기초 해석학 강의 노트

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1 기초해석학강의노트 Sooji Shin 1. 순서체의성질 집합 에대하여, 로부터 로의함수를 에서의이항연산이라고부른다. 즉이항연산이란두값의연산결과를한값에대응시키는함수이다. 정의 1.1 집합 에서의이항연산 이세조건 G1., G2., G3. 를모두만족시킬때, 집합 를연산 에대한군 (group) 이라고부른다. 이때군 를집합 와연산 를묶어 이라고표기하기도하고, 연산을혼동할염려가없을때에는그냥 라고표기하기도한다. 조건 G1을결합법칙이라고부른다. 조건 G2에서 를 에대한항등원이라고부른다. G3에서 를 의 에대한역원이라고부른다. 연산 에대한군 가교환법칙이라고불리는조건 G4. 를추가로만족시킬때 를가환군또는아벨군이라고부른다. 가환이아닌군을비가환군이라고부른다. 군에서항등원은유일하다. 즉 와 이 의항등원이라고하면, 항등원의정의에의하여 이므로 이다. 마찬가지로군에서한원소에대한역원은유일하다. 즉 에대하여그역원, 이있다고하자. 그러면 이므로 이다. 정의 1.2 집합 에서의두이항연산 와 가세조건 F1. 는가환군이고 에대한항등원은 이다, F2. 은가환군이고 에대한항등원은 이다, F3. 를모두만족시킬때 를 와 에대한체 (field) 라고부른다. 이때 와두연산을묶어 이라고표기하기도하고, 연산을혼동할염려가없을때에는그냥 라고표기하기도한다. 조건 F3을분배법칙이라고부른다. 집합 을 로표기한다. 체 의원소의연산을표기할때보통 을생략하여쓴다. 예를들어분배법칙은 로나타낼수있다. 체에서 의덧셈에대한역원을 로나타내고곱셈에대한역원을 또는 로나타낸다. 를 로나타내 고 을 로나타낸다. 정리 1.3 체 의원소, 에대하여다음이성립한다. (1) (2) (3) (4) 증명 (1). (2). (3). (4). 정의 1.4 체 에서의관계 가세조건 OF1. 는선형순서집합이다, OF2., OF3. 를모두만족시킬때 를순서체라고부른다. 순서체에서 인것을 로표기한다. 그리고 와 는동일한의미이며 와 는동일한의미이다. 를 보다 가크다 또는 가 보다작다 라고읽는다. 보다큰원소를양수라고부르고 보다작은원소를음수라고부른다. 체 의양수들의모임을 으로나타내고음수들의모임을 로나타낸다. 정리 1.5 순서체의원소, 에대하여다음이성립한다. (1) (2) (3) (4) 증명 (1). 역으로. (2) 체의조건 F2에의하여 이다. 만약 이면 이므로, 즉 이된다. 이것은모순이므로 일수밖에없다. (3) 이면 이다. 이면 이다. 이면 이므로 이다. (4). 역으로. 정리 1.6 순서체의원소,, 에대하여다음이성립한다. 증명, 이므로. 1

2 정리 1.7 순서체의원소, 에대하여다음이성립한다. (1) (2) 2. 실수계의완비성 이제실수계를정의하고그성질을살펴보자. 증명 (1) 이므로 이다. 따라서. 역으로. (2), 이므로. 정리 1.8 양수, 에대하여다음이성립한다. 증명. 역으로. 순서체의원소 에대하여 의절댓값은 if if 으로정의된다. 이때절댓값은다음과같은성질을가진다. 이들각각은, 가양수인경우, 음수인경우, 인경우로나누어생각하면쉽게증명된다. 정리 1.9 순서체의원소, 에대하여다음이성립한다. 증명. 마지막부등식이참이므로처음부등식도참이다. 순서체 의원소, 에대하여다음과같이정의한다. 정의 2.1 순서집합 의부분집합 에대하여다음과같이정의한다. (1) 일때 는위로유계라고말하고 를 의상계라고부른다. (2) 일때 는아래로유계라고말하고 를 의하계라고부른다. (3) 위로유계인집합 의상계중가장작은것을 의상한이라고부른다. (4) 아래로유계인집합 의하계중가장큰것을 의하한이라고부른다. 위로유계이면서동시에아래로유계인집합은유계라고말한다. 집합의상한이존재하면그것은유일하다. 또한집합의하한이존재하면그것은유일하다. 집합 의상한을 sup 또는 lub 로나타내고, 하한을 inf 또는 glb 로나타낸다. 공집합의상한은 로정의하고하한은 로정의한다. 위로유계가아닌집합의상한은 로정의하고하한은 로정의한다. 순서체 의부분집합 가공집합이아니고위로유계일때마다 의상한이 의원소로서존재하면 를완비인순서체라고부른다. 완비인순서체는유일하게존재함이밝혀져있다. 즉 와 이완비인순서체이면 와 사이에모든성질을보존하는동형사상이존재한다. 따라서실수계를다음과같이정의한다. 정의 2.2 완비인순서체를실수계라고부르고 R 로표기한다. 공집합이아니고위로유계인모든부분집합이상한을가진다는성질을실수계의상한공리또는완비성공리라고부른다. 정리 2.3 실수집합의부분집합 가공집합이아니고위로유계이며 가 의상계라고하자. 이때 가 의상한이될필요충분조건은 이다. 증명 가 의상한이라고하자. 만약적당한양수 이존재하 여임의의 에대하여 이라면 이 의상계가되므로 가 의상계중가장작은값이될수없다. 이것은모순이므로 가성립한다. 구간중에서 꼴을열린구간, 꼴을닫힌구간이라고부르며 와 꼴을반열린구간또는반닫힌구간이라고부른다. 2 역으로 가성립한다고하자. 만약 이면 에대하여주어진한정명제를만족시키는 가존재하므로 은 의상계가될수없다. 즉 는 의상계중가장작은값이므로 의상한이다. 체 의부분집합, 에대하여다음과같이정의한다.

3 정리 2.4 실수집합의부분집합 가공집합이아닐때, 가 의상한일필요충분조건은 가 의하한인것이다. 증명 가 의상한이면 는 의상계이므로 의임의의원소 에대하여 이다. 이때 이므로 는 의하계이다. 예제 3.3 자연수와자연수의합은자연수이다. 증명 이임의로주어진자연수라고하자. 자연수집합은귀납적이므로 N이다. 따라서 일때 N이성립한다. 또한 N이면 N 이므로 일때에도 N이성립한다. 따라서수 한편 이 의하계이면 의임의의원소 에대하여 학적귀납법에의하여임의의자연수 에대하여 N이 이므로 이다. 즉 은 의상계가된다. 그런데 는 의원소이고 는 의상계중가장작은것이므 성립한다. 로 즉 가성립한다. 이것은 가 의하계중가장큰값임을의미하므로 는 의하한이다. 수학적귀납법은명제함수가모든자연수에대하여참임을증명할때에만사용하는것이아니라, 정의역이자연수집합인함 수를정의할때에도사용된다. 즉정의역이자연수집합인함수 끝으로, 이므로역도성립한다. 를정의할때다음과같이할수있다. 정리 2.4는다음두정리에서와같이하한이상한과동일한성질을가지고있음을증명할때에사용된다. 의값을정의하고, 을 에관한식으로정의한다. 정리 2.5 실수집합의부분집합 가공집합이아니고아래로유계이면 의하한이실수로서존재한다. 증명 는공집합이아니고위로유계이므로 의상한 가 보기 3.4 다음은귀납적으로정의하는예이다. 여기서,, 은모두자연수를의미한다. (1) 거듭제곱 :, 존재한다. 이때 는 의하한이된다. (2) 계승 :,, (3) 합 :, 정리 2.6 실수집합의부분집합 가공집합이아니고아래로 유계이며 가 의하계라고하자. 이때 가 의하한이될필 (4) 곱 :, 요충분조건은 이다. 증명 가 의상계이므로 (5) 이항계수 : C, C, C C C. inf sup 예제 3.5 실수, 와임의의자연수, 에대하여다음이 성립함을증명하여라. (1) (2) 3. 정수와유리수실수집합의부분집합들에대하여살펴보자. 실수집합의부분집합 가두조건, 를모두만족시킬때, 를귀납적집합이라고부른다. 정의 3.1 귀납적집합중가장작은것을자연수집합이라고부르고 N으로나타낸다. 즉자연수집합은모든귀납적집합의교집합이다. 정리 3.2 자연수 에대한명제함수 이두조건 증명 (1) 이임의의자연수라고하고 에수학적귀납법을적용하자. 먼저 이므로 일때에는 (1) 이성립한다. 다음으로 일때 (1) 이성립한다고가정하면 이므로 일때에도 (1) 이성립한다. (2) 이므로 일때에는 (2) 가성립한다. 이제 일때 (2) 가성립한다고가정하면 이므로 일때에도 (2) 가성립한다. 정리 3.6 이고 이자연수일때 가성립한다. 이식을 Bernoulli의부등식이라고부른다. 을모두만족시키면, 임의의자연수 에대하여 은참이다. 증명 일때에는 이므로정리의부등식 증명 의진리집합을 라고하자. 그러면두조건에의하여 이참이다. 일때성립한다고가정하면 그리고 이므로 는귀납적집합이다. 자연수집합은귀납적집합중가장작은집합이므로 N 가된다. 그런데 의정의역이 N이므로 N이성립한다. 따라 서 N이다. 위정리를수학적귀납법이라고부른다. 이므로 일때에도성립한다. 3

4 정의 3.7 정수집합과유리수집합을다음과같이정의한다. 정수집합 : Z N N 유리수집합 : Q Z Z 그리고유리수가아닌실수를무리수라고부른다. 정리 3.8 자연수집합의공집합이아닌부분집합은최소원소를가진다. 이것을자연수의정렬성이라고부른다. 증명먼저다음세명제를증명한다. N N N N N R N 이제 가자연수집합의공집합이아닌부분집합이라고하자. 정리 3.12 실수, 에대하여 이면 인무리수 가존재한다. 이명제를무리수의조밀성이라고부른다. 증명 이고 이아닌유리수 가존재한다. 라고하면된다. 유리수의조밀성과무리수의조밀성을통틀어실수의조밀성이라고부른다. 참고로실수의조밀성에의해실수, 에대하여다음이성립한다. 정의 3.13 이아닌실수 와자연수 에대하여, 을 이면 는최소원소를가진다 라고정의하자. 로정의한다. 이면 이 의최소원소이므로 은참이다. 다음으로 가참이라고하자. 만약 이면 의최소원소정의 3.14 음이아닌실수 와자연수 에대하여 을또는 중하나는 의최소원소가되므로 도참이만족시키는음이아닌실수 를 의 제곱근이라고부르고 다. 따라서임의의자연수 에대하여 은참이다. 또는 로표기한다. 음이아닌실수 와자연수, 에대 는공집합이아니므로결과를얻는다. 하여유리수지수를다음과같이정의한다. 정리 3.9 자연수집합은위로유계가아니다., 증명자연수집합이위로유계라면상한 를가진다. 은양수 이므로상한의성질에의하여 인자연수 이존재한다. 그러면 도자연수이고 이되므로 가위와같은정의가타당하려면 을만족시키는 가존재해상계라는데에모순이다. 야한다. 정리 3.10 양수, 에대하여 인자연수 이존재한다. 정리 3.15 양수 와자연수 에대하여 를만족시키는양수 가유일하게존재한다. 증명자연수집합은위로유계가아니므로 인자연수 증명 R 라고하면 는공집합이아니이존재한다. 고위로유계이다. sup라고하자. 정리 3.11 실수, 에대하여 이면 인유리수 가존재한다. 이명제를유리수의조밀성이라고부른다. 증명 인경우를증명하자. 이므로 인자연수 이존재한다. 또한 인자연수 가존재한다. 그러한자연수 중가장작은값을 이라고하자. 그러면 그리고 이므로 라고가정하면 min 을만족시키는양수 가존재한다. 그러면 가되므로 이다. 이것은 가 의상한이라는데에모순이다. 라고가정하고 라고하면 이다. 또한 이고 이된다. 이것은 가 의상계가되므로 가 의상한이라는데에모순이다. 인경우 인자연수 를택한다. 그러면앞의논따라서 가된다. 또한 이면 가성립하의에의해 인유리수 이존재한다. 므로 를만족시키는 는유일하다. 는유리수이고 가된다. 이다. 따라서 은 와 사이에있는유리수이다. 참고유리수집합이조밀하긴하지만완비는아니다. 왜냐하면 Q 는공집합이아니고유계이지만 Q에서상한을갖지않는다. 4 정의 3.16 양수 와무리수 에대하여다음과같이정의한다. 일때 sup Q로정의한다. 일때 로정의한다.

5 4. 열린집합과닫힌집합열린집합과닫힌집합의개념은해석학에서집합의성질을정하는중요한성질이다. 공간 의점 와양수 에대하여, 중심이 이고반지름이 인열린구를 로정의한다. 또한중심이 이고반지름이 인닫힌구를 로정의한다. 여기서공간이라는것은열린구와닫힌구를정의할수있는적절한구조를가진집합으로서실수계일수도있고벡터공간일수도있으며실수집합의부분집합일수도있다. 정의 4.1 공간 의부분집합 와점 이주어졌다고하자. 만약 인양수 가존재하면 를 의내점이라고부른다. 만약 인양수 가존재하면 를 의외점이라고부른다. 만약 가 의내점도아니고외점도아니면 를 의경계점이라고부른다. 내점의모임을내부라고부르고외점의모임을외부라고부르며경계점의모임을경계라고부른다. 의내부를 int 또는 로나타낸다. 의외부를 ext로나타낸다. 의경계를 bd 또는 로나타낸다. 정의 4.2 공간 의부분집합, 가주어졌다고하자. 만약 의모든원소가 의내점이면 를 에서의열린집합이라고부른다. 만약 가 에서의열린집합이면 를 에서의닫힌집합이라고부른다. 공간을혼동할염려가없을때에는 에서의열린집합 을줄여서 열린집합 이라고부르고, 에서의닫힌집합 을줄여서 닫힌집합 이라고부른다. 증명 가열린집합임을증명하자. 이면 는열린집합이다. 이고 라고하자. 인 가존재한다. 가열린집합이므로 인양수 가존재한다. 따라서 는열린집합이다. 다음으로 에대하여증명하자. 이면 는열린집합이다. 이고 라고하자. 그러면각 에대하여 이므로 인양수 가존재한다. 각 중에서가장작은값 min 를택하자. 그러면임의의 에대하여 이므로 이다. 따라서 는열린집합이다. 참고선형순서집합에서공집합이아닌임의의유한집합은최댓값과최솟값을가진다. [ 수학적귀납법으로증명하면된다.] 정의 4.5 집합 과 에대하여, 가세조건 이고 이다, 의임의개수의원소의합집합은 에속한다 의유한개의원소의교집합은 에속한다를모두만족시키면 를 의위상 (topology) 이라고부른다. 따라서정리 4.4와정의 4.5에의하여, 공간 에서열린집합들을모두모은집합은 의위상이된다. 참고정리 4.4의내용에서합집합을교집합으로바꾸고, 교집합을합집합으로바꾸면닫힌집합에관한성질이된다. 즉공간 에서닫힌집합들의모임을 라고하자. 그리고 가 의임의의부분집합이고 가 의유한부분집합이라고하자. 이때다음두집합은모두닫힌집합이다., 보기 4.3 다음은열린집합과닫힌집합의예이다. (1) 공간 R에서열린구간 는열린집합이고닫힌구간 는닫힌집합이다. 일때반열린구간 은열린집합도아니고닫힌집합도아니다. 과 R 자신은공간 R 에서열린집합인동시에닫힌집합이다. (2) 공간이 R일때집합 Q 는열린집합도아니고닫힌집합도아니다. 그러나공간이 Q이면 는열린집합이다. (3) 공간 R에서유한집합은닫힌집합이다. (4) 공간 에서 은열린집합인동시에닫힌집합이다. 정리 4.4 공간 에서열린집합들의모임을 라고하자. 그리고 가 의임의의부분집합이고 가 의유한부분집합이라고하자. 이때다음두집합은모두열린집합이다., 즉임의의열린집합들의합집합은열린집합이며, 유한개의열린집합들의교집합은열린집합이다. 점 와양수 에대하여 를구멍뚫린열린구라고부른다. 는구멍뚫린닫힌구라고부른다. 정의 4.6 공간 의부분집합 와점 에대하여 이면 를 의집적점이라고부른다. 의집적점들을모두모은집합을 에서 의도집합이라고부르고 으로나타낸다. 정의 4.7 를포함하는닫힌집합들중가장작은것을 의폐포라고부르고 로나타낸다. 참고 를포함하는모든닫힌집합들의교집합이 의폐포가된다. 정리 4.8 공간 의부분집합 에대하여 이다. 증명먼저 와 가서로필요충분조건임을증명한다. 그리고이명제를중간역할로하여명제 을증명한다. 5

6 정리 4.9 공간 R에서유계인무한집합은집적점을가진다. 이명제를 Bolzano-Weierstrass 정리라고부른다. 증명 가유계인무한집합이라고하자. 가유계이므로양수 가존재하여 를만족시킨다. 라고하자. 가무한집합이므로 과 중하나이상은 와교집합했을때무한집합이다. 그것을 라고하자. 같은방법으로 을두개의닫힌구간으로등분했을때둘중하나이상은 와교집합했을때무한집합이되는데그것을 이라고하자. 일반적으로닫힌구간 가 와교집합했을때무한집합이면, 를두개의닫힌구간으로등분했을때둘중하나이상은 와교집합했을때무한집합이되는데, 그것을 이라고하자. 이로서임의의자연수 에대하여 이귀납적으로정의되었다. inf 이라고하면집합 N은위로유계이므로상 소에의해덮이지않게되는데, 그것을 이라고하자. 이로써임의의자연수 에대하여 이귀납적으로정의되었다. 구간 의왼쪽끝점을, 오른쪽끝점을 라고하자. 그러면두집합 N와 N는각각상한과하한을갖는데그것을순서대로, 이라고하자. 이때임의의양수 에대하여 인자연수 을택하면 이므로 이다. 더욱이 Bolzano-Weierstrass 정리의증명에서와같은논법에의해 는 의집적점이된다. 는닫힌집합이므로 이다. 즉 이므로 를포함하는 이존재한다. 은열린집합이므로 인양수 가존재한다. 인 을택하면 이므로 은 의한원소에의하여덮인다. 이것은모순이므로 는 의유한부분덮개에의하여덮인다. 한 를가진다. 임의의양수 에대하여 인자연수 을택하면 이므로 는 의원소를무한히많이포함한다. 즉 이다. 따라서 는 의집 정리 4.12 긴밀집합의닫힌부분집합은긴밀집합이다. 증명공간 에서 가긴밀집합이고 가 의닫힌부분집합 적점이다. 이라고하자. 가 의열린덮개라고하자. 그러면 집합 와집합족 에대하여 가성립 하면 를 의덮개라고부른다. 만약모든 가열린집합이면 를 의열린덮개라고부르고, 모든 가닫힌집합이면 를 의닫힌덮개라고부른다. 가 의부분집합이고 의덮개가되면 을 를덮는 의부분덮개라고부른다. 는 의열린덮개이므로 를덮는유한부분덮개 을가진다. 이때 는 를덮는 의유한부분덮개가된다. 정리 4.13 의모든원소가긴밀집합이고, 의임의의 유한부분집합 에대하여 이면 이다. 정의 4.10 공간 의부분집합 가주어졌다고하자. 만약 를덮는임의의열린덮개가 를덮는유한부분덮개를가지면 를긴밀집합 (compact) 이라고부른다. 정리 4.11 공간 R의부분집합 가긴밀집합일필요충분조건은유계이면서닫힌집합인것이다. 이명제를 Heine-Borel 정리라고부른다. 증명 가긴밀집합이라고하자. 은열린집합이고 N은 의열린덮개이므로 는유한개의 에의하여덮인다. 따라서 는유계이다. 가닫힌집합이아니라면 이므로 인 가존재한다. 이때 R 이라고하면 N은 의열린덮개이지만 를덮는유한부분덮개를갖지않는다. 이것은모순이므로 는닫힌집합이다. 이제역을증명하기위해 가유계이고닫힌집합이라고하자. 그리고 가 를덮는열린덮개라고하자. 는유계이므로 인양수 가존재한다. 만약 가 의유한개의원소에의해덮이지않는다면 를두개의닫힌구간으로등분한것중적어도하나이상은 와교집합했을때 의유한개의원소에의해덮이지않는데, 그것을 라고하자. 일반적으로닫힌구간 가 와교집합했을때 의유한개의원소에의해덮이지않는다면, 를두개의닫힌구간으로등분했을때하나이상은 와교집합했을때 의유한개의원 6 증명 의한원소 을택하자. 그리고 라고하자. 의원소중모든 에속하는것이존재하지않는다고가정하자. 그러면 들의모임은 의열린덮개가된다. 은긴밀집합이므로 인유한개의 가 존재한다. 이것은 임을의미하므로모순이다. 따라서그러한 은존재하지않는다. 참고위정리를유한교차성질이라고부른다. 위정리의결과로서다음을얻는다 : 즉 N의모든원소가공집합이아닌긴밀집합이고 이면 이다. 정리 4.14 공간 R 에서집합 가긴밀집합일필요충분조건은 의임의의무한부분집합이 의원소인집적점을갖는것이다. 증명 가 의부분집합이라고하자. 만약 가무한집합이면서집적점을갖지않는다면 Bolzano-Weierstrass 정리에의하여 는유계가아니므로 도유계가아니고따라서 는긴밀집합이아니다. 역으로 가긴밀집합이아니라고가정하자. 그러면 는유계가아니거나닫힌집합이아니다. 가유계가아니라면 를모은집합 은집적점을갖지않는무한부분집합이된다. 가닫힌집합이아니라면 가존재한다. 이때 를모은집합 은 만을집적점으로갖는 의무한부분집합이다.

7 5. 수열의극한적당한정수 에대하여 Z 꼴로나타나는집합을정의역으로하는함수를수열이라고부른다. 가위와같은집합을정의역으로갖는수열일때 을 으로나타낸다. 이때 을첫째항이라고부른다. 수열은보통의함수와구분되도록 또는 으로나타낸다. 경우에따라서는수열의정의역이위로유계인경우도있는데그러한수열은유한수열이라고부른다. 그러나일반적으로수열이라함은유한수열이아닌수열을의미한다. 수열의이름은치역에따라달라진다. 치역이실수집합의부분집합이면실수열, 치역이유리수집합의부분집합이면유리수열이라고부른다. 다른경우도마찬가지로정의한다. 정의 5.1 실수열 과실수 에대하여 N 이성립하면 은 에수렴한다고말하고 를 의극한이라고부른다. 이것을 로나타낸다. 수렴하는수열의극한은유일하다. 즉 와 이 의극한이라고하자. 그러면임의의양수 에대하여 이므로 max 일때 참고수렴하는수열은유계이다. 라고하자. 에대하여 에속하지않는항의개수는유한이므로그러한항들의절댓값중가장큰값 를택할수있다. 이때 와 중더큰값을 이라고하면임의의 에대하여 이므로 은유계이다. 정의 5.3 수열 의정의역이 이고, 가공역이 인증가수열일때합성함수 를부분수열이라고부른다. 정리 5.4 수열 이 에수렴하면부분수열 도동일 한값 에수렴한다. 증명 가 를포함하는열린집합이라고하자. 그러면 에속하지않는 의개수는유한이므로, 에속하지않는 의개 수도유한이다. 따라서 이다. 함수 에대하여 이면 를단조증가함수라고부르고 이면 를단조감소함수라고부른다. 단조증가함수와단조감소함수를통틀어단조함수라고부른다. 이면 를순증가함수라고부르고 이면 를순감소함수라고부른다. 정리 5.5 단조이고유계인실수열은수렴한다. 이명제를수열의단조수렴정리라고부른다. 증명 이단조증가이고유계인수열이라고하자. 그러면 이다. 따라서 이다. 유일성이증명되었으므로수열 의극한이 라는것을등호를사용하여다음과같이나타낸다. lim 집합 의상한 가존재한다. 양수 에대하여 인 이존재한다. 이라고하면 이므로 이다. 단조감소인경우도같은방법으로증명된다. 정리 5.6 실수열 이 에수렴하고실수열 이 에수렴할때다음이성립한다. 정리 5.2 실수열 이 에수렴할필요충분조건은 를포함하는임의의열린집합 에대하여 인 의개수가유한인것이다. 증명먼저 라고하고 가 를포함하는열린집합이라고하자. 그러면 인양수 이존재한다. 그러면자연수 이존재하여 일때마다 을만족시키므로 이 에속하지않는것은 일때뿐이다. (1) lim (2) lim (3) lim (4) lim ( 단, 이고 ) (5) lim ( 단, 는자연수 ) 역으로임의의열린집합 에대하여 인 의개수가유 (6) 인 가존재하면 이다. 한이라고하자. 임의의양수 에대하여 도 를포함하증명 (1) 이면는열린집합이므로 인 의개수는유한이다. 그 러한 들의첨자중가장큰것을 이라고하면 일때, 마다 이므로 이다. 이므로 max 라고하면 일때. 7

8 (3) 이라고하자. 은유계이므로 인양수 이존재한다. 또한,. 따라서 max 라고하면 일때 (2) 이라고하면 이므로 lim (4) 이라고하자. lim lim lim lim min 이므로 일때 이다. 즉 lim 이므로 lim lim. (5) 일때에는명백히등식이성립한다. 일때등식이성립한다고가정하면 lim lim lim lim 이므로 일때에도등식이성립한다. 따라서수학적귀납법에의하여정리가증명되었다. (6) 라면 는양수이다. 이때 이므로 max 에대하여 일때 이다. 이것은 일때 이라는사실에모순이다. 위정리의 (6) 의증명과정으로부터다음결과를얻는다. 정리 5.7 세실수열,, 에대하여 인 가존재하고, 과 이동일한값 에수렴하면 도 에수렴한다. 이명제를조임정리라고부른다. 6. 발산하는수열 수렴하지않는수열은발산한다고말한다. 발산도몇가지종류로나눌수있다. 정의 6.1 실수열 에대하여다음과같이정의한다. (1) N N 이면 은양의무한대에발산한다고말한다. 이것을기호로는 또는 lim 로나타낸다. (2) N N 이면 은음의무한대에발산한다고말한다. 이것을기호로는 또는 lim 로나타낸다. (3) 양의무한대에발산하지않고음의무한대에발산하지않으면서수렴하지않는수열은진동한다고말한다. 참고만약 R R 라고하고 R 에대하여,, 일때,, 일때,,,,,,, 라고정의하면정리 5.6의 (1), (2), (3) 은 ±, ± 의경우를포함하여우변이정의되는한성립하게된다. 이러한집합 R를확장실수계라고부른다. 정의 6.2 수열 과 에대하여 에수렴하는 의부분수열이존재하면 를 의집적점이라고부른다. 정리 6.3 유계인실수열은집적점을가진다. 이것을 Bolzano- Weierstrass 정리라고부른다. 증명 이유계인실수열이라고하자. 그러면임의의 에대하여 인양수 이존재한다. 을두개의닫힌구간으로등분하면두구간중적어도하나는 의항을무한히많이포함하는데그것을 라고하자. 일반적으로닫힌구간 가 의항을무한히많이포함한다면, 를두개의닫힌구간으로등분했을때적어도하나는 의항을무한히많이포함하는데그것을 이라고하자. 이로써임의의자연수 에대하여 가귀납적으로정의되었다. 인 이존재한다. 는 의항을무한히많이포함하므로 이면서 인 가존재한다. 일반적으로자 연수 와 인임의의 에대하여 가정의되었을때 이면서 인 이존재한다. 이로써임의 의자연수 에대하여 가정의되었다. 이때 inf, sup 라고하면 과 은동일한값 에수렴하고, 이므로 는 에수렴 한다. 따라서 는 의집적점이다. 8

9 정리 6.4 점 가수열 의집적점일필요충분조건은 를포함하는임의의열린집합이 의항을무한히많이포함하는것이다. 증명 를포함하는임의의열린집합이 의항을무한히 많이포함한다고하자. 는 를포함하는열린집합이므로 의항을무한히많이포함한다. 따라서정리 6.3 의증명과같은논법으로 가되도록증가수열 를 구성할수있다. 이때 는 에수렴하는부분수열이된다. 역으로 가수열 의집적점이라고하자. 그러면 에수렴 하는부분수열 가존재하므로 를포함하는임의의열린집합은 의항을무한히많이포함하게된다. 의항 은 의항이기도하므로정리가성립한다. 정의 6.5 실수열 이하나이상의집적점을가질때, 집적점중에서가장큰값을 의상극한이라고부르고집적점중에서가장작은값을 의하극한이라고부른다. 단, 위로유계가아닌수열의상극한은 로정의하고아래로유계가아닌수열의하극한은 로정의한다. 또한음의무한대에발산하는수열의상극한은 로정의하고, 양의무한대에발산하는수열의하극한은 로정의한다. 수열 의상극한을 lim 으로나타내고하극한을 lim 으로나타낸다. 정리 6.6 실수열 의상극한이 일필요충분조건은 (1) N (2) N 이모두성립하는것이다. 증명 [ ] (1) 을부정하면 N 이므로 인 의개수가무한이된다. 즉 이상의값에수렴하는부분수열이존재하게되므로모순이다. (2) 를부정하면 N 이므로유한개를제외한 에대하여 이성립한다. 즉 의부분수열이수렴한다면모두 이하의값에수렴하게되므로모순이다. (2) 정리 6.7 유계인실수열 이수렴할필요충분조건은 의상극한과하극한이동일한것이다. 증명 이수렴한다면하나의집적점을가지므로 의상극한과하극한이동일하다. 역으로 의상극한과하극한이 로서동일하다면임의의양수 에대하여 N N 이므로 max 이고 일때 이다. 즉 이다. 정리 6.8 유계인실수열 에대하여다음이성립한다. (1) lim lim inf sup limsup inf [ ] (1) 에의하여 의부분수열이수렴한다면 보다큰값에수렴할수없다. 또한 (2) 에의하여 를포함하는열린집합은항상 의항을무한히많이포함하므로 는가장큰 정리 7.2 실수열 이수렴할필요충분조건은 Cauchy 수열인것이다. 증명 이 에수렴한다고하자. 그리고양수 이임의로 집적점이된다. 주어졌다고하자. 그러면 인 이존 재한다. 이때 이고 이면 참고같은논법에의하여실수열 의하극한이 일필요 이므로 은 Cauchy 수열이다. 충분조건은 N N 을모두만족시키는것임을알수있다. 역으로 이 Cauchy 수열이라고하자. 은유계이다. 이때 Bolzano-Weierstrass 정리에의하여 은집적점 를가진다. 이때 Cauchy 수열의정의에의하여 의임의의부 분수열은 에수렴하므로 는 에수렴한다. sup inf lim 증명 (1) sup 이라고하면 은단조감소이다. 또한 inf이므로 은아래로유계이다. 따라서 은수렴한다. 극극한을 라고하자. 극한의정의에의하여 에대하여 인 이존재한다. 이면 이므로 이다. 즉정리 6.6의 (1) 이성립한다. 이제 가임의로주어졌다고하고 max라고하면 이므로 인 이존재한다. 즉정리 6.6의 (2) 가성립한다. 따라서 는 의상극한이다. 한편 은단조감소이므로 lim inf이다. 따라서 (1) 의두등식이증명되었다. (2) 도동일한방법으로증명된다. 7. Cauchy 수열 극한의정의를이용하여수열이수렴함을증명하려면극한값을알아야한다. 그러나극한값을알지못한상태에서도수렴성을논할수있는방법이있다. 정의 7.1 수열 에대하여 N 이성립하면 을 Cauchy 수열이라고부른다. 9

10 정의 7.3 공간 에서정의된임의의 Cauchy 수열이 의점 정리 8.2 가 에서수렴하면 는 의근방에서유계이다. 에수렴할때 을완비공간이라고부른다. 증명 에서 의극한이 라고하자. 양수 에대하여양 수 가존재하여 이다. 가 정리 7.4 가완비공간 의닫힌부분집합이고 이모든항이 에속하는수열이며 가 의집적점이면 이다. 의정의역에속하는경우 max이라고하고, 그렇지않은경우 이라고하자. 그러면 증명만약 라면, 는열린집합이므로, 인양수 이존재한다. 이때 은 를포함하는열린집합이 일때마다 이다. 므로 의무한히많은항을포함한다. 이것은 라는 정리 8.3 함수 R와두점, R가주어졌 데에모순이다. 다고하자. 에서 가 에수렴할필요충분조건은 이고 인임의의수열 에대하여 정리 7.5 가완비공간 의부분집합이라고하자. 가닫힌 가성립하는것이다. 이명제를수열판정법이라고부른다. 집합일필요충분조건은모든항이 에속하고수렴하는임의의 증명 이고, 라고하자. 양 수열 의극한이 의원소인것이다. 증명 가닫힌집합이면 인수열 의극한이 의원소가됨은이미정리 7.4에서증명하였다. 역으로 가닫힌집합이아니라고하자. 그러면 에수렴하고모든항 수 에대하여함수의극한의정의를만족시키는양수 가존재한다. 그리고 를만족시키는자연수 이존재한다. 이때 일때마다 이성립하므로 이다. 이 에속하는수열이존재하게된다. 역으로 가 에서 에수렴하지않는다고가정하자. 그러면적 당한양수 이존재하여임의의자연수 에대하여 정리 7.6 완비공간 의부분공간 가완비일필요충분조건은 가닫힌집합인것이다. 증명 가닫힌집합이아니면모든항이 에속하고수렴하지 인 가존재한다. 이때 은 에수렴하지만 만극한은 에속하지않는수열 이존재한다. 이완비이므로 은 Cauchy 수열이다. 따라서 는완비가아니다. 은 에수렴하지않는다. 역으로 가완비가아니면 정리 8.4 정의역이 인두함수, 가 에서각각, 에수렴하고모든항이 에 에수렴한다고하자. 그러면다음이성립한다. 속하는 Cauchy 수열 이존재한다. 이때 이므로 는닫힌집합이아니다. (1) lim 참고위정리에서볼수있다시피닫힌집합이라는용어는경계를포함하여닫혀있다는뜻이기도하지만, 극한이밖으로나가지않고안에있도록닫혀있다는뜻이기도하다. 8. 함수의극한 함수의극한에는점극한과무한대극한이있으며그성질은수열의극한의성질과비슷하다. 정의 8.1 함수 R와두점, R가주어졌다고하자. 만약 이성립하면 는 에서 에수렴한다또는 는 에서극한 를가진다고말한다. 참고수렴하는함수의극한은유일하다. 그것을기호로다음과같이나타낸다. lim 또는 참고점 의근방에서조건 가성립한다는것은 인것을의미한다. (2) lim (3) lim ( 단, ) (4) lim ( 단, N) 증명, 인수열 이주어졌다고하자. 그러면수열의극한의성질에의하여다음을얻는다. lim lim lim lim lim limlim lim lim lim lim lim lim lim lim lim lim lim lim lim lim lim 따라서수열판정법에의하여정리의등식이성립한다. 10

11 정의 8.5 함수 R와점 가주어졌다고하자. 만약 가성립하면 는 에서양의무한대에발산한다고말하고 로나타낸다. 만약 lim 또는 가성립하면 는 에서음의무한대에발산한다고말하고 로나타낸다. lim 또는 정의 8.6 실수집합의부분집합 에대하여실수 가 의좌집적점이라는것은 가 의집적점인것을의미한다. 또한 가 의우집적점이라는것은 가 의집적점인것을의미한다. 정의 8.7 함수 R에대하여 가 의좌집적점이고, 가 의우짐적점이라고하자. 만약축소함수 가 에서 에수렴하면 는 에서좌극한 를가진다고말한다. 또한축소함수 가 에서 에수렴하면 는 에서우극한 를가진다고말한다. 참고좌극한과우극한도각각유일하다. 따라서 에서 의좌극한이 인것을 lim 또는 로나타내고, 에서 의우극한이 인것을 로나타낸다. lim 또는 참고무한대에발산하는좌극한, 우극한도같은방법으로정의된다. 만약 가 에서양의무한대에발산하면 에서 의좌극한이양의무한대에발산한다고말하고 lim 또는 으로나타낸다. 가 에서음의무한대에발산하면 에서 의좌극한이음의무한대에발산한다고말하고 lim 또는 으로나타낸다. 만약 가 에서양의무한대에발산하면 에서 의우극한이양의무한대에발산한다고말하고 lim 또는 으로나타낸다. 가 에서음의무한대에발산하면 에서 의우극한이음의무한대에발산한다고말하고 lim 또는 으로나타낸다. 정리 8.8 함수 R에대하여 가 의좌집적점인동시에우집적점이라고하자. 이때 lim일필요충분조건 은 인것이다. 여기서 는실수이거나양의무한대또는음의무한대이다. 증명 (1) R인경우. 라고하자. 그러면 에대하여 인 이존재한다. 동일한 에대하여 또는 일때모두 이므로, 이다. 역으로, 라고하자. 에대하여 좌극한 : 우극한 : 이므로 min 에대하여 일때마다 이성립한다. 따라서 이다. (2) 인경우. (1) 의증명에서 를 로바꾸고, 을 로바꾸고, 을 로바꾸면된다. (3) 인경우. (1) 의증명에서 를 로바꾸고, 을 으로바꾸고, 을 로바꾸면된다. 정리 8.9 정의역이 인두함수, 가 에서각각, 에수렴하고, 의구멍뚫린근방에서 라고하자. 그러면 이다. 증명조건에의해 인 가존재한다., 인수열 이주어졌다고하자. 그러면 인 이존재한다. 따라서 일때 이므로 limlim lim lim 가성립한다. 참고무한대에발산하는함수의극한에대해서도위와비슷한명제가성립한다. 즉정의역이 인두함수, 가 의구멍뚫린근방에서 라고하자. 만약 에서 이면 이다. 만약 에서 이면 이다. 정리 8.10 실함수,, 의정의역이 이고 이라고하자. 의구멍뚫린근방에서 이고 와 가 에서 에수렴하면 도 에서 에수렴한다. 이명제를조임정리라고부른다. 증명 에대하여 이므로 min 에대하여 일때마다 이다. 따라서 에서 가 에수렴한다. 11

12 정리 8.11 함수 R에대하여 가 의좌집적점이라고하자. 가 의근방에서단조이면 에서 의좌극 9. 연속함수함수의연속성을논리적으로정의하고그성질을살펴보자. 한이존재한다. 이명제를단조수렴정리라고부른다. 증명가정에의하여 에서 가단조가되는양수 가존재한다. 일반성을잃지않고 가 에서단조증가라고하자. 그러면 sup 가존재한다. 이때 정의 9.1 함수 의정의역이 이고 라고하자. 만약 이성립하면 는 에서연속이라고말한다. 이고임의의 가된다. 에서 가연속이면 는 에서연속이라고말한다. 가정 의역의모든점에서연속이면 를연속함수라고부른다. 따름정리 함수 R에대하여 가 의우집적점이라 고하자. 가 의근방에서단조이면 에서 의우극한 참고 이지만 일때 를 의고립점이라고부른다. 이존재한다. 정리 9.2 정의역이 인함수 가 에서연속일필요충분 끝으로양의무한대에서의극한과음의무한대에서의극한을정의한다. 조건은, 가 의집적점인경우 에서 의극한이 에수렴하거나 가 의집적점이아닌것이다. 정의 8.12 함수 의정의역이 이고 R 라고하자. 만약 가위로유계가아니고 이성립하면 는양의무한대에서 에수렴한다고말한다. 만약 가아래로유계가아니고 이성립하면 는음의무한대에서 에수렴한다고말한다. 이것을기호로각각 로나타낸다. lim 그리고 정리 8.13 함수 의정의역이 라고하자. (1) 가위로유계가아니라고하자. 만약 lim 가성립하면 는양의무한대에서양의무한대에발산한다고말하고 lim 로나타낸다. 만약 가성립하면 는음의무한대에서음의무한대에발산한다고말하고 lim 로나타낸다. (2) 가아래로유계가아니라고하자. 만약 가성립하면 는음의무한대에서양의무한대에발산한다고말하고 lim 로나타낸다. 만약 가성립하면 는음의무한대에서음의무한대에발산한다고말하고 lim 로나타낸다. 증명 [ ] 가 에서연속이고 가 의고립점이아니라고하자. 그러면 이다. 에대하여 이존재하여 일때마다 이므로 일때에도당연히 이다. [ ] 가 의고립점이면 인양수 가존재한다. 임의의 에대하여 이면 이므로당연히 이다. 이제 이고 에서 라고하자. 그리고 이라고하자. 그러면 인양수 가존재한다. 만약 이면당연히 이므로 일때마다 이다. 정리 9.3 함수 R가연속함수일필요충분조건은 R 에서의임의의열린집합 에대하여 가 에서의열린집합인것이다. 증명 [ ] 가 에서연속이고 가 R에서의열린집합이라고하자. 라고하면 이므로양수 이존재하여 를만족시킨다. 가연속이므로양수 가존재하여 을만족시킨다. 즉 이므로 는 의내점이다. [ ] 임의의열린집합 에대하여 가 에서의열린집합이라고하자. 가 의고립점이아니라고하고 이라고하자. 은열린집합이므로 도열린집합이다. 따라서 인양수 가존재한다. 이때 일때마다 이성립하므로 는연속함수이다. 정리 9.4 와 가연속이면 도연속이다. 증명 가 에서의열린집합이면 는 에서의열린집합이다. 따라서 는 에서의열린집합이다. 따라서정리 9.3에의해 는연속함수이다. 12

13 정리 9.5 두함수 R와 R가연속이면 와 도연속이다. 만약 이고 이면 는 에서연속이다. 정리 9.11 함수 R가연속이고 라고하자. 그러면 와 사이에놓인임의의 에대하여 인 가존재한다. 이명제를연속함수의중간값정리라 고부른다. 증명정리 8.4와정리 9.2에의하여성립한다. 증명일반성을잃지않고 라고하자. 그러면정리 9.6 함수 R가연속이고 의부분집합 가긴 sup 가존재한다. 이때 가밀집합이면 도긴밀집합이다. 된다. 증명 가 의열린덮개라고하면 는 의열린덮개이다. 이때 가긴밀이므로 의유한부분집합 가존재하여 는 의유한부분덮개가된다. 따라서 는 를덮는 의유한부분덮개가된다. 참고집합 에대하여서로소인두열린집합, 가존재하여 와 가공집합이아니고 이면 는분할되었다고말한다. 분할되지않은집합을연결집합이라고부른다. 연결집합은다음과같은성질을가졌다. 가연결집합이고 R가연속이면 도연결집합정리 9.7 함수 R가연속이고 의부분집합 가긴이다. 밀집합이면 는 에서최댓값과최솟값을가진다. 실수집합의부분집합이연결집합일필요충분조건은구간인것증명 가긴밀집합이므로닫힌집합이다. 따라서 의이다. 최댓값 과최솟값 은 의원소이다. 이와같은성질을이용하여정리 9.11을증명할수도있다. 정리 9.8 함수 가연속이고일대일대응이며 가 10. 실함수의미분긴밀집합이면 의역함수는 에서연속이다. 함수의미분은함수의그래프를국소적으로직선에근사시키는증명 의부분집합 가 에서의열린집합이면 는 에것이다. 서의열린집합이된다. 정의 9.9 함수 R에대하여 라고하자. 만약 이성립하면 는 에서균등연속 (uniformly continuity) 이라고말한다. 함수의연속성은한점에서의연속과집합위에서의연속이있지만균등연속성은집합위에서의연속만정의된다. 정리 9.10 함수 R가 의부분집합 에서연속이고 가긴밀집합이면 는 에서균등연속이다. 증명 가 에서균등연속이아니라고가정하자. 그러면적당한 이존재하여임의의 N에대하여 정의 10.1 함수 R 와점 에대하여극한 lim 가존재할때 는 에서미분가능하다고말한다. 이때위극한을 에서 의미분계수라고부르고 또는 또는 로나타낸다. 의부분집합 의임의의점에서 가미분가능하면 는 에서미분가능하다라고말한다. 또한 의미분가능한점 에대하여 lim 를 의미분또는도함수라고부르며 또는 로나타낸다. 인 과 이 에존재한다. 과 은모두유계이므로각각수렴하는부분수열, 를가진다. 더욱이 이므로두부분수열은동일한값에수렴한다. 그값을 라고하자. 는닫힌집합이므로 이다. 는연속이므로 일때, 이다. 그러나 이므로두부분수열은동일한값에수렴할수없다. 이것은모순이므로 는 에서균등연속이다. 참고함수 를 번미분한함수를 계도함수라고부르며 또는 또는 로나타낸다. 특히 에서 번미분한 계미분계수는 또는 또는 로나타낸다. 정의 10.2 함수 R와 에대하여 에서의좌미분계수 : lim 에서의우미분계수 : lim 로정의한다. 13

14 정리 10.3 가 에서미분가능하면 는 에서연속이다. 증명 lim lim lim. lim 정리 10.4 두함수, 가미분가능하면, 도미분가능하며 인점에서 도미분가능하다. 또한다음이성립한다. (1). (2). (3) 일때. 증명극한의성질에의해다음을얻는다. lim lim lim. lim lim. lim lim. 위정리의 (2) 를일반화하면다음과같다. 이때 가 에서연속이므로다음을얻는다. lim lim lim lim. 한편미분을다른방법으로정의할수도있다. 정리 10.7 함수 가 에서미분가능할필요충분조건은 lim 을만족시키는선형사상 가존재하는것이다. 증명. 참고체 위의벡터공간 에서의함수 가두조건, 를모두만족시킬때 를선형사상이라고부른다. 정의역과공역이 R인선형사상은모두 꼴의정비례함수이다. 참고다변함수의미분은정리 10.7에서와비슷한꼴로정의된다. 즉 R 이고 a int일때, 함수 f R 이 a에서미분가능하다는것은 lim fahfath h h 인선형사상 T R R 이존재하는것이다. 11. 평균값정리 평균값정리는미분을응용한대표적인예이다. 미분에관련된수많은정리는평균값정리에서시작되는경우가많다. 정리 10.5 두함수, 의 계도함수가존재하면 C. 정의 11.1 함수 R 와 에대하여만약 단,, 이다. 이법칙을 Leibniz 법칙이라고부른다. 를만족시키는양수 가존재하면 는 에서극댓값 를가진다고말한다. 만약증명수학적귀납법을이용한다. 정리 10.6 함수, 에대하여 가 에서미분가능하고 이며 가 에서미분가능하면 는 에서미분가능하고 이다. 증명함수 를다음과같이정의하자. if if 그러면 는 에서연속이다. 이제 라고하면. 를만족시키는양수 가존재하면 는 에서극솟값 를가진다고말한다. 정리 11.2 함수 R가 int에서극값을갖고미분가능하면 이다. 증명일반성을잃지않고 가 에서극댓값을가진다고하자. 그러면, 이다. 그런데 는 에서미분가능하므로 이다. 따라서 이다. 14

15 정리 11.3 함수 가 에서미분가능하고 에서연 참고도함수가항상연속인것은아니다. 예컨대 속이며 이면 인 가존재한다. 이 명제를 Rolle의정리라고부른다. sin if if 인함수 는 R에서미분가능하지만 은 에서불연속이다. 증명 가 에서상수가아니라고하자. 는 에서최그러나도함수는중간값성질을가진다. 즉 가 에서미분댓값 과최솟값 을가진다. 만약 라면 가능하고 라고하자. 그러면 인인점 를택하고, 라면 인점 를택한다. 가존재한다. 그러면 는 에서극값을가지므로 이다. 증명 라고하면, 이므 정리 11.4 함수 가 에서미분가능하고 에서연속이면 인 가존재한다. 이 로, 인 과 가 에존재한다. 따라서 는 에서최솟값을가진다. 최솟값은극값이므 명제를평균값정리라고부른다. 로 인 가존재한다. 증명함수 를 라고하고 에서 에 Rolle 의정리를적용한다. 정리 11.7 두함수, 가 에서미분가능하고 에서연속이면 인 가존재한다. 이명제를 Cauchy의평균값정리또 따름정리함수 가 에서미분가능하고 에서연속이 는일반화된평균값정리라고부른다. 며 이면 는 에서상수함수이다. 증명 에평균값 증명 정리를적용한다.. 정리 11.8 이자연수이고, 가 R의원소이며 라고 따름정리두함수, 가 에서미분가능하고 에서연속이며 이면 인상수 하자. 함수 R가 에서 번미분가능하면 의원소, 에대하여 와 사이에 가존재하여 가존재한다. 증명 이므로 가상수함수가된다. 을만족시킨다. 이명제를 Taylor 의정리라고부른다. 또한위 정리 11.5 함수 가 에서미분가능하다고하자. (1) 이면 는 에서단조증가한다. (2) 이면 는 에서증가한다. (3) 이면 는 에서단조감소한다. (4) 이면 는 에서감소한다. 등식의우변의처음두항을 차전개식, 마지막항을나머지항이라고부른다. 증명 라고하자. 각 에대하여, 증명 라고하면 인 가존재한다. 이라고정의하자. 이제 인 가존재 함을증명하면된다. 와 N에대하여미분계수 의부호에따라서 의부호도달라 지므로정리의결과를얻는다. 정리 11.6 함수 가 에서연속이고미분가능하며일대일함수라고하자. 그리고 를 의역함수라고하자. 그러면임의의 에대하여 가 에서미분가능하고 이성립한다. 이정리를역함수정리라고부른다. 증명 는 에서순증가또는순감소인함수가된다. 가순증가함수라고하자. 에수렴하고 인임의의수열 에대하여 이라고하면 이고 lim lim 이므로정리의결과를얻는다. 이므로 을얻는다. 한편연쇄법칙에의하여 R 에대하여 을얻는다., 가 에서미분가능하고 에서연 속이며, 일때 이므로일반화된평균값정리에의하여 인 가존재한다. 이고 이므로 이다. 즉 이다. 15

16 정리 11.9 R이고 가열린구간이며 라고하자. 그리고두함수, 가 에서미분가능하며, 이라고하자. 또한, 일때 와 가동일한값 에수렴하며 또는 라고하자. 만약 일때 R이면 lim lim 가성립한다. 이명제를 l Hôpital 의정리라고부른다. 증명, 이며, 또는 라고하자. 이제 임을보이자. R인경우를증명하자. 에서 이므로, 이고, 가모두 보다크거나 보다작을때 이다. 따라서 는분모에놓일수있다., R인경우. 이라고정의하면 와 사이에 가존재하여 를만족시킨다. 이므로 이다. 인극한을취하면조임정리에의하여 이므로 를얻는다. ±, R인경우. 일반성을잃지않고 라고하자. 자연수, 에대하여평균값정리에의하여, 사이에 이존재하여 을만족시킨다. 따라서 이므로 이다. 이므로 일때 이며, 조임정리에의하여 일때 이다. 따라서 일때 이다. ±인경우. 일반성을잃지않고 라고하자. 가되는 를택하고각 에대하여 그리고 라고정의하면연쇄법칙에의하여 이다. 이므로 이다. 일필요충분조건은 인것이므로 와 는, 일때앞의두경우의조건을만족시킨다. 따라서 lim lim lim lim. 끝으로 ±인경우는 일때 ±이므로 가된다는것을이용하면증명된다. 12. Riemann 적분 길이가양수인닫힌구간 에대하여 일때 을 의분할이라고부른다., 이 의분할이고 일때 을 의세련분할이라고부른다. 함수 R가유계이고 sup, inf, 이라고하자. 이때구간 에서 에대응되는 의상합과하합을각각, 로정의한다. 정의에의하여임의의분할 에대하여 이다. 구간을더작게나눌수록하합은커지고상합은작아지므로 일때 가성립한다. 또한 와 이 의분할일때 은두분할의공통세련분할이므로 이다. 즉임의의상합은임의의하합보다크거나같다. 따라서상적분과하적분을순서대로다음과같이정의한다. inf 는 의분할, sup는 의분할. 정의 12.1 만약 에서유계인 의상적분과하적분이같으면 는 에서 Riemann 적분가능하다고말하며, 적분값을 로정의한다. 정리 12.2 함수 가 에서유계일때, 에서 가리만적분가능할필요충분조건은 이다. 이명제를 Riemann 판정법이라고부른다. 16

17 증명 가 에서 Riemann 적분가능하다고하자. 그리고이때 는 의분할이고 이라고하자. 그러면, 이므로 는 에서적분가능하다. 또한인, 이존재한다. 라고하면 (12a) 이성립한다. 역으로 이임의의양수라고하자. (12a) 를만족시 키는분할 에대하여 이고같은방법으로 이성립한다. 은임의의양수이므로결과를얻는다. 이므로정리의등식을얻는다. 분할 에대하여 의노름을 max 으로정의한다. 정리 12.3 함수 가 에서유계라고하자. (1) 가 에서단조이면 는 에서 Riemann 적분가능하다. (2) 가 에서연속이면 는 에서 Riemann 적분가능하다. 증명 (1) 가단조증가라고하자. 에대하여 인분할 을택하면 (2) 이주어졌다고하자. 는 에서균등연속이므로 이다. 인분할 을택하면. 정리 12.4 가 에서적분가능하고 이면 는 에서적분가능하다. 증명 에대하여 의분할 가존재하여 이다. 이때 는 의분할이고. 정리 12.5 함수 가길이가양수인두구간, 에서적분가능하면 는 에서적분가능하고다음이성립한다. 증명 에대하여 의분할 과 의분할 가존재하여,. 정리 12.6 함수, 가 에서적분가능하다고하자. (1) 상수 에대하여. (2) 는 에서적분가능하고. (3) 이면. 증명 (1) 이면당연히성립한다. 인경우 에대하여 인분할 를택하면 이다. (2) 에대하여 의분할 과 가존재하여,. 라고하면, 이므로 이다. 따라서 는 에서적분가능하다. 한편 이고같은방법으로 이므로정리의등식을얻는다. (3) 의임의의분할 에대하여 이므로. 17

18 정의 12.7 함수 가 에서적분가능하고 일때 다음과같이정의한다.,. 정리 12.8 함수 가 에서적분가능하면 의원소,, 에대하여다음이성립한다.. 증명정리 12.6 과정의 12.7 에의하여성립한다. 정리 12.9 함수 가 에서적분가능하고함수 가 에서연속이며 이면 는 에서적분가능하다. 증명 라고하고 이라고하자. 는 에서균등연속이므로 인 이존재한다. min 이라고하자. 함수 가적분가능하므로 의분할 이존재하여 을만족시킨다. sup, inf, sup, inf, N, N, sup 이라고하자. 이면 의정의에의하여 이성 립한다. 이면 이므로 이다. 따라서 이므로 는 에서적분가능하다. 따름정리함수 가 에서적분가능하면 도 에서적분가능하고다음이성립한다. 증명 라고두고정리 12.9 를적용한다. 세련분할을이용하는것대신분할의노름을이용하여적분을정의할수있다. 구간 에대하여분할 의성분구간을 라고하자. 그리고각 에대하여 를만족시키는유한수열을 라고하자. 이때 를 와 에대한 의 Riemann 합이라고부른다. 정의 함수 가 에서유계라고하자. 만약임의의양수 에대하여 의분할 이존재하여 인임의의분할 와 의각성분구간에서한점씩택하여구성한유한수열 에대하여 을만족시키는실수 이존재하면 에서 의 Riemann 합이 에수렴한다고말하고이것을 로나타낸다. 을만족시킨다. 따라서 lim 정리 함수 가 에서유계라고하자. 가 에서 Riemann 적분가능하고그적분값이 일필요충분조건은 인것이다. lim 증명 가 에서적분가능하다고하고 이라고하자. 그러면, 을만족시키는분할 이존재한다. 이라고하면위부등식은 을 로바꾸어도성립한다. 그런데 일때 이므로 이다. 따라서 이고 일때마다 이다. 즉 의 Riemann 합이 의적분값에수렴한다. 역으로 의 Riemann 합이 에수렴한다고하자. 이라고하고각 일때 을만족시키는분할 를택하자. 는 에서유계이므로 의성분구간에서점하나씩을택하여만든유한수열, 가존재하여 이므로 는 에서적분가능하고적분값은 이다. 18

19 13. 미적분의기본정리 적분의정의를이용하여적분값을계산하는것은쉽지않다. 그러나부정적분을갖는연속함수의적분은쉽게계산할수있다. 함수 에대하여 를만족시키는함수 를 의부정적분또는역도함수라고부른다. 정리 13.1 가 에서연속이고 에서미분가능하며 이 에서적분가능하면다음이성립한다.. 증명 의분할 이주어졌다고하자. 각 에대하여 에서평균값정리를이용하면 을만족시키는 가존재한다. 따라서. 구간 에서 의상한을, 하한을 이라고하면 이므로 이다. 가 의임의의분할이므로 이다. 그런데 이 에서적분가능하므로. 정리 13.2 함수 가 에서적분가능하면 로정의된함수 는 에서연속이다. 만약 가연속이면 는 에서미분가능하고 이다. 증명 가 에서유계이므로 인양수 이존재한다. 에대하여 인 를택하면 이고 일때마다 이므로 는 에서균등연속이다. 이제 가연속이고 라고하자. 그러면 에대하여 이존재하여 을만족시킨다. 따라서 일때 19 이므로 이다. 정리 13.3 함수 가 에서연속이고 가 의부정적분이면다음이성립한다.. 이명제를미적분의기본정리라고부른다. 증명함수 를 라고정의하면 는 의부정적분이므로 이다. 따라서 인상수 가존재한다. 이므로 이다. 즉 이다. 이식에 를대입하면정리의등식을얻는다. 위공식에서 를보통 으로나타낸다. 즉 이다. 또는 정리 13.4 두함수, 가 에서미분가능하고, 가 에서적분가능하면다음이성립한다. 이명제를부분적분법이라고부른다. 증명미분의 Leibniz의법칙에의하여 이므로양변을 에서적분하면정리의등식을얻는다. 함수 의도함수가연속일때 는연속적으로미분가능하다고말한다. 정리 13.5 함수 가 에서연속적으로미분가능하고 가 에서연속이면다음이성립한다. 이명제를적분의변수변환공식이라고부른다. 증명 와 에대하여, 라고정의하자. inf 이면

20 이다. 미적분의기본정리에의해 이고 이므로연쇄법칙에의하여 에대하여 lim 로정의한다. 만약 가 의근방에서유계가아니면 를특이점이라고부른다. 이다. 따라서 는상수함수이고, 를대입해보면 임을알수있다. 따라서 (3) 함수 가 에서정의되었다고하자. 가쌍마다서로소인유한개의부분구간,,, 으로분할되고각 의길이가양수이며 가각구간 에서 (1) 또는 (2) 의방법으로적분가 이므로 이다. 능하다고하자. 이때 의왼쪽끝점 와오른쪽끝점 에대 하여 14. 특이적분 이장에서는더다양한함수들의적분을살펴보자. 실수집합의부분집합 가주어졌다고하자. 만약임의의 에대하여열린구간들의유한집합 가존재하여두조건 그리고 을모두만족시키면 는컨텐츠제로라고말한다. 여기서 가유한집합이라는조건을가산집합으로바꾸면 는측도제로라고말한다. 정리 14.1 함수 가 에서유계라고하자. 에서 가불연속인점들의모임 가컨텐츠제로이면 는 에서적분가능하다. 증명 가 에서유계이므로 인양수 이존재한다. 이주어졌다고하자. 가컨텐츠제로이므로 그리고 을만족시키는유한집합 가존재한다. 한편 가 에서는연속이고 는닫힌구간들의합집합이로정의한다. 므로 의분할 가존재하여 에서 (2) 함수 가 에서정의되었고 가위로유계이지만아래로유계 가아니며임의의 에대하여 가 에서적분가능을만족시킨다. 라고하면 은 의분할이되고 에서 이다. 참고함수 가 에서유계라고하자. 에서 가적분가능할필요충분조건은 가불연속인점들의모임 가측도제로인것이다. 이것을 Lebesgue의정리라고부른다. 증명이다소복잡하므로여기서는생략한다. 로정의한다. 집합 가여러개의구간의합집합일때각구간에서의 의적분값의합을 로나타낸다. 예컨대 이면 이다. 정의 14.3 유계가아닌구간에서의특이적분을다음과같이정의한다. (1) 함수 가 에서정의되었고 가아래로유계이지만위로유계가아니며임의의 에대하여 가 에서적분가 능할때, 에서 의특이적분을 lim 할때, 에서 의특이적분을 lim 로정의한다. (3) 함수 가 에서정의되었고 가위로유계가아니고아래로도유계가아닐때, 에서 의특이적분을 정의 14.2 구간의끝점에서의특이적분을다음과같이정의한다. (1) 함수 가 에서정의되었고임의의 에대하여 가 에서적분가능할때 에서 의특이적분을 lim 로정의한다. 만약 가 의근방에서유계가아니면 를특이점이라고부른다. (2) 함수 가 에서정의되었고임의의 에대하여 가 에서적분가능할때 에서 의특이적분을 로정의한다. 특이적분은적분에대한극한으로정의되기때문에수렴할수도있고발산할수도있다. 특이적분의극한이수렴할때특이적분이수렴한다고말하고, 특이적분의극한이발산할때특이적분이발산한다고말한다. 만약 의특이적분이수렴하면 의특이적분이절대수렴한다고말한다. 수렴하지만절대수렴하지않는경우조건수렴한다고말한다. 특이적분이수렴하는지판단하는공식을판정법이라고부른다. 20

21 정리 14.4 두함수, 가 에서정의되었고 에대하여 이며 에서 의특이적분이 수렴하면 에서 의특이적분이수렴하고 이다. 이명제를비교판정법이라고부른다. 증명 에대하여 이성립하는것이다. 으로쓰면급수가수렴할필요충는단조함수이고, 정리의조건에의하여유계이므로단조수렴정분조건은임의의양수 에대하여 이존재하여 일리에의하여수렴한다. 때마다 정리 14.5 구간 에서 의특이적분이절대수렴하면 의특이적분이수렴하고다음이성립한다. 무한급수의부분합도수열로볼수있으므로급수의수렴조건으로서 Cauchy 조건을사용할수있다. 즉급수 가수렴할필요충분조건은임의의양수 에대하여 이존재하여 일때마다 이성립하는것이된다. 정리 15.3 절대수렴하는무한급수는수렴한다. 증명 이므로비교판정법에의하여증명수열 의급수가절대수렴한다고하자. 그러면정리의결과를얻는다. 정리 14.6 두함수, 가 에서정의되었고음이아닌이므로 Cauchy 조건에의하여 의급수는수렴한다. 값을취하며극한 lim 모든항이 이상인수열을양항수열이라고부른다. 또한양항수열의무한급수를양항급수라고부른다. 가수렴하고 라고하자. 이때 에서 의특이적분이수렴할필요충분조건은 의특이적분이수렴하는것이다. 정리 15.4 양항급수가수렴할필요충분조건은부분합수열이이명제를극한비교판정법이라고부른다. 유계인것이다. 증명 의근방에서증명양항수열 의무한급수의부분합을 이라고하자. 그러면 이므로 은단조증가수열이다. 이므로 이다. 따라서비교판정법에따라서단조수렴정리에의하여 의극한이수렴할필요충분의하여정리의결과를얻는다. 조건은 이유계인것이다. 15. 무한급수 이장에서는무한급수의개념과기본성질을살펴보자. 정의 15.1 수열 의첫항이 일때, lim 을 의무한급수라고부른다. 이때 를무한급수의부분합이라고부른다. 정리 15.2 수열 의무한급수가수렴하면 이다. 증명무한급수가 에수렴한다고하면 lim lim. 정리 15.5 양항수열, 에대하여 이고수열 의무한급수가수렴하면 의무한급수도수렴한다. 이명제를비교판정법이라고부른다. 증명 의무한급수가수렴하면 의무한급수의부분합이유계이므로정리 15.4에의하여 의무한급수는수렴한다. 정리 15.6 두양항수열, 이주어졌다고하자. (1) lim 이고 이수렴하면 도수렴한다. (2) lim 이고 이수렴하면 도수렴한다. 증명 (1) 상극한의값을 라고하면 이존재하여 일 때마다 이성립한다. 즉 이므로비교 수열 에대하여 의무한급수가수렴하면 의 무한급수는절대수렴한다고말한다. 수렴하지만절대수렴하지않는경우조건수렴한다고말한다. 21 판정법에의하여정리의결과를얻는다. (2) lim 이므로 (1) 에의하여정리의결과를얻는다.

22 정리 15.7 함수 가 에서정의되었고 이며단조감소라고하자. 이때 인수열 의무한급수가수렴할필요충분조건은특이적분 이수렴하는것이다. 이명제를적분판정법이라고부른다. 증명 (1) 상극한의값을 라고하자. 이므로 이존재하여 일때마다 이성립한다. 따라서 일때 증명 일때 이므로 이다. 각변의합을구하면 이므로비교판정법에의하여결과를얻는다. 이므로 (1) 이면 은수렴한다. 이다. 이므로기하급수판정법에의하여마지막급수는수렴한다. 따라서비교판정법에의하여주어진급수도수렴한다. (2) 이므로주어진급수는발산한다. 정리 양항수열 에대하여 lim 이라고하자. 정리 15.8 급수 은 일때수렴하고 일때발산한다. 이명제를 -급수판정법이라고부른다. 증명구간 에서함수 를 라고하고적분판정법을이용하면정리의결과를얻는다. (2) 이면 은발산한다. 이명제를근판정법이라고부른다. 증명 인경우 이므로 이존재하여 일때 이성립한다. 즉 이므로기하급수판정법과비교판정법에의하여주어진급수는수렴한 다. 인경우는 이므로주어진급수는발산한다. 정리 15.9 감소하는양항수열 에대하여 이수렴할 필요충분조건은 이수렴하는것이다. 임의의 에대하여 을만족시키는수열 을교대수열이라고부른다. 그리고교대수열의무한급수를교대급수라고부른다. 증명두부등식, 정리 감소하는양항수열 에대하여교대급수 에비교판정법을적용하면정리의결과를얻는다. 이수렴할필요충분조건은 인것이다. 이명제를교대급 수판정법이라고부른다. 정리 급수 이수렴할필요충분조건은 이다. 이명제를기하급수판정법이라고부른다. 증명 이면 이므로급수가발산한다. 일때부분합은 증명 이라고하고주어진급수의부분합을 이라고하자. 그러면 이므로 은증가수열이다. 또한임의의 에대하여 이므로 은유계이다. 따라서수렴한다. 더욱이 이므로 일때에만급수가수렴한다. 정리 수열 에대하여 이라고하자. (1) lim 이면 은수렴한다. (2) lim 이면 은발산한다. 이명제를비판정법이라고부른다. 이므로 과 은동일한값에수렴한다. 참고위증명과정에서급수의합을 라고하면 이므로다음과같은오차의한계공식을얻는다.. 22

23 16. 무한급수의성질 이장에서는무한급수의합과곱, 재정렬, Dirichlet 판정법에대하여살펴보자. 정리 16.1 두수열, 의급수가각각수렴하면 이다. 증명극한의성질에의하여자명하다. 정의 16.2 두수열, 에대하여 라고하자. 이때 을 과 의 Cauchy 곱이라고부른다. 정리 16.3 두수열, 에대하여 이절대수렴 하고 이성립한다. 이수렴하면두급수의 Cauchy 곱이수렴하고 증명다음과같이정의하자.,,,,,,. 그러면다음을얻는다.. 이제 이라고하자. 이므로 임을보이면 임이증명된다. 함수 에대하여 으로정의한다. if if if if 정리 16.4 수열 에대하여다음이성립한다. (1) 이절대수렴하면 와 는수렴한다. (2) 산한다. 이조건수렴하면 와 는양의무한대에발 증명 (1) 임의의 에대하여, 이므로유계판정법과비교판정법에의하여결과를얻는다. (2) 만약 와 가모두수렴하면 이절대수렴하 게되어모순이다. 만약 하면 또는 이발산하게되어모순이다. 중하나만수렴 정의 16.5 수열 의정의역이 이고함수 가일대일대응이라고하자. 이때 을 의재배열된수열이라고부르며재배열된수열의급수를재배열된급수라고부른다. 정리 16.6 수열 의급수가절대수렴하면재배열된급수도동일한값에수렴한다. 증명 이 의재배열된수열이라고하자. 먼저 이양항수열인경우를살펴보자. 의급수 의부분합을 이라고하고, 의급수 의부분합을 이라고하자. 그러면, 이므로단조수렴정리에의하여결과를얻는다. 다음으로 이양항수열이아닌경우에는두등식, 과양항수열에대한결과를이용하여결론을얻는다. 이라고하자. 그리고 이라고하자. 의급수가 에수렴하므로 이존재하여 일때 이성 립한다. max 은양수이므로 가존 재하여 일때 이성립한다. 따라서 max 일때 정리 16.7 수열 의급수가조건수렴하면임의의실수 에대하여 에수렴하는 의재배열급수가존재한다. 증명 의항들을계속더하여 보다커지게한다. 그뒤이어서 의항들을계속빼어서다시 보다작아지게한다. 다시 의남은항들을계속더하여 보다커지게한다. 그리고 의남은항들을계속빼어서다시 보다작아지게한다. 이므로이과정을반복하면 에수렴하는재배열급수를얻는다. 이므로 이다. 23

24 정리 16.8 두수열, 에대하여 일때 라고정의하자. 그러면 일때 가성립한다. 이등식을 Abel 의부분합공식이라고부른다. 증명 일때 이므로. Abel의부분합공식은두수열을곱한수열의급수가수렴하기위한필요충분조건을제공한다. Dirichlet 판정법과 Abel 판정법이그대표적인예이다. 정리 16.9 두수열, 에대하여 의급수의부분합수열 이유계이고 이단조감소이며 에수렴하면 의급수는수렴한다. 이명제를 Dirichlet 판정법이라고부른다. 17. 함수열의균등수렴 공역이함수의집합인수열을함수열이라고부른다. 특히 위에서의함수열이라는것은정의역이 인함수들의수열을의미한다. 정의 17.1 위에서의함수열 에대하여 lim 를만족시키는함수 가존재할때 은 에점별수렴한다또는간단히수렴한다고말하고 를 의점별극한함수또는간단히극한함수라고부른다. 만약 lim 를만족시키는함수 가존재하면함수급수 이 에수렴 한다고말한다. 정의 17.2 위에서의함수열 에대하여 N 을만족시키는함수 가존재하면 은 에균등수렴한다고말한다. 함수급수의균등수렴에대해서도마찬가지로정의한다. 함수 R에대하여 sup 를 에서 의상한노름이라고부른다. 혼동할염려가없을때에는 를생략하고간단히 로나타낸다. 상한노름을이용하여함수열의균등수렴의정의를쓰면다음과같다. N 증명 인양수 을택하면 일때 또한수열의극한을이용하여다음과같이표현할수도있다. 이다. 에대하여 인 을택하자. 그러면 일때 이므로 Cauchy 판정법에의해 의급수는수렴한다. 정리 수열 의급수가수렴하고수열 이단조이고유계이면 의급수는수렴한다. 이명제를 Abel 판정법이라고부른다. 증명 이므로 은수렴한 다. 또한 의급수의부분합수열 은유계이므로 은절대수렴한다. 그리고단조수렴정리에의하 여 이수렴하므로 은수렴하다. 따라서 Abel 의 부분합공식에의하여 도수렴한다. lim 함수열 이 에균등수렴하는것을 로나타낸다. 정리 17.3 집합 위에서의함수열 이균등수렴할필요충분조건은임의의 에대하여 이존재하여 보다큰임 의의, 에대하여 을만족시키는것이다. 이명 제를 Cauchy의조건이라고부른다. 증명 라고하고 이라고하자. 그러면 이다. 이때, 이면 이므로 은 Cauchy 의조건을만족시킨다. 역으로 이 Cauchy 의조건을만족시킨다고하자. 각 에대하여 은 Cauchy 수열이므로 이점별수렴하는함수 가존재한다. 이제 이임의로주어졌다고하자. 그러면 이존재하여그 보다더큰임의의, 에대하여다음을만족시킨다.. 24

25 이제 이라고하면 와 에대하여 이성립한다. 이때 이다. 는 의임의의원소이므로 이다. 이제 임을증명하자. 다시 이라고하면자연수 이존재하여 이고 일때 을만족시킨다. 이때 정리 17.4 위에서의연속함수열 이 에균등수렴하면 도연속이다. 증명 이고 이라고하자. 자연수 이존재하여임의의 에대하여 을만족시킨다. 은 에서연속이므로 가존재하여 을만족시킨다. 따라서 일때 이므로 는 에서연속이다. 이므로정리의등식을얻는다. 따름정리 에서적분가능한함수열 의급수가 에균등수렴하면 는 에서적분가능하고다음이성립한다. 며, 적당한 에대하여 가수렴한다고하자. 그 러면 은미분가능한함수에균등수렴하며 이다. 증명 의급수의부분합이정리 17.5에서의가정을만족시키므로정리의결과를얻는다. 정리 17.6 에서미분가능한함수열 에대하여, 이연속인함수 에균등수렴하고각 이적분가능하 정리 17.5 에서적분가능한함수열 이 에균등수렴하면 는 에서균등수렴하고다음이성립한다. lim 증명 이라고하자. 이므로자연수 이존재하여임의의 에대하여 을만족시킨다. 은 에서적분가능하므로 인분할 가존재한다. sup, inf, sup, inf 라고하자. 각 에대하여 이므로. 증명 이라고하자. 이적분가능하므로 일때 이다. 따라서 이므로 (17a) 이다. 이균등수렴하므로 이존재하여 일때 이다. 따라서, 이다. 같은방법으로이부등식이 에대해서도성립함을알수있다. 따라서 은균등수렴한다. 이제 임을보이자. 의극한함수를 라고하자. (17a) 의양변에 인극한을취하면 lim lim lim lim 이다. 가연속이므로양변을 에대하여미분하면 를얻는다. 따라서 는 에서적분가능하다. 25

26 따름정리 에서미분가능한함수열 에대하여, 의급수가연속인함수 에균등수렴하고각 이적분가능하며, 적당한 에대하여 의급수가수렴한다고하자. 그러면 의급수는미분가능한함수에균등수렴하며 이다. 즉다음등식이성립한다 균등수렴의판정이제균등수렴을판정하는공식을살펴보자. 정리 18.4 위에서의함수열 이 에균등수렴하고임 의의 에대하여 을만족시키면 의급수는 에서균등수렴한다. 이명제를교대급수판정법이라고부른다. 증명 이라고하자. 이므로자연수 이존재하여 일때 을만족시킨다. 따라서 일때 이므로 의급수는 Cauchy 조건을만족시킨다. 정리 18.5 긴밀집합 위에서의함수열 정리 18.1 위에서의함수열 에대하여급수가수렴하 이연속함수 에단조수렴하면 는양항수열 이존재하여임의의 에대하여 은균등수렴한다. 이명제를 Dini 의조건 이라고부른다. 을만족시키면 의급수는 에서균등수렴한다. 이명제를 Weierstrass 의 M- 판정법이라고부른다. 증명 일반성을잃지않고 이라고하자. 그리 고 라고하자. 이임의로주어졌다고하고증명 의급수의부분합수열을 이라고하자. 이라고하자. Cauchy 조건에의하여자연수 이존재하여 이라고하면 는연속이므로 는 에 서열린집합이다. 따라서 은 에서닫힌집합이다. 을만족시킨다. 따라서 이고 일때 또한 이므로 이다. 이제 라고하자. 이므로충분히큰자연수 에 대하여 이다. 즉 이다. 따라서 은공집합 이다. 그런데 이고각 이닫힌집합이므로, 만약 모든 이공집합이아니라면 은공집합이아니다. 이것은 모순이므로 인 이존재한다. 이므로 Cauchy 조건에의하여 은 에서균등수렴한다. 따라서 일때 이므로임의의 에대하여 정리 18.2 위에서의함수열 에대하여 의급수가균등수렴하면 의급수도균등수렴한다. 이명제를절대 이다. 이것은 을의미한다. 수렴판정법이라고부른다. 따름정리긴밀집합 위에서연속이고음이아닌값을갖는함수열 의급수가연속함수 에수렴하면이수렴은균등 증명 의급수가균등수렴한다는사실과부등식수렴이다. 따름정리긴밀집합 위에서연속이고임의의 와 에 를이용하면 의급수가 Cauchy 의조건을만족시킴을보일 대하여 이며 의급수가연속 수있다. 인함수 에수렴하면이수렴은균등수렴이다. 정리 18.3 위에서의함수열 의급수가균등수렴하면 은 에균등수렴한다. 이명제를일반항판정법이라고부른다. 증명결론에반하여 이 에균등수렴하지않는다고가정하자. 그러면 이다. 이라고해도일반성을잃지않는다. 따라서 정리 18.6 위에서의함수열 의급수가균등수렴하고, 위에서의함수열 이단조이며 인 이존재하면 의급수는균등수렴한다. 이명제를 Abel 판정법이라고부른다. 증명 이라고하자. Abel의부분합공식에의하여 이성립한다. 이고 라고하자. 그러면자연수 이이므로 의급수는 Cauchy 조건의부정을만족시킨다. 이존재하여 일때다음을만족시킨다. 것은모순이므로 은 에균등수렴한다.. 26

27 따라서 일때 정리 19.4 거듭제곱급수 에대하여 lim 이므로 의급수는 Cauchy 의조건을만족시킨다. 이라고하자. 그리고 를 if 19. 거듭제곱급수 우리가알고있는함수중그성질을가장잘알고있는것은 if 다항함수이다. 따라서다항함수와비슷한성질을가지고있는함 if 수는극한, 미분, 적분등의도구를이용하여분석하기쉽다. 라고정의하자. 그러면 의수렴반경은 이다. 이명제를 Cauchy-Hadamard 공식이라고부른다. 정의 19.1 수열 과실수, 자연수 에대하여, 라고하자. 이때 lim 을중심이 이고계수가 인거듭제곱급수또는멱급수또는간단히급수라고부르고 (19a) 증명 인경우 에비판정법을적용하면 lim 이므로 이면급수가발산하고 이면급수가수렴한다. 한편 인경우에는임의의 에대하여 (19b) 가 에수렴하므로급수가수렴한다. 증명급수 에근판정법을적용하면결과를얻는다. 참고거듭제곱급수 의수렴반경이 이고 이 라고하자. 이라고두고 - 판정법을이용하면급수 이 에서균등수렴함을알수있다. 으로나타낸다. 단, 위와같은표현에서 인것으로약속한다. 참고만약 라고하면 (19a) 는 이되므로, 거듭제곱급수의성질을살펴볼때에는중심이 인경우만다루어도충분하다. 참고앞의 (19a) 를간단히 으로나타내기도한다. 정의 19.2 거듭제곱급수 에대하여집합 R 이수렴한다 를수렴구간이라고부른다. 이때수렴구간의내부를수렴영역이라고부르며 sup 를수렴반경이라고부른다. 참고정의 19.2에서수렴반경의정의는적절하다. 왜냐하면거듭제곱급수 의수렴반경이 일때, 이면급수가수렴하고 이면급수가발산하기때문이다. 정리 19.3 거듭제곱급수 에대하여극한 lim (19b) 이수렴하고극한이 이면 의수렴반경은 이다. 만약위극한이양의무한대에발산하면수렴반경은무한대이다. 정리 19.5 거듭제곱급수 은수렴영역의닫힌부분구간 에서연속이다. 증명주어진급수가수렴영역의닫힌부분구간에서균등수렴하므로결과를얻는다. 정리 19.6 거듭제곱급수 의수렴반경이 이고 가양수이며 이면다음이성립한다. 증명거듭제곱급수의부분합수열이연속함수열이고 에서균등수렴하므로극한함수는 에서적분가능하고정리의등식이성립한다. 정리 19.7 거듭제곱급수 의수렴반경이 이고 가양수이며 이면다음이성립한다. 증명 이면 인양수 가존재한다. 라고하면 이므로 이존재하여 일때마다 이성립한다. 따라서 일때 이므로비교판정법에의하여 의수렴반경은 이상이된다. 이제 에대하여다음과같이정의하자.,,. 27

28 그리고 인, 를택하자. 그러면 에서, 이고 은연속이므로 이다. 20. 해석적함수 거듭제곱급수 의수렴영역의점 에대하여 정리 19.8 급수 의수렴반경이 이고, 급수 의수렴반경이 이라고하자. 이때 min 인 에대하여다음이성립한다. (1). 이라고하자. 양변을 번미분한후 를대입하면 을얻는다. 따라서 (2) 이다. 한편만약 이면동일한방법으로증명 (1) 은극한의성질에의해자명하다. (2) 는 Cauchy 의곱 에의하여성립한다. 정리 19.9 급수 의수렴반경이 이고 이라고하자. 그리고 을귀납적으로 이므로 과 은동일한수열이다. 따라서함수를거듭제곱급수로나타낼수있다면그표현은유일하다. 에서균등수렴한다. 이수렴하면 은 에서균등수렴한다. 이명제를 Abel 의정리라고부른다. 증명균등수렴에대한 Abel 의판정법에의하여성립한다. 정리 의수렴반경이 이고 이, 정의 20.1 가실수이고 가양수이며함수 가 에 서임의횟수로미분가능하다고하자. 에서 의 차 라고정의하자. 이때적당한구간에서 Taylor 전개의나머지항 이 에수렴하면 는 에 서다음과같은거듭제곱급수로표현된다. 이성립하고, 우변의급수의수렴반경은양수가된다. 이급수를중심이 인 Taylor 급수라고부른다. 한편중심이 증명 이라고하자. 이므로 의 인 Taylor 급수를 Maclaurin 급수라고부른다. 근방에서 이다. 따라서 는 의근방에서정의된다. 이 제 Cauchy-Hadamard 공식을이용하여 의수렴반경이 정리 20.2 함수 와 의정의역의내점 에대하여양수 와 양수임을증명하자. 라고하면 이다. 따라서 수열 이존재하여 에서 가 Taylor 급수 은유계이므로, 인양수 이존재한 다. 즉임의의 에대하여 이성립한다. 이것을이 으로표현되면 는 에서해석적이다고말한다. 또한정의역의 용하면, 이고 에수학적 모든점에서해석적인함수를해석적함수라고부른다. 귀납법을적용하면 참고해석적인함수는임의횟수로미분가능하다. 그러나임의 을얻는다. 따라서 횟수로미분가능하다고해서해석적인것은아니다. 예를들어 if 이므로양변에 인극한을취하면결과를얻는다. if 이라고하면 R R는 R에서임의횟수로미분가능하지 정리 이고 이수렴하면급수 은 만 이므로 이다. 집합 위에서 번미분가능한함수들의모임을 로나타 낸다. 위에서 번연속적으로미분가능한함수, 즉 계도함수가연속인함수들의모임을 로나타낸다. 그리고 위에서해석적인함수들의모임을 로나타낸다. 수렴하면 는 에서연속이다. 이수렴하면 는 에서연속이다. 증명정리 에의하여 는주어진구간에서균등수렴한다. 만약 가실수집합의부분영역이면 의원소를실해석적함수라고부르며 가허수를포함하는복소수집합의부분영역이면 의원소를복소해석적함수라고부른다. 실해석적 거듭제곱급수의부분합이연속이므로정리의결과를얻는다. 함수의성질에의하여다음이성립한다. 28

29 임의횟수로미분가능한것에조건을추가하면해석성을이끌어낼수있다. 정리 20.3 함수 가 에서임의횟수로연속적으로미분가능하다고하자. 만약양수 이존재하여임의의자연수 과 에대하여 을만족시키면 는 에서해석적이다. 정리 20.5 중심이 인열린구간 위에서 가성립하고, 과 에대하여 이면 위에서 증명 이고 max라고하자. 그러면 Taylor 의정리에의하여 N에대하여 인 가존재한다. 일때마지막식이 에수렴하므로나머지항이 에수렴한다. 가성립한다. 증명일반성을잃지않고 이고 라고하자. 정리의가정과이항정리에의하여 C 정리 20.4 함수 가 의근방에서정의되었다고하자. 가 에서해석적일필요충분조건은 가 의근방에서임의횟수로미분가능하고, 양수 와 가존재하여임의의 과 인임의의 에대하여다음을만족시키는것이다. (20a) 증명 [ ] 가 에서해석적이라고하자. 그러면 는 의근방에서거듭제곱급수로표현되므로당연히임의횟수로미분가능하다. 이제 (20a) 를만족시키는, 의존재성을증명하자. 함수 가거듭제곱급수 로표현되고이등식이 에서성립한다고가정하자. 의 계도함수를구하면 이다. 이제 라고하면 가수렴하므로양수 이다. 일때 가절대수렴하므로 이다. 따라서 C C C 이므로정리의등식이성립한다. C 가존재하여임의의자연수 에대하여 를만족시킨다. 따라서 일때 이므로정리의부등식을얻는다. [ ] 함수 가 의근방에서임의횟수로미분가능하고 (20a) 를만족시키는양수, 가존재한다고하자. 그러면 Taylor 의정리에의하여 인 차 Taylor 다항식 과나머지항 이존재한다. 이제 를만족시키는 에대하여 인 가존재하여 lim lim lim lim 이므로 는 에서해석적이다. 정리 20.6 함수 가 에서연속인 계도함수를가지면임의의, 에대하여나머지항이다음과같다. 이명제를 Lagrange의정리라고부른다. 증명 일때에는미적분의기본정리에의하여성립한다. 이제 N에대하여등식이성립한다고가정하면, 이므로 를얻는다., 라고하고부분적분법으로우변을적분하면, 이므로 이다. 따라서수학적귀납법에의하여임의의자연수 에대하 여정리의등식이성립한다. 29

30 정리 20.7 가 에서임의횟수로미분가능하고임의의 에대하여 이면 는 에서해석적이다. 즉 이고임의의자연수 과 에대하여 이면임의의 에대하여다음이성립한다. 이명제를 Bernstein 의정리라고부른다. 증명 이고 N이라고하자. 라고하면 Lagrange의정리에의하여 이다. 이므로 이다. 한편가정에의하여 임의의 에대하여 가성립한다. 이것은모순이므로 이다. 즉임의의 에대하여 이다. 비슷한방법으로임의의 에대하여 가성립함을증명할수있다. 우리가익숙하게사용하는초월함수의해석적정의는다음과같다. sin cos 거듭제곱급수의성질을이용하면이들함수가미적분학에서살펴봤던성질들을모두가지고있음을증명할수있다. 이므로 에대하여 이다. 라고하자. 그러면 인 에대해서정리의참고문헌등식이성립함을보이면된다. 이므로각 John B. Fraleigh, A First Course in Abstract Algebra 에대하여 일때 임을보이면된다. (7ed), Addison-Wesley, 각 에대하여 이므로 James R. Munkres, Topology (2ed), Prentice Hall, 은 에서 Walter Rudin, Principles of Mathematical Analysis (3ed), 단조증가한다. 이므로 McGraw-Hill, William R. Parzynski & Philip W. Zipse, Introduction to Mathematical Analysis, McGraw-Hill, William R. Wade, An introduction to Analysis (4ed), Pearson Prentice Hall, 앨리스, 맛있는해석학 (3판 4쇄 ), 디자이너앨리스, 이다. 그런데 이므로 이다. 따라서 정동명, 조승제, 실해석학개론 (2판 6쇄 ), 경문사, 조임정리에의하여 일때 이다. 정리 20.8 두함수, 가 에서해석적이고 라고하자. 만약 에서 이면 의적당한근방 에서도 이다. 증명양수 가존재하여 일때, 문서정보 만든이 : Sooji Shin, soojishin@live.com, 만든날 : 2011년 10월 6일 (1판, 1차수정 ) 이문서를개인학습용도로만사용하세요. 모든저작권은만든이에게있습니다. 이다. 가정에의하여, 는 에서연속이고 limlim 이다. 마찬가지로임의의 N에대하여 이다. 따라서 에대하여 이다. 정리 20.9 함수 가열린구간 에서해석적이고, 함수 가열린구간 에서해석적이며, 라고하자. 만약임의의 에대하여 이면임의의 에대하여 이다. 이명제를해석적확장이라고부른다. 증명일반성을잃지않고, 라고가정하자. 라고하면 이다. sup라고하자. 만약 이면 이존재하여 30