peaieslvfp. 두점사이의거리 수직선위의두점사이의거리를구할수있다. 좌표평면위의두점사이의거리를구할수있다. 수직선위의두점사이의거리 todrkrgo qhqtlek 오른쪽그림은충무로역을중심으로한서울시지하철 `호선노선도의일부분이다. 충무로역을` 0, 을지로 `가역을 ``로나타낼때, 다음물음에답하여라. 독립문 경복궁 안국종로 가을지로 가충무로동대입구약수금호옥수압구정잠원신사 afd 약수역은어떻게나타내야 고속터미널 할까? afd 이나타내는역과 `- 이나타내는역을말하여라. afd 가나타내는역과 `5 가나타내는역은몇정류장차이인가? afd 4 4 가나타내는역과 - 이나타내는역은몇정류장차이인가? afd 5-4 가나타내는역과 -` 가나타내는역은몇정류장차이인가? afd 6, 이정수일때, 이나타내는역과 이나타내는역은몇정 류장차이라고말할수있겠는가? 0 Ⅰ. 도형의방정식
a`의절대값 a = a(a 0) -a(a<0) 수직선위의점의집합과실수의집합사이에는일대일대응의관계가있다. 수직선위의점 P에대응하는실수 `를점P의좌표라하고, 이점을 P() 로나타낸다. 수직선위에두점 (), (7) 이주어졌 을때, 두점, 사이의거리 ` ` 는 `=7-=4 이다. 일반적으로수직선위에서두점 (a), (b) 사이의거리는 이므로 와같다. a b이면 `=b-a a>b이면 `=a-b `= b-a () (7) a b 7 b-a a-b b a 수직선위에있는다음두점사이의거리를구하여라. ⑴ (5),```(0) ⑵`` (-),```(4) 좌표평면위의두점사이의거리 오른쪽그림과같이두수직선을각각의원점 `에서수직으로만나도록하여가로의수직선을 `축, 세로의수직선을 `축이라하고, 이들을통틀어좌표축이라한다. 평면위의한점 P에서 `축, `축에내린수선 의발을각각, ` 라하고, 이들의각수직선에 서의좌표를 a, b` 라하면, 점 P 는두실수의순서쌍 (a, b) 를결정한다. 이 때, 순서쌍 (a, b) 를점 P 의좌표라한다. 역으로, 실수의순서쌍 (a, b) 가주어지면이것을좌표로하는점 P는단하나결정된다. 이와같이, 좌표축이정해진평면을좌표평면이라하고, 좌표평면에서좌표가 (a, b) 인점P를 P(a, b) 로나타낸다. b P(a, b) a. 평면좌표
좌표축은평면을네부분으로나누는데, 그각각을오른쪽그림과같이제`` 사분면, 제`` 사분면, 제`` 사분면, 제`4` 사분면이라한다. 이때, 좌표축은어느사분면에도속하지않는다. 제사분면 제사분면 제 사분면 제 4 사분면 점 P(4, ), Q(, -), R(-, ), S(-, -4)`를좌표평면위에나타내고, 각각어느사분면의점인지말하여라. 좌표평면위의두점 (, ), (, ) 사이의거리를구하여보자. 오른쪽그림과같이두점,`` 에서각각 ` 축, ` 축에평행하게그은두직선의교점 C 을 `C` 라하면,`` C` 는직각삼각형이고 점 C` 의좌표는 (, )` 이다. 따라서,` C `= -, C `= - 이므로피타고라스의정리에의하여 임의의실수 a` 에대하여 a =a =C +`C = - + - =( - ) +( - ) Ú =Á( - ) +( - ) 좌표평면위의두점사이의거리 좌표평면위의두점 (,`` ), (, ) 사이의거리는 `=Á( - ) +( - ) 특히, 원점 `와점 (,`` ) 사이의거리는 =Á + 다음두점사이의거리를구하여라. ⑴` (0,``0), (,``-) ⑵`` (, `), (5, ) ⑶` `(,``-), (-,``0) ⑷`` (4, -), (-, -5) Ⅰ. 도형의방정식
dpwp 두점 (,``-), (4,``) 에서같은거리에있는 `축위의점 `P` 의좌표를구하여라. 풀이 점 P` 의좌표를 (,``0) 으로놓으면, P `=Á(- ) + (0+ ) P `=Á(-4 ) + (0- ) 그런데 P` =`P 이므로 P `=`P `` 이다. (-) + =(-4) + -4+4+9= -8+6+ 4=4 Ú = 따라서, 구하는점 P의좌표는 (, 0) 이다. (4, ) P(, 0) (, -) 답 (, 0) 4 두점`(, `), `(4, `)`에서같은거리에있는 `` 축위의점`P`의좌표를구하여라. dpwp 세점 (,``4), (-,``-), C(,``-4) 를꼭지점으로하는 ` C`가직각삼각형임을증명하여라. 증명 `=Á(- - ) + (- - 4) `= 45 (, 4) C `=Á(+ ) +( -4 + ) `= 0 C `=Á(- ) +( -4-4 ) `= 65 이다. 따라서, `C ` = ` +C ` 이므로 C` 는» 가직각인직각삼각형이다. (-, -) C(, -4) 열매 5 세점(,```6),```(-,` 0),```C(5, `-) 을꼭지점으로하는 C`는어떤삼각형인가?. 평면좌표
. 선분의내분점과외분점 선분의내분과외분을이해하고, 내분점과외분점의좌표를구할수있다. 수직선위의선분의내분점 todrkrgo qhqtlek 길이가 0c`인빨대와실을이용하여오른쪽그림과같이잠자리인형과나비인형이달린모빌을만들려고한다. 빨대와실의무게를무시하면, a=b`일때모빌은평행을유지한다고한다. 다음물음에답하여라. ag c 0c c bg afd 잠자리인형의무게가 0g, 나비인형의무게가 0g`일때, 잠자리인형을매단실과빨대를매단실사이의거리를구하여라. afd 잠자리인형의무게가, 나비인형의무게가 일때, 잠자리인형을매단실과빨대를매단실사이의거리를구하여라. 선분 위의점 P`에대하여 P `:`P `=:(>0, >0) 일때, 점P`는선분`를 :`으로내분한다고하며, 점 P`를선분` 의내분점이라한다. 수직선위의두점 ( ), ( ) 에대하여선분 `를 :`으로내분하는점 P`의좌표 `를구하여보자. ( i) < ` 일때, << `이므로 P =-, P = - 이때, P : P =:`이므로 P P 4 Ⅰ. 도형의방정식
(- ):( -)=: Ú = + + (ii) > ` 일때, >> ` 이므로 P P = -, P =- 이때, P :P =:` 이므로 ( -):(- )=: Ú = 따라서, 이상을정리하면다음과같다. + + 수직선위에서의내분점의좌표 수직선위의두점 ( ), ( ) 에대하여선분 ` 를 :` 으로내분 하는점 `P` 의좌표 ` ` 는 = + ( 단, >0, >0)` + + 참고 =`일때에점P`는 ` 의중점이되며, 그좌표는 = 이다. dpwp 수직선위의두점 `(), (9) 에대하여 ` ` 를 `:` 으로내분하는점 P` 와 ` 의중점 `M` 의좌표를각각구하여라. 풀이 ` 를 :` 으로내분하는점 P( )`의좌표는 \9+\ = = + ` 의중점M( ) 의좌표는 () P( ) M( ) +9 = =5 (9) 답 P(), M(5) 다음수직선위의두점을이은선분 `를 :` 로내분하는점과선분 `의중점의좌표를각각구하여라. ⑴ (-),```(5) ⑵ (),````(-7). 평면좌표 5
수직선위의선분의외분점 = 일때에는 ` 를 : 으로외분하는점이정의되지않는다. `의연장선위의점` Q`에대하여 Q `:`Q `=: (>0, >0, ) 일때, 점Q`는선분`를 :`으로외분한다고하며, 점 Q`를 `의외분점이라한다. (>) Q (<) Q dpwp >일때, 수직선위의두점 ( ), ( ) 에대하여외분하는점 Q`의좌표``는 를 :` 으로 임을증명하여라. = - - 증명 (ⅰ) < 일때,` < <` 이므로 Q `=-, Q `=- ( ) ( ) Q() 이고, Q :Q `=`:` 이므로 (- ):(- )=: (- )=(- ) Ú = - - (ⅱ) > 일때, `< < ` 이므로 Q `= -, Q `= - Q() ( ) ( ) 이고, Q :Q `=`:` 이므로 ( -):( -)=: ( -)=( -) Ú = - - 따라서, (ⅰ), (ⅱ)`에서점 Q`의좌표는 - `이다. - 6 Ⅰ. 도형의방정식
<` 인경우에도 dpwp 와같은방법으로외분점의죄표를구할수 있다. 이상을정리하면다음과같다. 수직선위에서의외분점의좌표 수직선위의두점 ( ), ( ) 에대하여선분 ` 를 ` :` 으로외 분하는점 `Q` 의좌표 `` 는 = - ( 단,, >0, >0)` - 수직선위의두점 `(), `(6) 을이은선분`를 :로외분하는점` \6-\ Q의좌표`는 = =8이다. - 수직선위의두점 (-),``(4) 를이은선분`를 : 로외분하는점의좌표를구하여라. 좌표평면위의선분의내분점과외분점 l a a' b b' lââ`이면 a:b=a':b' 이성립한다. 좌표평면위에서두점 (, ` ), (, ) 를이은선분`를 : (>0,``>0) 으로내분하는점 P`의좌표`(,``) 를구하여보자. 오른쪽그림과같이점,, P`에서 `축에내린수선의발을각각,, P `이라하면 (, 0), (, 0), P (, 0) 이고, P `:`P `=` P `:`P `=`: 이다. 이때, 점 P ` 은 `선분` 을 :(>0, >0) 으로내분하는점이므로 (, ) P(, ) (, ) P + = + `축에대하여도마찬가지로생각하면 = + +. 평면좌표 7
따라서, 구하는내분점``P` 의좌표는 + + {, } + + 이다. 또, 좌표평면위에서선분을외분하는점의좌표도마찬가지방법으로구할수있다. 이상을정리하면다음과같다. 평면위에서내분점과외분점의좌표두점(, ), (, ) 를이은선분`를 `:`(>0, >0) 으로내분하는점을 P`라하면 내분점 P{ +, + } + + 외분하는점을 `Q` 라하면 이다. 외분점 Q{ -, - } ( 단, ) - - 참고 두점 (,`` ), (,`` ) 를이은선분 ``` 의중점 ``M` 의좌표는 { +, + } 이다. dpwp 두점 ``(-, 4), (6, -) 를이은선분 ` 를 `:` 로내분하는점을 ```P, 외분하는점을 Q` 라할때, P, Q` 의좌표를각각구하여라. 풀이 점 P` 의좌표를 (, ) 이라하면 \6+\(-) \(-)+\4 = =, = =0 + + 점 Q`의좌표를 (, ) 라하면 \6-\(-) \(-)-\4 = =5, = =-8 - - 답 P(, 0), Q(5, -8) 8 Ⅰ. 도형의방정식
다음두점을이은선분`를 :` 로내분하는점과선분 `의중점의좌표를각각구하여라. ⑴` `(-4,``-),``(6,``4) ⑵`` (,``-),``(,``) 4 다음두점을이은선분 ` 를 :` 로외분하는점의좌표를구하여라 ⑴` `(,``-),``(4,``5) ⑵`` (,``6),``(5,``) dpwp 4 세점 ``(,`` ),``(,`` ),``C(,`` ) 를꼭지점으로하는 C` 의무게 중심 G` 의좌표 (,``) 를구하여라. 풀이 선분 C` 의중점을 M(', ') 이라하면 '= +, '= + (, ) 삼각형의세중선은한점 ( 무게중심 ) 에서만나고, 이점은세중선의길이를꼭지점으로부터각각 :`로나눈다. 이다. 한편, 무게중심 G(, ) 는 M ` 을 :`로내분하는점이므로 = = \'+\ + + + C(, ) G M(', ') (, ) C \'+\ = = + + + 답 G{ + +, + + } 5 세점 (5, ), (-, 6), C(, -) 을꼭지점으로하는 C` 의무게중심 G` 의좌표를구하여라. 6 C` 의두꼭지점이 (, ), (7, ) 이고, 무게중심의좌표가 (4, ) 일때, 꼭지점 C` 의좌표를구하여라.. 평면좌표 9
'fzubfhgs bf ibslc duewe 6afajgw jbrfs uvflc dhfb qstjr 민석이는길이가 6` 인선분 ` 를 :` 로내분하는점을 P, 외분하는점 을 Q`라놓고, 선분 PQ`의길이를다음과같이구하였다. 틀린곳을찾아바르게고쳐라. P :P `=`:` 이므로` P `= `=` :Q `=`:` 이므로` Q `= `=` Ú PQ `=`P `+`Q `=`5` ckddlfur a Swp goruffur 좌표평면위의세점 (-, ), `(, 4), `C(, ) 를세꼭지점으로하는 CD`가평행사변형이되도록나머지꼭지점 D(a,``b) 의좌표를정하려고한다. C 다음각각의평행사변형의결정조건을이 용하여 a,``b` 의값을구하고, 그값이같음 을확인하여라. whrjs 두쌍의대변이각각평행하다. D ÂCD, D ÂC whrjs whrjs whrjs 4 두쌍의대변의길이가각각같다. `=`CD, D` =`C 한쌍의대변이평행하고, 그길이가같다. ÂCD, `=`CD 두대각선은서로다른것을이등분한다. 두대각선의중점이일치한다. C 0 Ⅰ. 도형의방정식
jesg ibslc 다음두점사이의거리를구하여라. ⑴ (, `), (, `) ⑵ (4, `), (, `-) 두점 (, ), (, ) 사이의거리는? 직선 `= 위의점 ` P` 가두점 `(0, 5), (, ) 에서같은거리에 있을때, 점 P` 의좌표를구하여라. 두점 (, ), (0, -) 사이의거리는? 열매 세점 (a, `5), `(-,` ), `C(, `4) 를꼭지점으로하는 C` 가 선분 C 를빗변으로하는직각삼각형일때, a` 의값을구하여라. 세변의길이가각각,, a`인직각삼각형에서빗변의길이가 `일때, a`의값은? 4 다음두점, `를이은선분`를 :`로내분하는점의좌표를구하여라. ⑴ (, ), (-, 6) ⑵ (, -4), (0, 5) 수직선위의두점 (), (4) 를이은선분`를 :` 로내분하는점의좌표는? 5 두점(-4, 5), (, ) 를이은선분`를 :`로내분하는점을 P, 외분하는점을 Q`라할때, 선분PQ`의길이를구하여라. 두점 (-, `4), `(, `) 를이은선분`의길이는? 6 세점 (-, ), (, ), C(-6, 5) 를꼭지점으로하는 C 의 세변, C, C`의중점을각각 D, E, F`라할때, DEF`의무게중심의좌표를구하여라. 세점 (, 4), (-, ), (, -) 를꼭지점으로하는삼각형의무게중심의좌표는?. 평면좌표
jesg ibslc 좌표평면위의두점 (0, 0), (, -) 사이의거리를구하여라. 두점(, ), (a, b) 를이은선분`의중점이 (0, ) 일때, a, b`의값을구하여라. 두점(-, ), (, -) 을이은선분`를 `:`로외분하는점의좌표를구하여라. 4 세점(0, ), (-, 4), C(, 0) 을꼭지점으로하는 C`의무게중심의좌표를구하여라. 5 세점(, 5), (, ), C(6, -) 를꼭지점으로하는 C`의외심의좌표를구하여라. 6 C` 에서변 C` 의중점을 M` 이라할때, `+C `=(M `+M `) 이성립함을증명하여라 `( 단, M` 을원점으로하는 좌표평면을이용하여라 ). M C Ⅰ. 도형의방정식