6 장. 원운동과뉴턴법칙의응용 (Cicula Motion and Othe Applications of Newton s Laws) 6.1 등속원운동하는입자모형의확장 6. 비등속원운동 6.3 가속틀에서의운동 6.4 저항력을받는운동 1
5 장에서 Newton 의운동법칙을직선운동에적용 6장에서는 Newton의운동법칙을 1) 원운동 ) 점성이있는매질속에서운동하는물체의운동에적용 6.: Tangential Velocity This aniation shows an ovehead view of a all oving in a cicula path in a hoizontal plane. When the sting eaks, the all oves in the diection tangent to the cicle.
6.1 등속원운동하는입자모형의확장 (Extending the Paticle in Unifo Cicula Motion) - 구심가속도 (Centipetal Acceleation) 앞장에서배운것처럼원운동할때속도벡터의변화로부터구한물체의구심가속도는 v a c ( 구 o 원의중심방향 ) - 구심력 (Centipetal oce) : ( 수평원운동 ) 뉴턴의운동법칙과결합하면물체에작용하는힘은줄에걸리는장력이유일하다 ( 물체가수평면위에서운동중이고가정하면중력은수직항력과상쇄된다 ). T a c v ( 구 o 원의중심방향 )
예제 6.1 원뿔진자 ( 천장에매달려회전하는공 ) 질량 인작은공이길이 L 인끈에매달려있다. 그림처럼이공은수평면에서반지름 인원위를일정한속력 v 로돌고있다. 진자의속력 v 에대한식을구하라. Sol 수직성분과수평성분으로분해하여뉴턴법칙을적용하면 Tension T 의성분분해 y- 성분 : x- 성분 : x y T cos 0 T T sin cos a c v
T sin tan sin sin cos v g L o v tan v g tan - 이므로 Lsin 즉 L 과 Θ 만알면된다. v Lg sin tan o 주기 (Peiod): T S v v f L g 1 T g tan sin tan v 1 g tan Lsin sin g cos g L cos o 주파수 (equency, f ) : ( ) Hz L cos g
Ex 6. 대치 자동차의최대속력 - 1000 kg의차가반경 50 의평평한 Cuve 를 50 k /h (14 s ) 의속도로움직인다. Sol 1) 이차에작용하는구심력은? v 1000 Kg 14 / s ca ac 3900 N 50 ) 마찰력 1) 에서차와노면과의마찰을고려한다면, 마찰력이 ca 보다크면, 차는미끄러지지않으나, 마찰력이이보다작으면차는미끄러진다. - 안미끄러질최대속도 : v vax g cf) 이때, 차의운동방향과구심력의방향은직각이된다. 그러므로이때에사용해야하는마찰계수는정지마찰계수이다.
- 차에작용하는수직력 ( 항력, Noal oce) = 차의무게 W = 9800N - 차와노면의정지마찰계수가 0.라면, 마찰력 : f = μ s N = 0. 9800N 000N f=0. < ca 미끄러진다. - 차와노면의정지마찰계수가 0.6이라면, 마찰력은 : f = μ s N = 0.6 9800N 5900N f=0.6 > ca 안미끄러진다. 커브길에서마찰을크게하는것이좋다. 도로면을거칠게한다. cf) 자동차의잠김방지제동장치 (ABS)
3) Banked Cuve ( 커브길에서의경사도 ) 경사진곳에서의회전 Ex) 구심력과마찰 커브길에서의경사도 - 노면을거칠게하는대신에회전중심을향하여경사를준다 - 원운동시구심력에대항하는힘 = 타이어의마찰에의한마찰력 + x- 방향의항력 (Noal oce) ( 차의무게에의한수직력의 x- 성분 ) - 마찰력 : 항력의 y- 성분에작용하는정지마찰력 -Net oce 의성분분해 : x y a N a N x N sin y N cos sin N f x cos cos N f sin y
- 차가어떤경우에도안미끄러지려면? 마찰력이 0 이라면, μ =0 - 타이어의종류나상태, 노면의상태에무관 x- 방향으로구심력에대한같은힘을가지면된다. y- 방향의운동은 0 y x a a y x N N cos sin v (1) 에서 cos ( W ) N () 에서 필요한최소의경사도 Θ? v N sin v tan N v g sin 0 sin cos () (1) N tan cos cf) 같은 Θ 에대하여 : v sall, lage 이때 v 에비례 속도를조금만줄여도큰효과발생
Ex) 차가반경 50 의 Cuve 를 50 k /h (14/sec) 의속도로움직인다. 필요경사도는? v (14 / sec) tan g 509.8 / sec 0.4 cf) 이경우, 항력의 y- 성분이무게에대한반작용에의한힘이된다. N cos ( W )
예제 6.3 회전관람열차 질량, 반경 =10, 접선속도 v = 3/sec a) 바닥에서, ) 맨위에서아이의무게는? Sol a) ) 지름방향에대해뉴턴법칙을적용하면가속도는구심가속도에해당하므로 Net y Net v y N Bot v v N Bot 1 g (3 / s) N 1 1. 09 (10)(9.80 / s ) Bot y N Top y N Top v 1 (3/s) N 1 0. 908 (10)(9.80/s ) Top v v g
6. 비등속원운동 (Nonunifo Cicula Motion) 일정하지않은속력으로원운동하면가속도의지름성분외에도접선성분이존재한다. 그러므로작용하는힘도접선성분과지름성분을가져야한다. 입자에작용하는전체힘은두성분의합과같다. t
예제 6.4 공에주목 그림에설명된것처럼질량 인작은구가길이 R 의줄끝에매달려고정된점 O 를중심으로수직원운동을하고있다. 이구의속력이 v 이고줄이수직방향과각 θ 를이루고있을때줄의장력을구하라. Sol 구의접선방향에대해운동법칙을적용하면중력의접선성분만고려하면된다. a t t sin a g sin t 구의지름방향에대해운동법칙을적용하면 v T cos R T v g cos R T T top ot vtop Rg vot Rg 1 1
6.3 가속틀에서의운동자동차, 지구 (Motion in Acceleated aes) 자동차가급격하게좌회전하면좌석에앉아있는승객은오른쪽으로밀리는힘을받는다 ( 원심력 ). 이것은자동차의속도벡터의방향변화와관련된구심가속도에의한겉보기힘 (fictitious foce) 이다. 겉보기힘은어떤물체에실제힘과같은방식으로작용하는것같이보인다. 그러나실제힘은언제나두물체간의상호작용이지만, 겉보기힘에대하여는두번째물체를찾을수없다. 승객에작용하는힘 ( 곡률중심을향한 ) 이충분히크다면, 승객은자동차를따라원형궤도를돌게된다. 이힘은승객과자동차의자사이의마찰력이다. 승객이문쪽으로미끄러지는것은밖으로향하는힘때문이아니라, 승객이자동차를따라휘어진궤도를움직일정도로마찰력이충분히크지않기때문이다.
코리올리힘 (Coiolis foce) 그림 (a): 관성기준틀에서본공의궤도그림 (): 원판에앉아있는관찰자가본공의궤도 그림 () 의관찰자의 (a) 의궤도를예상하지만공은자신을향해날아오다가한쪽으로방향을바꾸는것으로관찰한다. 그러므로회전하는플랫폼에있는친구는공이뉴턴의제 1 법칙을만족하지않는다고말하고, 어떤힘에의해공이휘어진궤도를따르게되었다고주장한다. 이가상의힘을코리올리힘 (Coiolis foce) 이라한다. 겉보기힘은실제힘은아닐지라도, 실제로영향을미칠수있다. 지구의회전에의한코리올리힘은허리케인의회전을일으키며대규모의대양해류를일으킨다. 비관성계 : 하수구, 태풍경로, 남극풍선, 푸코진자등
예제 6.5 선운동에서의겉보기힘 질량 인구가기차천장에줄에매달려있다. 기차가움직이면서구는천장에대하여 θ 의각을이룬다. a) 관성기준틀에대한기차의가속도는? ) 기차안의관측자와기차바닥의마찰력은? Sol a) 관성기준틀에대하여기차는 a 의가속도 Net x Net y T cos x y T T a sin a cos 0 T sin ) 비관성기준틀에대하여 ' Net x ' x T sin sin cos f 0 g tan ' Net y ' y T cos 0 f a
6.4 저항력을받는운동 (Motion in the Pesence of Resistive oces) 유체 ( 액체또는기체 ) 안에서물체가움직이면유체는그안에서움직이는물체에저항력 (esistive foce) 작용한다. 저항력의방향은언제나물체의매질에대한상대적인운동방향과반대이고, 크기는속력에따라복잡한방식으로변한다. 모형 1: 물체의속도에비례하는저항력 (Model 1: Resistive oce Popotional to Oject Velocity) 액체나기체속을운동하는물체에작용하는저항력이물체의속도에비례하는경우 R v : 물체의모양과크기그리고매질의성질에의존하는상수 v: 물체의매질에대한상대속도 - sign : R 은 v 에반대방향 저항력
그림의경우, Net y R v a g a dv dt dv dt g v 위의식은미분방정식으로서, 속력 v에대해풀면그림 (c) 와같은결과를얻을수있다. 속도가커질수록가속도 ( 기울기 ) 가작아진다! 저항력의크기가구의무게에가까워지면가속도는영 (0) 에가까워진다. 이경우, 구의속력은종단속력 v T (teinal speed) 에가까워진다. v T 0 v T
cf) 저항력을받는운동의해 Net y R g a Sol v v a 1 v ln v dv dt dv ln ln v 0 v ln v ln dv dt dt t t 0 t t v ln v v e t t e v 1 e t t
종단속도 (Teinal Velocity, 끝속도 ) y- 방향으로떨어지는속도가어느정도에달하게되면, 저항에의하여더이상가속도가붙지못하고일정한속도로낙하하게된다. 등속도운동 이때의속도를종단속도 (Teinal Velocity) 라한다. ex) 유체내에서 ( 비이커속에점성이큰액체를담고 ) 물체를낙하시키면, 쉽게종단속도에도달하게된다. ex) 빗물의낙하속도 cf) 물방울 : 약 1 c /sec 이하 ( 구름의형성이가능 ) - 종단속도 v T 에서 물체는 y- 방향의등속도운동 (No Acceleation! a =0) v T 0 v T 종단속도 (Teinal Velocity) cf) 골프공 : 1 ~13 에서최대거리가나온다. cf) Teinal Velocitys : 사람 54/sec (194 k /h, 10ile/h) 낙하산이용시 : 6.3/sec (.68 k /h, 14ile/h)
t / t / 미분방정식의실제해 : v (1 e ) v (1 e ) 이해를미분방정식에대입하여확인해보자 e : (exponential) 자연로그의밑, 오일러수 (e =.7188) T dv ( ge dt t/ ) τ =/, 시간상수 (tie constant) t = 0 에서놓여진구가종단속력의 63.% 에도달하는데걸리는시간 t =τ 를대입하면 v 0. 63v T
예제 6.6 기름속에서떨어지는공 커다란용기속에질량 g 인작은공을놓았다. 공의종단속력은 5 c /sec 이다. 이종단속력의 90% 에도달하는시간을구하라. Sol 종단속력 시간상수 v T v T g 3 39g / s 5.1010 90% 에도달하는시간 t 0.9 v T vt 1 e t e t 1 0.9 1 e 0.9 t ln 0.1 0.1.3 g 980c / s 5c / s s 39g / s 3 3 t.3.35.1010 s 11.710 s 11. 7s
모형 : 물체속력의제곱에비례하는저항력 (Model : Resistive oce Popotional to Oject Speed Squaed) 비행기, 스카이다이버, 자동차또는야구공처럼공기속에서빠른속력으로운동하는물체들에대해서는, 저항력이속력의제곱에비례하는것으로비교적잘모형화할수있다. R 1 D Av D ( 끌림계수 ) : 경험적으로얻어지는차원이없는양 ρ : 공기의밀도 A : 운동하는물체의속도 ( 운동방향 ) 에수직인평면에서측정한물체의단면적 질량 인물체가정지상태에서자유낙하하는경우 1 DAv a g DA v
중력이저항력과상쇄될때, 이물체에작용하는알짜힘은영이되므로종단속력 v T 를구할수있다. g DA v T 0 v T DA 예제 6.7 야구공에작용하는저항력 투수가타자에게 0.145 kg 의야구공을 40./s( 90 i/h) 의빠른속력으로던졌다. 이속력에서공에작용하는저항력을구하라. 공기의밀도를 1.0 kg/ 3 라하고표 6.1 로부터, v T 및 A 에적당한값을대입하여 D 를구하면 D v A 0.305 T (0.415kg)(9.80/s ) 3 (43/s) (1.kg/ )(4.10 3 ) R 1 D Av 1 3 3 (0.305)(1.0kg/ )(4. 10 1.N )(40./s)