Principle of Econometric (3e) 03 년 학기 윤성민
.0 서론 연립방정식모형 - 둘이상의종속변수가있는일련의방정식들로구성 OLS로추정하면부적절함 새로운추정방법필요 - 연립방정식추정법은계량경제학이통계학의회귀분석기법을넘어서는학문이라는것을보여주는분야이기도함
. 공급및수요모형 Demand: Supply: Q=α P+α X + e Q=β P+ e d 내생변수 : P( 가격 ), Q( 수량 ) - 모형내에서동시에결정 외생변수 : X( 소득 ) - 주어진값, 모형밖에서결정됨 가정 : Ee ( ) = 0, var( e) = σ d d d Ee ( ) = 0, var( e) = σ cov( e, e ) = 0 d 3
. 공급및수요모형 영향력도해 수요-공급모형을개별방정식으로이해한경우 - 수요량과공급량이일치하지않음 - 가격은외생변수역할 수요-공급모형을연립방정식으로이해한경우 - 가격은내생변수 - 가격-수량사이의피드백존재함 4
. 공급및수요모형 공급및수요모형을 OLS 로추정할수없는이유 Demand: Supply: Q=α P+α X + e Q=β P+ e d 두식에서 P( 가격 ) 는오차항과관련되어있음 - P는확률적설명변수, 즉 Cov( P, e ) 0 d Cov( P, e ) 0 - 따라서 OLS 를적용할수있는기본가정에위배됨 5
. 유도형태식 구조방정식체계 (tructural equation ytem) Demand: Supply: Q=α P+α X + e Q=β P+ e d 이식을풀어내생변수를외생변수의함수로나타낼수있음 β P+ e =α P+α X + e d 를가격에대해풀어정리하면 P α = X + ( β α ) ( β α ) e d e Q=β P+ e α ed e =β X + + e =π X + v ( β α) ( β α) βα βed αe = X + ( β α ) ( β α ) X v =π + 6
. 유도형태식 유도형태 (reduced form) 내생변수를외생변수만의함수로재구성한연립방정식모형 P=π X + v Q=π X + v π, π v,v : 유도형태모수 : 유도형태오차, or 교란항 Cov( X, v ) = 0, Cov( X, v ) = 0 이므로, 유도형태식은 OLS 로추정할수있음 BLUE, 일치추정량 π - : 소득 (X) 이증가한경우, 시장조정을통해 π 새로운균형이달성된이후기대되는가격상승을의미함 - : 소득 (X) 이증가한경우, 균형수량의증가를의미 7
.3 구조방정식체계를 OLS 로추정할때의문제점 구조방정식체계의개별방정식에대한 OLS 추정량은불편추정량이아니고일치추정량도아님 ( 연립방정식편의 ) ( 이유 ) 설명변수와오차항이상관되어있기때문 < 예 > Demand: Q=α P+α X + e (imultaneou equation bia) Supply: Q=β P+ e e 가증가하면, 균형 P가감소하므로 (-) 상관됨, 즉 ( 이유 ) 공급곡선우측이동으로균형가격이하락 - 아래유도형태식에서도확인가능 P α = + ( β α ) ( β α ) =π X + v X e d e 0 d, α < 이므로, e 증가 P 감소 β > 0 Cov( P, e ) 0 8
.4 식별문제 (Identification Problem) Demand: Supply: Q=α P+α X + e Q=β P+ e d 소득을변화시키면 ( 여러소득수준에대응되는 ) a, b, c 근처에산재해있는가격-수량통계자료를얻게됨 공급곡선을추정할수있음 ( 식별됨 ) 공급곡선을이동시킬변수가없으므로 수요곡선은추정할수없음 ( 식별안됨, 비식별, 과소식별 ) 공급곡선에새로운변수가추가되지않으면수요곡선의기울기와절편을추정할수없음 9
.4 식별문제 식별문제의원리 < 구조모형 > < 유도형모형 > Q=α +α P+α 3X + ed Q=β +β P+β 3W + e Q =π +π X +π 3W + error P =π +π X +π 3W + error π β α = α β π α3 = α β π 3 β3 = α β π = αβ + α β α β π α α 3 = α β π 3 α β3 = α β 유도형모형의추정치 ( ˆ π ˆ π ˆ π3 ˆ π ˆ π πˆ 3 : 6개 ) 를구했을때, 그것으로부터구조모형추정치 ( : 6 개 ) 를 구할수있는가 ( 복원시킬수있는가 )? 간접최소자승법 (ILS) 만약 β = 0 3 이라면, 가능한가? 유도형모형의추정치는 4개 ( ˆ ˆ πˆ ) 구조모형추정치는 5 개 ( ˆα ˆα ˆα ˆβ 3 ˆβ 3 ˆβ ˆ π π π ˆα ˆα ˆα ˆβ 3 ˆβ ) 연립방정식추정불가 0
.4 식별문제 식별조건 : 위수조건 (order condition, 필요조건 ) Cf. 계수조건 (rank condition, 필요충분조건 ), 곽상경 8장 해당방정식에서는제외되고다른방정식에는포함된변수 ( 내생및외생변수 ) 의수가 ( 총내생변수의수-) 보다같거나많아야한다 모형에서 G개의내생변수, K개의외생변수가있다고할때 위수조건은 G + K ** ( G ) G ** K : 특정방정식에서제외된내생변수의수 : 특정방정식에서제외된외생변수의수 Demand: Supply: Q=α P+α X + e Q=β P+ e d 0+0 < (-) 과소식별 ( 비식별 ) 0+ = (-) 적도식별 ( 식별 )
.4 식별문제 식별조건 : 위수조건 (order condition, 필요조건 ) ** G + K < ( G ) 과소식별 ( 비식별 ), 연립방정식추정불가 ** G + K = ( G ) 적도식별 ( 식별 ), ILS로도추정가능 - ILS는소표본에서는불편추정량못되지만, 일치추정량 ** G + K > ( G ) 과도식별 ( 식별 ), SLS (ILS 적용불가능 ) - 3SLS, LIML, FIML 등도적용가능 ( 곽상경, 8장참고 ) 일반적으로연립방정식은과도식별되는경우가많음
.4 식별문제 위수조건은다음과같이표현될수도있음 K ** ( G G ) K ** ( G ) ** K G ( G ) : 특정방정식에서제외된외생변수의수 : 특정방정식에포함된내생변수의수 : 특정방정식의우변에포함된내생변수의수 Demand: Supply: Q=α P+α X + e Q=β P+ e d (under identification) 0 < (-) 과소식별 ( 비식별 ) = (-) 적도식별 ( 식별 ) (jut or exact identification) 3
.4 식별문제 식별조건의검토 연립방정식의경우, 추정을하기전에식별조건을먼저검토해야만함 식별조건을만족시키기위해중요한변수 ( 내생변수혹은외생변수 ) 를제거해서는안됨 식별되지않는방정식이있을경우, 모형을변화시켜식별되도록만들어주어야함 K ** ( G ) Q=α +α P+α 3X + ed Q=β +β P+β 3W + e =(-) 적도식별 ( 식별 ) =(-) 적도식별 ( 식별 ) 4
.5 단계최소제곱추정법 (two-tage leat quare : SLS) 식별된공급함수를추정하는방법을생각해보자. Supply: Q=β P+ e 내생변수 P는확률적이며, e 와상관되어있음 OLS로추정할수없음 ( 연립방정식편의때문 ) P= EP ( ) + v=π X+ v - 연립방정식편의를유발하는요소는 P 의확률적부분인 v 임 ( ) Q=β E P + v + e E(P) 는확률변수아님 ( 상수 ) ( ) ( ) =β E P + β v + e ( ) =β E P + e * E(P) 와 e * 는상관되지않음 OLS 로 β 추정가능 5
Q=β P+ e OLS 적용할수없음 ( 연립방정식편의때문 ) ( ) Q=β E P + e OLS 적용가능, E(P) 만알면됨 * π.5 SLS EP ( ) = π X 을모르므로 E(P) 모름, OLS 적용불가 Cov( P, e ) 0 SLS 추정절차적용 () P에대한유도방정식 P=π X + v 을 OLS로추정하여 ˆP 예측치을계산, Pˆ = πˆ X () 를 E(P) 대신사용하여 ˆP 구조방정식 Q=β Pˆ + e 을 OLS로추정 추정 * β 6
.5 SLS 일반적인 SLS 추정절차 M 개의연립방정식체계를 SLS 로추정하는절차 - 내생변수 (M 개 ) : 외생변수 (K 개 ) : 첫번째구조방정식이다음과같고식별된다고하자. (firt tage) y, y,, y M x, x,, xk y + = α y + α3 y3 + βx + βx e 유도방정식의모수를 OLS 로추정하여, 내생변수예측치계산 yˆ = ˆ π x + ˆ π x ˆ + + π K x K y ˆ x x x 3 = ˆ π 3 + ˆ π ˆ 3 + + π K 3 K (econd tage) 구조방정식우변의내생변수를예측치로대체, OLS로모수추정 α yˆ ˆ + α3 y3 y = + β x + β x + e * 7
.5 SLS SLS 추정량의특성 SLS 추정량은불편추정량은아니지만일치추정량임 소표본에서는 SLS 추정량의분산과공분산의분포가알려져있지않음 - 소표본에서는 SLS 사용이적절치않음 대표본에서 SLS 추정량은대략적으로정규분포를함 - 통계패키지에서는 OLS와유사한표준오차및 t-값을알려줌 8
.6 SLS 추정법사용예 송로버섯수요공급모형 ( 수요 ) ( 공급 ) Q =α +α P +α PS +α DI + e d i i 3 i 4 i i Q =β +β P +β PF + e i i 3 i i Q : 송로거래량, P : 송로가격, PS : 송로대체품가격 DI : 가처분소득, PF : 생산요소가격 ** 식별 G + K ( G ) ( 수요 ) 0+ = (-) ( 적도 ) 식별 ( 공급 ) 0+ > (-) ( 과도 ) 식별 유도방정식 Q =π +π PS +π DI +π PF + v i i 3 i 4 i i P =π +π PS +π DI +π PF + v i i 3 i 4 i i OLS 로추정하면됨 ( 우변의외생변수는오차항과독립이므로 ) 9
.6 SLS 추정법사용예 통계자료 ( 표본수는 30) 0
.6 SLS 추정법사용예 SAS program data truffle ; infile 'c:\tmp\table4-.dat ; input p q p di pf ; * create dataet; * open data file; * input variable; proc ylin l firt ; * etimate by l and how reduced form; endogenou p q ; * pecify endogenou variable; intrument p di pf ; * pecify exogenou variable; demand: model q = p p di ; * demand model; upply: model q = p pf ; * upply model;
.6 SLS 추정법사용예 유도방정식추정결과 (firt tage)
.6 SLS 추정법사용예 내생변수 ( 가격 ) 예측치계산 Pˆ =π ˆ +π ˆ PS +π ˆ DI +πˆ PF i i 3 i 4 i = 3.5 +.708PS + 7.60DI +.354PF 구조방정식추정결과 (econd tage) i i i 3
Eview output : 송로수요식추정결과 (OLS).6 SLS 추정법사용예 Dependent Variable: Q Method: Leat Square Date: 0/06/ Time: 4:40 Sample: 30 Included obervation: 30 / 불편추정량, 일치추정량아님 Variable Coefficient Std. Error t-statitic Prob. C.09045 3.7580 0.93957 0.77 P 0.0395 0.07684 0.30359 0.764 PS 0.70039 0.435 3.396 0.007 DI 0.076444.90855 0.06493 0.9493 R-quared 0.49570 Mean dependent var 8.45833 Adjuted R-quared 0.437534 S.D. dependent var 4.63088 S.E. of regreion 3.4597 Akaike info criterion 5.44383 Sum quared reid 3.096 Schwarz criterion 5.630639 Log likelihood -77.6570 Hannan-Quinn criter. 5.503580 F-tatitic 8.59560 Durbin-Waton tat.365947 Prob(F-tatitic) 0.00046 4
Eview output : 송로수요식추정결과 (SLS / 일치추정량 ) Dependent Variable: Q Method: Two-Stage Leat Square Date: 0/06/ Time: 4:7 Sample: 30 Included obervation: 30 Intrument lit: PS DI PF.6 SLS 추정법사용예 Variable Coefficient Std. Error t-statitic Prob. C -4.7947 5.543884-0.7796 0.447 P -0.374459 0.6475 -.7869 0.035 PS.96033 0.35593 3.6488 0.00 DI 5.03977.83556.95688 0.037 R-quared -0.03950 Mean dependent var 8.45833 Adjuted R-quared -0.4098 S.D. dependent var 4.63088 S.E. of regreion 4.99960 Sum quared reid 63.97 F-tatitic 5.90645 Durbin-Waton tat.96370 Prob(F-tatitic) 0.00366 Second-Stage SSR 86.754 5
Eview output : 송로공급식추정결과 (OLS).6 SLS 추정법사용예 Dependent Variable: Q Method: Leat Square Date: 0/06/ Time: 4:4 Sample: 30 Included obervation: 30 / 불편추정량, 일치추정량아님 Variable Coefficient Std. Error t-statitic Prob. C 0.0378.97 6.3938 0.0000 P 0.337987 0.0745 5.54355 0.0000 PF -.00095 0.076390-3.079 0.0000 R-quared 0.90878 Mean dependent var 8.45833 Adjuted R-quared 0.89460 S.D. dependent var 4.63088 S.E. of regreion.497585 Akaike info criterion 3.7405 Sum quared reid 60.55457 Schwarz criterion 3.880344 Log likelihood -53.0337 Hannan-Quinn criter. 3.785050 F-tatitic 4.084 Durbin-Waton tat.3709 Prob(F-tatitic) 0.000000 6
Eview output : 송로공급식추정결과 (SLS / 일치추정량 ) Dependent Variable: Q Method: Two-Stage Leat Square Date: 0/06/ Time: 4:3 Sample: 30 Included obervation: 30 Intrument lit: PS DI PF.6 SLS 추정법사용예 Variable Coefficient Std. Error t-statitic Prob. C 0.0380.35 6.3785 0.0000 P 0.33798 0.0490 3.5690 0.0000 PF -.000909 0.0858 -.83 0.0000 R-quared 0.90878 Mean dependent var 8.45833 Adjuted R-quared 0.89460 S.D. dependent var 4.63088 S.E. of regreion.497585 Sum quared reid 60.55457 F-tatitic 95.599 Durbin-Waton tat.3730 Prob(F-tatitic) 0.000000 Second-Stage SSR 89.849 7
.7 SLS 사용예 : 풀턴어시장의수요 - 공급 대구수요대구공급 ln ln ( ) ln ( ) QUAN =α +α PRICE +α MON +α TUE +α WED +α THU + e d t t 3 t 4 t 5 t 6 t t ( ) ln ( ) QUAN =β +β PRICE +β STORMY + e t t 3 t t QUAN : 대구거래량, PRICE : 대구가격, MON, TUE, WED, THU : 요일더미, STORMY : 폭풍우더미 ** 식별 G + K ( G ) ( 수요 ) 0+ = (-) ( 적도 ) 식별 ( 공급 ) 0+4 > (-) ( 과도 ) 식별 유도방정식 ln ln ( ) QUAN =π +π MON +π TUE +π WED +π THU +π STORMY + v ( ) t t 3 t 4 t 5 t 6 t t PRICE =π +π MON +π TUE +π WED +π THU +π STORMY + v t t 3 t 4 t 5 t 6 t t OLS 로추정하면됨 ( 우변의외생변수는오차항과독립이므로 ) 8
.7 SLS 사용예 : 풀턴어시장 유도방정식추정결과 (firt tage) 9
.7 SLS 사용예 : 풀턴어시장 내생변수 ( 가격 ) 예측치계산 - Table.4b 로부터계산 구조방정식추정결과 (econd tage) 30
.8 3SLS 구조모형의오차항에이분산이존재하거나, 오차항사이에상관관계가있는경우에사용 SLS는구조모형을하나씩 OLS로추정하므로, 연립방정식의각구조방정식오차항의이분산이나오차항사이의상관관계를고려할수없음 3SLS는 SLS 추정이후구한분산-공분산행렬을이용하여 GLS로다시추정하는방법 구조식의내역이확실하지못하거나, 이분산이없거나, 오차항사이의상호의존성이약하면 굳이 3SLS를사용할필요없음, SLS로충분함 3
.8 3SLS SAS program data truffle ; infile 'c:\tmp\table4-.dat ; input p q p di pf ; * create dataet; * open data file; * input variable; proc ylin 3l ; * etimate by 3l; endogenou p q ; * pecify endogenou variable; intrument p di pf ; * pecify exogenou variable; demand: model q = p p di ; * demand model; upply: model q = p pf ; * upply model; 3
.8 3SLS Three-Stage Leat Square Etimation Sytem Weighted MSE.5973 Degree of freedom 53 Sytem Weighted R-Square 0.694 Model DEMAND Dependent Variable q Parameter Standard Variable DF Etimate Error t Value Pr > t Intercept -4.088 5.5390-0.7 0.4754 p -.05 0.489789 -.45 0.0 p.63878 0.35437 3.57 0.004 di 0.56005 0.830.5 0.085 Model SUPPLY Dependent Variable q Parameter Standard Variable DF Etimate Error t Value Pr > t Intercept 0.0380.35 6.38 <.000 p.03945 0.074759 3.56 <.000 pf -.0009 0.0858 -.3 <.000 33
< 과제 >.7 - data는사이버강의실에올려져있는 truffle_40 을이용할것 34