슬라이드 1

Egieerig Mthemtics II Pro. Dr. Yog-Su N (3-6, Tel. 88-74) Tet boo: Eri Kreyszig, Advced Egieerig Mthemtics, 9 th Editio, Wiley (6)

Ch. Fourier Series, Itegrls, d Trsorms. Fourier Series. Fuctios o Ay Period p=.3 Eve d Odd Fuctios. Hl-Rge Epsios.4 Comple Fourier Series.5 Forced Oscilltios.6 Approimtio by Trigoometric Polyomils.7 Fourier Itegrl.8 Fourier Coe d Sie Trsorms.9 Fourier Trsorm. Discrete d Fst Fourier Trsorms

Ch. Fourier Series, Itegrls, dtrsorms 주기현상의예 : 모터, 회전기계, 음파, 지구의운동, 정상조건하의심장 푸리에급수는상미분방정식과편미분방정식을수반하는문제를해결하는데매우중요한도구 푸리에급수의실용적관심대상 : Discotiuous( 불연속적 ) 인주기함수 내용 : 푸리에급수의개념과기법, 푸리에적분 (Fourier Itegrls), 푸리에변홖 (Fourier Trsorm) 우리주변에서푸리에급수는매우다양하게이용됨 : 파동의갂섭현상을이용하여소음도없앨수있음. 예를들어여객기밖은엔짂소음으로매우시끄럽지만안은조용할수있는것은엔짂의소음과같은주파수를가지고위상만반대인소음을발생시켜소음을상쇄시키는푸리에급수원리덕분에가능함.

. Fourier Series ( 푸리에급수 ) Periodic Fuctio ( 주기함수 ) 모든실수 에대하여정의 어떤양수 p가존재해서, 모든 에대하여 p 를주기함수(Periodic Fuctio ) 라하고, p를 의주기(Period) 라한다. 주기함수인예 :, 주기함수가아닌예 :,, 3, e, h, l Properties 함수 의주기가 p이면, 모든 에대하여 p,,, 3 와 g의주기가 p이면, bg, b는임의상수 의주기도 p이다.

. Fourier Series ( 푸리에급수 ) Trigoometric Series ( 삼각급수 ) Trigoometric System ( 삼각함수계 ),,,,,,,, Trigoometric Series ( 삼각급수 ) b b b 상수,, b,, b, 을계수(Coeicie ts) 라한다. 삼각급수가수렴한다면그합은주기가 인주기함수이다.

. Fourier Series ( 푸리에급수 ) Fourier Series ( 푸리에급수 ) Euler Formuls ( 오일러공식 ) b d d, d,,,,, Fourier Coeiciets ( 푸리에계수 ): 오일러공식에의해주어짂값 Fourier Series: 푸리에계수를갖는삼각급수 ( ) b

. Fourier Series ( 푸리에급수 ) E. Rectgulr Wve ( 주기적인직사각형파 ) Fid the Fourier coeiciets o the periodic uctio, Fuctios o this id occur s eterl orces ctig o mechicl systems, electromotive orces i electric circuits, etc. d

. Fourier Series ( 푸리에급수 ) E. Rectgulr Wve ( 주기적인직사각형파 ) Fid the Fourier coeiciets o the periodic uctio, Fuctios o this id occur s eterl orces ctig o mechicl systems, electromotive orces i electric circuits, etc. d d d d d d 이므로이고 * d 짝수이이홀수 4 d d d b 5 5 3 3 4 : 푸리에급수 4 5 3 5 3 4 eibiz (673)

. Fourier Series ( 푸리에급수 ) 함수 () 가 =과 =π에서불연속이므로, 모든부분합은이점에서값이 이되며, 이값은극한값인 와 의산술평균임.

. Fourier Series ( 푸리에급수 ) Orthogolity o the Trigoometric Systems: 삼각함수계는구갂 -π π에서직교한다. md md m m Prove! md m 또는 m Represettio by Fourier Series ( 푸리에급수에의한표현 ) 주기가 인주기함수 구간 -π π 에서 PieceiseCotiuous ( 구분연속 ) 각점에서 et- hd Derivtive( 좌도함수 ) 와 Right - hd Derivtive( 우도함수 ) 를갖는다. 의푸리에급수는수렴한다. 급수의합 불연속인점을제외한모든점에서급수의합 불연속인점에서급수의합 의좌극한과우극한의평균

. Fourier Series ( 푸리에급수 ) PROBEM SET. HW: 6, 8, 9

. Fuctios o Ay Period p= ( 임의의주기 p= 을가지는함수 ) Fourier Series o the Fuctio () o period b Fourier Coeiciets o () b d d, d,,,,,

. Fuctios o Ay Period p= ( 임의의주기 p= 을가지는함수 ) E. Periodic Rectgulr Wve ( 주기적인직사각형파 ) Fid the Fourier series o the uctio, 4, p

. Fuctios o Ay Period p= ( 임의의주기 p= 을가지는함수 ) E. Periodic Rectgulr Wve ( 주기적인직사각형파 ) Fid the Fourier series o the uctio, 4, p, 7, 3, 9, 5,, 4 4 4 b d d d d d 이짝수 5 5 3 3 : 푸리에급수

. Fuctios o Ay Period p= ( 임의의주기 p= 을가지는함수 ) Emple Emple 3

. Fuctios o Ay Period p= ( 임의의주기 p= 을가지는함수 ) PROBEM SET. HW: 3, 6

.3 Eve d Odd Fuctios. Hl-Rge Epsios ( 우함수와기함수. 반구갂전개 ) Fourier Coe Series, Fourier Sie Series ( 푸리에코사인, 사인급수 ) Fourier CoeSeries: 주기가 Fourier Coeiciets Fourier Coeiciets Fourier Sie Series: 주기가 b b 인우함수의푸리에급수 d, d,,, d,,, 인기함수의푸리에급수 Sum d Sclr Multiple ( 합과스칼라곱 ). Emple 함수의합의푸리에계수는각각에해당하는푸리에계수의합과같다. 함수 c 의푸리에계수는 에해당하는푸리에계수에 c 를곱한것과같다.

.3 Eve d Odd Fuctios. Hl-Rge Epsios ( 우함수와기함수. 반구갂전개 ) E. 3 Stooth Wve ( 톱니파 ) Fid the Fourier series o the uctio d

.3 Eve d Odd Fuctios. Hl-Rge Epsios ( 우함수와기함수. 반구갂전개 ) E. 3 Stooth Wve ( 톱니파 ) Fid the Fourier series o the uctio d d d d b,,, π π π 3 3. 은기함수이므로의푸리에급수이다라하면와

.3 Eve d Odd Fuctios. Hl-Rge Epsios ( 우함수와기함수. 반구갂전개 ) Hl Rge Epsios ( 반구갂전개 ) Eve Periodic Etesio ( 주기적인우함수로확장 ) Odd Periodic Etesio ( 주기적인기함수로확장 )

.3 Eve d Odd Fuctios. Hl-Rge Epsios ( 우함수와기함수. 반구갂전개 ) E. 4 Trigle d Its Hl-Rge Epsios Fid the to hl-rge epsios o the uctio

.3 Eve d Odd Fuctios. Hl-Rge Epsios ( 우함수와기함수. 반구갂전개 ) E. 4 Trigle d Its Hl-Rge Epsios Fid the to hl-rge epsios o the uctio d d d d 6 6 6 4.. 주기적우함수로확장

.3 Eve d Odd Fuctios. Hl-Rge Epsios ( 우함수와기함수. 반구갂전개 ) d d b 5 5 3 3 8 8.. 주기적기함수로확장

.3 Eve d Odd Fuctios. Hl-Rge Epsios ( 우함수와기함수. 반구갂전개 ) PROBEM SET.3 HW:,, 9

.4 Comple Fourier Series ( 복소푸리에급수 ) Comple Fourier Series ( 복소푸리에급수 ): c e i Comple Fourier Coeiciet ( 복소푸리에계수 ): c e i d,,,, 주기가 인복소푸리에급수 : c e i c e i d,,,,

.4 Comple Fourier Series ( 복소푸리에급수 ) E. Comple Fourier Series Fid the comple Fourier series o () = e i π<< π d (+ π)= () d obti rom it the usul Fourier series

.4 Comple Fourier Series ( 복소푸리에급수 ) E. Comple Fourier Series Fid the comple Fourier series o () = e i π<< π d (+ π)= () d obti rom it the usul Fourier series c e e i Fourier Series: d e i e i h i i h i e e i e i ie i i i i ie i i i i i ie ie e h

.5 Forced Oscilltios ( 강제짂동 ) Sectio.8 Revisited Free Motio ( 자유운동 ): 외력이없는경우의운동지배방정식 my' ' cy' y Forced Motio ( 강제운동 ): 외부로부터의힘이물체에작용하는경우의 운동지배방정식 my'' cy'y rt Drivig Force ( 입력이나구동력 ): rt Respose ( 출력또는구동력에대한시스템의응답 ): yt

.5 Forced Oscilltios ( 강제짂동 ) my'' cy'y rt y = y (t ): displcemet rom rest c : dmpig tt : sprig tt (sprig modulus) r (t ): eterl orce

.8 Modelig: Forced Oscilltios. Resoce ( 모델화 : 강제짂동. 공짂 ) With Periodic eterl orces: my' ' cy' y F t 미정계수법에의한 y p 결정 y p t bt F m m c, b F c m c / m

.8 Modelig: Forced Oscilltios. Resoce ( 모델화 : 강제짂동. 공짂 ) Cse. Udmped Forced Oscilltios ( 비감쇠강제짂동 ) F F c y p t y C t t m m 이출력은두개의조화짂동의중첩을나타냄. cycles 고유주파수 : sec 구동력의주파수 : cycles sec Resoce ( 공짂 ) : 입력주파수와고유주파수가정합됨으로써 ( ) 발생하는큰짂동의여기현상 F '' y t m y F t t m y p

.8 Modelig: Forced Oscilltios. Resoce ( 모델화 : 강제짂동. 공짂 ) Tcom Nrros Bridge (94.. 4)

.8 Modelig: Forced Oscilltios. Resoce ( 모델화 : 강제짂동. 공짂 ) Bets ( 맥놀이 ): 입력주파수와고유주파수의차가적을때의강제비감쇠짂동 ( ) t t m F t t m F y

.8 Modelig: Forced Oscilltios. Resoce ( 모델화 : 강제짂동. 공짂 ) Cse. Dmped Forced Oscilltios ( 감쇠강제짂동 ) Trsiet Solutio ( 과도해 ): 비제차방정식의일반해 (y) Stedy-Stte Solutio ( 정상상태해 ): 비제차방정식의특수해 (y p ) 순수사인파형태의구동력이주어지는감쇠짂동시스템의출력은 충분하게긴시갂후에실제적으로주파수가입력주파수인조화짂동이됨. 과도해는정상상태해로접근한다. Prcticl Resoce: 비감쇠의경우 ω 가 ω 에접근할때 y p 의짂폭이무한대로 접근하는반면에, 감쇠의경우에는이와같은현상은발생하지않는다. 이경우에는짂폭은항상유한하나, c 에의존하는어떤 ω 에대해최대값을가질수있다. y p t bt F m y p ( t) C * t m c, b F c m c

.8 Modelig: Forced Oscilltios. Resoce ( 모델화 : 강제짂동. 공짂 ) y p 의짂폭 (ω 의함수로표현 ): R F c m F b C ) ( * m 4 * c m c mf b C ) ( t m c b )] ( [ ] ) )( ( [ * 3/ 3/ m m c R F c m R F d dc m m c m c m 일때는 가증가함에따라단조감소함. c m C *

.8 Modelig: Forced Oscilltios. Resoce ( 모델화 : 강제짂동. 공짂 ) ω 의미 c C* m c m C* m 일때는유한하다는것을알수있다. 일때의값은 c 가감소함에따라증가하고, c 가 에접근함에따라무한대로접근한다.

.5 Forced Oscilltios ( 강제짂동 ) E. Forced Oscilltios uder Nousoidl Periodic Drivig Force Fid the stedy-stte solutio y (t ). t r t r t t t t t r t r y y y, 5 '.5 ''

.5 Forced Oscilltios ( 강제짂동 ) E. Forced Oscilltios uder Nousoidl Periodic Drivig Force Fid the stedy-stte solutio y (t ). y''.5y' 5y r r t t, t r t t t t t 4 상미분방정식 y''.5y' 5y t, 3, 의정상상태해 Fourier CoeSeries: 주기가 인우함수의푸리에급수 A 의푸리에급수 5., B 여기서 D 5.5 4 D 정상상태 Fourier Coeicie 해 : y yts y : r 4 t 3t 3 5 D 3 y 5 5t r t rt d, d,,, : y A t B t

.5 Forced Oscilltios ( 강제짂동 ) E. Forced Oscilltios uder Nousoidl Periodic Drivig Force Fid the stedy-stte solutio y (t ). t r t r t t t t t r t r y y y, 5 '.5 '' 5 3 :.5 5., 5 4 : 3,, 4 5 '.5 '' 5 5 3 3 4 : y y y y D D B D A t B t A y t y y y t t t t r t r 정상상태해여기서의정상상태해상미분방정식의푸리에급수 =5 term is domit.

.5 Forced Oscilltios ( 강제짂동 ) PROBEM SET.5 HW:, 3

.6 Approimtio by Trigoometric Polyomils ( 삼각다항식에의한근사 ) Approimtio Theory ( 근사이론 ): 푸리에급수의주된응용분야로단순한함수로써어떤함수의근사값을표현하는분야 Ide N차부분합은 는 주기가 N b 인푸리에급수로표현될수있는주기함수 에대한근사값 ( ) Questio 최상의 의근사인 N차삼각다항식 F N A A B N은고정 구하기

.6 Approimtio by Trigoometric Polyomils ( 삼각다항식에의한근사 ) Squre Error ( 제곱오차 ) E F d : 구간 상에서함수 F의함수 에관한제곱오차( Squre Error ) Miimum Squre Error ( 최소제곱오차 ) 구간 에서 F의 에관한제곱오차는 F의계수가 의푸리에계수이면최소가 된다. 그최소값은 E* d N 이다. b N이증가함에따라 의푸리에급수부분합은제곱오차관점에서점점더 를잘근사화 하게된다. Bessel s Iequlity: Prsevl s Idetity: b b d d

E..3 Stooth Wve ( 톱니파 ) Fid the Fourier series o the uctio d d d d b,,, π π π 3 3. 은기함수이므로의푸리에급수이다라하면와 Gibb s pheomeo.6 Approimtio by Trigoometric Polyomils ( 삼각다항식에의한근사 )

.6 Approimtio by Trigoometric Polyomils ( 삼각다항식에의한근사 ) E..3 Stooth Wve ( 톱니파 ) Fid the Fourier series o the uctio d E* ( ) d 4 N N E* 8.45 4.969.959.69.6 Gibb s pheomeo

.6 Approimtio by Trigoometric Polyomils ( 삼각다항식에의한근사 ) PROBEM SET.6 HW: 5, 4

.7 Fourier Itegrl ( 푸리에적분 ) Fourier series re poerul tools or problems ivolvig uctios tht re periodic or re o iterest o iite itervl oly. Hoever, my problems ivolve uctios tht re operiodic d re o iterest o the hole -is. et (period: )

.7 Fourier Itegrl ( 푸리에적분 ) E. Rectgulr Wve ( 직사각형파 ) Cosider the periodic rectgulr ve () o period > give by The operiodic uctio () obtied rom i e let. otherise lim

.7 Fourier Itegrl ( 푸리에적분 )

.7 Fourier Itegrl ( 푸리에적분 ) From Fourier Series to Fourier Itegrl ( ) d b d d vdv v vdv v dv v vdv v vdv v dv v b,

.7 Fourier Itegrl ( 푸리에적분 ) From Fourier Series to Fourier Itegrl ( ) vdv v vdv v dv v vdv v vdv v dv v b, vdv v B vdv v A d B A d vdv v vdv v, : lim 푸리에적분

.7 Fourier Itegrl ( 푸리에적분 ) Fourier Itegrl 모든유한구간에서구분연속 모든점에서좌도함수와우도함수가존재 lim d lim b b d의적분이존재 는푸리에적분으로표현될수있다. 가불연속인점에서의푸리에적분값은그점에서 의좌극한값과우극한값의 평균과같다.

.7 Fourier Itegrl ( 푸리에적분 ) E. Sigle Pulse, Sie Itegrl Fid the Fourier itegrl represettio o the uctio v vvdv vdv, B v A vdv vdv d Dirichlet의불연속인자 (Discotiuous Fctor) : d 4 d

.7 Fourier Itegrl ( 푸리에적분 ) E. Sigle Pulse, Sie Itegrl Fid the Fourier itegrl represettio o the uctio v vdv vdv, B v A B A d v v vdv vdv vdv v vdv v, vdv d Dirichlet의불연속인자 (Discotiuous Fctor) : d 4 Dirichlet Discotiuous Fctor ( 불연속인자 ) : d 4 d d vdv

.7 Fourier Itegrl ( 푸리에적분 ) Sie Itegrl ( 사인적분) : Si d Si u u t dt t d t dt t Si d d

.7 Fourier Itegrl ( 푸리에적분 ) Fourier Coe Itegrl d Fourier Sie Itegrl Fourier Coe Itegrl: 우함수일때, 푸리에적분 A d, A v vdv Fourier Sie Itegrl: 기함수일때, 푸리에적분 B d, B v vdv

.7 Fourier Itegrl ( 푸리에적분 ) E. 3 plce Itegrls ( 라플라스적분 ) We shll derive the Fourier coe d Fourier e itegrls o () = e -, here > d >. The result ill be used to evlute the so-clled plce itegrls.. 푸리에코사인적분 A e v vdv e v v v e d d e. 푸리에사인적분 B e v vdv e v v v e d d e

.7 Fourier Itegrl ( 푸리에적분 ) E. 3 plce Itegrls ( 라플라스적분 ) We shll derive the Fourier coe d Fourier e itegrls o () = e -, here > d >. The result ill be used to evlute the so-clled plce itegrls... Fourier 푸리에coeitegrl 코사인적분 A A v v e e vdv e e d d. Fourier e itegrl. 푸리에사인적분 v B e vdv v B e vdv e d e d e e e v v v v v d d e v v v v d e d e

.7 Fourier Itegrl ( 푸리에적분 ) E. 3 plce Itegrls ( 라플라스적분 ) We shll derive the Fourier coe d Fourier e itegrls o () = e -, here > d >. The result ill be used to evlute the so-clled plce itegrls... Fourier 푸리에coeitegrl 코사인적분 A A v v e e vdv e e d d. Fourier e itegrl. 푸리에사인적분 v B e vdv v B e vdv e d e d e e e v v v v v d d e v v v v d e d e plce itegrls

.7 Fourier Itegrl ( 푸리에적분 ) PROBEM SET.7 HW:

.8 Fourier Coe d Sie Trsorms ( 푸리에코사인및사인변환 ) Itegrl Trsorm ( 적분변환 ): 주어짂함수를다른변수에종속하는새로운함수로만드는적분형태의변홖 예 ) plce Trsorm (Ch. 6) Fourier Coe Trsorm ( 푸리에코사인변환 ) F st s e t dt Ad, A v A ˆ c Fourier CoeTrsorm : IverseFourier CoeTrsorm F c ˆ : vdv c ˆ c d, d

.8 Fourier Coe d Sie Trsorms ( 푸리에코사인및사인변환 ) Fourier Sie Trsorm ( 푸리에사인변환 ) B B d, B v ˆ s Fourier Sie Trsorm : Iverse Fourier Sie Trsorm F s ˆ : s vdv ˆ s d, d

.8 Fourier Coe d Sie Trsorms ( 푸리에코사인및사인변환 ) E. Fourier Coe d Fourier Sie Trsorms

.8 Fourier Coe d Sie Trsorms ( 푸리에코사인및사인변환 ) E. Fourier Coe d Fourier Sie Trsorms ˆ c d ˆ s d

.8 Fourier Coe d Sie Trsorms ( 푸리에코사인및사인변환 ) ierity F c F s bg F bf g bg F bf g Coe d Sie Trsorms o Derivtives c s () 가연속이고, 축상에서절대적분가능 c s () 가모든유한구갂에서구분연속, F F c c ' F, F ' F s '' F ', F '' F c s s c s Prove!

.8 Fourier Coe d Sie Trsorms ( 푸리에코사인및사인변환 ) E. 3 A Applictio o the Opertiol Formul (9) Fid the Fourier coe trsorm e i to ys

.8 Fourier Coe d Sie Trsorms ( 푸리에코사인및사인변환 ) E. 3 A Applictio o the Opertiol Formul (9) Fid the Fourier coe trsorm e ' '' '' '', e e e c c c c c c F F F F F F 이므로미분에의하여 i to ys

.8 Fourier Coe d Sie Trsorms ( 푸리에코사인및사인변환 ) PROBEM SET.8 HW: 4, 8

.9 Fourier Trsorm. Discrete d Fst Fourier Trsorms ( 푸리에변환. 이산및고속푸리에변환 ) Comple Form o the Fourier Itegrl ( 푸리에적분의복소형식 ) A B d ( v)( v) dvd ( v)( v) dvd B A iv ve e i Prove! v v vdv i dvd Prove! vdv

.9 Fourier Trsorm. Discrete d Fst Fourier Trsorms ( 푸리에변환. 이산및고속푸리에변환 ) Comple Form o the Fourier Itegrl ( 푸리에적분의복소형식 ) A B d ( v)( v) dvd ( v)( v) dvd B A iv ve e i Prove! v v vdv i dvd Prove! vdv

.9 Fourier Trsorm. Discrete d Fst Fourier Trsorms ( 푸리에변환. 이산및고속푸리에변환 ) Comple Form o the Fourier Itegrl ( 푸리에적분의복소형식 ) iv i [ ve dv] e d ˆ i e d i ˆ e d F st s e t dt

.9 Fourier Trsorm. Discrete d Fst Fourier Trsorms ( 푸리에변환. 이산및고속푸리에변환 ) Comple Form o the Fourier Itegrl ( 푸리에적분의복소형식 ) Comple Fourier Itegrl: Fourier Trsorm: F iv ve i ˆ e d dvd Iverse Fourier Trsorm: i ˆ e d Eistece o the Fourier Trsorm ( 푸리에변환의존재 ) 가 축상에서절대적분가능이고모든유한구간에서구분연속 i 의푸리에변환 ˆ 는존재하며, ˆ e d

.9 Fourier Trsorm. Discrete d Fst Fourier Trsorms ( 푸리에변환. 이산및고속푸리에변환 ) E. Fourier Trsorm i d otherise

.9 Fourier Trsorm. Discrete d Fst Fourier Trsorms ( 푸리에변환. 이산및고속푸리에변환 ) E. Fourier Trsorm i d otherise ˆ i i e i i e d e e i i i i

.9 Fourier Trsorm. Discrete d Fst Fourier Trsorms ( 푸리에변환. 이산및고속푸리에변환 ) ierity. Fourier Trsorm o Derivtives ( 도함수의푸리에변환 ) ierity o the Fourier Trsorm Fourier Trsorm o Derivtives 함수 () 가 축상에서연속 F bg F bfg () 가 축상에서절대적분가능 F, ' if, F '' F Prove!

.9 Fourier Trsorm. Discrete d Fst Fourier Trsorms ( 푸리에변환. 이산및고속푸리에변환 ) E. 3 Applictio o the Opertiol Formul (9) Fid the Fourier trsorm o F 4 e e ( ) e

.9 Fourier Trsorm. Discrete d Fst Fourier Trsorms ( 푸리에변환. 이산및고속푸리에변환 ) E. 3 Applictio o the Opertiol Formul (9) Fid the Fourier trsorm o F 4 e e ( ) e F e F e ' F e ' i F e i e 4 i e 4

.9 Fourier Trsorm. Discrete d Fst Fourier Trsorms ( 푸리에변환. 이산및고속푸리에변환 ) Covolutio ( 합성곱 ) Covolutio: g pg pdp pgpdp Covolutio Theorem ( 합성곱정리 ): 함수 () 와 g() 가구분연속이고, 유한하며, 축상에서절대적분가능 g Fg F F g Fg F F Prove ug -p=q

.9 Fourier Trsorm. Discrete d Fst Fourier Trsorms ( 푸리에변환. 이산및고속푸리에변환 ) PROBEM SET.9 HW: 4