51 연립일차방정식과행렬 52 행렬연산의성질 5 3 Gauss 소거법과 Gauss-Jordan 54 소거법 역행렬 라플라스 (Pierre-Simon Laplacc, 1749~1827) 나폴레옹이그의논문에신이언급되지않았다는까다로운지적을했을때라플라스는 " 폐하, 저는그가설이필요치않았습니다" 라고대답했다. 그리고미국의천문학자나다니엘보우디취는라플라스의논문을영역할때 " 나는라플라스가 ' 따라서그것은명백하다' 고한부분을여러시간힘들여부족한부분을공부하여왜그것이명백한가를알아내지않고서는결코이해하지못한다 고언급했다.
연립일차방정식과행렬 미지수에관한일차방정식(linear equation) 은와계수이실수일때, 다음과같은꼴로나타내어지는방정식이다. 일반적으로, 미지수에관한유한개의일차방정식의모임 을연립일차방정식(system of linear equations) 이라고한다. 실수이모두 0이면이연립방정식을동차(homogeneous) 라하고그렇지않으면비동차(nonhomogeneous) 라고한다. 연립일차방정식의미지수에어떤수을각각대입하였을때, 각방정식이모두성립하면 ( ) 을이연립일차방정식의해(solution) 라고한다. 연립일차방정식의해전체의집합을연립일차방정식의해집합(solution set) 이라하며, 동일 한해집합을가지는두연립일차방정식을동치(equivalent) 라고한다. 일반적으로, 연립일차방정식에대하여다음중하나가성립한다.
214 ( ⅰ) 해를갖지않는다. ( ⅱ) 유일한해를갖는다. ( ⅲ) 무수히많은해를갖는다. 연립일차방정식의해법인소거법에서변수의기능은위치를나타내는역할이외에는없다. 따라서, 변수를반복해서쓸필요가없고, 계수만으로소거법을시행하여도해를얻을수있는 데이러한방법을 Gauss 소거법(5 3 절참조) 이라고한다. 이를위해다음과같이행렬을정의 한다. 실수( 또는복소수) 를다음과같이직사각형모양으로배열한것을행렬(matrix) 이라하며, 그각각의수를행렬의성분(entry) 이라고한다. (5 1) 행렬 에서 을의행 ( th row of ) 이라하고, 을의열 ( th column of ) 이라고한다. 또, 개의행과개의열을갖는행렬 를크기(size) 가 이라고한다. 인행렬이라하며, 특히이면차의정사각행렬 (square matrix) 행렬의행, 열의성분를의성분이라하며, 차의정사각행렬의성분 을주대각선성분(main diagonal entries) 이라고한다. 행렬 (5 1) 은 성분을써서다음과같이간단히나타내기도한다. 또는 정사각행렬의주대각선성분이외의모든성분이 0 일때, 를대각행렬 (diagonal matrix) 이라한다. 특히, 주대각선성분이모두같은대각행렬을스칼라행렬(scalar matrix) 이라고한다.
215 다음은모두대각행렬이다. 특히, 와는스칼라행렬이다. 두행렬, 가모든 에대하여 를만족하면서 로같다(equal) 고하고 로나타낸다. 두행렬, 와실수에대하여와의합 (sum) 와의스칼라배 (scalar multiple) 를다음과같이정의한다., 일반적으로는간단히로쓴다. 두행렬, 에대하여와의곱 (product) 를다 음과같이정의한다. 여기서,
216 위의정의에서의성분은의행에있는각성분에의열에있는성분을 차례로곱하여모두더한것임을의미한다. 따라서, 와의곱은의열의개수와의 행의개수가같을때에만정의된다. 의번째행을로의번째열을로표시한다면로쓸수있 다. 이를이용하면의성분은이다. 이기호법은증명이필요할때사 용하면편리하다. 행렬 에대하여를구하시오. 이제, 개의미지수를갖는개의일차방정식으로이루어진연립일차방정식 (5 2) 을생각하자. 이때 이라하면연립일차방정식 (5 2) 는행렬의곱을이용하여다음과같이간단히쓸수있다. 이때, 행렬를연립일차방정식 (5 2) 의계수행렬(coefficient matrix) 이라하며, 에를붙여서만든행렬
217 을연립일차방정식 (5 2) 의첨가행렬(augmented matrix) 이라고한다. 다음연립일차방정식을행렬의곱을이용하여나타내라. 또연립일차방정식의첨가행렬을구 하여라. 이라할때, 이다. 그리고첨가행렬은 = 행렬연산의성질 행렬연산의성질은우리가이미알고있는실수의연산성질과유사한점이많으나몇가지 예외가있다. 가장중요한예외는곱에관한것이다. 실수에대하여는항상성 립하지만, 행렬에대하여가일반적으로는성립하지않는다. 이등식이성립 될수없는이유에는또는가정의되지않는경우와가모두정의되더라도 인경우가있는데, 다음예를통하여이를확인해보도록하자. 행렬가각각다음과같다고하자. 이때, 는정의되지만는정의되지않으며, 는행렬이지만는 행렬이므로 이다. 또, 나는모두행렬이지만다음에서알수있듯
218 이이다. http://matrix.skku.ac.kr/calculus/matrixcal/applet1.html 또는 MS엑셀또는 http:// matrix.skku.ac.kr/calculus/java_all.html에서임의의행렬두개를입력하고그결과를확인해보시오. 사용법은 6장 3 절의 공학적도구를이용한행렬의계산 을참고하시오. 행렬 는각연산이정의될수있는적당한크기의행렬이고, 가스칼라일때, 다음이성립한다. (1) ( 덧셈의교환법칙) (2) ( 덧셈의결합법칙) (3) ( 곱셈의결합법칙) (4) ( 분배법칙) (5) ( 분배법칙) (6) (7) (8) (9) 힌트이등식들을증명하려면, 좌변과우변의행렬이크기가같고, 각각에대응하는성분들이 서로같음을밝히면된다. 다음행렬에대하여와를확인하여라.
219 성분이모두 0 인행렬, 예를들어 등을영행렬(zero matrix) 이라하고, 크기가인영행렬을또는으로나타낸다. 임의의행렬에대하여영행렬이와크기가같은영행렬이면가 성립한다. 즉, 영행렬은행렬연산에서실수의덧셈에서의 0과같은역할을하는행렬이라 할수있다. 그러나실수의연산에서성립하는다음두가지성질은행렬연산에서일반적으로 성립하지는않는다. ( ⅰ) ( ⅱ) 또는 행렬 에서 이고이지만이다. 또한, 이지만이다. 임의의행렬 와영행렬 에대하여다음이성립한다. (1) (2) (3) (4) 고 주대각선성분이모두 으로나타낸다. 즉, 1인차의스칼라행렬을차의단위행렬(identity matrix) 이라하
220 가 행렬일때, 단위행렬과에대하여다음이성립함을쉽게알수있다. 행렬일때, 또한, 가차의정사각행렬일때, 의거듭제곱을다음과같이정의한다. 개 거듭제곱의정의로부터다음정리를얻는다. 가정사각행렬이고과가음이아닌정수일때, 다음이성립한다.
221 행렬에대하여의전치행렬 (transpose of ) 을로나타내고 다음과같이정의한다. ʹ, ʹ 위의정의로부터, 행렬의전치행렬는의행과열을바꾸어얻어진행렬임을알수 있다. 다음행렬의전치행렬을각각구하여라., 두행렬 와임의의스칼라 에대하여다음이성립한다. (1) (2) (3) (4) 아래행렬에대하여, 위정리 4 의 (3) 이성립함을보여라.
222 정사각행렬가를만족하면를대칭행렬(symmetric matrix) 이라하고, 를만족하면반대칭행렬(skew symmetric matrix) nating matrix) 이라고한다. 또는 교대행렬 (alter- 위정의로부터정사각행렬가대칭행렬이면모든에대하여임을알 수있다. 또한, 가반대칭행렬이면모든에대하여이고, 따라서주 대각선성분은모두영임을알수있다. 다음행렬중에서와는대칭행렬이고, 는반대칭행렬이다. 가임의의정사각행렬일때, 다음을보여라. (1) 는대칭행렬이다. (2) 는반대칭행렬이다. 문제 4 에의해모든정사각행렬은대칭행렬과반대칭행렬로분할이가능하다. 1. 두행렬가이기위한를구하여라.
223 2. 행렬 에대하여, 다음중계산가능한것만을계산하여라. (1) (2) (3) (4) 다음행렬에대하여물음에답하여라. 3. 일때, 를구하여라. 4. 일때, 를구하여라. 다음연립일차방정식에대하여물음에답하여라. (1) 계수행렬(coefficient matrix) 을구하여라. (2) 연립일차방정식을행렬의곱을이용하여나타내어라. (3) 첨가행렬(augmented matrix) 을구하여라. 5. 6. 첨가행렬이다음과같은연립일차방정식을구하여라( 단, 미지수는으로놓아라 ). 7. 8.
224 행렬이고, 일때, 다 음을확인하여라. 9. 10. 11. 12. 13. 행렬가 2 차의정사각행렬이고, 일때이성립하는예를하나만찾아라. 14. 행렬일때, 이지만임을 확인하여라. 다음행렬에대하여계산하여라. 15. 16. 17. 가행렬이고가스칼라일때, 이면또는임을증명하여라[ 힌 트: 만일아니라면임을보이면된다 ]. 18. 임의의 2차의정사각행렬 에대하여 가성립하는 2차의정사각행렬 의일반적인 모양을모두찾아라. 차의정사각행렬에대하여다음을증명하여라. 19. 는대칭행렬이다. 20. 는대칭행렬과반대칭행렬의합으로나타낼수있다.[ 힌트: 문제 4] 21. 가정사각행렬일때의주대각선원소를모두더한것을의대각합(trace) 이라하고 로나타낸다. 가차의정사각행렬일때, 다음이성립함을보여라.
225 (1) (2), (3) (4) 22. 대각합을이용하여다음을만족하는 차의정사각행렬 는존재하지않음을증명하여라. [ 힌트: 모순을이용한증명으로문제 21 번의사실 (3), (4) 를이용한다] http://matrix.skku.ac.kr/sglee/java/trace.html 의주소에서확인해보세요. Gauss소거법과 Gauss-Jordan 소거법 이절에서는연립일차방정식을풀때자주쓰던소거법을체계화하여유용한해법을얻도록 한다. 이방법은주어진연립일차방정식의첨가행렬로부터시작하여어떤특별한형태의행렬 을만들어내는것이다. 이새로운행렬은주어진연립일차방정식과동치인연립일차방정식을 나타낸다. 다음예는연립방정식을푸는데행렬을어떻게이용할수있는가를암시한다.
226 아래의왼쪽은연립방정식을푸는과정이고, 오른쪽은이에따른이연립방정식의첨가행렬 의변화를나타낸것이다. 첫째방정식을 -2 배하여둘째방정식에더한다. 첫째방정식을 -3 배하여셋째방정식에서더한다. 둘째방정식에 을곱하면 둘째방정식을 -3배하여셋째방정식에더하면 셋째방정식에 -2를곱하면 따라서 즉, 구하는연립방정식의해는
227 행렬가다음성질을만족할때, 행사다리꼴(row echelon form, REF) 이라고한다. ( ⅰ) 성분이모두 0 인행이존재하면그행은행렬의맨아래에위치한다. ( ⅱ) 각행에서처음으로나타나는 0이아닌성분은 1 이다. 이때, 이 1을그행의선행성분(leading entry) 이라고한다. ( ⅲ) 행과행모두에선행성분이존재하면 ( ) 행의선행성분은행의선 행성분보다오른쪽에위치한다. 또, 행렬가행사다리꼴이고다음성질을만족하면를기약행사다리꼴(reduced row echelon form, RREF) 이라고한다. ( ⅳ) 어떤행의선행성분을포함하는열의다른성분은모두 0 이다. 앞으로행사다리꼴은간단히 REF 로, 기약행사다리꼴은 RREF 로나타내기로한다. 다음행렬은모두 REF 이다.,,, 다음행렬는각각위정의의성질 ( ⅰ), ( ⅱ), ( ⅲ) 을만족하지않으므로 REF가 아니다. 다음행렬은모두 RREF 이다.
228 이제, 주어진행렬을기약행사다리꼴(RREF) 로변형하는방법에대하여알아보자. 행렬에관한다음연산을기본행연산 (elementary row operation, ERO) 이라고한다. E1 : 의두행행과행을서로바꾼다. E2 : 의행에0이아닌상수를곱한다. E3 : 의행을배하여행에더한다. 앞으로기본행연산을다음과같은기호로나타내기로한다 ( 참조 ). E1 : ( 번째행과 번째행을교환한다 ) E2 : ( 번째행에 배한것을 번째행으로대치한다 ) E3 : ( 번째행에 배한것을 번째행에더한것을 번째행으로대치한 다 ) 행렬에기본행연산을시행하여얻어지는행렬을라하면와는행동치 (row equivalent) 라고한다. 다음행렬은모두행동치이다. 다음행렬에기본행연산을시행하여 REF와 RREF 로변형시켜보자.
229 단계 1 성분이모두는 0 이아닌가장좌측열을찾는다. 성분이모두는 단계 2 0 이아닌가장좌측열( 이경우는첫번째열이다) 단계 1에서찾은열의가장위에있는성분이 0일때에는그열의위에서부터처음으로 0이아닌성분을포함하는행과 1 행을교환한다( 가능하면 1, -1 또는 2 등의성분을취 한다 ). 의 1행과 2행을교환하였다 ( 이경우는 1열의 2 행성분이대상이된다). 단계 3 의 1행의선행성분을 1로만들기위하여의1 행을첫째성분으로나눈다. 의 1행을 2 로나누었다. 단계 4 의 1행의선행성분아래에있는모든성분을 0 으로만든다( 행연산). 단계 5 의 1행을 -3배하여 3 행에더했다. 의 1행을제외한나머지를라하고단계1에서단계4 를반복한다., 성분이모두는 0이아닌가장좌측열의 1행과 2 행을교환했다.
230 의 1행을로나누었다. 의 1행의 -2배를 2행에더했다. 단계 6 의 1행을제외한나머지를라하고단계1에서단계3 를반복한다. 모두는0 이아님가장좌측열의행을 -3으로나누었다서, 다음과같은의 REF 을얻는다.. 따라 의REF를다음과같이변형시키면 RREF 를얻는다. 다음행렬의 REF와 RREF 를구하여라.
231 첨가행렬이행동치인두연립일차방정식은동치이다. 위정리에의하여연립일차방정식의첨가행렬을 다. 이러한방법을 Gauss 소거법이라고한다. REF로변형시켜그해를쉽게구할수있 다음연립일차방정식을 Gauss 소거법으로풀어라. 이면의 RREF는이다. 한편, 정리 1에의하여연립일차방정식의첨가행렬을 RREF로변형시켜해를구할수도있 다. 이러한방법을 Gauss-Jordan 소거법이라고한다. 위의 ( ) 행렬로부터유도된다음연립방정식을각각 Gauss 소거법과 Gauss- Jordan 소거법으로풀어라. 이므로 이행렬 를첨가행렬로갖는연립일차방정식은 이므로 ( 는임의의실수; 이것을자유변수라한다) 이라놓으면구하는해는
232 이다. 이방법이 Gauss 소거법이다. Gauss-Jordan 소거법을이용하려면, 행렬를첨가행렬로갖는연립일차방정식을같은방법으로풀면된다. 물론같은답을얻게됨을알수있다. 대개 를구한후연립방정식을풀면쉽게답을얻는다. 그러나만구하고 해를구하여도같은답을구할수있으며, 를가지고해를구하는과정이에서를구한후해를구하는과정보다간단하기때문에일반적으로연립방정식의해를구할때는 Gauss 소거법을쓴다. 는주로역행렬을구할때더욱가치를발휘한다. 이고,,,,, 일때, 의REF(RREF) 를한번만구하여개의연립일차방정식,,, 의해를동시에구할수도있다. 이방법으로, 의해를동시에구하여라. 주소 http://matrix.skku.ac.kr/sglee/java/linear_eqn.html 에서연립방정식을풀어보시오. 새로운도구에대한정보는 http://matrix.skku.ac.kr/calculus/ 에추가된다.
233 역행렬 이절에서는정사각행렬에대하여실수에서의역수와같은역할을하는행렬에대하여알아 본다. 차의정사각행렬 에대하여다음을만족하는행렬 가존재하면 는가역 (invertible) 이라고한다. 이때, 를의역행렬(inverse matrix) 이라고하며, 이러한가존재하지않으면 는비가역(noninvertible) 이라고한다. 행렬 에서가의역행렬임을다음계산으로부터알수있다. 행렬은 3행의성분이모두 0이므로어떤 3차행렬에대하여도의 3행은이다. 따라서인가존재하지않으므로는비가역이다.
234 차의정사각행렬가가역이면의역행렬은유일하다. 행렬가모두의역행렬이라고하면 이므로 이다. 따라서, 의역행렬은유일하다. 차의정사각행렬가가역일때, 의역행렬을로나타낸다. 즉, 행렬에서라고하면 임을보여라. 차의정사각행렬가가역이고가 0 이아닌스칼라일때, 다음이성립한다. (1) 은가역이고, 이다. (2) 는가역이고, 이다. (3) 는가역이고, 이다. (4) 는가역이고, 이다. 두행렬에대하여임을확인하여라.
235 이제, 차의정사각행렬가가역일때에 ERO 을시행하여단위행렬을만들수있다. 즉, 이다. 이제의역행렬을다음과같은단계로구해보자. 단계 1 주어진행렬에단위행렬을첨가하여행렬을만든다. 단계 2 단계 1에서만든행렬의 RREF 를구한다. 단계 3 단계 2에서얻어진 RREF를라고하면다음이성립한다. ( ⅰ) 이면이다. ( ⅱ) 이면는비가역이고은존재하지않는다. 다음행렬의역행렬을구하여라. 를만들면이고, 이행렬의 RREF를구하면 이다. 이므로이다.
236 다음행렬의역행렬을구하여라. Gauss-Jordan소거법을이용하여역행렬의존재성을확인하거나역행렬을구하는방법은단순한계산을반복하는것이다. 따라서이런계산은컴퓨터를이용하면쉽게구할수있다는것을알수있다참고 ( 6장3 절). 이제행렬의가역성과연립방정식의해사이의관계를알아보고동차연립방정식에대하여살 펴본다. 차의정사각행렬가가역이고가행렬일때, 연립일차방정식는유일 한해를갖는다. 연립방정식 은 이라놓으면 로나타낼수있다. 그런데행렬는예 3 에서보듯이가역이고, 이므로정리 3에의하여위연립방정식의해는 즉, 이다. 이라하면다음과같이나타낼수있다.
237 위의동차연립일차방정식에 을대입하면모든방정식이성립하 므로이것은연립방정식의해이다. 이 를자명한해(trivial solution) 라하며, 인해를자명하지않은해(nontrivial solution) 라고한다. 연립일차방정식의해는존재하지않거나, 유일하게존재하거나또는무수히많이존재한다. 그런데동차연립일차방정식은항상자명한해는가지므로다음두가지경우만이가능하다. ( ⅰ) 자명한해만갖는다. ( ⅱ) 무수히많은해를갖는다즉 (, 자명하지않은해도갖는다). 다음정리는동차연립방정식이어떤경우에자명하지않은해를갖는지를알려준다. 개의미지수를갖는개의방정식으로이루어진동차연립일차방정식은이면즉, 미지수의개수가방정식의개수보다많으면자명하지않은해를갖는다. 동차연립방정식 (5 3) 의첨가행렬은이고, 이것을 RREF 로변형하면다음과같다. 이것에대응하는연립방정식은 이므로 ( 임의의실수; 이것을자유변수(free variable) 라한다) 이라놓으면 (5 3) 의해는 이다. 여기서이면자명한해가되고, 이면자명하지않은해가된다.
238 이제, 지금까지논의한역행렬을이용하여실제응용문제를연립방정식으로만들어해결하는 예를살펴보자. 연립일차방정식과역행렬을이용하여코사인제2 법칙을유도해보자. 세변와마주보는각 (opposite angles) 를갖는위의삼각형을생각하자. 그러면삼각비의정의에의해위의세식을얻는다. 이식으로부터를구해보자. 우선행렬을이용한연립일차방정식 를만들고의역행렬을구한다. 모두가이아니라면는역행렬을갖는다 ( 는삼각형의세변의길이이므로모두은아니다). 따라서,, 이고이므로를얻는다. 와 도같은방법으로얻을수있다. 다음의간단한전기회로다이어그램을보자. 전지나발전기에서만들어내는전압을 로저항을 열기나오븐은저항의역할을한다. 로표시하자. 저항은전기에너지를열로바꾸어준다. 실제로, 전 그리고회로상의각경로에흐르는전류의양을 로나타내자. 전압은볼트로, 저항은오옴(ohms) 으로측정한다. 전류는암페어로 측정하는데, 전류가화살표의반대방향으로흐르면
239 그전류는음의값을갖는다. 전압과저항이주어질때, 전류의값을계산하기위하여다음과같은 Kirchhoff 의법칙을이용한다. (1) 회로의각경로가만나는교점(junction) 에서의전류의합은 0 이다( 다시말하자면, 교점으로흘러들어오는모든전류는모두다시흘러나가게된다 ). (2) 전체회로의각각의닫힌경로에서는경로상의전압들의합은저항와전류 의곱들의합과항상같다 ( ). 전류는모두교점로흘러들어오므로, 첫번째법칙에의해 을얻는다. 이첫번째법칙을교점에적용해도같은식을얻는다. 그림에서첫번째닫힌(closed) 회로를시계방향으로돌아가면, 전압의합은, 저 항의합은 이되므로, 두번째법칙에의하여,. 마찬 가지로두번째닫힌(closed) 회로에서을얻는다. 이렇게얻은세방정식 을행렬로나타내면 이되고간단한계산(6장정리2 참조을하여 ) 을얻는다. 따라서과같은방법으로주어진저항들과전압들로각경로의 전류각각의를표시할수있다.
240 질량,, 를갖는세물체가차례로세점,, 에놓여 있다. 이경우무게중심이이고각질량의합이 1 일때, 를구하기위한 연립일차방정식을구하여라. 아래그림과같은전기회로에 Kirchhoff 의법칙을적용하면다음방정식들을얻는다. 여기에서아래행렬표현을유도하여라. 다음행렬중 REF와 RREF 인것을찾고, RREF가아닌것은 RREF 로변형시켜라. 1. 2. 3. 4.
241 5. 다음행렬과행동치인행렬을 3 개만찾아라. 다음연립방정식을 Gauss 소거법으로풀어라. 6. 7. 8. 9. 10. 아래연립방정식에대하여다음을구하여라. (1) 해를갖지않기위한의조건 (2) 유일한해를갖기위한의조건 (3) 무수히많은해를갖기위한의조건 11. 다음연립일차방정식이해를갖기위한의조건을구하여라. 다음행렬중가역인것을찾고, 그역행렬을구하여라. 12. 13. 14. 15.
242 16. 다음행렬의역행렬이존재하기위한의값을모두구하고, 그때의를구하여라. 17. 차의정사각행렬가가역이고, 가임의의자연수일때, 는가역임을보여라. 18. 차의정사각행렬가가역이고다음식을만족하면임을보여라. 다음동차연립방정식중에서자명하지않은해를갖는것을찾아라. 19. 20. 21. 22. 행렬에대하여다음동차연립일차방정식을풀어라. 23. 24. 25. 다음동차연립일차방정식이자명하지않은해를갖기위한조건은임을보여라. 26. 가행렬이고가아닌행렬일때, 연립방정식가해를갖는다고하자. 이때, 여라. 이의한해이고이의해이면은의해가됨을증명하 주소 http://math.skku.ac.kr/~sglee/java/linear_eqn.html 의도구를이용하여연립방정식을 풀어보세요! 계속하여새로운도구와링크, 정리의증명과문제의답에대한정보는
243 http://matrix.skku.ac.kr/calculus 에추가됩니다. 예습으로행렬의와를아래와같이구했다. 다음장에서는 연립방정식을푸는새로운방법을학습한다.