제 2 교시 2007 년 5 월고 3 모의고사문제지 성명수험번호 3 1 먼저수험생이선택한응시유형의문제지인지확인하시오. 문제지에성명과수험번호를정확히기입하시오. 답안지에수험번호, 응시유형및답을표기할때는반드시 수험생이지켜야할일 에따라표기하시오. 단답형답의숫자에 0 이포함된경우, 0 을 OMR 답안지에반드시표기해야합니다. 문항에따라배점이다르니, 각물음의끝에표시된배점을참고하시오. 배점은 2점, 3점또는 4점입니다. 계산은문제지의여백을활용하시오. 3. lim 의값은?3) 1 2 3 4 [2 점 ][2007 년 5 월 ] 5 1. 일때, 의값은? 1) 1 2 [2 점 ][2007 년 5 월 ] 3 4 5 4. 에대한다항식 가 lim, lim 을만족 시킬때, 의값은? 4) 1 2 3 4 5 2. 무리방정식 의모든실근의곱은?2) [2 점 ][2007 년 5 월 ] 1 2 3 4 5 1 16
5. 공사건이아닌두사건, 가서로독립일때, 확률의성질에대한설명으로항상옳은것을 < 보기 > 에서모두고르면? 5) [3점][2007년 5월 ] 보기ㄱ. P P ㄴ. P P P ㄷ. P P P P P 1 ㄱ 2 ㄴ 3 ㄱ, ㄷ 4 ㄴ, ㄷ 5 ㄱ, ㄴ, ㄷ 7. 함수의극한에대한설명으로항상옳은것을 < 보기 > 에서 모두고르면?7 ) 보기 ㄱ. lim 이면 이다. ㄴ. lim 이면 lim 이다. ㄷ. 이고 lim, lim 이면 lim 이다. 1 ㄱ 2 ㄷ 3 ㄱ, ㄴ 4 ㄴ, ㄷ 5 ㄱ, ㄴ, ㄷ 6. 두함수 의그래프가다음과같다., 는정수, 일때, 의원소의개수는?6 ) 8. 세집합,, 가있다. 각 집합에서원소를한개씩뽑았을때, 나온세수의곱이 의배 수가될확률은? 8) O 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 2 16
9. 이차정사각행렬, 에대하여연산 를 로정의하자. 연산 에대한성질로항상옳은것을 < 보기 > 에서모두고르면? 9)( 단,,, 는이차정사각행렬이다.) ㄱ. 보기 ㄴ. ( 단, 는실수이다.) ㄷ. 1 ㄱ 2 ㄷ 3 ㄱ, ㄴ 4 ㄴ, ㄷ 5 ㄱ, ㄴ, ㄷ 11. 다음은모든자연수 에대하여 이성립함을수학적귀납법으로증명한것이다. [ 증명 ] (ⅰ) 일때, ( 좌변 ), ( 우변 ) 이므로성립한다. (ⅱ) 일때성립한다고가정하면 일때 ( 가 ) ( 나 ) ( 가 ) ( 다 ) 따라서 일때도성립한다. 그러므로주어진식은모든자연수 에대하여성립한다. 이증명에서 ( 가 ), ( 나 ), ( 다 ) 에알맞은것은?1 1) ( 가 ) ( 나 ) ( 다 ) 1 10. 함수 에대한설명으로항상옳은것을 < 보기 > 에서 2 모두고르면? ( 단, 이다.) 10) 보기ㄱ. ㄴ. ㄷ. 3 4 5 1 ㄱ 2 ㄷ 3 ㄱ, ㄴ 4 ㄴ, ㄷ 5 ㄱ, ㄴ, ㄷ 12. 연립일차방정식 이, 이외의해를 가질때, 점 가나타내는도형의길이는? 12) 1 2 3 4 5 3 16
13. 그림과같이모든자연수를 부터차례대로나열하였다. 의배수와 의배수를제외하고남아있는수를크기순으로나열하여수열 을만들었다.,,,,,,,, 그림에서 이 행 열의수일때, 의값은? 13) 제 열제 열제 열제 열제 열제 열제 열제 열제 열제 열 제 행 제 행 제 행 제 행 제 행 15. 중심이원점이고반지름의길이가,,,, 인동심원 이있다. < 단계 > 반지름의길이가 인원내부의 사분면에검은색을칠하고, 반지름의길이가 인원과반지름의길이가 인원사이의,, 사분면에도검은색을칠한다. < 단계 > 반지름의길이가 인원과반지름의길이가 인의원사이의 사분면에검은색을칠하고, 반지름의길이가 인원과반지름의길이가 인원사이의,, 사분면에도검은색을칠한다. < 단계 > 반지름의길이가 인원과반지름의길이가 인원사이의 사분면에검은색을칠하고, 반지름의길이가 인원과반지름의길이가 인원사이의,, 사분면에도검은색을칠한다. 제 행 1 2 3 4 5 O 이와같이 단계까지검은색으로칠한넓이의합을 이라할 때, lim 의값은? 15) 14. 다음알고리즘을실행시켰을때, 인쇄되는 의값은? 14) [3점][2007년 5월 ] <단계 >,, 으로놓는다. <단계 > 의값을 으로놓는다. <단계 > 의값을 로놓는다. <단계 > 의값을 로놓는다. <단계 > 이면 <단계 > 로가고, 이면 <단계 > 로간다. <단계 > 를인쇄한다. 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 4 16
16. 다음은함수 의 에서연속성과미분가 능성을조사하는과정이다. (ⅰ) 에서 의연속성 이다. 이고 lim lim ( 가 ) 따라서 는 에서 의값에관계없이연속 (ⅱ) 에서 의미분가능성 lim lim lim lim ( 나 ) 따라서 는 인경우에만 에서 ( 다 ) 이과정에서 ( 가 ), ( 나 ), ( 다 ) 에알맞은것은?16) 18. 함수 일때, 의값을구하시 오.18) [3점][2007년 5월 ] ( 가 ) ( 나 ) ( 다 ) 1 미분가능하다. 2 미분가능하지않다. 3 미분가능하다. 4 미분가능하다. 5 미분가능하지않다. 19. 일때, 지수함수 의최대값과최소값 의곱을구하시오.19) 17. 시간이지남에따라일정한비율로늘어나는두종류의세균, 가있다. 는 시간이지날때마다그수가 배로늘어나고, 는 시간이지날때마다 배로늘어난다. 세균 마리와 세균 마리를동시에배양하기시작하였을때, 의수가 의수이상이되도록배양하는데걸리는최소의시간은?17) ( 단, log, log 로계산한다.) 20. log C C C C 의값을구하시오.20) 1 2 3 4 5 5 16
21. 두확률변수, 가각각정규분포 N, N 을따른다고한다. 24. 한변의길이가 인정사각형을한변의 길이가 인정사각형 개로나누었다. 오른쪽그림과같이문자 를정사각형의대각선의양끝에고정하여문자,,, 를다음과같은규칙으로배열하려고한다. 이때, P P 을만족시키는 의값을구하시오.21) 1) 각행과각열에문자가중복되지않게배열한다. 2) 등분한정사각형의내부에문자가중복되지않게배 열한다. 이때, 배열할수있는모든경우의수를구하시오.24) ( 바른예 ) ( 틀린예 1) ( 틀린예 2) 22. 미분가능한함수 에대하여 일때, lim 을만족시키는상수 의값을 구하시오. 22) 25. 그림과같이 log,, 으로둘러싸인영역에한 변의길이가 인정사각형을서로겹치지않게그리려고한다. 이때, 그릴수있는한변의길이가 인정사각형의최대개수를구하시오. 25)( 단, 정사각형의각변은 축, 축에평행하다.) 23. 수직선위에서움직이는두점 P, Q 가있다. 출발한지 초 후두점 P, Q의위치가각각, 일때, 점 P, Q가적어도한번만나게되는상수 의최소값을구하시오. 23) [4점][2007년 5월 ] log P Q O O 6 16
26. lim sin cos 의값은? 26) 29. 일때, sin cos sincos 의최대값과 최소값의곱은? 29) 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 27. 일때, 방정식 sin cos 을만족시키는모든 의합은?27) 1 2 3 4 5 30. 두점 A, B 을이은선분 AB 를사등분하는점을 각각 P, Q, R이라하자. POR 라할때, tan 의값을구하시오. 30 ) 28. 삼각형 ABC 에서각 C 의이등분선이변 AB 와만나는점을 D라하자. 삼각형 ADC가이등변삼각형이고 AD 일때, AB 의값은?28) lim A O P Q R B C A D B 1 2 3 4 5 7 16
31. 다음은어느동아리회원을대상으로일주일동안의동아리 홈페이지방문횟수를조사하여십의자리의수를줄기로, 일의자리의수를잎으로하는줄기와잎그림이다. 이자료의중앙값과평균이모두 일때, 의값은? 31) 33. 개팀이참가한축구대회에서한팀은바로결승전에진출 하고나머지두팀이예선전을치르려고한다. 각팀의주장 명이모여가위, 바위, 보를하여 명중 명만다르게낼때, 다르게낸 명이속한팀이결승전에진출하기로하였다. 한번의가위, 바위, 보로결승전에진출할한팀이결정될확률은? 33) 1 2 3 4 5 줄기잎,,,, 1 2 3 4 5 34. 그림과같이균등하게 개의영역으로나누어진원판에 부 터 까지의자연수가적혀있다. 이원판을회전시킨후화살을 번쏘았을때, 화살이꽂힌영역의두수의차가 보다클확률은? ( 단, 화살은반드시원판내부에꽂히며, 경계선에꽂힌것은고려하지않는다.)3 4) 32. 다음 개의자료에서평균을, 표준편차를 라할때, 구간 에있는자료의개수는? 32) 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 8 16
) 35. 어느회사에서는신입사원을 단계를거쳐선발한다. 각단 계는 점만점으로환산하고 단계, 단계, 단계 의가중치를둔다고한다. 단계 점, 단계 점, 단계 점을받은지원자의가중평균점수를 라할때, 의 값을구하시오. 35 36. 어느세점도한직선위에있지않은서로다른 개의점이 있다. 이중두점을연결하여만들수있는선분의개수는?36) 1 개 2 개 3 개 4 개 5 개 37. 삼각형 ABC 의변 AB 와변 AC 를 등분한점을각각 P, P, P,, P 와 Q, Q, Q,, Q 라하자. 선분 BQ, BQ, BQ, BQ 와선분 CP, CP, CP,, CP 를따라잘랐을 때, 만들어지는사각형의개수는?37) A P Q P Q P Q P Q B C 1 2 3 4 5 9 16
38. 어느학급의반장선거에 명이입후보하였다. 후보자 명을 포함한 명이투표에참가하여후보자 명중 명에게만투표하고최다득표자가당선되는방식으로진행하였을때, 항상옳은것은? ( 단, 기권표나무효표는없다.) 38) 1 당선자는반드시 표이상을얻었다. 2 한표도얻지못한후보자가반드시있다. 3 모든후보자는 표이하의표를얻었다. 4 모든후보자는반드시한표이상을얻었다. 5 반드시 표이상의표를얻은후보자가있다. 40. 집합 에대하여 을반드시포함하고원 소의개수가 개이하인 오.40) 집합 의부분집합의개수를구하시 39. 명의학생이양로원으로봉사활동을갔다. 청소도우미 명, 빨래도우미 명, 식사도우미 명으로역할을나누려고할때, 가능한방법의수는? 39) [4점][2007년 5월 ] 1 2 3 4 5 확인사항문제지와답안지의해당란을정확히기입 ( 표기 ) 했는지확인하시오. 10 16
2007년 5월고3 모의고사가형해설지 [ 출제의도 ] 그래프에서분수부등식의해구하기 1) 4 [ 출제의도 ] 지수법칙을이용하여계산하기 이므로 이다. ( 준식 )= 2) 2 [ 출제의도 ] 무리방정식의해구하기 라하면, ( 무연근 ) 에서두근의곱은 이다. 3) 2 [ 출제의도 ] 무한수열의극한값구하기 ( 준식 ) lim 4) 1 lim lim [ 출제의도 ] 함수의극한의성질을이용하여미정계수구하기 lim 이려면 는최고차항의계수가 1인이차식이어야 한다. 라하자. lim 으로수렴하려면 일때, ( 분모 ) 이므로 ( 분자 ) 이어야한다. lim lim lim 이므로 5) 3 [ 출제의도 ] 독립사건에서확률의성질추론하기 공사건이아닌두사건 와 가서로독립이므로 P P P 이다. ㄱ. P P P P P P P P ( 참 ) ㄴ. P P P P P P ( 거짓 ) ㄷ. ( 좌변 ) P P 6) 4 P P P P ( 참 ), 이고 (ⅰ), 일때, 그래프에서 (ⅱ), 일때, 그래프에서 (ⅰ) 과 (ⅱ) 에서만족하는정수는 그러므로 로 6 개이다. 7) 4 [ 출제의도 ] 함수의극한에대한성질추론하기ㄱ. lim 이지만 에서불연속일경우 이거나 존재하지않을수있다. ( 거짓 ) ㄴ. 라하면 일때 이다. ( 준식 ) lim lim 이다. ( 참 ) ㄷ. 이면 lim lim lim 이다. lim 8) 5 lim 이므로 lim. ( 참 ) [ 출제의도 ] 확률의곱의법칙과합의법칙을이용하여확률구하기 전체경우의수는 이고 각집합에서뽑은세수중 의배수가 (ⅰ) 개인경우 : C ( 가지 ) (ⅱ) 개인경우 : C ( 가지 ) (ⅲ) 개인경우 : ( 가지 ) 따라서구하는확률 9) 5 [ 출제의도 ] 행렬에서정의된연산의성질추론하기 ㄱ. ( 참 ) ㄴ. ( 참 ) ㄷ. ( 참 ) 10) 5 [ 출제의도 ] 지수함수의성질추론하기 ㄱ. ( 참 ) ㄴ. ( 참 ) ㄷ. (ⅰ) 일때, (ⅱ) 일때, ( 참 ) 11) 4 11 16
[ 출제의도 ] 수학적귀납법을이용하여증명하기 16) 3 ( 가 ) [ 출제의도 ] 함수의연속성과미분가능성조사하기 ( 나 ) ( 가 ) ( 다 ) ( 나 ) 12) 2 [ 출제의도 ] 연립일차방정식과역행렬의관계를이용하여미지수구하기 연립일차방정식을행렬로나타내면 이외의해를가지려면 의역행렬이존재하지않아야한다. 이므로점 가나타내는도형은중심, 반지름의길이가 인원이다. 따라서도형의길이는 이다. 13) 1 [ 출제의도 ] 수열의규칙성을파악하여위치나타내기 과 의최소공배수인 마다 개의항이주기적으로남게되고, 이므로 이고 은 행 열의수이다. 14) 3 [ 출제의도 ] 알고리즘에서규칙성을파악하여수열의합구하기 알고리즘을표로나타내면 인쇄되는 의값 15) 5 [ 출제의도 ] 도형의규칙성을파악하여극한값구하기 단계에서색칠하는부분의넓이를 이라하면 lim lim ( 다 ) 미분가능하다. 17) 1 [ 출제의도 ] 실생활에서상용로그를이용하여최소시간구하기 시간을 라하면 는 시간마다 배씩증가하므로 시간후에는 배, 는 시간마다 배씩증가하므로 시간후에는 배이다. log log log log 18) 양변에상용로그를취하면 [ 출제의도 ] 곱의미분법을이용하여미분계수구하기 이므로 19) [ 출제의도 ] 지수함수의최대값과최소값구하기 이므로 ( 지수 ) 일때최소값 일때최대값 지수함수 은증가함수이므로 이므로최대값은, 최소값은 이다. 20) [ 출제의도 ] 이항정리를이용하여이항계수의합구하기 C C C C 이므로 C C C C 이다. log C C C C 21) [ 출제의도 ] 정규분포에서표준화하여상수구하기 확률변수, 를각각표준화하면 P P P P 22) P P P 이므로 [ 출제의도 ] 미분계수의정의를이용하여상수구하기 12 16
lim 26) 2 이므로 [ 출제의도 ] 삼각함수의극한값구하기 ( 준식 ) lim sin cos 23) [ 출제의도 ] 접선의방정식을이용하여최소값구하기 P Q 가만나기위해서는 와 가교점을가져야한다. 의 기울기 는원점에서 에그은접선의기울기보다크거나같아야한다. ( 단, ) 위의한점을 이라하면 접선의방정식은 이고 이접선이원점을지나므로 일때접선의기울기는 이므로 의최소값은 이다. cos lim cos cos cos lim cos lim cos 27) 4 [ 출제의도 ] 삼각방정식의해구하기 sin cos cossin 이므로 cos 또는 sin 이다. 따라서 cos 일때, sin 일때, 이므로 모든근의합은 이다. 24) [ 출제의도 ] 실생활에서순열을이용하여경우의수구하기 (ⅰ),, 에는,, 가들어가야하고채우는방법의수는 가지이다. (ⅱ),, 에,, 를채웠을경우,,, 에는각각,,, 가채워져야한다. (ⅲ), 에는, 가,, 에는, 가채워져야한다. ( 가지 ) 가지중, 에 가채워지는경우는모순이생기므로,,, 를채우는방법의수는 가지이다.,, 을채우는방법은각각,, 로채우는한가지이다. 따라서경우의수는 ( 가지 ) 이다, 25) [ 출제의도 ] 로그함수의성질을이용하여정사각형의개수세기 일때정사각형은 ( 개 ) 일때정사각형의개수는 ( 개 ) 일때정사각형의개수는 ( 개 ) 일때정사각형의개수는 ( 개 ) 일때정사각형의개수는 ( 개 ) 따라서최대정사각형의개수는 ( 개 ) 이다. 28) 3 [ 출제의도 ] 삼각함수의극한값구하기 CD CDB CBD 이므로사인법칙에의하여 DB sin sin 이므로 sin sin DB sin sin 이다. limdb lim sin sin 이다. 따라서 limab lim DB 29) 1 [ 출제의도 ] 삼각함수의최대값과최소값구하기 sin cos sin 라하면 이다. sin cos 이므로 sincos 따라서 sin cos sin cos ( ) 이므로 일때, 최대값 이고 일때, 최소값 이다. 따라서 의최대값과최소값의곱은 이다. 30) [ 출제의도 ] 삼각함수의덧셈정리를이용하여삼각함수의값구하기 P Q R이선분 AB의 등분점이므로 P, Q, R 이고, POB, ROB 라하면, tan tan 이다. tan tan tan tan tantan 13 16
31) 5 [ 출제의도 ] 줄기와잎그림에서중앙값과평균을이용하여자료의값구하기 ( 중앙값 ) 이므로 이고, ( 평균 ) 이므로 이다. 32) 3 [ 출제의도 ] 평균과표준편차구하기 평균 분산 표준편차 이고 이므로 인수는 이다. 33) 5 [ 출제의도 ] 확률의성질을이용하여확률구하기 세팀 가가위, 바위, 보를하는모든경우의수는 가지이다. 가결승에진출하는경우 ( 가지 ) 바위바위가위보보가위가위바위보보보가위가위바위바위 같은방법으로 도 가지씩이므로 결승에진출할한팀이결정될확률은 이다. 34) 2 [ 출제의도 ] 확률의뜻을이용하여확률구하기 개의수중두수를맞히는모든경우의수는 가지이다. 아래표에서처음맞힌숫자가큰경우만나온 ( 가지 ) 이다. 두수의차가 보다큰경우는 ( 가지 ) 이다. 처음맞힌숫자두번째맞힌숫자,,,,,,,,,, 구하는확률 37) 4 [ 출제의도 ] 규칙성을찾아경우의수구하기 잘린도형은모두삼각형과사각형으로만이루어졌으며총개수는 이다. 삼각형은 BCP, BCQ 의내부를분할할때, 19 개가있으므로 개이다. 38) 5 [ 출제의도 ] 비둘기집의원리를이용하여경우의수구하기 비둘기집의원리에의하여입후보자 명을비둘기집으로, 명의 투표자를비둘기로생각하면 이고, 명이남으므로반드시 표이상의표를얻은후보자가 있다. 39) 2 [ 출제의도 ] 조합의수를이용하여분할의개수구하기 청소도우미 명을뽑는방법의수는 C 빨래도우미 명을뽑는방법의수는 C 이므로 C C 40) [ 출제의도 ] 조합의수를이용하여부분집합의개수구하기 을반드시포함하는원소의개수가 4 개이하인부분집합의개수를 구하면 원소가 개인부분집합의개수는 C ( 개 ) 원소가 개인부분집합의개수는 C ( 개 ) 원소가 개인부분집합의개수는 C ( 개 ) 원소가 개인부분집합의개수는 C ( 개 ) 따라서 ( 개 ) 35) [ 출제의도 ] 주어진자료에서가중평균구하기 36) 3 [ 출제의도 ] 조합의수를이용하여선분의개수구하기 점 개중 개를선택하는경우의수이므로 C 14 16