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은수 용
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1 Par III. 계량시계열모형 변동성모형 I. 변동성모형 ( ARCH and GARCH models) A. 변동성모형 변동성은자산수익의표준편차혹은분산으로측정되며금융자산의전체적위험 (risk) 에대한대체적인 (crude) 척도로종종사용됨. 주가, 환율, 인플레율등은주식투자자, 수출입업자, 거시경제당국등의입장에서볼때, 그평균적수준보다는변동성에더큰관심을가지게될수있음. 정상적시장여건에서주어진신뢰수준으로목표기간동안발생할수있는최대손실금액의계산을통해시장위험을측정하는다양한 VaR(value-a-risk) 모형들은변동성모수들에대한추정또는예측을필요로함 3. 거래되는옵션가격들을도출하기위한 Black-Schloes 공식에도주식시장가격들의변동성이들어가게됨 i 다양한변동성모형들이존재함. 과거변동성의단순평균을통해변동성예측치를추정하는모형 (hisorical volailiy). 단순평균이아닌지수적가중치를준이동평균을통해예측치를추정하는모형 (exponenially weighed moving average models) 3. 변동성에대한 ARMA 류의모형을추정하여예측치를만들어내는모형 (auoregressive volailiy models) 4. 거래된옵션가격들에서시사되는 (implied) 해당옵션의존재기간동안의변동성에대한예측치를만들어내는모형 (implied volailiy models) B. ARCH & GARCH 모형 가장폭넓게사용되는변동성모형 a. Daily S&P 500 Reurns for January 990 December 999 Reurn /0/90 /0/93 Dae 9/0/97

2 i ii iv. 대부분의금융시계열 ( 주식가격, 환율, 인플레율등 ) 은변동성군집 (volailiy clusering) 이라고하는현상을나타냄. 어떤기간동안상당한폭의변동성을보이다가상대적으로평온한기간이길게이어지는현상 a. 현재의변동성수준은직전시기들의변동성수준에양의상관관계 ( 자기상관 ) 를보인다는의미임대부분의통계적모형은해당확률변수의 ( 조건부 ) 평균값을모형화한것임. 자산을보유하는데따른위험의분석또는파생상품의가치의분석등에있어서는변동성이중요. 추정이나신뢰구간구축에있어서도분산의변동성 ( 즉이분산성 ) 을고려함으로써보다정확한추정이나신뢰구간의구축이가능해짐여기서제시하는모형은해당확률변수의조건부분산혹은변동성을모형화하는것임. 조건부분산 a. var e e, e,... E e e, e,... C. ARCH 모형 ARCH(Auoregressive Condiional Heeroskedasiciy) 모형은변동성에서의자기상관을모형화함에있어서, 조건부분산이직전의오차항의제곱값에의존하도록함 i ARCH 는 Engle(98) 에의해제시되었으며, 오차항의분산의현재값이이전의오차항의제곱값들에의존할것이라는자연스러운접근에서출발. 바로직전의오차항의제곱값에의존 : e ARCH() 0 ii 전체모형은조건부평균과조건부분산에대해두개의구별되는모형을포함함. Y X... k X k e 0, e N () (0, ). ARCH(q) () 0 e... qe q iv. ARCH 모형의문제점. ARCH 의차수를결정하는문제 뚜렷한해법은없음. 실제로필요한 q 값이상당히클수가있음 - 추정해야하는모수의수가너무많아지는문제 (parsimonious 하지않음 ) 3. 조건부분산이양이되기위한충분조건은- 추정모수가모두비음 (non-

3 negaive) 이어야하는데, 추정해야하는모수가많아지는경우이러한비음제약이충족되지않을수있음 D. GARCH 모형 ARCH 모형의문제점을극복하기위한자연스러운확장이며, Bollerslev (986) 와 Taylor(986) 에의해독립적으로제시됨. 오늘날 ARCH 는실제거의사용되지않고있으며, 반면에 GARCH 는광범위하게사용됨. GARCH 모형은조건부분산이직전의오차항의제곱값과함께자체시차값 (lagged values) 에의존하도록함 i GARCH(,) 모형. 표준적인 GARCH(,) 설정 : Y X... X e 0 k k, () i () e. 조건부평균에대한식 () 은외생변수및오차항의함수로표현됨 3. - 기까지알려진정보에기반한조건부분산의예측치는세가지 항의함수로표현되고있음 a. 상수항 : b. 이전기의변동성에대한새로운정보 : 조건부평균에대한 식으로부터의잔차의제곱으로측정됨 : e (he ARCH erm) c. 이전기의조건부분산에대한예측치 : (he GARCH erm) 4. GARCH(,) 의 (,) 은 차 GARCH 항과 차 ARCH 항의존재를가르키는것임 a. 통상의 ARCH 모형은 GARCH 모형의특별한경우로조건부분산방정식에시차조건부분산이존재하지않는경우임 b. 금융분야에있어서이러한모형설정은다음과같이해석됨 금융거래자가금융자산수익에대한이번기의분산을예측함에있어과거시기로부터예측된분산 (GARCH 항 ) 그리고이전기에관측된변동성에대한정보의가중합으로예측함 i 자산의수익이상방혹은하방으로예기치않게컸을경우, 금융거래자는다음기의분산에대한예측치를증가시킴 ii 이모형은금융자산의수익자료에서종종관찰되는변동성군집 (clusering) 과부합됨.( 즉수익의큰변동은미래의 3

4 추가적인큰변동으로이어짐 ) 5. 모형의해석에도움이되는분산방정식에대한다른표현들이있음 a. 분산방정식의오른쪽에대해시차분산들을순차적으로대체해나갈경우, ( ) j j e j 여기서볼때 GARCH(,) 모형은표본분산과유사하나현시점에서멀리떨어진오차항제곱에대해기하작적으로감소하는가중치를줌 i GARCH(,) 은 ARCH() 으로표현될수있음을의미. 그럼에도불구하고 GARCH(,) 모형은세개의파라메터만추정하면됨 (parsimonious),. 따라서비음제약도충족할가능성이높음 b. e. e ( ) e ii 오차항의제곱은이분산 ARMA(,) 과정을따름. + 의크기가충격의지속성을결정하게되는데많은실제경우에있어서이는 에가까운값을가지며, 따라서충격은상당히완만하게감쇄해나가게됨비조건부분산 (The uncondiional variance). GARCH(,) 모형에서의조건부분산은 a. b. 조건부분산은시간에따라변화하지만, 비조건부분산은시간 불변으로가정할수있으며, 비조건부분산을 E(E(X I)) = E(X) 임을이용하여 E E E I E E I c. + < 인경우에 / 이라하면, d. + 인경우에비조건부분산의존재하지않음 이경우분산에있어서의비정상성 (non-saionariy in variance) 라고명명할수있음 i 특히 + = 인경우분산에있어서의단위근혹은 Inegraed 4

5 iv. GARCH (IGARCH) 라부름 (G)ARCH 모형의추정. (G)ARCH 모형들은오차항이조건부정규분포를한다는가정하에최우추정법에의해추정함 Y X... X e k k 0, e I N 0, e l 이경우로그우도함수는다음과같이주어짐 ( Y 0 X log( ) log( )... X k k ) 단, ( Y 0 X... k X k ) v. GARCH(p, q) Model. GARCH(p, q) : ' [ Y ] [ X ] [ e ] p q j j j i e i i p : 는 GARCH 항의차수, q : ARCH 항의차수. 대부분의경우 GARCH(, ) 으로도변동성군집을잡아내는데충분하며, 그이상의고차 GARCH 모형은거의사용되지않음 II. GARCH 모형의확장 A. 분산방정식의추가적설명변수 기타다른변수들을분산방정식에포함시킬수있음 e i 문제는이모형의분산의예측치가양 (+) 이라는보장이없음. 따라서포함되는설명변수를항상 + 값을갖거나음의분산예측치를낳게될가능성을최소화하는형태로포함시키는것이바람직함. 예컨대 Z abs ) ( X i B. The (G)ARCH-M Model 조건부분산을조건부평균방정식에포함시키는경우 : ARCH-in-Mean (ARCH-M) model (Engle, Lilien and Robins, 987) Y X X 0... k k 5

6 . ARCH-M 모형은자산의기대수익이자산의기대위험과연관되는경우에종종사용됨. 기대위험에대한추정계수는위험-수익 radeoff 의척도임 3. ARCH-M 모형의변형은조건부분산대신에조건부표준편차를사용하는것임 C. 변동성모형에서의레버리지효과의고려 레버리지효과. 시장이참가자들의기대밖으로하락세에있을때 ( 음의충격의경우 ) 같은크기의양의충격에비하여변동성에훨씬더큰영향을미침. 일반적인 GARCH 모형은현재수익률의잔차항의 제곱 이미래수익률의변동성에영향을미치게되어있어조건분변동성에대한충격이양인지또는음인지에관계없이항상대칭적인효과를미치므로이러한레버리지효과를갖는경우예측에한계를가짐 i Exponenial Garch 모형 (EGARCH) (Nelson, D.B., 99, Economerica Vol. 59). 모형 a. r X : 조건부평균 (X: 설명변수벡터, : 파라메터 b. 벡터 ) ln ln c. 또는다음과같이표현하기도함 (EVIEWS) ln ' ln d. 이러한로그-로그형태의설정은추정모수가음수라해도조건부분산이양수임이보장된다는이점이있음. 있음 a. 라할때, 0 이면, ln 0 이면, 는 의부호에의해영향을받음을알수 ln 충격의부호에따라비대칭적으로반응하게됨 이고, 가되어 EGARCH 모형의변동성은 b. 귀무가설 H : 0 0 을검정함으로써비대칭적효과의존재 여부를확인할수있게됨 (가 일경우레버리지효과가존재함 ) 3. EVIEWS 를이용한 EGARCH 모형추정 6

7 a. GARCH-M(,) 모형추정시이용했던 Yen-Dollor 환율자료를사용하여 EGARCH 모형을추정해봄 b. GARCH-M 항의유의성이없는것으로나타났었으므로, 조건부평균식에서표준편차를제거해주고여기서는 EGARCH(,) 으로추정함 4. 그추정결과는다음과같이나타난다. r i ln ln ii Threshold Garch 모형 (TGARCH) (Glosen, Jaganahan, and Runkle (993), Journal of Finance Vol. 48) - GJR 모형이라고도불리움. GARCH 모형의틀안에서레버리지효과를고려 a. d, 0 d if 0 0 oherwise 7

8 b. 가 + 일경우레버리지효과가존재함. 같은자료를이용한추정결과임 r i d ii 이경우지속성파라메터는 /가됨 D. Componen 모형 비조건부분산이시간가변 (ime-varian) 한모형 a. GARCH(,) 모형에서의조건부분산이 와 같이주어질경우비조건부분산이시간가변하는경우 Componen 모형 q E E E I E E I q q 8

9 q q q i q q q - () ii q 는다음과같이묘사됨 q q - () iv. 식 () 의 q 는항상요소 (permanen componen) 로변동성의수준을나타내는지속적인과정이며, 일반적금융시계열의경우 의값은 에매우가까움 ( 극단적인경우 이라면 q 는임의보행과정이됨 ) v. 식 () 의 q 는일시적요소로서지수적으로급격히 0 으로수렴함. Eviews 에서 Componen 모형을대칭적인경우와비대칭적인경우 (TARCH) 에대해적용할수있음 a. SP500 지수와그주가수익률에대한자료 sp500.da 을이용하여다음과같이주가수익률에대한비대칭 componen 모형을다음과같이설정 r r : 조건부평균 (AR() 모형설정 ) i q qqd q (ransional componen) ii q q (permanen componen) b. 다음과같은추정결과를얻을수있음 r r i q q qd q ii q q

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