수리논술나침반 Ⅱ 28 한양대학교수시 제시문 ( 가 ) 희섭이는친구들과콘모양의아이스크림을나누어먹기위해칼로아이스크림을여러가지다른각도로잘라보았다. 그랬더니그단면의테두리모양이원, 타원, 포물선및쌍곡선의일부모양이됨을관찰하였다. 이것들을모두변수, 에대한이차방정식으로나타낼수있는데, 이때그이차방정식의꼴로나타낼수있는곡선을이차곡선이라한다. ( 나 ) 최근컴퓨터와인터넷의급속한발달로인해안전한전자상거래의필요성이대두되고있다. 그래서더안전한암호시스템을위하여삼차곡선이이용되고있다. 여기서삼차곡선이란, 에대한삼차방정식의꼴로나타낼수있는곡선을말한다. 삼차곡선은대수적, 기하적인측면에서좋은구조를가지고있으며, 삼차곡선의성질들을활용한차세대암호시스템구현이수학자, 암호학자등에의하여이루어지고있다. ( 다 ) 희섭이는학교에서피타고라스의정리를공부하고나서선생님께다음과같은질문을하였다. 직각삼각형의세변의길이,, 가모두자연수인직각삼각형은무수히많이있을까요? 선생님은이문제가기원전피타고라스학파에의해이미연구가되었으며, 이러한자연수세쌍 를피타고라스의세쌍이라고부른다는것을알려주었다. 그리고피타고라스의세쌍을찾는문제는단위원위의유리수좌표를갖는점을구하는문제와같다는것을설명해주었다. 이처럼곡선위의점 의좌표 에서, 가모두유리수일때, 점 를이곡선의유리수점이라고부른다. ( 라 ) 를이차곡선또는삼차곡선이라고하자. 희섭이는단위원의경우처럼곡선 의유리수점도무수히많을것이라고추측하고, 이들을구하기위한다음과같은알고리즘을제안하였다. ( 단계 1) 곡선 의한유리수점 를고른다. ( 단계 2) 를지나며기울기가유리수 인직선 를생각한다. ( 단계 3) 직선 와곡선 의교점들중 와다른유리수점하나를 라한다. ( 단계 4) 기울기 를달리해가며교점 를구해나가면무수히많은유리수점을얻을수있다.([ 그림 1] 은곡선 가단위원이고 가 인경우이다.) 260
28. 한양대학교수시 [ 그림 1] [ 그림 2] [1] 제시문 ( 라 ) 에서희섭이가제안한알고리즘을실행하는데는몇가지문제점이있을수있다. 곡선,, 을예로들어, 알고리즘에단계별로어떠한문제점이있을수있는지지적하고, 곡선 가어떠한조건을만족할때알고리즘이끝까지실행될수있는지논하시오. [2] [ 그림2] 에나와있는삼차곡선 을생각하자. 희섭이는알고리즘에제시된방법을응용하여, 의두유리수점 과 로부터유리수점 를얻었다. 또한 의한유리수점 으로부터유리수점 을얻었다. 희섭이가어떻게해서이러한유리수점들을얻게되었는지그과정을논하시오. 이를토대로 의한유리수점 가주어져있을때, 오직 만으로 와다른유리수점을얻기위해어떠한방법들이있는지논하시오. 제시문분석 제시문 ( 가 ) 와제시문 ( 나 ) 에서이차곡선의종류와삼차곡선을설명하였고, 제시문 ( 다 ) 에서곡선위의유리수점에대하여정의하였다. 이차곡선과삼차곡선에서곡선위의한유리수점을고른후기울기가유리수인직선과의교점을구하는방법을통해곡선위에무수히많은유리수점을구할수있는알고리즘을제시문 ( 라 ) 에서제시하였다. 261
수리논술나침반 Ⅱ 논제분석 제시문 ( 라 ) 에서제시한알고리즘으로주어진이차곡선과삼차곡선에서유리수점을구하였을때생기는오류를찾고, 알고리즘이끝까지실행될수있는방법 에대한논의를요구하고있다. 유리수의정의인, ( 단, 와, 와 는서로소인정수 ) 와수의성질을이용하여주어진이차곡선과삼차곡선을정리하면모순이생기는것을보임으로써주어진알고리즘에오류가있음을설명할수있다. 또한, 오류를찾는과정에서주어진알고리즘을끝까지실행하려면곡선위에유리수점이무수히많이존재해야함을알수있다. 삼차곡선 위의두유리수점이주어졌을때다른유리수점을찾는과정과곡선위의한유리수점이주어졌을때다른유리수점을찾는과정을설명할것을요구하고있다. 삼차곡선위의두점을지나는직선의방정식과삼차곡선을연립하여유리수점을찾고, 한점에서의접선의방정식을구하여삼차곡선과연립하여곡선위의다른유리수점을찾을수있다. 이를일반화하면곡선위에한유리수점이주어졌을때그점을지나는직선의방정식을이용하여다른유리수점을구할수있다. 배경지식쌓기 유리수의정의정수의비로나타낼수있는수. 정수와분수가있으며, 소수로나타내면유한소수나순환소수가된다. 유리수의집합을 정수의집합을 라할때 좌표평면에서두점 를지나는직선의방정식 일때, 일때, 곡선 위의점 에서의접선의방정식 262
28. 한양대학교수시 풀어보기풀어보기 1. 이무리수임을증명하여라. 2. 좌표평면위의점 를 모두유리수이면유리수점, 모두정수이면정수점이라부르기로한다. 다음의명제중옳은것을모두고르면? ㄱ. 원점을지나는직선중정확히두개의정수점만지나는것이무한히많이있다. ㄴ. 원점을지나는직선중원점이외에는어떠한유리수점도지나지않는것이무한히많이있다. ㄷ. 원점을중심으로하는원중무한히많은유리수점을지나는것이무한히많이있다. 1 ㄱ 2 ㄴ 3 ㄷ 4 ㄱ, ㄴ 5 ㄴ, ㄷ 3. 곡선 는점 을지나고, 이점에서의접선의방정식이 라고할때, 상수 의값을구하여라. 263
수리논술나침반 Ⅱ 개요짜기 답안작성 264
28. 한양대학교수시 읽기자료 페르마의마지막정리 (Fermat's last theorem) 이 보다큰자연수일때, 방정식 을만족하는양의정수 는존재하지않는다. 이것이페르마의마지막정리 (Fermat's last theorem) 의내용이다. 페르마 (Pierre de Fermat) 는자기가발견한것들을발표하지않고다른사람과주고받은편지에쓰거나, 책의여백에적어놓곤했다. 페르마가죽은뒤그의아들이부친의업적을정리해발표했는데이내용은디오판토스 (Diophantos) 의책 ' 산술 (Arithmetica)' 의여백에적혀있었다고한다. 페르마는이내용을 1630년경에썼다고알려져있다. 이정리옆에는또 " 나는정말놀라운증명방법을발견했다. 하지만이여백이좁아서증명을쓸수가없다." 라고적혀있었다. 페르마가이런식으로써놓은다른것들은모두옳다는것이밝혀졌지만이 ' 정리 ' 만은오래도록증명되지못했다. 그래서이것이 ' 페르마의마지막정리 (Fermat's last theorem)' 라고불리게된것이다. 하지만페르마자신도 ' 놀라운증명방법 ' 에오류가있다는것을나중에깨달았던것같다. 왜냐하면다른모든발견에대해서는주고받은편지에 ' 이문제를풀어보라 ' 는식으로써놓았기때문이다. 그런데이문제에대해서는 이 3 또는 4일때에대해서만언급이있을뿐일반적인 에대한정리는다시는언급되지않았다. 1894년까지, 페르마의마지막정리는증명된다고해도별쓸모가없는순전히호기심을불러일으키는문제일뿐이었다. 그러나 1894년, 이문제가타원함수에대한어떤문제와관계가있다는것이밝혀졌고엄청나게많은다른문제들을풀수있는출발점이되었다. 페르마의마지막정리를증명하는것은곧 20세기수학에한획을긋는역사적인일이었던것이다. 간략하게이페르마의마지막정리에대해사람들이어떤노력을해서어떤발전이있었는지알아보자. 페르마자신은 직각삼각형의넓이는제곱수가될수없다 즉, 가정수일때 이면, 는제곱수가될수없다는것을증명 했다 ( 페르마가남긴글중증명이라고는이것하나뿐이다 ). 이것을사용하면 이 일경우는증명이된다. 그러고나면, 이홀수인소수일경우만을증명하면된다는것이밝혀진다. 1753년, 오일러 (Leonhard Euler) 는자신이페르마의마지막정리를증명했다고주장했으나그증명에는오류가있었다. 제르맹 (Sophie Germain) 은페르마의마지막정리를두경우, 즉 265
수리논술나침반 Ⅱ (1) 중어느것도 의배수가아닐때 (2) 중하나만이 의배수일때로나눌수있다는것을밝히고 100 이하의 에대해경우 (1) 을증명했다. 르장드르 (Legendre) 는제르맹의방법을확장하여 197 이하의 에대해경우 (1) 을증명했다. 1825년, 디리클레 (Dirichlet) 가 에대해경우 (2) 를증명함으로써 인경우의페르마의마지막정리를증명했다. 또한, 1832년에 인경우의페르마의마지막정리를증명했다. 1839년, 라메 (Lamé) 가 인경우를증명했다. 그증명은너무나복잡해서무슨새로운접근을하지않는한더큰 에대해증명하는것은불가능할것으로보였다. 년, 라메는페르마의마지막정리를증명했다고파리아카데미에밝혔으나쿠머 (Kummer) 에의해 37, 59, 67 등의특수한경우에는그증명을적용할수없다는것이밝혀졌다. 그뒤쿠머 (Kummer), 미리마노프 (Mirimanoff), 비퍼리히 (Wieferich), 푸르트뱅글러 (Furtwängler), 판디버 (Vandiver) 등이이특수한경우들을하나씩증명해냈다. 그러나 1915년옌센 (Jensen) 에의해이런특수한경우들은무한히존재한다는것이밝혀졌다. 그래도쿠머가사용했던방법은이후계속적용되었고, 컴퓨터의도움을받아 1993년까지 이 40,000 이하인경우는페르마의마지막정리가참이라는것이밝혀졌다. 1983년, 폴팅즈 (Gerd Faltings) 는, 일때 인정수는많아봐야유한개라는, 크게발전된결과를내놓았다. 그러나그 ' 유한개 ' 라는것이모든 에대해 0이된다는결과는아무래도나올것같지않았다. 마침내, 프린스턴대학의와일즈 (Andrew Wiles) 가 1993년 6월 21일, 22일, 23일에영국아이잭뉴턴연구소에서강의하면서페르마의마지막정리를증명했다. 그러나 12월 4일, 와일즈는증명에문제가있다며발표를철회했고, 이듬해인 1994년테일러 (Richard Taylor) 와함께그문제를해결하려고시도했다. 그리고 1994년 10 월 6일, 와일즈는세명의다른수학자에게전해의증명보다더간단해진새로운증명을보내왔고, 페르마의마지막정리는증명되었다. 1908년, 파울볼프스켄 (Paul Wolfsken) 의유지에따라괴팅엔왕립과학원은 2007 년 9월 13일을기한으로페르마의마지막정리를증명하는사람에게 10만마르크의상금을걸었다. 이것은페르마의마지막정리에수많은사람이달려들어잘못된증명을쏟아내게하는한편, 대중에게이문제를널리알리는계기가되었다. 1997년 6월 27일, 와일즈는이상금을받았다. - 출처 : 수학사랑 266
28. 한양대학교수시 예시답안 풀어보기 1 이유리수라고가정하자. 즉, ( 는서로소인자연수 ) 의꼴로나타낼수있다. 양변을제곱한다음분모를양변에곱하면 이되고, 는 의배수이다. 는자연수 ) 라두면 이되고 도 의배수이다. 이것은 와 가서로소라는사실에모순이다. 따라서 은무리수이다. 풀어보기 2 ㄱ. 원점을지나는직선이정수점 을지나면직선의방정식은 이되고, 임의의정수 에대하여정수점 도지나게된다. 따라 서문항ㄱ은옳지않다. ㄴ. 원점을지나는직선중기울기가무리수인것은원점이외의유리수점을지날수없다. 따라서문항ㄴ은옳다. ㄷ. 이정수일때 이라하면 이되어원점을중심 으로하는단위원주상에있게된다. 따라서 은무한히많은유리수점 을지난다. 을유리수라고하고 를 의유리수점이라고하면 는 의유리수점이된다. 따라서문항ㄷ은옳다. 풀어보기 3 라놓으면 이고, 는 을지나므로 이다. 또한, 에서의접선의기울기가 이므로 이다. 따라서, 이다. 논제 1 곡선 이유리수점, ( 단, 와, 와 는서로소인정수 ) 267
수리논술나침반 Ⅱ 를가진다고하자. 즉 이면 이되고 를 각각 라하면위식은 을만족하는 이아닌정수 이존재하는가? 하는문제로바뀐다. 그런데임의의정수를제곱하여 로나누면나머지는 또는 밖에없다. 따라 서 을 로나누면나머지는 또는 이고, 을 로나눈나머지는 또는 이다. 그런데두값이같으려면좌우변모두 로나눈나머지는 이되어야하므로 은짝수가되어야하고동시에 와 도짝수가되어야한다. 그러나이것 은 와, 와 는서로소라는사실에모순이다. 즉, 곡선 은유리 수점을가지지않는다. 따라서알고리즘의 ( 단계 1) 을실행할수없다. 곡선 는유리수점이두점 밖에존재하지않는다. 왜냐하면 이아닌유리수점 가존재한다고하면 에서좌변은무리수이고우변은유리수가되어모순이나온다. 즉, 기울기가유리수인직선위의모든점이유리수점은아니라서직선과곡선의또다른교점이꼭유리수점이된다는보장은없다. 따라서알고리즘의 ( 단계 3) 에서문제점이생긴다. 곡선 는유리수점이 뿐이고나머지들은모두유리수점 이아니다. 왜냐하면, 곡선 가 이외의유리수점을가진다 고하자. 즉, ( 단, 와, 와 는서로소인 이아닌정수 ) 인 가존재한다고하면 이고이것을정리하면 ( 단, 는 이아닌정수 ) 가된다. 이것은 페르마의마지막정리 에모순이다. 그러므로유리수점은존재하지않는다. [ 페르마의마지막정리 ] 인임의의자연수 에대해 을만족하는 이아닌정수해 는존재하지않는다. 따라서 ( 단계 1) 에서 ( 단계 3) 까지를수행하더라도무수히많은유리수점을찾을수는없다. 268
28. 한양대학교수시 이러한알고리즘을끝까지실행하려면곡선 위에유리수점이무수히많이존재 해야한다.( 예를들어원인경우는반지름이 유리수 꼴이되어야한다.) 논제 2 두점, 을지나는직선 와 곡선 의교점을구하면 이므로 이다. 그러므로두유리수점 과 로부터유리수점 을얻을수있다. 곡선 위의점 에서접선 은 이 다. 곡선 와접선 의교점을구하면 이므로 이다. 그러므로유리수점 에서유리수점 을얻을수있다. 의두유리수점을각각 와 라하자. 이때, 두점 를지나는직선이곡선 와만나는점을 라하면점 도유리수점이다. 점 를 축에대칭이동시킨점을 라하면 도유리수점이다. 같은방법으로두점 을지나는직선이곡선 와만나는점을 라하고이점을 축에대칭이동시킨점을 이라하면 와 도유리수점이다. 이와같은방법을계속하면곡선 위의유리수점을얻을수있다. 269