한국해안 해양공학회논문집 /ISSN 1976-8192(Print), ISSN 2288-2227(Online) Journal of Korean Society of Coastal and Ocean Engineers 25(4), pp. 191~199, Aug. 2013 http://dx.doi.org/10.9765/kscoe.2013.25.4.191 한정된자료로추정한설계파고의신뢰구간분석 Analysis of Confidence Interval of Design Wave Height Estimated Using a Finite Number of Data 정원무 * 조홍연 ** 김건우 *** Weon-Mu Jeong*, Hong-Yeon Cho** and Gunwoo Kim*** 요지 : 부산항신항에서측정한 14년동안의파랑자료를이용하여재현기간에따른설계파고와신뢰구간을추정 분석하였다. 극치분석에사용한함수는 Gumbel 함수와 Weibull 함수, Kernel 함수이며, 각각의방법으로추정한설계파고의신뢰구간을 Monte-Carlo 모의기법중의하나인 Bootstrap 방법으로추정하였다. 설계파고의추정신뢰구간을분석한결과, 약 ±10% 수준의신뢰구간을만족하기위해서는 150년이상의자료가필요한것으로파악되었다. 그리고실질적으로가능한자료의개수를 25~50개정도 (25~50년동안의추정자료 ) 로간주하는경우, Type I 분포함수의경우허용오차가 ±16~22% 정도이며, Type III 분포함수의경우, ±18~24% 정도로파악되었다. 한편비모수적방법에해당하는 Kernel 분포함수를이용한방법은 Type I과 III을사용한것에비해신뢰구간은 40% 이하수준으로우수한결과를보이는반면, 설계파고는 1.2~1.6 m 정도낮게추정하는결과를보여주고있다. 핵심용어 : 설계파고, 극치해석, 신뢰구간, Bootstrap 방법, Kernel 함수 Abstract : It is estimated and analyzed that the design wave height and the confidence interval (hereafter CI) according to the return period using the fourteen-year wave data obtained at Pusan New Port. The functions used in the extreme value analysis are the Gumbel function, the Weibull function, and the Kernel function. The CI of the estimated wave heights was predicted using one of the Monte-Carlo simulation methods, the Bootstrap method. The analysis results of the estimated CI of the design wave height indicate that over 150 years of data is necessary in order to satisfy an approximately ±10% CI. Also, estimating the number of practically possible data to be around 25~50, the allowable error was found to be approximately ±16~22% for Type I PDF and ±18~24% for Type III PDF. Whereas, the Kernel distribution method, a typical non-parametric method, shows that the CI of the method is below 40% in comparison with the CI of the other methods and the estimated design wave height is 1.2~1.6 m lower than that of the other methods. Keywords : Design wave height, extreme value analysis, confidence interval, Bootstrap method, Kernel function 1. 서론 해안 항만구조물설계에서가장중요한인자중의하나는설계파고이다. 항만및해안구조물설계에적용하는기준파랑으로항만설계의경우 50년재현빈도의유의파고를이용한다. 또한다양한해양시설및어항시설설계에는목적에부합되는여러가지재현빈도의유의파고를이용한다. 항만및어항설계기준 (Ministry of Oceans and Fisheries, 2005; 제 2편설계조건, 제4장파랑 ) 에서는항만시설의구조안정검토에사용되는설계파고산정기준으로실측자료로서는 10년이상의자료가바람직하나실측자료가없는경우에는 30년이 상의기상자료를이용하여추산파고를구하고, 이를실측파고로보정하여사용하는방법을제시하고있다. 한편미국공병단 (USACE, 2002) 에서는 20년 ( 또는 20개 ) 이상의실측자료사용을권장하고있다. 또한관측자료가제한된경우에는관측자료기간의 2~3배정도의재현기간을가지는설계파고추정이바람직하다고제시하고있다. 제한된기간일지라도관측자료또는적절한추산자료가있다면후보극치분포함수의최적매개변수를추정하고원하는재현기간에해당하는설계파고를추정할수있다. 그러나한정된자료를사용하여설계파고를추정하는경우에는추정결과의신뢰구간이사용자료의개수 ( 또는기간 ) 의영향 * 한국해양과학기술원연안개발 에너지연구부 (Coastal Development & Ocean Energy Research Division, Korea Institute of Ocean Science & Technology, wmjeong@kiost.ac) ** 한국해양과학기술원해양환경 보전연구부 (Corresponding author: Hong-Yeon Cho, Marine Environments & Conservation Research Division, Korea Institute of Ocean Science & Technology, Tel: +82-31-400-6318, Fax: +82-31-400-7868, hycho@kiost.ac) *** 국립목포해양대학교해양 플랜트건설공학과 (Department of Ocean Civil & Plant Construction Engineering, Mokpo National Maritime University, Mokpo, Korea) 191
192 정원무 조홍연 김건우 을크게받기때문에어느정도의실질적인허용오차범위를만족하지못하는추정설계파고를제시할수있다. 최적분포함수를이용한설계파고추정연구는활발하게수행되고있으나추정설계파고의신뢰수준 ( 불확실성 ) 분석에관한연구는매우미흡한실정이다 (Chae, 1980; Goda, 2000; Jeong et al., 2004; Lee and Jun, 2006; Suh et al., 2011; Jeong et al., 2012). 실질적으로해안 항만구조물은장기간의극한해양환경에서안전이확보되어야하므로신뢰할만한설계파고추정이매우중요하다. 따라서본연구에서는한정된자료를이용하여추정한설계파고의신뢰구간분석을통하여설계파고추정오차의허용범위만족을위한최소한의 가용기간 ( 분석에사용되는자료가포함되는기간 [ 연또는자료의개수 ]) 제시를목적으로수행되었으며, 신뢰구간추정기법은 Monte-Carlo 모의 (simulation) 를기반으로하는 Bootstrap 기법 (DiCiccio and Efron, 1996; Rubinstein and Kroese, 2008) 을사용하였다. 2. 장기파랑관측자료및설계파고추정기법 2.1 설계파고추정에사용한자료 본연구에서사용한제한된자료는부산항신항동방파제전면 (Fig. 1의정점 W 참조 ) 에서측정된파랑자료이다. 정점 W의위도는 35 o 03'N, 경도는 128 o 47'E였으며설치수심은 M.S.L. 기준약 15 m였다. 여기서 1999년부터 2012년까지 14년동안 30분간격으로관측된파랑자료에서연최대유의파고자료 14개 ( 자료세트-I) 와연최대와두번째로높은유의파고자료를포함한 28개의자료 ( 자료세트-II) 를추출하였으며, 이들을 Table 1에각각정리하였다. 전통적인 POT 방법 (Peak over Threshold; 어떤기준이상의자료를추출하는방법 ) 에의하면전체자료에서크기순서대로 28개의자료를추출하여야하나, 본연구에서는자료의개수증가에의한영향분석에중점을두어간단하게 1년에 2개를추출하는방법 Fig. 1. Location of the long-term wave monitoring station. Table 1. Wave data set for the estimation of the design wave height. (a) Data set-i (annual maximum data) Date Characteristic wave parameters H s T p T z θ 1999 7/22 21H 2.03 9.12 5.71 S2.5 o W 2000 9/16 06H 4.28 14.07 8.14 S0.8 o W 2001 6/25 05H 1.71 7.75 6.21 S10.2 o E 2002 8/31 18H 5.34 12.73 9.10 S6.4 o E 2003 9/12 21H 7.42 16.56 11.06 S5 o E 2004 8/19 07H 5.06 13.66 10.33 S2.1 o W 2005 5/18 08H 2.38 8.53 6.93-2006 7/10 13H 5.28 12.71 9.51 S12.7 o E 2007 3/5 0H 2.31 8.68 6.70 S4.2 o E 2008 7/30 01H 2.03 13.84 12.28 S11.5 o W 2009 4/20 22H 2.73 10.28 7.59 S2.2 o W 2010 8/11 9H 3.65 12.71 7.81 S19.6 o W 2011 8/7 23H 3.81 8.89 7.59 S25 o W 2012 9/17 12H 6.30 12.80 8.32 - (b) Data Set-II (annual maximum and second highest data) Characteristic wave parameters Date H s T p T z θ 1999 7/22 21H 2.03 9.12 5.71 S2.5o W 7/28 01H 1.76 8.15 5.48 S9.1 o E 2000 9/16 06H 4.28 14.07 8.14 S0.8o W 8/31 23H 2.34 11.90 7.19 S4.3 o E 2001 6/25 05H 1.71 7.75 6.21 S10.2o E 7/7 04H 1.20 12.76 10.38 S0.1 o W 2002 8/31 18H 5.34 12.73 9.10 S6.4o E 7/6 07H 2.85 10.36 6.62 S1.8 o E 2003 9/12 21H 7.42 16.56 11.06 S5o E 6/19 18H 3.64 15.03 10.50 S13.4 o E 2004 8/19 07H 5.06 13.66 10.33 S2.1o W 7/5 01H 2.33 11.64 7.35-5/18 08H 2.38 8.53 6.93-2005 4/20 06H 2.36 8.53 7.57-2006 7/10 13H 5.28 12.71 9.51 S12.7o E 5/6 16H 2.26 7.53 6.71-3/5 0H 2.31 8.68 6.70 S4.2 o E 2007 9/16 19H 2.19 12.80 10.82-2008 7/30 01H 2.03 13.84 12.28 S11.5o W 9/30 13H 1.40 11.93 11.31 S7.5 o W 2009 4/20 22H 2.73 10.28 7.59 S2.2o W 2/13 15H 2.42 8.23 7.08 S9.7 o E 2010 2011 2012 8/11 9H 3.65 12.71 7.81 S19.6 o W 3/15 16H 2.35 9.61 7.81 S5.4 o E 8/7 23H 3.81 8.89 7.59 S25 o W 6/26 17H 2.77 11.92 9.25 S23.1 o W 9/17 12H 6.30 12.80 8.32-8/28 11H 4.36 14.22 7.96 -
한정된자료로추정한설계파고의신뢰구간분석 193 ( 보다일반적인방법은 1년에 r개를추출하는방법 ; Soares and Scotto, 2004) 으로자료개수를 2배로증가시켜자료세트 -II를구성하였다. Table 1에서 H s 는유의파고 (m), T p 는첨두주기 (sec.), T z 는평균주기 (sec.), 그리고 θ는첨두주기에서의파향 ( o ) 을각각나타낸다. 관측된유의파고에는동방파제로부터의반사파가일부포함되어있으므로각각의원시자료 (raw data) 를최대엔트로피법 (MEM) 에의하여방향스펙트럼을분석하고그결과를이용하여입 반사파분리를실시하였다. 그결과를요약하면관측된입사파고에는 6~14% 의크기의반사파고가포함되어있는것으로나타났으며 Table 1에제시된유의파고에는분리된입사파고를제시하였다. 한편, Table 1에서대표파향 (θ ) 의값이없는자료는수압식파고계로관측된자료이며최대엔트로피법의적용이불가능하여반사파고의평균치를관측된값에서빼고입사파고로표시하였다. 2.2 설계파고및신뢰구간추정기법 설계파고추정은재현기간에따른설계파고를추정한다는의미이다. 재현기간은어떤특정파고를상회하는파랑이나타나는평균적인연수로확률적인개념을기초로하고있다. 확률파고를추정하는데는연속적인파랑관측기록이있으면기준파고등을계산할수있으나, 일반적으로장기간의매년최대파고를극치통계자료로이용하여확률파고를분석한다 (Ministry of Oceans and Fisheries, 2005). 연최대파고자료를이용한확률파고, 즉재현기간에따른확률파고추정은극치해석분야에서는다음과같은정형화된과정을따른다. - 제1 단계 : 극치해석을위한자료 ( 연최대자료또는기준파고를상회하는자료세트 ) 입력 - 제2 단계 : 자료를크기순으로정렬하여각각의자료에대한초과 ( 또는비초과 ) 확률을부여 ( 확률부여는 plotting position 공식을활용 ) - 제3 단계 : 주어진 ( 확률, 파고 ) 세트자료를이용하여후보극치분포함수에대한최적매개변수추정 ( 최소자승법등 ) - 제4 단계 : 극치분포함수의최적추정된매개변수를이용하여재현기간에따른초과확률과확률파고 ( 설계파고 ) 를계산본연구에서는후보극치분포함수로연안설계파고추정에널리이용되는 Gumbel 분포함수와 Weibull 분포함수를선정하였다. 또한모수적방법의한계를극복하기위하여제시되는비모수적방법을적용하기위하여 Kernel 분포함수도선정하였다. 제3 단계의최적매개변수는 Gumbel 분포함수의경우간단한변환과정을통하여최소자승법으로추정하였으며, Weibull 분포함수의경우형상매개변수를통상적인 0.5~2.0 범위에서일정한간격으로변화시켜가며최소자승법으로추정된다른매개변수조건에서상관계수가가장크게되는형상매개변수와 그조건에서의다른매개변수를최적추정하였다 (Goda, 2000). Kernel 분포함수의경우는일반적으로이용되는 ( 편의 [bias]) 2 + 분산수치를최소 (Wand and Jones, 1995) 로하는매개변수를선정하였다. Weibull 분포함수및 Kernel 분포함수의매개변수는반복시행에따른최적매개변수추정과정이필요하다. 추정설계파고의신뢰구간추정은제3 단계에서결정된극치분포함수 ( 모집단으로가정 ) 를이용하여가상의파고를발생 ( 하나의표본집단으로가정 ) 시키고, 발생된파고자료를이용하여각각의재현기간에따른다수의설계파고를추정하는과정이추가된다. 여기서추정된다수의재현기간에따른설계파고의 5~95% 영역이 ±5% 유의수준 (significance level) 에대한신뢰구간이된다. 한편추산자료 (hind-casting data) 를이용하여설계파고를추정하는방법도가능하며, 일반적으로파랑관측기간보다오랜기간의관측자료가있는기상자료를이용하여장기간의파랑자료를추정하여극치해석에이용하는방법이다. 극치해석방법은동일한과정을거치지만극치해석에이용되는자료가관측자료보다더많기때문에신뢰구간이감소하는장점을가지고있으나, 극치해석에이용되는자료가어느정도 ( 관측자료의관측오차보다는상당히큰정도 ) 의추정오차를가지고있는단점이있다. 따라서관측자료를이용하는설계파고추정은관측기간을늘리는것이가장중요하며, 추산자료를이용하는방법은추산오차를최소화하는작업이요구된다고할수있다. 본연구에서는대표적인설계파고추정방법의비교가아니라자료의개수에따른설계파고추정오차변화양상분석에중점을두고있다. 2.3 이상자료검정 (Outlier Test) 방법한정된파랑자료가이상자료 (outliers) 를포함하는경우에는극치분포함수의추정매개변수가이상자료의영향을크게받게된다. 따라서자료의개수가작은경우에는극치해석이전에자료에이상자료가포함되어있는지를검정할필요가있다. 이상자료검정방법은대부분의경우정규분포를가정하여수행하고있으나, 본연구에서사용하는파고자료의경우어떤분포를따르는지를알수없기때문에분포무관형방법이적합하다고사료된다. 설계파랑추정에사용되는자료의개수는보통의경우소표본 (small sample, 표본의개수 25~30개이하 ) 에해당되기때문에이상자료의영향이매우크게나타날수있다. 특히 2003년발생한태풍매미의영향으로발생한남해연안의높은파고는이상자료여부에대한관심이집중되는자료이다. 본연구에서사용하는부산항신항파랑자료도태풍매미의영향을받은자료가포함되어있기때문에설계파랑추정에앞서이상자료에대한검정을수행하였다. 이상자료검정은다양한방법이제시되고있으나대부분의경우정규분포를가정하고있기때문에적용에한계가있다. 따라서본연구에서는분포와는무관한 Grubbs 검정 (Grubbs, 1969; Komsta, 2006) 과 Fourth Spread 검정기법 (USACE, 2008) 을이용하여이상자료검정을수행하였다. 이상자료검
194 정원무 조홍연 김건우 정은주어진자료에서극값이자료의대표적인위치에서어느한계이상으로떨어진경우이상자료로판단하는개념에근거하고있다 (USACE, 2008). 극치분석을위한파고자료에서최대파고가아래조건에해당하는경우이상자료로판단한다. x 75 +1.5(x 75 x 25 ) x (1) 조건을만족하면 x (1) =mild outlier x 75 +3.0(x 75 x 25 ) x (1) 조건을만족하면 x (1) =extreme outlier 여기서, x (1) 는최대파고, x 25, x 75 는각각 25, 75 백분위수 (percentile) 로사분위수 (quartile) 로는제1, 제3 사분위수가된다 ( 제2 사분위수는중간파고, median). 3. 연구결과및토의 3.1 이상자료검정본연구에서사용한자료를이용하여이상자료를검정한결과, 5% 유의수준에서자료세트-I에서는 2003년매미에의한최대파고자료가이상자료에해당하지않는것으로판단되었으나, 자료세트-II에서는약한이상자료 (mild outlier) 로판정되었다 (Fig. 2 참조 ). USACE 방법이나, 자료의정규분포가정을어느정도포함하고있는 Grubbs 검정방법에서도동일한판정결과가제시되었다. 한편범용적으로이용되는 R 통계프로그램의 outliers PACKAGE(Komsta, 2006) 를이용하여검정한결과도동일하였다. 이상자료를포함하는경우, 이상자료가극치해석에미치는정량적인영향은이상자료의크기, 이상자료를포함한자료의개수등에따라다를수있으며, 이상자료가극치해석결과에미치는정량적인영향분석이필요한분야로판단된다. 이상자료가있는경우에는 Robust 추정기법을사용하거나이상자료를제외하고설계파고를추정하는방법이필요하다 (Rousseeuw and Leroy, 2003; Barnett and Lewis, 1994). 본연구에서는이상자료가감지된자료세트 -II에서이상자료개수가전체자료에서차지하는비중이 5% 이하로작고, 잠재적이상자료 (mild outlier) 로판단되어이상자료제거과정없이설계파고추정을수행하였다. 3.2 극치분포함수의적합도검정및오차분석 극치해석에이용할수있는분포함수는매우다양하다. 본연구에서는일반적으로널리이용되는분포함수에대하여자료세트-I을이용하여매개변수를추정하고적합도검정을수행하였다. 적합도검정에사용된극치분포함수는 Gumbel 함수 ( 매개변수 2개 ) 및 Weibull 함수 ( 매개변수 3개 ) 이며, Kernel 분포함수 ( 매개변수 1개 ) 를이용한비모수적분포함수도이용하였다. 최적매개변수는극치분포함수에따라다양한확률도시위치공식이제시되어있으나, 본연구에서는 Weibull 도시위치공식 (1 m/(n+1), m= 파고의순위 [ 내림차순 ], n= 자료의개수 ) 을사용하여추정하였다 (Figs. 3~4 참조 ). 최적추정된매개변수조건에서관측자료와 K-S 적합도검정및 Anderson-Darling 검정 (Stephen, 1974; Stephen, 1986) 을수행한결과모든극치분포함수가적합한것으로파악되었으며, 관측자료와추정자료의 RMS 오차 (Root mean-squared error) 는 0.17~0.19 범위이다 (Table 2. 참조 ). 관측자료의누적확률도시는경험누적함수 (empirical CDF) 를이용하였으며, 본연구에서사용한경험누적함수와추정누적함수의비교및 90% 신뢰구간을도시하였다 (Fig. 5 참조 ). Type I, Type III 함수를이용한신뢰구간추정 Fig. 3. Optimal (Max R 2 ) shape parameter (k=1.55) for the Weibull distribution. Fig. 2. Outlier detection using the Fourth Spread Method (+ = mild outlier; Box-and-Whisker plot, max. Whisker length=1.5). Fig. 4. Optimal bandwidth parameter (h=0.34) of the Kernel CDF.
한정된 자료로 추정한 설계파고의 신뢰구간 분석 195 안된 도시위치 공식(Goda, 2000)을 이용하였다. Kernel 분포함 3.3 재현기간에 따른 설계파고 추정 전 절에서 추정된 최적 매개변수를 포함하는 극치분포함 수를 이용한 방법에서도 추정결과에서 0.4 m 정도의 편의가 발 수를 이용하여 재현기간에 따른 설계파고를 추정하였다. 설 생하고 있으나, 편의 저감(bias correction)에 이용되는 도시공식 계파고를 추정한 재현기간은 10년부터 10년 간격으로 100년 에 둔감하여 Weibull 도시위치 공식만을 사용하였다. 까지이며, 각각의 재현기간(TR [년])에 대한 초과확률은 1 1/ 과정에서는 추정 결과의 편의(偏倚, bias)를 제거하기 위하여 제 Table 2. Estimated parameters and RMS error of the goodness-offit test Name of the function Cumulative distribution function Estimated RMS error parameters (p-value) Gumbel pdf (Type I) x B exp exp ----------- A A=1.9428, B=3.3805 0.1886 (0.9971) Weibull pdf (Type III) k A=3.4989 B=0.8472 k=1.55 0.1709 (0.9971) h=0.3400 0.1766 (1.000) Kernel pdf (Non-parametric) B- 1 exp x--------- A 1 n x x i - dx ------ K ---------h nh i = 1 TR이 된다. 사용한 극치분포 함수에 따른 재현기간과 설계파 고는 Table 3에 제시되었다. 편의를 제거하는 도시공식을 이 용한 경우, Type I 극치분포 함수의 경우 추정 설계파고는 전 반적으로 감소하는 경향을 보인 반면, Type III 극치분포 함 Table 3. Estimated design wave heights (m) on the recurrence periods. (a) Data Set I Return Periods 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Type BBC 6.81 8.03 8.73 9.22 9.60 9.91 10.1710.4010.6010.78 I ABC 6.36 7.42 8.02 8.45 8.78 9.05 9.27 9.47 9.64 9.80 Type BBC 6.08 6.93 7.39 7.70 7.94 8.12 8.28 8.41 8.53 8.63 III ABC 6.43 7.35 7.85 8.19 8.44 8.64 8.81 8.96 9.08 9.19 Kernel 6.31 6.95 7.11 7.20 7.26 7.31 7.34 7.37 7.40 7.42 (b) Data Set II Return Periods 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Type BBC 6.44 7.39 7.94 8.33 8.63 8.88 9.09 9.27 9.43 9.57 I ABC 6.13 7.00 7.50 7.86 8.14 8.36 8.55 8.72 8.86 8.99 Type BBC 6.03 6.93 7.45 7.80 8.08 8.30 8.49 8.65 8.79 8.92 III ABC 6.31 7.27 7.82 8.20 8.49 8.73 8.93 9.10 9.25 9.39 Kernel Fig. 5. Comparison of the observed and estimated CDFs. 6.27 6.93 7.06 7.13 7.18 7.22 7.24 7.27 7.29 7.30 Ref. Type I, III = the Gumbel and Weibull distribution functions, respectively. Kernel = the kernel p.d.f.; BBC, ABC = before and after bias correction, respectively. Fig. 6. Estimated design wave height with the recurrence intervals (Gumbel distribution).
196 정원무 조홍연 김건우 Fig. 7. Estimated design wave height with the recurrence intervals (Weibull distribution). Fig. 8. Estimated design wave height with the recurrence intervals (Kernel distribution). 한 극치분포 함수에 의한 차이는 50년 빈도 설계파고(자료 3.4 자료의 개수에 따른 신뢰구간 추정 추정 설계파고의 신뢰구간 추정은 설계파고 추정에 널리 이 용되는 Type I, Type III 분포함수와 본 연구에서 도입한 비모 세트-I) 기준으로 1.66(=9.60 7.94) m에서 0.34 m(8.78 수적 방법에 해당하는 Kernel 분포함수를 이용하여 신뢰구간을 8.44)로 크게 감소하였다. 한편, Monte Carlo 모의기법을 이 추정하였다. 신뢰구간 추정은 연최대 파고 자료 조건을 가정하 용하여 추정한 50%, 90% 신뢰구간도 추정하여 제시하였다 고, 25, 50, 75, 100개(년)의 조건에서 수행하였다. 연최대 파고 (Figs. 6-8 참조). 전체적으로 재현기간이 증가함에 따라 신 자료는 부산항 신항 자료를 이용하여 최적 추정된 매개변수를 수의 경우에는 전반적으로 추정 설계파고가 증대되는 경향 을 보이고 있는 것으로 파악되었으며, 설계파고 추정에 사용 뢰구간도 증가하고 있음을 알 수 있다. 자료세트-I을 이용하 포함하는 극치분포 함수를 이용하여 가상의 표본 집단을 추출 여 추정한 신뢰구간은 자료세트-II를 이용하여 추정한 신뢰 하는 Bootstrap 방법을 이용하였다. 신뢰구간은 재현기간에 따 구간보다 크게 나타나고 있으며, 이는 자료의 개수가 불확실 라 차이를 보이고 있으므로, 본 연구에서는 재현기간 50년에 대 성에 영향(자료의 개수가 적을수록 불확실성은 증가)을 미친 한 신뢰구간의 크기 변화를 중심으로 비교하였다(Table 4, Fig. 것으로 판단할 수 있다. 9 참조). 추정된 평균 설계파고는 Type I, Type III 함수를 이용
한정된자료로추정한설계파고의신뢰구간분석 197 한경우각각 8.78 m, 8.44 m로자료의개수에무관하게일정 (Table 4 참조 ) 하였다. 반면, Kernel 함수를이용한경우는 Type I, III 함수를이용한경우에비하여전반적으로작은추정설계파고를제시하였으며, 자료의개수가 14개인경우 7.26 m에서 50개, 100개인경우각각 7.60 m, 7.65 m로증가하는경향을보였다. 본연구지역에서도출된결과를다른지역으로확장하는것은한계가있을수도있으나, 하나의참고기준으로활용하기위하여자료개수에따른신뢰구간의크기를추정설계파고로무 Table 4. Confidence intervals of the 50-year design wave heights with the available wave data lengths. (a) Upper and lower limits of the 90% confidence interval No. of the data (years) Type I (Gumbel pdf) Type III (Weibull pdf) Kernel pdf LL Mean UL LL Mean UL LL Mean UL 14 6.05 8.78 11.61 6.24 8.44 11.92 5.85 7.26 8.19 25 7.09 8.78 10.93 6.73 8.44 10.73 6.35 7.49 8.12 50 7.50 8.78 10.28 7.10 8.44 10.11 6.96 7.60 8.04 75 7.68 8.78 9.92 7.36 8.44 9.64 7.20 7.63 7.99 100 7.85 8.78 9.82 7.58 8.44 9.52 7.23 7.65 7.95 150 7.95 8.78 9.62 7.74 8.44 9.21 7.33 7.65 7.91 200 8.11 8.78 9.50 7.76 8.44 9.15 7.43 7.65 7.89 Ref. UL, LL are the upper and lower limits, respectively. (b) Difference between (upper and lower) confidence limits No. of 90% Confidence interval 50% Confidence interval the data (years) Type I Type III Kernel Type I Type III Kernel 14 5.56 5.68 2.34 2.18 2.22 1.10 25 3.84 4.00 1.77 1.58 1.54 0.63 50 2.78 3.01 1.08 1.10 1.18 0.40 75 2.24 2.28 0.79 0.94 0.94 0.33 100 1.97 1.94 0.72 0.82 0.78 0.26 150 1.67 1.47 0.58 0.69 0.63 0.22 200 1.39 1.39 0.46 0.61 0.61 0.19 차원화하여제시하였다 (Table 4. (c) 참조 ). 한편, 50년재현기간에대한 10% 유의수준에대한추정설계파고신뢰구간은 Table 4(a) 에보이는바와같이, Type I, Type III, Kernel 함수를이용한경우각각 6.05~11.61 m, 6.24~11.92 m, 5.85~8.19 m로나타났다. 즉, Type I과 III 함수를이용한결과들은서로유사하였으나비모수적방법에해당하는 Kernel 분포함수를이용한방법은이들에비해 40% 이하수준으로매우작은결과를보여주고있다. 그러나신뢰구간이작은장점에도불구하고 Kernel 함수를이용하는경우의추정설계파고는 Type I, III 함수를이용한경우보다 1.2~1.6 m 정도작은값을제시하고있다. 자료의개수증가에따른 50년빈도추정설계파고의신뢰구간은하한은증가하고상한은감소하여신뢰구간의크기 ( 상한과하한의차이 ) 는모두동등한정도로감소하는경향을보이고있다. 따라서목표신뢰구간이주어지는경우, 그조건을만족하는자료의개수 ( 기간 ) 추정이가능하다. 우선 Type I(Gumbel 함수 ) 극치분포함수를이용하는경우, 추정설계파고는 8.78 m, 목표신뢰구간을추정설계파고의 ±10% 조건을적용하는경우약 ±0.88 m( 하한 7.90 m, 상한 9.66 m) 가된다. 이조건을만족하는자료의개수는 150개 (150년자료 ) 이상의자료에서만족하게됨을알수있다 (Table 4(a) 참조 ). Type III(Weibull 함수 ) 분포함수를이용하는경우도동일한방법으로, 추정설계파고 8.44 m, ±10% 정도의목표신뢰구간을적용하는경우, 약 ±0.84 m( 하한 7.60 m, 상한 9.28 m) 로마찬가지로대략 150개정도의자료가필요하다. 반면, Kernel 분포함수를이용하는경우, 추정설계파고 7.26 m, 동일하게 ±10% 목표신뢰구간을적용하는경우 ±0.73 m( 하한 6.53 m, 상한 7.99 m) 로 25~50개이상의조건 (c) Non-dimensionalized value of the difference between confidence limits No. of 90% Confidence interval 50% Confidence interval the data (years) Type I Type III Kernel Type I Type III Kernel 14 0.63 0.67 0.31 0.25 0.26 0.14 25 0.44 0.47 0.23 0.18 0.18 0.08 50 0.32 0.36 0.14 0.14 0.14 0.05 75 0.26 0.27 0.10 0.11 0.11 0.04 100 0.22 0.23 0.09 0.09 0.09 0.03 150 0.19 0.17 0.08 0.07 0.07 0.03 200 0.16 0.16 0.06 0.07 0.07 0.02 Fig. 9. Confidence interval change plot with the no. of data.
198 정원무 조홍연 김건우 에서허용오차를만족하고있음을알수있다. 비모수적방법에해당하는 Kernel 분포함수는가용한자료에최대한으로접근시키는방법이기때문에자료의개수에큰영향을받지않는방법이지만, 새로운자료의추가에의한영향이크기때문에실질적인문제적용을위해서는보다다양한검토가필요할것으로판단된다. 한편, 실질적으로설계파고추정에이용되는자료의개수를 25~50개정도 (25~50년동안의추정자료 ) 로간주하는경우, Type I, III 분포함수의경우각각의신뢰구간의범위 (Fig. 9 참조 ) 는 3.84~2.78 m, 4.00~3.01 m이며, 50년빈도추정설계파고를기준으로하는비율로환산하면각각 32~44%, 36~47% 가된다. 상한과하한신뢰구간의크기를대칭으로가정하면 25~50 개의자료를이용하여 50년빈도설계파고를추정하는경우신뢰구간은 Type I, III 함수를이용하는경우각각 ±16~22%, ±18~24% 수준이다. 4. 결론및제언 부산항신항에서 14년동안관측한파고자료를이용하여설계파고를추정하고신뢰구간을분석하였으며이상자료검정도수행하였다. 태풍매미에의한파고자료를포함한부산항신항파고자료는연최대유의파고자료 ( 자료세트-I) 에서이상자료는없는것으로파악되었으며, Type I, III 극치분포함수를이용하여재현기간에따른설계파고를추정한결과, 50년빈도설계파고는 8.78 m, 8.48 m로파악되었으며, Kernel 함수를이용하는방법은신뢰구간은가장작은반면 50년빈도설계파고로 7.26 m가추정되었다. Kernel 함수를이용한비모수적방법은그활용빈도가작기때문에최적도시위치및신뢰구간추정기법등에대한추가적인연구가필요할것으로판단된다. 또한본연구에서사용한 14년동안의현장관측자료를이용하는경우의신뢰구간은 50년빈도추정설계파고를기준으로 ±30% 수준을상회하는것으로파악되었으며, ±10% 수준의목표신뢰구간을만족하기위해서는 150년이상의자료가필요한것으로파악되었다. 한편실질적으로가능한 25~50개 ( 년 ) 정도의자료를이용하는경우 Type I, Type III 분포함수를이용하는경우각각 ±16~22%, ±18~24% 정도의허용오차를가지는것으로파악되었다. 그러나비모수적방법에해당하는 Kernel 분포함수를이용한방법은신뢰구간은 Type I과 III을사용한방법에비해 40% 이하수준으로우수한결과를보이는반면, 설계파고는다른방법에비하여 1.2~1.6 m 정도낮게추정하는결과를보여주고있다. 현재항만및어항설계기준에제시된 10년이상의관측자료를이용하여설계파고를추정하는경우, 관측오차는무시할만한수준일지라도자료의개수제한으로인한허용오차는매우크기때문에 50년빈도설계파고추정을위해서는적어도 25개 ( 년 ) 이상의자료를사용할필요가있으며, 이경우의허용오차는 ±22~24% 수준이된다. 감사의글 본연구는한국해양과학기술원 (KIOST) 의주요사업 천해용해상도시건설을위한계류앵커기술개발 (PE98942) 및해양수산부가주관하고한국해양과학기술진흥원이시행하는 10MW급부유식파력-해상풍력연계형발전시스템설계기술개발및인프라구축 과제의지원을받아수행되었으며현장자료수집에도움을주신모든연구사업관계자에게감사를드립니다. 참고문헌 Agresti, A. and Franklin, C. (2007). Statistics, The Art and Science of Learning from Data, Sec. 2.5, Pearson Education, Inc. Barnett, V. and Lewis, T. (1994). Outliers in Statistical Data, Third Edition, John Wiley & Sons. Chae, J.W. (1980). Estimation of design wave height, Bulletin of KORDI, 2, 9-14. DiCiccio, T.J. and Efron, B. (1996). Bootstrap confidence intervals, Statistical Science, 11(3), 189-228. Goda, Y. (2000). Random Seas and Design of Maritime Structures, Chap. 11, Advanced Series on Ocean Engineering, 15, World Scientific Publishing Co., Singapore. Grubbs, F.E. (1969). Procedures for detecting outlying observations in samples, Technometrics, 11(1), 1-21. American Statistical Association and American Society for Quality. Jeong, S.T., Kim, J.D. and Cho, H.Y. (2004). Characteristics on the extreme value distributions of deepwater design wave heights off the Korean coast. Journal of Korean Society of Coastal and Ocean Engineers, 16(3), 130-141. Jeong, W.M., Jun, K.C., Kim, G., Oh S.-H. and Ryu K.-H. (2012). Shallow-water design waves at Gangreung beach through the analysis of long-term measured wave data and numerical simulation using deepwater wave conditions. Journal of Korean Society of Coastal and Ocean Engineers, 24(5), 343-351. Komsta, L. (2006). Processing data for outliers, R News, 6/2, 10-13. Lee, D.-Y. and Jun, K.-C. (2006). Estimation of design wave height for the waters around the Korean peninsula. Ocean Science Journal, 41(4), 245-254. Ministry of Oceans and Fisheries (2005). Design criteria for harbor and fishing port. Rousseeuw, P.J. and Leroy A.M. (2003). Robust regression and Outlier Detection, Wiley Series in Probability and Statistics, John Wiley & Sons. Rubinstein, R.Y. and Kroese, D.P. (2008). Simulation and the Monte Carlo Method, Second Edition, Chapter 4, John Wiley & Sons. Suh, K.-D., Kim, M. and Chun, J. (2011). Estimation of deepwater design wave height on southern coast of Korean peninsula by empirical simulation technique. Journal of Korean Society of Coastal and Ocean Engineers, 23(4), 265-275.
한정된자료로추정한설계파고의신뢰구간분석 199 Soares, C.G. and Scotto, M.G. (2004). Application of the r largestorder statistics for long-term predictions of significant wave height, Coastal Engineering, 51, 387-394. Stephen, M.A. (1974). EDF statistics for goodness of fit and some comparisons, J. of American Statistical Association, 69(347), 730-737. Stephen, M.A. (1986). Tests Based on EDF Statistics, Chapter 4 in Goodness-of-Fit Techniques (Edited by D Agostino, R.B. and Stephens, M.A.). Marcel Dekker, Inc. US Army Corps of Engineers (2002). Coastal Engineering Manual, Part II, Chapter 8, EM-1110-2-1100, US Army Corps of Engineers (2008). Environmental Quality, Environmental Statistics, EM-1110-1-4014, Appendix I, Department of the Army Wand, M.P. and Jones, M.C. (1995). Kernel Smoothing, Monographs on Statistics and Applied Probability 60, Chapman & Hall /CRC. 원고접수일 :2013년 6월 26일수정본채택 :2013년 7월 19일게재확정일 :2013년 8월 13일