 와 함수 9 주기는 이다. 이다. cos 의 11 tan 의그래프의 ( 은 ) 는직선 ( 은정수 ) 이다. 12 집합을이루는낱낱의요소를 ( 이 ) 라고 한다. 13 함수 tan 의주기는 이다. 15 각 의동경이좌표평면위의어느사분면에 위치하는가에따라삼각함수의값의 ( 이 ) 가정해진다. - 343 -