수학영역 확률과 통계 정답과해설
Ⅰ 순열과조합. 순열 0 경우의수 p.7 ~ 9 7 ⑴ ⑵ 8 8 0! 꺼낸공에적힌수의차가 인경우 {, }, {, }, {, }, {, } SG 가지 @ 꺼낸공에적힌수의차가 인경우 {, }, {, } SG 가지!, @ 는동시에일어날수없으므로구하는경우의수는 += 부터 00까지의자연수중에서 으로나누어떨어지는수, 즉 의배수는 개 로나누어떨어지는수, 즉 의배수는 0개 과 의최소공배수인 의배수는 개따라서구하는수의개수는 +0-=7 ⑴ a, b 중어느하나를택하면그각각에대하여 p, q 중하나를택하여곱할수있고, 또그각각에대하여 x, y, z 중하나를택하여곱할수있으므로구하는항의개수는 K K = ⑵ 08을소인수분해하면 08=@ K # 이므로 08의약수의개수는 @ 의약수의개수와 # 의약수의개수를곱한것과같다. 이때 @ 의약수는,, @ 의 개이고, # 의약수는,, @, # 의 개이므로 08의약수의개수는 K = 70을소인수분해하면 70= K # K 이므로 70의홀수인약수의개수는 # 의약수의개수와 의약수의개수를곱한것과같다. 이때 # 의약수는,, @, # 의 개, 의약수는, 의 개이므로 70의홀수인약수의개수는 K =8 지점 A에서지점 D로가는방법은 A`!`B`!`D, A`!`C`!`D의두가지가있다.! A`!`B`!`D의경우 A`!`B로가는방법은 가지, B`!`D로가는방법은 가지이므로 A`!`B`!`D로가는방법의수는 K = 0 @ A`!`C`!`D의경우 A`!`C로가는방법은 가지, C`!`D로가는방법은 가지이므로 A`!`C`!`D로가는방법의수는 K =!, @ 는동시에일어날수없으므로구하는방법의수는 +=8 영역 A를칠할수있는색은 가지영역 B를칠할수있는색은 A에칠한색을제외한 가지영역 C를칠하는경우는다음두가지로나누어생각할수있다.! 영역 A와같은색을칠하는경우영역 C에칠할수있는색은 가지영역 D에칠할수있는색은 A, C에칠한색을제외한 가지따라서 개의영역 A, B, C, D를칠하는방법의수는 K K K =80 @ 영역 A와다른색을칠하는경우영역 C에칠할수있는색은 A, B에칠한색을제외한 가지영역 D에칠할수있는색은 A, C에칠한색을제외한 가지따라서 개의영역 A, B, C, D를칠하는방법의수는 K K K =80!, @ 는동시에일어날수없으므로구하는방법의수는 80+80=0 순열 p. ~ ⑴ 8 ⑵ ⑶ ⑷ ⑴ 00 ⑵ 8 ⑴ 8 ⑵ 7 ⑶ 8 70 ⑴ np=에서 n{n-}= n @-n-=0, {n+7}{n-8}=0 n=-7 또는 n=8 그런데 n>이므로 n=8 ⑵ 7Pr=0=7 K K r= ⑶ np=n에서 n{n-}{n-}=n 이때 n>이므로양변을 n으로나누면 {n-}{n-}=, n @-n-=0 {n+}{n-}=0 n=- 또는 n= 그런데 n>이므로 n= ⑷ Pr= K P= K K = K K K r= 정답과해설
8Pr`:`Pr=`:` 에서 K Pr= K 8Pr? K {-r}? = K 8? {8-r}? 양변에 {8-r}? 을곱하여정리하면? {8-r}? =0, {8-r}{7-r}=0 {-r}? r @-r+=0, {r-}{r-}=0 r= 또는 r= 그런데 0<r< 이므로 r= ⑴ 백의자리에올수있는숫자는 0 을제외한 개 나머지자리에오는숫자를택하는경우의수는백의자 리에온숫자를제외한 개의숫자중에서 개를택하는 순열의수와같으므로 P=0 따라서구하는자연수의개수는 K 0=00 ⑵ 의배수이려면일의자리의숫자가 0 또는 이어야한다.! 일의자리의숫자가 0 인경우 나머지자리에오는숫자를택하는경우의수는 0 을 제외한 개의숫자중에서 개를택하는순열의수 와같으므로 P=0 @ 일의자리의숫자가 인경우 백의자리에올수있는숫자는 0 과일의자리에온 숫자를제외한 개 십의자리에올수있는숫자는백의자리와일의자 리에온숫자를제외한 개 따라서일의자리의숫자가 인경우의수는 K =!, @ 에의하여구하는 의배수의개수는 0+=! 만의자리의숫자가 보다작은경우 만의자리에올수있는숫자는,, 의 개 나머지자리에오는숫자를택하는경우의수는만의자 리에온숫자를제외한 개의숫자를일렬로배열하는 경우의수와같으므로?= 따라서만의자리의숫자가 보다작은경우의수는 K =7 @ 만의자리의숫자가 인경우 천의자리에올수있는숫자는, 의 개 나머지자리에오는숫자를택하는경우의수는만의자 리와천의자리에온숫자를제외한 개의숫자를일렬 로배열하는경우의수와같으므로?= 따라서만의자리의숫자가 인경우의수는 K =!, @ 에의하여구하는자연수의개수는 7+=8 0 ⑴ b, d를한문자로생각하면 개의문자를일렬로배열하는경우의수는?= b, d가서로자리를바꾸는경우의수는?= 따라서구하는경우의수는 K =8 ⑵ a, c를제외한 개의문자 b, d, e를일렬로배열하는경우의수는?= b, d, e 사이사이와양끝의 개의자리중에서 개를택하여 a, c를일렬로배열하는경우의수는 P= 따라서구하는경우의수는 K =7 ⑶ 적어도한쪽끝에모음이오는경우의수는전체순열의수에서양끝에자음이오는경우의수를빼면된다. 개의문자를일렬로배열하는경우의수는?=0 개의자음 b, c, d 중에서 개를택하여양끝에나열하는경우의수는 P= 가운데 개의자리에나머지 개의문자를일렬로배열하는경우의수는?= 즉, 양끝에자음이오도록 개의문자를일렬로배열하는경우의수는 K = 따라서구하는경우의수는 0-=8 상추와방울토마토를제외한모종 개중에서 개를택하여일렬로배열하는경우의수는 P=0 택한 개의모종사이사이와양끝의 개의자리중에서 개를택하여상추와방울토마토를심는경우의수는 P= 따라서구하는경우의수는 0 K =70 원순열 p. ~ 7 ⑴ 0 ⑵ 70 ⑶ 0 0 80 0 00 9070 ⑴ 부모를한명으로생각하면 7명이원탁에둘러앉는경우의수는 {7-}?=?=70 부모끼리자리를바꾸는경우의수는?= 따라서구하는경우의수는 70 K =0 ⑵ 부모중한명의자리가결정되면남은부모중한명의자리는한가지로결정되므로구하는경우의수는나머지 명을남은자리에일렬로배열하는경우의수와같다. 따라서구하는경우의수는?=70 ⑶ 우빈이와부모를한명으로생각하면 명이원탁에둘러앉는경우의수는 {-}?=?=0 부모끼리자리를바꾸는경우의수는?= 따라서구하는경우의수는 0 K =0 Ⅰ. 순열과조합
남학생 명이원탁에둘러앉는경우의 남 수는 {-}?=?= 남학생사이사이 개의자리중에서 남 남 개를택하여여학생 명이앉는경우 남남 의수는 P=0 따라서구하는경우의수는 K 0=0 정사각형인두밑면을칠하는방법의수는 P=0 나머지 개의옆면을칠하는방법의수는두밑면에칠한색 을제외한 가지색을원형으로배열하는원순열의수와같 으므로 {-}?=?= 따라서구하는방법의수는 0 K =80 정육면체의각면은모두합동이므로한면에색을칠하면 마주보는면에칠할수있는색은 가지 나머지 개의면을칠하는방법의수는 가지색을원형으 로배열하는원순열의수와같으므로 {-}?=?= 따라서구하는방법의수는 K =0 8명을원형으로배열하는방법의수는 {8-}?=7?=00 이때원형으로배열하는한가지방법에대하여다음그림과 같이서로다른경우가 가지씩있다. 8 8 7 7 8 7 8 7 따라서구하는방법의수는 00 K =00 가운데칸에곡식을담는방법의수는 9이고, 나머지곡식 8 종류를담는방법의수는 {8-}?=7?=00 이때원형으로배열하는한가지방법에대하여다음그림과 같이서로다른경우가 가지씩있다. 9 9 8 7 8 7 따라서구하는방법의수는 9 K 00 K =9070 0 중복순열 / 같은것이있는순열 00 9 ⑴ 0 ⑵ 80 78 ⑴ 0 ⑵ 90 p.9 ~ 여학생 명이고등학교를배정받는경우의수는배정받을 수있는고등학교 개중에서중복을허락하여 개를택하 는중복순열의수와같으므로 T=@= 남학생 명이고등학교를배정받는경우의수는배정받을 수있는고등학교 개중에서중복을허락하여 개를택하 는중복순열의수와같으므로 T=#= 따라서구하는경우의수는 K =00 깃발을한번올려서만들수있는신호의개수는 T= 깃발을두번올려서만들수있는신호의개수는 T=@=9 깃발을세번올려서만들수있는신호의개수는 T=#=7 따라서구하는경우의수는 +9+7=9 ⑴ P 가 개, O 가 개있으므로 7 개의문자를일렬로배열 하는경우의수는 7??? =0 ⑵ 모음 O, O, E 를한문자 a 로생각하면 개의문자 a, P, R, P, S 를일렬로배열하는경우의수는?? =0 모음끼리자리를바꾸는경우의수는?? = 따라서구하는경우의수는 0 K =80! 0 인경우 개의숫자,,,, 를일렬로배열하는경우의수는??? =0 @ 인경우 개의숫자 0,,, 를일렬로배열하는경우의수는?= 정답과해설
# 인경우 개의숫자 0,,, 를일렬로배열하는경우의수는?? = $ 인경우 개의숫자 0,,, 을일렬로배열하는경우의수는?? =! ~ $ 에의하여구하는 의배수의개수는 0+++=78 ⑴ 지점 A 에서지점 B 까지가는최단경로의수는? 7?? =0 ⑵ 지점 A 에서지점 C 로가는최단경로의수는??? = 도로 CD 를지나는경로의수는 지점 D 에서지점 B 로가는최단경로의수는??? = 따라서구하는최단경로의수는 K K =90 오른쪽그림과같이네지점 P, Q, R, S 를잡으면지점 A 에서지점 B 까지가는최단경로는 A`!`P`!`B, A`!`Q`!`B, A`!`R`!`B, A`!`S`!`B 이다.! A`!`P`!`B 의경우 :` @ A`!`Q`!`B 의경우 :?? K?? = # A`!`R`!`B 의경우 :?? K?? = $ A`!`S`!`B 의경우 :`! ~ $ 에의하여구하는최단경로의수는 +++= 오른쪽그림과같이지 점 T 를잡으면구하는최단경로 의수는지점 A 에서지점 B 까지 가는최단경로의수에서지점 A 에서지점 T 를거쳐지점 B 까지 가는최단경로의수를뺀것과같다. 지점 A 에서지점 B 까지가는최단경로의수는 8??? =70 A P A Q 호수 지점 A 에서지점 T 를거쳐지점 B 까지가는최단경로의 수는??? K??? = 따라서구하는최단경로의수는 70-= T R S B B 0 0 0 0 0 0 0 880 07 8 개 08 09 0 7 0 0 p. ~ 섭취하는고구마, 빵, 조각케이크의개수를각각 x, y, z 라 고하면 00x+00y+00z<000 x+y+z<0 즉, 구하는방법의수는부등식 x+y+z<0 을만족하는 세자연수 x, y, z 에대하여순서쌍 {x, y, z} 의개수와같다.! z= 일때, x+y<7 을만족하는순서쌍 {x, y} 의개수는 {, }, {, }, {, }, {, }, {, }, {, }, {, }, {, }, {, } 의 9 개 @ z= 일때, x+y< 를만족하는순서쌍 {x, y} 의개수는 {, }, {, } 의 개 # z= 일때, x+y< 을만족하는순서쌍 {x, y} 는없다.!, @, # 은동시에일어날수없으므로구하는순서쌍 {x, y, z} 의개수는 9+= 따라서섭취하는방법의수는 이다.! 지불하는방법의수 00 원짜리동전 개로지불할수있는방법은 0 개, 개, 개의 가지 0 원짜리동전 개로지불할수있는방법은 0 개, 개, 개, 개의 가지 0 원짜리동전 개로지불할수있는방법은 0 개, 개, 개의 가지 이때 0 원을지불하는것은제외하므로지불하는방법의 수는 a= K K -= @ 지불할수있는금액의수 00 원짜리동전 개는 0 원짜리동전 개와같은금액 이므로지불할수있는금액의수는 0 원짜리동전 7 개 와 0 원짜리동전 개를사용하여지불할수있는금액 의수와같다. 0 원짜리동전 7 개로지불할수있는금액은 0 원, 0 원, 00 원, y, 0 원의 8 가지 0 원짜리동전 개로지불할수있는금액은 0 원, 0 원, 0 원의 가지 이때 0 원을지불하는것은제외하므로지불할수있는금 액의수는 b=8 K -=!, @ 에서 a+b=8 Ⅰ. 순열과조합
0 0 0 0 07 여학생대표를각각 A, B, C, D, 남학생대표를각각 a, b, c, d라하고, A, a와같이같은문자끼리한쌍이라고하자. 여학생 명이원형의자에앉는방법의수는?= 남학생 명이사각형의자에앉는방법의수는?= 따라서학생 8명이의자에앉는방법의수는 K =7 이때오른쪽그림과같이여학생 A, A B C D B, C, D가일렬로앉는한가지방법에대하여한쌍도마주보지않도록남학생 a, b, c, d가앉는방법은 9 가지이므로 쌍중한쌍도마주보지 a - d - c 않게앉는모든방법의수는? K 9= b c - d - a d - a - c 따라서구하는방법의수는 a - d - b 7-=0 c a - b d b - a d a로시작하는문자열의개수는?= b로시작하는문자열의개수는?= c로시작하는문자열의개수는?= da로시작하는문자열의개수는?= db로시작하는문자열의개수는?= a - b - c a - b c b - a 따라서 ++++=8이므로 8번째로나타나는문자열은 dcabe이다. 한쌍의부부를한명으로생각하면 명이원탁에둘러앉는방법의수는 {-}?=?= 부부끼리자리를바꾸는방법의수는각각?= 따라서구하는방법의수는 K K K = 나무 종류를원형으로심는방법의수는 {-}?=?= 나무사이사이의 개의자리에꽃 종류를심는방법의수는?=0 따라서구하는방법의수는 K 0=880 일렬로나열된전구의수를 n이라고하면전구 n개를켜거나끄는경우의수는 Tn= N 이때모든전구가꺼진경우는신호로생각하지않으므로전구 n개로만들수있는신호의수는 N- 따라서 00가지이상의신호를만들려면 N->00 N>0 이때 &=8, *=이므로최소 8개의전구가필요하다. 08 09 O 와 U 를모두 X 로, R 와 P 를모두 Y 로생각하여 개의 문자 D, X, X, Y, Y 를일렬로배열한다음첫번째 X 는 O 로, 두번째 X 는 U 로바꾸고첫번째 Y 는 P 로, 두번째 Y 는 R 로바꾸면된다. 따라서구하는방법의수는??? =0 오른쪽그림과같이네꼭짓점 P, Q, R, S 를잡으면꼭짓점 A 에서 꼭짓점 B 까지가는최단경로는 A`!`{P 또는 Q}`!`B, A`!`{R 또는 S}`!`B 이다.! A`!`P`!`B 의경우 :`? K?? = @ A`!`Q`!`B 의경우 :`? K?? =8 A Q P # A`!`P`!`Q`!`B 의경우 :`? K K?? =!, @, # 에의하여꼭짓점 A 에서꼭짓점 P 또는 Q 를 거쳐꼭짓점 B 까지가는최단경로의수는 +8-= $ A`!`R`!`B 의경우 : K?? = % A`!`S`!`B 의경우 :?? K?? =9 ^ A`!`R`!`S`!`B 의경우 :` K K?? = $, %, ^ 에의하여꼭짓점 A 에서꼭짓점 R 또는 S 를 거쳐꼭짓점 B 까지가는최단경로의수는 +9-=8 따라서구하는최단경로의수는 +8= 오른쪽그림과같이두 꼭짓점 X, Y 를잡으면구하는최 단경로의수는꼭짓점 A 에서꼭짓 점 B 까지가는최단경로의수에서 꼭짓점 A 에서꼭짓점 X 또는 Y Y X 를거쳐꼭짓점 B 까지가는최단경로의수를뺀것과같다.?! A`!`B의경우 :`?? =0 @ A`!`X`!`B 의경우 :` K?? = # A`!`Y`!`B 의경우 :`?? K = $ A`!`X`!`Y`!`B 의경우 :` K K = 따라서구하는최단경로의수는 0-{+-}= A R S B B 정답과해설
0 서로다른 7 개의영역을칠하는방법의수는 7?=00 이때 7 가지색을 a, b, c, d, e, f, g 라고하면한가지방 법에대하여다음그림과같이서로같은경우가 가지씩 있다. e g d a b c f g f c a d b 따라서구하는경우의수는 00 =80 e f e b a c d 0 을사용하지않을때, 각자리의수의합이 인자연수는 의 개 0 을 개사용할때, 각자리의수의합이 가되려면 0,,,, 를사용하여야한다. 이때만의자리에올수있는숫자는, 의 개이므로! 인경우 개의숫자 0,,, 를배열하는순열의수는?? = @ 인경우 개의숫자 0,,, 을배열하는순열의수는?? =!, @ 에의하여 0 을 개사용하여만들수있는자연수의 개수는 += 따라서구하는자연수의개수는 +=7! 0 을사용하지않는경우는 의 개 @ 0 을 개사용하는경우는 0,,,, 를배열하는경 우에서맨앞에 0 이오는경우를빼면되므로?? -?? =!, @ 에서구하는자연수의개수는 +=7 오른쪽그림과같이세지점 P, Q, R 를잡으면지점 A 에서지점 B 까지가는최단 경로는반드시세지점 P, Q, R 를모두지나야한다. A P C Q R 지점 A 에서지점 P 로가는최단경로의수는?? = 지점 P 에서지점 Q 로가는최단경로의수는?? = 지점 Q 에서지점 R 를거쳐지점 B 로가는최단경로의수는 K?= 따라서구하는최단경로의수는 K K = D g B 0 조합. 조합 p. ~ 7 ⑴ ⑵ 8 ⑶ ⑷ ⑴ ⑵ 또는 ⑴ 0 ⑵ 9 ⑶ 70 80 9 ⑴ ⑵ ⑴ nc=에서 n{n-} =? n @-n-0=0, {n+}{n-}=0 n=- 또는 n= 그런데 n> 이므로 n= ⑵ nc=ncn- 이므로 ncn-=nc n-= n=8 ⑶ n'c=nc 에서 {n+}n{n-} = n{n-}?? n{n-}{n+}=n{n-} 이때 n> 이므로양변을 n{n-} 로나누면 n+= n= ⑷ C r @=Cr' 이므로 r @=r+ 또는 r+=-r @! r @=r+ 일때, r @-r-=0 을만족하는자연수 r 의값은존재하지 않는다. @ r+=-r @ 일때, r @+r-0=0, {r+}{r-}=0 r=- 또는 r= 그런데 0<r+<, 0<r @< 이므로 r=!, @ 에의하여 r= ⑴ np+ nc= n-c 에서 n{n-}+ K n{n-} = K {n-}{n-}{n-}?? n{n-}+n{n-}={n-}{n-}{n-} 이때 n>, n-> 에서 n> 이므로양변을 n- 로 나누어정리하면 n @-7n+=0, {n-}{n-}=0 n= 또는 n= 그런데 n> 이므로 n= ⑵ 7 K Cr= K 7Cr' 에서? 7 K r?{-r}? = K 7? {r+}?{-r}? 양변에 r?{-r}? 을곱하여정리하면? r @-r+=0, {r-}{r-}=0 r= 또는 r= Ⅰ. 순열과조합 7
⑴ 나영이와주원이중에서한명을뽑는경우의수는 C= 나영이와주원이를제외한학생 8 명중에서 명을뽑는 경우의수는 8C=70 따라서구하는경우의수는 K 70=0 ⑵ 학생 0 명중에서 명을뽑는경우의수는 0C= 나영이와주원이를모두포함하지않도록뽑는경우의 수는나영이와주원이를제외한학생 8 명중에서 명을 뽑는경우의수와같으므로 8C=8C= 따라서구하는경우의수는 -=9 ⑶ 나영이와주원이를제외한학생 8 명중에서 명을뽑는 경우의수는 8C= 뽑은 명을일렬로세우는경우의수는?=0 따라서구하는경우의수는 K 0=70 사탕 8 개중에서 개를택하는방법의수는 8C= 나머지사탕 개중에서 개를택하는방법의수는 C=0 나머지사탕 개중에서 개를택하는방법의수는 C= 그런데특정한사탕 개를먼저택하는것과나중에택하는 것은서로같은경우이므로방법의수는? 만큼중복이생 긴다. 따라서구하는방법의수는 K 0 K K? =80 점 개중에서 개를택하는경우의수는 C= 한직선위의점 개중에서 개를택하는경우의수는 C=0 한직선위의점 개로는삼각형을만들수없으므로구하는 삼각형의개수는 - K 0=9 ⑴ 가로방향의평행선 개중에서 개를택하는경우의수는 C= 세로방향의평행선 개중에서 개를택하는경우의수는 C= 따라서만들수있는직사각형의개수는 K = 그런데이중에서정사각형의개수는 9++= 따라서만들수있는정사각형이아닌직사각형의개수는 -= 0 ⑵ 점 개중에서 개를택하는경우의수는 C=0 오른쪽그림과같이점 개가한직선위에있는경우의수는 0이고, 점 개중에서 개를택하는경우의수는 C=C= 또점 개가한직선위에있는경우의수는 이고, 점 개중에서 개를택하는경우의수는 C= 한직선위의점 개로는삼각형을만들수없으므로구하는삼각형의개수는 0-{0 K + K }= 중복조합 p.9 ~ ⑴ ⑵ 8 0 ⑴ ⑵ ⑴ ⑵ ⑶ ⑷ 0 00 ⑴ 구하는방법의수는서로다른 개에서 개를택하는중복조합의수와같으므로 H=C=C= ⑵ 먼저상자 B와 D에각각물건을 개씩넣으면남은물건은 개이다. 따라서구하는방법의수는서로다른 개에서 개를택하는중복조합의수와같으므로 H=9C=9C=8 먼저지민, 세윤, 보라에게볼펜과연필을각각한자루씩나누어주면남은볼펜은 자루, 남은연필은 자루이다. 볼펜 자루를 명에게나누어주는방법의수는서로다른 개에서 개를택하는중복조합의수와같으므로 H=8C=8C=8 연필 자루를 명에게나누어주는방법의수는서로다른 개에서 개를택하는중복조합의수와같으므로 H=C=C= 따라서구하는방법의수는 8 K =0 ⑴ 음이아닌정수해의개수는 개의문자 x, y, z, w에서 개를택하는중복조합의수와같으므로 H=C=C= 8 정답과해설
⑵ x, y, z, w는양의정수이므로 x>, y>, z>, w> 이때 x-=x, y-=y, z-=z, w-=w로놓으면 x=x+, y=y+, z=z+, w=w+ 이를방정식 x+y+z+w=에대입하면 {X+}+{Y+}+{Z+}+{W+}= X+Y+Z+W=8 ( 단, X, Y, Z, W는음이아닌정수 ) y`ᄀ따라서구하는해의개수는방정식ᄀ의해의개수와같다. 즉, 개의문자 X, Y, Z, W에서 8개를택하는중복조합의수와같으므로 H8=C8=C= x, y, z, w가음이아닌정수이므로 x+y+z+w=0 또는 x+y+z+w= 또는 x+y+z+w= 또는 x+y+z+w=! x+y+z+w=0인경우음이아닌정수해는 x=0, y=0, z=0, w=0의 개 @ x+y+z+w=인경우음이아닌정수해의개수는 개의문자 x, y, z, w에서 개를택하는조합의수와같으므로 C= # x+y+z+w=인경우음이아닌정수해의개수는 개의문자 x, y, z, w에서중복을허락하여 개를택하는중복조합의수와같으므로 H=C=0 $ x+y+z+w=인경우음이아닌정수해의개수는 개의문자 x, y, z, w에서중복을허락하여 개를택하는중복조합의수와같으므로 H=C=0! ~ $ 에의하여구하는해의개수는 ++0+0= ⑴ 공역 Y의원소 7, 8, 9, 0에서중복을허락하여 개를택하여정의역 X의원소,, 에대응시키면되므로구하는함수의개수는서로다른 개중에서중복을허락하여 개를택하는중복순열의수와같다. T=#= ⑵ 공역 Y의원소 7, 8, 9, 0에서 개를택하여정의역 X 의원소,, 에대응시키면되므로구하는함수의개수는서로다른 개에서 개를택하는순열의수와같다. P= ⑶ 공역 Y의원소 7, 8, 9, 0에서 개를택하여작은수부터순서대로정의역 X의원소,, 에대응시키면되므로구하는함수의개수는서로다른 개에서 개를택하는조합의수와같다. C=C= 0 ⑷ 공역 Y의원소 7, 8, 9, 0에서중복을허락하여 개를택한다음작은수부터순서대로정의역 X의원소,, 에대응시키면되므로구하는함수의개수는서로다른 개에서중복을허락하여 개를택하는중복조합의수와같다. H=C=0 f{}, f{} 의값을정하는경우의수는공역 X의원소,,, 에서중복을허락하여 개를택한다음큰수부터순서대로정의역 X의원소, 에대응시키면되므로서로다른 개에서중복을허락하여 개를택하는중복조합의수와같다. H=C=0 또 f{}, f{}, f{} 의값을정하는경우의수는공역 X의원소,, 에서중복을허락하여 개를택한다음큰수부터순서대로정의역 X의원소,, 에대응시키면되므로서로다른 개에서중복을허락하여 개를택하는중복조합의수와같다. H=C=C=0 따라서구하는함수의개수는 0 K 0=00 분할 p. ~ ⑴ 0 ⑵ 0 800 0 ⑴ 구하는방법의수는 P{, } 과같다. 자연수 을 개의자연수로분할하는방법은 =9++=8++=7++=7++ =++=++=++=++ =++=++ 따라서구하는방법의수는 P{, }=0 ⑵ 빈필통이 0개, 개, 개인경우의방법의수는연필 자루를각각필통 개, 개, 개에나누어담는방법의수와같으므로차례로 P{, }, P{, }, P{, } 이다. =0+=9+=8+=7+=+ 이므로 P{, }= 따라서구하는방법의수는 P{, }+P{, }+P{, }=0++= Ⅰ. 순열과조합 9
먼저상자 개에각각사탕을 개씩담으면남은사탕은 8 개이다. 따라서구하는방법의수는똑같은사탕 8 개를똑같은상자 개에빈상자가없도록담는방법의수 P{8, } 과같다. 자연수 8 을 개의자연수로분할하는방법은 8 =++=++=++=++=++ 따라서구하는방법의수는 P{8, }=!~$ 에의하여구하는방법의수는 0+80+80+0= 7 명을 개의조로나누는방법의수는 S{7, } 와같다. 자연수 7 을 개의자연수로분할하는방법은 7=+++=+++=+++ 이므로 7 명을 개의조로나눌때, 각팀의인원수는 구하는방법의수는 S{7, } 과같다. 자연수 7 을 개의자연수로분할하는방법은 7=++=++=++=++ 이므로빵 7 개를접시 개에나누어담을때, 각접시에담 긴빵의개수는 {,, } 또는 {,, } 또는 {,, } 또는 {,, }! ( 개, 개, 개 ) 로나누는방법의수는 7C K C K C K? = @ ( 개, 개, 개 ) 로나누는방법의수는 7C K C K C=0 # ( 개, 개, 개 ) 로나누는방법의수는 7C K C K C K? =70 {,,, } 또는 {,,, } 또는 {,,, }! ( 명, 명, 명, 명 ) 으로나누는방법의수는 7C K C K C K C K? = @ ( 명, 명, 명, 명 ) 으로나누는방법의수는 7C K C K C K C K? =0 # ( 명, 명, 명, 명 ) 으로나누는방법의수는 7C K C K C K C K? =0!, @, # 에의하여 7 명을 개의조로나누는방법의수는 S{7, }=+0+0=0 이때 개의조를 개의청소구역에배정하는방법의수는?= 따라서구하는방법의수는 0 K =800 $ ( 개, 개, 개 ) 로나누는방법의수는 7C K C K C K? =0! ~ $ 에의하여구하는방법의수는 S{7, }=+0+70+0=0 승객 9 명을 개의정거장에서내리는세팀으로나누는방 법의수는원소가 9 개인집합을원소가 개인집합을포함 하여 개의부분집합으로분할하는방법의수와같다. 자연수 9 를 개의자연수로분할하는방법은 구하는방법의수는원소가 8 개인집합을원소가 개이하 인 개의부분집합으로분할하는방법의수와같다. 자연수 8 을 이하의자연수 개의합으로나타내면 8=+++=+++=+++=+++ 이므로초콜릿 8 개를상자 개에나누어담을때, 각상자에 담긴초콜릿의개수는 {,,, } 또는 {,,, } 또는 {,,, } 또는 {,,, }! ( 개, 개, 개, 개 ) 로나누는방법의수는 8C K C K C K C K? =0 @ ( 개, 개, 개, 개 ) 로나누는방법의수는 8C K C K C K C K? K? =80 # ( 개, 개, 개, 개 ) 로나누는방법의수는 8C K C K C K C K? =80 $ ( 개, 개, 개, 개 ) 로나누는방법의수는 8C K C K C K C K? =0 9 =7++=++=++=++ =++=++=++ 이므로 9 명을 명인팀을포함한세팀으로나눌때, 각팀 의인원수는 {7,, } 또는 {,, } 또는 {,, } 또는 {,, }! ( 7 명, 명, 명 ) 으로나누는방법의수는 9C7 K C K C K? = @ ( 명, 명, 명 ) 으로나누는방법의수는 9C K C K C= # ( 명, 명, 명 ) 으로나누는방법의수는 9C K C K C=0 $ ( 명, 명, 명 ) 으로나누는방법의수는 9C K C K C K? =! ~ $ 에의하여 9 명을 명인팀을포함한세팀으로나 누는방법의수는 ++0+=07 이때남은정거장 개중에서세팀이내리는 개의정거장 을택하는방법의수는 P=0 따라서구하는방법의수는 07 K 0=0 0 정답과해설
0 이항정리 ⑴ 89 ⑵ 9 9-0 0 - ⑴ {x-y}& 의전개식의일반항은 7Cr x &_R{-y}R=7Cr{-}Rx &_Ry R p.7 ~ 9 x %y @ 항은 x &_Ry R=x %y @ 에서 7-r=, r= 일때이므로 r= 따라서 x %y @ 의계수는 7C{-}@=89 ⑵ [y@+ ]$ 의전개식의일반항은 y Cr{y @}$_R[ ]R =Cr $_Ry *_@Ry_R y =Cr $_Ry *_#R y @ 항은 y *_#R=y @ 에서 8-r= 일때이므로 r= 따라서 y @ 의계수는 C $_@= {x @-x+}[x- x ]% =x @[x- x ]%-x[x- x ]%+[x- x ]% 이므로 {x@-x+}[x- ]% 의전개식에서 x @ 항은다음과 x 같이 개의항이곱해지는경우에생긴다. x @-x+ [x-x!]% 의전개식! x @ 항상수항 @ x 항 x 항 # 상수항 x @ 항 [x- ]% 의전개식의일반항은 x Cr x %_R[- ]R =Cr x %_R{-}Rx_R x! x %_@R=x ) 일때, =Cr{-}Rx %_@R [ax#- ]$ 의전개식의일반항은 x @ Cr{ax #}$_R[- ]R =Cr a $_Rx!@_#R{-}Rx_@R x @ =Cr {-}Ra $_Rx!@_%R x & 항은 x!@_%r=x & 에서 -r=7 일때이므로 r= x & 의계수가 - 이므로 C{-}!a $_!=- -8a #=- a #=8 그런데 a 는실수이므로 a= 한편 x @ 항은 x!@_%r=x @ 에서 -r= 일때이므로 r= 따라서 x @ 의계수는 C{-}@ $_@=9 {x+}${x@+}# 의전개식에서 x % 의계수는 x {x+}${x @+}# 의전개식에서 x ^ 의계수와같다. {x+}$ 의전개식의일반항은 Cr{x}$_RR=Cr $_Rx $_R {x @+}# 의전개식의일반항은 Cs{x @}#_SS =Cs #_Sx ^_@S@S=Cs #"Sx ^_@S 따라서 {x+}${x @+}# 의전개식의일반항은 Cr $_Rx $_R K Cs #"Sx ^_@S=Cr K Cs &_R"Sx!)_R_@S x ^ 항은 x!)_r_@s=x ^ 에서 0-r-s= 일때이므로 r+s= 이를만족하는 r, s 의순서쌍 {r, s} 는 {0, }, {, }, {, 0} 따라서구하는 x % 의계수는 C0 K C K (+C K C K ^+C K C0 K # =++8 =9 -r=0 r= 그런데 r는 0<r<인정수이므로 [x- ]% 의상수항 x 은존재하지않는다. @ x %_@R=x 일때, -r= r= 따라서 [x- ]% 의전개식에서 x의계수는 x C{-}@=0 이고, {x @-x+} 에서 x 의계수는 - 이 므로 x @ 의계수는 -0 # x %_@R=x @ 일때, -r= r= 그런데 r는 0<r<인정수이므로 [x- ]% 의 x @ 항은 x 존재하지않는다.!, @, # 에의하여구하는 x @ 의계수는 -0 [x@+ +]^의전개식의일반항은 x? p?q?r? {x@}p[? ]QR= x p?q?r? x @P_Q ( 단, p+q+r=, p>0, q>0, r>0 인정수 ) x % 항은 x @P_Q=x % 에서 p-q= 일때이므로 q=p- y` ᄀ ᄀ을 p+q+r= 에대입하여정리하면 p+r= y` ᄂ 이때 p, q, r 는음이아닌정수이므로ᄀ, ᄂ을만족하는 p, q, r 의순서쌍 {p, q, r} 는 {,, } 따라서 x % 의계수는???? =0 Ⅰ. 순열과조합
{ax @-x+}& 의전개식의일반항은 7? 7? {ax@}p{-x}qr= {-}Qa Px @P"Q p?q?r? p?q?r? ( 단, p+q+r=7, p>0, q>0, r>0 인정수 ) x # 항은 x @P"Q=x # 에서 p+q= 일때이므로 q=-p+ y` ᄀ ⑶ 0C0-0C+0C-0C-y+0C0=0 이므로 0C-0C+0C-0C+y-0C0=0C0= nc0+nc+nc+y+ncn=n 이므로 0? [? n n= r= ncr] =? 0 {nc+nc+nc+y+ncn} n= ᄀ을 p+q+r=7 에대입하여정리하면 -p+r= y` ᄂ 이때 p, q, r 는음이아닌정수이므로ᄀ, ᄂ을만족하는순 서쌍 {p, q, r} 는 {0,, }, {,, } 이때 x # 의계수가 7 이므로 7? 7? K {-}# K a )+ K {-}! K a!=7 0?????? a=- = 0? {N-nC0} n= = 0? N-0 K n= = {!)-} -0 - =0 {+x}n=nc0+nc x+nc x @+y+ncn x N 이식의양변에 x=-, n=를각각대입하면 0 이항정리의활용 0 07 ⑴ 9 ⑵ 9 ⑶ 0-0.8 0 C+C+C+y+0C =C+C+C+y+0C =C+C+C+y+0C =C+C+y+0C =0C+0C =C=0 파스칼의삼각형에서각행의수의합을구해보면 행 : =) 행 : +=! 행 : ++==@ 행 : +++=8=# p. ~ 따라서 n 행의수의합은 N_! 이므로 행부터 행까지의 모든수의합은 )+!+@+y+!)=!!- - =07 ⑴ 9C0+9C+9C+y+9C9=!( 이므로 log`{9c0+9c+9c+y+9c9}=log`!(=9 ⑵ n 이홀수일때, nc0+nc+nc+y+ncn-=n_! 이므로 00<nC0+nC+nC+y+nCn-<00 에서 00<N_!<00 이때 &=8, *=, (= 이므로 n-=8 n=9 [- C ]%=C0- + C @ - C # + C $ - C % C0- C + C @ - C # + C $ - C % =[ ]% 따라서주어진식의값은 log`[c0- C + C @ - C # + C $ - C % ] =log`[ ]%!) ={+}!) =`log` 8 0 ={`log`-} =-0.8 =0C0 K!)+0C K ( K +y+0c9 K K (+0C0 K!) 이때 0C0 K!) 을제외한나머지항은모두 의배수이므로!) 을 으로나누었을때의나머지는 0C0 K!)=0 를 으로나누었을때의나머지와같다. 따라서구하는나머지는 0 0 0 0 0 0 0 0 07 08 09 7 0 90 0 0 0 어른 명중에서 명을뽑는방법의수는 C= 어린이 명중에서 명을뽑는방법의수는 C= p. ~ 뽑은 명을원탁에앉히는방법의수는 {-}?=0 따라서구하는방법의수는 K K 0=0 정답과해설
0 0 0 0 삼각형의개수는점 8개중에서 개를택하는방법의수이므로 8C= a= 오른쪽그림과같이지름한개에대하여 개의직각삼각형이생길수있고, 지름이될수있는선분은 개이므로직각삼각형의개수는 K = b= 직사각형의개수는서로다른원의지름 개중에서 개를택하는방법의수와같으므로 C= c= a+b+c=8 7개의팀을먼저 팀, 팀의두조로나누는방법의수는 7C K C= 팀을 팀, 팀의두조로나누는방법의수는 C K C K? = 팀을 팀, 팀의두조로나누는방법의수는 C K C= 따라서구하는방법의수는 K K = {x+y}# 의전개식에서항의개수는 개의문자 x, y에서 개를택하는중복조합의수와같으므로 H=C= {a+b+c}% 의전개식에서항의개수는 개의문자 a, b, c 에서 개를택하는중복조합의수와같으므로 H=7C= 따라서구하는항의개수는 K =8 x>, y>, z>이므로 x-=x, y-=y, z-=z로놓으면 x=x+, y=y+, z=z+ 이를방정식 x+y+z=0에대입하면 {X+}+{Y+}+{Z+}=0 X+Y+Z= ( 단, X, Y, Z는음이아닌정수 ) y`ᄀ따라서구하는해의개수는방정식ᄀ의해의개수와같다. 즉, 개의문자 X, Y, Z에서 개를택하는중복조합의수와같으므로 H=C= 0 07 칫솔 개를서로다른 개의통에넣는방법의수는서로다른 개에서 개를택하는중복조합의수와같으므로 H=8C=8 치약 개를서로다른 개의통에넣는방법의수는서로다른 개에서 개를택하는중복조합의수와같으므로 H=7C= 따라서모든방법의수는 8 K =88! 빈통이 개인경우빈통을택하는방법의수는 C= 나머지통 개에칫솔 개를넣는방법의수는 H=7C=7 통 개에치약 개를넣는방법의수는 H=C= 이때빈통이 개이어야하므로나머지통 개가비는 가지경우를제외하면빈통이 개인경우의수는 K {7 K -}=0 @ 빈통이 개인경우빈통 개를택하면나머지통 개에칫솔 개와치약 개를모두넣으면되므로빈통이 개인경우의수는 C= 따라서구하는방법의수는 88-{0+}= 자연수 0 의분할중에서같은수가 개이상포함되려면 같은수는 또는 이어야한다.! 같은수가 인경우 0=++++이므로자연수 의분할의수와같다. P{, }= =+=+=+에서 P{, }= =++=++=++에서 P{, }= =+++=+++에서 P{, }= =++++에서 P{, }= P{, }= 따라서자연수 의분할의수는 P{, }+P{, }+P{, }+y+p{, } =+++++= @ 같은수가 인경우 0=++++이므로자연수 의분할의수와같다. 자연수 의분할의수는 P{, }+P{, }=+=!, @ 에의하여구하는형태의개수는 += Ⅰ. 순열과조합
08 09 0 0 을소인수분해하면 0= K K K 따라서구하는방법의수는집합 9,,, 0 을 개의부 분집합으로분할하는방법의수 S{, } 와같다. 자연수 를 개의자연수로분할하는방법은 =+=+ 이므로원소가 개인집합을 개의부분집합으로나눌때, 각부분집합의원소의개수는 {, }, {, }! ( 개, 개 ) 로나누는방법의수는 C K C= @ ( 개, 개 ) 로나누는방법의수는 C K C K? =!, @ 에의하여구하는방법의수는 S{, }=+=7 주어진식은첫째항이 {+x}, 공비가 {+x} 인등비수 열의제 항부터제 8 항까지의합이므로 {+x}9{+x}*-0 = {+x}(-{+x} {+x}- x 따라서주어진식의전개식에서 x 의계수는 {+x}( 의전 개식에서 x @ 의계수에 을곱한것과같다. {+x}( 의전개식의일반항은 9Cr{x}R=9Cr Rx R x @ 항은 x R=x @ 에서 r= 일때이므로 {+x}( 의전개식에 서 x @ 의계수는 9C @= 따라서구하는 x 의계수는 K =7 00? k=0 00C00-k K 00Ck =00C00 K 00C0+00C99 K 00C+y+00C0 K 00C00 이므로주어진식은 {+x}!)){+x}!)), 즉 {+x}@)) 의전 개식에서 x!)) 의계수와같다. 따라서구하는값은 00C00 과같다. {+x}n=nc0+nc x+nc x @+y+ncn x N 이식의양변에 x=99, n= 를각각대입하면 {+99}%=C0+C K 99+C K 99 @+y+c K 99 % N =99 @ K C+99 # K C+y+99 ^ K C =99{99 K C+99 @ K C+y+99 % K C} =99{+99 K C+99 @ K C+y+99 % K C}-99 =99{+99}%-99 =99 K 0!)-99 =98999999990 따라서각자리의숫자의합은 9 K 9+8+=90 에서 a\b\c 가홀수이므로 a, b, c 는모두홀수이어야 한다. 또 에서 a<b<c<0 이므로,,, y 9 의홀수 0 개에서중복을허락하여 개를택한다음작은수부터순서 대로 a, b, c 에대응시키면된다. 따라서구하는순서쌍의개수는홀수 0 개에서중복을허락 하여 개를택하는중복조합의수와같으므로 0H=C=0 {x+a}% 의전개식의일반항은 Cr x %_Ra R! x # 항은 x %_R=x # 에서 -r= 일때이므로 r= 따라서 x # 의계수는 C a @=0a @ @ x $ 항은 x %_R=x $ 에서 -r= 일때이므로 r= 따라서 x $ 의계수는 C a!=a 이때 x # 의계수와 x $ 의계수가같으므로 0a @=a, 0a @-a=0, a{a-}=0 a=0 또는 a= 그런데 a 는양수이므로 a= 0a=0 K =0 구하는방법의수는빨간색, 파란색, 노란색색연필을먼저 한개씩택한후 개이하의색연필을택하는방법의수와 같다. 따라서 가지색깔의색연필에서 개이하를택하는중복 조합의수와같으므로구하는방법의수는 H0+H+H+y+H =C0+C+C+y+C =C0+C+C+y+C =C+C+y+C =C+y+C =C+C =C= 구하는방법의수는빨간색, 파란색, 노란색색연 필을먼저한개씩택한후 개이하의색연필을택하는방 법의수와같다. 가지색깔의색연필에서 k 개를선택하는중복조합의수는 Hk='k-Ck=k'Ck ( 단, 0<k<) 따라서구하는방법의수는? k=0 k'ck =C0+? k'ck=+? k= k= =+?{k@+k+} =+ = k= K K [ + K {k+}{k+} K + K ] 정답과해설
Ⅱ 확률 0 ⑴ 확률의뜻 ⑵ 7 8. 확률 7 9 ⑴ 명이원탁에둘러앉는경우의수는 {-}?= p.7 ~ 9 부모를한명으로생각하면 명이원탁에둘러앉는경우 의수는 {-}?= 부모가서로자리를바꾸는경우의수는?= 즉, 부모가이웃하게앉는경우의수는 K = = ⑵ 7 개의숫자,,,,,, 을일렬로나열하는경우 의수는 7???? =0 양끝에올 을제외하고나머지 개의숫자,,,, 을일렬로나열하는경우의수는 0 0 =??? =0! 직선 L 에서 개의점을택하고직선 m 에서 개의점을 택하는경우의수는 C K C=8 @ 직선 L 에서 개의점을택하고직선 m 에서 개의점을 택하는경우의수는 C K C=!, @ 에의하여삼각형이되는경우의수는 8+=0 0 = 7 사과 개와배 개를서로다른 개의바구니에나누어담 는방법의수는 H K H=C K 8C=0 모든바구니에사과와배가 개이상씩들어있으려면 개 의바구니에사과와배를각각 개씩담은후나머지사과 개와배 개를나누어담으면되므로그방법의수는 C K H=C K C=0 0 0 = 원의넓이를 이라고하면원을 등분하여생긴부채꼴의 넓이는 이고, 그각각을다시 등분, 등분하여생긴부 네사람을일렬로세우는경우의수는?=! 키가가장큰사람이세번째에서는경우나머지 명을일렬로세우면되므로경우의수는?= @ 키가두번째로큰사람이세번째에서는경우키가가장큰사람을첫번째에세우고나머지 명을일렬로세우면되므로경우의수는?=!, @ 에의하여세번째에서는사람이자신과이웃한두사람보다키가큰경우의수는 +=8 8 = 구하는확률은맨앞에서는사람을제외한나머지세사람중에서가장큰사람이세번째에설확률과같다. 이때나머지세사람중에서가장큰사람이두번째, 세번째, 네번째에설확률은각각 로같다. 이다. 점 7개중에서 개를택하는경우의수는 7C= 개의점을연결하여삼각형이되기위해서는세점이한직선위에있지않아야한다. 채꼴의넓이는각각 K =, K = 9 ( 색칠한부분의넓이 ) + 9 + 9 = = 7 ( 원의넓이 ) 8 석현이가도착한시각을 시 x 분, 영미가도착한시각을 시 y 분이라고하면 0<x<0, 0<y<0 y` ᄀ 두사람이만나려면 x-y <0 이어야하므로 -0<x-y<0 x-0<y<x+0 y` ᄂ 오른쪽그림에서부등식ᄀ의영역은 정사각형의내부 ( 경계선포함 ) 이고, 두부등식ᄀ, ᄂ의공통인영역은 색칠한부분 ( 경계선포함 ) 이다. ( 색칠한부분의넓이 ) ( 정사각형의넓이 ) 0 K 0- K [ K 0 K 0] = = 0 K 0 9 y 0 0 0 y=x+0 O 0 0 0 x y=x-0 Ⅱ. 확률
0 확률의성질 ⑴ ⑵ 9 07 00 p. ~ ⑴ 적어도한개가사이다캔인사건을 A 라고하면 AC 은 개가모두콜라캔인사건이므로 P{AC}= C 0C = L 이맨앞에오는사건을 A, 맨뒤에오는사건을 B 라고 하면 P{A}=?????? =, P{B}=? =??? P{A}=-P{AC}=- = ⑵ 세자리자연수가 0 이하인사건을 A 라고하면 AC 은 이상인사건이다.! 백의자리숫자가, 십의자리숫자가 일확률은 P = 0 P{AB}=?? =??? @ 백의자리숫자가 일확률은 P P =!, @ 에의하여세자리자연수가 이상일확률은 P{AB} =P{A}+P{B}-P{AB} P{AC}= 0 + = = + - = P{A}=-P{AC}=- = f{}= 인사건을 A, f{}<f{} 인사건을 B 라고하면 P{A}= T T = C K C, P{B}= = T P{AB}= C K C = T P{AB} =P{A}+P{B}-P{AB} = + - = 두학생이모두 학년인사건을 A, 학년인사건을 B 라고 와서로소이려면 의배수도아니고 의배수도아니어 야한다. 의배수가적힌카드를뽑는사건을 A, 의배수가적힌 카드를뽑는사건을 B 라고하면 P{A}= 00 = 0, P{B}= 00 00 =, P{AB}= 00 P{AB} =P{A}+P{B}-P{AB} = 00 + - 00 = 9 00 와서로소인수가적힌카드를뽑는사건은 ACBC 이므 하면 로구하는확률은 P{A}= C 9C = C, P{B}= 9C = 8 두사건 A, B 는서로배반사건이므로구하는확률은 P{AB}=P{A}+P{B}= + 8 = 9 P{ACBC} =P{{AB}C} =-P{AB} =- 9 00 = 07 00 초록빨대가노랑빨대보다많으려면 개의빨대중에서초 록빨대가 개이상이어야한다. 초록빨대가 개인사건을 A, 개인사건을 B, 개인사 건을 C 라고하면 P{A}= P{C}= C K C 0C = 0 C0 K C = 0C C K C, P{B}= = 0C 세사건 A, B, C 는서로배반사건이므로구하는확률은 P{ABC} =P{A}+P{B}+P{C} = 0 + + = 0 0 0 0 9 8 0 07 08 0 0 7 개 09 A=9,, 0, B=9, 0, C=9, 0, D=9, 0 이므로 AD=90, BC=, BD=, CD=90 따라서보기중배반사건인것은ㄴ, ㄷ이다. 0 p. ~ 정답과해설
0 세사람이가위바위보를한번할때일어나는모든경우의 수는 T=#=7 이기는한명을택하는경우의수는 C= 가위, 바위, 보중에서어느한가지로이기는경우의수는 C= 즉, 한명만이기는경우의수는 K =9 9 7 = 0 주머니에들어있는흰바둑돌의개수를 n 이라고하자. 개의바둑돌중에서 개를동시에꺼낼때, 개모두흰 바둑돌일확률이 이므로 nc C =, nc= n{n-} =, n@-n-=0 {n+}{n-7}=0 n=- 또는 n=7 그런데 n> 이므로 n=7 따라서주머니에흰바둑돌이 7 개들어있다고생각할수있 다. 0 0 9 명이 대의레일바이크에 명씩타는경우의수는 9C K C K C=80 대의레일바이크에어린이가한명씩타는경우의수는?= 어른 명이 대의레일바이크에 명씩타는경우의수는 C K C K C=90 즉, 대의레일바이크에어린이한명을포함하여 명씩타 는경우의수는 K 90=0 0 80 = 9 8 0 개의공중에서 개의공을꺼내는경우의수는 0C=0 개의공에적힌수의곱이 0 의배수인경우는다음과같다.! 0 이적힌공을포함하여뽑는경우 0 이적힌공을제외한나머지 9 개의공중에서 개를 뽑는경우의수는 9C= @ 0 이적힌공을포함하지않고뽑는경우 가적힌공은반드시뽑아야하고, 나머지 개의공에 적힌수중에서적어도한개는짝수이어야한다. 와 0 이적힌공을제외한 8 개의공중에서 개의공 을뽑는경우의수는 8C=8 개모두홀수가적힌공을뽑는경우의수는 C= 따라서짝수가적힌공을적어도한개뽑는경우의수는 8-=!, @ 에의하여 개의공에적힌수의곱이 0 의배수인 경우의수는 +=8 8 0 = 9 0 0 07 08 지점 P 에서지점 Q 까지최단경로로갈때, 지점 A 를거쳐 가는사건을 A, 지점 B 를거쳐가는사건을 B 라고하면 P{A}= P{B}= P{AB}=??? K??? 8?????? K?? 8??? = 7 = 8??? K K?? = 9 8??? P{AB} =P{A}+P{B}-P{AB} = 8 + 7-9 = P{AB} =-P{{AB}C} =-P{ACBC} =- = P{AB}=P{A}+P{B}-P{AB} 이므로 P{A} =P{AB}-P{B}+P{AB} = - + = P{AC}=-P{A}=- = 처음또는마지막남학생이발표하는사건을 A 라고하면 AC 은처음과마지막모두여학생이발표하는사건이므로 P{AC}= P K? =? P{A}=-P{AC}=- = Ⅱ. 확률 7
09 적어도한커플이서로이웃하게앉는사건을 A 라고하면 AC 은세커플모두서로이웃하지않게앉는사건이다. 세커플모두서로이웃하지않게앉는방법은각커플이다 음과같이앉는경우이다.! A 과 B, A 와 B, A 과 B 에앉는경우 세커플이자리를택하는경우의수는?= 커플인 명이서로자리를바꾸는경우의수는각각?= 따라서확률은 K K K =? @ A 과 B, A 와 B, A 과 B 에앉는경우! 과같은방법으로이경우의확률도 이다.!, @ 에의하여세커플모두서로이웃하지않게앉을확 률은 0 7 8 조건부확률 7 7 7. 조건부확률 ⑴ 9 8 ⑵ p.7 ~ 9 뽑은학생한명이통학시간이 0 분미만인학생인사건을 A, 남학생인사건을 B 라고하면 P{A}= 70, P{AB}= 00 00 P{B A}= P{AB} 00 = = P{A} 70 00 0 P{AC}= + = P{A} =-P{AC} =- = 보리, 팥, 수수, 조, 콩의다섯가지잡곡중에서 가지, 가 지, 가지, 가지, 가지를고르는경우의수는각각 C, C, C, C, C 즉, 잡곡밥을만드는모든경우의수는 C+C+C+C+C=%-C0= 따라서 가지잡곡만들어간잡곡밥을선택할확률은 C = 0 p=, q=0 이므로 p+q= 갑과을이카드를뽑는모든경우의수는 C K C= 을이뽑은 장의카드에적힌수가갑이뽑은 장의카드에 적힌두수의곱보다크려면을이뽑은카드에적힌숫자는 또는 이어야한다.! 을이 이적힌카드를뽑는경우 갑은, 의숫자가적힌 장의카드를뽑아야하므로 그확률은 @ 을이 가적힌카드를뽑는경우 갑은, 또는, 의숫자가적힌 장의카드를뽑아 야하므로그확률은 =!, @ 에의하여구하는확률은 + = 뽑은관람객한명이여자인사건을 A, 학생인사건을 B 라 고하면 P{A}= 0, P{B}= 9, P{AB}= P{AB}=P{A}+P{B}-P{AB} 에서 P{AB} =P{A}+P{B}-P{AB} = 0 + 9 - = 7 90 7 P{B A}= P{AB} 90 = = 7 P{A} 7 0 첫번째에 00 원짜리동전을꺼내는사건을 A,` 두번째에 00 원짜리동전을꺼내는사건을 B 라고하자. ⑴ 첫번째에 00 원짜리동전을꺼낼확률은 P{A}= 0 = 첫번째에 00 원짜리동전을꺼냈을때, 두번째도 00 원짜리동전을꺼낼확률은 P{B A}= 9 P{AB}=P{A}P{B A}= K 9 = ⑵ 첫번째에 00 원짜리, 두번째에 00 원짜리동전을꺼낼 확률은 P{ABC}=P{A}P{BC A}= 0 K 9 = 두번모두 00 원짜리동전을꺼낼확률은 P{ACBC}=P{AC}P{BC AC}= 0 K 9 = 사건 ABC 과사건 ACBC 은배반사건이므로구하는 확률은 P{BC}=P{ABC}+P{ACBC}= + = 8 정답과해설
주머니 B 에서흰공을꺼내는사건을 A, 검은공을꺼내는 A=9, 8,,, 00, B=9,,, y, 90, 사건을 B 라하고, 주머니 A 에서검은공을꺼내는사건을 C=9,,, y, 00 이므로 E라고하자.! 주머니 B에서흰공을꺼내는경우 P{A}= 0 = 0, P{B}= 0 = 0, P{C}= 0 = ㄱ. AB= 에서 P{AB}=0 이므로 P{A}=, P{E A}= = P{AB}=P{A}P{B} P{AE}=P{A}P{E A}= K = 9 @ 주머니 B에서검은공을꺼내는경우 따라서두사건 A 와 B 는서로종속이다. ㄴ. ACC=9, 80 에서 P{ACC}= 0 = 0 이므로 P{B}=, P{E B}= = P{ACC}=P{A}P{CC} 따라서두사건 A 와 CC 은서로종속이다. P{BE}=P{B}P{E B}= K = ㄷ. BC=9,,, 7, 90 에서 P{BC}= 0 =!, @ 에의하여구하는확률은 이므로 P{BC}=P{B}P{C} P{E} =P{AE}+P{BE}= 9 + = 7 8 따라서두사건 B 와 C 는서로독립이다. 따라서보기중서로독립인사건은ㄷ이다. 0 수지가노란장미를뽑는사건을 A, 민호가노란장미를뽑 는사건을 B 라고하면 P{AB}=P{A}P{B A}= 8 K 7 = P{ACB}=P{AC}P{B AC}= 8 K 7 = P{B} =P{AB}+P{ACB}= + = 8 P{A B}= P{AB} = = P{B} 7 8 A 회사의부품을택하는사건을 A, B 회사의부품을택하 는사건을 B, C 회사의부품을택하는사건을 C, 불량품 을택하는사건을 E 라고하면 P{AE}=P{A}P{E A}=0.\0.0=0.009 P{BE}=P{B}P{E B}=0.\0.0=0.009 P{CE}=P{C}P{E C}=0.\0.0=0.0 P{E} =P{AE}+P{BE}+P{CE} =0.009+0.009+0.0=0.08 P{B E}= P{BE} = 0.009 P{E} 0.08 = 9 8 ㄷ ㄴ 7 00 9 사건의독립과종속 9 p. ~ ㄱ. A, B 가서로독립이면 P{A B}=P{A}, P{B A}=P{B} 이때 P{A}=P{B} 이면 P{A B}=P{B A} 이다. ㄴ. -P{AC B} =- P{ACB} P{B} =- P{B}-P{AB} P{B} = P{AB} =P{A B} P{B} 한편 A,``B 가서로독립이면 P{A BC}=P{A B} -P{AC B}=P{A BC} ㄷ. A, B 가서로배반사건이면 P{AB}=0 이때 P{A}P{B}=0 이므로 P{AB}=P{A}P{B} 따라서 A, B 는서로종속이다. 따라서보기중옳은것은ㄴ이다. 총점이 70 점이려면 차시험에서 등급, 차시험에서 등 급을받거나 차, 차시험에서모두 등급을받거나 차 시험에서 등급, 차시험에서 등급을받아야한다.! 차시험에서 등급, 차시험에서 등급을받을확률은 K 0 = 0 @ 차, 차시험에서모두 등급을받을확률은 K = # 차시험에서 등급, 차시험에서 등급을받을확률은 0 K = 0!, @, # 에의하여구하는확률은 0 + + 0 = 7 00 Ⅱ. 확률 9
연승할확률이 이므로승리한다음경기에서질확률은 이고, 연패할확률이 이므로패한다음경기에서이길 확률은 이다.! ( 승, 패, 패 ) 일확률은 @ ( 패, 승, 패 ) 일확률은 # ( 패, 패, 승 ) 일확률은 K K = K K = K K =!, @, # 에의하여구하는확률은 + + = 9 아이스크림을 개구입한사람이경품으로 개의아이스크 림을받으려면구입한 개의아이스크림중에서한개에경 품권이들어있고, 경품으로받은아이스크림에는경품권이 들어있지않아야한다. C[ ]![ ]@ K = 9 0 0 당첨복권을뽑는사건을 A, 등당첨복권을뽑는사건을 B 라고하면 P{A}= P{AB}= C K 7C+C K 7C0 = 8 0C C K 9C = 0C P{B A}= P{AB} = = P{A} 8 8 이번주말에비가내리는사건을 A, 이번주말에경기에서 이기는사건을 B 라고하면 `` P{A}=0., P{AC}=0., P{B A}=0., P{B AC}=0.7 P{B} =P{AB}+P{ACB} =P{A}P{B A}+P{AC}P{B AC} =0.\0.+0.\0.7=0. 동전을 번던질때, 앞면이나오는횟수를 x, 뒷면이나오는횟수를 y라고하면 x+y=, x+y= 두식을연립하여풀면 x=, y= 따라서앞면이 번, 뒷면이 번나오면되므로구하는확률은 C[ ]#[ ]!= 0 뽑은학생한명이 학년학생인사건을 A, 학년학생인 사건을 B, 학년학생인사건을 C, 사관학교에진학하기 를희망하는학생인사건을 E 라고하면 P{AE} =P{A}P{E A}=0.\0.=0. P{BE} =P{B}P{E B}=0.\0.=0.0 P{CE} =P{C}P{E C}=0.\0.=0.0 P{E} =P{AE}+P{BE}+P{CE} =0.+0.0+0.0=0.9 P{{AB} E} = P{{AB}E} P{E} 0 9 0 0 0 0 8 0 07 08 09 0 0 P{AB}=P{B}P{A B}= K = P{AB} =P{A}+P{B}-P{AB} = 7 + - = P{AC BC} = P{ACBC} = P{{AB}C} P{BC} P{BC} = -P{AB} - = -P{B} - = 9 p. ~ 0 따라서 m=9, n= 이므로 m+n=9+= = P{{AE}{BE}} P{E} = P{AE}+P{BE} P{E} = 0.+0.0 = 0.9 9 A 가 회이내에이기려면 A 가 회또는 회에처음으로 긴막대기를뽑아야한다.! A 가 회에이길확률은 @ A 가 회에이길확률은!, @ 에의하여구하는확률은 = K K = + = 8 0 정답과해설
0 07 갑, 을, 병이활을한번쏘아 0 점영역을맞히는사건을각 각 A, B, C 라고하면세사건 A,``B,``C 는서로독립이다.! 갑, 을만 0 점영역을맞히고병은맞히지못할확률 P{ABCC} =P{A}P{B}P{CC} = K K [- ]= 0 @ 갑, 병만 0 점영역을맞히고을은맞히지못할확률 P{ABCC} =P{A}P{BC}P{C} = K [- ] K = # 을, 병만 0 점영역을맞히고갑은맞히지못할확률 P{ACBC} =P{AC}P{B}P{C} =[- ] K K = 0!, @, # 에의하여구하는확률은 0 + + 0 = 0 뒷면이나온동전의개수가 k 이고, 나온주사위의눈의수가 k 인사건은서로독립이므로그확률은 Ck[ ]K[ ]^_K K =Ck[ ]^ K ( 단, k=,, y, )? k=ck[ ]^ K =[ ]^ K? Ck k= =[ ]^ K {C+C+y+C} =[ ]^ K K {^-C0} 09 0 점 P 가점 {, } 를지나는사건을 A, 점 {, } 을지나는 사건을 B 라고하면 P{A}=C[ ]#[ 0 ]@= P{B}=C[ ]#[ 0 ]#= 79 P{AB}=C[ ]#[ ]@ K = 80 79 P{AB} =P{A}+P{B}-P{AB} = 0 + 0 79-80 79 = 00 79 B 역에서 C 역으로가는기차에타고있는승객의수는 남자승객 : 90-8+0=( 명 ) 여자승객 : 0-+0=08( 명 ) 선택한한승객이여자인사건을 A, A 역에서승차한승객 인사건을 B 라고하면 P{A}= 08 0 = 9 0 P{AB}= 0-0 = P{B A} = P{AB} P{A} = = 9 9 0 08 = K K = 8! 번째게임에서 A 가학교대표로선출되는경우 A 가 번째게임과 번째게임에서모두이겨야하므로 C[ ]@[ ])= @ 번째게임에서 A 가학교대표로선출되는경우 A 가 번째, 번째게임중에서한번이기고 번째게 임에서이겨야하므로 C[ ]![ ]! K = # 7 번째게임에서 A 가학교대표로선출되는경우 A 가 번째, 번째, 번째게임중에서한번이기고 7 번째게임에서이겨야하므로 C[ ]![ ]@ K =!, @, # 에의하여구하는확률은 + + =! 두공의색이서로다른경우 꺼낸 개의공의색이서로다를확률은 C K C = 7C 7 개의동전을 번던져서앞면이 번나올확률은 C[ ]@[ ]!= 8 따라서확률은 7 K 8 = @ 두공의색이서로같은경우 꺼낸 개의공의색이같을확률은 C+C = 7C 7 개의동전을 번던져서앞면이 번나올확률은 C[ ]@[ ])= 따라서확률은 7 K = 8!, @ 에의하여구하는확률은 + 8 = 9 8 Ⅱ. 확률
Ⅲ 통계. 확률분포 ⑴ 확률의총합은 이므로 k@+ 9 + k+ 9 = k @+k-=0, {k+}{k-}=0 0 풀이참조 풀이참조 ⑴ 9 확률변수와확률분포 ⑵ 9 p.7~9 k=- 또는 k= 그런데 0<P{X=x}<이므로 k= ⑵ P{X>} =P{X=}+P{X=} 나오는두눈의수중작지않은수를표로나타내면다음과 같다. = 9 + 9 = 9 따라서 X 가가질수있는값은,,,,, 이고, 각 값을가질확률은 P{X=}=, P{X=}=, P{X=}= P{X=}= 7, P{X=}=, P{X=}= 이므로 X 의확률분포를표로나타내면다음과같다. X 합계 P{X=x} 7 앞면이나오는횟수가 0,,,,, 일때, 확률변수 X 가가질수있는값은, 7, 9,,, 이므로각값을 가질확률은 P{X=}=C0[ ])[ ]%= P{X=7}=C[ ]![ ]$= 확률의총합은 이므로 P{X=}+P{X=}+P{X=}+y+P{X=9}= k K + k K + k K +y+ k 9 K 0 = k-[- ]+[ - ]+[ - ]+y+[ 9-0 ]== k[- ]= k=0 0 9 P{X@-X>0} =P{X{X-}>0} 나오는두눈의수의합이 =P{X<0}+P{X>} =P{X>} =-P{X=} =- 9 = 9 인경우는 {, }, {, } 의 가지 인경우는 {, }, {, }, {, } 의 가지 인경우는 {, }, {, }, {, }, {, } 의 가지 P{X=}=, P{X=}=, P{X=}= P{<X<} =P{X=}+P{X=}+P{X=} = + + = P{X=9}=C[ ]@[ ]#= P{X=}=C[ ]#[ ]@= P{X=}=C[ ]$[ ]!= P{X=}=C[ ]%[ ])= 따라서 X 의확률분포를표로나타내면다음과같다. X 7 9 합계 P{X=x} 확률변수 X 가가질수있는값은,,, 이고, 각값을 가질확률은 P{X=}= P{X=}= C K C 8C C K C 8C = 0 = K C, P{X=}=C = 0 8C K C0, P{X=}=C = 8C 이때 P{X=}+P{X=}= 0 +0 = 7 이므로 P{X<}= 7 a= 정답과해설
0 jk jk 8 0 원 평균 : 00 원, 표준편차 : 0 원 이산확률변수의기댓값과표준편차 확률의총합은 이므로 +a+b=, a+b= E{X}= 이므로 0 K + K a+ K b=, a+b= ᄀ, ᄂ을연립하여풀면 a=, b= E{X@}=0@ K +@ K +@ K = 이므로 y` ᄀ y` ᄂ p.7~7 따라서 X 가가질수있는값은 0,,,,, 이고, 각 값을가질확률은 P{X=0}= =, P{X=}=0 = 8 P{X=}= 8 = 9, P{X=}= = P{X=}= = 9, P{X=}= = 8 이므로 X 의확률분포를표로나타내면다음과같다. X 0 합계 P{X=x} 8 9 9 8 E{X} =0 K + K 8 + K 9 + K + K 9 + K 8 = 8 E{X@} =0@ K +@ K 8 +@ K 9 +@ K +@ K 9 +@ K 8 V{X} =E{X@}-9E{X}0@= -[ ]@= r{x}=v{x}=q w= jk = V{X} =E{X@}-9E{X}0@ = -[ ]@= 8 확률의총합은 이므로 {a-b}+{a-b}+{a-b}+y+{0a-b}= {+++y+0}a-0b= r{x} =V{X} =q jl e= 8 0 K a-0b= a-0b= E{X}=- 이므로 y` ᄀ {a-b}+{a-b}+{a-b}+y+0{0a-b}=- {@+@+@+y+0@}a-{+++y+0}b=- 0 K K 0 K a- b=- 8a-b=- ᄀ, ᄂ을연립하여풀면 a=-, b=- y` ᄂ 동전의앞면을 H, 뒷면을 T 라하고, 00 원짜리동전 개 와 00 원짜리동전 개를동시에던져서나오는모든경우 와그때받는금액을표로나타내면다음과같다. 00 원 00 원 00 원받는금액 ( 원 ) H H H H T T T T H H T T H H T T H T H T H T H T 700 00 00 00 00 00 00 0 ab= 게임을한번해서받을수있는금액을확률변수 X 라하고, X 의확률분포를표로나타내면다음과같다. 나오는두눈의수의차를표로나타내면다음과같다. X 0 00 00 00 00 700 합계 0 P{X=x} 8 8 8 8 0 E{X} =0 K 8 +00 K +00 K 8 +00 K 8 +00 K 0 0 +700 K 8 0 =0 0 따라서구하는기댓값은 0 원이다. Ⅲ. 통계
E{X}=00, r{x}=00 이므로 E{Y} =E[ X+00] = E{X}+00 실제로호텔에투숙하는사람의수를확률변수 X 라고하면 X 는이항분포 B{, 0.8} 을따르고, 이때 X 의확률질량 함수는 P{X=x}=Cx 0.8X 0.@@_X ( 단, x=0,,, y, ) = K 00+00=00 이때방이부족하려면 X>0 이어야하므로구하는확률은 P{X>0} =P{X=}+P{X=} r{y} =r[ X+00] = r{x} =C 0.8@! 0.!+C 0.8@@ 0.) =\0.009\0.+\0.007\ =0.09+0.007 = K 00=0 =0.0 따라서 Y 의평균은 00 원, 표준편차는 0 원이다. E{Y}= 에서 E[ X-]= E{X}-= V{Y} =E{Y@}-9E{Y}0@ E{X}=7 확률변수 X 는이항분포 B[0, ] 을따르므로 E{X}=0 K = r{x}=q0 K K e=q w= jk = 7 9 -[ ]@= 7 즉, V[ X-]= 7 이므로 r{x}= 에서 V{X}= 이므로 n K K = n=00 9 V{X}= 7 V{X}= 따라서확률변수 X 는이항분포 B[00, ] 을따르고, 이 V{X} E{X} = 7 = 때 X 의확률질량함수는 P{X=r}=00Cr[ ]R[ ]!))_R ( 단, r=0,,, y, 00) 0 이항분포 a=, b=9 0.0 평균 :, 표준편차 : jk 9 n=7, x=0 점 p.7~77? n R P{X=r} =? 00 R K 00Cr[ r=0 r=0 ]R[ ]!))_R a= 9 = 00? 00Cr[ ]R[ ]!))_R r=0 =[ + ]!))=[ 9 ]!)) 확률변수 X는이항분포 B[0, ] 를따르고, 이때 X의 확률질량함수는 {x+} 개의공이들어있는주머니에서한개의공을꺼낼 때, 검은공이나올확률은 x x+ 이다. P{X=x}=0Cx[ ]X[ ]!)_X ( 단, x=0,,, y, 0) P{X>9} =P{X=9}+P{X=0} a=, b=9 =0C9[ ]([ ]!+0C0[ ]!)[ ]) =0 K (!) + K!)!) = K!)!) + K!)!) = K!)!) =!! ( 따라서확률변수 X 는이항분포 B[n, E{X}=0 에서 n K V{X}=0 에서 n K ᄀ을ᄂ에대입하면 0 K x x+ ] 를따르므로 x =0 y`ᄀ x+ x x+ K =0 y`ᄂ x+ =0, x+= x=0 x+ x=0 을ᄀ에대입하면 n K 0 =0 n=7 정답과해설
주사위한개를 0번던질때, 짝수의눈이나오는횟수를확 m=이므로확률변수 X의확률밀도함수의그래프는직선률변수 X라고하면 X는이항분포 B[0, ] 을따르므로 x=에대하여대칭이다. 따라서 P{a+<X<a+} 이최 0 E{X}=0 K = 이때총점을확률변수 Y 라고하면 Y=X-{0-X}=X-0 E{Y} =E{X-0} ⑴ 정규분포 ⑵ 9 a+b p.79~8 ⑴ 함수 y=f{x} 의그래프와 x 축및직선 x= 로둘러싸 인부분의넓이가 이어야하므로 K {+} K a= a= =E{X}-0 = K -0= 따라서구하는총점의기댓값은 점이다. ⑵ P{X<} 는오른쪽그림의색칠 한부분의넓이와같으므로 P{X<} = K {+} K y! O y=f{x} x 대가되려면오른쪽그림과같아야 하므로 {a+}+{a+} = a+= a= a+ a+ 확률변수 X 의확률밀도함수의그래프는직선 x=m 에대 하여대칭이고, P{X<}=P{X>} 이므로 m= + =8 또 V[ X]=9에서 [ ]@V{X}=9 V{X}= 즉, r@= 에서 r= m+r=8+= P{m-r<X<m+r}=a 에서 P{m<X<m+r}=a P{m<X<m+r}= a P{m-r<X<m+r}=b 에서 P{m<X<m+r}=b P{m<X<m+r}= b x = P{m-r<X<m+r} =P{m-r<X<m}+P{m<X<m+r} 함수 y=f{x} 의그래프와 x 축 및두직선 x=0, x= 으로 둘러싸인부분의넓이가 이 어야하므로 K K K a= y a a{k-} O k y=f{x} x =P{m<X<m+r}+P{m<X<m+r} = a+b P{X<k}=0.9788 에서 P{X<m}+P{m<X<k}=0.9788 0.+P{m<X<k}=0.9788 a= 9 P{m<X<k}=0.788 y` ᄀ P{0<X<k} 는위의그림의색칠한부분의넓이와같으므로 P{0<X<}+P{<X<k}=P{0<X<k} 에서 K K + K {k-} K 9 {k-}= 8 한편 P{X<m-r}=0.0 에서 P{X<m}-P{m-r<X<m}=0.0 0.-P{m<X<m+r}=0.0 P{m<X<m+r}=0.788 y` ᄂ {k-}@= 9, k-= 이때 m=0, r= 이므로ᄀ, ᄂ에서 k =m+r k= 9 =0+ K = Ⅲ. 통계
0 표준정규분포 ⑴ 0.08 ⑵ 0.8. p.8~8 합격자의최저점수를 a 점이라고하면 P{X>a}= 00 000 =0.0 0 % 77. 점 0.0 0.0 ⑴ P{X<8} =P[Z< 8-0 ] =P{Z<-0.} =P{Z>0.} =0.-P{0<Z<0.} =0.-0.9 P[Z> a-0 0 ]=0.0 0.-P[0<Z< a-0 0 ]=0.0 P[0<Z< a-0 0 ]=0. 이때 P{0<Z<.7}=0. 이므로 a-0 =.7 a=77. 0 따라서합격자의최저점수는 77. 점이다. =0.08 ⑵ P{<X<} =P[ -0 <Z< -0 ] =P{-.<Z<.} =P{0<Z<.} =\0. 의눈이나오는횟수를확률변수 X 라고하면 X 는 n=80, p= 인이항분포 B[80, ] 을따른다. 이때 n 은충분히크고 =0.8 np=80 K =0, npq=80 K K = 이므로 X 는근사적으로정규분포 N{0, @} 을따른다. 확률변수 X의표준화변수 Z= X-m 은표준정규분포 r N{0, } 을따르므로 P{m-kr<X<m+kr}=0.798 에서 P[ m-kr-m r <Z< m+kr-m ]=0.798 r P{-k<Z<k}=0.798, P{0<Z<k}=0.798 P{0<Z<k}=0.79 따라서 X의표준화변수 Z= X-0 은표준정규분포 N{0, } 을따르므로구하는확률은 P{0<X<} =P[ 0-0 =P{<Z<} <Z< -0 ] =P{0<Z<}-P{0<Z<} =0.987-0.77=0.0 이때 P{0<Z<.}=0.79 이므로 k=. 사과한개의무게를확률변수 X 라고하면 X 는정규분포 N{0, 0@} 을따르므로 X 의표준화변수 Z= X-0 0 동전 개가모두앞면이나오는횟수를확률변수 X 라고하 면 X 는 n=00, p= 인이항분포 B[00, ] 을따 른다. 은표준정규분포 N{0, } 을따른다. 이때 n 은충분히크고 이때사과한개의무게가 00 g 이하일확률은 P{X<00} =P[Z< 00-0 ] 0 np=00 K =00, npq=00 K K = 이므로 X 는근사적으로정규분포 N{00, @} 을따르고, =P{Z<-.} =P{Z>.} =0.-P{0<Z<.} =0.-0.=0. 따라서무게가 00 g 이하인사과는전체의 0 % 이다. X의표준화변수 Z= X-00 은표준정규분포 N{0, } 을따른다. 한편 00 번의시행에서 0 점이상을얻기위해서는 X-{00-X}>0 X>0 응시자의점수를확률변수 X 라고하면 X 는정규분포 N{0, 0@} 을따르므로 X 의표준화변수 Z= X-0 0 은 P{X>0} =P[Z> 0-00 ] =P{Z>} =0.-P{0<Z<} 표준정규분포 N{0, } 을따른다. =0.-0.8=0.0 정답과해설
0 0 p.8~87 따라서확률변수 Y=X- 에대하여 E{Y} =E{X-} =E{X}- 0 0 0 평균 : -, 분산 : 7, 표준편차 : j7k 0 0 8 p, p, p, p가이순서대로공비가 인등비수열을이루 므로 p= p, p=[ ]@p, p=[ ]#p 이때확률의총합은 이므로 p+p+p+p= p+ p+ p+ 8 p= p= 8 P{X@-X+=0} =P{{X-}{X-}=0} =P{X=}+P{X=} = + = 자물쇠가열릴때까지시도한횟수를확률변수 X 라고하면 X 가가질수있는값은,,, 이고, 각값을가질확률은 P{X=}= P{X=}= K = P{X=}= K K = 0 07 수학, 국어, 영어 08 09 0.8 0 0 0 = K -=- V{Y} =V{X-} =@ V{X} = K 7 =7 r{y} =r{x-} =r{x} = K j7k =j7k 정사각형의한변의길이를확률변수 X 라고하면둘레의 길이는 X 이므로 E{X}=8, V{X}= 에서 E{X}=8, @ V{X}= E{X}=, V{X}= 이때한변의길이가 X 인정사각형의넓이는 X@ 이므로정 사각형의넓이의평균은 E{X@} =V{X}+9E{X}0@ =+ @=8 조건 에의하여함수 y=f{x} 의그래프가 y 축에대하여 대칭이고, P{-<X<}= 이므로 P{-<X<0}=P{0<X<}= P{X=}= K K K = 이므로 X 의확률분포를표로나타내면다음과같다. X 합계 P{X=x} E{X} = K + K + K + K = 따라서구하는횟수의평균은 이다. P[0<X< ]+P[ <X<]= 조건 에의하여 P[ <X<]= P[0<X< ] 이므로 P[0<X< ]+ P[0<X< ]= P[0<X< ]= P[0<X< ]= 8 0 확률의총합은 이므로 a+ +a=, a= 이때확률변수 X 에대하여 a= E{X}={-} K +0 K + K = E{X@}={-}@ K +0@ K +@ K = 9 V{X}=E{X@}-9E{X}0@= 9 -[ 7 ]@= r{x}=v{x}=q 7 w= j7k 0 P[- <X<0]=P[0<X< ]= 8 확률변수 X가정규분포 N{9, @} 을따르므로 P{90<X<0} =P{9-<X<9+0} =P{m-r<X<m+r} =P{m-r<X<m}+P{m<X<m+r} =P{m<X<m+r}+P{m<X<m+r} =0.+0.77 =0.88 Ⅲ. 통계 7
07 08 09 서준이의각과목의점수를표준화하면 국어 : 80-70 = 0 영어 : 90-78 = 수학 : 8- = 따라서서준이가반학생들보다상대적으로성적이높은과 목부터순서대로나열하면수학, 국어, 영어이다. A 여행지를택하는고객수를확률변수 X 라고하면 X 는 n=, p=0. 인이항분포 B{, 0.} 를따른다. 이때 n 은충분히크고 np=\0.= npq=\0.\0.8= 이므로확률변수 X 는근사적으로정규분포 N{, @} 을따 른다. 따라서 X의표준화변수 Z= X- 는표준정규분포 N{0, } 을따르므로 P{X>a}=0. 에서 P[Z> a- ]=0. 0.-P[0<Z< a- ]=0. P[0<Z< a- ]=0. 이때 P{0<Z<}=0. 이므로 a- = a= 반지한개의무게를확률변수 X 라고하면 X 는정규분포 N{0, @} 을따르므로 X 의표준화변수 Z= X-0 준정규분포 N{0, } 을따른다. 반지한개의무게가 g 이하일확률은 P{X<} =P[Z< -0 ]=P{Z<-} =P{Z>}=0.-P{0<Z<} =0.-0.8=0.0 은표 한편반지 00 개중에서출고되지못한반지의개수를확 률변수 Y 라고하면 Y 는 n=00, p=0.0 인이항분포 B{00, 0.0} 를따른다. 이때 n 은충분히크고 np=00\0.0=0 npq=00\0.0\0.98=9 이므로 Y 는근사적으로정규분포 N{0, 7@} 을따르고, Y 의표준화변수 Z= Y-0 은표준정규분포 N{0, } 을 7 따른다. 0 P{Y>} =P[Z> -0 ]=P{Z>-} 7 =0.+P{-<Z<0}=0.+P{0<Z<} =0.+0.=0.8 두주사위의눈의수의차가 보다크거나같은경우는 {, }, {, }, {, }, {, }, {, }, {, }, {, }, {, }, {, }, {, }, {, }, {, } 의 가지이므로한번의시행에서 B 가 점을얻을확률은 = 이고 A 가 점을얻을확률은 - = 이다. 이때 회의시행에서 A 가얻는점수의합을확률변수 X 라하고 B 가얻는점수의합을확률변수 Y 라고하면 X 는 이항분포 B[, ] 를따르고 Y 는이항분포 B[, ] 을 따르므로 E{X}= K =0, E{Y}= K = 따라서두기댓값의차는 0-= 근무기간이 개월인직원의하루생산량을확률변수 X 라고하면 X 는정규분포 N{a+00, @} 을따르므로 X의표준화변수 Z= X-{a+00} 은표준정규분포 N{0, } 을따른다. P{X<8}=0.08 에서 P[Z< 8-{a+00} ]=0.08 P[Z< -a- ]=0.08, P[Z> a+ ]=0.08 0.-P[0<Z< a+ ]=0.08 P[0<Z< a+ ]=0.77 이때 P{0<Z<}=0.77 이므로 a+ =, a= a= 한편근무기간이 개월인직원의하루생산량을확률변수 Y 라고하면 Y 는정규분포 N{8, @} 을따르므로 Y 의 표준화변수 Z= Y-8 은표준정규분포 N{0, } 을따 른다. P{00<Y<} =P[ 00-8 =P{-.<Z<} <Z< -8 ] =P{0<Z<.}+P{0<Z<} =0.+0.77 =0.90 8 정답과해설
0 모집단과표본 / 표본평균의분포 평균 : 0, 분산 : 9 00, 표준편차 : 0 0.977 9 9. 통계적추정 E{X}= K + K + K 0 + K 0 = 0 V{X} =E{X@}-9E{X}0@ =@ K +@ K +@ K 0 +@ K 0 이때표본의크기가 9 이므로 p.89~9 8 -[ ]@= 0 00 8 E{XX}= 0, V{XX}= 00 9 = 9 00, r{xx}=v{xx}= 0 상자에서임의로 장의카드를꺼낼때, 카드에적힌숫자를 확률변수 X 라하고 X 의확률분포를표로나타내면다음과 같다. X 합계 P{X=x} 8 8 E{X}= K 8 + K + K 8 + K = 9 이때견과류 봉지의무게의합이 0 g 이하이면불합격 으로판정되므로불합격으로판정될확률은 P{XX<0} =P{XX<8}=P[Z< 8-0 0.8 ] =P{Z<-.}=0.-P{0<Z<.} =0.-0.98=0.00 따라서불합격으로판정되는상자의수는 0000\0.00= 확률변수 X 가정규분포 N{00, 0@} 을따르므로표본평 균 XX 는정규분포 N[00, 0@ ], 즉 N{00, @} 을따른다. 00 따라서 XX의표준화변수 Z= XX-00 은표준정규분포 N{0, } 을따르므로 P{XX<a}<0.87 에서 P[Z< a-00 ]<0.87 0.-P[0<Z< 00-a ]<0.87 P[0<Z< 00-a ]>0. 이때 P{0<Z<}=0. 이므로 00-a > a<9 따라서 a 의최댓값은 9 이다. V{X} =E{X@}-9E{X}0@ =@ K 8 +@ K +@ K 8 +@ K -[ 9 ]@= 이때 V{XX}= n = n = 이므로 n= 주문한건의배송기간을확률변수 X 라고하면 X 는정규 분포 N{, @} 을따르므로주문 건의배송기간의표본 평균 XZ는정규분포 N[, @ ], 즉 N{, @} 을따른다. 따라서 XZ 의표준화변수 Z=XZ- 는표준정규분포 N{0, } 을따르므로구하는확률은 P{XZ>0} =P{Z>0-}=P{Z>-} =0.+P{0<Z<} =0.+0.77=0.977 옷한벌의무게를확률변수 X 라고하면 X 는정규분포 N{0, 0@} 을따르므로옷 9 벌의무게의표본평균 XX 는 정규분포 N[0, 0@ 9 ], 즉 N[0, [0 ]@] 을따른다. 따라서 XX의표준화변수 Z= XX-0 은표준정규분포 0 N{0, } 을따른다. 이때옷 9 벌의무게의합이 a g 이상이면만원에살수없고, 만원에살수없을확률이 0.07 이므로 P{9XX>a}=0.07, P[XX> a 9 ]=0.07 a 9-0 P9Z> 0=0.07 0 견과류한봉지의무게를확률변수 X 라고하면 X 는정규 분포 N{0, @} 을따르므로견과류 봉지의무게의표본 평균 XX 는정규분포 N[0, @ ], 즉 N{0, 0.8@} 을따른다. P[Z> a 0 -]=0.07 0.-P[0<Z< a 0 -]=0.07 P[0<Z< a 0 -]=0. 따라서 XX 의표준화변수 Z= XX-0 은표준정규분포 0.8 N{0, } 을따른다. 이때 P{0<Z<.}=0. 이므로 a -=. a=9 0 Ⅲ. 통계 9
0 모평균의추정 ⑴ 0.0<m<.98 ⑵ 9.7<m<.9.<m< 900 명 9. 표본의크기는 900, 표본평균은, 모표준편차는 이므로 ⑴ -.9\ <m<+.9\ j900l j900l -0.98<m<+0.98 0.0<m<.98 ⑵ -.8\ <m<+.8\ j900l j900l -.9<m<+.9 9.7<m<.9 표본의크기 9 이충분히크므로모표준편차대신표본표 준편차.8 을사용할수있고, 표본평균이. 이므로모평 균 m 에대한신뢰도 9 % 의신뢰구간은.-\.8 <m<.+\.8 j9l j9l.-0.<m<.+0..<m< p.9~9 P{ Z <k}= a 라고하자. 00 모표준편차가, 표본의크기가 00 이고신뢰도 a % 의신 뢰구간의길이가 0.8 이므로 k =0.8 k=0. j00l P{ Z <0.}= a 00 에서 a =00P{-0.<Z<0.} =00\P{0<Z<0.} =00\0.= P{ Z <k'}= a 00 = 9 라고하면 00 P{0<Z<k'}=0.9 P{0<Z<k'}=0. 이때 P{0<Z<.8}=0. 이므로 k'=.8 따라서모평균을신뢰도 a % 로추정할때, 신뢰구간의길 이는 \.8\ =. j00l 표본의크기를 n 이라고하면신뢰도 99 % 의신뢰구간의길 이가 이하이어야하므로 K K 0 <, jn k>0 n>900 jn k 따라서최소 900 명의학생을조사해야한다. 표본의크기를 n 이라고하면모평균 m 에대한신뢰도 9 % 의신뢰구간은 xc- K <m<xc+ K jn k jn k - <m-xc< jn k jn k m-xc < jn k 모평균 m 과표본평균 xc 의차가 0. 이하이어야하므로 <0., jn k> n> jn k 따라서표본의크기의최솟값은 이다. 모표준편차를 r, P{ Z <k}= a 00 라고하자. 표본의크기가 일때, 신뢰도 a % 의신뢰구간의길이가 0. 이므로 k r =0. kr=. j k 표본의크기가 n일때, 신뢰도 a % 의신뢰구간의길이가 0. 라고하면 k r =0., \. =0. jn k jn k jn k= n=9 따라서표본의크기는 9 으로해야한다. 0 표본비율의분포 / 모비율의추정 0.0 0.87<p<0.08 00 종류 98 명 p.97~99 00 가구중에서이 TV 프로그램을시청한가구의비율을 p7 이라고하자. 모비율이 0. 이고, 표본의크기 00 이충분히크므로 p7 은근 사적으로정규분포 N[0., 0.\0.9 ], 즉 N{0., 0.0@} 00 을따른다. 따라서 p7 의표준화변수 Z= p 7-0. 은근사적으로표준정 0.0 규분포 N{0, } 을따르므로구하는확률은 P[p7> 00 ] =P{p 7>0.}=P[Z> 0.-0. ] 0.0 =P{Z>}=0.-P{0<Z<} =0.-0.8=0.0 임직원 00 명중에서새로운교육제도에대하여찬성하는 사람의비율을 p7 이라고하자. 모비율이 0. 이고, 표본의크기 00 이충분히크므로 p7 은 근사적으로정규분포 N[0., 0.\0.8 ], 즉 N{0., 0.0@} 00 을따른다. 0 정답과해설
따라서 p7 의표준화변수 Z= p 7-0. 는근사적으로표준정 0.0 규분포 N{0, } 을따르므로 P[p7> a ]=0.998에서 00 a P 9 00-0. 0 a-0 Z> =0.998, P[Z> ]=0.998 0.0 0.+P[0<Z< 0-a ]=0.998 P[0<Z< 0-a ]=0.98 이때 P{0<Z<.}=0.98 이므로 0-a =. a= 표본의크기는 900, 표본비율은 =0.이고, 표본의크 900 기가충분히크므로모비율 p 에대한신뢰도 99 % 의신뢰 구간은 0.-.8r 0.\0. 900 0.-0.08<p<0.+0.08 0.87<p<0.08 y<p<0.+.8r 0.\0. y 900 표본비율은 0. 이고, 모비율 p 에대한신뢰도 9 % 의신뢰 구간은 0.0<p<0.88 이므로 0.-.9r 0.\0.9 y=0.0 n jn k=0 n=00 표본비율은 7 =0.이고, 표본의크기를 n이라고하면 00 신뢰도 9 % 의신뢰구간의길이가 0.08 이하이어야하므로 \.9\r 0.\0. y<0.08 n jn k>. n>.90 따라서최소 종류를조사해야한다. 표본비율은 0 =0.이고, 표본의크기를 n, 모비율을 p라 00 고하면모비율 p 에대한신뢰도 99 % 의신뢰구간은 0.-.8r 0.\0.9 n -.8r 0.\0.9 n p-0. <.8r 0.\0.9 y n y<p<0.+.8r 0.\0.9 y n y<p-0.<.8r 0.\0.9 y n 이때모비율과표본비율의차가 % 이하이어야하므로.8r 0.\0.9 y<0.0 n jn k>8.7 n>97.9 따라서최소 98 명을조사해야한다. 0 0 ㄴ, ㄷ 0 0 0 0 98 07 08 07 09 0 0 0 0 E{X}= K + K + K = V{X} =E{X @}-9E{X}0@ =@ K +@ K +@ K -@= 이때 V{XX}=[ 8 ]@= 이므로 n =, n = n= ㄱ. V{XX}= @ 이므로 r{xx}= n jn l ㄴ. 표본평균 XX 는정규분포 N[0, @ n ] 을따르므로 P{XX<0-a}=P{XX>0+a} ㄷ. XX 의표준화변수 Z= XX-0 은표준정규분포 jn l N{0, } 을따르므로 P{XX>a}=P 9 Z> a-0 0 =P{Z<b} jn l 따라서 a-0 =-b이므로 jn l a-0=- b jn l a+ b=0 jn l 따라서보기중옳은것은ㄴ, ㄷ이다. 확률변수 X 는정규분포 N{m, @} 을따르므로표본평균 XX 는정규분포 N[m, @ n ] 을따른다. P{m-<XX<m+}=0.9 에서 P 9 m--m jn l <Z< m+-m 0 =0.9 jn l P[- jn k <Z<jn k ]=0.9 P[0<Z< jn k ]=0.9 P[0<Z< jn k ]=0.8 이때 P{0<Z<}=0.8 이므로 jn k =, jn k= n= p.00~0 Ⅲ. 통계
0 0 0 07 직장인 n 명의평균투자시간을 xx 라고하면모평균 m 에 대한신뢰도 9 % 의신뢰구간은 xx- K <m<xx+ K jn l jn l 이때.<m<7. 이므로 xx- K =. y`ᄀ jn l xx+ K =7. y`ᄂ jn l ᄂ-ᄀ을하면 K =8, jn k=8 n= jn l 정규분포 N{m, r@} 을따르는모집단에서크기가 n 인표 본을임의추출하여추정한모평균의신뢰구간의길이는 k r ( 단, k는상수 ) jn l ㄱ. 표본의크기가일정할때, 신뢰도를높이면 k 의값이커 지므로신뢰구간의길이는길어진다. ㄴ. 신뢰도를높이면 k 의값이커지고표본의크기를크게 하면 n의값이커지므로 k r 의값이반드시작아진 jn l 다고할수없다. ㄷ. 신뢰도가일정할때, 표본의크기를반으로줄이면 k r q n =k r \j e jn l 이므로신뢰구간의길이는 j 배가된다. 따라서보기중옳은것은ㄱ이다. P{ Z <.}=0.7 이고, 모평균 m 에대한신뢰도 7 % 의신뢰구간의길이가 L이므로 \.\ r =L y`ᄀ jn l P{ Z <k}= a 라고하면모평균 m에대한신뢰도 a % 00 의신뢰구간의길이가 L이므로 \k\ r =L y`ᄂ jn l ᄀ을ᄂ에대입하여풀면 k=. 따라서 P{ Z <.}=0.98 이므로 a=98 국민 00 명중에서 그렇다 라고응답한사람의비율을 p7 이 라고하면모비율은 0. 이고, 표본의크기 00 이충분히크 므로 p7 은근사적으로정규분포 N[0., 0.\0.8 ], 즉 00 N{0., 0.0@} 을따른다. P[ 0 00 <p 7< 9 00 ] =P{0.<p 7<0.} =P[ 0.-0. 0.0 =P{-.<Z<} <Z< 0.-0. ] 0.0 =P{0<Z<.}+P{0<Z<} =0.9+0.8=0.97 08 09 0 n 이충분히크면모비율 p 대신표본비율 p7 을사용한 p7 의 표준화변수 Z= p 7-p r p 는근사적으로표준정규분포 7{-p7} y n N{0, } 을따르므로 P{ p7-p <0.p7{-p7}}>0.99 에서 P 9 p7-p r p 7{-p7} y n < 0.p 7{-p7} P{ Z <0.jn k}>0.99 따라서 0.jn k>.8 이므로 jn k>0. r p 7{-p7} y 0>0.99 n n>0.0 즉, 표본의크기 n 은최소 07 로해야한다. 제품의길이 X 는정규분포 N{m, @} 을따르므로 X 의표 준화변수 Z= X-m 은표준정규분포 N{0, } 을따른다. P{m<X<a} =P[ m-m <Z< a-m ] =P[0<Z< a-m ]=0. 이때 P{0<Z<}=0. 이므로 a-m = a=m+ 한편생산된제품중에서임의추출한제품 개의길이의 표본평균을 XX 라고하면 XX 는정규분포 N[m, @ ], 즉 N{m, @} 을따르므로 XX 의표준화변수 Z=XX-m 은표 준정규분포 N{0, } 을따른다. P{XX>a-} =P{XX>m+-} =P{XX>m+} =P{Z>m+-m) =P{Z>} =0.-P{0<Z<} =0.-0.77 =0.08 표본평균이., 모표준편차가 r, 표본의크기가 이므 로모평균 m 에대한신뢰도 9 % 의신뢰구간은.-.9\ r <m<.+.9\ r jk jk 이때.<m<a 이므로.-.9\ r =. jk 0.9r=0.98 r= a=.+.9\ =. jk a+r=. 정답과해설