Egieerig Mahemaics II Prof. Dr. Yog-S Na (3-6, Tel. 88-74) Te book: Eri Kreyszig, Adaced Egieerig Mahemaics, 9 h Ediio, Wiley (6)
Ch. Parial Differeial Eqaios (PDEs). Basic Coceps. Modelig: Vibraig Srig, Wae Eqaios.3 Solio by Separaig Variables. Use of orier Series.4 D Alember s Solio of he Wae Eqaio. Characerisics.5 Hea Eqaio: Solio by orier Series.6 Hea Eqaio: Solio by orier Iegrals ad Trasforms.7 Modelig: Membrae, To-Dimesioal Wae Eqaio.8 Recaglar Membrae. Doble orier Series.9 aplacia i Polar Coordiaes. Circlar Membrae. orier-bessel Series. aplace s Eqaio i Cylidrical ad Spherical Coordiaes. Poeial. Solio of PDEs by aplace Trasforms
Ch. Parial Differeial Eqaios (PDEs). Basic Coceps. Modelig: Vibraig Srig, Wae Eqaios.3 Solio by Separaig Variables. Use of orier Series.4 D Alember s Solio of he Wae Eqaio. Characerisics.5 Hea Eqaio: Solio by orier Series.6 Hea Eqaio: Solio by orier Iegrals ad Trasforms.7 Modelig: Membrae, To-Dimesioal Wae Eqaio.8 Recaglar Membrae. Doble orier Series.9 aplacia i Polar Coordiaes. Circlar Membrae. orier-bessel Series. aplace s Eqaio i Cylidrical ad Spherical Coordiaes. Poeial. Solio of PDEs by aplace Trasforms 3
Ch. Parial Differeial Eqaios (PDEs) 함수가하나의변수밖에포함하지않는미분방정식을상미분방정식 이라한다. 개이상의독립변수를갖는함수의편도함수를포함하는방정 식을편미분방정식이라한다 단순한물리시스템만이상미분방정식에의해모델화될수있는반면에 동역학, 탁성역학, 열전달, 전자기이론, 양자역학등에서대부분의문제들이편미분방정식을필요로한다. 내용 : 진동하는현의파동방정식, 진동하는박막의파동방정식, 열전도방정식, 라플라스방정식
. Basic Coceps ( 기본개념 ) Parial Differeial Eqaio, PDE( 편미분방정식 ) : 두개이상의독립변수들에종속되는함수의한개또는그이상의편도함수를포함하는방정식 계수 (Order) : 가장높은도함수의계수 제차 (Homogeeos) : 미지함수와그것의편도 편미분방정식 (PDEs) 선형 (iear) : 미지함수와그것의편도함수에대하여 차임비선형 (Noliear) : 선형이아닌편미분방정식 함수만을포함 비제차 (Nohomogeeos) : 제차가아닌선형편미분방정식
B i C B i C ( 기본개념기본개념 ). Basic Coceps. Basic Coceps ( 기본개념기본개념 ) E Impora Secod-Order PDEs ( 중요한 계선형편미분방정식 ) () ( ) 차원파동방정식 c E. Impora Secod-Order PDEs ( 중요한 계선형편미분방정식 ) ( ) ( ) 차원열전도방정식 c () ( ) 라플라스방정식 차원 3 y ( ) ( ) ( ) 차원파동방정식푸아송방정식 차원, 4 y f y ( ) ( ) ( ) ( ) 차원라플라스방정식차원파동방정식 3 6 5 y c ( ) ( ) 라플라스방정식 3 차원 6 z y
. Basic Coceps ( 기본개념 ) Solio( 해 ) : 편미분방정식에나타나는모든편도함수를갖고있는함수로서 모든점에서주어진방정식을만족하는함수이다. E. y ( ) 의해들 : y, e cos y, si cosh y, l y - 일반적으로편미분방정식의해의전체집합은광범위하다. - 편미분방정식은물리적인조건을나타내는추가적인정보를사용함으로써유일 해를구하게된다. Addiioal Codiios( 추가적인조건 ) - Bodary Codiios( 경계조건 ), Iiial Codiios( 초기조건 )
. Basic Coceps ( 기본개념 ) dameal Theorem o Sperposiio( 중첩에관한기본정리 ) 과 가어떤영역 R에서제차선형편미분방정식의해라면 c c 도 역시같은영역R에서그편미분방정식의해가된다. c, c는임의의상수이다. E. Solig ike a ODE.
. Basic Coceps ( 기본개념 ) dameal Theorem o Sperposiio( 중첩에관한기본정리 ) 과 가어떤영역 R에서제차선형편미분방정식의해라면 c c 도 역시같은영역R에서그편미분방정식의해가된다. c, c는임의의상수이다. E. Solig depedig o ad y like a ODE. (, y) 에서 y를상수로취급. 즉, ( ) '' Ae Be (, y) A( y) e B( y) e
. Basic Coceps ( 기본개념 ) E.4 S olig ike y a ODE
. Basic Coceps ( 기본개념 ) E.4 S olig ike y a ODE p라하자. p y p p y p l p y c~ ( ) p c( ) e y y (, y) f ( ) e g( y), f ( ) c( ) d
. Basic Coceps ( 기본개념 ) PROBEM SET. HW: 6
. Modelig: Vibraig Srig, Wae Eqaio ( 모델화 : 진동하는현, 파동방정식 ) 바이올린현과같은탄성현에서현의미소횡진동을모델화한방정식유도 가정 : 현을 축상에놓고, 길이 만큼늘이고양끝을 과 로고정. 에서현을잡아당긴후놓음으로써진동시작. 문제 : 현의진동을결정하는것.( 임의의시점 >, 임의의점 에서현의변위를구하는것) Physical Assmpios. 단위길이당현의질량은일정하다. 현은완전탄성체이며휠때어떠한저항도나타내지않는다.. 현의양끝을고정시키기전에현을잡아당긴장력이매우커서현에작용하는중려은무시할수있다. 3. 현의운동은수직평면내에서미소횡진동이다. 즉현의모든입자는정확하게수직으로움직이고, 따라서현의모든점에서변위와기울기의절대값은항상작다.
. Modelig: Vibraig Srig, Wae Eqaio ( 모델화 : 진동하는현, 파동방정식 ) 수평방향의힘의합력 T cosα T cosβ T cosα T cosβ T( 상수) 수직방향의힘의합력 - Neo의제법칙적용 T T si siα β ρδ T T si β T siα cos β T cos α ρ ρ Δ a β aα Δ T T T T α P Q β T T Q P β α T Δ
. Modelig: Vibraig Srig, Wae Eqaio ( 모델화 : 진동하는현, 파동방정식 ) 정리 β T Q T Q P P α β α T T Δ T T si β T cos β T si α cosα ρ ρ Δ a β aα Δ T T aα : 점 에서의현의기울기 aα lim Δ Δ a β : 점 Δ 에서의현의기울기 a β ρ c ( 차원파동방정식 ), c T Δ Δ ρ T
.3 Solio by Separaig Variables. Use of orier Series ( 변수분리에의한해. 푸리에급수의사용 ) Solio of he oe-dimesioal Wae Eqaio c 차원파동방정식 : 경계조건 (Bodary Codiio) : 초기조건 (Iiial Codiio) : (, ) (, ) ( 모든 에대하여) (, ) f ( ), (, ) g ( ) ( ) 문제해결방법 Mehod of Separaig Variables ( 변수분리법 ) (, y) ( ) G( y) 로두면두개의상미분방정식을. : 얻는다 경계조건을만족하는상미분방정식의해를구한다. 푸리에급수를이용하여해를구한다.
.3 Solio by Separaig Variables. Use of orier Series ( 변수분리에의한해. 푸리에급수의사용 ) 단계. 파동방정식으로부터두개의상미분방정식의유도, ( y) ( ) G( y) '' ( ) G( ), ( ) G&& ( ) ( ) G&& ( ) c '( ) G( ) ' () () G&& c G '' ( ) ( ) ( k) 좌변은 만의함수이고, 우변은 만의함수이므로양변은상수가되어야한다. '' ( ) k( ), G& ( ) c kg( )
.3 Solio by Separaig Variables. Use of orier Series ( 변수분리에의한해. 푸리에급수의사용 ) 단계. 경계조건의만족 경계조건 '' (, ) ( ) G ( ), (, ) ( ) G ( ) 을적용 ( ) ( ) ( ) k ( ), ( ) ( ) Case k p '' > ( ) p ( ) ( ) ( ) A B B A Ae '' p ( ) k( ), G& ( ) c kg( ) Be p p p p ( ) Ae Be A ( e ) A ( e ), B ( 무의미한해) p Case k '' ( ) ( ) A B ( ) B, ( ) A B A ( ) ( 무의미한해)
.3 Solio by Separaig Variables. Use of orier Series ( 변수분리에의한해. 푸리에급수의사용 ) Case 3 k p < '' ( ) p ( ) ( ) Acos p Bsi p ( ) A, ( ) Acos p Bsi p Bsi p B ( 무의미한해) G&& si π p p π ( : 정수 ) ( ) ( ) si (,, 3, ) ''( ) k( ), G& ( ) c kg( ) cπ ( ) λ G ( ), λ cp G ( ) B cos λ B si λ π (, ) ( B cosλ B si λ ) si (,, 3, )
.3 Solio by Separaig Variables. Use of orier Series ( 변수분리에의한해. 푸리에급수의사용 ) Discssio of Eigefcios ( 고유합수에관한토의 ) Eigefcio( 고유함수 ) 또는 Characerisic cio( 특성함수 ) : Eigeale( 고유값 ) 또는 Characerisic Vale( 특성값 ) : Specrm( 스펙트럼 ) : { λ, λ, } : 차정규진동 ( h Normal Mode) cπ λ ( ), 단위시간당진동수 λ π c 을갖는조화운동(Harmoic Moio) 3 4 Node( 마디점 ) : 현에서의움직이지않는점 π si 단,,,,
.3 Solio by Separaig Variables. Use of orier Series ( 변수분리에의한해. 푸리에급수의사용 ) 3단계. 전체문제에대한해. 푸리에급수 (,) f ( ), (,) g( ) ( ) (,) (,) ( B cos λ B si λ) 초기조건( 주어진초기변위) 의충족 : si π (,) B si f ( ) π 푸리에사인급수적용 B π f ( ) si d 초기조건 ( 주어진초기속도 ) 의충족 : π π ( Bλ si λ B λ cos λ) si B * λ si g( ) 푸리에사인급수적용 B * λ π g cπ ( ) si d B* g( ) si π d
.3 Solio by Separaig Variables. Use of orier Series ( 변수분리에의한해. 푸리에급수의사용 ) (,) ( ) ( ), B cos λ B si λ 확립된해 si π 초기속도 g ( ) 가 인경우고려 g ( ) B * (, ) B cos λ si π, λ cπ B π si π ( c ) si ( c ) [ f *( c) f *( c) ] f *() f *( c) c
.3 Solio by Separaig Variables. Use of orier Series ( 변수분리에의한해. 푸리에급수의사용 ) E. id he solio of he ae eqaio correspodig o he riaglar iiial deflecio k < < ( ) f k ( ) < < Ad iiial elociy zero f*() 5 f *( ) 5 f *( ) 5 f *( ) 5 f *( ) (, ) /5c /5c (, ) 8k π πc 3π 3πc si cos si cos π 3 f *( ) 3 5 f *( ) f *( ) 3 5 f *( ) /c 3/5c Secio.3 E. 4 이용 4 5 f *( ) 4 5 f *( ) 4/5c f*( ) f*( ) /c
.3 Solio by Separaig Variables. Use of orier Series ( 변수분리에의한해. 푸리에급수의사용 ) PROBEM SET.3 HW: 5-88
.4 D Alember Solio of he Wae Eqaio. Characerisics ( 파동방정식의 D Alember 해. 특성 ) 파동방정식 : c c, c, ( ) ( ) ( ) c c, ( c c ) ( c c ) ( c c ) c c c c c c c ( ) h () h() d ϕ ( ) (, ) φ( c) ϕ( c)
.4 D Alember Solio of he Wae Eqaio. Characerisics ( 파동방정식의 D Alember 해. 특성 ) 초기조건을만족하는 D Alember 해 (, ) φ( c) ϕ( c) (, ) cφ' ( c) cϕ' ( c) 주어진초기변위 (, ) f ( ) (, ) φ( ) ϕ( ) f ( ) 주어진초기속도 φ (, ) g( ) (,) cφ' ( ) cϕ' ( ) g( ) φ( ) ϕ( ) k( ) g()ds s c ( ) f ( ) g() s ds k( ), ϕ( ) f ( ) g() s ds k( ) c c φ c c ( c) ϕ( c) f ( c) f ( c) g( s) c ds c c (, ) f ( c ) f ( c ) g ( s)ds) c
.4 D Alember Solio of he Wae Eqaio. Characerisics ( 파동방정식의 D Alember 해. 특성 ) 편미분방정식들의일반적인형태와정규형 y yy (, y,, ) 준선형(Qasilie ar) : A B C, 형태정의조건. 절의예제 y 쌍곡선포물선타원 정규형으로변환 AC B < AC B AC B > 파동방정식 열전도방정식 라플라스방정식 특성방정식 : Ay' By' Cy 형태새로운변수정규형 쌍곡선 Φ, Ψ 포물선, Φ Ψ i 타원 ( Φ Ψ), ( Φ Ψ) 3
.4 D Alember Solio of he Wae Eqaio. Characerisics ( 파동방정식의 D Alember 해. 특성 ) E. 체계적으로얻어진 D Alember 의해 파동방정식 : c y c y y c y, c yy yy 특성방정식 : y' ( y' )( y' ) ( ) ( ) f ( c) f ( c) Φ, y y 상수, Ψ, y y 상수 Φ y c, Ψ y c
.4 D Alember Solio of he Wae Eqaio. Characerisics ( 파동방정식의 D Alember 해. 특성 ) PROBEM SET.4 HW: