kfsjbtsjgw nlfmfie 0 탈레스 (Thales; 0 ~ 5..) 닮음비를이용하여피라미드의높이를계산하였다. 50 피타고라스 (Pthagoas ; 57 ~ 9..) 피타고라스의정리를최초로증명하였다. 아리스타쿠스 (istachus ; 0~0..) 삼각비를이용하여지구에서태양까지의거리가지구에서달까지의거리의 0배임을구하였다. 그러나실제는약 00배이다. 0 피타고라스를기념한동전 멀티미디어는음향, 동영상등여러가지형태의정보를효과적으로결합하여전달하는방식으로이기술에대한표준은국제표준화기구 (IS; Intenational ganization fo Standadization) 의동영상전문가그룹 (MPEG ; Moving Pictue Epets Goup) 에서만들고있다. MPEG`에서정한멀티미디어압축 전송기술에대한표준인 MP에는삼각함수가응용되고있다. 소리를 MP`방식으로기록한파일은다른것에비하여압축효율도높고, 음질도깨끗하여상당한인기를얻고있다. 8 Ⅳ. 삼각함수
MP 플레이어 D 707 푸리에 (Fouie, J.. J ; 78`~`80) 푸리에급수를연구하였고, 삼각법을수학의한분야로연구하였다. 삼각함수를활용한 MP가보급되었다. 99 IMT000(Intenational Mobile Telecommunication 000) 보급준비 000 차세대멀티미디어이동통신 IMT000용단말기 ( 로봇모양의마네킹손에화상전화가들려있다.) 반지름의길이가 5cm이고중심각의크기가 0æ인부채꼴에서호의길이와넓이를구하여라. 5cm 0æ 호의길이와부채꼴의넓이 (7-나) 반지름의길이가, 중심각의크기가 æ 인부채꼴에서 ( 호의길이 )=\ 0 ( 부채꼴의넓이 ) = \ 0 오른쪽그림의직각삼각형에서삼각비 sin, cos, tan 를구하여라. 삼각비의정의 (9-나) sin = cos= tan= Ⅳ. 삼각함수 9
nfzufmfznbjvf ug ugdpg. 일반각과호도법 일반각의뜻을알고, 주어진각을일반각으로나타낼수있다. 호도법의뜻을알고, 도 (`æ`) 를라디안으로, 라디안을도 (`æ`) 로나타낼수있다. 일반각의뜻 todkrgo qhqtlek 발레에서사용되는용어는대부분프랑스어인데, 회전하는동작을 뚜르네 (toune) 라한다. 다음물음에답하여라. anfdm 회전은몇도 (æ) 회전한것인가 anfdm 회전, 회전은각각몇도 (æ) 회전한것인가 오른쪽그림과같은»XP` 는처음 X ` 의위치에 P 시초선 ( 始初線 ) 始처음시初처음초線줄선동경 ( 動徑 ) 動움직일동徑지름길경 서점`를중심으로 P ` 까지회전하여만들어진도형으로볼수있다. 이때, X ` 를시초선, P ` 를 `동경이라한다. 동경 P`의회전은시계바늘이도는방향인음의방향과그반대방향인양의방향이있다. 각의크기는동경의회전방향에따라양, 음의부호를붙여서나타낸다. 동경시초선 X P 양의방향 (+) X 음의방향 (-) 50 Ⅳ. 삼각함수
P P 5æ X -5æ X 다음그림과같이시초선 X` 에대하여동경 P` 의위치는모두같지만 동경 P`가양의방향또는음의방향으로몇바퀴를돌아서그위치에있는지에따라각의크기는다르다. P 0æ X 0æ+0æ=90æ P 0æ X 0æ\+0æ=750æ P 0æ X 0æ\(-)+0æ=-90æ 일반적으로,»XP`의크기를` åæ 라할때, 시초선 X`와동경P`가이루는각의크기는다음과같이나타낼수있다. 0æ\n+åæ (n`은정수) 이것을동경 `P`가나타내는일반각이라한다. 참고 åæ` 는 0 å<0 범위의값을주로사용한다. -0æ=0æ\(-)+0æ`이므로 -0æ`가나타내는동경 P`는오른쪽그림과같고, 그동경이나타내는 P 일반각은다음과같다. 0æ\n+0æ (n`은정수) 0æ X 뿌리 다음각의동경의위치를그림으로나타내고, 그동경이나타내는일반각을구하여라. ⑴ 0æ ⑵ 90æ ⑶ -05æ ⑷ -70æ 일반각»XP 의꼭지점 를좌표평면의원점, 시초선 X` 를 축의양 의방향으로할때, 동경 P 가좌표평면의제 `` 사분면에있으면이각을제 `` 사분면의각이라한다.. 삼각함수와그그래프 5
마찬가지로동경의위치에따라제`` 사분면의각, 제`` 사분면의각, 제`` 사분면의각이라한다. 한편, 0æ, 90æ, 80æ, 70æ, 0æ`는어느사분면에도속하지않는다. P 제``사분면 제``사분면 제``사분면 åæ X 제``사분면 뿌리 다음각은제몇사분면의각인가 ⑴ 90æ ⑵ 0æ ⑶ -00æ ⑷ -75æ 호도법의뜻 todkrgo qhqtlek 다음은반지름의길이가각각다른세종류의피자를호의길이와반지름의길이가같게자른것이다. 다음물음에답하여라. anfdm 세도형의공통점을말하여라. anfdm 세도형의중심각의크기를비교하여라. 오른쪽그림과같이중심이 ` 이고, 반지름의 길이가 `인원에서길이가 `인호 `에대한중심각»`의크기를 `åæ라하면, 호의길이는중심각의크기에정비례하므로다음이성립 åæ 한다. 5 Ⅳ. 삼각함수
회전의을 æ라하고, 0 이것을단위로각의크기를나타내는방법을육십분법이라한다. adian은 adial angle 에서유래한합성어이다. = Ú åæ= 따라서, 중심각의크기 åæ는원의반지름의길이에관계없이일정하다. 이일정한각의크기를 `라디안이라하고, 이것을단위로각의크기를나타내는방법을호도법이라한다. 반지름의길이가 인원에서반원의호의길이 는 로반지름의길이의 배이므로 이다. åæ 0æ 80æ= 라디안 80æ 라디안 도 (`æ`) 와라디안의관계 80æ 80æ=`라디안이므로 라디안 =, æ= `라디안 80 참고 호도법에서각의단위라디안은대부분생략한다. 80æ 0æ`는 0æ\ = `이다. 또, `는 \ =5æ`이다. 80æ 뿌리 다음각을호도법으로나타내어라. ⑴ 0æ ⑵ 90æ ⑶ 0æ ⑷ 5æ 뿌리 호도법으로나타낸다음각의크기는몇도 ( æ ) 인가 5 ⑴ ` ⑵ ` ⑶ ⑷ 동경 P` 가나타내는한각의크기를 라할때, P 그일반각을호도법으로나타내면 n+ (n`은정수) 이다. 이때, 는보통 0 < `범위의각을사용 X 한다.. 삼각함수와그그래프 5
- =\(-)+ 이므로그동경이나타내 P 는일반각은 n+ (n`은정수) 이다. - X 뿌리 5 다음각의동경이나타내는일반각을` n+ 꼴로나타내어라. ( 단, n`은정수이고, 0 <) ⑴ ⑵ ⑶ ⑷ 8 반지름의길이가 ` 인원에서길이가 l` 인호에 대한중심각의크기를` `라디안이라하면, 호의길이는중심각의크기에정비례하므로 l = Ú l= 이다. 또, 반지름의길이가 ` 인원에서중심각의크기가 ` 인부채꼴의넓이 를 `S` 라하면부채꼴의넓이도중심각의크기에정비례하므로 S = Ú S= 이다. 즉, 부채꼴의넓이와호의길이는다음과같음을알수있다. S l 부채꼴의호의길이와넓이 l=, S= 에서 `의단위는라디안이다. 반지름의길이가 `인원에서중심각의크기가 `인부채꼴의호의길이를 l, 넓이를 S`라하면 l=, S= = l 다음부채꼴의호의길이와넓이를구하여라. ⑴ 반지름의길이 9cm, 중심각의크기 ⑵ 반지름의길이 8cm, 중심각의크기 5æ 5 Ⅳ. 삼각함수
. 삼각함수와그성질 삼각함수의뜻을알고, 일반각의삼각함수값을구할수있다. 삼각함수사이의관계를이용하여삼각함수값을구할수있다. 삼각함수의뜻 todkrgo qhqtlek 오른쪽그림을보고, 다음물음에답하여라. anfdm `에서삼각비 `sin`` 의값을구하여라. Q(-8, ) 5 P(-, ) (, ) -5 5 anfdm 두점 `P 와 `Q 에대하여 (P`의 ``좌표 ) P, (Q`의 ``좌표 ) Q 의값을각각구하고, 두값을비교하여라. 비의값은동경 P 위의점 Q`의위치에관계없이일정하다. 좌표평면에서 축의양의방향이시초선일때, 동경 P`가나타내는일반각의크기를 라하자. 동경 P 위의한점을Q`, 그좌표를 (, )`라하고, 선분 Q`의길이를 라하면, 피타고라스의정리에의하여 =Á + ` P Q(, ) - - 이다. 이때, `의크기가정해지면,, ( 0) 의값이각각한가지 로결정된다. 따라서,,, ( 0). 삼각함수와그그래프 55
와같은대응은함수이다. 이들을각각사인, 코사인, 탄젠트함수라하고, 다음과같이나타낸다. sin =, cos =, tan = 또, ( 0), ( 0), ( 0) 와같은대응을각각 코시컨트, 시컨트, 코탄젠트함수라하고다음과같이나타낸다. cosec =, sec =, cot = 위의여섯가지함수를통틀어일반각 에대한삼각함수라한다. 삼각함수의정의 sin`=, cos`=, tan`= cosec`=, sec`=, cot`= P(, ) dpwp 각`의동경이점 `(, `- ) 을지날때, `sin, `cos, `tan 의값을구하여라. 풀이 =, =- ``이므로 =Á +( - ) = 이다. 따라서, sin =-, cos=, tan=- ` - (, - ) 이다. 답 sin =-, cos =, tan =- 뿌리 각 ` 의동경이다음각점을지날때, sin, cos, tan ` 의값을구하여라. ⑴ ` (, ) ⑵ ` (-, ) ⑶ ` (-, -) ⑷ ` (-, -) 5 Ⅳ. 삼각함수
dpwp 5 = `일때, sin, `cos, tan `의값을구하여라. 풀이 오른쪽그림에서 P = 인동경이나타내는각의크기가 5 ` 이면»PQ= ` 이므로점 P` 의좌표는 - {-, } 이다. 5 5 Ú sin` =, cos` =-, tan` 5 =- - P Q 5 - - 5 5 5 답 sin` =, cos` =-, tan` =- - 다음삼각함수의값을구하여라 ⑴ sin ⑵ cos ⑶ tan0æ 각 의동경이위치한사분면에따라삼각함수의부호는다음과같이정 해진다. 좌표사분면 + - - + + + - - sin`의부호 cos`의부호 tan`의부호 + + - + - + - - - + + - 열매 다음조건을만족하는각 ` 는제몇사분면의각인가 ⑴ sin cos<0 ⑵ cos tan>0. 삼각함수와그그래프 57
삼각함수사이의관계 삼각함수의정의로부터 sin = = \ = cos sin 이고, tan= `이므로 tan= 이다. cos 이와같이, 삼각함수의정의로부터삼각함수사이의여러관계를찾을수있다. 삼각함수사이의관계 ⑴ cosec=, sec=, cot= sin cos tan sin tan=, cot= cos cos sin 반지름의길이가 `인원을단위원이라한다. 오른쪽그림과같은단위원 + = 위의점 P(, ) 에서 =cos, =sin 이므로 cos +sin =` 이다. P(, ) sin` - cos` - 일반적으로, 삼각함수사이에는다음과같은관계가성립한다. 삼각함수사이의관계 ⑵ sin``+cos``= +tan``=sec``, +cot``=cosec`` 참고 (cos), (sin), (tan) 등을각각 cos, sin, tan 로쓴다. +tan =sec 임을증명하여라. 58 Ⅳ. 삼각함수
dpwp 풀이 cos=- { <<} 일때, sin 의값을 5 구하여라. sin =-cos 9 =- = 5 5 그런데 <<이므로 sin>0이다. - -- 5-5 Ú sin = 답 5 5-5 5 sin = { <<} 일때, cos, tan 의값을구하여라. dpwp 다음식을간단히하여라. (sin+cos) +(sin-cos) 풀이 (sin+cos) +(sin-cos) =sin `+sin``cos`+cos +sin -sin``cos+cos =(sin +cos )= 답 다음식을간단히하여라. +sin cos ⑴ + cos +sin cos ⑵ - sin sin -cos. 삼각함수와그그래프 59
여러가지각의삼각함수 todkrgo qhqtlek 빗변의길이가같고, 한예각의크기가같은두직각삼각형은합동이다. 다음물음에답하여라. anfdm 오른쪽그림에서 P와 P 는어떤관계가있는가 또, 점 의좌표가 (, ) 일때, 점의좌표를말하여라. - - P - anfdm 오른쪽그림에서 P 와 Q 는어 떤관계가있는가 또, 점 의좌표가 (, ) 일때, 점 의좌표를말하여라. + Q - P - anfdm 오른쪽그림에서 P 와 Q` 는어 떤관계가있는가 또, 점 의좌표가 (, ) 일때, 점 의좌표를말하여라. - Q -+ P - 임의의정수 n에대하여일반각 n+와각의동경은일치하므로두각의삼각함수의값은같다. n+ 의삼각함수 sin(n+)=sin, cos(n+)=cos, tan(n+)=tan ( 단, n` 은정수 ) 5 cos =cos{\+ }=cos = 0 Ⅳ. 삼각함수
7 다음삼각함수의값을구하여라. 7 ⑴ cos ⑵ sin ⑶ tan 05æ ⑷ sin 오른쪽그림에서일반각 를나타내는동경 P`와 - 를나타내는동경 P'`은 축에대 P(, ) 하여대칭이므로 '=, '=- - - 이다. 따라서, - 의삼각함수를 ` 의삼각함수로나타내면다음과같다. - P'(', ') sin(-)='=-=-sin cos(-)='==cos ' tan(-)= =- =-tan ' - 의삼각함수 sin(-)=-sin, cos(-)=cos, tan(-)=-tan sin{- }=-sin` =- 8 다음삼각함수의값을구하여라. ⑴ cos{- } ⑵ sin{- } ⑶ tan{- } 오른쪽그림에서일반각 를나타내는동경 P`와 + 를나타내는동경 P`' 은원점에대하여대칭이므로 '=-, '=- 이다. 따라서, + 의삼각함수를 의 - P'(', ') + P(, ) 삼각함수로나타내면다음과같다. - sin(+)='=-=-sin cos(+)='=-=-cos ' tan(+)= = =tan '. 삼각함수와그그래프
앞의식의 에 - 를대입하여 - 의삼각함수를 의삼각함수로나타내면다음과같다. sin(-)=-sin(-)=sin cos(-)=-cos(-)=-cos tan(-)=tan(-)=-tan +, -` 의삼각함수 sin(+)=-sin cos(+)=-cos tan(+)=tan sin(-)=sin cos(-)=-cos tan(-)=-tan tan =tan{- }=-tan =- 뿌리 9 다음삼각함수의값을구하여라. 7 ⑴ cos ⑵ sin 5 ⑶ sin ⑷ tan 오른쪽그림에서일반각 를나타내는동 경 P` 와 이다. 따라서, + 를나타내는동경 P '` 에서 '=-, '= + 의삼각함수를 의삼 P'(', ') - -+ - P(, ) 각함수로나타내면다음과같다. sin{ +}='==cos cos{ +}='=-=-sin ' tan{ +}= =- =-cot ' Ⅳ. 삼각함수
위식의 에 - 를대입하여 내면다음과같다. sin{ cos{ tan{ -}=cos(-)=cos -}=-sin(-)=sin -}=-cot(-)=cot - 의삼각함수를 의삼각함수로나타 - - - - P'(', ') P(, ) +, - 의삼각함수 sin{ +}=cos sin{ -}=cos cos{ +}=-sin cos{ -}=sin tan{ +}=-cot tan{ -}=cot sin =sin{ - }=cos 0 다음삼각함수를` 0에서 ` 사이의각의삼각함수로나타내어라. 5 ⑴ cos ⑵ sin 7 ⑶ tan ⑷ cot 5. 삼각함수와그그래프
@@@@e@e@e@@@@@e@@@@@e @@@@e@e@le @@e @e @@@e@e@@e @@e@@@@@e @@@@e J@Le@He @@e@g @@@e W.R/X@e @@e J@@@@Xe @@@e @@e @@e @e @@e@g @e@@@@@e @@e@g @e @e @@e@g @e@@@@@e @@e@g @e@g @e@e @@@@@ewx@e @f @@@@@e @e@le @@Le*@@(@Le @Lf @@Le @e@@e @@@es@@u@@ej@)xe @@@e J@Le@He @@He7<@He W.MI/Xe @@He W.R/X@e @@e=5@e @@e @@@@e @@@@e @e@e @e @e@e @e @e@e @@@@e @e @e @@@@@@@e @@@@e @f@@@f @e@e @f@@@f @e@e @f@@@@le @e@e @f@@ve @@@@e @f@@@@e WX@e W@Xe WX@e 7<@e 7<e *@@(@Le @e@@e =5e S@@U@@e @e@@e 7<@He =5@e =5@e V0Y@e @@Ke @e @e @g @e W@Xe @g @e 7<e @g @e =5e @g @@@@@e WX@e@@@@@e @e *@@(@Le @@e @e S@@U@@e @@e 7<@He @@e =5@e @@e @@@@@@@e V0Y@e @@e @e @f @f @f @f @f @f @e @e @e @e @e @e @e @e @e @e @e 삼각함수에대한앞의성질들을이용하면임의의각의삼각함수를 각 0æ 라디안 0.0000 sin 0.0000 cos.0000 tan 0.0000 0æ에서 90æ 사이의각에대한삼각함 æ 0.075 0.075 0.9998 0.075 æ 0.09 0.09 0.999 0.09 수로나타낼수있다. 따라서, 0æ에서 90æ 사이의각에대한삼각함수의값을알면임의의 8æ 70æ.88.7 0.97 0.997 0.7 0.0.75.775 9æ 7æ.0.9 0.9 0.955 0.58 0.5.05.90 각에대한삼각함수의값을구할수 있다. 이책의부록 (쪽참조 ) 에있는삼각함수표에는 0æ에서 90æ 사이의각 에대한삼각함수의값을소수점아래넷째자리까지의근사값으로나타내 었다. cos 50æ=cos(80æ+70æ)=-cos 70æ=-0.0 다음삼각함수의값을삼각함수표를이용하여구하여라. ⑴ cos5æ ⑵ sin 8æ ⑶ tanæ.yv/@e.yv/@e @@e@@@@e @@ev0y@e @@@@@@)e @e@@@@@e.yev/e @@e V@0Ye V0Y@e @@@@@@@e @e V@0Ye @e @@@@e 계산기를이용하여삼각함수의값에대한근사값을구할수도있다. 이때, 다음사항에유의 한다. 호도법의각인경우에는계산기를호도법용으로맞춘다. 육십분법의각인경우에는계산기를육십분법용으로맞춘다. cosec=, sec=, cot = 이므로 sin cos tan cosec, sec, cot의값은 sin, cos, tan 키와 의키를이용하여구한다. Ⅳ. 삼각함수
. 삼각함수의그래프 삼각함수의그래프를그릴수있다. 삼각함수의주기를말할수있다. =sin ` 와 =cos ` 의그래프 todkrgo qhqtlek 원점 `를중심으로하는단위원위를움직이는점 P`가있다. 동경P`가나타내는각을 라할때, 다음물음에답하여라. anfdm 가점점커지면점 P` 의 `좌표는 - P(, ) 어떻게변하는가 - anfdm an Fdm 로부터 의값이점점커지면서 sin` 의값이어떻게변하는지말하여보아라. 각 의동경과단위원과의교점의좌표를 P(, )`라하면 =sin, =cos 이다. 따라서, 각 를변화시키면서교점 P`의 `좌표와 `좌표의값을구하여좌표평면에나타내면사인함수와코사인함수의그래프를그릴수있다. 함수 `f()=sin 의그래프 f() - -- - - + - -. 삼각함수와그그래프 5
함수 f()=cos 의그래프 f() - -- - - + - - 지금부터는사인함수와코사인함수에서 ``를 ``, f()`를 ``로나타내기로하자. 앞의사인함수와코사인함수의그래프를살펴보면함수 =sin 와 =cos`의최대값은 ` 이고, 최소값은 `-이다. 즉, - sin, - cos 이다. 또, 임의의실수 에대하여 sin(+n)=sin cos(+n)=cos (n은정수) 주기는영어로 이다. peiod 임을알수있다. 일반적으로, 함수 =f() 에서임의의 에대하여 f(+p)=f()` 인 0이아닌상수p가있을때, 그중에서가장작은양수를그함수의주기라하고주기를가지는함수 f() 를주기함수라한다. (-, -) (-, -) (, ) (, ) =sin `와 =cos `는모두주기가 `인주기함수이다. 한편, sin(-)=-sin 이므로 =sin 의, 에 -, -를각각대입하면 -=sin(-)=-sin =sin 이다. 따라서, =sin 의그래프는원점에대하여대칭이다. 또, cos(-)=cos 이므로 =cos 의 에 -를대입하면 =cos(-) =cos 이다. 따라서, =cos의그래프는 축에대하여대칭이다. Ⅳ. 삼각함수
=sin ` 와 =cos ` 의성질 =cos ` 의그래프는 =sin `의그래프를 `축 방향으로 - 만큼평행이 동한것이다. 두함수모두정의역은실수전체의집합이고, 치역은 { - } 이다. 두함수모두주기가 `인주기함수이다. =sin`` 의그래프는원점에대하여대칭이고, =cos`` 의그래프는 `축에대하여대칭이다. dpwp 다음삼각함수의치역과주기를구하고, 그래프를그려라. ⑴ =sin ⑵ =cos 풀이 ⑴ - sin 이므로 `치역은 `{ - } 이다. `또, sin =sin(+)=sin(+) 이므로주기는` `이다. 따라서, `=sin `의그래프는` =sin `의그래 프를 ``축방향으로 ` `배축소한것이다. =sin` =sin` -- - - - ⑵ - cos 이므로 - cos 이다. 따라서, 치역은 { - } 이다. `또, cos=cos(+) 이므로주기는 이다. 따라서, =cos의그래프는 =cos 의그래프를 축방향으로 배확대한것이다. - -- =cos` =cos` - - - -. 삼각함수와그그래프 7
다음함수의치역과주기를구하고, 그래프를그려라. ⑴ =cos ⑵ = sin ⑶ = cos ⑷ =sin + =tan ` 의그래프 오른쪽그림과같이각 의동경P`의연장선과직선 =과의교점을 T(, t)`라하면 PH 는 T와닮음꼴이므로 t tan= = =t 이다. 따라서, 각 의크기를변화시키면서점`T의` 좌표값` t를구하여좌표평면에나타내면탄젠트함수의그래프를그릴수있다. = T(, t) P(, ) - H - 함수 f()=tan` 의그래프 f() - - - - - + + - - (, ) 위의원에서 가 n+ (n 은정수 ) 일때, 점 P 의 좌표는 0 이므로 tan 는정의되지않는다. 따라서, 직선 =n+ (n은정수) 는`f()=tan 의점근선이다. (-, -) 한편, tan(+)=tan, tan(-)=-tan 이므로탄젠트함수는주기가 인주기함수이고, 그그래프는원점에대하 여대칭이다. 8 Ⅳ. 삼각함수
함수 f()=tan에서 ` 를`, `f() 를`로나타내면 =tan`의그래프에는다음과같은성질이있다. =tan ` 의성질 정의역은 =n+ (n`은정수) 를제외한실수전체의집합이고, 치역은실수전체의집합이다. 주기 `인주기함수이다. 그래프는원점에대하여대칭이다. 점근선은직선 =n+ (n`은정수) 이다. dpwp =tan ` 의주기를구하고, 그래프를그려라. 풀이 tan =tan(+) =tan {+ } 이므로주기는 ` 이다. 또, 주기가 -- - -- -- `이므로점근선은 = {n+ } = n+ (n`은정수) 이다. 따라서, 그래프는위의그림과같다. 답주기 :, 그래프 : 그림참조 =tan` - - =tan` - 열매 다음함수의주기를구하고, 그래프를그려라. ⑴ =tan ⑵ =tan{- } = tan` 의그래프를그리고, 주기를구하여라.. 삼각함수와그그래프 9
. 삼각방정식과삼각부등식 간단한삼각방정식과삼각부등식을풀수있다. 삼각방정식과삼각부등식 todkrgo qhqtlek 모터사이클경기를보면곡선주로를달릴때에는모터사이클이옆으로기울어지는것을볼수있다. 반지름의길이가 R인원모양의길을달리는물체가지면에수직인선과이루는각 사이에는다음과같은관계식이성립한다. tan= v gr ( 단, v: 달리는속도 m/s, R: 원의반지름의길이 m, g: 중력가속도 9.8 m/s ) 이때, R=78.7m인주로를시속 00km의속도로달리는모터사이클이지면에수직인선과이루는각도를구하려고한다. 다음물음에답하여라. anfdm 시속 ` 00km` 는초속몇 m 인가 anfdm 의값을구하여라. sin=, cos> 와같이각의크기가미지수인삼각함수를포함하 는방정식과부등식을각각삼각방정식과삼각부등식이라한다. 삼각함수의성질을이용하면삼각방정식과삼각부등식을풀수있다. 70 Ⅳ. 삼각함수
dpwp 삼각방정식 sin= 을풀어라 `( 단, 0 <). 풀이 삼각함수 =sin` 의그래프에 서 sin= 인 의값을구하면 5 =, - - - =sin` 5 - - - 열매 다음삼각방정식을풀어라`( 단, 0 < ). ⑴ `sin -=0 ⑵ sin = ⑶ tan - =0 0km 상공을비행하는비행기가 9km 떨어진활주로에착륙하기위해하강하려고한다. 비행기는수평에서몇도 (æ) 아래로기울어져하강하여야하는지삼각함수표를이용하여구하여라. 0km 9km dpwp 삼각부등식 cos> 를풀어라 `( 단, 0 <). 삼각함수 =cos`의그래프가 직선 = `보다위에있는 값의범위를구하면 0 <`, << =cos` -- - - - - -- 다음삼각부등식을풀어라 `( 단, 0 <). ⑴ cos> ⑵ sin-<0 ⑶ tan<. 삼각함수와그그래프 7
nzmvf uv vflta 주기를가지는자연현상을삼각함수와관련시킬수있다. 우리의주변에있는기계와기구중에 는회전운동을직선왕복운동으로바꾸 슬라이드 거나그반대의경우로작동하는것이많 직선 커넥팅 왕복운동 이있다. 자동차엔진은직선왕복운동 로드 을회전운동으로바꾸어주는대표적인예로서이와같은기구를크랭크기구라한다. 회전운동을왕복운동으로바꾸어 크랭크 회전운동 주는기구또는그반대의역할을하는기구로는크랭크기구외에도래크 와피니언, 캠, 링크등이있다. 위의그림은크랭크기구의원리를설명한 그림이다. 래크와피니언캠링크 dp wp 오른쪽그림은위의크랭크기구의작동원리를설명한것이 다. 크랭크의반지름 X의길이를, 크랭크의회전각 XP의크기를, ``의길이를 ``라할때, 와 사 이의관계식을구하여라. Q 풀이 `=`X ` 이고, X `=`X `-` ` 이다. 그런데 이므로 X `=, `=`cos P X =-cos 이다. 이때, - cos 이므로 0 이다. 7 Ⅳ. 삼각함수
nzmvf uvflta 정선이와희주는오른쪽사진과같은놀이기구를타려고한다. 이놀이기구가한바퀴도는데는 5`초가걸린다. 또, 놀이기구가가장아랫부분에있을때에는지상에서의높이가 `m 이고, 안내원이 `우리놀이기구를타면지상 5`m 높이까지올라갈수있습니다. 라고방송하는것을들으니이놀이기구의지름의길이가 `m 라는것을알수있었다. `축을시간으로하고, `축을높이로하여시간에따라변하는높이를그래프로나타내어라. 생태계에서는피식자의개체수와포식자의개체수의변화가주기를가지는경우가있다. 포식자가스라소니인어느지역에서 855년부터 `년후의토끼의개체수 ` 는아래의식과같다고한다. 다음물음에답하여라. =000+50sin{ } ⑴ 토끼의개체수의변화를그래프로나타내어라. ⑵ 토끼의수가처음으로최대가되는해는언제인가 또, 처음으로최소가되는해는언제인가. 삼각함수와그그래프 7
'fzubmfhgs nbmf ibslc mduewe manfajgw jbmfs uvflc ckddmlfur an Swp gouffur 소비자의시선에맞추어상품을적절히진열하면그상품의판매량이증가한다고한다. 다음의조건에맞게어떤상품을진열하였을때, 그높이의최대값과최소값을구하여라`( 단, 소수둘째자리에서반올림한다 ). whjs whjs whjs 대부분의소비자는진열대에서 90`cm 정도떨어져서상품을살펴본다. 손님의눈의높이는 `50`cm 이상` 70`cm 이하이다. 상품을바라보는시선의방향은수평보다 5æ 아래이다 ckddmlfur an Swp gouffur 높이가 h 인언덕에서호수건너편봉우리를올려본각이 å 이고, 호수의 수면에비친산봉우리의끝을내려본각이 ` 이다. 다음물음에답하여라. 산봉우리 D a E 언덕 h å F 호수면 G ⑴ 위의그림에서닮은삼각형을찾아라. ⑵ ⑴` 을이용하여 `a` 를구하여라. ⑶ 산의높이를 `h, `å, ` ` 로나타내어라. 7 Ⅳ. 삼각함수
jesng ibslc 뿌리 다음함수의값을구하여라. 5 ⑴ cos{- } ⑵ sin 5æ ⑶ tan` cos 의값은얼마인가 다음중 sin(-) 와같은것은어느것인가 ⑴ cos(-) ⑵ sin(n+) sin{- } 와 -sin `의 값은얼마인가 ⑶ sin(+) ⑷ cos{ -} 다음삼각함수의그래프를그리고, 주기와최대값, 최소값을구하여라. ⑴ = cos+ ⑵ =sin - ⑶ =tan =sin 의주기는얼마인가 또, 최대값과최소값은각각얼마인가 0 < 일때, 다음삼각방정식을풀어라. ⑴ cos+=0 ⑵ sin -sin=0 cos= 을만족하는 의값을구하면 5 0 <일때, 삼각부등식 <cos 을풀어라. =cos 의그래프에서 <cos 인부분을찾아보자. 열매 오른쪽그림은 =asinb의그래프이다. 양수 a, b`의값을구하여라. =sin 의주기는얼마인가 - -. 삼각함수와그그래프 75
jesng ibslc 다음각을육십분법은호도법으로, 호도법은육십분법으로바꾸어나타내어라. ⑴ 5æ ⑵ 0æ ⑶ ⑷ 다음중옳은것을골라라. ⑴ sin(-)=sin ⑵ sin(-)=-sin ⑶ sin{ +}=cos ⑷ sin(n+)=cos =cos 의그래프를그려라. sin+cos=a 일때, sin +cos 를 a 로나타내어라. 5 =acosb+c의최대값이, 최소값이 -이고주기가 일때a, b, c`의값을구하여라 ( 단, a>0, b>0). 오른쪽그림과같은단위원위의점, `에서의접선과 Pfl` 의교점을각각 T, S`라하고, 점 P`에서 fl` 에내린수선의발을 Q`라할때,»P`의삼각함수값을각각선분 P T - Q S 의길이로나타내어라. - 7 Ⅳ. 삼각함수
nfzufmeajcjg jgaja. 사인법칙과코사인법칙 삼각형에대한사인법칙과코사인법칙을알고, 이를활용할수있다. 사인법칙과그활용 todkrgo qhqtlek 오른쪽그림을보고, 다음물음에답하여라. anfdm,, 의값을구하 sin sin sin 여라. anfdm 의외접원의반지름의길이를구하고, an 하여라. Fdm 의값과비교 `에서»,»,»` 의크기가각각 `,, `이고그대변의길이가각각 a, b, c`일때, 세각의크기 `,, `와세변의길이a, b, c 중에서세변의길이또는두변의길이와그끼인각의크기와같이, 삼각형의적당한세값이주어지면하나의삼각형이결정된다. c b a 삼각형이결정되었을때, 주어지지않은나머지변의길이나각의크기는삼각함수를이용하여구할수있다.. 삼각형에의응용 77
오른쪽그림의 에서세각의크기를,,, 그대변의길이를 a, b, c, 외접원의반지름의길이를 R라하자. < 일때, 지름'`을그으면호 에대 한원주각의크기는일정하므로 =' 이고, sin =sin' 이다. a a a ' 에서 sin'= 이므로 =R 이다. 즉, =R이 R sin' sin b c 고, 마찬가지방법으로 =R, =R`이다. 따라서, sin sin 이다. 이것을사인법칙이라한다. 사인법칙 a b c = = =R sin sin sin ` 에서외접원의반지름의길이를 R` 라하면 a b c = = =R sin sin sin b R ' c a 참고 위에서 =, > 인경우에도사인법칙은성립한다. dpwp ` 에서 `=5æ, =75æ, c=8 일때, a` 를구하여라. 풀이 =80æ-(5æ+75æ)=0æ 이므로사인법칙에 a 8 의하여 = `이다. sin5æ sin0æ 0æ a sin5æ Ú a=8\ =8\ \ = sin0æ 8 5æ 8 75æ 답 a= 8 78 Ⅳ. 삼각함수
뿌리 오른쪽그림과같은 ` 에서»` 의크기를 구하여라. - ` 에서 `::=:: 일때, a:b:c` 를구하여라. 열매 열매 `에서 `> 일때, 사인법칙이성립함을증명하여라. `에서 asin=bsin =csin `일때, 는어떤삼각형인가 코사인법칙과그활용 todkrgo qhqtlek 다음그림을보고, 물음에답하여라. ⑴ ⑵ ⑶ c b 5 a anfdm ⑴, ⑵, ⑶` 의삼각형에서 a +b 과 c ` 의크기를비교하여라. anfdm an Fdm 의결과를피타고라스의정리와비교하여라. 오른쪽그림과같이»` 가예각인 의꼭 지점 에서대변 위에내린수선의발을` D 라하면 c b 이다. a=`d +`D `=bcos+ccos D a. 삼각형에의응용 79
꼭지점, 에대하여도마찬가지방법으로 b=ccos +acos c=acos +bcos 임을알수있다. 이를제`` 코사인법칙이라한다. 참고 제 `` 코사인법칙은둔각삼각형, 직각삼각형에서도성립한다. c b c b a D a a= D `-` D a=ccos, cos=cos =0 =ccos-bcos(-) a=ccos+bcos =ccos+bcos 제``코사인법칙의각식의양변에차례로` a, b, c`를곱하면 a =abcos+accos b =bccos+bacos c =accos+bccos 이다. 이때,, 식을변끼리더하면 b +c =bacos +accos +bccos =a +bc cos 이므로 a =b +c -bccos 이다. 다음두식도마찬가지방법으로구할수있다. b =c +a -cacos c =a +b -ab cos 이를제````코사인법칙이라한다. 이상을정리하면다음과같다. ` ` ` 코사인법칙 제`` 코사인법칙 a=bcos+ccos b=ccos +acos c=acos +bcos 제`` 코사인법칙 a =b +c -bccos b =c +a -cacos c =a +b -abcos 80 Ⅳ. 삼각함수
dpwp ` 에서 a=, b=8, c=7 일때, ` 를구하여라. 풀이 제 `` 코사인법칙 로부터 a =b +c -bccos 7 8 cos = b +c -a bc 8 = +7 - =- \8\7 이다. 이때, 0æ<<80æ 이므로 =0æ 이다. 답 =0æ 5 에서다음을구하여라. ⑴ =0æ, b=, c=5 일때, a` 의값 ⑵ a=, b=, c= + 일때, ` 의값 dpwp 병원에서 5`km 떨어진지점에서사고가 구조본부 발생했다는신고가접수되었다. 구조본부에서구조헬기를출발시켜환 5km 자를병원으로옮기려고하는데, 구조본부에서병원까지의거리는 5`km이고, 병원에서구조본부와사고지점을바라본 병원 0æ 5km 각의크기는 0æ이다. 구조본부에서사 사고지점 고지점까지의거리를구하여라`( 단, 소수둘째자리에서반올림한다 ). 풀이 오른쪽그림에서 의길이를구한다. 제`` 코사인법칙에의하여 `=c +a -ac cos =5 +5 -\5\5cos 0æ =85 Ú = 85 ` 9.5(km) 5 0æ 5 답약 9.5km. 삼각형에의응용 8
학교에서집까지의거리는 `km이고, 집에서우체국까지의거리는.5`km이다. 집에서학교와 우체국 우체국을바라본각의크기가 0æ 일때, 학교에서 우체국까지의거리를구하여라 `( 단, 소수둘째자.5km 리에서반올림한다 ). 학교 km 0æ 집 dpwp 에서다음식이성립할때, 이삼각형은어떤삼각형인가 acos=bcos 풀이 제 코사인법칙에서 cos= b +c -a bc cos= c +a -b ca 이므로주어진식에대입하여정리하면 a(b +c -a ) bc = b(c +a -b ) ca a (b +c -a )=b (c +a -b ) 이다. c 에대하여정리하면 (a -b )c -(a -b )=0 (a -b )c -(a +b )(a -b )=0 (a -b )(c -a -b )=0 이므로 `a =b 또는 c =a +b ` 이다. a =b ` 이면 a>0, b>0이므로 a=b이고 는이등변삼각형이다. 또, c =a +b ` 이면피타고라스의정리에의하여 는직각삼각형이다. 즉, 는이등변삼각형이거나직각삼각형이다. 답이등변삼각형또는직각삼각형 열매 7 에서다음식이성립할때, 이삼각형은어떤삼각형인가 ⑴ sincos=sin ⑵ acos+bcos=ccos 8 Ⅳ. 삼각함수
. 삼각형의넓이 삼각함수를활용하여삼각형의넓이를구할수있다. 삼각형의넓이 todkrgo qhqtlek 오른쪽그림의삼각형을보고, 다음물음에 답하여라. anfdm 삼각형의높이 h를삼각함수를이용하여나타내어라. 5 0æ h anfdm 삼각형의넓이를구하여라. 오른쪽그림과같이 의꼭지점 에서 대변에내린수선의길이를` h라하면 h=csin c h b 이다. 따라서, 의넓이S는다음과같다. S= ah= acsin a 또, 오른쪽그림과같이 `»` 가둔각인 의높이를 h`라하면 h=csin(80æ-) =csin h H c a 이다. 따라서, ` 의넓이 `S 는다음과같다. S= ah= acsin. 삼각형에의응용 8
`의넓이 S S= absin = bcsin = acsin `에서 a=, c=5, =5æ`이면그넓이 S`는 5 S= ac sin = \\5\sin 5æ= 다음 의넓이를구하여라. ⑴ a=, b=, =0æ ⑵ b=, c=, =0æ 열매 두대각선의길이가 a, b이고, 이들이이루는각의크기가 인사각형의넓이 S 는다음과같음을증명하여라. S= absin a D b dpwp 에서 a=, b=5, c= 일때, 그넓이를구하여라. 제 `` 코사인법칙에서 b cos = +c -a = 5 + - = bc \5\ 5 이므로 sin = - co s `=u-u{u U} U= 5 5 따라서, 삼각형의넓이 S` 는 S= bcsin = \5\\ = 5 답 다음 의넓이를구하여라. ⑴ a=, b=, c=5 ⑵ a=5, b=7, c=9 8 Ⅳ. 삼각함수
'fzubmfhgs nbmf ckddmlfur an Swp gouffur ibslc mduewe manfajgw jbmfs uvflc 다음그림과같은사각형의넓이를구하려고한다. 물음에답하여라. - D 0æ 5æ ⑴ 제`` 코사인법칙을이용하여 D ` 의길이를구하여라. ⑵ 제`` 코사인법칙을이용하여»D`의크기를구하여라. ⑶ 사각형의넓이를구하여라. ⑷ 위와다른방법으로사각형의넓이를구하여라. ckddmlfur an Swp gouffur 세꼭지점의좌표가 (0, `0), (, `8), (7, `) 인삼각형의넓이를두가지이상의방법으로구하여라. 8 7. 삼각형에의응용 85
jesng ibslc 오른쪽그림의 에서 b의길이를구하여라. 0æ b `에서 `를 sin 5æ 를이용하여나타내면 b 5æ 에서 `a=,` b= `+,` c= ` 일때, `` 를구하여라. cos`를 a, b, c`로나타내면 열매 다음등식이성립하는 는어떤삼각형인가 sin +sin =sin `에서 sin는외접원의반지름의길이 R와어떤관계가있는가 c R b a 뿌리 다음 의넓이를구하여라. ⑴ =0æ, b=, c=5 다음그림의삼각형에서높이는 ⑵ a=, b=, =5æ 0æ 열매 5 반지름의길이가 0cm` 인원주를 ::5` 로분할하는점을각각,, ` 라할때, ` 의넓이를구하여라. 호의길이의비가 ::5 일때, 중심각의비는 8 Ⅳ. 삼각함수
jesng ibslc 에서 a= `, 외접원의반지름의길이가 ` 일때, ` 를구하여라. 에서 =0æ, b=, c=일때, a의값을구하여라. 0æ 다음도형의넓이를구하여라. ⑴ ⑵ a cm 0æ 0cm cm 50æ cm 반지름의길이가 인원이내접하는 에서세변의비가다음과같다. c b a:b:c=7:5: a ⑴ cos 와 sin 의값을각각구하여라. ⑵ a` 의길이를구하여라. ⑶ ` 의넓이를구하여라. 5 의넓이를 S, 외접원의반지름의길이를 R`라할때, 다음식이성립함을증명하여라. S= abc R. 삼각형에의응용 87
kfn jfwjf;vu 부채꼴의호의길이와넓이 반지름의길이가 `` 인원에서중심각의크기가 `` 인부채꼴의호의길이 를 l, 넓이를 `S` 라하면 l=, S= = l 삼각함수의정의 sin`=, cos`=, tan`= cosec`=, sec`=, cot`= P(, ) 삼각함수의그래프 - - - - - - -- - - 정의역 =sin 실수전체 =cos 실수전체 =tan n+ (n`은정수) 를 제외한실수전체 치역 - - 실수전체 주기 최대 최소, `-, `- 없다. 대칭성 원점대칭 ` 축대칭 원점대칭 삼각형의넓이 S= absin= bcsin= acsin 사인법칙 a b c = = =R`(R는외접원의반지름의길이 ) sin sin sin 코사인법칙 제`` 코사인법칙 a=b`cos`+c`cos` b=c`cosà+a`cos` c=a`cos`+b`cosà 제`` 코사인법칙 a =b +c -bc`cosà b =a +c -ac`cos` c =a +b -ab`cos` 88 Ⅳ. 삼각함수
lvamf ibslc 오른쪽그림을이용하여다음값을구하여라. ⑴ sin5æ ⑵ cos5æ 5æ 5æ 0æ ⑶ tan75æ 뿌리 다음값을구하여라. ⑴ 가제 `` 사분면의각이고 cos=- ⑵ << 5 이고 tan= 일때, cos 와 sin 의값 일때, sin 와 tan` 의값 다음식을간단히하여라. cos +cos {+ }+cos (+)+cos {+ } 다음함수의그래프를그려라. ⑴ = cos ⑵ =sin+ 뿌리 5 다음방정식과부등식을풀어라.( 단, 0 <) ⑴ sin+=0 ⑵ cos 열매 오른쪽그림과같이원에내접하는사각형 D 에서 D 의길이를구하여라. 5 D 0æ Ⅳ. 삼각함수 89
lvamf ibslc 원점 와 ` 점 P(-, ) 을 ` 잇는 `P 를 ` 동경으로 하는각을 라할때, sin, cos, tan 의값을 P 구하여라. - =sin` 의주기를구하고, 그래프를그려라. `에서 =0æ, b=, c= `일때, a`의값과삼각형의넓이를구하여라. 오른쪽그림과같이크기가 0æ 인»XY 의이등 분선을 Z 라한다. 직선 l 이 X, Y, Z ` 와만 나는점을각각,, 라할때, 다음식을증명하여라. l X a c Z c = + a b b Y S`지점의위도는 `이다. S 5 적도상공 000`km 의높이에서기상위성이.5æ 의각으로지구북반구 P 지점에서태풍의눈을관측하였다. 지구의반지름의길이를 70`km라할때, P`지점의위도를구하여라. P.5æ 000km 70km 지구 90 Ⅳ. 삼각함수
U mfz7c mfhgs nbmf mee mfng nbmda uvflc 진자 줄에추를매달아왕복운동을하도록한장치 오른쪽사진과같은놀이기구는진자의주기운동을이용한것이다. 진자의추가한번왕복하는데걸리는시간을 주기라하며, 주기 T`는다음과같은식으로구할수있다. T=u l g ( 단, l: 줄의길이 `m, g: 중력가속도 9.8m/s ) 위의식에서알수있듯이진자의주기는추의무게와진자의운동의폭에관계없이일정하다. 다음물음에답하여라. ⑴ 줄의길이가.5`m` 의진자의주기를구하여라. ⑵ 아래그림과같이줄의길이를 ` l, 수직선과줄이이루는각의크기를 ` 라할때, 추의높이 h` 를 `l 과 ` 를이용하여나타내어라. l h ⑶ 우리의생활주변에서위의놀이기구와같이진자운동을활용한예를찾아보고, 그주기를구하여라. Ⅳ. 삼각함수 9
@f J@Lf W.R/Xe W.YV/Xe.YeV/e @f @f @f @@@@@@e @@e @@e @@@@@@e @f@e @f@e @@@@@@e @@@@@@e @e@e @e@@@@@@@@e @e @e @e @e @e @e W@X@e 7<@e @e@@e =5@@@ V'@(Y@e N@He@e @e@e @e @e @@@@@@e @e@e @e@e @e@e @f@e@@@@@e@e @Ke@e @f @f@e @e@e@@@@@@@e J@Lf @f@e @e@@@ @e W.R/Xe @f@@@ @e@ew@@x@@@w.yv/xe J@Le@e @e@e7<@e W.R/Xe@e @e@e=5@e 7HNe@e @e@en@@@@h@e @@@@@@@@@ @f @@@@@@e @e @e @e @@@@@@e @e@e @e@e @e@e @f @f @f @f nbmfjg jvnvwuw @@@@@@@@@ @e @e @e @e @e@e@e @@@@@@e @e@e @e @@@@e@e @@@@@@e.yev/e @f 소리란물리적인진동에의해발생하여어떠한전달매체를통해전달되어귀에들어오는정보를말한다. 소리는어떤형태이든전달매체가있어야하는데, 이것을매질이라한다. 소리의매질에는공기, 물, 철등여러가지가있지만, 우리가일상에서듣게되는소리는대부분이공기를매질로하여전달된다. 손바닥을입주위에대고작게, 크게소리를내어보면입에서나오는바람을손으로느낄수있다, 이입바람은주위의공기의압력을변화시켜소리로느껴지게되는것이다. 이와같이우리가보통듣는소리는모두가공기의진동에의한것이라는것을쉽게알수있다. 소리의종류는크게순음과복합음으로나눌수있다. 대부분의소리는몇가지순음으로분해할수있다. 순음의파형은다음과같이삼각함수를이용하여나타낼수있다. =sin(ft+) (`: 진폭, f: 주파수, t: 시간, : 위상각 `) ( ) 진폭 t( 시간 ) 진폭 가크면소리의크기가크고, 작으면소리의크기 가작다. 또, 주파수 f` 는소리의높이를정해준다. 주파수가크면소리의높이가높고, 낮으면소리의높이 옥타브 옥타브 가낮다. 주파수의단위는 Hz( 헤르츠 ) 인데, Hz` 는 ` 초 동안의진동수를뜻한다. 사람이들을수있는주파수를 가청주파수라하는데, 그범위는 0`Hz 에서 0000`Hz 파솔라시도레미파솔라시도레미파솔라시도레미중앙의도중앙의라 0Hz 0Hz 880Hz 이다. 우리가자연에서들을수있는대부분의소리는여러개 의순음이합쳐져서이루어진복합음이다. 9 Ⅳ. 삼각함수