1.1) 벡터 2.2) cos 함수 제 2 교시 2016 년 6 월고 3 모의고사문제지 성명수험번호 3 1 먼저수험생이선택한응시유형의문제지인지확인하시오. 문제지에성명과수험번호를정확히기입하시오. 답안지에수험번호, 응시유형및답을표기할때는반드시 수험생이지켜야할일 에따라표기하시오. 단답형답의숫자에 0 이포함된경우, 0 을 OMR 답안지에반드시표기해야합니다. 문항에따라배점이다르니, 각물음의끝에표시된배점을참고하시오. 배점은 2점, 3점또는 4점입니다. 계산은문제지의여백을활용하시오. 3.3 ) P 의값은? [2점][2016년 6월 ] 1 2 3 4 5 5 지선다형 에대하여벡터 의모든성분의합은? [2 점 ][2016 년 6 월 ] 1 2 3 4 5 4.4 ) lim 의값은? 1 2 3 4 5 의값은? [2 점 ][2016 년 6 월 ] 1 2 3 4 5 5.5 ) 에대하여 의값은? 1 2 3 4 5 1 16
6.6) 7.7) tan 8.8) 자연수 10.10) 부등식 두 의전개식에서 의계수는? 1 2 3 4 5 9.9 ) 사건 에대하여 P P 일때, P 의값은? ( 단, 은 의여사건이다.) 1 2 3 4 5 일때, tan 의값은? 1 2 3 4 5 log log 을만족시키는정수 의 개수는? [3점][2016년 6월 ] 1 2 3 4 5 을짝수개의자연수로분할하는방법의수는? 1 2 3 4 5 2 16
11.11) 곡선 12.12) 좌표평면에서 13.13) 함수 14.14) 한 ln 위의점 에서의접선의방정식 이 일때, 두상수 의합 의값은? [3점][2016년 6월 ] 1 2 3 4 5 은극솟값 와극댓값 를갖는다. 두수 의곱 의값은? [3점][2016년 6월 ] 1 2 3 4 5 두직선 이이루는예각의크기를 라할때, cos 의값은? 1 2 3 4 5 개의주사위를두번던질때나오는눈의수를차례로 라하자. 이차함수 에대하여 이성립할확률은? 1 2 3 4 5 3 16
15.15) 두 16.16) 17.17) 그림과 함수 sin 에대하여 lim 의값은? 1 2 3 4 5 같이포물선 위의점 A 에서이포물 선의준선 에내린수선의발을 B 라하자. 다음은점 A 에서의접선과직선 OB 가만나는점을 P 라할때, 점 P 의좌표를구하는과정이다. ( 단, 이고, O 는원점이다.) ln 의값은? 포물선의방정식 의양변을 에대하여미분하여 정리하면 ( 단, ) 이므로점 A 에서의접선의방정식을구하면 이다. ᄀ B 이므로직선 OB 의방정식은 ᄂ [4점][2016년 6월 ] 1 2 3 4 5 이다. ᄀ, ᄂ을연립하여점 P 의좌표를구하면 이다. 위의 ( 가 ), ( 나 ) 에알맞은식을각각 라하고, ( 다 ) 에알맞은수를 라할때, 의값은? 1 2 3 4 5 4 16
18.18) 그림과 19.19) 각 20.20) 함수 같이쌍곡선 의두초점을 F F 이라하 와함수 의그래프 고, 이쌍곡선위의점 P 를중심으로하고선분 PF 을반지름으로하는원을 C 라하자. 원 C 위를움직이는점 Q 에대하여선분 FQ 의길이의최댓값이 일때, 원 C 의넓이는? ( 단, PF PF ) 가그림과같다. 인 에대하여 의최솟값은? 1 2 3 4 5 [4점][2016년 6월 ] 1 ln 2 ln 3 ln 4 ln 5 ln 면에 의숫자가하나씩적혀있는정사면체모 양의상자를던져밑면에적힌숫자를읽기로한다. 이상자를 번던져 가나오는횟수를 가아닌숫자가나오는횟수 를 이라할때, 일확률은? ( 단, ) 1 2 3 4 5 5 16
21.21) 실수 23.23) 두 24.24) 어느 전체의집합에서미분가능한함수 가모든실수 에대하여다음조건을만족시킨다. ( 가 ) ( 나 ) ( 다 ) < 보기 > 에서옳은것만을있는대로고른것은? < 보기 > ㄱ. 모든실수 에대하여 이다. ㄴ. 함수 는어떤열린구간에서감소한다. ㄷ. 곡선 는세개의변곡점을갖는다. 1 ㄱ 2 ㄴ 3 ㄱ, ㄷ 4 ㄴ, ㄷ 5 ㄱ, ㄴ, ㄷ 단답형 22.22) lim sin 의값을구하시오. cos 벡터 족시키는실수 의값을구하시오. 에대하여 을만 학교동아리회원은 학년이 명, 학년이 명이다. 이동아리에서 명을뽑을때, 학년에서 명, 학년에서 명을뽑는경우의수를구하시오. 6 16
25.25) 방정식 26.26) 타원 27.27) 사과 28.28) 그림과 을만족시키는실수 의값을구하시오. 같이선분 AB 위에 AE DB 인두점 D E 가 있다. 두선분 AE DB 를각각지름으로하는두반원의호 AE DB 가만나는점을 C 라하고, 선분 AB 위에 O A O B 인두점을 O O 라하자. 호 AC 위를움직이는점 P 와호 DC 위를움직이는점 Q 에대 하여 O P O Q 의최솟값이 일때, 선분 AB 의길이는 이다. 의값을구하시오. ( 단, O O 이고, 와 는 서로소인자연수이다.) 의한초점의좌표가 일 때, 의값을구하시오., 감, 배, 귤네종류의과일중에서 개를선택하려고 한다. 사과는 개이하를선택하고, 감, 배, 귤은각각 개이상을선택하는경우의수를구하시오. ( 단, 각종류의과일은 개이상씩있다.) 7 16
29.29) 양의 30.30) 실수 실수전체의집합에서이계도함수를갖는함수 에 대하여좌표평면위를움직이는점 P 의시각 에서의위치 가 ln 이다. 점 P 가점 로부터움직인거리가 가될때 시각 는 이고, 일때점 P 의속도는 이다. 시각 일때, 점 P 의가속도를 라할 때, 의값을구하시오. 전체의집합에서미분가능한함수 가상수 와모든실수 에대하여다음조건을만족시킨 다. ( 가 ) ( 나 ) sin 닫힌구간 에서두실수 에대하여 cos cos 일때 이다. 의값을구하시오. ( 단, 와 는서로소인자연수이다.) 확인사항 문제지와답안지의해당란을정확히기입 ( 표기 ) 했는지 확인하시오. 8 16
2016년 6월수리가형고3 모의고사해설주어진식을덧셈정리를이용하여정리하면다음과같다. tan tan 1 5 2 3 3 3 4 2 5 4 tan 6 4 7 1 8 2 9 5 10 3 tan tantan 11 1 12 5 13 2 14 4 15 4 16 5 17 1 18 3 19 2 20 2 21 1 22 2 23 8 24 60 25 4 26 6 27 36 28 19 29 15 30 83 tan tan tan tan tan tan 이다. 1) 5 에대하여 따라서 이므로 의모든성분의합은 이다. 2) 3 cos 3) 3 4) 2 lim lim lim 5) 4 를미분하면 이다. 에 을대입하면 6) 4 위식을이항정리를이용하여일반항 C 이고 이를정리하면 C C C 이고, 를대입하면 의계수는 C 이다. 7) 1 tan 8) 2 자연수 6 을짝수개로분할하는방법의수는 P P P 이다. 참고 P 는 로 3 개 P 는 로 2 개 P 는 로 1 개 9) 5 P P P 이므로 P P P P 따라서 P P 10) 3 i) 진수조건에의해 이므로 ii) 부등식 log log 에서 log log 따라서 i) ii) 에의해 이므로 따라서, 만족하는정수 이므로 3 개이다. 11) 1 이므로 일때, 미분계수는 1이다. 곡선위의점 에서의접선의방정식을구하면 이다. 따라서 이다. 12) 5 두직선의방향벡터를각각 cos 13) 2 에서 이라하면, 에서극솟값 를갖고 에서극댓값 를갖는다. 9 16
따라서 이다. ( 단, ) 14) 4 이므로, 점 A 에서의접선의방정식을구하면시행의결과나올수있는순서쌍 의개수는 가지이다. 의그래프를그려보면 이고정리하면 ᄀ 이다. B 이므로직선 OB 의방정식은 ᄂ 임을알수있다. 이성립하는순서쌍 은 로 개다. 따라서구하는확률은 이다. 15) 4 라하면 lim lim 16) 5 ln 라하면 임을이용하자. ln ln 17) 1 포물선의방정식 의양변을 에대하여미분하면 이고정리하면 이다. ᄀ, ᄂ을연립하여점 P 의좌표를구하면 이다. 따라서 이므로 이다. 18) 3 원 C 의반지름의길이를 이라할때, 타원의정의에의하여 FP 이다. 선분 FQ 의길이가최대일때의점 Q 의위치는그림과같다. 위그림에서선분 FQ 의길이의최댓값은 이므로, 이다. 따라서원 C 의넓이는 이다. 19) 2 각면에 의숫자가하나씩적혀있는정사면체를한번던졌을 때 가나오는사건을 라하면 2 가아닌숫자가나오는사건은 이고 각각의확률은 P P 이다. 이러한정사면체를 번던져서사건 가 번, 사건 가 번나올확률은 C C 주어진조건 에서 i) 일때 ii) 일때 iii) 일때 iv) 일때 이므로조건을만족하는경우는 i) iv) 가되어, 구하는확률은 C C 이다. 10 16
20) 4 이라하면 는연속함수이고 이므로 ln ln ln ln 이고, 주어진그래프는아래와같다. 이고 함수 는전구간에서증가한다. 거짓 ㄷ. 양변을미분하면 에서만이계도함수의부호가바뀌므로변곡점은오직하나이다. 거짓 따라서옳은것은ㄱ뿐이다. [ 다른풀이 ] ㄷ에서 ln ln C 이므로 C 따라서 의최솟값은 ln 이다. [ 다른풀이 ] 의함수식을구하지않고그래프개형을이용하여최솟값이 일때임을확인하고아래와같이계산할수있다. ln ln 21) 1 ㄱ. ( 가 ), ( 나 ) 에의하여 이고 이므로 이다. 참 ㄴ. 는전구간에서미분가능하고연속인원점대칭함수이므로 반드시원점을지나야한다. 또한, 이기위해 은 과 사이여야한다. ( 다 ) 에서 22) 2 sin lim lim cos sin cos 23) 8 따라서 24) 60 1 학년 6 명중에서 4 명을뽑는경우의수는 C 가지 2 학년 4 명중에서 3 명을뽑는경우의수는 C 가지 따라서 1학년에서 4명을뽑고 2학년에서 3명을뽑는방법의수는 C C 가지 25) 4 방정식 에서 11 16
O Q EO 이므로 EC 이다. 26) 6 을표준형으로바꾸면 C 에서 AB 에내린수선의발을 H 라하고 HE 라하면 따라서초점은 위에존재하고 초점의좌표를 라하면 이므로, 27) 36 선택되는 8 개중에사과의개수를, 감의개수를, 배의개수를, 귤의 개수를 라하면 ⅰ) 일때 이고,, 이라하면 이므로구하는경우의수는 H C ⅱ) 일때 이고,, 이라하면 이므로구하는경우의수는 H C ⅰ), ⅱ) 에서 가지이다. 28) 19 점 P 는호 AC 위에존재하고, 점 Q 는호 DC 위에존재하므로 C 를지나고 AE 에평행한직선이원과만나는점을 C 라하고, O Q 를시점을 O 으로하면다음과같다. 피타고라스정리에의해 AH, HB 이므로 AB 29) 15 좌표평면위를움직이는점 P 의시각 에서의위치 가 ln 로주어졌으므로 시각 에서의속도는 이고 시각 에서의가속도는 이다. 일때점 P 의속도가 이므로 이다. 일때점 P 의가속도가 이므로 이다. 점 P 가점 로부터움직인거리가 가될때, 시각 는 이고, 주어진식을정리하면 ᄀ이다. O P 와 O Q 는길이가 1인벡터이므로각이제일클때 O P O Q 는최소가되고그점은 P 가 C 이며, Q 가 A 일경우이므로 에서양변을 로미분하면 이다. 한편ᄀ에서 이므로 임을알수있고 양변을제곱하여정리하면 12 16
ᄂ ᄂ의식을 로미분하면 이고 이다. 따라서 ᄂ에 이다. 를대입하면 [ 다른풀이 ] ln 이므로 에 를대입하면 이므로 에 를대입하면 에서 라하자 양변을 에대하여미분하면 양변을제곱하면 ᄀ 위의식을미분하면 한편, 를정리하면,, ᄀ에 를대입하면 ᄂ 13 16 30) 83 sin 의양변을미분하면 cos ᄀ 위의식에 대신에 를대입하면 이므로 cos cos sin tan ( ) ( 나 ) 식에 을대입하면 sin sin sin sin 위의식에 를대입하면 cos sin sin sin cos sin 위의식을정리하면
ᄂ 한편, ᄀ에 를대입하면 cos 양변을미분하면 sin 위의식에 대신에 를대입하면 이므로 sin 에서 sin sin 위의식에 를대입하면 ᄃ ᄂ과ᄃ을연립하면 이므로 [ 다른풀이 ] 가 축대칭함수이므로 ( 나 ) 식의 에 과 를대입하면다음과 같다. sin sin 에서 sin sin 이므로 14 16