완비거리공간 완비거리공간 Definition 0.1. (X, d) 는거리공간일때 X의점렬 < a n > 이모든 ɛ > 0에대해 n o N such that n, m > n o = d(a n, a m ) < ɛ 을만족하면이점렬을코시열 (Cauchy sequence) 이라

완비거리공간 완비거리공간 Definition 0.1. (X, d) 는거리공간일때 X의점렬 < a n > 이모든 ɛ > 0에대해 n o N such that n, m > n o = d(a n, a m ) < ɛ 을만족하면이점렬을코시열 (Cauchy sequence) 이라한다. Example 0.2. < a n > 이 p에수렴하는점렬이면모든 ɛ > 0에대해 n 0 N such that n > n 0 = d(a n, p) < 1 2 ɛ 이성립한다. 그러면삼각부등식에의해 n, m.n 0 = d(a n, a m ) d(a n, p) + d(p, a m ) < 1 2 ɛ + 1 2 ɛ = ɛ 이다. 따라서 < a n > 은코시열이다. Example 0.3. X = (0, 1) 은보통거리를가지는거리공간이라하자. 그러면점렬 < 1 n > 은코시열이된다. 그러나 X 에서수렴하지는않는다. Example 0.4. (X, d) 는이산거리공간이라하자. 그리고점렬 < a n > 은코시열이라하자. d는 0 a = b, d(a, b) = 1 a b 으로정의된다. ɛ = 1이라하자. < a 2 n > 은코시열이므로 n 0 N such that n, m > n 0 = d(a n, a m ) < 1 2 = a n = a m 이성립한다. 그러므로 < a n > 은 a 1, a 2,, a n0, p, p, p, 형태의점렬이된다. Definition 0.5. 거리공간 (X, d) 에서모든코시열이수렴할때 (x, d) 를완비 (complete) 라한다. Example 0.6. 보통거리를가지는실수집합 R은완비이다. Example 0.7. (X, d) 가이산거리공간이면모든코시열의형태는 a 1, a 2,, a n0, p, p, p, 이다. 따라서 (X, d) 는완비이다.

Example 0.8. 보통거리를가지는단위열린구간 X = (0, 1) 은완비가아니다. 왜냐하면코시열 < 1 > 은수렴하지않기때문이다. n Example 0.9. m-차원유클리드공간 R m 은완비이다. R m = R R로생각하면 R이완비이므로 R m 도완비이다. < 연습 1> 거리공간 (X, d) 에서모든코시열은완전유계임을보여라. ( 풀이 ) < a n > 을코시열이라하고 ɛ > 0 이라하자. 그러면 n 0 N such that n, m > n 0 = d(a n, a m ) < ɛ 이다. 따라서집합 B = {a n0 +1, a n0 +2, } 에대해 d(b) ɛ 이다. 이제 A = {a 1, a 2,, a n0 +1} 이라두면 A 는점렬집합 {a n n N} 의 ɛ- 네트가된다. < 연습 2> < a n > 은거리공간 (X, d) 에서코시열이다. < a n > 의부분열 < a nk > 가 p X 에수렴하면 < a n > 도 p 에수렴함을보여라. ( 풀이 ) 삼각부등식에의해 이므로 이다. a nk p 이므로 이고또한 < a k > 는코시열이므로 d(a k, p) d(a k, a nk ) + d(a nk, p) lim d(a k, p) lim d(a k, a nk ) + lim d(a nk, p) k k k lim d(a n k, p) = 0 k lim d(a k, a nk ) = 0 k 이다. 따라서 이고 a n p 임을알수있다. lim d(a k, p) = 0 k

완비성과축소사상 Theorem 0.10. 거리공간 X가완비이기위한필요충분조건은지름이 0으로접근하는공집합이아닌모든닫힌집합의축소열이공집합이아닌교집합을가지는것이다. Proof. (= ) 집합열 < A n > 이 A 1 A 2, lim d(a n ) = 0, A n φ 을만족하고 A n X 은닫힌집합이라하자. 각 A n 은공집합이아니므로 a n A n 이되는 a n X 가존재하고이것을이용하여점렬 < a n > 을얻을수있다. 이제 ɛ > 0 이라하자. lim d(a n) = 0 이므로 d(a n0 ) < ɛ 을만족하는 n 0 N 이존재한다. 그런데 < A n > 은축소열이므 로 n, m > n 0 = A n, A m A n0 = a n, a m A n0 = d(a n, a m ) < ɛ 이성립한다. 그러므로 < a n > 은코시열이다. 가정에서 X 는완비이므로 < a n > 은수렴하는점 p X 가존재한다. 이제 p 임을보이자. 만일그렇지않다면 p / A k 을만족하는 k 가존재한다. 그러면 A k 는 A n 닫힌집합이므로 d(p, A k ) = δ > 0이다. 따라서 A k S (p, 12 ) δ = φ 임을알수있다. 이것으로부터 n > k = a n A k = a n / S (p, 12 ) δ 을얻는다. 그러나이것은 a n p 인사실과모순이다. 그러므로 이성립한다. A n φ ( =) < a n > 을 X 의코시열이라하자. 자연수 n 에대해 A n := {a k k n}

이라두자. 그러면 A 1 A 2, lim d(a n ) = 0 임을알수있다. 일반적으로집합 A 에대해 d(ā) = d(a) 임을적용하면 < A n > 은 지름이 0 으로수렴하는공집합이아닌닫힌집합열임을알수있다. 그러면가정에 의해 이다. 이제 A n φ p 이라하자. 그리고 ɛ > 0 이라하자. < A n > 은지름이 0 으로수렴하는집합열이므로 A n d(a n0 ) < ɛ 을만족하는 n 0 N 이존재한다. 따라서 을알수있다. 결국 a n p 이다. n > n 0 = a n, p A n0 = d(a n, p), ɛ Example 0.11. 보통거리 d 를가지는실수집합 R 에서 A n = [n, ) 라두자. 그러 면 A n 은닫힌집합이고 < A n > 은축소열이다. 그러나 A n = φ 이다. 그리고 R 은완비임을알고있다. 따라서위정리에의해 임을알수있다. lim d(a n) 0 Example 0.12. 보통거리 d를가지는실수집합 R에서 A n = (0, 1 ] 라두자. 그러면 n < A n > 은축소열이고 lim d(a n) = 0, A n = φ 이다. 위정리와비교하면 A n 이닫힌집합이아니므로정리의내용이성립하지 않음을알수있다. Definition 0.13. (X, d) 는거리공간이라하자. 함수 f : X X 에대해 0 α < 1 을만족하는실수 α 가존재해서모든 p, q X 에대해 d(f(p), f(q)) αd(p, q) < d(p, q) 을만족할때 f 를축소사상 (contracting mapping) 이라한다.

Example 0.14. 함수 f : R 2 R 2 을 으로정의하자. 그러면 이므로 f 는축소사상임을알수있다. f(p) = 1 2 p d(f(p), f(q)) = f(p) f(q) = 1 2 p 1 2 q = 1 2 p q = 1 d(p, q) 2 Theorem 0.15. ( 부동점정리 ) f 가완비거리공간 X 에서 X 로의축소사상이면 f(p) = p 를만족하는점 p X 가유일하게존재한다. Proof. ( 존재성 ) 임의의 a, b X 에대해 d(f(a), f(b)) αd(a, b), 0 α < 1 을만족하는실수 α 가존재한다고하자. a 0 을 X 의임의의점이라하고 a 1 = f(a 0 ), a 2 = f(a 1 ),, a n = f(a n 1 ), 라하자. 그리고점렬 < a n > 을생각하자. 우리는이것이코시열임을보일것이다. 우선 d(f s+t (a 0 ), f t (a 0 )) αd(f s+t 1 (a 0 ), f t 1 (a 0 )) α t d(f s (a 0 ), a 0 ) α t [d(a 0, f(a 0 )) + d(f(a 0 ), f 2 (a 0 )) + + d(f s 1 (a 0 ), f s (a 0 ))] 이성립함을알수있다. 그러나 d(f i+1 (a 0 ), f i (a 0 )) α i d(f(a 0 ), a 0 ) 이고 이므로 1 + α + α 2 + + α s 1 1 1 α d(f s+t (a 0 ), f t (a 0 )) α t d(f(a 0 ), a 0 )(1 + α + α 2 + + α s 1 ) α t 1 d(f(a 0 ), a 0 ) 1 α 이다. 이제 ɛ > 0이라하고 ɛ(1 α) if d(f(a 0 ), a 0 ) = 0, δ = ɛ(1 α)/d(f(a 0 ), a 0 ) if d(f(a 0 ), a 0 ) 0

이라하자. α < 1 이므로 α n 0 < δ 을만족하는 n 0 N 가존재한다. 따라서 r s > n 0 일때 d(a r, a s ) α s 1 d(f(a 0 ), a 0 ) 1 α 1 < δd(f(a 0 ), a 0 ) 1 α ɛ 이성립한다. 그러므로 < a n > 은코시열이다. 그런데 X 는완비이므로 < a n > 이 수렴하는점 p X가존재한다. 함수 f는연속이므로점렬연속이고따라서 ( ) f(p) = f lim a n = lim f(a n ) = lim a n+1 = p 이된다. ( 유일성 ) f(p) = p 이고 f(q) = q 라고하자. 그러면 d(p, q) = d(f(p), f(q)) d(p, q) 에서 d(p, q) = 0 을얻는다. 즉, p = q 이다. < 연습 1> (X, d) 는거리공간이고함수 f : X X 는축소사상이라하자. 그러면 f 는연속이다. ( 풀이 ) 임의의 p, q X 에대해 d(f(p), f(q)) αd(p, q), 0 α < 0 을만족하는 α R 가존재한다. 이제 f 는각점 x 0 X 에서연속임을보이자. ɛ > 0이라하자. δ = 1 ɛ으로택하자. 그러면 2 d(x, x 0 ) < δ = d(f(x), f(x 0 )) αd(x, x 0 ) αδ < 1 2 αɛ < ɛ 이성립한다. 즉, f 는 x 0 에서연속이다. 완비화, 완비성과콤팩트성 Definition 0.16. 거리공간 X 가완비이고 X가 X 의조밀부분집합과거리동형이면 X 를 X의완비화 (completion) 라한다. Example 0.17. 보통거리를가지는개념에서 R은 Q의완비화이다. 왜냐하면 R 은완비이고 Q는 R의조밀부분집합이기때문이다.

* 거리공간 X 의완비화를찾는방법소개 C[X] 를 X 의모든코시열족이라하자. 그리고 C[X] 에서관계 을 < a n > < b n > lim d(a n, b n ) = 0 으로정의하자. 그러면관계 은 C[X] 에서의동치관계가된다. 잉여집합 C[X]/ 을 X 로표기하고 < a n > C[X] 의동치류를 [< a n >] 으로표기하자. 함수 e : X R 을 e([< a n >], [< b n >]) = lim d(a n, b n ) 으로정의하면 e 는 X 에서거리이다. 각점 p X 에대해점렬 < p > 은코시열이 다. 이제 ˆp = [< p >], ˆX = {ˆp p X} 이라두자. 그러면 ˆX X 이다. 그리고 X 와 ˆX 는거리동형이고 ˆX 는 X 에서조 밀하며 X 는완비이다. Theorem 0.18. X 와 Y 가 X 의완비화이면 X 와 Y 는거리동형이다. Proof. 일반성을잃지않고 X Y 라고가정할수있다. 따라서임의의점 p Y 에대해 p 로수렴하는 X 의코시열 < a n > 이존재한다. 이제함수 f : Y X 을 f(p) = [< a m >] 으로정의하자. 만일 X 의또다른코시열 < a n > 도 p 로수렴한다면 lim d(a n, a n) = 0 이므로 [< a n >] = [< a n >] 이다. 따라서 f 는잘정의된다. 이제 [< b n >] X 라하자. 그러면 < b n > 은 X 의코시열이므로 Y 의코시열된다. 그런데 Y 는완비이므로 < b n > 이 Y 에서 수렴하는점 q 가존재한다. 그러면 f(q) = [< b n >] 이다. 따라서 f 는전사이다. 다음으로 p, q Y 라하고 X 의점렬 < a n > 과 < b n > 은각각 p 와 q 에수렴한다고 하자. 그러면 e(f(p), f(q)) = e([< a n >], [< b n >]) = lim d(a n, b n ) = d( lim a n, lim b n ) = d(p, q) 임을알수있다. 그러므로 f 는 Y 와 X 사이의거리동형사상이다.

Definition 0.19. 위상공간 X의부분집합 A에대해 int(ā) = φ일때 A를조밀한 곳이없다 (nowhere dense) 고한다. 조밀하지않은부분집합들의가산합집합으로 표현되는위상공간 X 를제 1 범주 (first category) 에속한다고하고그렇지않은경 우에제 2 범주 (second category) 에속한다고한다. Example 0.20. 보통위상을가지는 R 에서정수집합 Z 에대해 int( Z) = φ 이다. 즉, Z 는 R 에서 nowhere dense 이다. 유리수집합 Q 에대해 int( Q) =int(r) = R φ 이므로 Q 는 R 에서 nowhere dense 가아니다. Example 0.21. 유리수집합 Q 는한원소집합가산개의합집합이다. 그리고한 원소부분집합 {p} 는 Q 에서조밀하지않다. 따라서 Q 는제 1 범주이다. Theorem 0.22. 거리공간 X 가콤팩트이기위한필요충분조건은 X 가완비이고 완전유계인것이다. Proof. ( 간단히 ) X 가콤팩트이면점렬콤팩트이므로 X 는완비이고완전유계이다. 역으로 X 가완비이고완전유계이면 X 의점렬 < a n > 은수렴하는코시부분열을 가진다. 따라서 X 는점렬콤팩트이고나아가콤팩트이다. Theorem 0.23. X 가완비거리공간일때 A X 가콤팩트이기위한필요충분조 건은 A 가완전유계이고닫힌집합인것이다. Proof. ( 간단히 ) A 가완전유계인닫힌집합이면완비공간의닫힌집합이므로완비 이고완전유계이다. 따라서위의정리에의해 A 는콤팩트이다. < 연습1> A을 X에서 nowhere dense 부분집합이라하자. 그러면 Āc 는 X에서조밀함을보여라. ( 풀이 ) Āc 가 X에서조밀하지않다고하자. 그러면 p G 이고 G Āc = φ 을만족하는 p X와열린집합 G가존재한다. 따라서 p G Ā이므로 p int(ā) 이다. 그러나이것은 A가 nowhere dense라는것에모순이다. 따라서 Āc 가 X에서조밀하다. < 연습2> X가콤팩트거리공간이면 X는완비이다. ( 풀이 ) < a n > 을 X의코시열이라하자. X는콤팩트이므로점렬콤팩트이다. 따라서 < a n > 은수렴하는부분열을가진다. 그런데 < a n > 은코시열이므로전체점렬도부분열과같은점으로수렴한다. 따라서 X는완비이다.

문제풀이 1. A 를거리공간 X 의완전유계부분집합이라하자. A 의임의의점렬 < a n > 은 코시부분열을가짐을증명하여라. ( 풀이 ) A 는완전유계이므로지름이 ɛ 1 = 1 보다작은유한개의부분집합으로분할 할수있다. 이집합들중의하나를 A 1 이라하면 A 1 은점렬 < a n > 의무한개항을 포함해야한다. 따라서 k 1 N such that a k1 A 1 이다. 이제 A 1 은완전유계이므로지름이 ɛ 2 = 1 보다작은유한개의부분집합으로 2 분할할수있다. 같은원리로이것들중의하나를 A 2 라하면 A 2 도점렬 < a n > 의 무한개항을포함해야한다. 따라서 k 2 N such that a k2 A 2, k 1 < k 2 이다. 이방법을계속하면 d(a n ) < 1 을만족하는축소집합열 n A A 1 A 2 을얻고 a kn A n 을만족하는 < a n > 의부분열 < a kn > 을얻는다. ɛ > 0 이라하자. 그러면 이므로 d(a n0 ) < ɛ 이다. 따라서 n 0 N such that 1 n < ɛ k n, k m > k n0 = a kn, a km A n0 = d(a km, a kn ) < ɛ 이성립한다. 즉, < a n > 은코시열이다. 2. ( 학생들풀이 ) 모든유한거리공간은완비임을보여라. 3. ( 학생들풀이 ) 완비거리공간의닫힌부분공간은완비임을보여라. 4. ( 학생들풀이 ) 거리공간 X 가완비이기위한필요충분조건은모든완전유계인 무한부분집합이항상집적점을가지는것이다. 5. ( 학생들풀이 )X 와 Y 가거리동형이고 X 가완비이면 Y 도완비임을보여라. 6. ( 학생들풀이 )B(X, R) 을 X 상에서정의된유계인실함수족이라하고거리는 d(f, g) := sup{ f(x) g(x) x X} 으로정의할때 B(X, R) 은완비임을보여라.