1 경우의수 1 2 사건 A, B 가동시에일어나는경우 A B 3 사건 A 가일어나지않는경우 A c 제 7 장 순열과조합 학습목표 사건이일어나는모든경우의수를헤아리는것은 확률의가장기초적인단계입니다. 따라서경우의 수를효과적으로구할수있는방법가운데하나인 순열과조합을배우게됩니다. 1. 합의법칙과곱의법칙을이해하고, 이를이용 하여경우의수를구할수있다. 2. 순열의뜻을알고, 순열의수를구할수있다. 3. 중복순열, 원순열, 같은것이있는순열을이해 하고, 그순열의수를구할수있다. 4. 조합의뜻을알고, 조합의수를공식으로구할 수있다. 5. 이항정리를이해하고, 이를이용하여여러가지 문제를해결할수있다. 단원지도의유의점 1. 일어나는모든경우를빠짐없이중복되지않게분류하고 정리하는수학적사고를할수있게한다. 2. 순열과조합은복잡한상황보다는쉽고대표적인문제에서 사고력을기를수있도록한다. 3. 이항정리는이론적으로나실질적으로널리응용되는중요한 정리이므로 nc r 의정의와성질을철저하게지도한다. 1 경우의수 [ 참고 ] 사건을집합으로표시하면보다체계적이고효 율적으로경우의수및확률을구할수있습니다. 사건을집합의개념으로다루기때문에집합의연산을 이용하여주어진사건으로부터새로운사건을표현할 수도있는장점이있죠. 예를들어사건 A 는일어나고사건 B 는일어나지않 을사건 A B c = A B 1.2 경우의수 어떤사건이일어날수있는모든경우의가지수를 그사건의경우의수라고합니다. 경우의수를구할때는모든경우를 1 빠 짐 없 이, 2 중 복 되 지 않 게고려해야합니다. 경우의수구하기 - 첫번째방법 모든경우를나열해서가지수를세면됩니다. 모든경우의수문제풀이의대원칙은추상적으로생각만하 고있을것이아니라구체적으로나열해보는것입니다. 나열하다보면규칙성이발견되는경우가많습니다. 그규칙성으로 인하여모두를나열하는수고로움을덜수있죠. 규칙적으로나열하는방법가운데하나가사전식배열법입니다. [ 문제 1] 서로다른두주사위를동시에던질때, 나오는눈의 합이 4 의배수가되는경우의수는? 1 5 가지 2 6 가지 3 7 가지 4 8 가지 5 9 가지 경우의수는순열조합의기본이되므로일어나는경 우의수를빠짐없이찾아보는연습을하기바랍니다. 1.1 사건 1) 사건의뜻 : 어떤실험이나관찰에서주어진조건을만족하는집 합 2) 사건과집합사건 A 가일어나는모든경우의집합을 A, 사건 B 가일어나는모든경우의집합을 B 라하면 1 사건 A 또는 B 가일어나는경우 A B 경우의수구하기 - 두번째방법수형도를이용해가지수를셀수있습니다. 경우의수구하기의첫번째방법이무작정나열해본다는것이었는데때로는이렇게나열하면헷갈리는경우가있습니다. 이때사용할수있는방법이나무모양의그림, 수형도를그려보는것입니다. [ 문제 2] A, B, C 세사람이가위, 바위, 보를할때, 일어날수있는모든경우의수는?
2 제 7 장순열과조합 [ 문제 3] A, B,, H 지점이다음그림과같이도로로연결되어있을때, A 에서 B 에이르는방법의수를구하여라. ( 단, 한번지난지점은다시지날수없다.) 네개의도시 A, B, C,D 사이에아래그림과같은도 로가있다. 도시 A 에서도시 C 로가는방법의수는? 1.3 합의법칙 [ 문제 8] A, B, C, D 네마을이다음그림과같이도로로연결되어있다. 버스가 A 마을을출발하여 B, C 두마을을모두거쳐 D 마을에도착하는방법의수를구하여라. 사건 A 가일어나는모든경우를집합 A, 사건 B 가일어나는모든경우를집합 B 로나타낼때, A 또 는 B 가일어나는경우의수는 n(a B) = n(a) + n(b) n(a B) [ 문제 4] 1에서 60까지의자연수중에서한개의숫자를선택할때, 다음경우의수를구하시오. (1) 3의배수또는 4의배수를선택하는경우의수 (2) 12의배수또는 13의배수를선택하는경우의수 [ 문제 5] 두개의주사위를던졌을때, 나오는눈의수의합이 4 또는 9가되는경우의수를구하여라. 1.4 곱의법칙사건 A 가일어나고그각각의경우에대하여동 시 에 ( 함 께 ) 연이어, 연속적으로사건 B 가일어나는경우의수는 n(a) n(b) [ 문제 6] 세개의도시 A, B, C 사이에아래그림과같은도로가있다. 도시 A에서도시 C로가는방법의수는? [ 문제 9] 4종류의일간신문과 3종류의월간잡지가있다. 각 각한가지씩택하여정기구독하려고할때, 택하는 방법은모두몇가지인가? 1 1 3가지 2 4가지 3 7가지 4 10가지 5 12가지 [ 문제 10] 선희는생일을맞은친구에게선물을사주려고문구 점에갔다. 문구점에는볼펜이 5종류, 연필이 4종류, 필통이 3종류있었다. 볼펜, 연필, 필통을각각한종 류씩사서선물하는방법은몇가지인가? 2 [ 문제 11] 72의양의약수는모두몇개인가? 1 8개 2 12개 3 16개 4 24개 5 30개 정수 N = a α b β 에있어서양의약수의개수는 (α + 1)(β + 1) [ 문제 7] 1. 5 2. 60 가지
2 순열 ( 順列, Permutation) 3 [ 문제 12] 100원짜리동전 1개, 50원짜리동전 2개, 10원짜리동전4개를사용하여거스름돈없이지불할때, 다음을구하시오. ( 단, 0원을지불하는것을제외한다.) (1) 지불방법의수 (2) 지불할수있는금액의수 [ 문제 13] 500원짜리 3개. 100원짜리 7개, 10원짜리 4개가있을때, (1) 이동전의일부또는전부를써서지불할수있는방법의수와, (2) 지불할수있는금액의수는? 1 2.2 계승 ( 階乘, Factorial) 3명의학생 A,B,C 를한줄로세우는방법은다음과같이 6가지입니다. ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA 첫번째자리엔 3명중아무나올수있으므로 3가지이고, 그각각에대하여두번째자리엔나머지 2명중아무나올수있으므로 2가지, 세번째자리엔남은 1 명이들어가면되므로 1가지이죠. 빈박스채우기방법이이해하는데효율적입니다. 따라서구하는경우의수는 3 2 1 = 6 가지입니다. 이것을 3! 로나타내고 3 factorial( 계승 ) 이라고읽습니다. 다음과같이동전이있을때, 지불할수있는금액의수를구하여라. (1) 100 원 1 개, 10 원 3 개 2 4 1 = 7( 가지 ) (2) 100 원 1 개, 10 원 8 개 2 9 1 = 17( 가지 ) (3) 100 원 1 개, 10 원 9 개 2 10 1 = 19( 가지 ) (4) 100 원 1 개, 10 원 10 개 2 11 1 = 21( 가지 ) 오류 10 원짜리로전부바꾸면 10 원짜리가 20 개인경우 20( 가지 ) (5) 100 원 1 개, 10 원 13 개 2 14 1 = 27( 가지 ) 오류 10 원짜리로전부바꾸면 10 원짜리가 23 개인경우 23( 가지 ) (6) 500 원 3 개, 100 원 7 개, 10 원 10 개 4 8 11 1( 가지 ) 오류 모든돈을 10 원짜리로바꾼다음지불하면 150+70+10 = 230( 가 지 ) (7) 500 원 1 개, 100 원 3 개, 50 원 5 개 2 4 6 1( 가지 ) 오류 500 원 1 개지불금액의수 : 2, 100 원 3 개와 50 원 5 개지불 금액의수 : 12 지불금액의수 : 2 12 1( 가지 ) 오류 모든돈을 50 원짜리로바꾸어지불하면 500+300+250 50 = 21( 가지 ) 2 순열 ( 順列, Permutation) 순열이란순서를고려하여나열하는것 2.1 순열의역사 경우의수를따지는것이일상생활에서매우중요하다 는것은옛날부터잘알려진사실인데, 이른바수학으 로서의순열 조합을처음으로발견한것은 12 세기의 인도의수학자 A. 바스카라라고합니다. 이바스카라 는인도의대표적수학자으로서 10 진법을체계적으로 사용한것으로알려지고있죠. 순열과조합을이론적으로연구되기시작한것은 17 세기에들어와서인데, B. 파스칼, G.W. 라이프니츠, J. 베르누이등에의하여이루어졌으며 18 세기가되어서 야비로소그체계가수립되었다고합니다. 계승 ( 階乘 ) 을차례곱이라고도하는데 1부터 n 까지의연속된자연수를차례로곱한다는뜻입니다. 서로다른 n 개를한줄로나열하는총수는 n!= n(n 1)(n 2) 3 2 1 2.3 순열 4명의학생 A,B,C,D 중 2명을뽑아한줄로나열하는 ( 세우는 ) 방법은다음과같이모두 12가지입니다. AB, AC, AD, BA, BC, BD, CA, CB, CD, DA, DB, DC 역시빈박스채우기방법이효율적입니다. 첫번째자리엔 4명중아무나올수있으므로 4가지이고, 그각각에대하여두번째자리엔나머지 3명중아무나올수있으므로 3가지이죠. 따라서구하는경우의수는 4 3 = 12 가지입니다. 이것을 4개에서 2 개를택하는순열 ( 順列, Permutation) 이라하고그경우의수를 4 P 2 로나타냅니다. 즉, 4 P 2 = 4 3 = 12 [ 순열의정의 ] 순열 ( 順列 ) 의수 n P r 은서로다른 n 개의원소중에서서로다른 r 개를뽑아서한줄로세우는경우의수이며당연히 n r 이어야합니다. np r = n(n 1)(n 2) (n r + 1) 1. (1) 159, (2) 114
4 제 7 장순열과조합 [ 순열의정의 ] 순열의수 n P r 의정의는빈박스채우기방법으로써기억하는것이편리합니다. np r 의공식정리 1 n P r = n(n 1)(n 2) (n r + 1) = n! (n r)! ( 단, 0 < r n) 이공식은순열의실제문제 3 개의문자 a,b, c 에서 2 개를뽑아서나열하는방법 (= 순열 ) 과뽑는방법 (= 조합 ) 8 순열 : 뽑아서나열하는방법 ( 순서를고려하는것 ) : >< ab, ba, ac, ca, bc, cb 6 가지 >: 조합 : 뽑는방법 ( 순서를무시하는것 ) : ab, ac, bc 3 가지 [ 문제 14] 5 개의숫자 1, 2, 3, 4, 5 에서 2 개를뽑아나열하는순 열은? [ 문제 15] 1, 2, 3, 4, 5 의다섯개의숫자중에서서로다른네 숫자를이용하여만들수있는네자리의자연수는모 두몇개인가? 1 [ 문제 16] 6 명의계주선수중에서제 1 구간, 제 2 구간, 제 3 구간 을각각뛸선수 3 명을선발하는방법의수는? 2 [ 문제 17] 5 명의학생이특별활동부서인방송반, 사진반, 축구 반가운데어느하나를선택하는방법의수는? 5P 2 를 factorial로나타내면다음과같습니다. 5P 2 = 5 4= 5 4 3 2 1 = 5! 3 2 1 3! 서로다른 n 개에서 r 개를택하는순열을계승을이용 하여구해봅시다. np r = n(n 1)(n 2) (n r + 1) = n(n 1)(n 2) (n r+1) (n r)(n r 1) 3 2 1 (n r)(n r 1) 3 2 1 n! (n r)! 특히, n 개를한줄로나열하는총수는 n! 이므로 n!= n P n = n(n 1)(n 2) 3 2 1 = n! (n n)! = n! 0! 따라서 0!= 1 로정의합니다. 무조건기억하세요. 왜냐? 정의니까! 0! = 1 또, n P 0 = n! (n 0)! = n! n! = 1 입니다. 서로다른 n 개가운데 0 개를선택하여나열하는경우라는것 은선택하지않고그냥있는 1 가지경우이라고생각하셔도무방 합니다. = 풀이에는별로쓸모가없고증명에자주사용합니다. 2 n P n = n! 3 0! = 1 4 n P 0 = 1 다음에배울중복순열이나조합등에 서도유사한공식이있습니다. 즉, n Q0 = nc 0 = nh 0 = 1 0 이있으면무조건값이 1 이된다는점을꼭기억해두 세요. np r = n(n 1) (n r + 1) 에서끝인수에유의하세요. n P r = n! (n r)! np r (n r)! = n! 어떻게이해하면될까요? 서로다른 n 개에서 r 개를선택하여나 열하고, 나머지 (n r) 개를모두나열하는것 ((n r)!) 은전체 n 개를나열하는것 (n!) 과같습니다. [ 문제 18] 다음등식이성립함을증명하여라. (1) n P r = n n 1 P r 1 (2) n P r = n 1 P r + r n 1 P r 1 (3) n n! = (n + 1)! n! (4) n P r = (n r + 1) np r 1 응용 : 나열한다하면순열을생각한다. [ 문제 19] 5 명의학생중 3 명을뽑아일렬로나열하는 ( 세우는 ) 방법의수는? 응용 : 이웃한다하면한 묶 음으로생각한다. [ 문제 20] 남자 4 명, 여자 3 명을일렬로세울때, 여자 3 명이이 웃하여서는경우의수는몇가지인가? [ 문제 21] 1. 120 개 2. 120 가지
2 순열 ( 順列, Permutation) 5 서로다른 6 개의교과서를책장에꽂을때, 특별한 3 권이서로이웃하게놓이도록꽂는방법의수는? [ 문제 27] 5 개의문자 a, b, c, d, e 를일렬로배열할때, a 와 b 사이에 2 개의문자가들어가는방법의수는? 2 응용 : 이웃하지않는다하면나머지를먼저 나열한다. 1 16 가지 2 18 가지 3 20 가지 4 24 가지 5 28 가지 이웃하지않도록 끼워넣는다 의개념 [ 문제 22] 남자 4 명, 여자 3 명을일렬로세울때, 여자 3 명의이 웃하지않도록서는경우의수를구하여라. 응용 : 0 이포함된숫자문제에서는첫자리에 0( 영 ) 이올수없음을유의한다. 모든경우의수문제풀이의철칙 먼저문제가요 구하는형태를파악한후풀이를생각합니다. 응용 : 거시기로시작해거시기로끝난다하면나머지만나열한다. 거시기에연연하지말자. 무사태평 개념 [ 문제 23] A, B, C,D, E, F를모두써서만든순열중 A로시작해 B로끝나는것은몇개인가? [ 문제 24] TOMORROW 를일렬로배열할때, 양끝에모음이오는경우의수를구하여라. 1 응용 : 적어도하나하면반대로생각한다. 집합단원에서 적어도 라는말이있으면여집합을생각하여빼듯이 [ 문제 25] korea의모든문자를써서만든순열중적어도한쪽끝이자음인것은몇개인가? 응용 : 둘사이에몇개가끼인다하면끼워준뒤한묶음으로본다. [ 문제 26] 8개의문자 worldcup의모든문자를써서만든순열중 w와 d 사이에 3개의문자가들어있는것은몇개인가? [ 문제 28] 네개의숫자 0, 1, 2, 3 를모두써서만들수있는네 자리의정수는몇개인가? [ 문제 29] 0, 1, 2, 3, 4 의다섯개의숫자중에서서로다른네 개의숫자를사용하여만들수있는네자리의수는 모두몇개인가? 3 정리 - 순열의응용 1. 나열한다하면순열을생각하세요. 2. 이웃한다하면한묶음으로생각 묶기 3. 이웃하지않는다하면나머지를먼저나열 끼워넣기 4. 뭐로시작해뭐로끝난다하면나머지만나열 무사태평 5. 적어도하나하면반대로생각 반대로생각하기 6. 둘사이에몇개가끼인다하면끼워준뒤한묶음으로! 묶기 7. 0 이포함된숫자문제에서는첫자리에 0( 영 ) 이올수 없음을유의 위의방법들의핵심은무엇일까요? 묶음, 무사태평등의방 법은 단 순 화의한종류인것같구요, 끼워넣기, 반대로생각하기 등의방법은 역 발 상의한종류인것같습니다. 흔히우리는이웃한다고하면어떻게이웃한다는것인지에관심을 갖게됨으로써복잡하게생각하게되고, 역시이웃하지않는다고 할때도이웃하지않으려고노력하면서생각이얽히게되는것입 니다. 1. 360 가지 2. 4 3. 96 개
6 제 7 장순열과조합 수학에서어떤종류의문제이든지단순화의방법은굉장히중요 하고결정적인방법입니다. 또한역발상혹은거꾸로생각하기의 방법또한문제를해결하는데있어서유용한방법이지요. [ 문제 33] 서로다른 7 가지색을모두사용하여다음그림과같 은큰원내부의 7 칸을칠하는방법의수를구하여라. 2.4 원순열 3 명의학생 A,B,C 를원형의탁자에앉히는경우를 생각해봅시다. 우선, 3 명을한줄로세우는방법은 ABC, BCA, CAB, ACB, CBA, BAC 로서 3!= 6 가지입니다. 그러나이들을원탁에앉히면 ABC, BCA, CAB 는시계바늘이도는방향으로따졌을때같은순열이되죠. [ 문제 34] 다음그림과같이공을 3 개의대원으로 6 등분하여 6 가지색으로칠하는방법은모두몇가지인가? 즉, 3! 중에서같은것이 3 개씩있으므로구하는순열 의개수는 3! 3 = 2!= 2 가지입니다. 서로다른 n 개를원형으로배열하는순열의총수 는 n! n = (n 1)! 1 60 가지 2 70 가지 3 78 가지 4 84 가지 5 96 가지 일렬로배열하는순열이아닌원순열의경우에는 하 나 를 고 정시키는순열을생각하세요. 즉, 원순열을순열로바꾸는방법은하나를고정시키면됩니다. [ 문제 30] 다섯사람이원탁에둘러앉는방법은모두몇가지 인가? [ 문제 31] 남학생 3 명과여학생 3 명이원형의탁자에둘러앉을 때, 남녀가교대로앉는방법의수는? 1 8 가지 2 10 가지 3 12 가지 4 14 가지 5 16 가지 2.5 다각형순열 원순열의발전된변형 1 다각형순열이란다각형위에나열하는순열서로다른 n 개를다각형의둘레에배열하는순열 2 다각형의순열의수 ( 원순열의수 ) ( 구별되는것의개수 ) 하나를고정시키는순열 ( 원순열 ) 과동시에고정되는그하나가배열되는방법의수를생각하세요. [ 문제 35] 6명의학생을다음그림과같이정삼각형모양의탁자에앉히는방법의수를구하여라. [ 문제 32] 남자 5 명과여자 5 명이원탁에앉을때, 남녀가교대 로앉는방법의수는? 1 1 1230 가지 2 1680 가지 3 1960 가지 4 2350 가지 5 2880 가지 [ 문제 36] 1. 5
2 순열 ( 順列, Permutation) 7 10 명의가족이아래그림과같이앉는방법은몇가 지인가? 5 개의숫자 0, 1, 2, 2, 2 를모두써서만들수있는다 섯자리의정수는몇개인가? [ 문제 42] 크기가대, 중, 소인세개의주사위를동시에던졌을 때, 그눈의합이 9가되는경우의수는? 1 16가지 2 20가지 3 25가지 4 28가지 5 32가지 2.6 같은것을포함한순열 전부다르다고생각하면쉽지않을까요? 같은것이몇개씩있는순열을생각해봅시다. 4 개의문자 A,A,A,D 를한줄로나열하는방법은다 음과같이 4 가지입니다. AAAD, AADA, ADAA, DAAA 만일 4 개의문자가 A 1, A 2, A 3, D 로서모두다르다면 4! 가지의순열이나올것입니다. 그중에서 A 1, A 2, A 3 를배열하는 3! 가지의순열은 모두 AAA 로서 1 가지가되죠. 따라서구하는순열의총수는 4! 3! = 4 가지입니다. n 개를나열하는순열의총수는 p!q!r! n! 전부다르다고보고일렬로배열하세요. 그다음실제같은 것이배열된개수만큼나눠주세요. 왜나눠주어야할까요? [ 문제 43] 8단으로된계단을한걸음에 1단또는 2단씩올라간 다면, 이계단을오르는방법의수는? 1 34가지 2 36가지 3 38가지 4 40가지 5 42가지 응용 : 순서가정해진순열문제 [ 문제 44] soccer의 6개의문자를모두써서일렬로나열한것 중 o가 e보다앞에있는것은몇가지인가? 처음에전부다르다고보고일렬로배열할때 동시 개념으로 곱해주었기때문이죠. [ 문제 37] 영문자 F, R, E, E를일렬로배열하는방법의수는? [ 문제 38] people의 6개의문자를모두써서일렬로나열하는방법은몇가지인가? 1 [ 문제 39] 여섯개의문자 aaabbc 를일렬로배열하는방법의수는모두몇가지인가? 2 [ 문제 40] 6개의숫자 1, 1, 2, 2, 2, 3을모두써서만들수있는여섯자리의정수는몇개인가? 3 [ 문제 41] [ 문제 45] STUDY 라는단어의다섯개의문자를일렬로배열할때, 세문자 S, T, D를 SUTYD, YSUTD 등과같이반드시 S T D의순서로배열하는방법은몇가지인가? [ 문제 46] 5개의숫자 1, 2, 3, 4, 4를모두사용하여일렬로배열할때, 1 2 3의순서가유지되는방법의수를구하여라. [ 문제 47] 5개의문자 a, b, c, d, e 를모두써서사전식으로나열할때, cebda 는몇번째에있는가? 1. 180 가지 2. 60 가지 3. 10 개
8 제 7 장순열과조합 1 65 번째 2 67 번째 3 68 번째 4 69 번째 5 70 번째 [ 문제 48] 1, 2, 3, 4, 5, 6의 6개의숫자중에서네개의숫자를써서자연수를만들때, 2314보다큰수는모두몇개인가? ( 단, 같은수는두번이상쓰지않기로한다.) 1 50 가지 2 60 가지 3 70 가지 4 80 가지 5 90 가지 1 167 개 2 194 개 3 234 개 4 287 개 5 316 개 [ 문제 52] 다음그림과같은도로망이있다. 응용 : 최단경로문제 경로에번호넣기방법이효율적 [ 문제 49] 다음그림과같은도로망이있다. A 에서출발하여 C 는반드시지나지만, D 는지나지 않고 B 까지최단거리로가는방법의수를구하여라. 2.7 중복순열 중복순열이란중복을허락하는순열 A에서출발하여 B로가는최단경로는몇가지인가? 1 35가지 2 38가지 3 42가지 4 45가지 5 48가지 [ 문제 50] 아래그림과같은도로망이있다. A에서 B까지가는 최단경로는몇가지인가? 빈박스채우기방법이보다효과적입니다. 4개의숫자 6, 7, 8, 9를중복하여써서 3자리수를만들어봅시다. 중복이허락되므로백, 십, 일의자리각각에는 4개의숫자가마음대로올수있어요. 따라서 4 4 4 = 64 가지입니다. 이것을서로다른 4개에서 3개를택하는중복순열이라하고그총수를 4 3 로나타냅니다. ( 기호는파이라고읽어요. 일반적으로, 서로다른 n 개에서 r 개를택하는중복순열의총수는 n r = nr 입니다. 응용 : 중복을허락하는숫자문제 [ 문제 51] 다음그림과같은도로망이있다. A에서 B에이르는최단거리의가짓수는? ( 단, 어두운구역은통과할수없다.) [ 문제 53] 중복을허락하여 0,1,2,3,4 의숫자로만들수있는세 자리의정수는몇개인가?
3 조합 9 응용 : 함수와일대일함수의총개수 [ 문제 54] 정의역이 X = {a, b, c}, 공역이 Y = {1, 2, 3, 4} 인함수에대하여 1) 일대일함수는몇개인가? 2) 함수는모두몇개인가? 3 조합 5명의학생 A,B,C,D,E 중에서 3명의청소당번을뽑는방법은다음과같이 10가지입니다. ABC, ABD, ABE, ACD, ACE, ADE, BCD, BCE, BDE, CDE 이를 5개중 3개를택하는조합 ( 組合 Combination) 이라하고그총수를 5 C 3 으로나타냅니다. 즉, 5 C 3 = 10 응용 : 함수의개수문제의변형문제 - 몇명을몇군데에배정하는문제 [ 문제 55] 세명의학생 a, b, c를 1반과 2반에배정하는방법의수는? [ 문제 56] 두종류의모스부호, 에서중복을허락하여 5개를택해만들수있는부호는모두몇가지인가? 1 Combination 보다는 Choice라고생각하는편이개념파악에더쉽습니다. 이 10가지중 ABC 의경우나열하는순서를생각하면 ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA 처럼앞서배운대로 3! 만큼경우의수가얻어지죠. 다른것들도이렇게순서를지어나열하면그총수는 5C 3 3!= 60 가지가되는데, 이는곧 5개에서 3개를택하는순열의총수가됩니다. 따라서 5 C 3 3!= 5 P 3 이성립하게되죠. 5 P 3 을구하기위해서는우선 5 C 3 이라는선택을하고, 그선 택된 3 개를순열한다고생각하면좋을것같습니다. [ 문제 57] 파랑, 흰색, 빨강의 3 가지깃발을 5 번들어서만들수 있는신호의수를구하면? 2 서로다른 n 개에서 r 개를택하는조합의총수는 nc r = npr r! = n! r!(n r)! [ 문제 58] 3통의편지를 A, B 두우체통에넣는방법은모두몇가지인가? 3 1 3가지 2 5가지 3 6가지 이것으로부터다음사실을알수있습니다. r = 0 이면 n C 0 = n P 0 0! = 1 r = n 이면 n C n = n P n n! = 1 4 8 가지 5 10 가지 [ 문제 61] 다음등식이성립함을증명하여라. [ 문제 59] nc r = n C n r (0 r n) 다섯자리의이진법의수는모두몇개인가? [ 문제 60] 기호 와 를 1 개이상 4 개이하로사용하여만들수 있는신호는모두몇가지인가? 3.1 조합의응용 응용 : 뽑는다하면조합을생각한다. 뽑는다하면조합을생각하고나열하다하면순열을 생각하세요. 1. 32 가지 2. 243 개 3. 4
10 제 7 장순열과조합 [ 문제 62] 남자 4명, 여자 6명중에서남자 2명, 여자 3명을뽑는방법은몇가지인가? 응용 : 몇명이포함된다하면나머지에서나머지를뽑는다. [ 문제 63] 7가지무지개색중에서 4가지색을뽑을때빨강과노랑이포함되는경우는몇가지인가? 응용 : 적어도하나하면반대를생각한다. [ 문제 64] 남자 6명과여자 4명중에서 3명을뽑을때, 적어도여자 1명이포함되는경우는몇가지인가? 응용 : 뽑아서나열한다하면뽑는단계와나열단계를구분한다. 뽑는단계는조합으로, 나열단계는순열로 [ 문제 65] 남자 5명, 여자 4명중에서남자 3명, 여자 2명을뽑아서일렬로세우는방법은몇가지인가? 3.2 분할분할 : 조로나눈다. 분할이란몇명을몇조로나누는것분할 크기가같은조가 n 조일땐 n! 로나누어야합니다. 여기서왜 n! 으로나누어야할까요? 꼭이해해두세요. [ 문제 66] 6명의학생 (A, B, C, D, E, F) 을다음과같이 3조로나누는모든방법의수를구하여라. (1) 1명, 2명, 3명 (1) 1명, 1명, 4명 (2) 2명, 2명, 2명 [ 문제 67] 15명의학생을다음과같이 3조로나누는모든방법의수는? 1 1) 4명, 5명, 6명 2) 4명, 4명, 7명 3) 5명, 5명, 5명 3.3 분배조를나열한다. n 조로분할하여 n 곳에분배한다. n 조로분할하여 n! 을곱한다. [ 문제 68] 서로다른 6송이의꽃을다음과같이 3다발로나누어 3명에게선물하는모든방법의수를구하면? 1) 1송이, 2송이, 3송이 2) 1송이, 1송이, 4송이 3) 2송이, 2송이, 2송이 [ 문제 69] 7명의가족을 2명, 2명, 3명으로나누어 3대의승용차에태우는모든방법의수는? 2 [ 문제 70] 서로다른종류의꽃 6송이를 3송이씩현미와유진에게나누어주는방법의수는? 3 1 16가지 2 20가지 3 32가지 4 40가지 5 58가지 3.4 여러가지문제대각선과조합 [ 문제 71] 다음그림과같이정팔각형의꼭지점중에서 3개를택하여만들수있는삼각형은모두몇개인가? 1. 1) 15 C 4 11 C 5 6 C 6, 2) 15 C 4 11 C 4 7 C 7 1 2!, 3) 15C 5 10 C 5 5 C 5 1 3! 2. 7 C 2 5 C 2 3 C 3 1 2! 3! 3. 20 가지
3 조합 11 다음그림과같이 4 개의평행선과 5 개의평행선이서 로만나고있다. 이들평행선으로만들어지는평행사 변형은모두몇개인가? 1 42 개 2 56 개 3 64 개 4 78 개 5 98 개 [ 문제 72] 팔각형의대각선의개수는? 1 [ 문제 77] 다음그림은바둑판의일부이다. 이바둑판에서직사 각형은모두몇개인가? 삼각형과조합 [ 문제 73] 아래그림과같이반원위에 7개의점이있다. 이중세점을꼭지점으로하는삼각형은몇개인가? [ 문제 74] 다음그림과같이가로, 세로의간격이일정하게 9개의점이놓여있다. 이중세점을연결하여만들수있는삼각형의개수를구하여라. 2 [ 문제 78] 다음그림과같이한평면위에 10개의점이있다. 그중 6개는직선 l 위에, 나머지 4개는직선 m 위에있다. 이 10개의점중에서세점을이어만들수있는삼각형의개수는몇개인가? 함수와조합 사각형과조합 [ 문제 75] 아래그림과같이 3개의평행선과 4개의평행선이만나고있다. 이들이이루어지는평행사변형은몇개인가? [ 문제 79] X = {1, 2, 3} 에서 Y = {4, 5, 6, 7} 로의함수 f 중다 음조건을만족시키는것은몇개인가? 조건 : x 1 < x 2 이면 f(x 1 ) < f(x 2 ) ( 단조 ) 증가함수 1. 20 개 2. 76 개 [ 문제 76]
12 제 7 장순열과조합 정리 - 함수의개수 함수 f : X Y 에대하여 n(x) = x, n(y ) = y 일때 다. 인접한부분에는같은색을칠하지않기로할때, 칠하는방법의수를구하여라. 1. 함수의개수 y x = yx 2. 일대일함수의개수 y P x 3. 증가함수의개수 y C x 함수의개수와일대일함수의개수는빈박스채우기방 법으로이해하시고증가함수의개수는선택하기만하면자 동적으로순서를잡는다고생각하세요. 3.5 순열과조합의차이점 [ 문제 80] 정의역이 X = {1, 2, 3}, 공역이 Y = {4, 5, 6, 7} 일때, 1) 함수의개수는? 2) 일대일함수의개수는? 3) 증가함수의개수는? 조합은뽑기만하는것이므로순서와상관없지만, 순열은뽑은후그것을순서대로나열하는것입니다. 따라서같은조건아래서는순열이조합보다그개수가더많게되죠.( 순서까지고려했으니까요.) [ 문제 81] 여섯개의축구팀이다음그림과같이토너먼트로시합을가질때, 대진표를작성하는방법의수를구하여라. 1 5명중에청소할학생 3명을뽑는방법은 5 C 3 가지입니다. 이들 3명은구별할필요가없으므로조합이죠. 이는청소하지않을 2명을뽑으면나머지 3 명이자연히청소할학생이되므로 5 C 2 를계산해도됩니다. 따라서 5 C 3 = 5 C 2 2 5명중에회장 1명, 부회장, 1명, 총무 1명을뽑는방법은 5 P 3 입니다. 뽑힌 3명중에누가회장, 부회장, 총무인가를구 [ 문제 82] 어떤모임에서각참석자끼리서로한번씩악수를교 환할때, 그횟수가모두 45회였다. 참석자의수는? 1 8명 2 10명 3 12명 4 15명 5 20명 [ 문제 83] 방학을이용하여철수는할아버지, 작은아버지, 고모, 이모, 외삼촌집을방문하기로하였다. 이때, 할아버 지집은 2번, 나머지집은 1번만방문하고돌아온다고 할때, 몇가지의방문방법이있는가? ( 단, 할아버지 집을연속해서두번방문하지않는다.) [ 문제 84] 빨강, 노랑, 파랑, 검정의네가지색중하나는두번 사용하고나머지세가지색은한번씩만사용하여다 음그림의 A, B, C, D, E의다섯부분에칠하려고한 별해야하므로순열이됩니다. 일단 5명중에서 3명을아무렇게나뽑은후 (= 5C 3 ), 그들의직책을정해주면 (= 3!) 되죠. 따라서 5 P 3 = 5 C 3 3! 3 5 C 3 = 5 C 2 이지만 5 P 3 5 P 2 5P 3 은뽑힌 3명을나열하고 5 P 2 는 2명을나열하기때문입니다. 4 이항정리조합을이용하여전개공식을만들어봅시다. 예를들어 (a + b) 3 을전개해가는과정은다음과같습니다. (a + b) 3 = (a + b)(a + b)(a + b) = (aaa)+(aab + aba + baa)+(abb + bab + bba)+(bbb) = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
우변은각항은 (a + b)(a + b)(a + b) 의 3 개의괄호안 에서 b 를차례로 0 개, 1 개, 2 개, 3 개를뽑아서만든 조합입니다. 따라서각항의계수는차례로 3 C 0, 3 C 1, 3 C 2, 3 C 3 이 됩니다. 즉, (a + b) 3 = 3 C 0 a 3 + 3 C 1 a 2 b + 3 C 2 ab 2 + 3 C 3 b 3 = 3 3C r a 3 r b r 입니다. r=0 일반적으로다음과같은전개공식이성립하는데이를 이항정리라고합니다. 이항정리 (a + b) n = n C 0 a n b 0 + n C 1 a n 1 b 1 + n C 2 a n 2 b 2 + + n C n a 0 b n = n C 0 a n + n C 1 a n 1 b 1 + n C 2 a n 2 b 2 + + nc n 1 a 1 b n 1 + n C n b n (a + b) n = n nc r a n r b r r=0 이때 n C r a n r b r 을전개식의일반항, n C r (0 r n) 을이항계수라고합니다. [ 문제 85] (a + b) 6 의전개식에서 a 4 b 2 항의계수를구하여라. [ 문제 86] (1) (2x + y) 4 의전개식에서 x 3 y 의계수를구하시오. (2) (x 2 2 x )4 의전개식에서 x 2 의계수를구하여라. (a + b) 4 = 1a 4 + 4a 3 b + 6a 2 b 2 + 4ab 3 + 1b 4 4.2 파스칼의삼각형원리 4 이항정리 13 [ 문제 90] (x 2) 3 (2x+1) 4 의전개식에서 x 의계수를구하여라. 4.1 이항정리의특징 (a + b) = 1a + 1b (a + b) 2 = 1a 2 + 2ab + 1b 2 (a + b) 3 = 1a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + 1b 3 (a + b) = 1 C 0 a + 1 C 1 b (a + b) 2 = 2 C 0 a 2 + 2 C 1 ab + 2 C 2 b 2 (a + b) 3 = 3 C 0 a 3 + 3 C 1 a 2 b + 3 C 2 ab 2 + 3 C 3 b 3 (a + b) 4 = 4 C 0 a 4 + 4 C 1 a 3 b + 4 C 2 a 2 b 2 + 4 C 3 ab 3 + 4 C 4 b 4 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1C 0 1 C 1 [ 문제 87] (x + a x )7 의전개식에서 x 3 의계수가 84일때, 양수 a 의값은? 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 2C 0 2 C 1 2 C 2 3C 0 3 C 1 3 C 2 3 C 3 4C 0 4 C 1 4 C 2 4 C 3 4 C 4 5C 0 5 C 1 5 C 2 5 C 3 5 C 4 5 C 5 2C 1 + 2 C 2 = 3 C 2 [ 문제 88] (ax 3 + 2 x ) 4 의전개식에서 x 2 의계수가 6일때, 양수 2 a 의값은? 1 1 4 2 1 2 3 1 4 2 5 4 [ 문제 89] (1 + x 2 ) + (1 + x 2 ) 2 + (1 + x 2 ) 3 + + (1 + x 2 ) 20 의 전개식에서 x 4 의계수는? n 1C r 1 + n 1 C r = n C r 0C 0 1C 0 1 C 1 2C 0 2 C 1 2 C 2 3C 0 3 C 1 3 C 2 3 C 3 4C 0 4 C 1 4 C 2 4 C 3 4 C 4 5C 0 5 C 1 5 C 2 5 C 3 5 C 4 5 C 5
14 제 7 장순열과조합 98C 0 98 C 1 98 C 2 98 C 55 98 C 56 98 C 97 98 C 98 99C 0 99 C 1 99 C 2 99 C 55 99 C 56 99 C 97 99 C 98 99 C 99 1 3 2 5 3 7 4 9 5 11 원리 1. 오른쪽사선 2C 2 + 3 C 2 = 4 C 3 1C 1 + 2 C 1 + 3 C 1 = 4 C 2 [ 문제 94] 5P 1 + 5 P 2 2! + 5 P 3 3! + 5 P 4 4! + 5 P 5 5! 의값을구하여라. 1C 1 + 2 C 1 + 3 C 1 100 C 1 = 101 C 2 2C 2 + 3 C 2 + 4 C 2 100 C 2 = 101 C 3 원리 2. 왼쪽사선 2C 0 + 3 C 1 = 4 C 2 1C 0 + 2 C 1 + 3 C 2 = 4 C 2 1C 0 + 2 C 1 + 3 C 2 99 C 98 = 100 C 98 2C 0 + 3 C 1 + 4 C 2 100 C 98 = 101 C 98 4.3 (1 + x) n 의전개식의성질 a = 1, b = x 이면 (1 + x) n = n C 0 + n C 1 x + n C 2 x 2 + + n C n x n 4.4 이항계수의성질이항정리공식에서 a,b 의값으로특정숫자를대입하면다음과같은등식을얻을수있어요. 4.5 다항정리 ( 삼항이상 ) (a + b + c) n = n! p!q!r! ap b q c r ( 단, p + q + r = n 이고 p, q, r 0) 에대하여 1 일반항 n! p!q!r! ap b q c r 2 a p b q c r 의계수 n! p!q!r! (a + b) n 과같이 2 개의항을전개할때를이항정 리라고하고, (a + b + c) n 과같이 3 개의항을전개할 때를삼항정리라고합니다. 일반적으로삼항정리이상을다항정리라고하죠. (a + b) 3 을다항정리로설명해보시오. [ 문제 95] (1 + x + x 2 ) n 의전개식에서 x r 의계수를 C r 라할때, C 0 C 1 + C 2 C 3 + + C 2n 의값을구하여라. ( 단, n 은자연수 ) 1 a = 1, b = 1 이면 2 n = n C 0 + n C 1 + n C 2 + + n C n 2 a = 1, b = 1 이면 0 = n C 0 n C 1 + n C 2 + nc n ( 1) n 3 a = 1, b = 2 이면 (1 + 2) n = 3 n = n C 0 + n C 1 2 + nc 2 2 2 + + n C n 2 n = n C 0 + 2 n C 1 + 2 2 nc 2 + + E 자세한풀이와정답은 www.waha.kr 2 n nc n [ 문제 91] (1) log 3 ( n C 0 + 2 n C 1 + 2 2 nc 2 + + 2 n nc n ) 의값을구하시오. (2) 20 C 1 20 C 2 + 20 C 3 20 C 4 + + 20 C 19 의값을구하시오 [ 문제 92] 6C 0 + 6 C 2 + 6 C 4 + 6 C 6 의값을구하여라. [ 문제 93] a n = n C 0 n C 1 2 + n C 2 2 + ( 1) n nc n 2 2 일때, m n a n 과 1의차가 0.01보다작게되는자연수 m 의 n=1 최소값은?
5 풀이 15 5 풀이 풀이 1::: (Page...1) (ⅰ) 눈의합이 4가되는경우 : (1, 3), (2, 2), (3, 1) (ⅱ) 눈의합이 8이되는경우 : (2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2) (ⅲ) 눈의합이 12가되는경우 : (6, 6) (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ) 은동시에일어날수없으므로구하는경우의수는 3 + 5 + 1 = 9( 가지 ) 7차지학사이강섭외교과서문제 : 서로다른두주사위를동시에던질때, 나오는눈의합이 5의배수가되는경우의수는? 7( 가지 ) 풀이 2::: (Page...1) 3 3 = 27( 가지 ) 그림 ( 수형도 ) 를그리자! 풀이 3::: (Page...2) A 에서 B 에이르는방법의수는 A B ᄀ A D B ᄂ A E B ᄃ로나눌수있으며, ᄀ은한가지이고ᄂ, ᄃ의경우의수는같다. A D B 의경우는다음수형도에서 7가지이다. 따라서 A에서 B로가는경우의수는 1+2 7 = 15( 가지 ) 수형도를그릴수있는능력과더불어ᄂ, ᄃ의경우의수는같다는사실을확인하는것이중요합니다. 풀이 4::: (Page...2) (1) 20 + 15 5 = 30 (2) 5 + 4 = 9 (2) 1에서 60까지의자연수중에는 12의배수이면서 13의배수가되는경우가없는경우풀이 5::: (Page...2) (ⅰ) 눈의수의합이 4가되는경우 (1, 3), (2, 2), (3, 1) (ⅱ) 눈의수의합이 9 가되는경우 (3, 6), (4, 5), (5, 4), (6, 3) (ⅰ), (ⅱ) 에서눈의수의합이 4가되는사건과 9가되는사건은동시에일어날수없으므로구하는경우의수는3+ 4 = 7( 가지 ) 동시에일어날수없는사건을 배 반사건이라고합니다. 풀이 6::: (Page...2) 3 4 = 12 풀이 7::: (Page...2) 3 2 + 2 4 = 6 + 8 = 14 곱의법칙도함께적용된경우 풀이 8::: (Page...2) (ⅰ) A B C D 로연결하는경우는곱의법칙에 의하여 2 3 2 = 12( 가지 ) (ⅱ) A C B D 로연결하는경우는곱의법칙에 의하여 1 3 1 = 3( 가지 ) (ⅰ), (ⅱ) 는동시에일어날수없으므로구하는경우의수 는합의법칙에의하여 12 + 3 = 15( 가지 ) 풀이 9::: (Page...2) 4 종류의일간신문과 3 종류의월간잡지에서동시에하나 씩택하는방법의수는 지 ) 풀이 10::: (Page...2) 곱의법칙에의하여 4 3 = 12( 가 볼펜, 연필, 필통을각각한종류씩사는사건은잇달아일 어나는것으로볼수있다. 이때, 볼펜을사는방법 : 5 가지 연필을사는방법 : 4 가지 필통을사는방법 : 3 가지 곱의법칙에의하여구하는경우의수는 5 4 3 = 60( 가 지 ) 풀이 11::: (Page...2) 72 를소인수분해하면 72 = 2 3 3 2 이므로그양의약수를 2 a 3 b 의꼴로나타낼수있으며, a = 0, 1, 2, 3, b = 0, 1, 2 의값을갖는다. 2 3, 3 2 의양의약수의집합을각각 A, B 라하면 A = {2 0, 2 1, 2 2, 2 3 } B = {3 0, 3 1, 3 2 } 72 의양의약수는 A, B 에서각각한원소를뽑아서곱한 것이므로 n(a) n(b) = 4 3 = 12( 개 ) 왜양의약수의개수문제가나왔는지이해했나요? 참고로 72 의양의약수들의총합? 24 1 2 1 33 1 3 1 = 15 13 = 195 풀이 12::: (Page...3) (1) [1 단계 ] 100 원 1 개는 2 가지, 50 원 2 개는 3 가지, 10 원 5 개이므로 5 가지 동시에지불하므로 2 3 5 = 30 이다.
16 제 7 장순열과조합 [2 단계 ] 0 원은지불하는것이아니므로제외시켜야해서 30 1 = 29 가지 (2) [1단계] 50원짜리가 2개이므로금액으로는 100원이된다. [2 단계 ] 50 원과 100 원을함께묶어서 0 원, 50 원, 100 원, 150원, 200원으로 5가지 [3단계] 10원짜리로는 0원, 10원, 20원, 30원, 40원으로 5 가지 [4단계] 동시에생긴것이므로 5 5 = 25 가지 [5단계] 그런데 0원은지불하는것이아니므로제외시켜야하므로 25 1 = 24 가지풀이 13::: (Page...3) (1) 500원, 100원, 10원짜리동전으로지불할수있는방법은각각 4, 8, 5 이므로, 4 8 5 1 = 159 가지 (2) 또, 500 원짜리를모두 100 원짜리 5 개로간주하면, 100원짜리동전 22개, 10원짜리동전 4개를써서지불할수있는금액의수는 23 5 1 = 114 가지핵심 [key] 는 임할수있으면낮은데로임하소서 풀이 14::: (Page...4) 5 4 = 5 P 2 = 20 빈박스채우기방법이이해하기쉬워요. 풀이 15::: (Page...4) 다섯개중네개를뽑아일렬로배열하는경우의수와같으므로 5 P 4 = 5 4 3 2 = 120( 개 ) 5P 4 = 5P 5 = 5! 풀이 16::: (Page...4) 6P 3 = 6 5 4 = 120( 가지 ) 풀이 17::: (Page...4) 5명의학생 a, b, c, d, e 를먼저나열하고세개의부서를기입하여보세요. 그러면학생 a 가부서를선택하는방법은 3가지,, 학생 e 가부서를선택하는방법이 3가지가됩니다. 따라서 3 3 3 = 3 5 = 3 Q5 [key] 주안점을어디에둘것인가보통범하기쉬운오류는부서인방송반, 사진반, 축구반을먼저생각하고는가입하는학생을나중에고려하는것입니다. 이렇게하면정리가잘안돼요. 이문제가발전하여함수의개수를세는문제가등장합니다. 풀이 18::: (Page...4) [ 방법 1] 식으로증명 [ 방법 2] (1) 과 (2) 의의미만재해석하여보겠습니다. 참고로 (1) 과 (2) 가중요합니다. 1부터 n 까지의 n 개의자연수중에서 r 개를나열하는순열의수는 n P r 입니다. (1) [1단계] 만약 1을선택하고 1을제외한나머지 (n 1) 개의자연수중에서 (r 1) 개를선택하여나열한순열의수는 n 1P r 1 입니다. [2단계] 그런데 2, 3,, n 에대해서도마찬가지이므로처음한개를선택하는방법이 n 개있습니다. [3단계] 그러므로 n P r = n n 1 P r 1 (2) 1부터 n 까지의 n 개의자연수중에서 r 개를나열할때, 우리가원하는예를들면 2라는수가들어갈수도있고안들어갈수도있습니다. [1단계] 우선 2가들어가는순열의수를구해봅시다. 2를포함하는순열의수는 2를뺀나머지수가운데 (r 1) 개를선택하고난후이를나열하는순열의수 n 1 P r 1 와 2를뺀나머지수를배열한것에 2를끼워넣는경우의수 r 을곱하면 r n 1P r 1 가됩니다. [2 단계 ] 이번에는 2 가들어가지않는순열의수는어떻게될까요? 2를뺀나머지 (n-1) 개가운데 r개를선택하여나열하면됩니다. 즉, n r P r [3단계] 그러므로 np r = r n 1P r 1 + n 1P r n 개가운데 r 개를선택하여나열할때특정한 1개가들어가든안들어가든그특정한 1개를빼놓고생각하세요. 나중에삽입혹은그대로두시면됩니다. 풀이 19::: (Page...4) 5P 3 = 5 4 3 = 60 [ 말바꾸기 ] 1, 2, 3, 4, 5 를써서만들수있는각자리의숫자가다른세자리의정수는모두몇개인가? 풀이 20::: (Page...4) [1 단계 ] 여자 3 명을한묶음으로보면 5 묶음. 5 묶음을나열하는방법은 5! [2단계] 묶음내의여자 3명을나열하는방법은 3! [3단계] 둘을곱하면 5! 3! 이문제를수정하여봅시다. 남자 4명, 여자 3명을일렬로세울때, 남자 3명의이웃하여서는경우의수는몇가지인가? [1단계] 남자 3명을한묶음으로보자. 그런데그묶음을잡는방법은반대로생각하면남자 1명이빠지는방법의수이므로 4가지 [2단계] 그렇다면총 5 묶음을나열하는방법은 5!
5 풀이 17 [3 단계 ] 묶음내의남자 3 명을나열하는방법의수는 3! [4 단계 ] 이들을모두곱하면 4 5! 3! 풀이 21::: (Page...4) 특별한 3 권을하나로보고, 4 권을일렬로꽂는방법의수는 4P 4 = 4! = 24( 가지 ) 또, 위의각각에대하여특별한 3 권을서로바꾸어일렬로 꽂는방법의수는 3 P 3 = 3! = 6( 가지 ) 따라서구하는방법의수는 4 P 4 3 P 3 = 24 6 = 144( 가 지 ) 풀이 22::: (Page...5) [1 단계 ] 먼저남자를세운다면 4! [2 단계 ] 이들의양끝이나사이에여자를끼운다. [3 단계 ] 5 개의자리중여자가끼어들 3 자리를택하면 5 P 3 [4 단계 ] 둘을곱하면 4! 5 P 3 풀이 23::: (Page...5) [1 단계 ] A B 의꼴을생각 [2 단계 ] C, D, E, F 를가운데끼우는생각을함. [3 단계 ] 4! 풀이 24::: (Page...5) 양끝에모음 O 를 2 개배열한다음, 나머지 TMRROW 를 일렬로배열하면된다. 따라서구하는경우의수는 6! = 360( 가지 ) 2! 풀이 25::: (Page...5) [1 단계 ] 적어도한쪽끝이자음 의반대는 양끝이모두 모음 [2 단계 ] 전체경우에서양끝이모두모음인경우를뺀다. [3 단계 ] 전체경우는다섯문자를나열하는 5! [4 단계 ] 양끝이모두모음인경우는 3P 2 3! [5 단계 ] 5! 3 P 2 3! 풀이 26::: (Page...5) [1 단계 ] w d 의꼴를생각한다. [2 단계 ] 먼저 w 와 d 사이에 3 개의문자를끼운후한묶음 으로본다. [3 단계 ] 4 묶음을나열하면 4! [4 단계 ] w 와 d 를제외한나머지 6 개의문자중 3 개를 w 와 d 사이에끼우면 6 P 3 [5 단계 ] w 와 d 가자리를바꾸면 2! [6 단계 ] 6 P 3 4! 2! 풀이 27::: (Page...5) a 와 b 사이에 c, d, e 3 개의문자중 2 개를택하여일렬로 나열하는방법의수는 3 P 2 가지 a 와 b 가자리를바꾸는방법은 2! 가지 (a b) 가자리를바꾸는방법은 2! 가지 3P 2 2! 2! = 24( 가지 ) 풀이 28::: (Page...5) [1단계] 의꼴을생각한다. [2단계] 첫자리에 0( 영 ) 이올수없음을유의한다. [3단계] 첫자리에올수있는숫자는 1, 2, 3의 3가지 [4단계] 뒷부분에나머지세숫자를돌리면 3! [5단계] 3 3! 풀이 29::: (Page...5) 맨앞자리에는 0을제외한 1, 2, 3, 4 중하나의숫자가올수있다. 나머지세자리에는맨앞자리에온수를제외한네개의수중에서세개가올수있으므로구하는네자리의수는 4 4 P 3 = 4 4 3 2 = 96( 개 ) 풀이 30::: (Page...6) (5 1)! = 24( 가지 ) 풀이 31::: (Page...6) 먼저남자 3명이원형의탁자에앉는방법의수는 (3 1)! = 2!( 가지 ) 여자 3명이그나머지자리에앉는방법의수는 3!( 가지 ) 따라서구하는방법의수는 2! 3! = 12( 가지 ) [key] 원순열, 끼워넣기방법할아버지, 할머니, 아빠, 엄마, 두남매가원탁에둘러앉을때, 다음방법의수를구하여라. 1) 할아버지, 할머니가이웃하여앉는방법의수는? 2) 아빠, 엄마가서로마주보도록앉는방법의수는? 풀이 32::: (Page...6) 남자 5명이원탁에앉는방법의수는 (5 1)! = 4!( 가지 ) 이고이각각에대하여여자 5명이남자와남자사이에앉는방법의수는 5! 이므로 4! 5! = 2880( 가지 ) 풀이 33::: (Page...6) 가운데작은원에색을칠하는방법 : 7가지나머지 6가지의색을 6등분한칸에칠하는방법의수는 6 개를원형으로배열하는원순열의수와같다. 따라서구하는경우의수는 7 (6 1)! = 7 5! = 840( 가지 ) 풀이 34::: (Page...6) 공이회전하여겹쳐지는것은모두같은것으로생각한다. 6 가지색에번호를붙여 1, 2, 3, 4, 5, 6 이라하면, 다음그림과같은 2가지경우는같은공이된다.
18 제 7 장순열과조합 1, 4, 4 인경우 : 2, 2, 5 인경우 : 3! 2!, 2, 3, 4 인경우 : 3!, 3, 3, 3 인경우 : 1 3! 2!, 6 + 6 + 3 + 3 + 6 + 1 = 25 ( 가지 ) 그러므로 6 가지색으로만들어지는원순열 5! 중에는모두 한쌍씩같은것이있게된다. 따라서구하는방법의수는 5! 2 [key] 목걸이순열 풀이 35::: (Page...6) = 60( 가지 ) 6 명을원형으로배열하는경우의수는 5! 이다. 그런데정삼각형인경우다음그림과같이서로다른경우 가각각 2 가지씩존재하므로 구하는방법의수는 5! 2 = 240( 가지 ) 풀이 43::: (Page...7) 1 단을 a 회, 2 단을 b 회오른다면 a + 2b = 8 ( 단, a, b 는 음이아닌정수 ) (ⅰ) a = 8, b = 0 일때, 1( 가지 ) (ⅱ) a = 6, b = 1 일때, 1 단 6 개, 2 단 1 개를일렬로나열 하는방법의수이므로 7! = 7( 가지 ) 6!1! (ⅲ) a = 4, b = 2 일때, 1 단 4 개, 2 단 2 개를일렬로나열 하는방법의수이므로 6! = 15( 가지 ) 4!2! (ⅳ) a = 2, b = 3 일때, 1 단 2 개, 2 단 3 개를일렬로나열 하는방법의수이므로 5! = 10( 가지 ) 2!3! (ⅴ) a = 0, b = 4 일때, 1( 가지 ) (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ), (ⅳ), (ⅴ) 에서 1 + 7 + 15 + 10 + 1 = 34( 가 지 ) 풀이 36::: (Page...6) (10 1)! 5 풀이 37::: (Page...7) 4! = 12 가지 2! 풀이 38::: (Page...7) [1 단계 ] p 가 2 개, e 가 2 개 [2 단계 ] 6! 2! 2! 풀이 39::: (Page...7) 같은것이있는순열의수이므로 6! 3! = 60( 가지 ) 2! 풀이 40::: (Page...7) 6! 3!2! = 10( 개 ) 풀이 41::: (Page...7) [1 단계 ] 첫자리에 0 이올수없다는것을착안 [2 단계 ] 전체경우에서 0 으로시작하는경우를뺀다. [3 단계 ] 전체의경우 : 5! 3! [4 단계 ] 0 으로시작하는경우는 0 꼴생각 [5 단계 ] 뒷부분에 1, 2, 2, 2 를나열하면 4! 3! [6단계] 5! - 4! 3! 3! 풀이 42::: (Page...7) 1, 2, 6 인경우 : 3!, 1, 3, 5 인경우 : 3!, 풀이 44::: (Page...7) [1 단계 ] o, e 를, 로생각한다. [2 단계 ] s,, c, c,, r 를나열하는방법을생각한다. [3 단계 ] 전체는 6 개이고, 가 2 개, c 가 2 개이므로 [4 단계 ] 6! 2! 2! 풀이 45::: (Page...7) S, T, D 를같은문자로생각한다. 이를테면 S, T, D 를모 두 A 라하자. AAAUY 를일렬로배열한다음 3 개의 A 를차례로 S, T, D 로바꿔주면된다. AAAUY STDUY AAUAY STUDY AAUYA STUYD. UYAAA UYSTD 이렇게하면 S T D 의순서를유지할수있다. 따라서구하는방법의수는 5! = 20( 가지 ) 3! 풀이 46::: (Page...7) 1, 2, 3 을모두 a 로바꾼다음, a, a, a, 4, 4 를일렬로 배열하고, 첫번째 a 는 1 로, 두번째 a 는 2 로, 세번째 a 는 3 으로 각각되바꾸면 1 2 3 의순서가유지된다. 따라서같은것이있는순 열의수이므로 5! = 10( 가지 ) 3! 2!
5 풀이 19 풀이 47::: (Page...7) a 4! b 4! ca 3! cb 3! cd 3! cea 2! cebad 1! 에서 cebda 는 (4! 2)+(3! 3)+2!+1 = 69( 번째 ) 의다음에오기때문에 70번째이다. 풀이 48::: (Page...8) 6, 5, 4, 3 4 5 P 3 = 240( 개 ) 26, 25, 24 3 4 P 2 = 36( 개 ) 236, 235, 234 3 3 = 9( 개 ) 2316, 2315 2 ( 개 ) 따라서 2314 보다큰수는 240 + 36 + 9 + 2 = 287( 개 ) (ⅰ)A P B : 1 5! 4!1! = 5 (ⅱ)A Q B : (ⅲ)A R B : 5! 5! = 50 1!4! 3!2! 4! 6! = 24 3!1! 1!5! (ⅳ)A S B : 1 1 = 1 5 + 50 + 24 + 1 = 80( 가지 ) [ 방법 2] 경로에번호넣기 풀이 49::: (Page...8) [ 방법 1] 오른쪽으로한칸가는것을 a, 아래쪽으로한칸 가는것을 b 로나타내면, 위그림에서굵은선으로나타 낸것은 abaabab 로나타내어지는최단거리가운데하나 이다. 즉, 최단거리는 4 개의 a 와 3 개의 b 를일렬로배열하는순 열로나타내어진다. 따라서구하는최단경로의수는 7! = 35( 가지 ) 4!3! [ 방법 2] 경로에번호넣기 풀이 52::: (Page...8) [ 방법 1] 구하는방법의수는 (A 에서 C 까지가는최단거리의 수 ) (C 에서 D 를거치지않고 B 까지가는최단거리의수 ) 이므로 A C : C B : 5! = 10( 가지 ) ᄀ 3!2! 5! = 10( 가지 ) ᄂ 3!2! C D B : 2 3! = 6( 가지 ) ᄃ 2! 따라서ᄀ ( ᄂ ᄃ ) 을하면 10 (10 6) = 40( 가지 ) [ 방법 2] 경로에번호넣기 풀이 50::: (Page...8) [ 방법 2] 경로에번호넣기방법만을소개하고자합니다. 풀이 53::: (Page...8) [ 방법 1] 4 5 Q2 = 4 52 = 100( 개 ) [ 방법 2] 빈박스채우기방법 풀이 54::: (Page...9) 1) 일대일함수 4 3 2 = 4 P 3 2) 함수의개수 4 4 4 = 4 Q3 풀이 51::: (Page...8) [ 방법 1] [key] X 가독립변수이므로 X 가주인공입니다. 즉, 정의역 X 의원소들에게공역 Y 의어떤원소를대응시킬지생각해야되죠. [ 방법 2] 빈박스채우기방법 풀이 55::: (Page...9)
20 제 7 장순열과조합 [1 단계 ] X 가 a, b, c 이다. [2 단계 ] 2 Q3 = 2 2 2 [ 방법 2] 빈박스채우기방법 풀이 56::: (Page...9) [1 단계 ] 2 개에서 5 개를택하는전형적인중복순열문제 [2 단계 ] 2 Q 5 = 25 [ 방법 2] 빈박스채우기 풀이 57::: (Page...9) [1 단계 ] 파랑, 흰색, 빨강의 3 개에서중복을허락하여 5 개 를택하는중복순열 [2 단계 ] 3 Q 5 = 35 [ 방법 2] 빈박스채우기 풀이 58::: (Page...9) 편지에 1, 2, 3 의번호를붙이고, A 우체통에넣는편지는 A, B 우체통에넣는편지는 B 로표 시하면, 이것은 A, B 에서중복을허락하여 3 개를뽑는중복순열의 수와같다. 따라서구하는방법의수는 2 Q3 = 23 = 8( 가지 ) [ 방법 2] 빈박스채우기 풀이 59::: (Page...9) 중복을허락하여 0, 1 로만들수있는다섯자리의이진법 의수는 의꼴 이때, 첫자리에 0 이올수없음에유의해야함. [1 단계 ] 첫자리에는 0 이올수없고 1 밖에없으므로 1 가 지 [2 단계 ] 두번째, 다섯번째자리에는모두놓을수있으 므로 2 가지 [3 단계 ] 1 2 2 2 2 [ 방법 2] 빈박스채우기 풀이 60::: (Page...9) 1 개를사용하여만들수있는신호는 2 Q1 2 개를사용하여만들수있는신호는 2 Q2 3 개를사용하여만들수있는신호는 2 Q3 4 개를사용하여만들수있는신호는 2 Q4 따라서구하는신호의가짓수는 Q 2 Q1 Q2 Q3 +2 +2 +2 4 = 21 + 2 2 + 2 3 + 2 4 = 30( 가지 ) 풀이 61::: (Page...9) nc r = n! r!(n r)!, nc n r = n C r = n C n r n! (n r)!{n (n r)}! = n! (n r)!r! 직관적인발상으로이해해보세요. 풀이 62::: (Page...10) [1 단계 ] 남자 4 명중에 2 명을뽑는경우이므로 4 C 2 [2 단계 ] 여자 6 명중에 3 명을뽑는경우는 6 C 3 [3 단계 ] 1 단계와 2 단계가동시에일어나는경우이므로 4C 2 6 C 3 = 4 3 6 5 4 = 120( 가지 ) 2 1 3 2 1 풀이 63::: (Page...10) [1 단계 ] 빨강과노랑은미리뽑아놓았다고생각한다. [2 단계 ] 나머지 5 색에서 2 색을뽑는경우와같은것이다. [3단계] 5C 2 = 5 4 = 10( 가지 ) 2 1 풀이 64::: (Page...10) [1 단계 ] 적어도여자 1 명이포함된다. 의반대는 모두남 자 라고생각한다. [2 단계 ] 전체경우에서모두남자인경우를뺀다. [3 단계 ] 전체경우는 10 명중에서 3 명을뽑는경우는 10C 3 [4 단계 ] 모두남자인경우는남자 6 명에서 3 을뽑는경우 이므로 6 C 3 [5단계] 10C 3 6 C 3 = 10 9 8 6 5 4 = 120 20 = 100( 가지 ) 3 2 1 3 2 1 풀이 65::: (Page...10) [1 단계 ] 뽑는단계 : 남자 5 명, 여자 4 명중에서남자 3 명, 여자 2 명을뽑는경우 5C 3 4 C 2 [2 단계 ] 나열단계 : 뽑은 5 명을나열하면 5! [3 단계 ] 동시에일어나는경우이므로 5C 3 4 C 2 5! 풀이 66::: (Page...10) (1) 1 명, 2 명, 3 명으로나누는것은조자체가구별되는경 우입니다. 따라서 6 명가운데 1 명을뽑아 나홀로조 를만들고, 나머 지 5 명가운데 2 명을뽑아 단짝조 를만들고, 나머지 3 명가운데 3 명을뽑아 삼각관계조 를만들면되는것입니 다. 따라서 6C 1 5C 2 3C 3 = 6 10 1 = 60 (2) 그런데문제는조구별이되지않는똑같은 나홀로조 가두개있을때학생 A 가첫번째 나홀로조 에들어가든 두번째 나홀로조 에들어가든학생 A 관점에서는똑같은 나홀로조 라는사실입니다. 즉, 두개의 나홀로조 에대한순서가없다는뜻입니다. {(A), (B), (CDEF )} {(B), (A), (CDEF )}, 그래서이러한경우에는나홀로조 2 개를나열하는방법의 수 2! 로나누어주어야합니다. 6C 1 5 C 1 4 C 4 2! = 15 (3) 6 C 2 4 C 2 2 C 2 3! = 15 6 6 = 15
5 풀이 21 풀이 67::: (Page...10) 1) [1 단계 ] 15 명에서 4 명을뽑고, 나머지에서 5 명을뽑고, 나머지에서 6 명을뽑는다. [2 단계 ] 15C 4 11 C 5 6 C 6 2) [1 단계 ] 15 명에서 4 명을뽑고, 나머지에서 4 명을뽑고, 나머지에서 7 명을뽑는다. [2 단계 ] 4 명을두번뽑았기때문에 2! 로나눈다. [3 단계 ] 15C 4 11 C 4 7 C 7 1 2! 3) [1 단계 ] 15 명에서 5 명을뽑고, 나머지에서 5 명을뽑고, 나머지에서 5 명을뽑는다. [2 단계 ] 5 명을세번뽑았기때문에 3! 로나눈다. [3 단계 ] 15C 5 10 C 5 5 C 5 1 3! 풀이 68::: (Page...10) 1) [1 단계 ] 6 송이에서 1 송이를뽑고, 나머지에서 2 송이를 뽑고, 나머지에서 3 송이를뽑는다. [2 단계 ] 3 조로분할하여분배하는것이므로 3! [3 단계 ] 6 C 1 5 C 2 3 C 3 3! 2) [1 단계 ] 6 송이에서 1 송이를뽑고, 나머지에서 1 송이를 뽑고, 나머지에서 4 송이를뽑는다. [2 단계 ] 1 송이를두번뽑았기때문에 2! 로나눈다. [3 단계 ] 3 조로분할하여분배하는것이므로 3! [4 단계 ] 6 C 1 5 C 1 4 C 4 1 2! 3! 3) [1 단계 ] 6 송이에서 2 송이를뽑고, 나머지에서 2 송이를 뽑고, 나머지에서 2 송이를뽑는다. [2 단계 ] 2 송이를세번뽑았기때문에 3! 로나눈다. [3 단계 ] 3 조로분할하여분배하는것이므로 3! [4 단계 ] 6 C 2 4 C 2 2 C 2 1 3! 3! 풀이 69::: (Page...10) [1 단계 ] 7 명에서 2 명을뽑고, 나머지에서 2 명을뽑고, 나머 지에서 3 명을뽑는다. [2 단계 ] 2 명을두번뽑았기때문에 2! 로나눈다. [3 단계 ] 3 조로분할하여분배하는것이므로 3! [4 단계 ] 7 C 2 5 C 2 3 C 3 1 2! 3! 풀이 70::: (Page...10) 현미에게 3 송이를주는방법의수는 6 C 3, 유진에게나머지 3 송이를주는방법의수는 3 C 3 이므로 6C 3 3 C 3 2! 1 = 6 5 4 = 20( 가지 ) 2! 3 2 1 풀이 71::: (Page...10) 정팔각형의 8 개의꼭지점중에서어느세점도일직선위에 있지않으므로 어진다. 3 개의점만택하면하나의삼각형이만들 따라서구하는삼각형의개수는 8 C 3 = 8 7 6 3 2 1 = 56( 개 ) 풀이 72::: (Page...11) [1 단계 ] 두점을연결하면대각선이된다. [2 단계 ] 8 개의꼭지점에서 2 개의점을뽑는다. [3 단계 ] 변이되는 8 가지는빼줘야한다. [4 단계 ] 8 C 2 8 = 20 [key] 예외조건 풀이 73::: (Page...11) [1 단계 ] 삼각형의모형은 3 개의점이필요하다. 그래서 7C 3 [2 단계 ] 그런데 4 개점이직선위에존재하므로직선위에 점들은삼각형을만들수가없다. 야한다. 그래서 4 C 3 을제외시켜 [3 단계 ] 그러므로 7 C 3 4 C 3 = 35 4 = 31 이다. 풀이 74::: (Page...11) 9 개의점중에서 3 개의점을택하는방법의수는 9C 3 가지 이다. 한편, 일직선위의세점을택하면삼각형이만들어 지지않으며이와같은경우의수는 3 C 3 8 = 8( 가지 ) 따라서구하는삼각형의수는 9 C 3 8 = 76( 개 ) 풀이 75::: (Page...11) [1 단계 ] 가로선 2 개와세로선 2 개를뽑으면평행사변형이 된다. [2 단계 ] 3 개에서 2 개, 4 개에서 2 개를뽑으면된다. [3 단계 ] 3 C 2 4 C 2 풀이 76::: (Page...11) 4 개의평행선에서 2 개를택하는방법의수는 4 C 2 이고, 5 개의평행선에서 2 개를택하는방법의수는 5 C 2 이므로구 하는평행사변형의개수는 4C 2 5 C 2 = 4 3 2 1 5 4 2 1 = 60( 개 ) 풀이 77::: (Page...11) 가로방향 2 개의직선과세로방향 2 개의직선을선택하면 직사각형이한개만들어진다. 따라서구하는직사각형의개수는 4 C 2 6 C 2 = 4! 2! 2! 6! 2! 4! = 90( 개 ) 풀이 78::: (Page...11) 직선 l 위의 6 개의점중에서 2 개, 직선 m 위의 4 개의점중에서 1 개로만들어지는삼각형의 개수는 6 C 2 4 C 1 = 60 ( 개 ) 직선 m 위의 4 개의점중에서 2 개, 직선 l 위의 6 개의점중에서 1 개로만들어지는삼각형의 개수는 4C 2 6 C 1 = 36 ( 개 ) 60 + 36 = 96( 개 )
22 제 7 장순열과조합 풀이 79::: (Page...11) [1 단계 ] 순서를생각해야되므로 X: (1, 2, 3) Y : (4, 5, 6), (4, 5, 7), (4, 6, 7), (5, 6, 7) [2 단계 ] 결국 4, 5, 6, 7 에서 3 개를뽑는셈 4C 3 4, 5, 6, 7 에서 3 개를뽑아놓으면 자 동으로 배 열된다고생 각하세요. 풀이 80::: (Page...12) 1) 함수의개수는중복순열을뜻하므로 4 Q 3 = 43 2) 일대일함수의개수는순열을뜻하므로 4 P 3 3) 증가함수는조합을뜻하므로 4 C 3 풀이 81::: (Page...12) 6 개의팀중에서부전승에배정될두팀을정하는방법의 수는 6 C 2 = 15 나머지네팀을 2 개팀씩 2 조로나누는방법의수는 4 C 2 2 C 2 1 2! = 3 따라서구하는경우의수는 15 3 = 45( 가지 ) 풀이 82::: (Page...12) 참석자의수를 n 명이라하면 nc 2 = 45 n(n 1) = 90 = 10 9 n = 10( 명 ) 풀이 83::: (Page...12) 작은아버지, 고모, 이모, 외삼촌집을일렬로배열하는방 법의수는 4! 가지 위의그림에서 은작은아버지, 고모, 이모, 외삼촌집을 나타내고, 5 개의 중에서두개를선택하면되므로, 할 아버지집을택하는방법은 5 C 2 = 10 ( 가지 ) 따라서방문방법은 4! 10 = 240( 가지 ) 풀이 84::: (Page...12) 두번사용할색을택하는방법의수는 4 C 1 이고, 이것을칠 하는방법은 3 가지이다. 이때, 나머지세부분에세가지색을칠하는방법의수는 3! 가지이므로구하는방법의수는 4C 1 3 3! = 72( 가 지 ) 풀이 85::: (Page...13) (a + b) 6 의전개식의일반항은 6C ra r b 6 r 이므로 r = 4 를 대입하면 6C 4 = 15 풀이 86::: (Page...13) (1) 일반항 4C r(2x) 4 r y r = 4C r2 4 r x 4 r y r r = 1 : 4 C 1 2 3 = 4 8 = 32 (2) 이전개식의일반항은 4 C r (x 2 ) 4 r ( 2 x )r = ( 2) r 4C rx 8 3r x 2 의계수를구하는것이므로 8 3r = 2 에서 r = 2 따라서 x 2 의계수는 ( 2) 2 4C 2 =24 풀이 87::: (Page...13) 전개식의일반항은 7C r x 7 r ( a x )r = a r 7C r x 7 r x r = a r 7C r x 7 2r 여기서 7 2r = 3 이므로 r = 2 x 3 의계수는 84 이므로 a 2 7C 2 = a 2 7 6 2 1 = 84 a 2 = 4 a = 2 ( a > 0) 풀이 88::: (Page...13) 일반항을구하면 4C r(ax 3 ) 4 r ( 2 x 2 ) r 12 5r = 2 에서 r = 2 4 C 2 a 4 2 2 2 = 4! 2!2! 4 a2 = 24a 2 = 6 a 2 = 1 4 에서 a = 1 2 풀이 89::: (Page...13) ( a > 0) = 4C r a 4 r 2 r x 12 5r k 2 일때 (1 + x 2 ) k 의전개식에서 x 4 의계수는 k C 2 이 다. 주어진식의전개식에서 x 4 의계수는각항의전개식에서 의 x 4 의계수의합과같으므로 2 C 2 + 3 C 2 + 4 C 2 + + 20 C 2 P = 20 P kc 2 = 20 k(k 1) P = 19 k(k+1) = 1 1 19 20 21 = 2 2 2 3 k=2 1330 k=1 풀이 90::: (Page...13) k=1 (x 2) 3 의전개식의일반항은 3C rx 3 r ( 2) r (2x + 1) 4 의전개식의일반항은 4C s(2x) 4 s 1 s 따라서 (x 2) 3 (2x + 1) 4 의전개식의일반항은 3 C r x 3 r ( 2) r 4C s (2x) 4 s 1 s 에서 7 r s = 1 r + s = 6 그리고 r 3, s 4 이므로 = 3 C r 4C s ( 2) r 2 4 s 1 s x 7 r s (ⅰ) r = 2, s = 4 일때 3C 2 4C 4 4 1 1 = 12 (ⅱ) r = 3, s = 3 일때 3C 3 4C 3 ( 8) 2 1 = 64 12 64 = 52 풀이 91::: (Page...14) (1 + x) n = n C 0 + n C 1 x + n C 2 x 2 + + n C n x n 에서 (1) x = 2 : 3 n = n C 0 + 2 n C 1 + 2 2 nc 2 + + 2 n nc n log 3 3 n = n (2) n = 20, x = 1 : 0 = 20C 0 20C 1 + 20C 2 20C 3 + 20C 19 + 20 C 20
5 풀이 23 20 C 1 20 C 2 + + 20 C 19 = 20 C 0 + 20 C 20 = 2 풀이 92::: (Page...14) (1 + x) 6 의전개식은 (1 + x) 6 = 6 C 0 + 6 C 1 x + 6 C 2 x 2 + + 6 C 6 x 6 위식의양변에 x = 1 을대입하면 0 = 6 C 0 6 C 1 + 6 C 2 + 6C 6 6C 0 + 6C 2 + 6C 4 + 6C 6 = 6C 1 + 6C 3 + 6C 5 한편, 6 C 0 + 6 C 1 + + 6 C 5 + 6 C 6 = 2 6 이므로구하는값은 2 6 = 2 25 = 32 풀이 93::: (Page...14) (a + b) n = n C 0 a n + n C 1 a n 1 b + + n C n b n 에서 a n 은 a = 1, b = 1 2 인경우이므로 a n = (1 1 2 )n = 1 m P n=1 a n = 1 2 + 1 2 2 + + 1 (1 1 2 m ) 1 = 1 2 m < 10 2 2 m > 100 = 1 2 m 2 (1 2 1 m ) 1 1 2 따라서구하는 m 의최소값은 7 이다. 2 n = 1 1 2 m 풀이 94::: (Page...14) 5P 1 + 5 P 2 + 2! 5 P 3 + 3! 5 P 4 + 4! 5 P 5 5! = 5C 1 + 5C 2 + 5C 3 + 5C 4 + 5C 5 = ( 5C 0 + 5C 1 + + 5C 5) 5C 0 = 2 5 1 ( n C 0 + n C 1 + n C 2 + + n C n = 2 n ) = 31 풀이 95::: (Page...14) (1 + x + x 2 ) n = C 0 + C 1x + C 2x 2 + + C 2n x 2n 에서 x = 1 을대입하면 C 0 C 1 + C 2 C 3 + + C 2n = (1 1 + 1) n = 1 E 자세한풀이와정답은 www.waha.kr