일반물리학 2 성균관대학교물리학과한정훈 쿨롱법칙 도입 : 물리학은물질의특성과물질간의상호작용에대한이해를도모한다. 기본입자들은모두고유의질량과전하량을지니고질량은중력상호작용을, 전하량은전자기상호작용을유발한다. 중력은전기력, 즉쿨롱상호작용힘에비해상대적으로매우작은힘이기때문에거시적인물체사이에서만그효과가드러난다. 반면전기력은아주작은물체, 가령원자핵과그주변을도는전자사이에서도강력한효과를준다. 주어진원자의운동은중력이존재하는지구상에서는무중력상태인우주공간에서나사실상동일하다. 하지만인간의움직임은지구상에있을때와우주공간에있을때전혀달라진다. 전기력이미시세계를지배하는힘이란점을시사하고있다. 쿨롱법칙의발견 : 프랑스의과학자 Charles Coulomb (1736-1806) 은본인이고안한실험 도구를이용해전하를띤물체사이의힘의법칙을알아냈다 1). 뉴턴의중력법칙과동일한 꼴로주어지는쿨롱의힘법칙은 형태로주어진다. 여기서 은유전상수라고불리는양인데자유공간의경우그값이 C N m 이다. 따라서 N m C 이된다. 앞으로는 대신 를종종사용하도록한다. 전하량은전자의값을기준으로한다. 전자의전하량은 1쿨롱 (C) 의 배에해당한다. 이것을 C으로표시한다. 편의상 ( 아니면우연히도 ) 전자의전하를음 (-) 의값으로취급한다. 상대적으로양의전하를지닌양성자는 C이란전하량을지닌다. 물질의중성 : 양성자의전하량과전자의전하량은정확히반대일까? 즉크기는정확히같고 부호만반대일까? 두전하량의크기가동등하다는사실은현실적으로우주와물질세계의안정성에대단히중요한의미를갖는다. 가령하나의양성자와하나의전자로구성된수소원자를생각해보자. 만약전자와양성자의전하량이조금달랐다면수소원자는유한한전하량 을갖게되며두수소원자사이에는서로미는힘이쿨롱법칙에따라 1) 쿨롱이사용한실험도구및방법에대한동영상 : http://www.youtube.com/watch?v=fystgx-f1gm
만큼존재한다. 만약전자와양성자의전하량이 만큼서로다르다고하면 C 이고두수소원자사이의미는힘은 Nm 두수소원자사이의거리가 m 였다고하면그힘은 N 이다. 이는대단히작은힘처럼보이지만우리는전자와양성자의질량이또한대단히작다 는사실을기억해야한다. 전자의질량은 kg, 양성자의질량은 kg 이다. 양성자의질량의전자보다약 2000 배크므로수소원자의질량은 대략양성자의질량과같다고할수있고각수소원자에미치는가속도는뉴턴의공식으로 부터 게는큰영향이아닐수없다. ms ms 가된다. 이정도의가속도는개개의수소분자에 모든원자와분자는완벽하게전하중립적이라고볼수있다. 즉양성자와전자의전하량이완벽하게서로반대인것이다. 중성자의전하량은완벽하게 0이다. 수많은양성자와중성자그리고전자로구성된모든거시적물체들의전하량은 0 2) 이고자유전자들이일부물체표면에존재할수는있다. 이때그물질은충전되었다 (charged) 라고한다. 하지만그양은대개극히미미한정도 ( C) 이다. 전하량보존 : 닫힌계 (isolated system) 에갇혀있는입자의총전하량은시간에따라 절대 변하지않는불변량이다. 물론전자가늘전자로, 양성자가늘양성자로남아있다면이것은당연한결론이라고할수있다. 그러나자연법칙은이보다복잡해서전자가다음순간사라지기도하고, 양성자가다음순간중성자와반전자 (positron) 로갈라지기도한다. 심지에는아무것도없던빈공간에전자와반전자가쌍으로탄생하기도한다. 모든입자에는반입자가존재한다. 그러나어떤입자의변환과정을보더라도반응전과반응후에참여하는입자들의총전하량은동일하다. 이것이자연의가장기본적인법칙중의하나인전하량불변법칙이다. 상대론에서는관측된시간이관측자의움직임, 즉이동속도에따라달라질수있다고한다. 그렇다면주어진닫힌상자안의총전하량도관측자에따라달라질수있지않을까? 그러나그렇지않다. 상대론적입장에서도총전하량은엄격하게보존되는양이다. 전하량의보존, 그리고단한개의전하량값만이자연에존재한다는사실, 즉 2) 분자의알짜전하량을측정하고자하는실험이있었다. 가령다음논문을보라. J. G. King, Phys. Rev. Lett. 5, 562 (1960).
전하량은양자화되어있다는사실, 이두가지사실은전하의특성을이해하는데가장중 요한두가지사실이다. 쿨롱힘의중첩및전기장 : 쿨롱힘은 에위치한두점전하 에대하여다음과같 은벡터식으로주어진다.. 여기서 는두입자사이의거리, 는두입자를잇는단위벡터이다. 여러개의입자가공존하는공간에서는전하 가또다른전하 에미치는힘이 로주어진다. 만약어떤특정한전하에가해지는알짜힘을알고싶다면이 표현을그전자를제외한나머지모든전하에대해합하면된다... 이것은얼핏당연해보이지만사실은매우중요한중첩의원리 (superposition principle) 이다. 중첩의원리가작용하지않는물리현상은다루기가너무힘들어진다. 어떤전하에작용하는힘은그전하의전하량 에또다른벡터량은곱한꼴이다. 이벡터량을전기장 (electric field) 이라고부른다 :. 이식은마치우리는점 에있는전하의전하량을 1로취급한것과같다. 이를흔히단위전하라고부르는데단위전하에작용하는전기력을전기장이라고볼수도있다. 전기장의단위는 V/m 이다. 여기서나오는볼트 (V) 는뒤에설명할전압의단위이고전기장은전압의미분형태로주어지기때문에그단위가 V/m이다. 전기장표현은적분형식으로도바꿔쓸수있다. 우선, 전하의크기는물체의크기에비해너무나작기때문에마치연속적인분포를갖고있는것으로도충분히생각할수있고따라서전하밀도 를도입할수있다. 주어진작은체적 안에들어있는전하량은전하밀도에이체적을곱한양이된다 :. 그리고이전하량이주는전기장은. 중첩원리를적용해보면전체전하분포가주는알짜전기장은위전기장값의공간적인합이다. 이를적분형식으로표현하면다음과같이쓸수있다.
.. 위적분식을이용하면연속적으로분포된전하에의한전기장을계산할수있다. 가령아래그림과같이균일하게전하가분포된막대기를생각하면, 막대기로부터떨어진지점 P에서의전기장을적분을통해구할수있다. 일단적분구간 ( 노란색 ) 에해당하는전하량은 이전하가만들어내는 x-방향의전기장은. ( 여기서 x는전기장을측정하는지점으로부터전하까지의거리 ). 따라서총전기장은중첩원리에따라. 막대로부터아주먼거리에서는막대가하나 의점으로보일것이고따라서전기장도거리의역제곱으로바뀔것이다. 실제로막대에대 한공식은 극한에서쿨롱법칙으로귀속된다. 그림 1 균일하게전하분포된막대에대한전기장구하기비슷한방법으로균일하게전하분포된원모양고리가만드는전기장을구할수있다. 원의중심을지나는수직축위의한점의좌표를 라고하면이점에서의전기장은대칭성때문에오직 -방향만가능하다. 이방향의전기장은적분을통해서얻을수있는데, 작은길이요소 로부터주어지는전기장의크기가, 그리고이값을모든각도 에대해적분하면총전기장 세기는. 전기장과쿨롱힘은사실다른양이아니다. 둘사이의관계는 이다. 따라서 꼭어떤지점이놓은물체의전하량을지정하지않아도그점에서의전기장은정의할수있 게된다. 주어진전하분포는공간적으로전기장분포를만든다. 어떤전하든지주어진지 점을지날때는그점에서의전기장에자신의전하량을곱한힘을느끼게된다. 그입자가 뉴턴역학을만족하는입자라면그입자의운동방정식은 로주어진다. 도체 ( 금속 ) 내부에서의전기장은항상 0 이다. 만약도체내부에전기장이존재한다면옴의
법칙 에따라그전자는내부전기장이 0 이될때까지이동할것이기때문이 다. 마찬가지이유로도체표면에서는전기장이유한할수있지만그방향은항상표면에 수직방향이어야한다. 역제곱법칙 : 지금까지도입한쿨롱상호작용의수학적표현은중력에대한표현과완벽하게동일하다. 단지전하량을질량으로, 를뉴턴의만유인력상수 로대치하기만하면된다. 중력과쿨롱힘은거리에제곱하면그크기가줄어든다. 반대로거리가가까워질수록힘은거리의제곱으로커진다. 중력과쿨롱힘은얼만큼정확히 에비례할까? 이질문에는두가지측면이있다. 하나는주어진거리 에대해지수값이 2에얼만큼완벽하게가까운가, 또하나는설령어떤거리에서는지수가 2라고하더라고다른거리 ( 가령아주가깝거나아주멀거나 ) 에서는또다른지수를따르지않을까하는점이다. 역제곱법칙으로부터유도되는특이한결과중하나는다음과같은것이다. 우선완벽한형태의속이빈구를만들라. 구를구성하는물질의밀도는완벽하게균일하다. 그럼그구내부의어느곳에서도중력의힘은정확히 0이다. 서로반대반향의구표면으로부터받는힘의크기가정확히상쇄되기때문이다. 이현상은힘이정확히거리에역제곱으로비례할때만성립한다. 쿨롱법칙을시험하려면잘만든충전된구를이용해그구내부의전기장이 0임을검증하면된다. 실제로이와같은실험이 1760년대 Joseph Priestly에의해수행되었다. Priestly는속이빈금속구내부에서전기력이발견되지않음을통해혹시전기력이중력과마찬가지로역제곱법칙을따르지않을까추측했었다. 쿨롱법칙이공식적으로발표된시기는이로부터약 20년뒤인 1786년이다. 영국의 Cavendish 역시 1772년금속구내부에또다른금속구를넣고안에있는금속구에유도된알짜전하량이 0에가까움을발견하였다. 이런종류의실험은최근까지계속되었는데현재까지의결과는지수값을 로표현했을때 이다 3). 중력의역제곱성을작은거리에서검증하기는힘들다. 작은거리에서는물체의크기도작아져야하기때문에중력의효과가그만큼줄어들기때문이다. 일부입자물리학이론은작은거리에서는 5차원공간이그효과를발휘해중력법칙이바뀔것을제안하였다. 이러한가설을검증하기위해 mm미만거리에서의중력을시험하는실험이수행되었다. 현재까지알려진결과로는중력법칙의역제곱성이 mm 거리에서도여전히유효하다. 한편쿨롱힘은원자의크기인 거리에서도거의완벽하게작용한다. 양자역학을적용하여수소문제를풀때역제곱에해당하는전기포텐셜 을사용한다. 이러한해를통해얻어지는여러가지결과들은원자물리의실험결과들과도잘일치한다. 따라서쿨롱법칙의역제곱성은원자세계에서도거의완벽하게적용된다고유추할수있다. Gradient:1 차원함수 의변화율은 가 0 으로수렴할때 의극 한값으로이해할수있다. 마찬가지로다차원변수에의존하는어떤함수, 가령온도분포 함수 의두방향으로의변화율을다음과같은식으로구할수있다. 3) E. R. Williams, J. G. Faller, and H. Hill, Phys. Rev. Lett. 26, 721 (1971).
그림 2 공모양으로균일하게분포된전하. 쿨롱힘이역제 곱법칙을완벽하게만족할경우공내부의전기장은완벽 하게 0이다. lim., lim 이때두개의미분 을각좌표에대한편미분 (partial differentiation) 이라고하고 두개의미분을벡터형태로묶으면그래디언트 (gradient) 가된다. 그림 3 (x,y) 좌표에의존하는온도분 포함수 T(x,y) 와 x- 방향으로의변화 율 전기포텐셜과포텐셜에너지 : 원점에위치한전하가주는힘은 이고 이를어떤포텐셜에너지함수 에대한미분, 꼴로다시쓸수있다. 일 반적으로전하들의집단에대한포텐셜에너지를
로적을수있는데, 임의의전하 가받는힘은 로주어진다. 여기서도입한포 텐셜에너지는수학적으로그미분이힘을주는관계식을줄뿐아니라, 물리적인의미도 갖고있다. 주어진두전하를무한한거리만큼떼어놓기위한해주어야할일의양이다 름아닌 이고, 따라서위에서정의한 는주어진전하집단을 해체 하기위 해요구되는에너지이기도하다. 이러한개념은이온결합한고체의에너지를계산할때특 히유용하다. 가령 NaCl 은양전하인 Na+ 이온과음전하인 Cl- 이온이규칙적으로배열되 어있다. 특정한이온을기준으로하여그이온과나머지이온사이의상호작용에너지를 구한뒤이값이전체이온수 N 을곱하고 2 로나누면 NaCl 의전기결합에너지가된다. 한이온당의결합에너지는이를다시 N 으로나누면얻어진다. 가장인접한 Na+ 와 Cl- 의 거리를 라고할때결합에너지는 이된다. NaCl 을분해하려면, 즉 NaCl 을녹이려면각이온당이만큼의에너지를공급해야한다. 연 속적인전하분포를가정한다면위치에너지를다음과같이다시쓸수있다.. 전기장에의한전하의운동 : 전기장이있으면전하에힘이가해지고뉴턴법칙에따라전하는가속운동을한다. 예를들어음극선을통과하는전하는입사방향에수직으로힘을받게되고그결과는, 이된다. 이것은중력에의한물체의포물선운동과수학적으로동등하다. 길이 인음극선 을벗어나는순간의시간은, 따라서음극선을벗어나는순간의속도벡터는 이다. 음극선을벗어나서화면에부딭하는순간까지전자는이속도로 등속운동한다. 전기쌍극자 : 거시적으로보면거의모든물체가중성이지만, 미시적으로보면양전하의분 포와음전하의분포가공간적으로완전히일치하지는않는다. 같은양의양전하와음전하가 공간적으로분리되어있을때전기쌍극자값이유한해진다. 전기쌍극자의정의는 이다. 가령두개의전하 가각각 ± 에위치해있을때두전하가만드는
그림 4 음극관을통과하는전자의운동궤도알짜전기장은. 만약전기장을 측정하는위치 이두전하로부터충분히멀리떨어져있다면, 따라서 가성립하면전 기장표현을테일러전개하여구할수있다. 일반적으로, 따라서두점 에위치한전하 에의한알짜전기장은 이된다. 일반적으로쌍극자에의한 전기장의세기는 에비례하여그크기가감소한다. 이제어떤쌍극자에전기장을걸어준다. 균일한전기장 에해당하는포텐셜에너지는 이므로전기쌍극자에대한포텐셜에너지는 가된다. 즉쌍극자벡터의방향이전기장방향과나란 할때포텐셜에너지를최소화할수있다. 균일한전기장이쌍극자에게주는돌림힘을따져 보면 sin sin. 쌍극자가회전할경우갖게되는각운동량은, 따라서운동방정식은 sin sin 이된다. 이운동방정식은단진자운동의방정식과동일하다. 문제 : [1] 두개의양성자가일정한거리를두고떨어져있을때, 두입자사이에작용하는중력 힘과쿨롱힘의비율을계산하여라.
그림 5 균일한전기장을느끼는전기쌍극자 [2] 완벽하게구모양으로만들어진금속의한가운데전하를가두었다. 이경우금속안에 있는전하들은어떻게반응할까? [3] 그림과같이길이 인막대에균일한전하밀도 가분포되어있다. 막대의중심으로 부터각도, 거리 인지점에서의전기장을구하시오. 혹시적분을완성하지못할경우최 대한풀리는곳까지식을전개하시오. [4] 길이가무한히긴막대에균일한전하밀도 가분포되어있다. 막대로부터의거리 인지점에서의전기장을구하시오. 답은 이다. 유도과정을적으시오. [5] 전기장에대해서술하시오. [6] 쿨롱의실험에대한유튜브동영상을보고내용을요약하시오. [7] 균일하게전하분포된원반 ( 반지름 =) 이만드는전기장의세기를원반의중심축을따 라구하시오. [8] 음극선을벗어나서길이 만큼추가로이동한전하가화면에충돌했을때 - 방향으로 이동한거리 를구하시오. [9] 쌍극자에의한전기장분포를컴퓨터프로그램을이용하여그리시오. 그림 6 문제 [3] 그림
가우스법칙 전기다발과가우스법칙 : 전기장과같은벡터장이있다고하면, 이에대한선속, 혹은다발의개념을정의할수있다. 비유로말하자면흐르는물속에고리모양의철사를집어넣고단위시간동안그철사고리를통과하는물의양을측정한다고하자. 예를들어 1차원적길을통해흐르는유체를아래와같이생각해보면빗금친영역에쌓이는유체의양은 ( 유입된유체의양 )-( 빠져나가는유체의양 ) 이될것이므로 Ex(χ) Ex(χ+ χ) χ χ + χ 그림 7 1 차원유속 와같은식으로표현될것이다. 와같은작은길이가 아니라유한한길이, 즉 구간에쌓이는물의양을생각해보면이양은위표현 에대한적분이된다.. 여기서중간값 들이상쇄되는이유는자명하다. 한쪽벽을통해나오는유체는바로다음벽으로들어갈수밖에없기때문이다. 따라서어떤구역안에쌓이는유체의양은오로지양경계면을통해서유입되거나빠져나가는유체의양에만의존하게된다. χ y (Ex, Ey) 그림 8 2 차원유속
2 차원의작은면적 를통해빠져나가는유체의양을생각해보자. 이제는전기장혹은속도벡터의방향도 두방향이모두가능해진다 :. 이중 - 방향 으로나란한단면을통해들어오는유체의양은오직전기장의 - 성분에비례하고그양은 가된다. 마찬가지로 - 방향으로나란한단면을통해들어오는유체의양은전 기장의 - 성분에만비례하게되고그양은 가된다. 방향까지모두고려하여면 적 에쌓이는유체의양을계산해보면 유한한면적 에쌓이는유체의양은위양의합, 또는적분으로주어진다.. 이때의적분구간은어떤닫힌면적이되고따라서주어진경계 ( 선 ) 이잘정의되어있어야 한다. 1 차원의경우와마찬가지로주어진영역내부에서는출입하는유체의양이서로상쇄 되기때문에결국경계 ( 선 ) 을통해빠져나가는유체의양이영역내부에쌓이는유체의양 을결정할것이다. 수학적으로말하면위에적은 2 차원적분은어떤형태로든영역둘레에 대한 1 차원적분으로변환할수있어야한다. 아마도그답은 이될것이다. 여기서 는영역의경계를따라적분함 을의미하고 벡터는그방향이경계선에수직인길이요소벡터이다. 이관계식은아래 논의할가우스법칙의특별한경우로이해할수있다. =(,, ) z y χ 그림 9 3 차원유속 위그림과같은체적 인 3 차원적육면체를가정하고 1,2 차원에서와유사한 논의를적용해보면주어진체적요소안에쌓이는유체의양은
이되고, 이것을합하면 이된다. 1, 2 차원에서의논의와마찬가지로적분체적내부에서는들고나는유체의양이 서로상쇄되어유일하게상쇄되지않는영역은적분체적의표면이된다. 즉 이되어야할것이다. 이관계식이바로가우스정리다. 일반적인벡터장 ( 꼭전기장일필요 가없다 ) 에대해가우스정리는성립한다. 이제가우스정리를전하로부터발생하는전기장에적용시켜본다. 흔히폐곡면을통해나 오는전기다발을 로표기한다. 원점에위치한단위점전하가만드는전기장 은 이다. 원점을중심으로하는반지름 인구를적분표면삼아적분을해보 면 이됨을알수있다. 그런데같은전기장벡터에대해 임을금방확인할수있다. 따라서가우스법칙이성립하는않는것 으로보인다. 그러나다른한편, 쿨롱법칙에따르면이적분값은 이되 어야한다. 놀랍게도적분결과는적분구의반지름에무관하다! 이와같은성질을가우스법칙테두리안에서만족하려면우리는 임을가정해야한다. 여기에도입한 - 함수 는점전하에해당하는밀도함수이다. 따라 서체적적분을점전하를포함하는구역에대해서하면그적분결과가 1, 점전하는포함하 지않는구역에대한적분결과는 0 이되어야한다. 이제는점전하가만드는전기장도가우 스법칙을만족하게된다. 뿐만아니라적분영역이점전하를원점에둔구모양이아니어 도적분결과는항상똑같다는사실을알수있다. 즉원점을포함한임의의적분체적 에대해서 가성립한다.
Q6 E1 Q1 Q3 Q7 Q5 Q2 Q4 Q8 그림 10 전하들의모임과가우스폐곡선 점전하의집합에대해서는, 일반적인연속적전하분포에대해서 는 이성립한다. 따라서가우스법칙에따르면전기장이만드는 유속의양은폐곡면안에포함된총전하량에정확히비례한다.. 가우스법칙의응용 : 가우스법칙이주는중요한교훈중하나는구면대칭을만족하는연속적인전하분포는동일한전하량을띤점전하와정확히똑같은전기장을발생한다는점이다. 연속적인전하밀도분포함수 을생각한다. 이함수는오직원점에서의거리 에만의존한다. 이러한전하분포로부터발생하는전기장은원점에서의지름방향 (radial direction) 을향할것이고그크기는원점에서의거리에만의존할것이다. 따라서전기선속에대한가우스법칙을다음과같이쓸수있다.. 따라서전기장의크기는정확히 이된다. 이결과는정확한전하밀도 분포에는무관하고오직반지름 내부에쌓여있는총전하량 에만비례한다.
그림 11 구면형태의전하분 포에대한가우스법칙적용 마찬가지원칙이구면형태의중력장에도적용된다. 지구나태양과같은천제를대략완벽한구라고취급하고그밀도분포역시구면대칭을가정하면각물체에서발생하는중력장은마치모든질량이그물체의중심에점입자꼴로모여있는것과같은꼴이된다. 따라서매우거시적인물체인태양과지구사이의중력상호작용도두점입자의상호작용과똑같은법칙을만족하게된다. 원통대칭성을만족하는임의의전하밀도분포의경우원통축으로부터의거리 지점의지 름방향전기장 ( 다른방향으로는전기장이존재할수없다 ) 의크기가 즉 로주어진다. 따라서선밀도 로전하가균일하게분포되어있는막대전하의경우전기장의세기는 로주 어진다. 그림 12 선전하에대한가우스 법칙적용 무한히큰평면판에균일한전하밀도 가분포되어있다고하자. 가우스법칙을적용하면 평면판으로부터의거리에상관없이전기장의크기는항상 임을알수있다. 일반
적으로얇은평면판에전하가분포되어있다고하면양면끝에서의전기장값의차이는평 면판에분포된전하량에비례하여주어진다. 그림 13 무한평면에대한가 우스법칙적용 비슷한논의를금속표면의아직작은부위에적용해보면금속표면에수직인전기장의세기는표면의전하밀도에대해 의관계가된다. 이는금속내부쪽으로는전기장이존재하지않기때문이다. 샌드위치형태로쌓이전하밀도분포함수 에대해서는일반적으로다음관계가성립한다.. 이를바꿔표현하면 이된다. 전기장에너지 : 이제전하에가해지는전기적힘을고려해보자. 주어진전하집단 에가해지는전기장은, 따라서힘은 이된다. 적분해보면단위면적당가해지는힘은 이된다. 이번에는반지름 에분포되어있는표면전하 를반지름 로수축하는데 드는일을생각해보자. 전하내부의전기장은 0, 외부의전기장은 이므로가해지는 힘은 에면적 을곱한값이된다. 여기에이동거리 을곱하면일의양은 이된다. 공의반지름이줄어들면그만큼전기장이존재하는공간이늘 어난다. 일의값 는공간에전기장을만드는데필요한일이라고도볼수있다. 다시생 각하면전기장자체가에너지를갖는데그값은 로주어진다. 대전된 공을수축하기위해가해준역학적일이전기장에너지의증가로나타나는것이다.
그림 14 단위면적에두께는 인조각 에대한정전기적힘 문제 : [1] 원통형태로분포된전하의전하밀도함수가원통축으로부터의거리 의함수로 로주어졌다고하자. 전기장의세기 을가우스법칙으로구하시오.
전기포텐셜 전기장과전위 : 임의의전하집단은특정한전기장분포 을준다. 임의의공간 에전하 를놓았을때이전하가받는정전기힘은 로주어진다. 따라서전기장값을알 게되면모든점에서전하가느끼는힘을알수있다. 정지된전하가만드는전기장은어떤스칼라함수 에대해 로표현될수있다. 이점을증명하려면우선원점 에위치한점전하가만드는전기장이이런꼴로표현될수있음을증명하면된다.. 따라서점전하에해당하는포텐셜함수는 이다. 이제이런점전하 N 개가 부터 사이에위치하고있다고하자. 총전기장은. 중첩의원리에따라 이로부터우리는임의의전하무더기가주는포텐셜함수가 로주어짐을알수있다. 이렇게얻어진전기장은특이한성질을갖고있음을쉽게보일수 있다. 만약어떤닫힌경로에대해전기장을선적분한다고치자. 그결과는. 포텐셜함수는주어진위치에서유일한값을갖기때문에이 적분의결과는 0일수밖에없다. 이것을다른관점에서해석하면이렇게된다. 임의의두점 과 를연결하는두개의서로다른경로 과 를생각해보자. 각기다른경로를 따라선적분한전기장의값은동일하다 :. 따라서이적분의값은오직출발점 과도착점 에만의존하는 함수이며그결과는 이다. 따라서임의의전기장분포에해당 하는전위함수 을구할수있다. 어떤전하분포가주는전기장을알고싶다면우선 해당되는전위함수 을구하고이함수에대해미분을취하면된다. 가령균일하게전 하가분포된얇은원형판이있다고하자. 원판의반지름은 이라고하고, 원판의축으로부 터수직한거리 에서의포텐설을구한다고하자. 이값은. 이함수는 을중심으로대칭적인꼴을갖고있다. 그런데기울기 ( 즉 - 방향의전기장 )
는 에서불연속적으로변함을알수있다. 기울기의차이값은전하밀도 와관계된 다. 일때의포텐셜꼴은 따라서전기장값은 sgn 으로주어진다. 아주먼거리 ( ) 에서는포텐셜이다 음꼴로단순화된다 :. 원판에놓인총전 하량이 임을이용하여이를다시정리하면 이된다. 따라 서아주먼거리에서보면마치점전하가원점에있는것과같은전위함수꼴을갖는다. 단위길이당전하밀도가 인긴막대가만드는전기장은 임을앞서구한바 있다. 이에해당하는전위함수는 ln 이다. 두거리 사이의전위차는 ln 가된다. 우리가흔히전압이라고부르는양은바로이전위차 를말하면전압, 또는전위차의단위는볼트 (V) 이다. 따라서전기장의단위는 V/m 가된다. 공모양의금속표면에서정의된전위는 이다. 이는공으로부터무한히먼 곳의전위를 0 으로기준한다. 같은전하량 가쌓여있는공이라면반지름이작을수록 전위가높다. 전위가같은지점을연결하면하나의곡면이형성된다. 이것을등전위면이라 고부른다. 전기장과등전위면은항상수직이다. 물리적으로그이유는전하가등전위면을 따라이동할때는에너지가변하지않고따라서전하의움직임에수직방향으로만힘 ( 즉전 기장 ) 이작용할수있기때문이다. 금속내부에는전기장이존재하지않기때문에금속전 체는등전위면 ( 등전위체 ) 이라고할수있다.
전류 전류와전하보존 : 전하의흐름을전류라고한다. 분자는동일한숫자의양성자와전자를 포함하기때문에분자의이동은전류를유발하지않는다. 전하량 인전하들이속도 로이 동하는모습을상상하자. 이때주어진시간 동안단면적 를통과하는전하의양을계산해볼수있다. 단면적의방향까지고려하면단면적벡터를 로정의할수있다. 전하의진행방향 와단면적의방향 가나란하지않음을고려해야한다. 시간 동안단면적을통과하는전하는체적 안에포함된전하이다. 여기에전하밀도 과개별전하의전하량 를곱하면단면을시간 동안통과하는전하의양은 이된다. 이 것을시간 으로나눈양이바로전류다.. 이양은전류밀도벡터 와단면적벡터사이의내적으로도이해할수있다. 여러 종류의전하 가제각각다른속도 로이동한다면총전류밀도는각전류밀도의합으로 표현된다.. 만약전자만이이동한다고치고, 각전자는서로다른속도로이 동한다고하면전자의평균전류밀도는 로표현할수있다. 여 기서 는전자들의평균속도를나타낸다. 전류는곧전하의움직임의의미한다. 그러나전류벡터자체는시간에무관하게일정할수 있다. 이러한상태를정상상태 (steady state) 라고한다. 정상상태에서닫힌폐곡면을통과 하는전류의다발 (flux) 값 를생각해보자.. 전하가닫힌곡면내부에서새로생성되거나소멸되지않는한모든흘러들어온전류는다 시밖으로나간다. 이것이정상상태를유지하기위한조건이고, 이경우 이어야만한 다. 여기에가우스법칙을적용하면, 따라서 이됨을알수있다. 이번엔좀더일반적으로시간에따라폐곡면안의 전하량이변하는경우를생각해보자. 는다름아닌폐곡면내부의전하량이시간에따라 변하는비율이므로 이라고할수있다. 즉일반적으로 인관계가성립한다. 그런데임의의폐곡면에대해적분량이 0이려 면적분되는함수자체가모든점에서 0 일수밖에없다. 따라서 이식은전하량보존을나타낸다.. 전기전도도와옴 (Ohm) 의법칙 : 도체내부에존재하는자유전자는외부에서걸어준전기
장의세기에비례해움직인다. 앞서도체내부에서는전기장이존재할수없다는얘기를한 바있다. 하지만이주장을뒷받침하기위해서전하의움직임이없다는가정을했던것을 기억하자. 만약전하가움직이는상황을가정한다면더이상도체내부에서의전기장이 0이라고할수없다. 도체내부에존재하는전기장벡터 와전류밀도 사이에는비례식 이성립한다. 이것이바로옴 (Ohm) 의법칙이다. 이때등장하는비례상수 를그물질의 전기전도도라부른다. 는각물질의고유한특성이며절연체는, 매우좋은전도성을 갖는금속은 에가깝다. 초전도체의경우전기장을가하지않아도전류가흐를수있 기때문에실제로 이된다. 단면적, 길이가 인전선을따라흐르는전류를생각해보면 가된다. 의방향이모두같다고할수있으므로 가된다. 양변에전선의길이 을곱하면 가되는데 는양변의전위차, 을나타낸다. 따라서전선을따라흐르는전류와전위차사이의관 계식을 이라고쓸수있다. 여기서 는해당전선의저항값이다. 전기전도도대신비저항 값 를사용하기도하는데 로부터비저항값을쉽게구할수있다. 비저항을이용 하면물질의저항값은 로주어진다. 다시 의관계식으로돌아가자. 정상상태의경우 의관계식을얻는다. 여기에다시전도도 가균일하다고가정하면 이된다. 그런데 으로전하밀도와관계가되므로도체내부에서는알짜전하밀도가 0 이라는결론을얻는다. 만약전도도가서로다른물질두개를접합하여전선을만들었다고 하자. 각물질의전도도를 라고하고, 정상상태를다시가정하면 로부터, 따라서전기장의크기가각물질마다다름을알수있다. 각물질내부에서는 여전히알짜전하량이 0이되므로두물질사이의접합지점에만알짜전하가쌓일수있고, 그양은가우스법칙에의해 에비례하여주어진다. 옴의법칙 에등장하는전기전도도 를좀더미시적인관점에서이해할수있다. 각전하가뉴턴역학을만족한다고하면전하, 즉자유전자의운동방정식은, 따라서전하는등가속운동을할것이다. 하지만움직이는전하는다른전하, 또는고체를 구성하는수많은원자들과충돌하기때문에실제로는이렇게자유롭게전기장영향을받아 가속할수있는시간이유한하다. 이효과를마찰력으로표현하면운동방정식이 로바뀐다. 이방정식은공기마찰력영향을받으며자유낙하하는물체의운동방정식과 사실상동일하다. 정상상태, 즉속도벡터가일정한상태에도달했다고가정하면식의좌
변은 0 이되고식의우변으로부터 를얻는다. 여기에밀도와전하량을곱하면. 따라서금속의전기전도도는전하의평균이동시간 의함수로 가된다. 전하 하나가전기장으로부터받는일률은 이고, 단위체적당일률은여기에밀 도를곱하여 가된다. 여기에전선의단면과길이를곱해보면전선에서이동하는전하에주어지는일의 양은, 즉전선에흐르는전류와전압의곱으로주어진다. 흔히옴의 법칙을이런형태로표현하기도한다. 저항의단위와전류의단위는각각옴과암페르라고 한다. 전기전도모델 : 순수한물 H 2 O는약하지만전기가통하는도체이다. 물분자자체는동일한수의양성자와전자로이루어진전기적중성물질이지만액체상태의물분자중일부는 OH - 이온과 H + 이온을해리되어존재한다. 전기장을가하면각이온은반대방향으로이동하면서전류를생성한다. 소금 (NaCl) 을물에녹이면 Na + 이온과 OH - 이온의숫자가급격히늘면서전기전도도역시급격히증가한다. 바닷물이생수보다약 100만배의전기전도도를갖는이유는바닷물에녹아있는 Na + 이온과 OH - 이온때문이다. 액체이건기체이건수많은작은공들이제멋대로움직이는집단으로이해할수있다. 하나 의움직이는공이다른공과충돌할때까지의평균시간을충돌시간, 또는평균자유시간 라고하자. 어느특정방향으로움직이던공이같은크기의다른공과탄성충돌한뒤갖게 될새로운방향은완전히등방적이란사실을고전역학적으로쉽사리증명할수있다. 즉 몇번의충돌후에는한분자가갖고있던운동방향은완전히 망각 되어버린다. 그러나 전기장을가하면이온들은전기장과나란한방향으로가속운동을시작할것이다. 양이온의 질량을, 음이온의질량은 라고한다면운동방정식은각각, 로주어진다. 이식은분자와분자의충돌사이구간, 즉시간 ± 구간에서만성립 한다고봐야하므로이구간에서적분하면,. 여기에 각전하의전하량을곱하고전하밀도 을곱하면전류밀도를얻을수있다.. 전도도에대한일반적은공식으로부터우리는양이온과음이온이같은밀도로공존하는물 질계의전도도는 가됨을알수있다. 금속의전기전도 : 금속의전기전도는이온이아닌자유전자가담당한다. 가령 Na 금속의
경우각 Na 원자가하나씩의자유전자를배출하므로총자유전자의밀도는 Na의밀도와동일하게 으로주어진다. 여기에전자의질량 을곱하고실험적으로측정된 Na의전도도값을이용하면평균자유시간은 으로주어진다. 등분배법칙을이용하면전자의평균이동속도를상온에서구해보면 sec, 따라서충돌사이에전자가이동하는거리는약 정도이다. 인접한 Na 원자사이의간격이이보다 1/10 정도이므로전자는다른전자와충돌하기전약 10개의 Na 원자를지나친다고볼수있다. 이런놀라운결과가어떻게가능할까? 이에대한해답을얻으려면전자가파동적특성을지닌입자라는사실을알아야한다. 마치빛이물질로가득찬유리나물을쉽사리투과할수있는것처럼파동은입자에비해투과성이좋다. 엄밀히따지자면완벽히규칙적으로배열된 Na 이온격자의경우전자의평균자유시간은무한대가될것이다. 우리는오히려왜전자가고체격자속에서겨우유한한시간동안만충돌없이이동하는지를이해해야한다. 실제고체의이온은열적요동을끊임없이하고있기때문에어느특정한순간에모든이온의위치를사진찍어보면완벽한규칙성에서조금씩벗어나있다. 또격자자체가완벽히형성되는법이없이항상약간의결점이나외부원자들이조금씩결정내부에존재하기때문에전자흐름의산란이유발된다. 만약외부적인결점이없었다면모든금속의전기전도도는낮은온도에서무한대가되었을것이다. 반도체 : Si은대표적인반도체물질이다. Si의원자가는 14번이고주기율표에서원자가 6번인탄소바로밑에있다. 탄소와마찬가지로최외곽전자는 s-오비탈에두개, p-오비탈에두개가있다. 네개의오비탈은서로결합하여 결합으로알려진네개의오비탈을생성한다. 이네개의오비탈은다른 Si 원자로부터생성된오비탈과공유결합하여다이아몬드의격자구조와동일한구조를만든다. 이것에잘알려진반도체물질 Si의격자구조이다. Si은낮은온도에서절연체이다. 전자가들어차있는 vlaence band와전자가하나도없는 conduction band 사이의에너지간격은약 1.12eV이다. 실공간에서이해하자면각 Si 원자가갖는최외각전자네개가모두해당원자에속박된상태로자유전자가하나도없다고생각하면된다. 만약 1.12eV의에너지를강제로주입하면일부속박된전자를 Si 원자로부터 해방 시킬수있다. 이렇게해방된자유전자는반드시빈칸, 즉홀을남기게된다. 전자와홀을항상쌍으로생성된다. 이제전자와홀은각각자유롭게이동할수있으며외부전기장의영향을받아전류를흐르게할수도있다. 굳이외부에서에너지를주지않더라도유한한온도에서는저절도일부전자가속박상태에 서풀려나서자유전자와자유홀상태로존재한다. Boltzmann 확률분포를이용해보면 전자가속박상태대신이보다에너지가 1.12eV 높은자유전자상태로존재할확률은 이다. 상온 T=300K에서의열에너지는, 따라서 Boltzmann 확률은 이다. 총 Si 원자의밀도에이숫자를곱하면상온에서자유롭에움직이는전자와홀의개수를얻을수있다. 상온에서 Si의자유전자개수는약 이다. 보통금속의자유전자밀도가 인것을생각하면 Si의자유전자개수는매우
작은숫자이고이에따른전기전도도도그만큼작아질수밖에없다. 반도체의기적은 Si에 P( 인 ) 을치환할때일어난다. P는 Si보다하나더많은최외곽전자를갖고있기때문에 Si 결정에 P를하나집어넣을때마다한개씩의자유전자가발생한다. 그런데이자유전자들을 conduction band에올리는데필요한에너지는 0.044eV 밖에되지않기때문에상온에서도많은양의전하, 그리고전기전도도를낼수있게된다. 이렇게 Si 보다전자가하나더많은이물질을치환하여얻어진반도체를 n-type 반도체라고한다. 반대로 Al으로 Si을치환하면이번엔추가로홀이유도되고이런반도체를 p-type 반도체라고부른다.
자기현상 자기현상의발견 : 자석, 또는자기장현상은고대그리스시대부터알려져왔고 1600년 William Gilbert가출판한 De Magnete에그당시까지알려진현상이잘정리되어있다. 전기현상은주로정전기현상을의미했다. 그리고 Galvani가발견한현상, 즉흐르는전류에의해유도되는현상이알려져있었다. 이것은 1819-1820년 Hans Christian Oersted가코펜하겐대학에서강의하던당시의지식수준이었다. Oersted는학생들앞에서 Galvani 효과와자기현상사이에관련이있다는사실을증명하고싶어했고, 그시범으로전류가흐르는전선위에나침반바늘을놓아보았다. 바늘방향과전선방향이수직일때는바늘의움직임이없었으나, 두방향이서로나란할때는바늘이한쪽으로흔들리는것을보았다. 게다가전류의방향을바꾸면바늘이반대쪽으로흔들리는것이었다. 전류와자기현상이연관되어있음을극명하게보여주는실험이었다. 이로부터약 12년뒤 Faraday는유도전류실험에성공하여, Maxwell의전자기학법칙에필요한모든실험적현상의발견을마무리한다. 자석으로부터발생하는자기장의모양은철가루를이용하여쉽게재현할수있다. 철가루는자기쌍극자이고자기장이존재하는곳에서쌍극자는자기장과나란한방향을취하면서에너지를낮추게된다. 따라서각지점에서의철가루방향은그지점에서의자기장방향이라고할수있다. 자기장의크기 : 자기장의크기는테슬라 (Tesla) 로표기한다. 1테슬라는 10,000가우스에해당한다. 상용자석이나전기회로에포함된자석의세기는 0.1테슬라부근의값이다. 지구자기장의크기는지구표면에서 1 가우스에조금못미친다. 지구내부에서는아마도이보다강한자기장이존재할것이다. 실험실에서는 10-50 테슬라세기의자석을볼수있다. 중성자별에존재하는자기장의세기는약 테슬라이며우주빈공간에는마이크로테슬라크기의자기장이존재한다. 자기장에의한힘 : 두개의나란한전선에같은방향으로전류가흐를경우서로미는힘 이, 반대방향으로흐를경우서로끄는힘이존재하는것이실험적으로알려져있다. 이것 은마치동일한부호의전하가미는힘을, 반대후보의전하가끄는힘을주는것과마찬가 지현상이며쿨롱힘과마찬가지로전류사이에먼거리힘이존재함을의미한다. 전선사 이에작용하는힘은자기장과자기장에의해유도된로렌쯔힘의결과로이해할수있다. 자기장의영향아래속도 로움직이는전하 는로렌쯔힘, 을받는다. 여기에전기장에의한힘 가가세하면전하에미치는총힘은. 이식은로렌쯔의발견으로부터 100 여년이지난지금까지도유효한식이며아인슈타인의 상대성원리와도부합되는식이다. 자기장의근원 : 무엇이자기장을만들까? 우선무엇이전기장을만드는가를질문해보면전하가갖고있는유한한전하량이전기장의근원임을알수있다. 자기장은전하의움직임, 즉전류가그원인이다. 따라서전류가흐르는두개의도선이있을때각도선의전류는자기장을만들고, 이자기장의영향을받은다른쪽움직이는전하는로렌쯔힘을받는것
이다. 이제로렌쯔의공식을이용하여두직선전류사이의힘을계산해보자. 이계산은두단계로이루어진다. 우선전선 1이생성하는자기장이전선 2에미치는크기를 라고하자. 이자기장의영향으로전선 2를흐르는전하 는크기 의힘을받는다. 전선 2의단위길이에있는전하의양, 즉전하밀도를 라고표시하면전선 2가단위길이당받는힘은 가될것이다. 한편전선 2에흐르는전류는 로표시되므로이힘은 가될것이다. 마찬가지로전선 2가전선 1에가하는힘을 으로표기할수있다. 작용-반작용의원리가두전선사이에도적용된다고하면우리는, 즉 가된다는사실을알수있다. 이관계가성립하려면 는 에, 은 에비례해야한다. 즉전선이만들어내는자기장의세기는그전선에흐르는전류에비례해야한다. 이것을전하가만들어내는전기장의세기가전하량에비례함과마찬가지다. 여기에두전선사이의거리 에반비례해서힘이약해진다는실험적사실을 이용하면전선이만드는자기장의크기는전류과거리에대해 의존성을갖는다. 비 례상수를 라고정의하면좀더정확하고 로표현할수있다. 실험적으로 값을갖는상수이다. 자기장의방향은전류방향을엄지로했을때나머지 손가락이감는방향이다. 전류방향을 - 축이라고한다면자기장의방향은맴돌이방향, 따라서직선전류가생성하는자기장벡터는. 로렌쯔법칙을전선에흐르는전류에적용해보면두평행전선사이의힘은단위길이당 임을알수있다. 비슷한방식으로생각해보면고리모양의전류가만드는전 기장은 ( 대략 ) 고리면에수직한방향이고엄지방향을전류방향과일치했을때, 나머지 손가락이가리키는방향이다. 두전선사이에작용하는힘의크기를어림하기위해 의전류가흐르는초전도선 두가닥이 mm 간격만큼떨어져있을때의힘을단위길이 (=1m) 단위로구해보면 Nm, 즉 1 톤의무게에해당하는힘으로서로를밀거나당긴다. 자기장에의한전하운동 : - 축방향으로균일하게자기장이있는경우전하의운동은어 떻게될까? 우선전하의운동방정식을적어보면 꼴이된다. 이식을성분별로적어보면,,
이렇게두개의결합된방정식을얻는데이방정식의풀이는 cos sin, 이것을다시한번적분하면 sin cos, 즉원운동이다. 여기에도입한각진동수 는 자기장영향으로 1 초당전자가원운동을하는개수를말한다. 진동수가입자의질량에의 존하므로가벼운입자와무거운입자, 가령전자와양성자는전혀다른진동수로원운동할 것이다. 뿐만아니라양전하와음전하는회전하는방향이서로다르다. 원운동하는전하는 원모양의전류고리를만든다. 원모양의전류고리는그자체가자기장을만드는원인이된 다. 이렇게유도된자기장은외부자기장과반대방향이다. 이조건을따져보면주어진외 부자기장에대한전하의회전운동방향을쉽게알아낼수있다. 즉전하의회전운동은 알짜자기장의크기를줄이는경향을보인다. 원운동의회전반경 은로렌쯔힘과원심력 사이의동치관계로부터구할수있다. 원운동이가능하려면 에해당하는구심력을 로렌쯔힘이제공해야하므로. 반지름은입자의질량, 전하량, 자기장과운동속도에모두비례한다. 만약 의운 동에너지를갖는입자가원운동을한다면에너지의함수로반지름을구할수있다. 위식을 다시쓰면, 따라서같은에너지의입자라면질량이클수록회전반경도커진 다. 앞서구한각진동수 는입자의운동에너지, 즉회전반경이무관하다. 그이유는회전 반경이커지는것이정비례해서운동속도도빨라지기때문이다. 전자레인지에서발생하는 초단파의진동수는 MHz 다. 전자가이진동수로회전하기위해요구되는 자기장의세기는 0.0877T 정도, 따라서일반적인영구자석을이용해도초단파를발생할 수있다. 그림 15 자기장에의한전하의원운동. 그림은음전하를기준으로그렸다. 전기장과자기장의공존에의한운동 : 균일한전기장과자기장이공존하는경우를생각해보면운동방정식이 로주어진다. 특히전기장과자기장의방향이 수직인경우를따져보자. 만약입자운동방향이전기장과자기장에동시에수직이라면 인상황을만들수있다. 이경우입자의운동속력은 로주어진다. 교차된전기자기장은입자의 속도선택기 역할을한다. 이러한속도선택기를통과한입
자가균일한자기장 의영향으로원운동을시작한다고하자. 원운동의반지름은 이므로어떤질량에대한회전반지름을미리예측할수있게된다. 이원리를적용하면서 로다른질량을가진입자를분리해낼수있다. 그림 16 속도선택기 음극선은두금속판사이에전압을가한뒤한쪽전극에서전자가방출되도록한다. 이때방출되는전자의에너지는전압 에대해 의관계가있으므로방출되는전자의속도는전압에의해결정된다. 톰슨 (J. J. Thompson) 은이렇게방출된전자가교차된전기자기장에영향을받아도직선운동을계속할수있도록전기장과자기장의세기를잘조절해주었다. 그러면 관계가성립한다. 톰슨은음극선에서방출된입자가교차전기자기장속에서등속직선운동을하기위한 값이일정함을밝혔고이로부터전하의전하량과질량의비례값을실험적으로구했다. 지구밖의우주공간에는우주선이라고불리는강한에너지의자유전하들이움직이고있다. 이입자가지구에가까이오면지구자기장의영향으로원운동을시작하기때문에지구표면에닿는대신지구주변에갇히게된다. 이러한영역을반알렌 (van Allen) 대라고부른다. 우주선으로부터지구의생명을보호해주는역할을한다.
그림 17 홀효과 Hall 효과 : 얇은금속막에수직한방향으로자기장을걸어둔채전류를흘린다. 전류밀도는 Ohm 의법칙 에의해결정된다. 움직이는전하는수직한자기장에의해 Lorentz 힘을또한받는다. 이힘의크기는 이며이로인해전류는전기장에수직한방향으로도 움직이게된다. 수직한방향으로전류가흐르다보면양벽에전하가쌓인다. 이렇게쌓인 전하는전기장 를만들어내는데이전기장으로인한힘이로렌쯔힘을정확히상쇄시킬 때, 즉 가될때수직방향의전하흐름이멈춘다. 전자의평균이동속도는전류 밀도와 로관계된다. 유도전기장과외부자기장사이의관계를벡터식으로나타내면 가된다. 본래전압에수직방향으로유도된전기장 은같은방향으로의 전압차, 즉전위를유도한다. 금속막의너비를, 두께를 라고하면, 홀전압 는 로주어진다. 홀전압측정을통해금속의전하밀도값을추출할수있다. 이현상을최초 의발견자 Edwin H. Hall 의이름을따서 Hall 효과라고한다.
자기장의근원 Biot-Savart 법칙 : 임의의전하분포함수 에상응하는전기장벡터는. 이식을달리해석하자면어떤공간에존재하는전하 은전기장 을만들어내고모든공간에존재하는전하가만드는전기장을합한값이알짜전기장 이된다. 이와마찬가지로전하의흐름, 즉전류는자기장을만들어낸다. 그렇다면 임의의전류분포함수 와그것이만들어내는자기장사이에는어떤수학적관계식이 있을까? 다. 그답은위의전하밀도와전기장사이의관계식과유사하게, 다음꼴로주어진. 전기장과자기장에대한표현모두 를어떤함수와곱한결과를적분하여얻어 진다. 전기장의원천이되는전하밀도는스칼라함수인반면자기장의원인이되는전류밀도는벡터함수이다. 두개의벡터함수 와 를이용해새로운벡터함수 를만들어내려면위식의표현처럼두벡터의외적을사용해야한다. 또다른관점에서전기장과자기장에대한표현을살펴보자. 전기장은어떤스칼라함수, 즉 전위함수 이있어이에대한공간미분으로그값을얻었다. 자기장도또다른종류 의포텐셜함수에대한미분꼴로표현될수있을까? 이에대한답은다음과같다. 우리가 벡터포텐셜이라고하는벡터장을 와같이정의하면이에대한컬 (curl) 을취하여자기장이얻어진다.. 일직선으로움직이는단위전하에대해이식을적용해보자. 우선전류밀도는 로주어질것이다. 이에대한벡터포텐셜은 이되고, 여기에컬 을취한자기장은 이다. 자기장과전류밀도의관계식을보면움직이는전하가만드는자기장은진행방향을 축으로해서 뱅글뱅글 도는방향임을알수있다.
그림 18 움직이는점전하에의한자기장 전류가도선에국한되어흐르는경우벡터포텐셜에대한식을단순화할수있다. 전류밀 도는전류가흐르는도선에국한될것이므로 로바꿀수있다. 여기서 는전 류의양, 는전선에대한길이요소이다.. 여기서다시 을취하면임의의점에서의자기장이얻어지는데그결과는 이결과는 Biot-Savart 공식으로알려져있다. 이공식을이용하면임의의도선모양에대 해흐르는전류가만들어내는자기장을얻을수있다.. 긴직선도선을따라흐르는전류가만드는자기장도구할수있다.. 여기서 이고적분결과는자기장을계산하는 위치좌표중 값이무관하게될것이분명하므로 적분결과는 이다. 도선중에서도원 ( 고리 ) 모양의도선이주는자기장을수학적으로구해보자. 고리의반지름 을 R 이라고하고고리의중심으로부터높이 z 만큼떨어진곳에서의자기장을구하고자 한다. 우선자기장의방향은 z- 방향만이존재할것이고, Biot-Savart 공식을이용하면자기 장의세기를 로구할수있다. 이와같이도선이고리모양으 로감긴구조는자기쌍극자의한예이다. 이결과를고리모양으로분포된전하가만드는
전기장의세기와비교하면재미있다. 이때전기장은 이고, 자기장 공식과비교하면자기장은우함수, 전기장은기함수 인성 질을갖고있다. 그림으로그려보면전기장은고리로부터 뿜어져나오는 꼴이고자기장 은고리를 통과하는 꼴로주어진다. 그림 19 전하고리와전류고리 이번에는도선이솔레노이드모양으로감겨있는상황을생각해보자. 솔레노이드의길이는 L이고총 번의고리로구성되어있다고하자. 각고리의위치를 이라고하면고리가주는자기장의값은 이고이것을 구간에대해적분하면.. 특히솔레노이드의한가운데인 에서의자기장값은 이된다. 무한히긴 솔레노이드의경우 로하여적분하면위치에상관없이 을얻는다. 그림 20 솔레노이드에의한자기장
컬 (curl) 이란? 어떤벡터장 이있다고하자. 예를들어개울을따라흐르는물의 속도벡터를비유로들수있겠다. 물흐름을관찰하다보면군데군데소용돌이구조를보 이는경우가있다. 어떤벡터장이어느정도의소용돌이구조를갖고있는지를보여주는양 이바로벡터장의컬이다. 아래그림에서보면작은사각형영역에해당하는소용돌이의양 을 으로정의하고자한다. 이표현을테일러전개하면 이되고이때등장하는양이바로벡터장 에대한컬의 - 성분이다. 지금정의한 양은 평면에서의소용돌이를판단하는양이고, 마찬가지로 평면에대해서도마찬가지소용돌이양을정의할수있다. 이양을모아보면또다른벡터장, 즉 가나오 고이를성분별로적어보면 이된다. 그림 21 컬에대한그림 암페르의법칙 : 앞서직선전선이만들어내는자기장의세기는 라고언급 하였다. 여기에자기장의방향까지가미하면직선전류에의한자기장벡터는 이다. 여기서 는전선에수직이평면에서 뱅글뱅글도는 방향의단위 벡터이다. 이러한자기장을반지름 에원에대해적분하면그결과는 가된 다. 이결과를일반화하면임의의자기장분포 에대해다음과같은주장을할수있다. 임의의닫힌경로에대한자기장벡터의선적분은그경로를통과하는알짜전류의양에비 례한다. 즉 total current through loop. 이관계식은폐곡면안에갇힌전하량과곡면을통과하는전기장의관계,
total charge inside sur face 와비교된다. 그림 22 앙페르의법칙 폐곡면내부의알짜전하는수학적으로 로표현된다. 마찬가지로어떤닫힌경로를 통과하는총전류는전류밀도벡터 를이용하여 로표현가능하다. 즉위에서 적은자기장과총전류사이의관계식은 가된다. Stokes 정리를이용하면자기장에대한선적분을표면적분으로바꿀수있다 :. 따라서모든공간에서다음의관계식이자기장과전류밀도사이에성립함을알수있다.. 양변에 연산을취하면벡터미분의성질로부터 임을알수있다. 연속방정 식에따르면이결과는정적인전류분포의경우에만성립된다. 암페르의법칙을무한솔레노이드에적용시켜보자. 한편으론 이로다른한편 으론 ( 단위길이당전선이감긴횟수 ) 이므로두식을동치하면, 앞서 유도한결과를회복할수있다. 전하분포를완벽하게알고있으면임의의점에작용하는전기장값을계산을통해알아낼 수있다. 마찬가지로전류분포를완벽하게알고있다면임의의점에작용하는자기장값을 계산으로알아낼수있어야한다. 위에주어진식만으로는전류분포에서부터자기장값을유도할수없다. 일반적으로어떤벡터장이만족하는두가지공식, 즉 와 에대한결과가모두알려져야 를유일하게결정할수있게된다. 자기장은 을만족한다. 이를전기장에대한가우스공식, 과비교해보면전기전하는존재하되 자기전하는존재하지않음을의미한다. 정전기장의경우어떤스칼라함수 에대해 로표현하는것이항상가능하다. 따라서 이된다. ( 정 ) 자기장과 ( 정 ) 전기장에대한미분공식을정리하면다음과같다.
전기장 자기장 일반적으로 을만족하는벡터장은스칼라함수를이용해 로표현하는것이가능하다. 그러나자기장의경우 이며, 대신 이다. 이런조건을만족하는임의의벡터장은적당한벡터함수 를도입하면 로표현할수있다. 이때 를벡터포텐셜이라고부른다. 이제위에서유도한식 을벡터포텐셜 을이용하여다시적을수있다... 이때만약 이되게끔 를선택할수있다면위의식은 로단순화 된다. 그리고이 Laplace 방정식에대한해답은정전기장문제와동일하게 로주어진다. 앞서 가만족되어야함을가정으로도입한바있다. 정적인전류분 포의경우, 이를다시부분적분해보면. 그러나정적인전하분포는 을만족하므로따라서 임을증명한다. 이렇게얻어진벡터포텐셜에 을취하면임의의전류분포에대한자기장표현을얻을 수있다. 전선고리에작용하는토크 : 아래그림과같이네모난모양의전선고리에전류 가흐르는상태에서일정한자기장을걸어주면, 도선에흐르는전하는로렌쯔힘을받는다. 도선의세로길이방향으로주어지는로렌쯔힘은 이고서로마주보는선분에는반대방향의힘이가해진다. 따라서알짜힘은 0이지만돌림힘은유한하다. 자기장에대해도선의단면에수직한직선이만드는각도를 라고하고돌림힘의크기는 sin sin 가된다. 이때등장하는 를자기모먼트라고부른다. 자기모먼테를벡터로정의할수있는데그크기는도선에흐르는전류에도선단면적을곱한값이고, 방향은단면에수직인방향이다. 전류흐르는방향을기준으로오른손
법칙을사용하여방향을결정한다. 그럼두벡터 와 에대해돌림힘은 로주어 진다. 돌림힘은각운동량의변화율이며, 돌림힘이작용하지않는 이도선의가장안정 된상태를준다. 그림 23 전류고리에작용하는돌림 힘 문제 : [1] 두단위전하가거리 을두고서로다른방향으로 방향으로이동하고있다. 두전하사이에작용하는쿨롱힘과로렌쯔힘의비율이 임을보여라. 빛의속도는 임을이용하라. [2] 유한한길이의솔레노이드의축위에놓인점 에서의자기장은 로주어짐을앞서보였다. 적분을완성하여이결과 는 sin sin 와같음을보여라. 여기서 는점 가솔레노이드의 양끝둘레와만드는각이고무한히긴솔레노이드에서는그각도가 90 도에접근한다. 계산 결과를그래프로그려보시오. [3] 위 [2] 번문제와같은모양의원통에전하가아래그림처럼균일하게분포되어있다 고하자. 원통축을따라전기장의세기 를구하고결과를그래프로그려보아라. 그림 24 원통표면에균일하게대전된전하 에의한전기장
유도전류와전자기파 유도전류 : 페러데이 (Michael Faraday) 는전하가다른도체에있는전하의움직임을유도할수있다면왜전류는다른도선에전류를유도할수없을까하는의문을품고이에대한답을실험적으로구하려고했다. 페러데이가연구에착수할당시는이미암페르의법칙이확립된뒤였고, 따라서전류가주변에자기장을생성한다는사실을페러데이도잘알고있었다. 로렌쯔법칙을이미알고있는현대의관점에서본다면자기장은다른도체내부의움직이는전자에로렌쯔힘을준다. 그러나평균전류가 0인도선이라면로렌쯔힘역시평균적으로 0이기때문에전류가유도되지않는다. 아래그림과같은실험장치를조작해페러데이가발견한것은한전선의전류가흐르기시작할때, 또는흐름이멈출때, 즉전선에건전지가연결될때와연결이끊길때에만다른전선에전류가유도된다는사실이었다. 그림 25 페러데이유도장치. 한쪽전선고리에흐르는전류가자기장을만들고, 다른전선고리에자속을준다. 이자속값이변할때전류가유도된다. 그림 26 영구자석을흔 들어도마찬가지로유 도전류가생긴다. 이결과를정리해보면, 우선한전선에흐르는전류량의변화는그전선이생성하는자기장 크기의변화로이어진다 ( 암페르법칙 ). 따라서다른닫힌전선을통과하는자기장다발, 자 속의크기가시간에따라변한다. 자속의수학적정의는어떤폐곡선으로변두리가정의된 곡면에대한면적분으로주어진다 :. 자속의단위는웨버 (Weber) 다. 그리고자속의시간변화율은그전선내부에서움직이는 전하에대한힘으로나타난다. 식으로정리하면. 이것이바로페러데이법칙이다. 여기서 란도선내부의단위전하 가도선을 한바퀴일주할때얻는일의양이다. 를도선의길이로나눈양이곧전기장이고, 전 기장이존재하면전류가유도된다. 따라서닫힌도선을통과하는자속이시간에따라변할
경우그도선에전류가유도됨을페러데이법칙은말한다. 굳이도선을도입하지않아도변화하는자기장이전기장을유도한다는사실을보일수있다. 아래그림처럼솔레노이드주변에대전된구슬을갖다놓고이구슬이원궤도를따라움직이게해보자. 솔레노이드의전류가통하는전선이연결될때와끊길때, 공이힘을받아서로반대방향으로움직이게될것이다. 그림 27 유도전기장에의한전하구 의움직임 무엇이유도되는전기장의방향을결정할까? 가령고리를통과하는자기장이한쪽방향으로증가한다고치자. 그럼그고리를따라유도되는전류는 Biot-Savart 원리에따라자기장을만든다. 이때전류가만드는자기장의방향은증가하는외부자기장의방향과반대가된다. 즉유도전류는알짜자기장의변화를최소화시키는쪽으로흐른다. 만약고리를통과하는기존의자기장이감소하려한다면유도전류가만들어내는자기장은기존의자기장방향이된다. 그림 28 등속운동하는도선에유 도되는전류 직접적으로페러데이원리와관계가없긴하지만, 세로길이, 가로길이 인도선이가로방향으로속도 로팽창할때도선내부의전하가받는로렌쯔힘은 가되고이로인해전하가받는일은 로주어진다. 페러데이의공식을그대로적용하면이일의양은곧기전력에전하량을곱한값이되므로기전력은 이된다. 한편도선을통과하는자속의양은 이고시간에대한변화량은 이되므로결국 가다시한번성립하는것처럼보인다.
페러데이의발견은곧시간에따라변하는자기장은같은공간에전기장을유도한다는사실 을말해준다. 식으로정리하자면 이다. 이현상을발견한것은페러데이였지 만편미분방정식꼴로표현한것은 James Maxwell 이었다. Stokes 정리를이용하면편미 분방정식으로부터 Faraday 법칙을유도할수있다. 식의양변에대한면적분을취하고 Stokes 정리를이용하면 을얻는다. 식의우변에얻어지는항이다름아닌 이고, 식의좌변은다시쓰면 가된다. 따라서 을얻는다. 로렌쯔힘공식과관련지어다음과같은결론을내릴수있다. 전하에가해지는힘은항상 임에틀림없다. 만약자기장이일정하고전선이움직이는경우라면, 두번 째공식에의해전하가힘을받고그결과전선에전류가유도된다. 만약전선은움직이지 않고자기장값이시간에따라변하는경우라면맥스웰법칙에따라공간에새로운전기장 이유도되고, 로렌쯔힘의첫째항에따라전하가힘을받아전류를만든다. 어떤경우에 도전선에유도된기전력과자속변화율사이의관계는동일한식으로주어진다. 교류발전기 : N 번감은코일에어떤역학적힘을가해각속도 로회전시킨다고치자. 코일의단면을통과하는균일한자기장 에의한자속은시간에따라 cos로변한다. 는코일의단면적이다. 한번감긴코일에유도되는기전력은 이고 N 번감긴전체코일에대한기전력은 sin 이다. 이런코일에저항 짜리외부전선을연결하면이전선에는교류전류 sin 가흐른다. 이것이교류발전기의기본원리다. 는외부전선에흐르는전하에일을한다. 일률을따져보면그값은 가된다. 이값은외부에서코일을돌려주는데드는일률과동일하다. 따라서발전기의코일을수력, 화력, 원자력등의힘으로움직여주면그역학에너지가같은값의전기에너지로환산됨을알수있다. 이것이발전기의원리다. 전기가없는현대문명은상상할수없고, 전기를만드는기술의바탕에는페러데이원리가있다. 페러데이는사실상현대문명이가능하게한가장중요하고필수적인물리학원리를발견을했다고할수있다. 맥스웰방정식 : 이제까지배운전자기학의원리를정리해보자. 우선전하분포는주변에전기장을생성하는데그관계식은 이다. 여기서다루는전하분포 는공 간및시간에모두의존하는아주일반적인분포를뜻한다. 전하는생성되거나소멸되지않 기때문에전류밀도 와함께연속방정식을만족해야한다.. 정적인전류 분포라면 가될것이다. Ampere 관계식으로부터정적인전류가생성하는자기
장을구할수있다.. 이식의양변에 을취하면 이되어 임을알수있다. 그러나이식은정적인전류상태, 즉 인경 우에만적용될것이고, 전하밀도가시간에따라변하는일반적인경우에는적용될수없는 식임에분명하다. 맥스웰은암페르의관계식을어떻게수정해야만이문제를해결할수있 을지에대한수학적인답을제시했다. 그결과는. 이식에다시한번 을취해보면 이된다. 연속방정식결과와 쿨롱법칙을대입하면위식은 이됨을확인할수있다. 이제전자기현상에대한방정식을모두완성하였고이들을모아 보면다음과같다. ( 페러데이법칙 ) ( 암페르-맥스웰법칙 ) ( 쿨롱법칙 ) 맥스웰이추가한항은독립적으로관측하기어려운작은양이다. 암페르-맥스웰법칙의우변을다시정리하면 꼴이되어마치 가새로운전류인것처럼보인다. 물론이양이전류에해당되는것은아니다. 이항을이해하는또다른방법은전기장과자 기장의대칭성에근거한다. 시간에따라변하는자기장은패러데이원리에따라전기장을 유도한다. 그렇다면시간에따라변하는전기장도자기장을유도할수있어야하지않을까? 맥스웰항은바로이런가능성을나타낸다. 전하나전류가없는빈공간에서전기장과자기장이만족하는관계식은단순하게,,, 로주어지며, 전기장과자기장이완벽히대칭적인꼴로표현된다. 전기장혹은자기장에시 간에대한 2 계미분을취해보자.. 벡터항등식을이용하면 이되고 이므로
이된다. 이것은다름아닌파동방정식이며파동이전파하는속도는 가된다. 빈공간에서전기장과자기장은파동의형태로전파한다. 전기장과자기장을함께묶어전 자기장이라고불러도좋다. 속도 로전파되는전자기장이바로빛이다. 간단한예로 y- 축으로진행하는파동형태의전기장 sin 를가정하자. Faraday 법칙에이표현을대입하면 cos 가된다. 이것이 와같아야하므로 cos 가되어야한다. 양변이같아지려면 가되어야 함을알수있다. 간단한계산을통해전자기파를구성하는전기장과자기장성분은서로 수직임을, 그리고두성분모두진행방향에수직임을알수있었다. 전자기파는원리적으로모든파장이가능하다. 이중대략파장이 400nm 에서 700nm 사이 의전자기파가우리눈이확인할수있는가시광선이다. 진동수로바꿔말하면대략 Hz 에서 Hz 의매우좁은 (?) 대역안에존재하는파동이다. 빛의간섭 : 빛은일반파장과마찬가지로간섭현상을보인다. 헤르츠는본인의실험도구를이용하여전자기파역시일반파장과마찬가지로간섭현상을보인다는사실을확인할수있었다. 간섭현상은두개이상의파장 ( 정확히말하면평면파 ) 이서로같은공간에서만날때총파장의진폭은각진폭의합으로주어진다는사실을말한다. 가령 1차원공간으로진행하는두개의파동의진폭이 cos cos 으로주어질때알짜진폭은 coscos 으로주어진다. 위상값 를어떻게선택하느냐에따라총진폭은 cos 으로결정된다. 좀더높은차원, 가령 2차원에서는간섭현상이더욱극적으로표현된다. Young의실험에서는진행해오는파장 의단색광원을막은판에작은구멍을두개뚫어이구멍을통해서만빛이반대편으로이동할수있게했다. 그럼각구멍을통과해나오는빛이화면에맺히는지점까지이동해야할거리는아래그림에서와같이 과 로각각주어진다. 구멍을통과하는순간 의빛파동의위상은동일하고, 그이후화면까지이동하는동안발생한위상은, 에비례한다. 이위상차가정수라면빛은보강간섭할것이고, 만약반정수라면소멸간섭할것이다. 조건은 ( 보강간섭 ) ( 소멸간섭 ) 충분히작은각도, 즉 의상황에서는 sin 로볼수있고간
섭조건도 sin 또는 sin 로바뀐다. 좀더엄밀히말하면화면에맺힌빛 의세기는두광원의위상차 에대해 cos 의의존성을보이고, 위상차는 sin 가되므로빛의세기는 cos sin cos 로주어진다. 여기서주목해야할점은화면에서밝은상이맺히는간격이 로주어진다는점이다. 매우작은구멍간격 와이에상응하는파장 가관여하는산란 실험에서실제로상이맺히는간격은파장에비해 배만큼확대된다는뜻이다. 원자가 격자를이루는고체로부터의 X- 선산란실험에서는이사실이매우중요한역할을한다. 실제탐색하는격자의길이는 m 정도지만 값이매우크므로산란된 X- 선은거시적인간격, 가령 mm 정도로나타난다. 그림 29 이중간섭실험 그림 30 보강간섭조건 그림 31 이중간섭실험동영상 격자산란 : 영의실험처럼구멍이두개만있는경우를확장해서구멍이일정간격으로규칙적인배열을하고있는경우를생각해보자. 인접한격자점사이의간격은 라고하자. 구멍이뚫린판에수직으로입사한단색광이구멍을통과한뒤각도 방향으로이동할때서로인접한구멍을통과한빛이이동한거리의차이는 sin 가된다. 만약이차이가빛의파장과동일하다면, 정확히말하면파장의정수배가된다면화면에맺힌빛은상쇄간섭으로그세기가커질것이다. 따라서
sin 정수 를만족하는위치에주기적으로밝은흔적이남게된다. 이때화면에맺히는빛의진폭은 각구멍을통해나오는빛의진폭은 라고했을때 이되므로빛의세기 는이에제곱하여비례할것이다 :. 따라서많은구멍을일정하게배열한격자를통과한빛의간섭효과는더욱극명해질것이다. 또햇빛처럼여러종류의파장이섞여있는빛이격자구멍을통과할경우입사한빛의파장에따라상에밝은빛이맺히는위치가달라진다. 따라서백색광으로입사한빛이격자산란을거친뒤에는색깔에따라위치가분리되는, 무지개현상이나타난다. Bragg 산란 : 빛이산란하는대상이고체물질이면어떻게될까? 보통빛, 즉가시광선은물질을투과하지못한다. 하지만뢴트겐이발견한 X-선은물질을통과할수있다. X-선은고체물질을구성하는원자와원자사이의간격인수 A에해당하는파장을갖는전자기파를말한다. 이런빛이고체를구성하는원자격자에대해산란하다고치면, 서로인접한원자로부터산란한빛의이동거리차이가 X-선의파장의정수배에해당하는경우보강간섭이일어나강한빛으로산란될것이다. 그조건을적어보면아래그림에서볼수있듯이 sin 정수 가된다. 따라서빛의보강간섭이일어나는산란각도를측정함으로써고체결정에서의원자간격을유도할수있다. Bragg의법칙으로알려진위관계식발표된 1913년은양자론이아직완성되기이전이었고, 이런실험결과는고체가원자의규칙적인배열로이루어졌다는사실을강하게시사했다. 그림 32 Bragg 산란의원리 문제 : [1] 전자기타의작동원리를페러데이원리로설명하시오. ( 인터넷검색할것 ) [2] 헤르쯔가전자기파의존재를검증하기위해사용한실험방법에대해설명하시오. [3] 반지름 인금속판을아래그림과같이중심축에대해각속도 로등속회전시킨다. 판에수직방향으로자기장 가걸려있다. 로렌쯔법칙을적용하면금속판내부의전하가지름방향으로힘을받는것을알수있다. 이때금속판의중심과변두리사이에걸리는전압차를구하시오.
그림 33 패러데이발전기 [4] 음악 CD 의홈간격은 정도이다. CD 에반사된백색광을 0.5m 거리에서관찰한다 고하면빨간색과보라색의상이맺히는거리간격은어느정도될까?
광자, 전자및원자 빛의입자성 : 유한한온도의물체는모두빛을방출한다. 방출되는빛의특성은오로지물체의절대온도 에의해서만결정된다. 흑체복사라고불리는이현상을설명하기위해서막스플랑크가제안한양자가설은뜨거운물체로부터방출되는빛이양자화된에너지만을갖는다고가정한다. 즉어떤특정주파수 의빛은모든가능한에너지로존재하는것이아니라주파수에플랑크의상수로알려진어떤값을곱한값에대한정수배로만존재한다고주장했다.. 흑체복사에관한당시의실험결과와일치하기위해서는플랑크상수값이 J s 가되어야한다. 맥스웰이완성한고전전자기학이론에서는꼭에너지가이렇게양자화되어있어야할필요는없었다. 하지만고전전자기파이론과서로모순되는주장은아니라고할수있다. 당시에잘알려진또다른현상은광전효과였다. 금속판에빛을쐬면금속판속에있던전자가튀어나오는경우가있는데, 일정한주파수이상의빛의쐬어야만전자가튀어나온다. 도체표면에속박된전자는일종의위치에너지를갖고있으므로외부에서일정한에너지를공급하면에너지보존원리에따라 외부 속박 관계식을만족할것이고속박에너지 속박는음의양을갖는다. ( 속박에너지는일함수라고도부른다. 각금속표면은고유의일함수값을갖는다.) 따라서최소한속박에너지에해당하는양을외부에서공급해야만전자가표면으로부터방출될수있다. 그리고실험결과에따르면이에너지는빛의파장에비례한다. 아인쉬타인은이경우도플랑크의가설이적용된다고전제하고빛의에너지가 외부 빛 라고가정하였다. 그러면빛의주파수가 속박 를만족해야만광전효과를볼수있게되어실험현상을잘설명할수있다. 광전자의운동에너지를입사한빛의주파수로그려보았을때의기울기는다름아닌플랑스상수이고, 실험에사용된금속의종류에관계없이일정한기울기가얻어진다.
플랑크의가설이나아인쉬타인의광전효과설명모두공통적으로빛을일종의알갱이, 즉광자로취급하고자한다. 이것은빛을파동현상으로보는고전적입장과는다르다. 사실빛은파동성과입자성두가지를모두지닌다. 빛의파동성을검증하는실험, 가령간섭실험등이먼저이루어졌었고, 빛의입자성을보여주는흑체복사, 광전효과등의실험이나중에이루어졌다. 빛의입자성을보여주는또다른실험은콤턴산란실험이다. 콤턴은 X- 선을흑연박막에충돌시킨뒤반대편으로투과해나오는빛의파장을측정하여, 입사한빛의파장에비해투과한빛의파장이증가했음을보였다. 콤턴산란으로알려진이 산란과정을두개의공, 즉광자와전자, 사이의탄성충돌로이해할수있다. 입사하는광 자는에너지, 운동량 을갖는입자로본다. 전자는정지한상태 에서빛알갱이와충돌한뒤일정한에너지와운동량을얻어움직인다. 입사한 빛과투과한빛의파장을각각 와 이라고하면에너지보존법칙은 로주어지고여기서 는산란후전자의운동에너지다. 충돌후광자의산란각도를 라 고하면운동량보전법칙은 cos px, sin py 이된다. 여기에 를이용하여식을정리하면콤턴의산란식 cos 를얻을수있다. 따라서특정한산란각도에대해서는유일한파장의빛만이관측될것이 다. 콤턴은특정한산란각도에고체결정을놓고그결정으로부터산란된빛의파장을간 섭효과를이용하여측정하였고, 주어진각도에대해서유일한파장만이산란됨을확인하였 다. 그림 36 Compton 산란 입자의파동성 : 지금까지는파동으로알려졌던빛의입자성을보여주는현상에대해토의했 다. 아인쉬타인이빛을광자로해석한후로우리는광자의특성인파장과주파수 가 입자의특성인운동량과에너지 에대해다음과같이연결되어있음을알았다..
1923년프랑스의물리학자드브로이는거꾸로, 입자로알려진전자도파동성을보일수있을것으로예측했다. 만약전자가파동성을띤다면위의관계식을거꾸로적용해입자의운동량과에너지로부터 물질파 의파장과주파수를정의할수있을것이라고제안했다. 몇년뒤 1926-1627년미국의 Davisson과 Germer, 스콧틀란드의톰슨 ( 전자를발견한톰슨의아들이다!) 은각각독립적으로금속박막을통과한전자에의한간섭효과를관측함으로써전자의파동성을실험적으로검증했다. 그림 38 Davisson-Germer 실험장치그림 37 전자의이원자선문제 : 진공관안에원자가스를투입하고양쪽끝에강한전압을중간섭실험걸어주면원자가전기장으로부터에너지를흡수한뒤빛의형태로재방출하게된다. 방출된빛을간섭기를이용해분석함으로써다양한색 ( 파장 ) 의빛이방출된다는것을알게되었다. 중요한것은이파장이연속적으로분포되어있지않고띄엄띄엄한특정한값만갖는다는사실이었다. 가령수소원자로부터방출된빛은다음과같은명확한관계식을만족한다.. 처음에는무작위한값으로나오는줄만알았던파장이특정한수학적관계식을만족한다는 사실을차츰알게되었다. 이중 에해당하는계열의파장을스위스의발머 (Balmer) 가 처음지적하여이를발머계열 (Balmer series) 라고부른다. 그밖에 에해당하는 계열은각각발견자의이름을따서라이만, 파센, 브라켓계열이라고부른다. 위에등장하는 상수 를리드버그상수라고부르며그값은 m 이다. 파장으로환산 하면대략수백나노미터, 즉가시광선영역의빛이발생한다. 빛의에너지와파장사이의 관계는 이므로위의관계식을다시정리하면 ev 가된다. 수소원자로부터방출되는빛에너지는위의관계식을만족하는값만존재한다.
그림 39 Balmer serires 왜이런현상이벌어지는가를최초로설명한것은보어의원자모델이다. 보어는수소원자주변을도는전자가어떤특정한궤도만을가질수있다고가정하였다. 그리고서로다른궤도사이를전이할때만빛 ( 광자 ) 이방출된다고가정하였다. 마지막으로전자가갖는각운동량은 로, 즉플랑크상수 /(의정수배로양자화되어있다고가정하였다. 이와같은가정을토대로전자의에너지를구해보자. 총에너지는운동에너지와포텐셜에너지의합이므로. 원운동을가정하면구심력 이양자와전자사이의쿨롱힘과같아야하므로 따라서총에너지는 이다. 한편보어의양자가설을이용하면 이되고따라서허용가능한궤도반지름은보어반지름 에정수값을제곱한 값만이허용된다. 에너지도마찬가지로양자화되어 로주어진다. 당시알려진상수값을대입해보면 가다름아닌리드버그상수값 이된다! 보어의이론은실험적으로알려진상수값을자연의기본상수인전자질량, 쿨롱 상수, 전하량, 플랑크상수등의조합으로표현하는데성공했다. 그림 40 보어의수소원자모델
문제 : [1] 가시광선에해당하는광자의에너지를 ev 로계산하여라. [2] 광전효과실험을체계적으로수행한것은헤르츠의제자르나드 (Lenard) 였다. 르나드 의실험방법과원리를조사해서정리하여라. [3] 나트륨금속의일함수는 2.46eV 이다. 광전자를방출하기위한문턱주파수값 f 를구 하시오. 만약 300nm 파장의빛을나트륨표면에쐬었다면방출되는광전자의에너지는몇 ev 인가구하시오. [4] 콤턴의산란식 cos 을유도하시오. [5] 빛의속도의 빠르기로움직이는전자의드브로이파장을구하시오. [6] 가 13.6eV가됨을상수값을대입하여확인해보시오.
양자역학과파동함수 파동함수와확률해석 : 1925 년무렵쉬레딩거 (Schrodinger), 하이젠베르그 (Heisenberg) 등에의해완성된파동함수역학은, 모든입자가파동방정식을만족한다고하였다. 어떤 입자의상태는시간과공간에의존하는파동함수 로설명될수있으며이파동함수 가만족하는방정식은슈레딩거방정식으로알려진식이다. 이식에등장하는 가느끼는위치에너지다. 은해당입자의질량,, 그리고 은어떤점에서그입자 이방정식의의미를좀더직관적으로이해하기위해 1 차원포텐셜우물을생각하자. 위치 에너지가 범위에서는, 여기를벗어나면 인상황을포텐셜 우물이라고흔히말한다. 적어도 에서는파동방정식이 꼴로단순화된다. 이파동방정식의풀이는변수분리방법으로쉽게구할수있다. 우선 파동함수가시간에의존하는항과공간에의존하는항의곱으로표현된다고가정하자.. 위식에대입하면, 여기서 은해당변수에대한미분을의미한다. 양변을 로나누면. 식의좌변은오직시간변수에만의존하고우변은오직공간변수에만 의존하므로결국양쪽을다만족하는함수는상수밖에될수없다. 이값을 이라고하면위식은 이된다. 즉 1차원파동방정식의해는 가된다. 이파동함수로부터우리는드브로이의물질파 해석의근거를찾을수있게된다. 파동함수 에서파장은 로 결정된다. 드브로이의운동량과파장사이의관계식을적용하면, 따라서 가된다. 즉파동수 가입자의운동량이되는셈이다. 그렇다면 이되어, 즉 가된다. 이는다름아닌드브로 이의에너지 - 진동수관계식이다. 이렇게풀어낸파동함수의의미는무엇인가? 파동은어느한곳에국소화되어있지않고 공간적으로퍼져있다. 파동함수로풀어낸입자상태도마찬가지로공간적인퍼짐성이있 다. 입자가공간적으로퍼져있다는것은무슨뜻일까? 여기서우리는파동함수를확률함
수로해석할것을제안한다. 즉주어진파동함수는복소수함수이므로크기와위상을갖고있다. 이때그크기의제곱에해당하는비율로입자가그곳에존재할확률이있다고본다. 확률밀도함수를모든가능성에대해적분하면 1을얻어야할것이다. 따라서파동함수의크기는 이란제약을받는다. 앞서구한포텐셜우물속의파동함수는 이제약조건에따라 로규격화되어야한다. 우물속에갇힌파동함 수가어떤특정한위치에서발견될확률은 로균일해보인다. 앞서구한슈레딩거방정식의해는사실 뿐만아니라 도있음을주목하자. 따라서일반적으로답은이두함수의선형결합 이된다. 이 때등장하는두개의임의의상수값을결정하지않으면파동함수를알아냈다고말할수 없을것이다. 포텐셜우물의양경계점, 에서는무한히강한포텐셜때문에입 자가존재할수없다. 따라서이두점에서의파동함수값은 0 이되어야할것이다 :. 이조건을만족하려면파동함수는 sin 이되어야하고 이라는특정한값만이허용된다. 마찬가지로에너지도양자화 되어 않아 로주어진다. 이된다. 파동함수로부터얻어진존재확률도공간적으로일정하지 sin cos cos 그림 41 1차원파동함수의모습 그림 42 1 차원양자입자의운동 그림 43 1 차원양자 입자의운동에너지
2 차원포텐셜우물속에갇힌양자입자의파동함수는마찬가지방법으로구해보면 sin sin 로주어질것이며두파동수는 각적으로그려보면아래그림과같다. 로주어진다. 아파동함수를시 그림 44 2 차원양자입자의파동함수 이제포텐셜우물의높이가무한하지않은경우를생각해본다. 우선임의의파동함수를 꼴로쓸수있다고가정하면슈레딩거방정식은 로쓰여지고이를정리해보면 가된다. 포텐셜에너지가상수이고, 이값이총에너지보다적은곳이라면우변의항을 로쓸수있고이에대한답은잘알려진대로 ± 가된다. 하지만포텐셜에너지가총에너지보다큰곳에서는식이 꼴로씌여지고 답역시지수함수 ± 꼴이된다. 어떤입지가아래그림과같이포텐셜이일부공 간에서만유한한꼴인상태에서운동한다면그파동함수는그림과같이일부일부구간에서 는파동형태로, 다른구간에서는지수함수형태로존재하게된다. 고전역학적으로는총 에너지가위치에너지보다낮은영역에입자가존재할수없다. 하지만양자역학적입자는 지수함수꼴로존재가가능하게된다. 포텐셜장벽을벗어나면다시파동함수꼴을갖게 될것이고, 결국입자는포텐셜장벽의양쪽에모두존재할수있게된다. 포텐셜장벽의 왼쪽에서출발한입자가포텐셜과충돌하였다고하자. 고전역학적입자라면충돌후입자 는전반사되어되돌아와야할것이다. 하지만양자역학적입자는장벽을투과하여반대쪽 에나타날확률이유한하다. 이런현상은원자세계에서종종일어난다. 지수적으로감소하는함수로연결된포텐셜장벽양쪽의파동함수는그크기가대략
exp 정도된다. 이숫자는본래장벽한쪽에국 소화되어있던입자가반대쪽에타나낼확률과도연관된다. 투과확률을 라고했을때그 값은대략 exp 로주어진다. 어떤핵은자발적으로 -입자를방출한다. -입자란양성자두개와중성자두개가뭉쳐진, 즉헬륨원자의원자핵을말한다. 핵은많은수의양성자와중성자가핵력으로서로뭉쳐져있다. 따라서그안에움직이는각핵자는포텐셜우물안에갇혀있는입자와유사한운동을하게된다. 하지만양자역학적이특성상포텐셜장벽보다적은에너지를가진입자도터널효과를통해장벽밖으로나올수있게된다. 물론그확률은매우작지만, 빠른속도로움직이는 -입자가장벽에부딪히는회수만큼터널확률도높아지므로일정한시간이지나면장벽밖으로나올확률이충분히커지게된다. 핵자끼리의융합, 즉핵융합도마찬가지원리로가능하다. 두핵이가까이다가가면미는힘이강해져고전적입자라면다시튕겨나오겠지만, 양자역학적입자인두핵은장벽을뚫고터널하여하나로뭉칠가능성이없지않다. 이를핵융합이라고한다. 핵융합후의총질량은융합전입자의질량보다작다. 그질량차이에 ( 빛의속도 ) 2 을곱한양만큼이에너지로방출된다. 그림 45 1 차원입자의터널효과 그림 46 1 차원터널효과동영상 수소원자의파동함수 : 보어의모델로부터수소원자핵에속박된전자의에너지준위가 으로주어진다는사실을알았다. 수소원자에해당하는슈레딩거방정 식 을풀어보면좀더엄밀한답을구할수있다. 그결과주양자수로알려진 뿐만아니라다른양자수가두개더존재하여수소원자에있는전자의가능한상태는세개의양자수 로결정된다는사실을알게되었다. 수소원자문제에서는에너지가오직주양자수 에만의존하는것으로보이지만좀더복잡한원자의경우에너지는세개의양자수에모두의존할수있다. 원자로부터복사되는원자선은가끔매우인접한두개의파장을보인다. 이현상을설명하기위해 Goudsmit와 Uhlenbeck이추가적인양자수, 즉스핀양자수 가있을것으로예측하였다. 스핀의존재는아래와같은 Stern-Gerlach식실험으로검증할수있다. 수소원자를불균일한자기장영역을통과시키면아래그림과같이두갈래로갈라진다. 수소원자의전자는 -궤도함수에위치하고있기때문에자기장의영향을받을수없음에도불구하고자기장효과에의해궤도가갈라지는것은추가적인각운동량을전자가갖고있음을의미한
다. 그리고두갈래로갈라지는것은이추가적양자수가두개의가능한값을갖는것을 의미한다. 그림 47 Stern-Gerlach 실험 문제 : [1] 양자화된에너지준위 를이용하여전자가길이 인포텐셜우 물에갇혀있을때의에너지차이 을 ev 단위로구하시오.
핵의구조 핵의기본성질 : 수소원자를제외한모든원자의핵은유한한개수 의양성자와유한한개수 의중성자로구성되어있다. 이둘을합한양 이곧원자수가되고원자의질량을결정한다. 일반적으로원자를표기할때그원자의양성자수와총원자수를함께표기하는데, 주어진원자의양성자수와중성자수로같지아니하기때문이다. 또같은원자번호를가진원자핵이라도중성자수가서로다른경우가있는데, 이렇게중성자수만다른원자를동위원소라고부른다. 가령탄소 는일반적으로원자수 로존재하지만 형태로존재하기도한다. 가장간단한원자인수소도일반수소와중수소 ( ), 삼중수소 ( ) 의형태로존재가능하다. 탄소원자 ( 전자포함한 ) 의질량을정확히 12u 로정의한다. 이렇게정의한질량단위 1u 로 양성자와중성자의질량을재면각각 1.007276u 와 1.008665u 가된다. 질량을에너지로환 산하면양성자는 938.27MeVc 과 939.57MeVc 가된다. 러더포드의산란실험에서입사한알파입자가금박막과충돌하여되돌아오는경우가있었 다. 이경우에너지보존법칙을적용해보면반사되기직전알파입자와금핵간의거리 에대해 이성립한다. 따라서알파입자와금원자핵간의최소접근 거리는 으로결정되고, 원자핵의크기는이값보다작을것이다. 러더포드는이 계산을통해알파입자가금핵으로부터거리 m까지접근한다는사실을알아냈다. 따라서핵의크기는대략 fm m 정도이다. 핵을구성하는양성자와중성자 ( 합쳐서핵자 ) 가대략구형을띠고있다고치고, 핵의반지름을원자수에비례해구해보면, m에가까운결과를얻는다. 방사성 : 18965 년프랑스의베끄렐이우라늄을포함한고체결정근처에감광판을놓으면 감광판을검게변화시키는것을발견하였다. 이것이입자가자발적으로다른입자, 또는빛 을발생하는방사성현상의최초발견이었다. 이후퀴리부부의연구로새로운방사성물 질, 폴로니움과라디움이발견되었다. 러더포드의실험을통해방사성은입자가붕괴하는 현상임이분명해졌다. 세종류의붕괴현상이가능한데하나는 - 붕괴, 여기에서는헬륨의 원자핵이발생한다. - 붕괴에서는전자 ( 또는반전자 ) 가발생하며 - 붕괴에서는입자대신 높은에너지의전자기파가방출된다. 방사성때문에어떤물질은완전히안정되지못하고 시간이되면붕괴하는데수학적으로는그개수 이 와같은식을만족한다. 시간에따라입자의개수는 로감소하는데본래존재했던양이절반으 로줄어드는데걸리는시간을반감주기 ( ) 라고부른다. ln. 반감주기는원자마다서로다르며, 같은원자라도동위원소끼리서로다른값을갖는다.
잘알려진방사능물질인우라늄은아래그림과같은붕괴순서를따라납으로변화해간다. 붕괴후입자의총정지질량은붕괴전정리질량보다적다. 따라서질량차이에해당하는에너지가운동에너지형태로방출된다. 이여분의에너지를제어하면핵발전과핵무기가가능해진다. 그림 48 우라늄의붕괴순서도