행렬 2012학년도 9월 2012학년도수능 2012 9 월 (2 점) 행렬 에대하여행렬 의모든성분의합은? 1) 4 1 2 3 4 5 2012 수능 (2 점) 행렬 의역행렬 의모든성분의합은? 4) 2 1 2 3 4 5 2012 9 월 (3 점) 좌표평면에서두일차변환 를나타내는행렬이각각 일때, 합성변환 에의하여 점 이옮겨지는점의좌표는? 2) 1 1 2 3 4 5 2012 수능 (4 점) 두이차정사각행렬, 가, 를만족시킬때, 옳은것만을 < 보기> 에서있는대로고른 것은? ( 단, 는단위행렬이다.) 5) 5 2012 9 월 (4 점) 행렬 합은? 3) 1 와이차정사각행렬 가다음조건을만족시킬때, 행렬 의 성분과 성분의 ㄱ. ㄴ. ㄷ. 1 ㄱ 2 ㄴ 3 ㄱ, ㄴ 4 ㄱ, ㄷ 5 ㄱ, ㄴ, ㄷ ( 가) 이다. ( 나) 이고, 이다. 1 2 3 4 5 1
행렬 2013학년도 9월 2013학년도수능 행렬 2013 9 월 (2 점) 에대하여행렬 의모든성분의합은?6) 4 1 2 3 4 5 2013 수능 (2 점) 두행렬 1 2 3 4 5 에대하여행렬 의모든성분의합은?8) 4 2013 9 월 (4 점) 역행렬이존재하는두이차정사각행렬, 가 를만족시킨다. 옳은것만을 < 보기> 에서 있는대로고른것은? ( 단, 는단위행렬이다.) 7) 3 ㄱ. 의역행렬이존재한다. ㄴ. 이면 이다. ㄷ. 이면 이다. 1 ㄱ 2 ㄴ 3 ㄱ, ㄷ 4 ㄴ, ㄷ 5 ㄱ, ㄴ, ㄷ 2013 수능 (4 점) 두이차정사각행렬 A B 가, 를만족시킬때, 옳은것만을 < 보기> 에서있는대로 고른것은? ( 단, 는단위행렬이다.) 9) 3 ㄱ. ㄴ. ㄷ. ( 단, 는영행렬이다.) 1 ㄴ 2 ㄷ 3 ㄱ, ㄴ 4 ㄱ, ㄷ 5 ㄱ, ㄴ, ㄷ 2
행렬 2014학년도 9월 2014학년도수능 2014 9 월 (2 점) 두행렬, 에대하여 이고 1 2 3 4 5 일때, 행렬 의모든성분의합은?10) 1 2014 수능 (2 점) 두행렬, 에대하여행렬 의모든성분의합은?12) 4 1 2 3 4 5 2014 9 월 (4 점) 두이차정사각행렬, 가 를만족시킬때, 옳은것만을 < 보기> 에서있는대로고른것은? ( 단, 는단위행렬이다.) 11) 5 ㄱ. ㄴ. ㄷ. 1 ㄱ 2 ㄷ 3 ㄱ, ㄴ 4 ㄴ, ㄷ 5 ㄱ, ㄴ, ㄷ 2014 수능 (4 점) 두이차정사각행렬 가 를만족시킬때, < 보기> 에서옳은것만을있는대로 고른것은? ( 단, 는단위행렬이고, 는영행렬이다.) 13) 5 ㄱ. 의역행렬이존재한다. ㄴ. 이다. ㄷ. 1 2 3 4 5 3
지수로그함수 2012학년도 9월 2012학년도수능 2012 9 월 (2 점) log log 의값은? 14) 4 1 2 3 4 5 2012 수능 (3 점) 누에나방암컷은페로몬을분비하여수컷을유인한다. 누에나방암컷이페로몬을분비한후 초가지났을때분비한 곳으로부터거리가 인곳에서측정한페로몬의농도 는다음식을만족시킨다고한다. log log ( 단, 와 는양의상수이다.) 누에나방암컷이페로몬을분비한후 초가지났을때분비한곳으로부터거리가 인곳에서측정한페로몬의 농도는 이고, 분비한후 초가지났을때분비한곳으로부터거리가 인곳에서측정한페로몬의농도는 이다. 의값은? 16) 4 1 2 3 4 5 2012 9 월 (3 점) 특정환경의어느웹사이트에서한메뉴안에선택할수있는항목이 개있는경우, 항목을 개선택하는데 걸리는시간 ( 초) 가다음식을만족시킨다. log 메뉴가여러개인경우, 모든메뉴에서항목을 개씩선택하는데걸리는전체시간은각메뉴에서항목을 개씩 선택하는데걸리는시간을모두더하여구한다. 예를들어, 메뉴가 개이고각메뉴안에항목이 개씩있는경우, 모든메뉴에서항목을 개씩선택하는데걸리는전체시간은 log 초이다. 메뉴가 개이고각메뉴안에항목이 개씩있을때, 모든메뉴에서항목을 개씩선택하는데걸리는전체 시간이 초이하가되도록하는 의최댓값은? 15) 1 1 2 3 4 5 2012 수능 (4 점) 자연수, 에대하여곡선 과곡선 이직선 와만나는점을각각 P, Q 라하자. 다음조건을만족시키는, 의모든순서쌍 의개수를구하시오. 예를들어,, 는다음조건을 만족시킨다. 17) ( 가), ( 나) 인어떤실수 에대하여 P Q 이다. 4
지수로그함수 2013학년도 9월 2013학년도수능 2013 9 월 (3 점) 어떤물질이녹아있는용액에단색광을투과시킬때투과전단색광의세기에대한투과후단색광의세기의비를 그단색광의투과도라고한다. 투과도를, 단색광이투과한길이를, 용액의농도를 라할때, 다음관계가 성립한다. log ( 단, 는양의상수이다.) 이물질에대하여투과길이가 이고용액의농도가 일때의투과도를, 투과길이가 이고 용액의농도가 일때의투과도를 라하자. 을만족시키는 의값은? 18) 5 1 2 3 4 5 2013 수능 (3 점) 화재가발생한화재실의온도는시간에따라변한다. 어떤화재실의초기온도를, 화재가발생한지 분 후의온도를 라고할때, 다음식이성립한다고한다. log ( 단, 는상수이다.) 초기온도가 인이화재실에서화재가발생한지 분후의온도는 이었고, 화재가발생한지 분후의 온도는 이었다. 의값은? 21) 1 1 2 3 4 5 2013 9 월 (4 점) 이상의자연수 에대하여함수 log 의그래프위의 좌표가 인점을 A 이라하자. 그래프위의점 B 과 축위의점 C 이다음조건을만족시킨다. ( 가) 점 C 은선분 A B 과 축의교점이다. ( 나) A C C B 점 C 의 좌표를 이라할때, lim 의값은? 19) 1 1 2 3 2013 9 월 (4 점) 4 5 좌표평면에서다음조건을만족시키는정사각형중두함수 log log 의그래프와모두만나는것의 개수를구하시오. 20) ( 가) 꼭짓점의 좌표, 좌표가모두자연수이고한변의길이가 이다. ( 나) 꼭짓점의 좌표는모두 이하이다. 2013 수능 (4 점) 좌표평면에서자연수 에대하여영역 log 에속하는점중다음조건을만족시키는점의개수를 이라하자. ( 가) 좌표와 좌표는서로같다. ( 나) 좌표와 좌표는모두정수이다. 예를들어, 이다. 의값을구하시오. 22) 5
지수로그함수 2014학년도 9월 2014학년도수능 2014 9 월 (3 점) 질량 의활성탄 를염료 의농도가 인용액에충분히오래담가놓을때활성탄 에흡착되는 염료 의질량 는다음식을만족시킨다고한다. log log ( 단, 는상수이다.) 2014 수능 (4 점) 보다큰실수 에대하여 log 의지표와가수를각각 라하자. 의값이 10의배수가되도록 하는 의값을작은수부터크기순으로나열할때 번째수를 번째수를 라하자. log 의값은? 25) 5 1 2 3 4 5 의활성탄 를염료 의농도가 인용액에충분히오래담가놓을때활성탄 에흡착되는염료 의질량은 이다. 의활성탄 를염료 의농도가 인용액에충분히오래담가놓을때활성탄 에흡착되는염료 의질량은? ( 단, 각용액의양은충분하다.) 23) 5 1 2 3 4 5 2014 9 월 (3 점) 좌표평면에서꼭짓점의좌표가,,, 인정사각형 와두곡선, log 에대하여다음물음에답하시오. ( 단, 은자연수이다.) 2014 수능 (3 점) 단면의반지름의길이가 인원기둥모양의어느급수관에물이가득차흐르고있다. 이급수관의단면의 중심에서의물의속력을 급수관의벽면으로부터중심방향으로 만큼떨어진지점에서의물의속력을 라하면다음과같은관계식이성립한다고한다. log ( 단, 는양의상수이고, 길이의단위는, 속력의단위는 초이다.) 인이급수관의벽면으로부터중심방향으로 만큼떨어진지점에서의물의속력이중심에서의물의속력의 일때, 급수관의벽면으로부터중심방향으로 만큼떨어진지점에서의물의속력이중심에서의물의속력의 이다. 의값을구하시오. 26) 선분 가곡선 log 와만나는점을 라하자. 선분 를 으로내분하는점을지나고 축에 수직인직선이곡선 log 와만나는점을, 점 를지나고 축에수직인직선이곡선 과만나는 점을 라하자. 점 의 좌표가 일때, 직선 의기울기는? 24) 5 1 2 3 4 5 6
수열 2012학년도 9월 2012학년도수능 2012 9 월 (4 점) 수열 은 이고, 을만족시킨다. 다음은일반항 을구하는과정의일부이다. 모든자연수 에대하여 이다. 수열 을, 이라하면, 이다. 즉, 은등차수열이므로 에의하여 가 이고, 나 이다. 위의 ( 가), ( 나) 에알맞은식을각각, 이라할때, 의값은? 27) 1 1 2 3 4 5 2012 수능 (4 점) 첫째항이 인수열 에대하여 라할때, 이성립한다. 다음은수열 의일반항을구하는과정의일부이다. 자연수 에대하여 이므로 이다. 이상의자연수 에대하여 이고, 에서 을뺀식으로부터 가 를얻는다. 양변을 로나누면 가 이다. 이라하면, 나 이므로 다 이다. 위의 ( 가), ( 나), ( 다) 에들어갈식을각각,, 이라할때, 의값은? 29) 2 1 2 3 4 5 2012 9 월 (4 점) 자연수 에대하여좌표평면에서다음조건을만족시키는가장작은정사각형의한변의길이를 이라하자. ( 가) 정사각형의각변은좌표축에평행하고, 두대각선의교점은 이다. ( 나) 정사각형과그내부에있는점 중에서 가자연수이고, 을만족시키는점은 개뿐이다. 예를들어 이다. 의값을구하시오. 28) 2012 수능 (3 점) 세수,, 는이순서대로등차수열을이루고, 세수,, 은이순서대로공비가양수인 등비수열을이룬다. 의값을구하시오. 30) 7
수열 2013학년도 9월 2013학년도수능 2013 9 월 (4 점) 수열 은 이고, 을만족시킨다. 다음은일반항 을구하는과정이다. 주어진식 의양변을 으로나누면 2013 수능 (4 점) 자연수 에대하여좌표평면위의점 P 을다음규칙에따라정한다. ( 가) 세점 P P P 의좌표는각각, 이다. ( 나) 선분 P P 의중점과선분 P P 의중점은같다. 예를들어, 점 P 의좌표는 이다. 점 P 의좌표가 일때, 의값을구하시오. 32) ( ) 이므로 인자연수 에대하여 이다. 한편 (*) 이므로 가 (*) 에의하여 나 이다. ( ) 가 위의 ( 가), ( 나) 에알맞은식을각각, 이라할때, 의값은? 31) 1 1 2 3 4 5 8
수열 2014학년도 9월 2014학년도수능 2014 9 월 (4 점) 수열 은 이고 2014 수능 (3 점) 첫째항이 인등차수열 에대하여 일때, 의값은? 35) 1 1 2 3 4 5 을만족시킨다. 다음은일반항 을구하는과정이다. 에서 이므로 가 이다. 이라놓으면 이고, 가 이다. 따라서 이다. 즉, 이므로 나 이다. 일때에도이식을만족시키므로 모든자연수 에대하여 나 이다. 위의 ( 가), ( 나) 에알맞은식을각각, 이라할때, 의값은? 33) 1 1 2 3 4 5 2014 수능 (3 점) 모든항이양수인수열 은 이고 을만족시킨다. 다음은일반항 을구하는과정이다. 주어진식의양변에상용로그를취하면 log log 이다. 양변을 로나누면 log log 가 log 이다. 이라하면 이고 가 이다. 수열 의일반항을구하면 이므로 나 log 나 이다. 그러므로 나 이다. 2014 9 월 (3 점) 등차수열 이, 일때, 의값을구하시오. 34) 위의 ( 가), ( 나) 에들어갈식을각각 이라할때, 의값은? 36) 1 1 2 3 4 5 9
2012 9 월 (3 점) 수열 과 이 lim, lim 을만족시킬때, lim 의값을구하시오. ( 단, ) 37) 수열의극한 2012학년도 9월 2012학년도수능 2012 9 월 (4 점) 첫째항이 이고공비가 인등비수열 에대하여수열 을다음규칙에따라정한다. ( 가) ( 나) 일때, 은점 을지나고기울기가 인직선과곡선 의 교점중에서 이아닌점의 좌표이다. lim 의값을구하시오. 38) 10
수열의극한 2013학년도 9월 2013학년도수능 2013 9 월 (3 점) 그림과같이길이가 인선분 AB 를지름으로하는원 가있다. A, B 를각각중심으로하고원 와반지름의 길이가같은두원의외부와원 의내부의공통부분인모양의도형에색칠하여얻은그림을 이라하자. 그림 에선분 AB 를 등분한선분을각각지름으로하는두원을그리고, 이두원안에각각그림 을얻는 것과같은방법으로만들어지는 모양의두도형에색칠하여얻은그림을 라하자. 그림 에선분 AB 를 등분한선분을각각지름으로하는네원을그리고, 이네원안에각각그림 을얻는것과같은방법으로 만들어지는모양의네도형에색칠하여얻은그림을 이라하자. 이와같은과정을계속하여 번째얻은그림 에색칠되어있는 때, lim 의값은? 39) 2 모양의모든도형의넓이의합을 이라할 2013 수능 (4 점) 그림과같이길이가 인선분 AB 를지름으로하는원 O 가있다. 원 O 의중심을지나고선분 AB 와수직인직선이 원과만나는 개의점중한점을 C 라하자. 점 C 를중심으로하고점 A 와점 B 를지나는원의외부와원 O 의내부의공통부분인 얻은그림을 이라하자. 모양의도형에색칠하여 그림 R 에서색칠된부분을포함하지않은원 O 의반원을이등분한 개의사분원에각각내접하는원을그리고, 이 개의원안에그림 을얻는것과같은방법으로만들어지는 모양의 개의도형에색칠하여얻은그림을 라 하자. 그림 에서새로생긴 개의도형에색칠된부분을포함하지않은반원을각각이등분한 개의사분원에각각 내접하는원을그리고, 이 개의원안에그림 을얻는것과같은방법으로만들어지는모양의 개의도형에 색칠하여얻은그림을 이라하자. 이와같은과정을계속하여 번째얻은그림 에색칠되어있는부분의넓이를 이라할때, lim 의값은? 41) 3 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 2013 수능 (4 점) 수열 은 이고, 을만족시킨다. 다음은일반항 을구하는과정이다. 2013 9 월 (4 점) 첫째항이 인수열 이모든자연수 에대하여, 을만족시킬때, lim 의값을구하시오. 40) 주어진식에의하여 이다. 따라서 이상의자연수 에대하여 가 이므로 가 이다. 이라하면 가 이고 이므로 나 이다. 그러므로 나 이다. 위의 ( 가), ( 나) 에알맞은식을각각 이라할때, 의값은? 42) 4 1 2 3 4 5 11
수열의극한 2014학년도 9월 2014학년도수능 2014 9 월 (2 점) lim 의값은? 43) 2 1 2 3 4 5 2014 수능 (4 점) 직사각형 에서 이다. 그림과같이선분 과선분 의중점을각각 이라 하자. 중심이, 반지름의길이가 이고중심각의크기가 인부채꼴 을그리고, 중심이, 반지름의 길이가 이고중심각의크기가 인부채꼴 을그린다. 부채꼴 의호 과선분 로 둘러싸인부분과부채꼴 의호 과선분 로둘러싸인부분인 모양에색칠하여얻은그림을 이라하자. 그림 에선분 위의점, 호 위의점 와변 위의두점 를꼭짓점으로 하고 인직사각형 를그리고, 직사각형 에서그림 을얻는것과같은 방법으로만들어지는 모양에색칠하여얻은그림을 라하자. 이와같은과정을계속하여 번째얻은그림 에색칠되어있는부분의넓이를 이라할때, lim 의값은? 44) 3 1 2 3 4 5 2014 수능 (4 점) 자연수 에대하여직선 과함수 tan 의그래프가제1사분면에서만나는점의 좌표를작은수부터 크기순으로나열할때, 번째수를 이라하자. lim 의값은? 45) 4 1 2 3 4 5 12
방부등식 2012학년도 9월 2012학년도수능 2012 9 월 (3 점) 대칭축이 인이차함수 의그래프가그림과같다. 두집합 2012 수능 (3 점), 에대하여 일때, 상수 의값은? 48) 1 2 3 4 5 방정식 의모든실근의합은? 46) 5 1 2 3 4 5 2012 수능 (3 점) 이차함수 와삼차함수 의그래프가그림과같다. 2012 9 월 (3 점) 분수부등식 을만족시키는모든자연수 의합을구하시오. 47) 이고, 함수 가 에서극솟값 를가질때, 방정식 의서로다른 실근의개수는? 49) 4 1 2 3 4 5 13
방부등식 2013학년도 9월 2013학년도수능 2013 9 월 (3 점) 그림은지점 A B C D E 를연결하는산책로를나타낸것이다. 길이가 km 인직선모양의산책로 AE 와둘레의 길이가 km 인원모양의산책로가 B 지점에서한번만난다. 갑과을은다음과같이 A 지점에서 E 지점까지 이동하였다. 2013 수능 (3 점) 무리방정식 의모든실근의곱은? 52) 2 1 2 3 4 5 갑: 산책로 AB 를속력 km 시, 원모양의산책로한바퀴를속력 km 시, 직선모양의 산책로 BE 를속력 km 시로이동하였다. 을: 직선모양의산책로 AB, BC, CD, D E 를따라속력 km 시로이동하였다. 갑과을이동시에출발하여갑이을보다 시간늦게도착하였을때, 두지점 A B 사이의거리는? ( 단, C 는원의 중심이고, 산책로의폭은무시한다.) 50) 3 1 km 2 km 3 km 4 km 5 km 2013 수능 (3 점) A 지점에서출발하여거리가 km 떨어진 B 지점까지이동한후같은길을따라 A 지점으로돌아오려고한다. 처음 km 는일정한속력으로걷다가나머지 km 는처음걷는속력의 배의속력으로이동하고, 돌아올때는처음걷는 속력보다시속 km 더빠르게이동하려고한다. 왕복하는데에걸리는총시간이 시간 분이하가되도록할때, 처음걷는속력의최솟값은? ( 단, 속력의단위는 km 시이다.) 53) 3 1 2 3 4 5 2013 9 월 (3 점) A 그릇에는농도가 % 인소금물 g 이담겨있고, B 그릇에는농도가 % 인소금물 g 이담겨있다. A 그릇에는 g 의물을넣고, B 그릇은가열하여 g 의물을증발시킨후 g 의소금을넣었다. A 그릇의소금물농도를, B 그릇의소금물농도를 라할때, 를만족시키는자연수 의최솟값을구하시오. 51) 14
방부등식 2014학년도 9월 2014학년도수능 2014 9 월 (3 점) 부등식 을만족시키는양의정수 의개수는? 54) 1 2 3 4 5 3 2014 수능 (3 점) 그림과같이닫힌구간 에서정의된함수 와함수 의그래프가세점에서만나고그세 점의 좌표는 이다. 부등식 을만족시키는정수 의개수는? ( 단, ) 56) 5 2014 9 월 (3 점) 사차함수 의그래프가그림과같고, 함수 의극댓값은, 두극솟값은각각, 이다. 1 2 3 4 5 방정식 의서로다른실근의개수는? 55) 1 1 2 3 4 5 2014 수능 (3 점) 무리방정식 의모든실근의곱을 라할때, 의값을구하시오. 57) 15
삼각함수 2012학년도 9월 2012학년도수능 2012 9 월 (3 점) 좌표평면에서두직선, 가이루는예각의크기를 라할때, tan 의값은? 58) 4 1 2 2 3 4 5 2012 수능 (4 점) 좌표평면에서직선 가 축과이루는예각의크기를, 직선 가직선 와 이루는예각의크기를 라하자. sin sin 의값이최대가되도록하는 의값은? 60) 1 1 2 3 4 5 2012 9 월 (4 점) 평면에있는사각형 가 를만족시킨다. 라할때, 사각형 의넓이가최대가되도록하는 에대하여 sin 의값을 구하시오. 59) 2012 수능 (3 점) 방정식 cos cos 을만족시키는 에대하여 tan 의값을구하시오. 61) 16
삼각함수 2013학년도 9월 2013학년도수능 2013 9 월 (2 점) cos 일때, cos 의값은? 62) 2 2013 수능 (2 점) sin 일때, sin 의값은? ( 단, 이다.) 64) 2 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 2013 9 월 (4 점) 그림과같이좌표평면에서원점을중심으로하고반지름의길이가 인세반원을각각 이라하자. 세점 P P P 은선분 O B 위에서동시에출발하여각각세반원 위를같은속력으로시계반대 방향으로움직이고있다. BO P 라하고삼각형 ABP 의넓이를, 삼각형 ABP 의넓이를, 삼각형 ABP 의넓이를 이라하자. 일때, cos 의값은? ( 단, ) 63) 3 2013 수능 (3 점) 함수 cos sin 의최댓값은 이다. 의값을구하시오. 65) 1 2 3 4 5 17
삼각함수 2014학년도 9월 2014학년도수능 2014 9 월 (2 점) 함수 sin cos 의최댓값은? 66) 4 1 2 3 4 5 2014 수능 (2 점) tan 일때, cos 의값은? 68) 1 2 3 3 4 5 2014 9 월 (3 점) 일때, 방정식 sin sin cos 의모든해의합은? 67) 3 1 2 3 4 5 2014 수능 (3 점) 함수 cos 의최댓값이 일때, 양수 의값은? 69) 3 1 2 3 4 5 18
함수의극한 2012학년도 9월 2012학년도수능 함수 가 2012 9 월 (3 점) 이다. 가 에서연속일때, 상수 의값은? 70) 2 1 2 3 4 5 2012 수능 (2 점) lim 의값은? 72) 5 1 2 3 4 2012 수능 (4 점) 5 반지름의길이가 인원이있다. 그림과같이가로의길이와세로의길이의비가 인직사각형을이원에 내접하도록그리고, 원의내부와직사각형의외부의공통부분에색칠하여얻은그림을 이라하자. 그림 에서직사각형의세변에접하도록원 개를그린다. 새로그려진각원에그림 을얻은것과같은 방법으로직사각형을그리고색칠하여얻은그림을 라하자. 그림 에서새로그려진직사각형의세변에 접하도록원 개를그린다. 새로그려진각원에그림 을얻는것과같은방법으로직사각형을그리고색칠하여 얻은그림을 이라하자. 이와같은과정을계속하여 번째얻은그림 에서색칠된부분의넓이를 이라할 때, lim 의값은? 73) 2 2012 9 월 (3 점) 정의역이 인함수 의그래프가그림과같다. 1 2 3 4 5 2012 수능 (4 점) lim lim 의값은? 71) 5 1 2 3 4 5 그림과같이중심이 O 이고길이가 인선분 AB 를지름으로하는원위의점 P 에서선분 AB 에내린수선의발을 Q, 점 Q 에서선분 O P 에내린수선의발을 R, 점 O 에서선분 AP 에내린수선의발을 S라하자. P AQ 일때삼각형, AO S의넓이를, 삼각형 P RQ 의넓이를 라하자. lim 일때, 의값을구하시오. ( 단, 와 는서로소인자연수이다.) 74) 19
함수의극한 2013학년도 9월 2013학년도수능 2013 9 월 (4 점) 그림과같이점 A 과원 위의점 P 에대하여직선 AP 가원 과두점에서만날 P 때두점중에서점 P 에가까운점을 Q 라하자. O AP 라할때, lim Q 의값은? 75) 4 2013 수능 (4 점) 실수전체의집합에서정의된함수 의그래프는그림과같고, 삼차함수 는최고차항의계수가 이고, 이다. 합성함수 가실수전체의집합에서연속일때, 의값은? 76) 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 2013 수능 (4 점) 삼각형 ABC 에서 AB 이고 A B 이다. 변 AB 위의점 D 를 ACD BCD 가되도록잡는다. CD lim 일때, 의값을구하시오.( 단, ) 77) 20
함수의극한 2014학년도 9월 2014학년도수능 2014 9 월 (4 점) 그림과같이한변의길이가 인정팔각형의이웃한두변을변으로하는 개의평행사변형을서로겹치지않게 그리고, 이평행사변형 개를색칠하여얻은그림을 이라하자. 그림 에정팔각형의내부에있는평행사변형의 꼭짓점 개를꼭짓점으로포함하는정팔각형을그린후, 새로그려진정팔각형에그림 을얻는것과같은 방법으로 개의평행사변형을그리고색칠하여얻는그림을 라하자. 그림 에가장작은정팔각형의내부에 있는평행사변형의꼭짓점 개를꼭짓점으로포함하는정팔각형을그린후, 새로그려진정팔각형에그림 을얻는 것과같은방법으로 개의평행사변형을그리고색칠하여얻는그림을 이라하자. 이와같은과정을계속하여 번째얻은그림 에색칠되어있는부분의넓이를 이라할때, lim 의값은? 78) 1 2014 수능 (3 점) 이차항의계수가 인이차함수 와함수 ln 에대하여함수 가구간 에서연속일때, 의값은? 82) 2 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 2014 9 월 (3 점) lim ln 의값을구하시오. 79) 2014 수능 (4 점) 그림과같이길이가 인선분 를한변으로하고, 인이등변삼각형 가있다. 선분 의연장선위에 인점 를잡고, 이고 인점 를잡는다. 삼각형 의 넓이를 라할때, lim 의값을구하시오. ( 단, ) 83) 2014 9 월 (4 점) 함수 ln tan 의역함수 에대하여 lim 의값을구하시오. 80) 2014 9 월 (4 점) 그림과같이길이가 인선분 를빗변으로하고 인직각삼각형 에대하여점 를, 가되도록잡는다. 삼각형 의넓이를 라할때, lim 이다. 의값을구하시오. ( 단, 네점,,, 는한평면위에있다.) 81) 21
미분법 2012학년도 9월 2012학년도수능 2012 9 월 (4 점) 삼차함수 가다음조건을만족시킨다. ( 가) 방정식 이서로다른세실근 를갖는다. ( 나) 일때극값 을갖는다. ( 다) 를 로나눈몫을, 나머지를 라할때, 옳은것만을 < 보기> 에서있는대로고른것은? 84) 3 ㄱ. 는방정식 의근이다. ㄴ. ㄷ. 2012 수능 (4 점) 정의역이 인함수 에대하여옳은것만을 < 보기> 에서있는대로고른것은? 86) 5 ㄱ. 이면 이다. ㄴ. 함수 가 에서극댓값을가지는 가구간 에있다. ㄷ. 구간 에서방정식 의서로다른실근의개수는 이다. 1 ㄱ 2 ㄷ 3 ㄱ, ㄴ 4 ㄴ, ㄷ 5 ㄱ, ㄴ, ㄷ 1 ㄱ 2 ㄷ 3 ㄱ, ㄴ 4 ㄴ, ㄷ 5 ㄱ, ㄴ, ㄷ 2012 수능 (4 점) 실수 에대하여점 를지나고기울기가 인직선이곡선 과만나는점의개수를 이라하자. 함수 이구간 에서연속이되게하는실수 의최댓값은? 87) 4 1 2 3 4 5 2012 9 월 (3 점) 함수 에대하여 일때, 의값을구하시오. ( 단, 는서로소인자연수이다.) 85) 2012 수능 (4 점) 함수 에대하여함수 를 라하자. 미분가능한함수 가모든실수 에대하여 를만족시킨다. 일때, 의값을구하시오. 88) 22
미분법 2013학년도 9월 2013학년도수능 2013 9 월 (3 점) 실수전체의집합에서정의된함수 의그래프가그림과같다. 2013 수능 (4 점) 함수 과실수 에대하여곡선 위의점 에서 축까지의거리와 축까지의 거리중크지않은값을 라하자. 함수 가한점에서만미분가능하지않도록하는 의최댓값은? 92) 5 1 2 3 4 5 합성함수 가 에서불연속이되는모든 의값의합은? ( 단, 이다.) 89) 5 1 2 3 4 5 2013 9 월 (4 점) 최고차항의계수가 인삼차함수 의역함수를 라할때, 가다음조건을만족시킨다. ( 가) 는실수전체의집합에서미분가능하고 이다. ( 나) 2013 수능 (3 점) 함수 에대하여 의값을구하시오. 93) 의값은? 90) 1 1 2 3 4 5 2013 9 월 (3 점) 양의실수전체의집합에서정의된미분가능한함수 가 를만족시킬때, 의값을구하시오. 91) 23
미분법 2014학년도 9월 2014학년도수능 2014 9 월 (4 점) 자연수 에대하여함수 를매개변수 로나타내면 이고, 일때함수 는 에서최솟값 을갖는다. 의값은? 94) 2 2014 수능 (3 점) 함수 에대하여 의값을구하시오. 95) 1 2 3 4 5 2014 수능 (4 점) 이차함수 에대하여함수 이다음조건을만족시킨다. ( 가) 점 과점 는곡선 의변곡점이다. ( 나) 점 에서곡선 에그은접선의개수가 인 의값의범위는 이다. 의값을구하시오. 96) 24
적분법 2012학년도 9월 2012학년도수능 2012 9 월 (4 점) 그림과같이곡선 sin 에대하여이곡선과 축, 직선 로둘러싸인영역을, 이곡선과 직선, 직선 로둘러싸인영역을 라하자. 의넓이와 의넓이가같을때, 상수 의값은? ( 단, 2012 수능 (4 점) 그림에서두곡선, 과 축으로둘러싸인부분 의넓이를, 두곡선, 과직선 로둘러싸인부분 의넓이를 라할때, 의값은? 99) 3 ) 97) 3 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 2012 9 월 (4 점) 구간 에서연속인함수 가다음조건을만족시킬때, 의값은?98) 4 ( 가) ( 나) cos sin 단 1 2 3 4 5 25
적분법 2013학년도 9월 2013학년도수능 2013 9 월 (3 점) 삼차함수 의그래프가그림과같고, 는 을만족시킨다. 함수 의한부정적분을 라할때, 옳은것만을 < 보기> 에서있는대로고른것은? 100) 3 2013 수능 (3 점) 연속함수 가 를만족시킬때, 의값은? 102) 4 1 2 3 4 5 2013 수능 (4 점) ㄱ. ㄴ. 점 는곡선 의변곡점이다. ㄷ. 이면방정식 은서로다른네실근을갖는다. 삼차함수 는 을만족시킨다. 함수 를 라할때, 함수 의그래프가그림과같다. 1 ㄱ 2 ㄴ 3 ㄱ, ㄷ 4 ㄴ, ㄷ 5 ㄱ, ㄴ, ㄷ 2013 9 월 (3 점) 두곡선 의값을구하시오. 101), ln 와직선 로둘러싸인부분을 축의둘레로회전시킨회전체의부피는 이다. < 보기> 에서옳은것만을있는대로고른것은? 103) 5 ㄱ. 방정식 은서로다른 개의실근을갖는다. ㄴ. ㄷ. 을만족시키는자연수 의개수는 이다. 1 ㄴ 2 ㄷ 3 ㄱ, ㄴ 4 ㄱ, ㄷ 5 ㄱ, ㄴ, ㄷ 26
적분법 2014학년도 9월 2014학년도수능 2014 9 월 (4 점) 정사각형 와그내부는두곡선, log 에의하여세부분으로나뉜다. 일때이세부분중 색칠된부분의넓이는? 104) 2 1 ln 2 ln 3 ln 4 ln 5 ln 2014 수능 (3 점) 그림과같이직선 과한초점이점 단 인쌍곡선 이있다. 직선 과쌍곡선 로둘러싸인부분을 축의둘레로회전시켜생기는회전체의부피는? 106) 3 1 2 3 4 5 2014 9 월 (4 점) 두연속함수, 가 를만족시키고, 이다. ln일때, 의값을구하시오. ( 단,, 는정수이다.) 105) 2014 수능 (4 점) 연속함수 의그래프가원점에대하여대칭이고, 모든실수 에대하여 이다. 일때, 의값은? 107) 1 1 2 3 4 5 27
경우의수, 확률 2012학년도 9월 2012학년도수능 2012 9 월 (3 점) 두사건, 가서로독립이고, 일때, 의값은? ( 단, 은 의여사건이다.) 108) 5 1 2 3 4 5 2012 수능 (3 점) 흰색깃발 개, 파란색깃발 개를일렬로모두나열할때, 양끝에흰색깃발이놓이는경우의수는? ( 단, 같은색 깃발끼리는서로구별하지않는다.) 111) 1 1 2 3 4 5 2012 9 월 (3 점) 그림과같이최대 6 개의용기를넣을수있는원형의실험기구가있다. 서로다른 6개의용기 를 이실험기구에모두넣을때, 와 가이웃하게되는경우의수는? ( 단, 회전하여일치하는것은같은것으로 본다.) 109) 2 2012 수능 (3 점) 상자 에는빨간공 개와검은공 개가들어있고, 상자 는비어있다. 상자 에서임의로 개의공을 꺼내어빨간공이나오면 일확률은? 112) 4 [ 실행 ] 을, 빨간공이나오지않으면 [ 실행 ] 를할때, 상자 에있는빨간공의개수가 [ 실행 ] 꺼낸공을상자 에넣는다. [ 실행 ] 꺼낸공을상자 에넣고, 상자 에서임의로 개의공을더꺼내어상자 에넣는다. 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 2012 9 월 (3 점) 남학생수와여학생수의비가 인어느고등학교에서전체학생의 가 자격증을가지고있고, 나머지 는가지고있지않다. 이학교의학생중에서임의로한명을선택할때, 이학생이 자격증을가지고있는 남학생일확률이 이다. 이학교의학생중에서임의로선택한학생이 자격증을가지고있지않을때, 이학생이 2012 수능 (3 점) 자연수 에대하여 H C 일때, H 의값을구하시오. 113) 여학생일확률은? 110) 2 1 2 3 4 5 28
경우의수, 확률 2013학년도 9월 2013학년도수능 2013 9 월 (2 점) 한개의주사위를 번던질때, 홀수의눈이 번나올확률은? 114) 2 1 2 3 4 5 2013 수능 (3 점) 그림과같이마름모모양으로연결된도로망이있다. 이도로망을따라 A 지점에서출발하여 C 지점을지나지않고, D 지점도지나지않으면서 B 지점까지최단거리로가는경우의수는? 117) 2 1 2 3 4 5 2013 9 월 (3 점) 그림과같이마름모모양으로연결된도로망이있다. 이도로망을따라 A 지점에서출발하여 B 지점까지최단거리로 가는경우의수는? 115) 4 2013 수능 (3 점) 어느학교전체학생의 는버스로, 나머지 는걸어서등교하였다. 버스로등교한학생의 이지각하였고, 1 2 3 4 5 걸어서등교한학생의 이지각하였다. 이학교전체학생중임의로선택한 명의학생이지각하였을때, 이 학생이버스로등교하였을확룔은? 118) 5 1 2 3 4 5 2013 9 월 (3 점) A 가동전을 개던져서나온앞면의개수만큼 B 가동전을던진다. B 가던져서나온앞면의개수가 일때, A 가 던져서나온앞면의개수가 일확률은? 116) 4 1 2 3 4 5 2013 수능 (3 점) 흰공 개, 검은공 개가들어있는주머니가있다. 이주머니에서임의로 개의공을동시에꺼내어, 꺼낸 개의 공의색이서로다르면 개의동전을 번던지고, 꺼낸 개의공의색이서로같으면 개의동전을 번던진다. 이 시행에서동전의앞면이 번나올확률은? 119) 1 1 2 3 4 5 29
경우의수, 확률 2014학년도 9월 2014학년도수능 2014 9 월 (3 점) 한개의주사위를 는 번던지고 는 번던질때, 의배수의눈이나오는횟수를각각, 라하자. 의 값이 일확률은? 120) 5 1 2 3 4 5 2014 수능 (3 점) 두사건 에대하여 일때, 의값은? 123) 2 1 2 3 4 5 2014 9 월 (3 점) 방정식 를만족시키는 이상의정수,, 의모든순서쌍 의개수는? 121) 3 1 2 3 4 5 2014 수능 (3 점) 숫자 에서중복을허락하여 개를택할때, 숫자 가한개이하가되는경우의수는? 124) 4 1 2 3 4 5 2014 9 월 (3 점) 휴대전화의메인보드또는액정화면고장으로서비스센터에접수된 건에대하여접수시기를품질보증기간 이내, 이후로구분한결과는다음과같다. ( 단위: 건) 구분 메인보드고장 액정화면고장 합계 기간이내 기간이후 접수된 건중에서임의로선택한 건이액정화면고장건일때, 이건의접수시기가품질보증기간이내일 2014 수능 (3 점) 어느마라톤대회에참가한 명의동호회회원중마라톤에서완주한회원수와기권한회원수가다음과같다. ( 단위: 명) 구분 남성 여성 완주한회원수 27 9 기권한회원수 8 6 참가한회원중에서임의로선택한한명의회원이여성이었을때, 이회원이마라톤에서완주하였을확률이 이다. 의값을구하시오. 125) 확률이 이다. 의값을구하시오. ( 단, 메인보드와액정화면둘다고장인경우는고려하지않는다.) 122) 30
통계 2012학년도 9월 2012학년도수능 2012 9 월 (4 점) 어느지역학생들의 1일인터넷사용시간 는평균이 분, 표준편차가 30 분인정규분포를따른다. 이지역 학생들을대상으로 9명을임의추출하여조사한 1일인터넷사용시간의표본평균을 라하자. 함수 를 라할때, 옳은것만을 < 보기> 에서있는대로고른것은? 126) 3 2012 수능 (2 점) 확률변수 가이항분포 B 를따르고 의평균이 일때, 의분산은? 128) 1 1 2 3 4 5 ㄱ. ㄴ. ㄷ. 1 ㄱ 2 ㄷ 3 ㄱ, ㄴ 4 ㄴ, ㄷ 5 ㄱ, ㄴ, ㄷ 2012 수능 (3 점) 2012 9 월 (3 점) 연속확률변수 의확률밀도함수가 어느회사에서생산하는음료수 병에들어있는칼슘함유량은모평균이, 모표준편차가 인정규분포를 따른다고한다. 이회사에서생산한음료수 병을임의추출하여칼슘함유량을측정한결과표본평균이 이었다. 이회사에서생산한음료수 병에들어있는칼슘함유량의모평균 에대한신뢰도 의 신뢰구간이 일때, 의값은? ( 단, 가표준정규분포를따를때 P 이고, 칼슘함유량의단위는 m g이다.) 129) 3 1 2 3 4 5 이다. 일때, 두상수 에대하여 의값을구하시오. 127) 31
통계 2013학년도 9월 2013학년도수능 2013 9 월 (4 점) 정규분포 N 을따르는모집단에서임의추출한크기 인표본의표본평균을, 표준정규분포를따르는 확률변수를 라하자. 옳은것만을 < 보기> 에서있는대로고른것은? ( 단, 는상수이다.) 130) 5 ㄱ. V ㄴ. P P 2013 수능 (3 점) 확률변수 가정규분포 N 을따르고다음조건을만족시킨다. ( 가) P P ( 나) E P 의값을오른쪽표를이용하여구한것은? 132) 4 ㄷ. P P 이면 이다. 1 ㄱ 2 ㄴ 3 ㄱ, ㄷ 4 ㄴ, ㄷ 5 ㄱ, ㄴ, ㄷ P 1 2 3 4 5 2013 9 월 (3 점) 닫힌구간 에서정의된연속확률변수 의확률밀도함수 가다음조건을만족시킨다. ( 가) ( 나) V 의값을구하시오. 131) 2013 수능 (3 점) 표준편차 가알려진정규분포를따르는모집단에서크기가 인표본을임의추출하여얻은모평균에대한신뢰도 의신뢰구간이 이었다. 같은표본을이용하여얻은모평균에대한신뢰도 의신뢰구간에 속하는자연수의개수를구하시오. ( 단, 가표준정규분포를따르는확률변수일때, P, P 로계산한다.) 133) 32
통계 2014학년도 9월 2014학년도수능 2014 9 월 (3 점) 어느도시에서시립도서관개방시간연장을희망하는주민들의비율을알아보기위하여이도시의주민중 명을임의추출하여조사한결과 명이개방시간연장을희망하였다이결과를이용하여구한이도시주민 전체의시립도서관개방시간연장을희망하는비율에대한신뢰도 의신뢰구간이 일때, 의 값은? ( 단, 가표준정규분포를따르는확률변수일때, 로계산한다.) 134) 2 1 2 3 4 5 2014 수능 (4 점) 닫힌구간 에서정의된확률변수 의확률밀도함수가연속이다. 확룰변수 가다음조건을만족시킬때, 상수 의값은? 136) 2 ( 가) 인모든 에대하여 이다. ( 나) 1 2 3 4 5 2014 9 월 (4 점) 양의실수전체의집합에서정의된함수 는평균이, 표준편차가 인정규분포를따르는확률변수 에 대하여 이다. 함수 의최댓값을표준정규분포표를이용하여구한것은?135) 3 2014 수능 (4 점) 어느도시의중앙공원을이용한경험이있는주민의비율을알아보기위하여이도시의주민중 명을임의 추출하여조사한결과 가이중앙공원을이용한경험이있다고답하였다. 이결과를이용하여구한이도시 주민전체의중앙공원을이용한경험이있는주민의비율에대한신뢰도 의신뢰구간이 이다. 일때, 의값을구하시오. ( 단, 가표준정규분표를따르는확률변수일때, 로 계산한다.) 137) 1 2 3 4 5 33
일차변환 2012학년도 9월 2012학년도수능 2012 수능 (3 점) 좌표평면에서행렬 로나타내는일차변환에의하여세점 A, B, C 이옮겨진 점을각각 A, B, C 이라하자. 삼각형 ABC 의내부와삼각형 ABC 의내부의공통부분의넓이가 일때, 의 값은? 138) 2 1 2 3 4 5 2012 수능 (3 점) 좌표평면에서원점을중심으로하는회전변환 에의하여점 이제 사분면위의점 로옮겨진다. 회전변환 를나타내는행렬의모든성분의합을 라할때, 의값은? 139) 5 1 2 3 4 5 34
일차변환 2013학년도 9월 2013학년도수능 2013 9 월 (3 점) 좌표평면에서일차변환 를나타내는행렬이 방정식은? 140) 5 1 2 3 4 5 일때, 에의하여직선 이옮겨지는직선의 2013 수능 (3 점) 좌표평면에서원점을중심으로 만큼회전하는회전변환을, 직선 에대한대칭변환을 라하자. 합성변환 에의하여직선 이직선 으로옮겨질때, 의값은? ( 단, 는 상수이다 )] 142) 5 1 2 3 4 5 2013 9 월 (3 점) 그림과같이좌표평면에정육각형 ABCD EF 가있다. 두일차변환 를나타내는행렬이각각, 일때, 합성변환 에의하여점 A 가옮겨지는점은? ( 단, 선분 AD 의중점은원점 O 이다.) 141) 4 2013 수능 (3 점) 일차변환 를나타내는행렬을 라하자. 행렬 으로나타내어지는일차변환에 의하여점 이옮겨지는점의좌표가 일때, 의값을구하시오. 143) 1 B 2 C 3 D 4 E 5 F 35
일차변환 2014학년도 9월 2014학년도수능 2012 9 월 (3 점) 일차변환 와원점을중심으로 만큼회전하는회전변환 가 를 2012 수능 (4 점) 그림과같이직선 과한초점이점 단 인쌍곡선 이있다. 만족시킨다. 두상수, 의곱 의값을구하시오. 144) 원점을중심으로 만큼회전하는회전변환에의하여직선 은쌍곡선 의초점 를지나는직선으로옮겨진다. sin 의값은? 145) 4 1 2 3 4 5 36
이차곡선 2012학년도 9월 2012학년도수능 2012 9 월 (3 점) 두초점이 이고, 장축의길이가, 단축의길이가 6 인타원이있다. 중심이 이고점 을지나는원과이 타원의두교점중한점을 라하자. 삼각형 의넓이는? 146) 4 1 2 3 4 5 2012 수능 (3 점) 한변의길이가 인마름모 에대하여대각선 를장축으로하고, 대각선 를단축으로하는타원의 두초점사이의거리가 이다. 마름모 의넓이는? 148) 3 1 2 3 4 5 2012 수능 (3 점) 2012 9 월 (4 점) 쌍곡선 위의점 에서의접선이타원 의넓이를이등분할때, 의값을 좌표공간에점 가있고, 평면위에타원 이있다. 타원위의점 에대하여 의 최댓값을구하시오. 149) 구하시오. 147) 2012 수능 (4 점) 포물선 의초점과포물선위의점 에서의접선사이의거리를 라하자. 을만족시키는 자연수 의최솟값을구하시오. 150) 37
이차곡선 2013학년도 9월 2013학년도수능 2013 9 월 (3 점) 좌표평면에서쌍곡선 의한점근선에평행하고타원 에접하는직선을 이라하자. 원점과 직선 사이의거리가 일때, 의값은? 151) 1 2013 수능 (3 점) 쌍곡선 위의점 에서의접선이쌍곡선의한점근선과수직이다. 의값은? ( 단, 는 양수이다.) 153) 1 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 2013 9 월 (4 점) 그림과같이좌표평면에서꼭짓점이원점 O 이고초점이 F 인포물선과점 F 를지나고기울기가 인직선이만나는 두점을각각 A B 라하자. 선분 AF 를대각선으로하는정사각형의한변의길이가 일때, 선분 AB 의길이는 이다. 의값을구하시오. ( 단, 는정수이다.) 152) 2013 수능 (4 점) 자연수 에대하여포물선 의초점 F 를지나는직선이포물선과만나는두점을각각 P Q 라하자. P F 이고 F Q 이라할때, 의값은? 154) 1 1 2 3 4 5 38
이차곡선 2014학년도 9월 2014학년도수능 2014 9 월 (3 점) 타원 의한초점을, 이타원이 축과만나는점중에서 좌표가음수인점을, 축과만나는점중에서 좌표가양수인점을 라하자. 이고삼각형 의넓이는 일때, 2014 수능 (3 점) 좌표평면에서포물선 에접하는두직선 의기울기가각각 이다. 가방정식 의서로다른두근일때, 과 의교점의 좌표는? 157) 4 1 2 3 4 5 의값은? ( 단,, 는상수이다.) 155) 4 1 2 3 4 5 2014 수능 (4 점) 그림과같이 축위의점 와두점 을초점으로하는타원 위를움직이는점 가 있다. 의최솟값이 일때, 의값을구하시오. 158) 2014 9 월 (4 점) 그림과같이두초점이, 인쌍곡선 위의점 에서의접선과 축과의 교점이선분 를 로내분할때, 의값을구하시오. ( 단,, 는상수이다.) 156) 39
공간도형 2012학년도 9월 2012학년도수능 2012 9 월 (4 점) 그림은 이고 인사면체의전개도이다. 2012 수능 (4 점) 그림과같이밑면의반지름의길이가 인원기둥과밑면의반지름의길이가 이고높이가 인원뿔이평면 위에놓여있고, 원뿔의밑면의둘레가원기둥의밑면의둘레에내접한다. 평면 와만나는원기둥의밑면의 중심을 O, 원뿔의꼭짓점을 A 라하자. 중심이 B 이고반지름의길이가 인구 가다음조건을만족시킨다. ( 가) 구 S는원기둥과원뿔에모두접한다. ( 나) 두점 A, B 의평면 위로의정사영이각각 A, B 일때, AO B 이다. 이전개도로사면체를만들때, 세점 가합쳐지는점을 라하자. 사면체 에대하여옳은것만을 < 보기> 에서있는대로고른것은? 159) 5 직선 AB 와평면 가이루는예각의크기를 라할때, tan 이다. 의값을구하시오.( 단, 원뿔의밑면의 중심과점 A 은일치한다.) 162) ㄱ. ㄴ. 직선 와직선 는꼬인위치에있다. ㄷ. 선분 의중점을 이라할때, 직선 과직선 는서로수직이다. 1 ㄱ 2 ㄷ 3 ㄱ, ㄴ 4 ㄴ, ㄷ 5 ㄱ, ㄴ, ㄷ 2012 9 월 (4 점) 좌표공간에두점 이있고, 평면위에원 이있다. 이원위의점 을지나고 축에평행한직선이직선 와만날때, 의값은? 160) 2 1 2 3 4 5 2012 9 월 (4 점) 그림과같이평면 위에점 가있고, 로부터의거리가각각 인두점 가있다. 선분 를 로 내분하는점 에대하여 이다. 삼각형 의넓이가 9 일때, 삼각형 의평면 위로의정사영의 넓이를 라하자. 의값을구하시오. 161) 40
공간도형 2013학년도 9월 2013학년도수능 2013 9 월 (4 점) 좌표공간에있는원기둥이다음조건을만족시킨다. ( 가) 높이는 이다. ( 나) 한밑면의중심은원점이고다른밑면은평면 과오직한점 에서만난다. 2013 수능 (2 점) 좌표공간에서두점 A B 에대하여선분 AB 를 로내분하는점의좌표가 이다. 의값은? 165) 3 1 7 2 8 3 9 4 10 5 11 이원기둥의한밑면의평면 위로의정사영의넓이는? 163) 2 2013 수능 (4 점) 그림과같이 AB AD 인직사각형 ABCD 모양의종이가있다. 선분 AB 위의점 E 와선분 D C 위의점 1 2 3 4 5 F 를연결하는선을접는선으로하여, 점 B 의평면 AEF D 위로의정사영이점 D 가되도록종이를접었다. AE 일때, 두평면 AEFD 와 EF CB 가이루는각의크기가 이다. cos 의값을구하시오. ( 단, 이고, 종이의두께는고려하지않는다.) 166) 2013 9 월 (4 점) 좌표공간에서구 위를움직이는점 P 가있다. 점 P 에서구 에접하는평면이구 과만나서생기는도형의넓이의 최댓값은 이다. 의값을구하시오. ( 단, 는자연수이다.) 164) 41
공간도형 2014학년도 9월 2014학년도수능 2014 9 월 (4 점) 좌표공간에서구 과구 이원점에서서로접할때, 의값은? ( 단,, 는상수이다.) 167) 4 1 2 3 4 5 2014 수능 (2 점) 좌표공간에서두점 에대하여선분 를 로내분하는점의좌표가 이다. 의값은? 170) 5 1 2 3 4 5 2014 9 월 (4 점) 좌표공간에서 축을포함하는평면 에대하여 평면위의원 의평면 위로의 정사영의넓이와 평면위의원 의평면 위로의정사영의넓이가 로같을때, 의 값은? 168) 5 1 2 3 4 5 2014 수능 (4 점) 좌표공간에서중심의 좌표, 좌표, 좌표가모두양수인구 가 축과 축과서로다른두점에서만난다. 구 가 평면과만나서생기는원의넓이가 이고 축과만나는두점사이의거리가 일때, 구 의반지름의 길이는? 171) 2 1 2 3 4 5 2014 수능 (4 점) 2014 9 월 (4 점) 좌표공간에서직선 와평면 가점 에서수직으로만난다. 평면 위의점 와직선 위의점 에대하여삼각형 가이등변삼각형일때, 점 에서원점까지의거리는 이다. 의값을구하시오. 169) 좌표공간에서구 위를움직이는두점 가있다. 두점 에서평면 에내린수선의 발을각각 이라하고, 평면 에내린수선의발을각각 라하자. 의최댓값을구하시오. 172) 42
벡터 2012학년도 9월 2012학년도수능 2012 9 월 (2 점) 두벡터 가서로수직일때, 의값은? 173) 1 1 2 3 4 5 2012 수능 (3 점) 삼각형 ABC 에서 AB, B, C 이다. 점 P 가 P B P C 를만족시킬때, PA 의값은? 174) 1 2 3 4 5 3 2012 수능 (4 점) 좌표공간에서삼각형 ABC 가다음조건을만족시킨다. ( 가) 삼각형 ABC 의넓이는 이다. ( 나) 삼각형 ABC 의 평면위로의정사영의넓이는 이다. 삼각형 ABC 의평면 위로의정사영의넓이의최댓값은? 175) 1 1 2 3 4 5 43
벡터 2013학년도 9월 2013학년도수능 2013 9 월 (4 점) 좌표공간에서네점 A, A, A, A 이다음조건을만족시킨다. ( 가) A A A A ( 나) A A A A A A cos ( ) 2013 수능 (4 점) 좌표공간에서정사면체 ABCD 의한면 ABC 는평면 위에있고, 꼭짓점 D 는평면 위에있다. 삼각형 ABC 의무게중심의좌표가 일때, 정사면체 ABCD 의한모서리의길이는? 177) 2 1 2 3 4 5 A A 의최댓값을 이라할때, 의값을구하시오. 176) 2013 수능 (4 점) 한변의길이가 인정삼각형 ABC 의꼭짓점 A 에서변 BC 에내린수선의발을 H 라하자. 점 P 가선분 AH 위를 움직일때, P A P B 의최댓값은 이다. 의값을구하시오. ( 단, 와 는서로소인자연수이다.) 178) 44
벡터 2014학년도 9월 2014학년도수능 2014 9 월 (3 점) 한변의길이가 인정삼각형 에서변 를 로내분하는점을 라하고, 변 를 과 으로내분하는점을각각, 라할때, 의값은? 179) 3 2014 수능 (3 점) 좌표공간에서두점 을지나는직선과직선 이서로수직일때, 의값은? 180) 1 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 45
행렬 2015학년도 6월 2015학년도 9월 2015학년도수능예상 2015 6 월 (2 점) 행렬 에대하여행렬 의모든성분의합이 일때, 의 값은? ( 단, 는단위행렬이다.) 181) 3 1 2 3 4 5 2015 6 월 (3 점) 실수 에대하여이차정사각행렬 가다음을만족시킨다.,, 에대한연립방정식 이, 이외의해를갖도록 하는 의값은? 182) 1 1 2 3 4 5 2015 6 월 (4 점) 두이차정사각행렬, 가, 를만족시킬때, < 보기> 에서옳은것만을있는대로고른것은? ( 단, 는 단위행렬이다.) 183) 5 ㄱ. ㄴ. ㄷ. 의역행렬이존재한다. 2015 9 월 (2 점) 두행렬 에대하여행렬 의모든성분의합이 일때, 의값은? 184) 4 1 2 3 4 5 2015 9 월 (4 점) 두이차정사각행렬 가 를만족시킬때, < 보기> 에서옳은것만을있는대로고른것은? ( 단, 는 단위행렬이고, 는영행렬이다.) 185) 3 ㄱ. 의역행렬이존재한다. ㄴ. ㄷ. 1 ㄴ 2 ㄷ 3 ㄱ, ㄴ 4 ㄱ, ㄷ 5 ㄱ, ㄴ, ㄷ 2015 수능예상문제 1번 두이차정사각행렬 가 를만족시킬때, < 보기> 에서옳은것만을있는대로고른것은? ( 단, 는 단위행렬이고, 는영행렬이다.) 186) < 보기 > ㄱ. 의역행렬이존재한다. ㄴ. ㄷ. 1 ㄴ 2 ㄷ 3 ㄱ, ㄴ 4 ㄱ, ㄷ 5 ㄱ, ㄴ, ㄷ 2015 수능예상문제 2번 역행렬이존재하는두이차정사각행렬, 가, 를만족시킬때, 옳은것만을보기에서있는대로고른것은? ( 단, 는 단위행렬이다.) [ 점 ] 187) ㄱ. ㄴ. ㄷ. < 보기 > 1 ㄱ 2 ㄴ 3 ㄱ, ㄷ 4 ㄴ, ㄷ 5 ㄱ, ㄴ, ㄷ 1 ㄴ 2 ㄷ 3 ㄱ, ㄴ 4 ㄱ, ㄷ 5 ㄱ, ㄴ, ㄷ 46
지수로그함수 2015학년도 6월 2015학년도 9월 2015학년도수능예상 2015 6 월 (2 점) log log 의값은? 188) 1 1 2 3 4 5 2015 6 월 (3 점) 세대당종자의평균분산거리가 이고세대당종자의증식률이 인나무의 세대동안확산에의한이동거리를 이라하면다음과같은관계식이 성립한다고한다. log 세대당종자의평균분산거리가각각 인 A 나무와 B 나무의세대당 종자의증식률을각각 A, B 라하고 세대동안확산에의한이동거리를 A 각각 A, B 라하자. 이고 A 일때, B 의값은? ( 단, 거리의 B 단위는 m 다.) 189) 2 1 2 3 4 5 2015 6 월 (4 점) 인두실수, 에대하여두함수 log, log 이있다. 곡선 와 축의교점이곡선 의점근선위에 있도록하는 와 사이의관계식과 의범위를옳게나타낸것은? 190) 3 1 ( ) 2 ( ) 3 ( ) 4 ( ) 5 ( ) 2015 9 월 (3 점) 도로용량이 인어느도로구간의교통량을, 통행시간을 라할때, 다음과같은관계식이성립한다고한다. log log ( 단, 은도로특성등에따른기준통행시간이고, 는상수이다 ) 이도로구간의교통량이도로용량의 배일때통행시간은기준통행시간 의 배이다. 의값은? 191) 4 1 log 2 log 3 log 4 log 5 log 2015 9 월 (4 점) 양수 에대하여 log 의지표와가수를각각 라 하자. 자연수 에대하여 을만족시키는서로다른모든 의합을 이라할때, lim 의 값은? 192) 1 1 2 3 2015 9 월 (3 점) 4 5 로그방정식 log log 의해를구하시오. 193) 2015 수능예상문제 3번 양의실수 에대하여 log 의가수를 라하자. 자연수 에대하여 log 을만족시키는모든 의값의곱을 이라할때, log lim 의값은? log 194) 2015 수능예상문제 4번 양수 에대하여상용로그 log 의지표를 라하자. 집합 를 lim 는 이하의양의실수 lim 로정의할때, 집합 의원소를큰것부터차례로 이라하자. log 의값은? [4 점] 195) 1 2 3 4 5 2015 수능예상문제 5번 자연상태에서미생물집단은시간에따라그크기가증가한다. 미생물초기 집단의크기를, 시간이지나는순간집단의크기를 라할때, 미생물 집단의크기와시간은다음관계식을만족시킨다고한다. log log log ( 단, 는상수 ) 미생물집단크기는 시간이지나면미생물초기집단크기의 배가되고 시간후에미생물집단크기가초기집단크기의 배가된다고할때, 의값은? 196) 1 2 3 4 5 47
수열 2015학년도 6월 2015학년도 9월 2015학년도수능예상 2015 6 월 (3 점) 수열 은 이고, 을만족시킨다. 의값은? 197) 4 ( ) 1 2 3 4 5 2015 6 월 (3 점) 수열 에대하여 ( ) 일때, 의값은? 198) 4 1 2 3 4 5 2015 9 월 (3 점) 첫째항이 1인수열 에대하여 라할때, 이성립한다. 다음은일반항 을구하는과정이다. 주어진식 에의하여 이다. 에서 을빼서정리하면 이다. 으로부터 이고, 이므로 이다. 그러므로 은 이다. 위의 ( 가), ( 나) 에알맞은식을각각 이라할때, 의 값은? 200) 2 1 2 3 4 5 2015 수능예상문제 6번 첫째항이 1인수열 에대하여 라할때, 이성립한다. 다음은일반항 을구하는과정이다. 주어진식 (*) 에의하여 이다. (*) 에서ᄀ을빼서정리하면 이다. ᄀ으로부터 이고, 이때 ᄂ이 이므로 에서성립하므로 그러므로 이다. 위의 ( 가),( 나) 에알맞은식을각각 이라할때, 의값은? 202) 1 31 2 32 3 33 4 34 5 35 2015 6 월 (3 점) 공비가양수인등비수열 이, 를만족시킬때, 의값을구하시오. 199) 2015 9 월 (3 점) 공비가 인등비수열 에대하여 일때, 의값을 구하시오. 201) 48
수열의극한 2015학년도 6월 2015학년도 9월 2015학년도수능예상 2015 6 월 (4 점) 그림과같이 A D, A B 인직사각형 A B C D 에서선분 A D 의 중점을 M 이라하자. 중심이 A, 반지름의길이가 A B 이고중심각의 크기가 인부채꼴 A B M 을그리고, 부채꼴 A B M 에색칠하여얻은 그림을 이라하자. 그림 에서부채꼴 A B M 의호 B M 이선분 A C 과만나는점을 A 라하고, 중심이 A, 반지름의길이가 A D 인원이 선분 A C 과만나는점을 C 라하자. 가로와세로의길이의비가 이고 가로가선분 A D 과평행한직사각형 A B C D 를그리고, 직사각형 A B C D 에서그림 을얻는것과같은방법으로만들어지는부채꼴에 색칠하여얻은그림을 라하자. 이와같은과정을계속하여 번째얻은그림 에색칠되어있는부분의 넓이를 이라할때, lim 의값은? 203) 1 2015 9 월 (4 점) 중심이 O 반지름의길이가 이고중심각의크기가 인부채꼴 O AB 가 있다. 그림과같이호 AB 를이등분하는점을 M 이라하고호 AM 과호 MB 을각각이등분하는점을두꼭짓점으로하는직사각형을부채꼴 O AB 에내접하도록그리고, 부채꼴의내부와직사각형의외부의공통부분에 색칠하여얻은그림을 R 이라하자. 그림 R 에직사각형의네변의중점을 모두지나도록중심각의크기가 인부채꼴을그리고, 이부채꼴에그림 을얻는것과같은방법으로직사각형을그리고색칠하여얻은그림을 라하자. 그림 에새로그려진직사각형의네변의중점을모두 지나도록중심각의크기가 인부채꼴을그리고, 이부채꼴에그림 을 얻는것과같은방법으로직사각형을그리고색칠하여얻은그림을 이라 하자. 이와같은과정을계속하여 번째얻은그림 에색칠되어있는 부분의넓이를 이라할때, lim 의값은? 204) 4 2015 수능예상문제 7번 그림과같이반지름의길이가 인원 의중심 O 에한꼭짓점이있고, 한변의길이가원 의지름의길이와같은정삼각형 O A B 이있다. 정삼각형 O A B 의선분A B 의중점을 O 라하자. 중점 O 를중심으로 하고원 에외접하는원 가있다. 원 의중심 O 에한꼭짓점이 있고, 한변의길이가원 의지름의길이와같은정삼각형 O A B 가 있다. 정삼각형 O A B 의선분A B 의중점을 O 라하자. 중점 O 를 중심으로하고원 에외접하는원 가있다. 이와같은과정을한없이 반복하여정삼각형을 만들어갈때, 색칠되어있는부분의넓이를각각 이라고하자. 의값은? ( 단, 원의중심은한직선위에 있다.) 205) 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 4 2 5 3 49
방부등식 2015학년도 6월 2015학년도 9월 2015학년도수능예상 2015 6 월 (4 점) 함수 에대하여부등식 을만족시키는모든자연수 의값의합은? 206) 3 분수부등식 2015 9 월 (3 점) 을만족시키는정수 의개수는? 208) 3 1 2 3 4 5 2015 수능예상문제 8번 최고차항의계수가 인이차함수 의그래프가두점, 을지날때 이라하자. 무리방정식 의모든실근의합을구하시오. 210) 1 2 3 4 5 2015 6 월 (4 점) 두함수, 에대하여무리방정식 의모든실근의합을 라하자. 의값을구하시오. 207) 2015 9 월 (4 점) 최고차항의계수가 인이차함수 의그래프가두점 을지날때, 무리방정식 의모든실근의합을구하시오. 209) 2015 수능예상문제 9번 닫힌구간 에서 이고, 모든실수 에대하여 를만족한다. 무리방정식 의실근 의개수가 일때, 양수 의 값은범위는 이다. 의값을구하면? 211) 1 2 3 4 5 50
삼각함수 2015학년도 6월 2015학년도 9월 2015학년도수능예상 2015 6 월 (2 점) 2015 9 월 (3 점) 2015 수능예상문제 10번 sin 일때, cos 의값은? 212) 2 1 2 3 4 5 일때, 삼각방정식 sin sin 의모든해의합은? 214) 4 일때, 방정식 tan cot 의서로다른실근의개수는? 215) 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 2015 6 월 (3 점) 함수 sin cos 의최댓값이 일때, 상수 의값은? 213) 4 1 2 3 4 5 51
함수의극한 2015학년도 6월 2015학년도 9월 2015학년도수능예상 2015 6 월 (4 점) 닫힌구간 에서정의된함수 의그래프가그림과같다. < 보기> 에서옳은것만을있는대로고른것은? 216) 4 2015 9 월 (2 점) lim 의값은? 219) 1 2 5 3 4 5 2015 수능예상문제 11번 그림과같이서로평행한두직선 과 사이의거리가 이다. 직선 위의점 A 에대하여직선 위에점 B 를선분 AB 와직선 이이루는 각의크기가 가되도록잡고, 직선 위에점 C 를 ABC 가 되도록잡는다. 직선 위에점 D 를 BCD 이고선분 CD 가선분 AB 와만나지않도록잡는다. 삼각형 ABC 의넓이를, 삼각형 BCD 의넓이를 라할때, lim 이다. 의값을구하시오. ( 단, ) [4 점] 221) ㄱ. ㄴ. lim lim lim ㄷ. 함수 는 에서연속이다. 1 ㄱ 2 ㄷ 3 ㄱ, ㄴ 4 ㄴ, ㄷ 5 ㄱ, ㄴ, ㄷ 2015 6 월 (3 점) ln lim 의값을구하시오. 217) 2015 6 월 (4 점) 그림과같이사다리꼴 ABCD 에서변 AD 와변 BC 가평행하고 B, C, BC sin, AD sin 이다. 사다리꼴 ABCD 의넓이를 라 할때, lim 이다. 의값을구하시오. ( 단, 이고, 와 는서로소인자연수이다.) 218) 2015 9 월 (4 점) 그림과같이서로평행한두직선 과 사이의거리가 이다. 직선 위의점 A 에대하여직선 위에점 B 를선분 AB 와직선 이이루는 각의크기가 가되도록잡고, 직선 위에점 C 를 ABC 가 되도록잡는다. 직선 위에점 D 를 BCD 이고선분 CD 가선분 AB 와만나지않도록잡는다. 삼각형 ABC 의넓이가 삼각형 BCD 의 넓이가 라할때, lim 의값을구하시오. ( 단, ) 220) 2015 수능예상문제 12번 두함수 과 에대하여 의그래프는 함수 의그래프를 축의방향으로 만큼, 축의방향으로 만큼 평행이동한것이다. 함수 가모든실수 에대하여연속이되도록 하는순서쌍 는 이다. 의값은? [3 점] 222) 1 2 3 4 5 1 52
미분법 2015학년도 6월 2015학년도 9월 2015학년도수능예상 2015 6 월 (3 점) 함수 에대하여 의값은? 223) 5 1 2 3 4 5 2015 6 월 (4 점) 양의실수 에대하여좌표평면에서, 에대한연립부등식 가나타내는영역의넓이를 라하자. 다음은 의값은구하는 과정이다. 2015 9 월 (2 점) 함수 에대하여 의값은? 226) 1 2 3 4 5 3 2015 수능예상문제 13번 함수 의그래프위의동점 ( 단, ) 에대하여 함수 라하자. 함수 가미분가능하지않은점이오직한개존재하도록하는 양수 의값의합은? 228) 1 2 3 4 5 원 의중심을, 원 와직선 가만나는두점을 각각, 라하자. 직선 이 축의양의방향과이루는각의 크기를 ( ) 라하면 이다. 주어진연립부등식이 나타내는영역의넓이를 라하면 이다. 이므로 이고, 합성함수의미분법에 의하여 이다. 일때, 이므로 이다. 위의 ( 가), ( 나) 에알맞은식을각각, 라하고 ( 다) 에알맞은수를 라할때, ) 의값은?224) 1 1 2 3 4 5 2015 9 월 (4 점) 이상의자연수 에대하여함수 가 일때, < 보기> 에서옳은것만을있는대로고른것은? 227) 3 ㄱ. ㄴ. 함수 는 에서극댓값을갖는다. ㄷ. 점 은곡선 의변곡점이다. 1 ㄴ 2 ㄷ 3 ㄱ, ㄴ 4 ㄱ, ㄷ 5 ㄱ, ㄴ, ㄷ 2015 수능예상문제 14번 축위의점 에서곡선 에그을수있는접선의 개수를 라할때, < 보기> 에서옳은것을모두고른것은? 229) ㄱ. < 보기 > ㄴ. 의불연속점의개수는 이다. ㄷ. 는 에서연속이다. 1 ㄱ 2 ㄷ 3 ㄱ, ㄴ 4 ㄴ, ㄷ 5 ㄱ, ㄴ, ㄷ 2015 6 월 (4 점) 양의실수전체의집합에서미분가능한함수 에대하여함수 를 이라하자. 곡선 위의점 에서의접선과곡선 위의점 에서의접선이서로수직일때, 의값을 구하시오. 225) 53
적분법 2015학년도 6월 2015학년도 9월 2015학년도수능예상 2015 6 월 (3 점) ln 의값은? 230) 4 1 2 3 4 5 2015 9 월 (3 점) 의값은? 233) 1 1 2 3 4 5 2015 수능예상문제 15번 임의의양의실수 에대하여 을만족시키는연속함수 가있다. 일때, 이다. 의값을 2015 6 월 (3 점) 함수 의그래프와 축, 축및직선 로둘러싸인영역의넓이가 직선 ( ) 에의하여이등분될때, 상수 의값은? 231) 3 1 2 3 2015 6 월 (4 점) 4 5 실수전체의집합에서미분가능한함수 가다음조건을만족시킨다. ( 가) 모든실수 에대하여 이다. ( 나) 모든정수 에대하여함수 의그래프는점, 점, 점, 점 을모두지난다. ( 다) 모든정수 에대하여닫힌구간 에서함수 의그래프는각각이차함수의그래프의일부이다. 라할때, 의값을구하시오. 232) 2015 9 월 (3 점) 그림과같이중심이 O, 반지름의길이가 이고중심각의크기가 인 부채골 O AB 가있다. 자연수 에대하여호 AB 를 등분한각분점( 양 끝점도포함) 을차례로 P A P P P P B 라하자. 주어진자연수 에대하여 을삼각형 O P P 의넓이라 할때, lim 의값은? 234) 1 2 3 2015 9 월 (4 점) 1 4 5 양의실수전체의집합에서감소하고연속인함수 가다음조건을 만족시킨다. ( 가) 모든양의실수 에대하여 이다. ( 나) 임의의양의실수 에대하여세점,, 을꼭짓점으로하는삼각형의넓이가 이다. ( 다) 구하시오. ( 단, 와 는서로소인자연수이다.) 236) 2015 수능예상문제 16번 그림과같이사분원 (, ) 의호의길이를 등분한각 분점( 양끝점도포함) 을차례로 A, P, P,, P, P 이라하고, 직선 O P (,,, ) 와직선 의교점을 Q 라 하자. 선분 O Q 의길이를 라할때, lim 원점이다.) 237) 1 2 3 4 5 의값은? ( 단, O 는 라할때, 의값을구하시오. ( 단, 와 는서로소인 자연수이다.) 235) 54
경우의수, 확률 2015학년도 6월 2015학년도 9월 2015학년도수능예상 2015 6 월 (4 점) 다음조건을만족시키는음이아닌정수,, 의모든순서쌍 의 개수는? 238) 5 ( 가) ( 나) 좌표평면에서세점,, 가한직선 위에있지않다. 1 2 3 4 5 2015 9 월 (3 점) 두사건 에대하여 P P P P 일때, 의값은? ( 단, P 이다.) 240) 1 P 1 2 3 4 5 2015 수능예상문제 17번 자연수 에대하여 을만족시키는 보다큰자연수,, 의 순서쌍 의개수가 일때, 의값을구하시오. 243) 2015 9 월 (4 점) 다음조건을만족시키는좌표평면위의점 중에서임의로서로다른 두점을선택한다. 선택된두점의 좌표가같을때, 이두점의 좌표가 일확률은? 241) 2 2015 6 월 (3 점) 의전개식에서상수항이 일때, 양수 의값을구하시오. 239) ( 가) 는정수이다. ( 나) 2015 수능예상문제 18번 다음조건을만족시키는양의정수 의모든순서쌍 의 개수는? 244) ( 가) ( 나) 좌표평면에서세점 가한직선위에있지않다. 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 2015 9 월 (4 점) 자연수 에대하여 을만족시키는 보다큰자연수 의 순서쌍 의개수가 일때, 의값을구하시오. 242) 55
통계 2015학년도 6월 2015학년도 9월 2015학년도수능예상 2015 9 월 (4 점) 일때, 점 P P P P P 중에서임의로선택한한개의점을 P 라하자. 부채꼴 O P A 의넓이와부채꼴 O P B 의넓이의차를확률변수 라할때, E 의값은? 245) 2 1 2 3 4 5 2015 수능예상문제 19번 어느공장에서생산하는제품의무게는모평균이, 모표준편차가 2인 정규분포를따른다고한다. 이공장에서생산한제품중에서 개를임의 추출하여신뢰도 로추정한모평균 에대한신뢰구간이 일때, 를만족시키는 에대하여 가성립한다. 표본의크기 을구하시오. ( 단, 확률변수 는표준정규분포표를따른다.) 247) 2015 9 월 (4 점) 어느학교 3학년학생의 A 과목시험점수는평균이 표준편차가 인 정규분포를따르고, B 과목시험점수는평균이 표준편차가 인 정규분포를따른다고한다. 이학교 학년학생중에서 A 과목시험점수가 점이상인학생의비율이 이고 B 과목시험점수가 점이상인 학생의비율이 일때, 의값은? ( 단, Z 가표준정규분포를따르는 확률변수일때, P Z P Z 로 계산한다.) 246) 5 1 2 3 4 5 2015 수능예상문제 20번 1부터 까지의자연수중에서서로다른두수를택할때, 택하여진자연수 중큰수를확률변수 라하면 이다. 자연수 의값을 구하시오. 248) 56
일차변환 2015학년도 6월 2015학년도 9월 2015학년도수능예상 2015 6 월 (3 점) 두일차변환, 를나타내는행렬을각각, 이라하자. 합성변환 에의하여점 가점 로옮겨질때, 의 값은? ( 단,, 는상수이다.) 249) 5 1 2 3 4 5 2015 9 월 (3 점) 그림과같이좌표평면에모든꼭짓점이좌표축위에있고한변의길이가각각 인정사각형 ABCD 와정사각형 EF G H 가있다. 두일차변환 를나타내는행렬을각각 이라하자. 합성변환 에의하여점 A 가점 H 로옮겨질때, 상수 의값은? 251) 5 2015 수능예상문제 21번 좌표평면에서원점을중심으로 만큼회전하는회전변환을, 직선 에대한대칭변환을 라하자. 합성변환 에의하여직선 이직선 으로옮겨질때, 의값은? ( 단,, 는상수이다.) 252) 1 2 3 4 5 2015 6 월 (3 점) 일차변환 와두 행렬, 에대하여, 이성립한다. 를만족시키는두상수, 에대하여 의값을구하시오. 250) 1 2 3 4 5 2015 수능예상문제 22번 그림과같이한변의길이가 인정삼각형 O AB 가있다. 일차변환 와 를나타내는행렬이각각, 이다. 일차변환 에의하여두점 A B 가옮겨진점이각각 P Q 일 때, 삼각형 O AB 와삼각형 O P Q 가겹쳐진도형의둘레의길이는 이다. 의값을구하시오. ( 단,, 는유리수이고 O 는 원점이다.) 253) Q B P A O 57
이차곡선 2015학년도 6월 2015학년도 9월 2015학년도수능예상 2015 6 월 (3 점) 쌍곡선 위의점 A 에서의접선이 축과만나는점을 B 라 하자. 이쌍곡선의두초점중 좌표가양수인점을 F 라할때, 삼각형 FAB 의넓이는? 254) 2 1 2 3 4 5 2015 9 월 (3 점) 자연수 에대하여직선 이꼭짓점의좌표가 이고 초점이 인포물선에접할때, 의값은? 257) 1 1 2 3 4 5 2015 수능예상문제 23번 직선 위의점 P 에서타원 에그은두접선이이루는 예각의크기 에대하여 tan 이다. 점 P 의 좌표를 라할때, 의 값을구하시오. 259) 2015 6 월 (4 점) 그림과같이두초점 F, F 이 축위에있는타원 위의점 P 가 F P 를만족시킨다. 점 F 에서선분 P F 에내린수선의발 H 에 대하여 F H 일때, 상수 의값은? 255) 2 1 2 3 4 5 2015 6 월 (4 점) 좌표평면에서포물선 의초점을 F, 포물선 의 초점을 F 라하자. 점 P 는다음조건을만족시킨다. ( 가) 중심이 위에있고점 F 을지나는원과중심이 위에있고 점 F 를지나는원의교점이다. ( 나) 제 사분면에있는점이다. 2015 9 월 (3 점) 보다큰실수 에대하여타원 의두초점과쌍곡선 의두초점을꼭짓점으로하는사각형의넓이가 일때, 의 값을구하시오. 258) 2015 수능예상문제 24번 타원 과두초점 F, F 을공유하고주축의길이가 인 쌍곡선이있다. 타원과쌍곡선의한교점을 P 라고할때, 삼각형 FP F 의 넓이는? 260) 1 2 3 4 5 원점 O 에대하여 O P 의최댓값을구하시오. 256) 58
공간도형 2015학년도 6월 2015학년도 9월 2015학년도수능예상 2015 9 월 (4 점) 좌표공간에두점 과 을지나는직선 이있다. 점 와직선 사이의거리가 일때, 의값은? 261) 5 1 2 3 4 5 2015 수능예상문제 25번 그림과같이평면 위에놓여있는서로다른네구,,, 이다음 조건을만족시킨다. ( 가) 의반지름의길이는 이고,,, 의반지름의길이는 이다. ( 나),, 은모두 에접한다. ( 다) 은 와접하고, 는 과접한다. 2015 9 월 (4 점) 그림과같이 위에놓여있는서로다른네구 조건을만족시킨다. 이다음,, 의중심을각각 O, O, O 이라하자. 두점 O, O 를지나고 평면 에수직인평면을, 두점 O, O 을지나고평면 에수직인 평면이 과만나서생기는단면을 라하자. 단면 의평면 위로의 정사영의넓이가 일때, 자연수 을구하시오. [4 점] 263) ( 가) 의반지름의길이는 이고, 의반지름의 길이는 이다. ( 나) 은모두 에접한다. ( 다) 은 와접하고, 는 과접한다. 의중심을각각 O O O 이라하자. 두점 O O 를지나고 평면 에수직인평면을, 두점 O O 을지나고평면 에수직인 평면이 과만나서생기는단면을 라하자. 단면 의평면 위로의 정사영의넓이를 라할때, 의값을구하시오. ( 단, 와 는 서로소인자연수이다.) 262) 2015 수능예상문제 26번 평면 위에중심이 O 이고반지름의길이가 인원 가있다. 직선 은 평면 와 의각을이루고, 직선 와점 O 사이의거리는 이다. 점 O 를지나고 에수직인직선이 과만날때, 을포함하고 와한점에서 만나는두평면이이루는예각의크기를 라하자. cos 일때, 의 값을구하시오. ( 단,, 는서로소인자연수이다.) 264) 59
2015학년도 6월 2015학년도 9월 2015학년도수능예상 2015 9 월 (3 점) 서로평행하지않은두벡터 에대하여 이고 일때, 두 벡터 와 가서로수직이되도록하는실수 의값은? 265) 2 1 2 3 4 5 2015 수능예상문제 27번 그림과같이한변의길이가 인정삼각형 ABC 와 AD 이고 D AC 인직각삼각형 ACD 가같은평면에있다. 등식 D B D A D C 를만족시키는실수 의값은? [4 점] 267) 1 2 3 4 5 2015 수능예상문제 28번 2015 9 월 (3 점) 좌표공간에서직선 에수직이고점 를 지나는평면의방정식을 이라할때, 의값을 구하시오. ( 단, 는상수이다.) 266) 공간상의두점 A, B 와동점 P, Q 에대하여다음조건이성립한다. ( 가) AB AP AQ ( 나) AB BP, AB AQ 이때, PQ 의최솟값을 이라할때, 이다. 의값을 구하시오. ( 단,, 는정수 ) 268) 2015 수능예상문제 29번 두실수, 에대하여좌표공간에서세평면,, 이한직선을공유할때, 의값을 구하시오. 269) 60
문제정답및해설 [B 형] 1) 4 이므로 따라서 의모든성분의합은 2) 1 합성변환 를나타내는행렬은 이다. 이므로합성변환 에의하여점 (-1, 1) 이옮겨지는점의좌표는 즉, 이다. 3) 3 라하면 ( 가) 에서 이때, ( 나) 에서 이므로 이다. 또, 이므로 즉, 이다. ( 이면, 이므로모순이다.) 따라서 의 (1, 2) 성분과 (2, 1) 성분의합은 4) 2 따라서, 모든성분의합은 이다. 5) 5 ㄱ. 의양변의왼쪽과오른쪽에 를곱하면 하면 이다. ( 참) ㄴ. 를 에대입하면 따라서 ( ) 이다. ( 참) ㄷ. ㄴ에의해주어진식은 이고 따라서 ( 참) ㄱ, ㄴ, ㄷ모두옳다. 6) 4 에서 따라서모든성분의합은 7) 3 ㄱ. 8 이다. 에서 이므로 즉, 의역행렬이존재한다. < 참> ㄴ. 이면 이므로주어진식에서 양변에 를곱하면 이때, 으로놓으면 이지만 이다. < 거짓> ㄷ. 에서 이므로, 주어진식에대입하면 < 참> 8) 4 따라서행렬 의모든성분의합은 [ 다른풀이] 행렬 의성분의합은, 행렬 의성분의합은. 따라서 9) 3 ㄱ. ( 참) 에서 ㄴ. ( 참) 에서 에서 ᄀ을대입하면 양변의오른쪽에 를곱하면 [ 다른풀이] 에서 이존재하므로 ㄷ. ( 거짓) ㄱ, ㄴ에서 이고, 이므로 이때, 라가정하면 이므로, 즉 가되어모순이다. 따라서옳은것은ㄱ, ㄴ이다. 10) 1 61
11) 5 12) 4 행렬 의모든성분의합이 이므로 13) 5 ㄱ. 에서 이므로 이다. 참 ㄴ. ㄱ에서 이고, ㄷ. 따라서 14) 4 이므로 참 ㄱ, ㄴ, ㄷ모두옳다. 15) 1 메뉴가 참 10이고항목이 개씩이므로걸리는전체시간은 이때 에서 따라서 의최댓값은 16) 4 7 이다. 주어진조건에따라다음식을만족한다. 식 ᄀ, ᄂ을정리하면 하면 17) 라하자. 이므로, 이면 에서 는증가함수 ⅰ) 일때, 에서 의최솟값은 이고 이므로 가능한경우는 일때 일때 이면 가능한경우는,, 의 가지 ⅱ) 일때 의근을 라하자. 이면 이면 [ 그림 ] 에서 의최솟값은 [ 그림 ] 에서 의최솟값은 이면 이어야하고, 이면항상성립한다. 이면항상성립한다. 에서 의순서쌍은 ( 개) 따라서, ⅰ), ⅱ) 에서구하는순서쌍은 ( 개) 이다. 18) 5 에서 이때, 투과길이가 이고용액의농도가 일때의투과도가 이므로 -----ᄀ 또, 투과길이가 이고용액의농도가 일때의투과도가 이므로 ----ᄂ ᄀ ᄂ에서 19) 1 의좌표는 이므로 의좌표를 라하면 이고 에서 따라서 20) 79 두자연수, 에대하여아래그림과같이네꼭짓점,,, 으로하는정사각형이두함수, 와모두만나기위해서는 즉, 이고 이어야한다. 이고 62
( ⅰ) 일때, 그러므로자연수 은 로 개다. ( ⅱ) 일때, 그리고꼭지점의 좌표는모두 100이하이므로 이다. 그러므로 이하의자연수 은 로 개다. 따라서모든정사각형의개수는 21) 1 이고 일때 이므로 log 또, 일때, 이므로 log, log log, 22) 과 log 은서로역함수관계에 있으므로직선 에대하여대칭이다. 은 이고 를만족시키는정수 의 개수이다. 일때만족하는 는 까지의 개와 를 만족시키는자연수 가있다. 이때,,,,, 이므로 [ 다른풀이] 은 log 을만족하는정수의 개수이다. 두함수 log 이라놓으면 는증가함수이고서로역함수이다. 위그림에서 를만족하는정수 의개수를 구하면된다. ⅰ) 일때 이므로 이면주어진조건을만족한다. ( 개존재 ) ⅱ) 일때 을만족하는양수 를구하면된다. 라하면,, 이므로 일때 일때 일때 일때, 일때 따라서 ⅰ), ⅱ) 에서 이면 이면 이면 이면 이면 23) 5 log log log log 에서, log log log 에대입하면, log log 24) 5 log log log log 점 를지나면서 축과평행한직선과곡선 log 와의교점을 라고 하면, 에서 의 좌표는 2 이다. 따라서점 의좌표는 이다. ( 직선 25) 5 의기울기 ) 1보다큰실수 에대해 는 log 의지표와가수이므로 log 단 는정수 이때 의값이 의배수이므로 또한, 는정수이므로 는정수이고 ( 단, 는자연수) 로나타낼수있다. 이므로 에서 이어야한다 한편, 이므로조건들을만족시키는 의값은자연수 의값이작을수록 작아진다. 의값이클수록 따라서 의값을작은수부터구하려면자연수 는작은순서대로, 값은큰순서대로구하면된다. (i), 일때, 이므로 log 즉 (ii), 1일때, 9이므로 3 log 즉 (iii) 2, 2일때, 18이므로 6 의 63
log 즉 (iv) 3, 3일때, 27이므로 9 log 즉 (v) 3, 0일때, 30이므로 10 log 즉 (vi) 4, 4일때, 36이므로 12 log 즉 따라서 의값을작은수부터크기순으로나열하면 이므로, log log log 26) 일때의물의속력을 이라하면 이므로 log log log log ᄀ 일때의물의속력을 라하면 이므로 log log log ᄀ을ᄂ에대입하면 27) 1 이므로 ᄂ 따라서등차수열 { } 은첫째항이 1이고공차가 2이므로 따라서 이므로 (*) 에서 따라서, 28) (i) 일때 이므로 세점 이정사각형과그내부에포함되는경우이므로 (ii) 일때 세점 이정사각형과그내부에포함되는경우이므로 (iii) 일때 세점 이정사각형과그내부에포함되는 경우이므로 (i), (ii), (iii) 에서 < 참고> 위의풀이의 (iii) 에서 세점 이정사각형과그내부에포함되는 경우에는점 도이정사각형의내부에포함되므로조건을 만족시키지않는다. 마찬가지로, 세점 이정사각형과그내부에포함되는경우도 조건을만족시키지않는다. 29) 2 자연수 에대하여 이므로 에서 ( ) 이다. 이상의자연수 에대하여 이고, ᄀ에서ᄂ을뺀식으로부터 ᄀ의식에 대신 을대입하면 를얻는다. 양변을 로나누면 ( 가) 이다. 이라하면, 이므로 이다. ( 나), 30),, 가등차수열이므로,, 이등비수열이므로,, 또는 공비가양수이므로, 31) 1 ( 다), 이므로 이때, 의양변에 을곱하면 64
따라서,, 이므로 32) 점 의 좌표를나열하면 이므로 점 의 좌표 는 이다. 점 의 좌표를나열하면 이므로 홀수번째항으로이루어진수열은 첫째항이 이고공차가 인등차수열이므로 점 의 좌표 는 [ 다른풀이] 의좌표를 이라할때, 선분 의중점과선분 의중점이 같으므로 수열 에서,,, 이므로 또한, 수열 에서,, 이므로 ᄀ에의하여 따라서 의좌표는 이므로 33) 1 34) 250 이므로 등차수열의공차를 라고하면, 초항이 5, 공차가 3인등차수열이므로 35) 1 등차수열 의공차를 라하면 에서 36) 1 모든항이양수인수열, 은 식 ᄀ ᄀ의양변에상용로그를취하면 log log 이다. 양변을 로나누면 이다. 이라하면 이고 이다. 수열 의일반항을구하면 이다. 그러므로 이다. 이므로 따라서 이다. 37) 38) ( ) \ 점 을지나고기울기가 인직선의방정식은 즉, 이직선과곡선 의교점의 좌표는방정식 즉, 의실근이다. ( ) 이때, 이므로수열 { } 의계차수열이 { } 이다. 39) 2 아래그림과같이원 의중심을, 원 와중심이 인원이만나는점을 라하자. 이때, 삼각형 는정삼각형이므로 한편, 도형 에서가장작은원은개수가, 반지름의길이가 이므로 따라서 65
lim 40) 12 에서 이때, 이면 ( ) 한편, 이므로 이때, 이므로 따라서, 41) 3 이므로 ( ) lim 은반원의넓이에서활꼴의넓이를빼면되므로 위의그림과같이 에서새로생긴원의반지름의 길이를 라하면 에서 따라서수열 은첫째항이 이고, 공비가 인등비수열이다. lim [ 다른풀이] 에서새로생긴작은원의반지름 을 이라하고 새로생긴작은원의색칠된부분의 넓이를 이라하자. 은반원에서 [ 그림 1] 의색칠된 부분의넓이를빼면되므로 [ 그림 2] 에서 새로생기는작운원들은 직전원의개수의 배씩생기므로 ( 공비) [ 그림 1] [ 그림 2] 이라하면 이므로, 따라서 43) 2 lim lim lim 44) 3 lim 직사각형 의세로의길이를 이라하면 직사각형 의세로의길이는 이고 이므로 또한, 점 을좌표평면위의원점에놓고직사각형 의가로와 세로를 축, 축에평행하게놓으면점 42) 4 은 원 위에놓이게된다. 에서새로만들어지는모든 모양의넓이의합을 하면 이라하면 66
따라서닮음비가 이므로넓이의비는 이고 에서 또는 그리고 lim 45) 4 ( ⅰ) 위의식을변끼리더하면 lim lim () 이므로 lim lim lim lim ( ⅰ), ( ⅱ) 에서 lim 이므로 46) 5 라고하면 양변을제곱하면, 또는 이때, 은무연근이므로 ᄀ lim 따라서 의그래프와직선 의교점의 좌표를각각 라고 하면그림과같다. 즉, ᄀ을만족하는 의값의합은 47) 따라서, 주어진부등식의해는 또는 이므로자연수 는 이고, 구하는합은 이다. 48) 4, 이므로 에서 이 를근으로가져야 한다. 49) 4 에서 서로다른실근의개수는 인것 : or 의 개 인것 : 의 개 이중 인것 : ( 개) 50) 3 주어진그림에서두지점 A, B 사이의거리를 라하자. 원의반지름의길이가 1이므로 BC CD 이고, 점 D에서선분 AE에내린수선의발을 H라하면삼각형 DHE 에서 D E D H HE 갑이산책로 AB를이동할때걸린시간은, 원모양의산책로를이동할때 걸린시간은, 산책로 BE를이동할때걸린시간은 이므로갑이 출발후도착할때까지걸린시간은 ᄀ 을이출발후도착할때까지이동한거리는 이므로 을이출발후도착할때까지걸린시간은 ᄂ 갑이을보다 2 시간늦게도착하였으므로ᄀ, ᄂ에서 양변을제곱하면 67
51) 6 A그릇에있는소금의양을 (g) B그릇에있는소금의양을 (g) 따라서, 라하면 라하면, 이므로 이때,,, 이므로 따라서, 자연수 의최솟값은 6 이다. 52) 2 에서 라하면, 다시환원하면 에서 양변제곱하고이항하면 근과계수와의관계에서두실근의곱은 이다. 53) 3 처음걷는속력을 라하면, 에서 이므로 따라서구하는최솟값은 이다. 54) 3 이므로 55) 1 ( ) 따라서 와그래프의교점은 56) 5 3개 ( ⅰ) 일때,,, 이므로정수 의값은 이다. ( ⅱ), 일때,, 이고,, 이므로 정수 의값은 이다. ( ⅰ),( ⅱ) 에의하여구하는정수 의 개수는 이다. 57) 에서 로놓으면 또는 이므로 에서 이차방정식의근과계수의관계에의하여 이므로 58) 4 두직선, 가 축과이루는양의각의크기를각각, 라고 하면 tan, tan tan tan tan tan tan tan 59) 삼각형 에서코사인법칙에의해 cos cos 삼각형 는정삼각형이므로 삼각형 의넓이는 cos cos 삼각형 의넓이는 sin sin 이므로사각형 의넓이 는 sin cos sin cos sin 따라서, 는 즉, 일때최댓값을갖는다. sin sin 60) 1 tan tan 이므로 sin sin sin sin sin cos sin sin cos sin cos 최대가되는 이므로 tan tan sin 68
cos sin 61) cos cos cos cos cos 로치환하면 cos tan sec 62) 2 cos cos cos 63) 3, 라하고세점,, 가움직인거리를각각,, 이라하면 이고세점의속력은같으므로, 따라서, sin sin sin sin sin sin 이고 에대입하면 sin sin sin sin sin sin sincos sincos sincoscos sincos coscos cos coscos cos cos cos 64) 2 sin 이므로 cos sin sin sincos 65) cos sin coscos sinsin sin cos sin sin sin cos sin 단 sin cos 최댓값 따라서 66) 4 삼각함수의합성에서 sin cos sin 이므로 sin cos sin 최대값 sin, max 67) 3 sin sin sincos cos cos, 68) 3 sec tan cos 69) 3 cos cos cos sin cos sin sin cos sin ( 단, sin cos 따라서, 함수 의최댓값은 이므로 이므로 70) 2 함수 가 에서연속이므로 lim lim 71) 5 lim lim lim lim 72) 5 lim lim lim lim 73) 2 ) 의직사각형의가로의길이와세로의길이를각각, 라하면 O A 의가장작은원의반지름의길이를 이라하면,, 각원에서색칠된부분의넓이는첫항이, 공비가 인 등비수열이고, 개수는 개, 개, 개, 의등비수열을이루므로 69
lim 74) AO S 에서 AS cos O S sin 이므로 sin cos sin O P Q 에서 P O Q 이므로 PQ sin P Q R 에서 P R sin, Q R sin cos 이므로 sin cos ᄀ, ᄂ에서 lim sin lim sin cos lim sin cos lim sin cos 75) 4 A 그림에서 라하면 cos, sin 이고,, 라하면 ᄀ O sin sin cos cos cos cos cos cos cos cos 따라서, ᄀ에대입하면 cos sin cos sin cos cos sin ( cos ) lim lim cos cos sin lim sin cos cos sin sin lim cos cos sin Q P B 2 서연속이면된다. ( ⅰ) 일때 lim lim 는삼차함수이므로연속함수이다.) lim 이므로 에서 ( ⅱ) 일때 lim lim lim 이므로 에서 ᄀ, ᄂ을연립하면, 따라서 [ 다른풀이] 함수 는 인모든실수 에서연속이 고, 함수 는모든실수에서연속이다. 따라서 는 인모든실수에서 연속이다. 결국 가 에서연속인조건을 구하면된다. 가다항함수이므로 lim, 에서 lim lim, lim lim lim ᄀ, ᄂ에서 이고, 이는 이서로다른세실근 을 가진다는의미이다. 따라서 77) 76) 5 는상수) 라하면 합성함수 가실수전체의집합에서 연속이기위해서는 가불연속점 에 BCD 라하면사인법칙에서 70
CD AD CD BD sin sin sin sin sinad CD sin sin BD sincd AD BD 이므로 CD sin sin sinsin 한편, 이므로 CD lim lim sin sin sin sin lim sin sin [ 다른풀이] BCD BCA ABC 에서사인법칙에의해 BC sin sin BCD 에서사인법칙에의해 BC CD sin sin sin CD sin CD lim lim sin sin sin sin sin sin sin sin sin 78) 1 이므로넓이의비는 이다. 에서마름모한개의넓이는 sin 이므로 lim 79) lim ln ln lim 80) ln tan 이면역함수 와관련하여 ln tan tan, 이므로 lim lim sec sec 16 81) sin, cos 사인법칙에따라, sin cos sin sin sincos sin sin lim 82) 2 로놓으면 ln 함수 가 에서연속이므로 lim ln ( ⅰ) 일때, ( 분모) 이므로 ( 분자) 이어야한다. 즉, ( ⅱ) lim 에서 ln lim ln 이므로 ( ⅰ), ( ⅱ) 에서 83) 라하면 이다. 이등변삼각형 에서 sin sin 따라서 의넓이 는 sin sin sinsin sin sin sinsin lim lim sin sin sin sin lim lim sin sin sin 84) 3 ㄱ. 는방정식 의근이므로,, 따라서, 는방정식 의근이다. ( 참) ㄴ. 가삼차식이므로 로놓을수있다. 71
ᄀ-ᄂ에서 이므로 ᄂ-ᄃ에서 이므로 ᄅ-ᄆ에서 이므로 ᄅ에서 ᄀ에서 이므로 ( 참) ㄷ. 조건( 나),( 다) 에서, 이므로 에서 의양변을 에대하여미분하면 을대입하면 조건( 나) 에서 이므로 ( 거짓) ㄴ. 에서 또는 의근을 라하면 증감표를그려보면 는 에서극댓값을가진다. 구간 에서 은감소함수, 는증가함수이므로 은증가함수, 이므로 중간값정리에의해 ( 참) 87) 4 와 의교점의개수는, 의실근의개수와같다. ( ) 로놓고미분하면 증감표를그려보면, 의그래프를그리면 따라서, 보기중옳은것은ㄱ, ㄴ이다. 85) 에서 이므로 은 와 의교점의개수이므로 86) 5 ㄱ. 에서 ( 참) ㄷ. 이므로 구간 에서 은서로다른두실근을갖는다. ( 참) 따라서 ㄱ, ㄴ, ㄷ모두옳다. 따라서, 의최댓값은 이다. 88) 72
의양변을미분하면 를대입하면 이제 를구하면된다. 에서 라하면,, 이므로 89) 5 이고, 이므로 의그래프는다음과같다. -2-6 1 2 5 6 따라서합성함수 는 또는 에서불연속이므로 에서모든 의값의합은 90) 1 조건 ( 나) 에서 일때, ( 분모) 이므로 ( 분자) 이어야한다. 또한, 와 는서로역함수의관계이므로 ᄀ 이때, 이므로 또는 그런데, 의삼차항의계수는양수이고역함수가존재해야하므로 이다. ᄂ ᄀ에의하여 라하고양변을 에대하여미분하면 ᄃ ᄂ에의하여 ᄅ ᄃ의양변을 에대하여미분하면 이때, 변곡점의 좌표는 에서 그런데, 에서 이므로조건 ᄅ에대입하면 ( 가) 에의하여 의변곡점의 좌표는 3 이되어야한다. 즉, 이므로 91) 12 주어진식의양변을미분하면 따라서, 을대입하면 92) 5 에서 에서 또는 곡선 위의점 에서 축까지의거리와 축까지의거리중크지않은값을 라하므로 곡선 와직선, 와만나는교점을 찾는다. 이때, 미분가능하지않은점이한곳만있으려면 에서곡선 와직선 가만나지않거나 접해야한다. 접점의좌표를 라하면 이고 에서접선의기울기가 이므로 ᄀ, ᄂ에서 73
따라서 의최댓값은 이다. 93) ln 에서 ln ln 94) 2 에서부터 일때 인경우를찾으면 일때 일때 ( 중근) 일때 일때 이라고하면그래프와 의최솟값의 x 좌표가된다. t축의교점중큰값이 가되는 에의해결정되는 의값이 가되는 이므로 에서 일때, 일때, 일때, 일때 를대입하여계산해주면, 95) 96) 로놓으면 조건 ( 가) 에서방정식 의두근이 를두근으로갖는다. 근과계수의관계에서 이므로 즉, 이고 한편, 곡선 위의점 에서그은접선의방정식은 이접선이점 를지나므로 에서 로놓으면조건 ( 나) 에의하여함수 의그래프와 직선 가서로다른세점에서만나도록하는실수 의값의법위가 이어야한다. 인경우함수 의그래프의개형은다음과같고, 문제의조건을 만족시키지않는다. 인경우함수 의그래프의개형은다음과같고, 이어야한다. 에서 97) 3 sin sin sin sin sin sin sin 이때,, sin 라고하면, cos 이므로 ( 좌변) cos cos cos sin ( 우변) 따라서 이므로 98) 4 조건( 나) 에서 cos sin 양변을 에대하여미분하면 sin cos sin cos 등식의양변에 를대입하면 99) 3 ( 조건( 가) ) 두부분의넓이의차 는 의정적분결과와같다. 100) 3 ᄀ 74
ᄂᄀ ᄂ에서 ᄃ ㄱ. ᄀ에서 ( 참) ㄴ. 가 에서극솟값을갖는다고하면, 일때, 이므로점 는곡선 의변곡점이아니다. ( 거짓) ㄷ. 이면ᄀ, ᄃ에서, 이므로 의그래프의개형은다음과같다. -3 3 위그림에서 의그래프와 축이서로다른네점에서만나므로 방정식 은서로다른네실근을갖는다. ( 참) 따라서 < 보기> 에서옳은것은ㄱ, ㄷ이다. 101) 50 에서 이므로 이때, 라하면 이고 일때, 일때 이므로 102) 4 에서 라하면 이므로 103) 5 라하면 라하자. 이므로 의가까운오른쪽에서 따라서 와 의그래프는다음과같다. ㄱ. ( 참) 방정식 은구간,, 에서각각실근을갖는다. ㄴ. ( 참) 에서감소상태에있으므로 ㄷ. ( 참) 이라할 때 이므로 일때, 일때, 일때, 일때, 일때, 일때, 일때, 일때, 따라서 을만족시키는자연수 은 로써 개이다. ㄱ, ㄴ, ㄷ모두옳다. [ 다른풀이] [ 그림 1] [ 그림 2] 라하면 는사차함수이므로위두그림중하나이다. 이므로두그림중 을 만족하는경우는위의 [ 그림 2] 이다. 따라서 의그래프 는오른쪽과같다. ㄱ. 는 개의극점을 가지는사차함수이므로 은서로 다른 개의실근을갖는다. ㄴ. ㄷ. 이다. 이면 이므로 을만족하는자연수 은 의 104) 2 3 개이다. 곡선 와곡선 는직선 에대해대칭이므로각각의곡선과 축, 축, 직선 와직선 에의해정해지는넓이는 로같다. 75
105) log ln 로고치면, ln ln 라두면, ln ln ln 이므로 ln ln 106) 3 직선 과쌍곡선 의교점의좌표를구하면, 또는 따라서, 교점의좌표는 이다. 직선의방정식 에서 쌍곡선의방정식 에서 이므로구하는회전체의부피 는 107) 1 ᄀ ᄀ의양변을 에대하여미분하면 이므로 에서 로놓으면 이므로 한편, 함수 의그래프가원점에대하여대칭이므로 에서 이다. 에서 108) 5 또한, 에서, 109) 2 A와 B를한묶음으로생각해서 5개를원형의실험기구에넣는경우의수는 또한, A와 B가자리를바꾸는경우의수는 따라서구하고자하는경우의수는 110) 2 남학생을선택하는사건을, 여학생을선택하는사건을, 자격증 K를 가지고있는학생을선택하는사건을 라고하면,, 또한, 이므로 따라서 이므로 111) 1 양끝에흰색이놓이면, 가운데 개는흰색깃발 개, 파란색깃발 개를 일렬로나열하는방법의수가된다. 112) 4 주어진실행에의하여상자 B 에있는빨간공의개수가 인경우는다음과 같다. ⅰ) 빨간공 개, 검은공 개를뽑은경우 C C C ⅱ) 검은공 개뽑은후빨간공 개, 검은공 개인경우 C C C C C 이므로 이다. 113) H C C C ⅰ), ⅱ) 에의해 H H C C 114) 2 C 115) 4 A C B 76
A 지점에서 C 지점까지최단거리로가는경우의수는 C 지점에서 B 지점까지최단거리로가는경우의수는 따라서구하는경우의수는 116) 4 A가 2 개의동전을던져서앞면이한개나오고, B가동전을한번던져서 앞면이한번나올확률은 A가 2 개의동전을던져서앞면이두개나오고, B가동전을두번던져서 앞면이한번나올확률은 따라서구하는확률은 117) 2 위의그림과같이 P 지점과 Q 지점을잡자. C 지점과 D 지점을모두지나지않으면 P 지점과 Q 지점은반드시지난다. 따라서구하는경우는 A P Q R B 를지날 때이므로 경우의수는 118) 5 버스로등교하는사건을, 지각하는사건을 라하면 구하는확률은사건 가일어났을때사건 가일어 날조건부확률이므로 P P P P P P 119) 1 ( ⅰ) 꺼낸공의색이다른경우 꺼낸공의색이다르고, 개의동전을 번던져서앞면 이 번나올확률은 C C C C ( ⅱ) 꺼낸공의색이같은경우 꺼낸공의색이같고, 개의동전을 번던져서앞면이 번나올확률은 C C C ( ⅰ), ( ⅱ) 에서구하는확률은 120) 5 ⅰ) ⅱ) 121) 3 일때, 122) 액정화면고장건일사건을, 품질보증기간이내일사건을 라고하면 조건부확률, 123) 2 에서 124) 4 숫자 의개수를각각 라하자. ( ⅰ) 숫자 가택해지지않은경우 구하는경우의수는 를만족 시키는음이아닌정수의순서쌍 의개수이므로 H C C ( ⅱ) 숫자 가한개택해지는경우 구하는경우의수는 를만족 시키는음이아닌정수의순서쌍 의개수이므로 H C C ( ⅰ), ( ⅱ) 에서구하는경우의수는 125) 참가한회원 명중에서임의로선택한한명이여성인사건을, 마라톤에서완주하였을사건을 라하면구하는확률은 126) 3 는정규분포 을따르므로 크기가 인표본평균 에대하여, 따라서, 는정규분포 을따른다. ㄱ. ㄴ. ㄷ. ( 참) ( 참), 이므로 이므로 ( 거짓) 따라서보기중옳은것은ㄱ, ㄴ이다. 77
127) 이므로 이므로 ᄀ, ᄂ을연립하여풀면 128) 1 확률변수 가이항분포 를따르고 이므로 이다. 따라서, 이다. 129) 3 음료수한병에들어간칼슘함유량을 라하면 는정규분포 을 따른다. 크기가 인표본의평균은 따라서신뢰도 로모평균을추정하면 인데 이므로 이고 130) 5 ㄱ. ㄴ. ( 참) 에서 는정규분포 을따르므로 ( 참) ㄷ. 이므로, ( 참) 따라서, ㄱ, ㄴ, ㄷ, 모두옳다. 131) 20 라하면 이므로 라하면 이므로 132) 4 ( 가) 에서 이므로 이때, 이므로 [ 다른풀이] ( 가) 조건에서 그래프의대칭의중심은 이므로 ( 나) 조건에서 133) 표본평균을 라고하면모평균에대한신뢰도 의 신뢰구간은 이므로 ᄀ ᄂ을하면 을 ᄂ에대입하면 따라서, 신뢰도 의신뢰구간은 따라서, 신뢰도 의신뢰구간에속하는자연수는 이므로모두 개다. 134) 2 신뢰도가 95% 일때신뢰구간은 135) 3 이라하면 이므로 일때 가최대이다. 136) 2 P 이므로 ᄀ 확률변수 의확률밀도함수를 라하면 등식의양변을 에대하여미분하면 78
ᄂ ᄀ에서 137) ᄂ ᄀ에서 표본의크기가 일때중앙공원을이용한경험이있는주민의표본비율은 이므로중앙공원을이용한경험이있는주민의모비율 를신뢰도 로추정한신뢰구간은 에서 138) 2 이다. 그러므로 A, C 이므로직선 AC 의방정식은 AB 와 AC 의교점을 D 라하면공통부분의넓이는 BD D 직선 AC 의방정식이 이므로 139) 5 가각 만큼회전변환이라하면 를나타내는행렬은 cos sin sin cos cos sin sin cos cos sin sin cos 의모든성분의합은 cos ᄀ, ᄂ에서 140) 5 일차변환 에의하여점 가 으로옮겨진다고하면 ᄀ ᄀ을 에대입하면 141) 4 일차변환 는원점에대한대칭변환이다. cos sin sin cos 이므로일차변환 는원점을중심으로 만큼회전시킨회전변환이다. 따라서점 A는합성변환 에의하여점 E 로옮겨진다. 142) 5 회전변환 의행렬을, 대칭변환 의행렬을 라하면 cos sin, sin cos 이고합성변환 의행렬은 이다. 에서 이 으로옮겨지므로 ᄀ이 와같아야하므로 따라서 연립하여풀면 143) 에서 144) 일차변환 와 를나타내는행렬을각각, 라고하면, 이므로 145) 4 쌍곡선 에서 직선 위에있는점 가원점을중심으로 만큼회전한회전변환에 의하여옮겨진점을 이라하면 cos sin 이므로 cos sin sin cos sin cos cos sin, sin cos 이식을직선 의방정식 에대입하면 cos sin sin cos cos sinsin cos ᄀ 이때직선 ᄀ이쌍곡선의초점 cos sin sin cos ᄂ의양변을제곱하면 ᄂ 을지나므로 sin cos sincos sin 79
sin 146) 4 조건을만족하는타원의방정식을 ) 라하면,, 따라서, 두초점 의좌표를각각, ( ) 라하면, 즉,, 이다. 에서, 148) 3 마름모 ABCD 를그림처럼놓고점 A, D 의좌표를각각, 이라 하자. 그리고초점을 F 이라하자. 접선 의방정식은 따라서 의최솟값은 이다. 151) 1 쌍곡선 의점근선은 ± 이므로한점근선을 라하면이점근선에평행한직선의 AD 이므로 이므로 ᄀ+ ᄂ에서 마름모 ABCD 의넓이는 이다. 149) 점 P 의좌표를 cos sin 이라두면 기울기는 이다. 기울기가 이고타원 에접하는직선의방정식은 ± ± 또는 이때, 원점과두직선사이의거리가 1이므로 이때,, 이므로 이고점 에서선분 에내린수선의발을 라하면 따라서구하고자하는삼각형 의넓이는 147) 쌍곡선 위의점 에서의접선의방정식은 이고, 접선이타원 의넓이를이등분하므로접선은타원의 중심 을지난다. 따라서, 에서 또한, 이므로 AP cos sin cos cos cos cos cos cos cos 일때최대가되므로 AP 150) 포물선의초점을 F 라하면 에서 F 양변을제곱하면 양변을 으로나누면 152) 128 80
E D C A 직선 와직선 가수직이므로 을 ᄀ에대입하면 154) 1 에서 축에내린수선의발을 라하면,, 이고 G H O B F 그림에서제 1사분면의정사각형의한꼭짓점을 C, 점 A에서 축과준선 에 내린수선의발을각각 D, E 라하고, 점 B에서 축과준선 에내린수선의 발을각각 G, H 라하자., 이므로 또한, 라하면 따라서, 이므로 153) 1 점 이쌍곡선 위의점이므로 이쌍곡선의점근선은 ± 이고 점 에서의접선의방정식은 즉 이다. 포물선 의초점은 이다. 세점 에서준선 에내린수선의 발을각각 이라하면 이고, 포물선의정의에의해,, [ 다른풀이] 에서준선에내린수선의발을 에서준선에내린수선의발을, 에서 에내린수선의발을, 155) 4 원점에서초점까지의거리를 라고하면 이므로 156) 15 접선과 축의교점을 이라하면, 이므로 157) 4 두직선 의기울기 ) 가방정식 의두근이므로 에서 또는, 즉, 두직선 의기울기는각각 라고할수있다. 두직선 는포물선 의접선이므로 (i) 기울기 인접선 의방정식은 ᄀ 81
(ii) 기울기 인접선 의방정식은 ᄂ 두직선의방정식ᄀ, ᄂ을연립하면, 따라서구하는교점의 좌표는 4 이다. 158) 타원의정의에의하여 이므로 의최솟값이 1이므로 이므로 에서 159) 5 ㄱ., 이므로 평면 따라서삼각형 는 이고 인직각삼각형이므로 ( 참) ㄴ. 세점 는한평면위에있으면서일직선위에있지않고, 점 는 그평면위의점이아니므로직선 와직선 는만나지않는다. 즉, 직선 와직선 는꼬인위치에있다. ( 참) ㄷ. ㄱ에서 평면 이므로 또한, 이므로 평면 따라서직선 과직선 는서로수직이다. ( 참) 160) 2 직선 의방정식은 즉, 점 을지나고 축에평행한직선 의방정식은 이므로직선 와직선 의교점의좌표를 로놓을수있다. 점 는직선 위의점이므로 따라서, 에서 이고 점 이원 위의점이므로, 이므로 161) 점 가선분 를 로내분하는점이고, 점 에서평면 에이르는 거리가 이므로점 에서평면 에이르는거리는 이다. 따라서, 직선 는평면 와평행하다. 삼각형 와평면 가이루는각의크기를 라고하자. 평면 에평행하고직선 를포함하는평면을 라고하면 삼각형 와평면 가이루는각의크기도 이다. 점 에서직선 에내린수선의발을 라하고, 점 에서평면 에 내린수선의발을 라하자. 삼수선의정리에의하여 이므로 이다. 이므로 라하면 sin 이다. 삼각형 의넓이가 이므로 삼각형 의넓이는 따라서, 에서, sin cos sin 따라서, 삼각형 의평면 위로의정사영의넓이 는 cos 162) 조건 ( 나) 에서구와원기둥의접점 F, 원뿔과원기둥의접점 D, A, B 는한 평면위에있다. 또, 에서, B 에서 에내린수선의발은원기둥의밑면원주 위에있다. A, B, D 를지나는평면으로자른단면을그려보면, cos 이므로 BC cos tan AH BH tan 163) 2 B 8 A 그림의직각삼각형 ABO에서 O A, AB 이므로 O B 10 원기둥의한밑면과평면 이이루는각의크기를 라하면각 크기도 이므로 cos OAB의 이때, 원기둥의한밑면의넓이를, 이밑면의평면 위로의정사영의 82
넓이를 이라하면 164) 13 구 ᄀ는중심이 이고반지름의 길이가 2인구이고구 ᄂ은중심이원점 이고 반지름의길이가 4 인구이다. 이때, 이므로ᄀ은ᄂ에포함되고, ᄂ의중심은 ᄀ에포함된다. 2 따라서ᄀ에접하는평면이ᄂ과만나서생기는도형은원이고넓이가최대가 되려면점 O 에서평면사이의거리가가장짧아야한다. 즉, 두구의중심 를지나는직선과구ᄀ과의교점중에서점 O에가까운점을 P라하면 점 P 가평면의접점이될때이다. 이때, 단면이나타내는원의반지름의길이를 라하면 따라서, 넓이의최댓값은 165) 3, 이고 를 로내분하는점의좌표는 에서, 166) 에서 에내린수선의 발을 라하면 삼수선의정리에의해 두평면 와 가 이루는각 는두평면의교선 에 수직인 와 가이루는각의크기와같다. 이제종이를다시펼치면그림과같다. 이므로 [ 다른풀이] 이므로 이므로 라하면 한편,, 는모두직각삼각형이므로, 이때, 의평면 위로의정사영이 이므로 167) 4 구 과원점에서접하는접평면의방정식은 이평면은동시에구 에도접하는 평면의방정식이므로벡터 과 는서로평행하다. 168) 5 원 을포함하는평면이평면 와이루는각도를, 원 를포함하는 평면이평면 와이루는각도를 라고하면 169) 평면 의방정식은 점 가평면 위의점이므로, 따라서 직선위의점 는직선 위의점이므로 라하면 170) 5 선분 를 로내분하는점을 라하면 이므로 171) 2 구 의반지름의길이를, 중심의좌표를 라하자.( 단, 구 가 축과 축에접하는점을각각 라하면 이고 이므로 따라서구 의방정식은 으로놓을수있다. ᄀ 83
구 가 평면과만나서생기는원의방정식은 이고, 원의넓이가 이므로 을 ᄀ에대입하면구 의방정식은 ᄂ 구 가 축과만나는점의 좌표를구하기위해서 을대입하면 ± 구 가 축과만나는두점사이의거리가 이므로 따라서구 의반지름의길이는 172) 라하자. 평면 의법선벡터를, ᄂ에 평면 의법선벡터를 이라하자 와 가이루는각을각각 라하면 --( ㄱ) 두평면 가이루는각 는 에서 이다. 각의삼각부등식에서 이고 는 에서감소함수이므로 ( 단, 등호는 일때 ) ( 단, 등호는 일때 ) ( 단, 등호는 일때 ) = 24 173) 1 174) 3 에서 는 의중점이다. 175) 1 의법선단위벡터를 라하면,. 평면의법선단위벡터는 이다. ± 와평면 사이의예각을 라하면 라하면 이것을 에대입하면 ( 넓이) [ 다른풀이1] 평면과 이이루는각을 라하면, 최댓값은 = [ 다른풀이2] ᄀ 이후로코시-슈바르츠부등식에서 의최댓값은 176) 8 ᄀ ᄂ 이때, ᄀ, ᄂ에대입하면 84
, 이고 과 이이루는각의크기를, 크기를 라하면 cos cos cos cos 이때, 따라서, 이고 cos 과 가이루는각의 이므로점 이나타내는도형은 구하는정사면체의한변의길이는 [ 다른풀이] 삼각형 ABC 의무게중심 을 G 라하자. D 에서평면 ABC 에내린수선의발은 삼각형 ABC 의무게중심 G 이므로 D G 평면 ABC 이므로 D G D D 가평면 위에있으므로 D D 에서평면 ABC 까지의거리는 D G 정사면체의한모서리의길이를 라하면 선분 을 1 : 3 으로내분하는점을 C 라할때, 점 C를중심으로하는 원이다. 그런데, 이므로두삼각형, 은합동이므로 이라하면 cos cos cos sin sin 177) 2 D G 178) 따라서, 반지름의길이를 라하면 이때, 가최대가되려면즉, 선분 가가장긴경우는점 이 평면 과같은평면에있을때이다. 점 D 의좌표를 라할때, D G 가평면 의법선벡터가되므로 이때, 점 D 는평면 위의점 이므로 즉, 따라서 D G 한변의길이가 인정사면체의높이가 이므로 P A P B P A P H 이고 P A P H 이므로 산술-기하평균에의하여 PA PH P A PH P A PH 따라서 P A P B 의최댓값은 이므로 179) 3, cos 180) 1 85
직선 의방향벡터를 라하면 또, 이고 이므로 181) 3 이때행렬 의모든성분의합이 이므로 182) 1, 에서 에서 이연립일차방정식이, 이외의해를가져야하므로 183) 5 ㄱ. 이므로 ( 참) ㄴ 이므로 따라서 ( 참) ㄷ. ㄴ에서 이므로양변을제곱하면 즉, 따라서행렬 의역행렬은 이다. ( 참) 그러므로 < 보기> 중옳은것은ㄱ, ㄴ, ㄷ이다. 184) 4 에서 성분의합은 185) 3 에서 이므로 즉, 의역행렬이존재한다. ( ᄀ이참) 즉, 가성립한다. ( ᄂ이참) 에서 이고 1 의역행렬이존재하므로 이성립한다. 이고 2 이다. 1과 2에의하여 이고정리하면 이다. ( ㄷ은 거짓 ) 186) 3 ㄱ. 이므로 ㄴ. ( 참) ( 참) ㄷ. ㄱ에서 ( 거짓) 187) 3 ㄱ. 에서양변의왼쪽에각각행렬 를곱하면 ( 참) ㄴ. ᄀ의양변의왼쪽에각각행렬 를곱하면 ᄀ의양변의오른쪽에각각행렬 를곱하면 에서 ( 거짓) ㄷ. 문제의조건과ㄴ에의하여 ㄱ에서 ( 참) 따라서옳은것은ㄱ, ㄷ이다. 188) 1 189) 2 이고 에서 이므로 또한, 이므로 ᄀ ᄂ 따라서 ᄂ에대입하면 190) 3 ᄀ에대입하면 곡선 와 축과의교점의 좌표는 이므로 86