1 5. 원의넓이 [ 정답 ] 1. 5. 14cm, 해설참조. 4. 팔각 형 5. 해설참조 6. 4 배 7. 1 8. 46.6cm 9. 9cm 10. 4 11. 5 1. 1. 1:, : 7 14. 15. 원 16. 해설참조 17. 원 주의길이 18. 40.6cm, 해설참조 19. 0. 해설참조 ------------------------------------------------------------ [ 정답및해설 ] 1. 5 원주와지름의비율을나타내는원주율은모든둥근 물건이나둥글게움직이는것들에포함되며,.141596558979 와같이끝없는소수로나타난 다. 정밀한값을필요로하는상황에따라일의자리 까지, 소수첫째자리까지또는소수둘째자리까지 어림하여사용할수있다. 그러나편리함과정확성을 적절하게조화시켜사용하는수는소수둘째자리까 지인.14 이다. 1 정답 14cm 도출 반지름의길이 10cm 임을파악. 원의넓이구하는방법기술 ( 원의넓이 )=( 반지름 ) ( 반지름 ) ( 원주율 ) 지름이 9 인원의넓이는한변이 8 인정사각형의넓 이와같다고하였으므로원의넓이는 8 8=64 이다. ( 원의넓이 )=( 반지름 ) ( 반지름 ) ( 원주율 ) 이므로반지름 4.5= 일때, 64= ( 원주율 ), ( 원주율 )=64, ( 원주율 )= 4. 팔각형 제시된설명은그림과같이팔각형의넓이를원의넓 이로계산한것이다.. 14cm, 해설참조 ( 원주 )=( 원주율 ) ( 지름 ) 이므로 6.8 =.14 ( 반지름 ), 6.8 = 6.8 ( 반지름 ), ( 반지름 )=10. ( 원의넓이 )=( 반지름 ) ( 반지름 ) ( 원주율 ) 이므로 ( 원의넓이 )=10 10.14로 14cm 이다. 5. 해설참조 원기둥은겉넓이가가장작으면서부피가가장크다. 그러나원기둥은서로이어붙여놓으면틈새가생긴 - 1 -
다. 그래서벌들은원기둥과비슷하면서도공간낭비 가없는육각기둥으로집을짓게된것이다. 우리가마시는음료수캔대부분은바닥이원모양이 다. 캔의모양이둥글면손에쥐기가편해들고다니 며마시기도쉽다. 또운반중에캔에상처가생기지 않게하기위한이유도있다. 캔을운반할때보통트 럭에수백상자를넣어한꺼번에운반하게되는데캔 은둥근모양이어서상처가생기지않는다. 만약캔의 모양이삼각형이나사각형이라면서로의면이붙게 상자에넣어서운반을하기때문에큰충격을받게 되면캔전체에충격이전해져모두망가지기쉽다. 그러나캔이둥근모양을하고있으면서로닿는면 적이적고충격을완화시키기때문에훼손되지않고 안전하게목적지까지운반할수있다. 둘레가같은평면도형중에서원의넓이가가장넓음. 공간이용의효율성 원의넓이를어림하는방법은, 원에포함되는최대한의모눈의수와원을포함하는최소한의모눈을세어원의넓이가그사이에속할것이라고어림하는것이다. 본문제에서원안에포함된최대한의모눈의수는 164개이고원을포함하는최소한의모눈의수는 4개이다. 모눈하나의넓이가 1cm 이므로원의넓이는 164cm 보다는크고 4cm 보다는작아야한다. 8. 46.6cm 이문제에서는반원전체의둘레의길이를구해야하 므로원주의길이의 뿐아니라지름에해당하는 18cm를더해주어야한다. 원주의길이는 ( 지름 ) ( 원주 율 ) 이므로 9.14= 56.5cm이고, 이것의 은 8.6cm이다. 지름의길이 18cm를더해총 46.6cm 이다. 채점시 유의사항 벌집의형태를원의넓이와관련지어설 명해야한다. 9. 9cm 6. 4 배 앞바퀴의지름이 15cm이고, 뒷바퀴의반지름이 0cm 일때, 앞바퀴원주의길이에대한뒷바퀴원주의비율을구해야한다. 앞바퀴의원주는 15 ( 원주율 ) 이고뒷바퀴의원주는 0 ( 원주율 )=60 ( 원주율 ) 이므로 60은 15의 4배이라고할수있다. 7. 1 모눈종이를이용하여원의넓이를어림할수있다. 이는정확한원의넓이를구하는방법은아니지만유용하게활용할수있다. 모눈종이의모눈수를이용하여 사다리꼴의넓이가 96cm 이다. ( 사다리꼴의넓이 )= {( 윗변 )+( 아랫변 )} ( 높이 ) 이고, 원의지름의길이와사다리꼴의높이가동일하므로 96=(16+8) ( 반지름 ), 96=44 ( 반지름 ), ( 반지름 )=9cm이다. 10. 4 본문제는원주율과원주의관계를묻는문제이다. 원주율은통상적으로소수둘째자리까지반올림하여사용하지만, 원주율이자세할수록보다정확한원주의값을구할수있다. 보기중에서원주율인약.14159655 와가장근사한값을찾으면된다. 의값은.1485714 이므로.14보다는원주율에가깝지만.141보다는가깝지않다. - -
1 5. 원의넓이 11. 5 본문제는다각형의넓이를이용하여원의넓이를어림하는방법에대해묻는다. 원의넓이는원에내접하는정육각형의넓이보다크고원에외접하는정육각형의넓이보다작다. 원에내접하는정육각형의넓이는삼각형ㄴㄹㅇ의 6배인 84cm 이며, 원에외접하는정육각형의넓이는삼각형ㄱㅇㄷ의 6배인 108cm 이다. 따라서 84cm < ( 원의넓이 ) < 108cm 이라고어림할수있다. A와 B의굴렁쇠가연결되어있어, A의굴렁쇠가돌아감에따라 B도함께돈다. 두굴렁쇠는각각의원주를따라같은길이만큼돌아가기때문에돌아간바퀴수와원주의길이의관계를이용하여 A의반지름의길이를이용하여 B의반지름의길이를구할수있다. A 가 5바퀴돌때벨트를지나간길이는 (A의원주 ) 5=6 ( 원주율 ) 5이다. B가 6바퀴돌때벨트를지나간길이는 (B의원주 ) 6=( 반지름 ) ( 원주율 ) 6 이고두길이는같다. 즉, 0 ( 원주율 )=( 반지름 ) 6 ( 원주율 ), 0cm=( 반지름 ) 6, ( 반지름 )=5cm 이다. 15. 원 1. 큰원은지름이 8cm이므로반지름이 4cm이고, 작은원의경우, 작은원의지름 + 큰원의반지름 (4cm) = 10cm 이므로작은원의지름 =6cm이고반지름은 cm이다. 따라서큰원의넓이는 4 4.1=49.6cm, 작은원의넓이는.1=7.9cm 이고, 두원의넓이의합은 77.5cm 이다. 1. 1:, : 7 본문제는원의지름의길이와원주의길이사이의관계를묻는다. 원의지름의길이와같은길이의끈들로원주를두른다면, 원주율인약.14개의끈이필요할것이다. 문제를해결하기위해서는원주율을끈 1 과 개로표현할수있어야한다. 1은자연수부분이 므로 이고, 은 6일경우약 0.1666 이고 7일경우약 0.148 이며, 8일경우 0.15 이므로 에들어갈가장적절한한자리자연수는 7이다. 14. 둘레의길이가각각 1m인정삼각형, 정사각형, 원안에탁구공을넣어넓이를비교하면정삼각형에는 8 개, 정사각형에는 6개, 원에는 47개의탁구공이들어간다. 16. 해설참조 새로운규칙을만들기위해서는규칙을구성하는기본단위를다양화할수있다. 예를들면, 와같이기본단위를두가지이상의형태로구성할수있다. 그이유는하나의형태의경우그모양에상관없이 ( ) 배, ( ) 배, (4 4) 배, 의규칙이적용되기때문이다. 또는, 규칙을구성하는각단계의기본단위의개수를변화시킬수있다. 예를들면, - -
1 풀이과정에두반지름의길이합산포함 풀이과정에원주의일부분의길이구하는방법또는식기술 정답 (40.6) 도출 와같이변화하는기본단위의개수에변화를준다. 무엇을 : 기본단위의형태또는개수어떻게 : 형태를 가지이상으로구성또 는개수의변화에대한설명제시 채점시 유의사항 17. 원주의길이 아르키메데스는 원의넓이는밑변이원주이고높이가 반지름인직각삼각형의넓이와같다. 를제시된그림 으로증명하였다. 직각삼각형의넓이는 ( 밑변의길 이 ) ( 높이 ) 이므로, ( 밑변의길이 ) 가 ( 원주의길이 ) 와 동일할때 ( 원주의길이 ) ( 높이 = 반지름 ) = ( 지름 ) ( 원주율 ) ( 반지름 ) =( 반지름 ) ( 반지름 ) ( 원주율 )=( 원 의넓이 ) 이다. 새로운규칙을만들기위해변형할수 있는요소는기본단위형태의다양화또 는기본단위구성개수의변화이다. 기본단위의색칠된부분의넓이에상관 없이하나의형태로제시된것과동일한 배열을할경우규칙을새롭게변형할수 없다. 19. 가 도형에서큰원의넓이는반지름의길이가 4cm 이므로 16 ( 원주율 )cm 이고, 작은두원의넓이는각각반지름이 cm 이므로 4 ( 원주율 )cm 이다. 따라서색칠된부분의넓이는 8 ( 원주율 )cm 이다. 나 의넓이는역시큰원의넓이는 16 ( 원주율 )cm 이고, 내부에는반원 4개이므로반지름이 cm인원 개와같다고할수있다작은원하나의넓이는 8 ( 원주율 )cm 이므로 나 의색칠된부분도마찬가지로 8 ( 원주율 )cm 이다. 다 의넓이는큰원의넓이는동일하게 16 ( 원주율 cm ) 이나, 그림의아래부분을왼쪽으로 4cm 이동시키면반지름이 cm인작은반원한개가되어 다 의색칠된부분의넓이는 1 ( 원주율 )cm 이다. 0. 해설참조 18. 40.6cm, 해설참조 ( 원주의길이 ) +( 반지름 ) =.14 6 +6 = 40.6 가장안쪽레인에서 1000m 달리기를하는학생은 (100+50 +100) +00 즉, 운동장 바퀴를돌고 00m 더달리면된다. 반면에안쪽레인과 4레인차이나는가장바깥쪽레인에서달리는학생은 (100+58 +100) +5 즉, 운동장 바퀴를돌고 - 4 -
5m 더달리면된다. 따라서한명은가장안쪽에서달리고한명은가장바깥쪽에서달리며출발지점을바깥쪽에서달리는학생이약 48m 더앞으로나아간위치로배치하면된다. 채점시유의사항 달리는레인의위치에따른운동장원형부분의원주의길이를적절히고려했는가? 거리상의공정성을위해두학생에게제시할위치및거리상의조건의차이를정확히계산하여제시했는가? 출발지점을조정할수도있고, 도착지점 을조정할수도있다. 채점시중요한것 은두학생간의거리의차이의공정성이 다. 그림으로제시할수도있고, 글로기술 할수도있다. 그러나레인의정보와거리 의정보가모두포함되어있어야한다. 출제선생님 : 서울삼전초등학교이주영 검수선생님 : 서울용원초등학교이현주 --------------------------------------------------------- - 5 -