철/벽/수/학 고등수학 (하) 제1부 평면좌표
1 ST 철벽 CONCEPT 01 두점사이의거리 q 수직선위의두점사이의거리 수직선위의두점 A, B 사이의거리는 AB w 좌표평면위의두점사이의거리좌표평면위의두점 A, B 사이의거리는 AB Q❶-1 다음두점사이의거리를구하여라. 풀이 ⑴ A, B ⑵ A, B ⑶ A B ⑷ A B 2
배상면쌤 ^ ^ Q❶-2 다음을만족하는 의값을구하여라. ⑴ A, B 사이의거리가 가 풀이 되는 의값 ⑵ A, B, C 일때, AC BC 가되는 의값 Q❶-3 다음을만족하는점 P 의좌표를구하여라. ⑴ 두점 A, B 로부터같은 풀이 거리에있는 축위의점 P ⑵ 두점 A, B 로부터같은 거리에있는 축위의점 P ⑶ 두점 A, B 로부터같은 거리에있는 위의점 P ⑷ 두점 A, B 로부터같은 거리에있는 위의점 P 02 선분의내 외분점 직선 AB 위의점 P 가 PA: PB :>> 을만족하고 P 가 AB 위에있을때 P 는 AB 의 : 내분점 P 가 AB 의연장선위에있을때 P 는 AB 의 : 외분점 내분점 외분점의작도 1 AB 의 : 내분점 P 2 AB 의 : 외분점 P 이라한다. 3
철 / 벽 / 수 / 학 q 수직선위의선분의내 외분점 A, B 를이은선분 AB 를 : 으로 내분하는점을 P, 외분하는점을 Q 라고하면 P, Q w 좌표평면위의선분의내 외분점 A B 를이은선분 AB 를 : 으로내분하는점을 P, 외분하는점을 Q 라고하면 P 중점 ( : 내분점 ) AB 의중점을 M 이라하면 1 A, B 일때 M 2 A, B 일때 M Q Q❷-1 두점 A, B 의좌표가다음과같을때, 다음빈칸에알맞은좌표를구하여라. A, B A, B ⑴ ⑵ ⑶ AB 의중점 M AB 의 : 내분점 P AB 의 : 외분점 Q Q❷-2 점 A 가 BC 를 : 로내분하는점일때, 다음빈칸을완성하여라. ⑴ 점 B 는 를 : 으로 하는점이다. 풀이 ⑵ 점 C 는 를 : 으로 하는 점이다. 4
배상면쌤 ^ ^ Q❷-3 두점 A, B 을잇는 선분 AB 를 : 으로외분하는점의좌표가 Q 일때, 의값은? 풀이 03 평면도형 q 삼각형의중심 ⑴ 외심 정의외접원의중심 그림 성질 1 외심 P 에서세꼭짓점에 이르는거리가같다 PA PB PC 2 세변의수직이등분선의교점 ⑵ 내심 정의내접원의중심 그림 성질 1 내심 P 에서세변에이르는 거리가같다 2 세각의이등분선의교점 5
철 / 벽 / 수 / 학 ⑶ 무게중심 정의무게의중심 (center of gravity) : 세중선의교점 그림 성질 1 개의삼각형의넓이가같다 GAB GBC GCA 2 무게중심 G 는중선을 : 로 내분한다 3 G w 평행사변형과마름모 ⑴ 평행사변형 정의두쌍의대변이평행한사각형 그림 성질 1 한쌍의대변이평행하고길이가같다 2 두대각선의중점이같다 ( 두대각선이서로를이등분 ) ⑵ 마름모 정의네변의길이가모두같은사각형 그림 성질 1 평형사변형두대각선이수직 2 평행사변형이웃한두변의길이가일치 Q❸-1 ABC 에서 A, B, C 일때, 풀이 다음을구하여라. ⑴ ABC 의외심 P 의좌표 ⑵ ABC 의무게중심 G 의좌표 6
배상면쌤 ^ ^ Q❸-2 ABC 의꼭짓점 A 가 A, 풀이변 AB 의중점이 M 무게중심이 G 일때, 다음을구하여라. ⑴ 변 BC 의중점의좌표 ⑵ 변 CA 의중점의좌표 Q❸-3 평행사변형 ABCD 에서 A B C 일때, 점 D 의좌표를 구하여라. 풀이 Q❸-4 네점 A B C D 을꼭짓점으로하는사각형 ABCD 가 마름모일때, 의값은? 풀이 7
2 ND 필수 COURSE 01 삼각형의꼴판단 ⑴ 세점 A B C 을꼭짓점으로하는 ABC 는어떤삼각형인가? ⑵ 세점 O A B 를꼭짓점으로하는 OAB 가정삼각형 일때, 의값을구하여라. 02 의해석 실수 에대하여다음식의최솟값을구하여라. ⑴ ⑵ 8
배상면쌤 ^ ^ 03 중선정리 (pappus 의중선정리 ) 이론다음이론을증명하여라. ABC 에서변 BC 의중점을 M 이라할때 AB AC AM BM 실전다음그림에서 의값을구하여라. ⑴ ⑵ 04 PA PB PC 의최솟값 ⑴ 좌표평면위의두점 A, B 에대하여 PA PB 을최소로 하는점 P 의좌표를구하여라. ⑵ 좌표평면위의세점 A, B, C 에대하여 PA PB PC 을최소로하는점 P 의좌표를구하여라. 9
철 / 벽 / 수 / 학 05 PA PB 의최솟값 ⑴ 두정점 A, B 과 축위의동점 P 에대하여 AP BP 의 최솟값은? ⑵ 두정점 A, B 과 축위의동점 P, 축위의동점 Q 에대하여 AP PQ QB 의최솟값은? 06 두동점사이의거리 그림과같이수직으로만나는도로가있다. 교차점에서 A 는동쪽으로 km, B 는남쪽으로 km 의지점에있다. A 는시속 km 로서쪽으로, B 는시속 km 로북쪽을향해서동시에출발하였다. 출발한후 AB 의거리가최소가될때, 다음을구하여라. ⑴ 거리가최소가되는시각 ⑵ AB 의최소거리 10
배상면쌤 ^ ^ 07 내분점과외분점 좌표평면위의두점 A, B 에대하여 AB 를 : 로내분하는 점 P 에대하여다음을구하여라. ⑴ P 가제 사분면위의점일때, 의범위 ⑵ P 가직선 위의점일때, 의값 08 내 외분점의작도 선분 AB 에대하여 AB 의삼등분점중점 A 에가까운점을 A B, 점 B 에가까운 점을 A B, AB 의중점을 A B 로나타내기로한다. 이때, 다음을간단히나타내어라. ⑴ B A B ⑵ A B A B 11
철 / 벽 / 수 / 학 09 내 외분점의응용 ⑴ 그림과같이좌표평면위의세점 O, A, B 를꼭짓점으로하는 OAB 에서변 AB 위에한점 C 를 OAC: OBC : 가되도록잡을때, 점 C 의좌표를구하여라. ⑵ 세점 A, B, C 를꼭짓점으로하는 ABC 에서 A 의이등분선이변 BC 와만나는점을 D 라할때, 점 D 의좌표를구하여라. 10 내분점의무게중심 ⑴ 세점 A, B, C 을꼭짓점으로갖는 ABC 에대하여 변 AB, BC, CA 의중점을각각 L M N 이라할때, LMN 의무게중심의 좌표를구하여라. ⑵ 세점 O, A, B 에대하여선분 OA, AB, BO 를각각 : 로내분하는점을 P Q R 이라할때, PQR 의무게중심의좌표를 구하여라. 12
배상면쌤 ^ ^ 11 좌표와생활수학 ⑴ 어느도시에 km 떨어져있는두백화점 A B 가있다. A B 두백화점의배달요금이 km 당각각 원, 원이라할때, 선분 AB 위에서배달요금이같은지역을구하여라. ⑵ 그림과같이 B 아파트는 A 아파트에서정북쪽으로 km 떨어진지점에있고, C 아파트는 A 아파트에서정동쪽으로 km 떨어진지점에있다. 학교부지를학생들의편의를위해세아파트로부터같은거리에있도록위치를정하려고한다. 이때, 각아파트에서학교까지의거리를구하여라. 13
3 RD 도전 COURSE A LEVEL 실 전 유 형 04 좌표평면위의네점 01 두점 A, B 사이의,,, 거리의최솟값은? ( 단, ) 1 2 3 4 5 에있는나사를모두 조이는작업을반복하는로봇팔의한쪽끝을 점 P 에고정시키려한다. 로봇팔은점 P 를 중심으로 회전가능하고, 점 P 로부터의 거리가로봇팔의길이이하인모든곳의나사를 조일수있다. 로봇팔의길이를최소로할수 02 좌표평면위에그림과 같이세개의정사각형 이있다. 점 C 있는점 P 의좌표는? 1 2 3 4 5 점 D 일때, 두점 A B 사이의 거리를구하여라. 05 그림과같은사각형 ABC D 에서두대각선 03 수직선위의두점 A B 사이의거리를 A B 로나타낼때, 수직선위의임의의 AC, BD 의중점을 각각 M N 이라할때, MN 의길이는? ( 단, AB C D ) 세점 A B C 에대하여다음 설명중옳은것을모두고른것은? 의 1 3 2 4 ㄱ. A B B A ㄴ. A B B C A C ㄷ. 집합 A A B 의원소의개수는 개다. 5 1 ㄱ 2 ㄱ, ㄴ 3 ㄱ, ㄷ 4 ㄴ, ㄷ 5 ㄱ, ㄴ, ㄷ 14
배상면쌤 ^ ^ 06 평면위의두점 A 과 B 이있다. 점 P 가 축위를 09 내분점과외분점의관계를이용하여다음네수 의대소관계를구하면? 움직일때 AP BP 의최솟값과 AP BP 의최댓값의합은? 1 2 3 4 5 1 3 5 2 4 07 두점 A, B 에대하여 서술형 직선 AB 위에있고 AB BC 를만족하는점 C 의좌표는 C 이다. 상수 의합 의값은? 10 선분 AB 위에점 P 를 AB AP AP PB 가되게잡을때, 점 P 는선분 AB 를황금분할한다. 고한다. AB 일때, AP 를한변으로하는 정삼각형의넓이는? 1 2 08 두점 A B 를이은선분 위에점 P 가있다. AB 이고, 3 5 4, 가성립할때, 선분 AP 의길이는? 1 2 3 4 5 11 ABC 에서 BD D C 를만족하는 서술형 변 BC 위의점 D 에대하여 AB AC AD BD 이성립한다. 이때, 상수 의값은? 15
철 / 벽 / 수 / 학 12 그림과같이좌표평면위에 한변의길이가 인 정삼각형을이어서그릴때, 정삼각형 ABC 의 무게중심의 좌표를구하면? 1 2 3 4 5 15 그림과같이 를이루는 해안이있다. O 로부터 떨어진섬 P 에서 유람선이출발하여해안 O A 와 O B 를들러섬 P 로 돌아오는최단거리를구하여라. 1 2 3 4 5 B LEVEL 심 화 유 형 16 원점 O 와다른점 A 에대하여 13 수직선위의네점 A B C D ( ) 가있다. 이수직선위의 점중에서 PA PB PC PD 를최소가 되도록하는점 P 의좌표 의범위를구하면? 1 2 3 4 5 O A 를 으로내분하는점을 P 외분하는점을 Q 라할때, O P 로나타내면? ( 단, ) 1 3 5 2 4 O Q 을 14 세점 P, P, P 의 좌표사이에, 17 그림과같이좌표평면위의세점 P Q, R 으로부터 인관계가있을때, P P P 는어떤삼각형인가? 1 예각삼각형 2 정삼각형 3 직각삼각형 4 예각이등변삼각형 5 둔각이등변삼각형 같은거리에있는직선 이선분 PQ PR 와만나는점을각각 A B 라하자. 선분 Q R 의중점을 C ABC 의무게중심의좌표를 G 라할때, 상수 의합 의값은? 16
배상면쌤 ^ ^ 18 평면위의세점 O, A, B 에대하여 POA PAB PBO 를만족하는점 P 는 OAB 의내부와외부에모두 개가있다. 이때, 점 P 의좌표로적당하지않은것을고르면? 1 2 3 4 5 19 그림과같이 A A A A 를꼭짓점으로하는사각형 A A A A 의내부에네점 P P P P 를각각 A P A P A P A P 의중점이되도록잡을때, P 의좌표를구하면? 1 2 3 4 5 17
q 두점사이의거리 ⑴ 수직선위의두점 A, B 사이의거리는 AB ⑵ 좌표평면위의두점 A, B 사이의거리는 AB w 최단거리 ⑴ 두정점 A B 와직선 위의동점 P 에대하여 PA PB ⑵ 두정점 A B 와직선 위의동점 P, 직선 위의동점 Q 에대하여 AP PQ QB e 선분의내분점과외분점 ⑴ A, B 를이은선분 AB 를 : 으로내분하는점 을 P, 외분하는점을 Q 라할때 P, Q ⑵ A B 를이은선분 AB 를 : 으로내분 하는점을 P, 외분하는점을 Q 라할때 P, Q, 18
배상면쌤 ^ ^ ⑶ 선분 AB 의중점을 M 이라할때 M, r 삼각형의중심 ⑴ 외심 [ 의중심 ] 1 세에이르는거리가같다. 2 세변의 의교점 ⑵ 내심 [ 의중심 ] 1 세에이르는거리가같다. 2 세각의 의교점 ⑶ 무게중심 [ 세의교점 ] 1 개의의넓이가일치 2 무게중심은중선을 : 로내분 3 무게중심의좌표 G 4 PA PB PC 이인점 5 내분하는점을 P Q R 이라할때 PQR 의무게중심 19
철 / 벽 / 수 / 학 t 평행사변형 ⑴ 평행사변형 [ 두쌍의평행 ] 1 한쌍의대변이평행하고길이가일치 2 두대각선의이일치 ( 두대각선이서로를 ) ⑵ 마름모 [ 네의길이가모두같은사각형 ] 1 두대각선이 2 의길이가일치 20