접선의방정식과평균값의정리 1. 접선의기울기와미분계수 곡선 위의점 에서의접선의기울기는 2. 접선의방정식 (1) 접선의방정식 곡선 위의점 에서의접선의방정식은 ( 단, y 1 = f (x 1 ) ) (2) 법선의방정식 곡선 위의점 에서의법선의방정식은 3. 두곡선의공통접선 두곡선 가 (1) 점 에서접할조건 1 (2) 점 에서직교할조건 1 2 2 4. 롤(Rolle) 의정리 함수 가폐구간 에서연속이고개구간 에서 미분가능할때 이면 << 인 가 안에적어도하나는존재한다. [ 참고] (1) 롤의정리는개구간 에서미분가능할때성립한다는것에주의해야한다. (2) 기하학적의미 : 함수 가나타내는곡선의접선중에서 축과평행한것이적어도하나존재한다는뜻이다. 5. 평균값의정리 함수 가폐구간 에서연속이고, 개구간 에서미분가능하면 단 << 인 가 안에적어도하나존재한다. [ 참고] 기하학적의미 : 의그래프에서두점 A B 를맺는직선 AB에 평행한접선이구간 안에적어도하나존재한다는뜻이다.
[ 해설] 4. 롤의정리 (1) 함수 가상수함수인경우개구간 의모든점에서 이므로개구간 에속하는모든 에대하여 이다. (2) 함수 가상수함수가아닌경우 이므로양끝점을제외한점 <<에서 최댓값또는최솟값을가진다. ( ⅰ ) 에서최댓값을가질때 < < 를만족하는임의의 에대하여 이므로 lim lim 한편, 가 에서미분가능하므로두극한값이같아야한다. lim lim ( ⅱ) lim 에서최솟값을가질때함수 가 에서최솟값을가질때에도같은방법으로 임을보일수있다. 5. 평균값의정리 는상수로놓아 임을보이면된다. 오른쪽그림에서직선AB의방정식은 이때, 로놓으면 는폐구간 에서연속이고, 개구간 에서미분가능하다. 또, 이므로롤의정리에서 <<이되는 가적어도하나존재한다. 따라서, [ 보충학습 ] 평균값정리의확장 함수 가폐구간 에서연속이고개구간 에서미분가능할때, (1) 단 << (2) (3) << [ 해설] 평균값의정리 단 <<에서분모를없애고 에관하여정리하면 단 << 이고, 여기에서 라하면 이므로 한편, 로놓으면 <<이고 에서
함수의증감과극대, 극소 1. 함수의증가와감소 함수 가어떤구간에서미분가능하고그구간에서 (1) > 이면 는그구간에서증가함수 (2) < 이면 는그구간에서감소함수 2. 함수의극대ㆍ극소 (1) 함수의극대극소의 정의 1 함수 가 에서연속이고, 가증가하면서 를 지날때, 가증가상태에서감소상태로바뀌면 는 에서극대가되고, 를극댓값이라고한다. 2 함수 가 에서연속이고, 가증가하면서 를지날때, 가감소상태에서증가상태로바뀌면 는 에서극소가되고, 를극솟값이라고한다. 3 극대가되는점 를극대점, 극소가되는점 를극소점이라한다. (2) 에의한극대극소의 판정 미분가능한함수 에서 일때, 의좌우에서 1 의부호가양( +) 에서음( -) 으로바뀌면 는 에서극대이고, 극댓값 를갖는다. 2 의부호가음( -) 에서양( +) 으로바뀌면 는 에서극소이고, 극솟값 를갖는다. (3) 이계도함수를이용한극값의판정 이계도함수를갖는함수 에대하여 일때, 1 > 이면 에서 는극소이다. 2 < 이면 에서 는극대이다.
그래프의개형 1. 곡선의오목ㆍ볼록 (1) 아래로볼록 구간 에서곡선 위의임의의두점 P Q 를 잡았을때, P 와 Q 의사이에있는곡선의부분이선분 PQ 의 아래에있으면곡선 는구간 에서아래로볼록 ( 또는위로오목) 하다고한다. 임의의양수 에대하여 < (2) 위로볼록 P Q 사이에있는곡선의부분이선분 PQ 의위에있으면 곡선 는구간 에서위로볼록( 또는아래로볼록) 하다고한다. > 2. 곡선의오목ㆍ볼록의판정 3. 곡선 가어떤구간에서항상 (1) > 이면곡선 는그구간에서아래로볼록하다. (2) < 이면곡선 는그구간에서위로볼록하다. 변곡점 곡선 에서 이고 의앞과뒤에서 의부호가변하면점 는 변곡점이다. 4. 함수의최대최소 5. (1) 최댓값최솟값을 구하는방법 폐구간 에서함수 가연속일때 1 의극댓값, 극솟값을구한다. 2 범위의끝값인 를구한다. 3 이중가장큰값이최댓값, 가장작은값이최솟값이다. 곡선의개형을그리는방법 (1) 곡선이존재하는범위를구한다. (2) 곡선의대칭성및함수의주기를조사한다. (3) 좌표축과의교점을구한다. (4) 도함수를구하여함수의증가감소와 극대극소 등을조사한다. (5) 이계도함수를구하여곡선의오목볼록과 변곡점을조사한다. (6) 그래프의점근선을조사한다.
도함수의응용 1. 방정식과부등식에의응용 (1) 방정식에의응용 1 방정식 의실근 함수 의그래프와 축이만나는점의 좌표이다. 2 방정식 의실근 함수 의그래프와 의그래프가만나는점의 좌표이다. (2) 부등식에의증명 > 일때, 부등식 >이성립함을증명하려면 1 함수 의최솟값을구하여 최솟값 >임을보이거나 2 > 에서 가증가함수이고 임을보인다. 즉, >, 임을보인다. 2. 속도와가속도 (1) 직선위의운동 동점 P 가수직선위를움직일때, 시각 에서의동점 P 의위치 가 일때, 1 시각 에서의속도 위치의시간에대한변화율 : lim 2 시각 에서의가속도 속도의시간에대한변화율 : lim 이때, 속도와가속도의크기는각각 이다. (2) 시각에대한변화율어떤물체의길이를, 넓이를, 부피를 라고할때, 1 시각 2 시각 3 시각 (3) 평면위의운동 에서의길이의변화율 : lim 에서의넓이의변화율 : lim 에서의부피의변화율 : lim 평면위를움직이는점 P 의시각 에서의위치 가 로주어질때, 1 속도 : 2 속력 : 3 가속도 : 4 가속도의크기 :
< 꼭알아두어야할그래프개형 > 1 ln 5 2 ln 6 ln 3 7 4 ln
1. 31. 곡선 과 축이만나는점에서의접선의기울기는? [3 점] (11. 10. 교육청) 1 2 3 4 5 2. 가 의함수일때, 곡선 ln 위의점 에서의접선의기울기는? [3 점] (06. 9. 평가원) 1 2 3 4 5 3. 곡선 위의두점, 에서의두접선과 축으로둘러싸인삼각형이이등변삼각형일때, 의값을구하시오. ( 단, > )[4 점] (04. 6. 평가원) 4. 곡선 위의점 P 과원점 O 에대하여직선 OP 와 축의양의방향이이루는각의크기를 라고하자 값은?[3 점] (06. 10. 교육청). 이때, lim tan 의 1 ln 2 ln 3 ln 4 ln 5 ln 5. 곡선 위의점 P 가시간이지남에따라 원점으로부터멀어지고있다. 이되는순간선분 OP 의 시각에대한길이의순간변화율이 일때, 점 P 의 좌표의 시각에대한순간변화율은? [ 점] (07. 7. 교육청) 1 2 3 4 5 P O 정답 1 1 32 1 5
6. 함수 ln 의극솟값이 일때, 상수 의값은? [점] (11. 6. 평가원) 1 2 3 4 5 7. 인모든 에대하여부등식 tan 를만족하는 의최댓값은? [3 점] (04. 9. 평가원) 1 2 3 4 5 8. 두상수 에대하여함수 sin 이극값을가질때, 다음중항상옳은것은? [3 점] (07. 10. 교육청) 1 2 3 4 5 9. 좌표평면에서곡선 cos << 의변곡점의 좌표를 이라할때, lim 의값은? [3 점] (08. 9. 평가원) 1 2 3 4 5 10. 곡선 ln 의변곡점이직선 위에있을때, 양수 의값은? [3 점] (10. 9. 평가원) 1 2 3 4 5 정답 4 4 3 3 5
11. 실수전체의집합에서정의된두함수, sin cos 에대하여합성함수 의최댓값과최솟값의합을구하시오. [4 점] (11. 10. 교육청) 12. 그림과같은사각기둥의물통에서등변사다리꼴 ABCD 에대하여, AB BC CD, E H AE 이고, 꼭짓점 B C 에서선분 AD 에내린수선의발을각각 M N이라할때, F G ABM DCN 이다 일때, 의값을구하시오. [ 점. 물통의부피의최댓값이 ] (07. 7. 교육청) A M N D B C 13. 그림과같이함수 ln 의그래프의 두교점의 좌표를각각 라하자. 일차함수 의그래프가 에서두함수의그래프와 만나는두점사이의거리가최대가될때, 상수 의값은? [점] (09. 7. 교육청) 1 2 3 4 5 정답 10 108 4
14. 양의실수전체의집합에서정의된함수 이 에서극값을가질때, 옳은것만을 < 보기> 에서있는대로고른것은? ( 단, 는자연로그의밑이다.) [4 점] (11. 10. 교육청) < 보기 > 곡선 의변곡점이존재한다. 함수 는 에서최솟값을갖는다. 1 ㄱ 2 ㄴ 3 ㄱ, ㄴ 4 ㄱ, 5 ㄱ, ㄴ, 15. 양의실수전체의집합을정의역으로하는함수 에대하여 의역함수를 라하자. < 보기> 에서옳은것만을있는대로고른것은? [점] (11. 6. 평가원) < 보기 > 점 는곡선 의변곡점이다. 방정식 의실근중양수인것은 하나뿐이다. 함수 는 에서미분가능하다. 1 ㄱ 2 ㄴ 3 ㄱ, ㄴ 4 ㄱ, 5 ㄱ, ㄴ, 정답 4 5
16. 정의역이 인함수 cos 에대하여옳은것만을 < 보기> 에서있는대로 고른것은? [4 점] (11. 11. 수능) 이면 tan 이다. < 보기> 함수 가 에서극댓값을가지는 가구간 에있다.. 구간 에서방정식 의서로다른실근의개수는 이다. 1 ㄱ 2 3 ㄱ, ㄴ 4 ㄴ, 5 ㄱ, ㄴ, 17. 함수 ln 에대하여옳은것만을 < 보기> 에서있는대로고른것은? [4 점] (11. 4. 교육청) 함수 는 에서극댓값을갖는다. 곡선 의변곡점의개수는 이다. 방정식 의실근의개수는 이다 < 보기> 1 ㄱ 2 ㄴ 3 ㄱ, 4 ㄴ, 5 ㄱ, ㄴ, 정답 5 3
18. 양수 에대하여폐구간 에서함수 의최댓값을, 최솟값을 이라할때, 이되도록하는 의최솟값을구하시오. [4 점] (05. 11. 수능) 19. 오른쪽그림은 차다항함수 의도함수 의그래프이다. < 보기> 에서옳은것을모두고른것은? ( 단, 이고 이다.) [4 점] (05. 9. 평가원) < 보기> 는서로다른세점에서극값을갖는다. < < < 인 에대하여 < 이다. 일때, 양의실수 에대하여 의 그래프와 의그래프가서로다른두점에서만나면 의극댓값은 이다. 1 ㄱ 2 ㄴ 3 4 ㄱ, ㄴ 5 ㄴ, 정답 11 5
20. 실수전체의집합에서이계도함수를갖는함수 가 을 만족시킬때, < 보기> 에서항상옳은것을모두고른것은? [3 점] (06. 9. 평가원) < 보기> 인실수 가구간 에두개이상존재한다. 인실수 가구간 에적어도한개존재한다. 인실수 가구간 에적어도한개존재한다. 1 ㄱ 2 ㄱ, ㄴ 3 ㄱ, 4 ㄴ, 5 ㄱ, ㄴ, 21. 실수전체의집합에서이계도함수를갖는함수 에대하여점 를곡선 의 변곡점이라하고, 곡선 위의점 A에서의접선의방정식을 라하자. 직선 가함수 의그래프와점 에서접할때, 함수 를 라하자. < 보기> 에서항상옳은것을모두고른것은? ( 단, 이다.) [4 점] (06. 11. 수능) < 보기> 방정식 은 개이상의실근을갖는다. 점 는곡선 의변곡점이다. 1 ㄱ 2 ㄴ 3 ㄱ, ㄴ 4 ㄱ, 5 ㄱ, ㄴ, 정답 2 5
22. 함수 sin 에대하여함수 를 로정의할때, < 보기> 에서옳은것을모두고른것은? [3 점] (07. 11. 수능) < 보기> 함수 의그래프는개구간 에서위로볼록하다. 함수 는개구간 에서증가한다. 인실수 가개구간 에존재한다. 1 ㄱ 2 3 ㄱ, ㄴ 4 ㄴ, 5 ㄱ, ㄴ, 23. 두다항함수 가모든실수 에대하여, 를만족하고 로정의할때, < 보기> 에서옳은것을모두고른것은? [점] (08. 7. 교육청) < 보기> 의이계도함수 가 에서극댓값 을가질때, 방정식 의실근은적어도 3 개이다. 1 ㄱ 2 3 ㄱ, ㄴ 4 ㄴ, 5 ㄱ, ㄴ, 정답 5 5
24. 함수 ln ln 에대하여 < 보기> 에서옳은것만을있는대로고른것은? [3 점] (08. 11. 수능) < 보기> 함수 의최댓값은 ln이다. 방정식 은서로다른두실근을갖는다. 함수 의그래프는구간 에서위로볼록하다. 1 ㄱ 2 3 ㄱ, ㄴ 4 ㄴ, 5 ㄱ, ㄴ, 25. 함수 (10. 7. 교육청) 에대한설명으로옳은것만을 < 보기> < 보기> 에서있는대로고른것은? [ 점 ] 곡선 위의점 에서의접선과원점사이의거리는 이다. 함수 의최솟값은 이다. 방정식 의서로다른실근의개수는 개이다. 1 ㄱ 2 ㄴ 3 ㄱ, 4 ㄴ, 5 ㄱ, ㄴ, 정답 3 5
26. 다항함수 에대하여다음표는 의값에따른,, 의변화중일부를나타낸것이다. 함수 sin에대하여옳은것만을 < 보기> 에서있는대로고른것은? [4 점] (10. 9. 평가원) < 보기> 이면 이다. 점 은곡선 의변곡점이다. 1 ㄱ 2 3 ㄱ, ㄴ 4 ㄴ, 5 ㄱ, ㄴ, 정답 3
27. 그림과같이좌표평면위의반지름의길이가 인사분원 OAB 에대하여 각 AOB 를이등분하는직선이사분원과만나는점을 C 라하자. 두점 P, Q 는점 C 에서동시에출발하여사분원의둘레를따라각각 시계방향, 시계반대방향으로매초 의일정한속력으로움직인다. 두점 P, Q 가점 C 에서출발하여 초 가되는순간, 선분 PQ 를한변으로하고사분원 OAB 에내접하는직사각형의넓이를 라하자. 출발한지 초가되는순간넓이 대한변화율은? [4 점] (11. 3. 교육청), 의시간( 초) 에 1 2 3 4 5 28. 지점 O 와지점 E 사이의거리는 m 이다. 오른쪽그림과같이갑은 지점 O 에서출발하여선분 OE 에수직인반직선 OS 를따라초속 m 의 일정한속력으로달리고, 을은갑이출발한지 초가되는순간지점 E 에서 출발하여선분 OE 에수직인반직선 EN 을따라초속 m 의일정한속력으로 달리고있다. 갑과을의지점을연결하여만든선분과선분 OE 가만나서이루는 각을 ( 라디안) 라할때, 갑이출발한지 초가되는순간 의변화율은? [4 점] (05. 11. 수능) 1 라디안/ 초 2 라디안/ 초 3 라디안/ 초 4 라디안/ 초 5 라디안/ 초 정답 1 3
29. 좌표평면위에그림과같이중심각의크기가 이고반지름의길이가 인부채꼴 OAB 가있다. 점 P 가점 A에서출발하여호 AB 를따라 매초 의일정한속력으로움직일때, AOP 가되는순간 점 P 의 좌표의시간( 초) 에대한변화율은? [3 점] (07. 9. 평가원) 1 4 2 5 3 30. 그림과같이좌표평면에서원 위의점 P 는 점 A 에서출발하여원둘레를따라 시계반대 방향으로매초 의일정한속력으로움직이고있다. 점 Q 는점 A 에서출발하여점 B 을향하여 매초 의일정한속력으로 축위를움직이고있다. 점 P 와점 Q 가동시에점 A 에서출발하여 초가되는 순간, 선분 PQ, 선분 QA, 호 AP 로둘러싸인어두운 부분의넓이를 라하자. 출발한지 초가되는순간, 넓이 의시간( 초) 에대한변화율은? [4 점] (07. 11. 수능) 1 4 2 5 3 정답 4 4
31. 그림과같이중심각의크기가 이고반지름의길이가 인부채꼴 AOB와 선분 OA 위를움직이는점 P 가있다. 선분 OP 를한변으로하는정사각형 OPQR 가호 AB와서로다른두점 S, T에서만날때, 정사각형 OPQR 에서 점 Q 를중심으로하고반지름이 QS 인부채꼴 SQT 를제외한어두운부분의 넓이를 라하자. SOT 라할때, 가최대가되도록하는 에대하여 tan 의값을구하시오. [4 점] (08. 9. 평가원) θ 32. 길이가 인선분 AB 를지름으로하는반원이있다. 그림과같이 두점 P Q 가점 B 에서동시에출발하여다음조건을만족시키면서 반원위를움직인다. ( 가) QAB PAB ( 나) 선분 BP 의길이의시간초에대한변화율은 ( ) 이다. 점 P 가점 B 에서출발하여 초가되는순간선분 AQ 의길이의시간( 초) 에대한변화율은 이다. 의값을구하시오. ( 단, PAB 이다점교육청.) [4 ] (08. 10. ) 정답 20 25
33. 그림과같이좌표평면에서원 위의점 P 가 점 에서출발하여원점을중심으로매초 ( 라디안) 의일정한속력으로원위를시계반대 방향으로움직이고있다. 점 P 에서 축에평행한 직선을그을때, 원과직선으로둘러싸인어두운부분의 을지나는순간, 넓이를 라하자. 점 P 가점 넓이 의시간( 초) 에대한변화율은 이다. 의값을 구하시오( 단, 와 는서로소인자연수)[4 점] (06. 11. 수능) 정답 83
34. 단면의넓이가 m 로일정한원통형의물탱크에물이 m 까지차있다. 이물탱크의바닥중앙에있는넓이 m 인구멍으로물이빠지고있다. 물탱크의 바닥으로부터수면까지의 로주어진다고하자 높이가 m 일때, 빠져나가는물의속력 m초 는. 다음은이식을이용해서물의높이가 m 에서 m 로줄어들때까지걸리는시간을계산한것이다. < 풀이> 와 가시간에따라변하므로 와 의관계식 를 에관하여미분하여 와 의시간에따른변화율사이의관계식을구하면 ----- (1) 한편, 물탱크에있는물의양의순간변화율은그순간빠져나가는물의양과부호만다르므로 ( 가) ----- (2) (2) 식에서얻은 를 (1) 식에대입하여정리하면 따라서구하는시간은 ( 나) ( 초) 이다. 위의풀이에서 ( 가), ( 나) 에알맞은것을차례로나열한것은? [4 점] (04. 9. 평가원) ( 가) ( 나) 1 2 3 4 5 정답 2