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Egieerig Mthetics II Pro. Dr. Yog-Su N (-6 Tel. 88-74) Tet book: Erwi Kreysig Advced Egieerig Mthetics 9 th Editio Wiley (6)

h. 5 Power Series Tylor Series 5. Sequeces Series overgece Tests 5. Power Series 5. Fuctios Give by Power Series 5.4 Tylor d Mcluri Series 5.5 Uior overgece

h. 5 Power Series Tylor Series ( 거듭제곱급수와테일러급수 ) 거듭제곱급수는대표적인해석함수이고 역으로모든해석함수들은 테일러급수라고하는거듭제곱급수로나타낼수있다.

5. Sequeces Series overgece Tests ( 수열과급수 수렴판정 ) Sequece ( 수열 ) : Ter ( 항 ): 각각의양의정수 Rel Sequece ( 실수열 ): 각항들이실수인수열 overgece ( 수렴 ) 에대하여한개의수 overget Sequece ( 수렴수열 ): 또는 또는 간단히 이배정될때 은극한값(Liit) c를갖는수열 li c 또는간단히 c Diverget Sequece ( 발산수열 ): 수렴하지않는수열 E. overget d Diverget Sequeces 수열 i i i 4 은극한값. 에수렴한다. 수열 i i i 과 i 인 은발산한다

5. Sequeces Series overgece Tests ( 수열과급수 수렴판정 ) Sequeces o the Rel d the Igiry Prts ( 실부와허부의수열 ) 에수렴이에수렴하고허부의수열이실부의수열에수렴이의수열복소수 b y y y ib c iy E. Sequeces o the Rel d the Igiry Prts.. 4 4 로수렴한다은에수렴한다는극한값허부의수열에수렴하고은극한값실부의수열에서 i y i iy

5. Sequeces Series overgece Tests ( 수열과급수 수렴판정 ) Series ( 급수 ): th Prtil Sus ( 부분합 ): s Ter ( 급수의항 ): overget Series ( 수렴급수 ): 부분합의수열이수렴 Su ( 합 ) or Vlue ( 값 ): lis s s Diverget Series ( 발산급수 ): 수렴하지않는급수 인 s Reider ( 나머지 ): R Rel d Igiry Prts ( 실부와허부 ) iy 인급수 이합을 s u iv로가지면서수렴 이수렴하여그합이 u가되고 y y 이수렴하여그합이 v가되는것

5. Sequeces Series overgece Tests ( 수열과급수 수렴판정 ) Tests or overgece d Divergece o Series ( 급수에대한수렴 발산판정법 ) Divergece 급수 이수렴하면 li 이다. 따라서 li 이면 급수는발산한다. c) Hroicseries 급수에대한 uchy 의수렴원리 4 급수가수렴 임의의 에대하여부등식 p 모든 N 그리고 p 에대하여 을만족하는 N 일반적으로 에의존이 존재하는것이다. Absolutely overget ( 절대수렴 ): 급수의각항들의절대값의합이수렴하는경우 oditiolly overget ( 조건수렴 ): 급수는수렴하나각항들의절대값의합은발산하는경우 급수가절대수렴하면 수렴한다. e) 4

5. Sequeces Series overgece Tests ( 수열과급수 수렴판정 ) 비교판정법 (opriso Test ) 급수 이주어졌을때 b 에대하여을만족하는음이아닌 실수항의수렴급수 b b 을찾아낼수있다 주어진급수는수렴하며 또한절대수렴한다. Geoetric Series ( 기하급수 ): q q q q 로수렴 발산 q q Rtio Test ( 비판정법 ) 모든 어떤수 N보다큰모든 N에대하여 인어떤급수 에대하여 에대하여 q 이면 이급수는발산한다. N 이면 이급수는절대수렴한다. c) c) Hroicseries 4

5. Sequeces Series overgece Tests ( 수열과급수 수렴판정 ) Rtio Test ( 비판정법 ) i ii 인어떤급수 에대하여 li L 이면 그급수는절대수렴한다. L 이면 그급수는발산한다. L이다. iii L 이면 그급수는수렴할수도발산할수도있으므로 이판정은실패이다. e) 4 4 9 6 E. 4 Rtio Test 다음급수는수렴하는가 발산하는가? ( 먼저추정해보고계산하라 ) 75i!! 75i 75i

5. Sequeces Series overgece Tests ( 수열과급수 수렴판정 ) Rtio Test ( 비판정법 ) i ii 인어떤급수 에대하여 li L 이면 그급수는절대수렴한다. L 이면 그급수는발산한다. L이다. iii L 이면 그급수는수렴할수도발산할수도있으므로 이판정은실패이다. e) 4 4 9 6 E. 4 Rtio Test 다음급수는수렴하는가 발산하는가? ( 먼저추정해보고계산하라 ) 75i! i i 75! 75!! 75i 75i 75i 5 L이므로이급수는수렴한다.

5. Sequeces Series overgece Tests ( 수열과급수 수렴판정 ) Root Test ( 근판정법 ) 어떤급수 에대하여 어떤수 N보다큰모든 에대하여 q N 이면 이급수는절대수렴한다. 무한히많은 에대하여 이면 이급수는발산한다. c) Root Test ( 근판정법 ) c) Hroicseries 4 급수 i ii 에대하여 li L 이면 그급수는절대수렴한다. L 이면 그급수는발산한다. iii L 이면 판정은실패이다. L이다. e) 4 4 9 6

5. Sequeces Series overgece Tests ( 수열과급수 수렴판정 ) PROBLEM SET 5. HW: 7 (rtio test) 8 (copriso test)

5. Power Series ( 거듭제곱급수 ) Power Series ( 거듭제곱급수 ) 의거듭제곱으로된거듭제곱급수: 계수(oeicie t) : 복소수 중심(eter ) : 복소수 의거듭제곱으로된거듭제곱급수: E. 원판안에서의수렴 기하급수 기하급수 은 일때절대수렴하고 일때발산한다. E. 모든 에대한수렴 e 의 Mcluri 급수!!!

5. Power Series ( 거듭제곱급수 ) Power Series ( 거듭제곱급수 ) : (eter ) : (oeicie t) : 복소수복소수의거듭제곱으로된거듭제곱급수중심계수 : 의거듭제곱으로된거듭제곱급수 E. 원판안에서의수렴 기하급수. 일때발산한다일때절대수렴하고은기하급수 E. 모든 에대한수렴.!!! Mcluri!! 에대해절대수렴한다이므로모든은급수의 e Rtio test

5. Power Series ( 거듭제곱급수 ) overgece o Power Series ( 거듭제곱급수의수렴 ) 모든거듭제곱급수는중심 에서수렴한다. 거듭제곱급수가점 에서수렴 보다 에더근접한모든 즉 인모든 에대해서절대수렴한다. 거듭제곱급수가 에서발산하면 보다 로부터더떨어진모든 에대하여발산한다.

5. Power Series ( 거듭제곱급수 ) Rdius o overgece o Power Series ( 거듭제곱급수의수렴반지름 ) 수렴원 (ircle o overgece): 수렴하는모든점을포함하는가장작은원 수렴반지름 (Rdius o overgece): 수렴원의반지름 R이수렴원 R 수렴반지름 원의내부 R을만족하는모든 에대하여수렴하고 원의외부 R을만족하는모든 에대하여발산한다. R : 급수가모든 에대해수렴할때 R : 급수가단지중심 에서만수렴할때

5. Power Series ( 거듭제곱급수 ) Rdius o overgece R ( 수렴반지름 ) li L 일때 L 이면 R 이다. 즉 거듭제곱급수는모든 에대해수렴한다. L 이면 R li L uchy - Hdrd 공식 li 이면 R 이다. 단지중심 에서만수렴한다. E. 5 수렴반지름 거듭제곱급수! i 의수렴반지름은!?

5. Power Series ( 거듭제곱급수 ) Rdius o overgece R ( 수렴반지름 ) li L 일때 L 이면 R 이다. 즉 거듭제곱급수는모든 에대해수렴한다. L 이면 R li L uchy - Hdrd 공식 li 이면 R 이다. 단지중심 에서만수렴한다. E. 5 수렴반지름 거듭제곱급수 R li!!!! li 이급수는반지름이! i 의수렴반지름은!?!!!! 이고중심이 4 li i인열린원판 i 이다. 4 4 안에서수렴한다.

5. Power Series ( 거듭제곱급수 ) PROBLEM SET 5. HW: 8 () (b) (d)

5. Fuctios Give by Power Series ( 거듭제곱급수로주어지는함수 ) otiuity ( 거듭제곱급수의연속성 ) 함수함수 가 R 인수렴반지름을가지는거듭제곱급수로나타낼수있다면 는 에서연속이다. Idetity Theore ( 항등정리 ). Uiqueess ( 유일성 ) 함수는같은중심을갖는두개의서로다른거듭제곱급수로표현될수없다. R에서수렴하는두거듭제곱급수 과 b b b 이 모든 에대해서똑같은합을갖는다. 이들급수는항등적으로같다. 즉 함수 가임의의중심 를갖는거듭제곱급수로표현된다면 이표현은유일하다. b b b

5. Fuctios Give by Power Series ( 거듭제곱급수로주어지는함수 ) Opertios o Power Series ( 거듭제곱급수의연산 ) Terwise Additio or Subtrctio ( 항별덧셈또는항별뺄셈 ) 수렴반지름이R 과 R 인두개의거듭제곱급수를항별덧셈또는항별뺄셈하면 R 과 R 중작은것과같은수렴반지름을갖는거듭제곱급수를얻는다. Terwise Multiplictio ( 항별곱셈 ): 첫번째급수의각항에두번째급수의각항을곱하여 의차수가같은것을모으는 것을의미한다. 두개의급수가갖는수렴원에모두속하는 에대해절대수렴한다. uchy 곱(uchy Product) : b b b b b b b b b Derived Series ( 미분급수 ): 항별미분에의하여얻은거듭제곱급수

5. Fuctios Give by Power Series ( 거듭제곱급수로주어지는함수 ) Terwise Dieretitio o Power Series ( 거듭제곱급수의항별미분 ) 거듭제곱급수의미분급수는원래의급수와똑같은수렴반지름을갖는다. Terwise Igegrtio o Power Series ( 거듭제곱급수의항별적분 ) 급수 을항별로적분하여얻어지는거듭제곱급수 은원래의급수와동일한수렴반지름을갖는다. Power Series Represet Alytic Fuctios 이아닌수렴반지름 R을갖는거듭제곱급수는 그것의수렴원안에있는모든점에서해석함수를표현한다. 이함수의도함수는원래의급수를항별로미분하여얻어지며 원래의급수와동일한수렴반지름을갖는다. 도함수도해석함수를표현한다.

5. Fuctios Give by Power Series ( 거듭제곱급수로주어지는함수 ) PROBLEM SET 5. HW:

5.4 Tylor d Mcluri Series ( 테일러급수와 Mcluri 급수 ) Tylor Series: 반시계방향적분방향를포함하는단순닫힌경로 : :! d i

5.4 Tylor d Mcluri Series ( 테일러급수와 Mcluri 급수 ) 반시계방향적분방향안의임의의단순닫힌경로에속해있는를둘러싸면서내부전체가일반적으로에서모든계의도함수를갖고그도함수도역시해석적이다에서해석적가영역 : :!! '' '. D D d i d i d i D D Tylor Series: 반시계방향적분방향를포함하는단순닫힌경로 : :! d i

5.4 Tylor d Mcluri Series ( 테일러급수와 Mcluri 급수 ) Tylor Series: Mcluri Series: Tylor s Forul 을가지는테일러급수중심 : ) (Reider! ''! '! d i R R 나머지 반시계방향적분방향를포함하는단순닫힌경로 : :! d i

5.4 Tylor d Mcluri Series ( 테일러급수와 Mcluri 급수 ) Tylor s Forul R d i d i d i q q q q q q q q q q q q q d i ) ( ) ( ) (

5.4 Tylor d Mcluri Series ( 테일러급수와 Mcluri 급수 ) Tylor s Theore : : D에서의임의의점 계수 정의역 D에서해석적 중심이 이고 은부등식 를표현하는거듭제곱급수는 가해석적이되는중심이 인최대의열린원판에서유효하다. M r 을만족한다. ( M 원 정확히한개가존재하며 Sigulrity Rdius o overgece ( 특이성 수렴반지름 ) - r 위에서의 Power Series s Tylor Series ( 테일러급수로서의거듭제곱급수 ) 이아닌수렴반지름을갖는거듭제곱급수는그합의테일러급수이다. 의최대값 ) 테일러급수의수렴원은적어도하나의 () 의특이점 ( 미분가능하지않은점 ) 이존재 테일러급수의수렴반지름은중심에서부터 () 의가장가까운특이점까지의거리와 일치 ( 때때로수렴반지름이거리보다더커질수있음 ) uchy 의부등식 (4.4)! d ( ) ( )! M r

5.4 Tylor d Mcluri Series ( 테일러급수와 Mcluri 급수 ) Iportt Specil Tylor Series ( 주요한테일러급수 ) E. Geoetric Series E. Epoetil Fuctio!! e

5.4 Tylor d Mcluri Series ( 테일러급수와 Mcluri 급수 ) E. Trigooetric d Hyperbolic Fuctios 5!!! sih 5!!! si 4!!! cosh 4!!! cos 5 5 4 4 E. 4 Logrith L i i i i e e i e e si cos e e e e sih cosh y i y e iy si cos

5.4 Tylor d Mcluri Series ( 테일러급수와 Mcluri 급수 ) Prcticl Methods ( 실제적인방법 ) E. 5 Substitutio ( 대입법 ). Mcluri 6 4 급수를구하라의 E. 6 Itegrtio ( 적분 ) 5 rct '. Mcluri rct 5 이고급수를구하라의 E. 7 Developet by Usig the Geoetric Series ( 기하급수를이용한전개 ). c c c c c c c c c c c 의거듭제곱으로전개하라을일때

5.4 Tylor d Mcluri Series ( 테일러급수와 Mcluri 급수 ) Bioil Series ( 이항급수 )! )! ( )! ( ) (!! E. 8 Bioil Series Reductio by Prtil Frctios ( 부분분수에의한분해 ) 944 75 8 54 9 8 9 9. 8 5 9 의테일러급수를구하라을중심으로하여다음함수

5.4 Tylor d Mcluri Series ( 테일러급수와 Mcluri 급수 ) PROBLEM SET 5.4 HW: () e cos sih (b) (c)

5.5 Uior overgece ( 균등수렴 ) Uior overgece ( 균등수렴 ) 합 s 를갖는급수 임의의 에대하여 부등식s s 모든 N 그리고 G에있는모든 만족하는 에의존하지않는정수N N 은영역 G에서균등수렴한다. 이존재 에대하여을

5.5 Uior overgece ( 균등수렴 ) Uior overgece o Power Series ( 거듭제곱급수의균등수렴 ) 이아닌수렴반지름 R을갖는거듭제곱급수 은 반지름이 r R인모든원판 r에서균등수렴한다. otiuity o the Su ( 합의연속성 ) 급수 각항 F 이영역 G에서균등수렴한다. 가 G에있는점 에서연속이면 함수 F 도 에서연속이다.

5.5 Uior overgece ( 균등수렴 ) E. Series o otiuous Ters with Discotiuous Su. 기하급수 는실수을생각해보자 li : s s s s s s s 항까지의부분합.. 을포함하는구간에서균등수렴일수없다또한모든항들이연속이고그급수가수렴더욱이절대수렴도하지만그합은불연속인점이있다

5.5 Uior overgece ( 균등수렴 ) u E. Series or which Terwise Itegrtio is Not Perissible e 이라놓고구간 에서 단 u u 을고려해보자 i 항까지의부분합 : 급수 F u u li s li u s u u u u u u u ii F d 항별적분하고 s d li d li s d li u d li e d li e u 임을적용하면

5.5 Uior overgece ( 균등수렴 ) Terwise Itegrtio ( 항별적분 )... 이다은수렴하고그합은에서의임의의경로이다는에서균등수렴한다이영역급수 d F d d d G G F Terwise Dieretitio ( 항별미분 ). ' ' ' ' ' ' '. 에대하여이다에서의모든에서연속이다각항들이에서균등수렴하고이급수에서균등수렴한다이영역급수 G F G G G F

5.5 Uior overgece ( 균등수렴 ) Weierstrss M-Test or Uior overgece ( 균등수렴에대한판정법 ) 평면의영역 G에있는모든 와모든 에대하여 M 인상수항의수렴급수 M M M 이존재한다 은영역 G에서균등수렴한다. E. 4 Weierstrss M-Test 급수 은원판 cosh 에서균등수렴하는가? cosh 이므로 Weierstrss M 판정법과 의수렴성에의해균등수렴이입증된다.

5.5 Uior overgece ( 균등수렴 ) E. 5 No Reltio Betwee Absolute d Uior overgece ( 절대수렴과균등수렴의무관성 ). ii.. i. 이급수는반드시절대수렴하지않는다이발산하기때문에이고에대하여고정된점에무관하므로균등수렴을증명해준다이을얻는다에대하여과모든주어진은이급수의첫번째항의절대값을넘지않는다나머지을극한값으로갖는단조감소수열을형성하는양과음의교대항으로된급수이므로각항의절대값들이전체실수축위에서균등수렴하지만절대수렴하지않는다은급수 k k ε N ε ε N R R

5.5 Uior overgece ( 균등수렴 ) PROBLEM SET 5.5 HW: