The Korean Journal of Applied Statistics 2017) 302), 243 257 DOI: https://doi.org/10.5351/kjas.2017.30.2.243 Numerical studies on approximate option prices Jeongyoen Yoon a Jisu Seung b Seongjoo Song a,1 a Department of Statistics, Korea University; b Financial Security Institute Received January 20, 2017; Revised March 10, 2017; Accepted March 15, 2017) Abstract In this paper, we compare several methods to approximate option prices: Edgeworth expansion, A-type and C-type Gram-Charlier expansions, a method using normal inverse gaussian NIG) distribution, and an asymptotic method using nonlinear regression. We used two different types of approximation. The first called the RNM method) approximates the risk neutral probability density function of the log return of the underlying asset and computes the option price. The second called the OPTIM method) finds the approximate option pricing formula and then estimates parameters to compute the option price. For simulation experiments, we generated underlying asset data from the Heston model and NIG model, a wellknown stochastic volatility model and a well-known Levy model, respectively. We also applied the above approximating methods to the KOSPI200 call option price as a real data application. We then found that the OPTIM method shows better performance on average than the RNM method. Among the OPTIM, A- type Gram-Charlier expansion and the asymptotic method that uses nonlinear regression showed relatively better performance; in addition, among RNM, the method of using NIG distribution was relatively better than others. Keywords: asymptotic option price, Gram-Charlier expansion, Heston model, normal inverse gaussian process 1. 서론 옵션가격은할인된수익함수의위험중립확률측도하에서의기댓값으로주어지므로, 옵션가격의계산에 서수익률의위험중립확률분포를찾는것은매우중요한문제이다. 대표적인옵션가격결정모형인블 랙 - 숄즈모형 Black 과 Scholes, 1973) 에서는위험중립확률측도하에서기초자산확률과정이기하브 라운운동을따른다고가정한다. 이렇게되면로그수익률이정규분포를따르게되어옵션가격을쉽게 계산할수있다. 하지만이경우실제확률분포에서도기초자산의로그수익률이정규분포를따르게되 고, 정규분포는시장에서관측되는수익률분포의높은첨도나 0 이아닌왜도등의특성을반영하지못 한다. 또, 변동성을상수로가정하기에시장에서관측되는변동성스마일등의현상도설명할수없게 된다. 이와같이블랙 - 숄즈모형은간편하고이해하기쉽지만여러가지단점또한가지고있기때문 This research was supported by the Basic Science Research Program through the National Research Foundation of Korea NRF) funded by the Ministry of Education, Science and Technology NRF- 2013R1A1A3012819), and is based on Jisu Seung s master thesis and additional research. 1 Corresponding author: Department of Statistics, Korea University, 145, Anam-ro, Seongbuk-gu, Seoul 02841, Korea. E-mail: sjsong@korea.ac.kr
244 Jeongyoen Yoon, Jisu Seung, Seongjoo Song 에, 블랙-숄즈모형을바탕으로하되실제시장에서관측되는자료에보다잘적합되는모형을찾기위한연구가다각도로이루어졌다. 그중하나가옵션의가격결정에있어서블랙-숄즈옵션가격을선도항 leading term) 으로하면서오차를보정하는방식으로옵션의가격을계산하는연구이다. 이러한연구는기초자산의확률과정이근사적으로블랙-숄즈모형을따른다는기초위에서이루어진다고할수있다. Jarrow와 Rudd 1982) 는로그수익률의확률밀도함수를일반화 Edgeworth 급수방법으로확장하여 A-type Gram-Charlier의방법을옵션의가격결정에이용하였고, Madan과 Milne 1994) 는헤르미트다항식을기저로하는가격확장식을제안하였다. Rompolis와 Tzavalis 2007) 는 C-type Gram- Charlier 급수확장을이용하여음의확률값을만들어낼수있는 A-type Gram-Charlier의단점을보완하였다. Song 등 2011) 은위험중립확률측도하에서블랙-숄즈모형으로수렴하는기하레비모형을고려하여이수렴과정을통해블랙-숄즈가격을선도항으로하는옵션가격의근사식을제안하였다. 앞서 Lee와 Song 2016) 은위에서소개된방법들을 variance gamma VG) 확률과정에서의모의실험으로비교하였다. 유한활동도 finite-activity) 와무한변동성 infinite variation) 을갖는순수점프레비확률과정은내재변동성의스마일현상이나로그수익률분포의두꺼운꼬리등기하브라운운동으로설명될수없는여러가지를설명할수있고, 블랙-숄즈모형에비해실제자료에더잘적합된다는것이밝혀져있는데 Carr 등, 2002; Geman, 2002; Madan과 Seneta, 1990), 반면블랙-숄즈모형에비하여모수추정이나계산이어려운단점이있다. VG 확률과정은순수점프레비확률과정가운데상대적으로간단한모형으로, 확률밀도함수와유럽식콜옵션의가격이닫힌형태로표현되어여러가지계산이다소쉬워진다. Lee와 Song 2016) 은 VG 확률과정을따르는기초자산의가격과정을생성하여 Edgeworth 확장, A-type Gram-Charlier 확장, C-type Gram-Charlier 확장과 Song 등 2011) 에서제안된근사방법을비교하였다. 또, 순수점프레비확률과정인 normal inverse gaussian NIG) 모형에서의적률추정을이용한옵션가격도계산하여다른방법들과비교하였다. 이논문에서는 Lee와 Song 2016) 의논문에서와같이 Edgeworth 확장, A-type과 C-type Gram- Charlier 확장, Song 등 2011) 의근사방법, NIG 옵션가격을비교함에있어서 NIG 확률과정과 Heston 모형을이용하였다. NIG 모형은모수의개수가 VG 모형보다한개가많아서수익률분포적합이일반적으로더좋다고알려져있고 Cepni 등, 2013; Eriksson 등, 2009), Value at Risk의계산결과도 VG 모형을이용하는경우보다더우수하다고알려져있다 Kim과 Song, 2011). 이에, 자료에의적합도가높아서블랙-숄즈보다좋은적합결과를보이는모형에서근사방법들이어떤성능을보이는지비교해보고자하였다. 뿐만아니라, 변동성자체를확률과정으로보는확률변동성모형가운데가장널리사용되는모형중에하나인 Heston 모형에서근사방법들의성능도비교하였다. 그리하여, 자료생성과정이레비확률과정이나확률변동성모형인경우어떤근사방법으로옵션가격을결정하는것이좋은지를찾아보고자하였다. 이논문에서는가격근사에중점을두고자하였으며, 실제자료의분석에서 Lee와 Song 2016) 이한가지접근방식만을사용한것과는달리두가지접근방식을모두사용하여비교하였다. 이논문에서비교한방법들은기초자산의모형을따로가정하지않고, 블랙-숄즈의가격에오차에대한보정항을고려하여가격을간단히근사적으로구하고싶을때쓸수있는몇가지옵션이라고볼수있다. NIG 가격은근사적인가격은아니지만, 일반적으로좋은적합을보이는것으로알려져있어함께고려하였다. 비교적쉬운방법으로옵션의시장가격이잘못설정되어있지않은지그경향성을확인하여가격산정의참고로사용할수있고, 위험중립적률의계산을통해위험중립확률분포가블랙-숄즈모형과어떻게다른지또한발견할수있을것으로생각된다. 본논문의구성은다음과같다. 2절에서는기초자산확률과정으로고려한 NIG 모형과 Heston 모형을소개하고, 3절에서는근사방법을살펴본다. 4절에서는모의실험과그결과를설명하고 5절에서는 KOSPI200 자료를통해모의실험의결과를확인하였다.
Approximate option prices 245 2. 기초자산확률과정 2.1. Normal inverse gaussian NIG) 모형 Barndorff-Nielsen 1997) 에의해소개된 NIG 과정은 inverse gaussian IG) 과정으로시간변환된브라 운운동이다. IGa, b) 분포는 b > 0의추세를갖는브라운운동이수준 a > 0에최초도달하는시간이따르는분포이며, 모수 a > 0, b > 0를갖는 IG과정 {Y IG) t ; t 0} 는 0에서출발하여독립정상증분을가지면서 Y IG) t 가 IGat, b) 를따르는확률과정이다. W 를표준브라운운동이라하고 I를 a = 1, b = δ α 2 β 2 인 IG과정이라고할때, 모수 α, β, δ인 NIG과정 X는시점 t에서다음과같이표현된 다 α > 0, δ > 0, α < β < α). X t = βδ 2 I t + δw It, X t 는모수 α, β, tδ 인 NIG 분포를따르게되며, 위치모수 µ 를추가한 NIGµ, α, β, δ) 분포의확률밀도 함수는다음과같다. e δγ+βx µ) f NIG x) = αδ π δ 2 + x µ) K 2 1 α δ 2 + x µ) 2 ), x R, 여기서 γ 는 α 2 β 2 이고, K 1 은 index 가 1 인제 3 종의변형 modified) Bessel 함수로서 index 가 ν 인 제 3 종의변형 Bessel 함수의적분표현은 K νz) = 1 2 0 y ν 1 exp 1 2 z y + y 1)) dy 이다. 일반적으로레비확률과정은닫힌형태의확률밀도함수를갖지않지만 NIG 과정에서는확률밀도 함수가닫힌형태로존재하기때문에계산이비교적쉽고, 실제주가수익률분포의특성도잘반영한다 Prause, 1999). NIG 모형의모수는흔히최대가능도추정량 MLE) 과적률추정량 MME) 으로추정하 는데, MLE 는확률밀도함수를이용해수치적으로구하게되고 MME 는모수를평균 M), 분산 V ), 왜 도 S), 초과첨도 K) 로표현한식 2.1) 에각표본값을대입하여추정한다. 여기서초과첨도 K) 는첨도 에서정규분포의첨도인 3 을뺀값이고, 식 2.1) 에서 ρ 는 3KS 2 4 이다. α = 3ρ 1 2 ρ 1) 1 V 1 2 S 1, β = 3ρ 1)V 1 2 S 1, δ = M 3ρ 1 V 1 2 S 1, µ = 3ρ 1 ρ 1) 1 2 V 1 2 S 1. 2.1) 금융모형에사용되는 NIG 모형에대한보다자세한내용은 Cont 와 Tankov 2004) 또는 Schoutens 2003) 를참고할수있다. 2.2. Heston 모형 Heston 1993) 은기초자산 S와변동성 V 를다음과같이모형화할것을제안하였다. ds t = S t µdt + ) V t dwt 1, dv t = κ θ V t ) dt + σ V t dw 2 t, 여기서 W 1 t 과 W 2 t 는 ρ 의상관계수를갖는표준브라운운동이고, µ 은추세 drift), κ 는평균회귀 meanreversion) 속도, θ 는 V 의장기평균 long-time mean), 그리고 σ 는분산잡음 variance noise, volatility
246 Jeongyoen Yoon, Jisu Seung, Seongjoo Song of volatility) 을의미하는모수이다. Heston 모형을포함하는확률변동성모형은변동성자체를랜덤한 확률과정으로정의하여변동성스마일이나변동성군집현상등을설명할수있고, 파생상품을보다정 밀하게모형화할수있는등여러장점을갖는다. 또한높은첨도와 0 이아닌왜도로대표되는실제주 가수익률분포의특성을반영하고, 주가의수익률과변동성이음의상관관계를갖는다는레버리지효 과 leverage effect) 또한반영할수있다. 물론모형이복잡해지기때문에블랙 - 숄즈모형등에비해계 산또한복잡하다는단점이있으나, Heston 모형의경우에는닫힌형태의옵션가격결정식이존재하여 파생상품의가격결정에널리사용되고있다 Rouah, 2013). Heston 1993) 은 t 시점에서기초자산 S 의가격이 s, 변동성 V 의값이 v 이고무위험이자율이 r 일때, 만기까지의잔여기간이 τ 이고행사가격이 K 인유럽식콜옵션의가격식이식 2.2) 와같음을보였다. 여기서 P j 는다음과같고, P j = 1 2 + 1 π Calls, v, t, K) = sp 1 e rτ KP 2, 2.2) 0 Re [ e iu lnk)φj) t iu u;τ) ] du, j = 1, 2, Φ j) t u; τ) 는다음과같다. ) Φ j) t u; τ) = exp C j) u; τ) + D j) u; τ)v + iu lns). 이때, C j) u; τ) =ruτi + κθ [ b σ 2 j ρσui + d) τ 2 ln D j) u; τ) = b j ρσui + d σ 2 g = b j ρσui + d b j ρσui d, 1 e dτ 1 ge, dτ 1 ge dτ 1 g )], d = ρσui b j) 2 + σ 2 u 2 2u jui), b 1 =κ ρσ, b 2 = κ, u 1 = 1 2, u 2 = 1 2 이다. 이와같이 Heston 모형은옵션의가격식이닫힌해로표현되는장점이있지만, 변동성은실제로관측되지않기때문에모수추정이어렵고옵션가격이모수에민감하게반응한다는단점이있다 Mikhailov와 Nögel, 2003). 3. 근사방법및계산 3.1. 근사방법앞서소개한바와같이, 본논문에서는옵션가격을근사적으로결정하는방법인 Edgeworth 확장방법과 A-type, C-type Gram-Charlier방법, Song 등 2011) 의근사방법, 그리고 NIG 모형에서계산된옵션가격을비교하고자한다. 이절에서는위의 5개근사방법들을간략하게설명하였다. Jarrow와 Rudd 1982) 에서옵션가격결정을위하여제안된 A-type Gram-Charlier방법 이하 GCA) 은근사하고자하는위험중립확률측도하에서의목적분포를기저분포와기저분포의누율 cumulant), 그리고목적분포의누율을이용하여제시하였다 Jarrow와 Rudd, 1982). 이를바탕으로 Eriksson 등
Approximate option prices 247 2009) 은기저분포를정규분포로하여평균 µ, 표준편차 σ, 왜도 S, 초과첨도 K 를갖는 X 의확률밀도 함수에대한확장식을다음과같이표현하였다. fx) = gx) 1 + m=3 ) 1 m! E X,mH m z), 이때 z = x µ)/σ, gx) = 1/σ 2π)) exp 1/2z 2 ) 이고 H m ) 는헤르미트다항식이며 E X,m = EH mz)) 인헤르미트적률이다. 헤르미트다항식은표준정규분포의밀도함수 ϕ 에대해 1) m d m / dz m )ϕz) = H m z)ϕz) 를만족하는직교다항식이다. 이를 m = 4까지 GCA근사를하면 fx) = gx) 1 + 1 6 S z 3 3z ) + 1 24 K z 4 6z 2 + 3 ) ) 이되고 Edgeworth 근사를하면 fx) = gx) 1 + 1 6 S z 3 3z ) + 1 24 K z 4 6z 2 + 3 ) + 1 72 S2 z 6 15z 4 + 45z 2 15 ) ) 이된다 Barndorff-Nielsen 과 Cox, 1989). 일반적으로 GCA 와 Edgeworth 는계산이간단하지만목적 분포가정규분포에서멀리떨어져있을때근사의정확성이떨어질수있고, 음의확률밀도함수값을가 질수있다는단점이있다. Rompolis 와 Tzavalis 2007) 는 Charlier 1928) 에의해고안된 C-type Gram-Charlier 확장을이용하 여위험중립확률측도하에서확률밀도함수를 ) 1 exp m=1 m δ mh m z) fx) = ) 1 exp m δ mh m z) m=1 와같이표현하고, 무한합을적당한차수까지사용하여밀도함수를근사하는방법 이하 GCC) 을제 안하였다. δ m 은급수확장의계수로서정의는 Rompolis 와 Tzavalis 2007) 에자세히설명되어있다. GCC 는 Gram-Charlier 의지수함수형태를기반으로하기에위험중립확률밀도함수가항상양수가되 고분포가정규분포에서멀리떨어져있는경우에 GCA 보다좋은성능을보인다. 하지만 Edgeworth 나 GCA 와달리옵션가격근사식에대한닫힌식을유도할수없고추정해야하는적률값이많다는단점이 있다. Song 등 2011) 은기초자산가격이블랙 - 숄즈모형으로수렴하는순수점프레비확률과정를따를때, 근 사적옵션가격결정식을유도하였다. 이방법은적률등을계산하여밀도함수를추정하는과정을거치 지않고곧바로옵션의가격을근사시키는방법이며, 아래에서 Asymp 라고표기하였다. 자세한내용은 Song 등 2011) 을참조하도록한다. Eriksson 등 2009) 에서는수익률의위험중립확률분포가 NIG 분포를따른다고가정하고옵션가격을 계산하면자료생성과정이 NIG 가아니더라도우수한성능을보일것이라고주장하였다. 이를확인하기 위해옵션자료를통해 NIG 확률밀도함수의모수를추정하여옵션가격식을계산하는방법도함께고려 하였다. 3.2. 근사적옵션가격의계산 본논문에서옵션가격을계산할때, 두가지접근방식을사용하였다. 한가지는옵션가격에내재된위 험중립적률을추정하여이를토대로위험중립확률분포하에서의밀도함수를근사한후, 옵션의수익
248 Jeongyoen Yoon, Jisu Seung, Seongjoo Song 함수의할인된기댓값으로가격을근사하는방법 이하 RNM 방법으로표기함 ) 이다. 또다른방법은직 접유도된근사가격식에서모수를추정하여옵션가격을계산하는방법 이하 OPTIM 방법으로표기함 ) 이다. 위험중립확률밀도함수가알려져있는 Edgeworth, GCA, GCC, NIG 는 RNM 방법으로계산이 가능하고닫힌형태의근사가격식이알려진 Edgeworth, GCA, Asymp 은 OPTIM 방법으로계산할수 있다. RNM 방법의경우, 근사적위험중립확률분포식에구체적인적률값이필요하기에적절한적률추정방법 이요구된다. Bakshi 등 2003) 은 t 시점에서 τ 기간의로그수익률 Rt, τ) ln[s t+τ ] ln[s t]) 의세가지 수익함수, Rt, τ) 2 volatility contract), Rt, τ) 3 cubic contract), Rt, τ) 4 quartic contract) 를고려하 였다. 그리고현재시점으로할인된각각의수익함수에대한위험중립기댓값을각각 V t, τ), W t, τ), Xt, τ) 로표기하고식 3.1) 와같이표현하였다. 여기서 S t 는 t 시점에서의기초자산이고 K 는행사가 격이며, Ct, τ; K) 와 P t, τ; K) 는행사가격이 K 이고만기까지잔여기간이 τ 인유럽식콜옵션과풋옵 션의 t시점에서의가격이다. ) 2 1 ln KSt V t, τ) = Ct, τ; K)dK + S t K 2 6 ln K ) 2 3 ln KSt S t W t, τ) = S t K 2 Xt, τ) = S t 12 ln K ) 2 4 S t ln KSt ) 3 St St Ct, τ; K)dK K 2 Ct, τ; K)dK + 0 2 1 + ln S ) t K P t, τ; K)dK, 0 K 2 6 ln St K + 3 St 0 ) 2 ln St K P t, τ; K)dK, 3.1) K 2 12 ln S ) 2 t + 4 ln S ) 3 t K K P t, τ; K)dK. 또, 식 3.1) 를이용하여 Rt, τ) 에대한위험중립적률을식 3.2) 와같이제시하였다. 분산은 VAR, 왜 도는 SKEW 그리고첨도는 KURT 로표기하였다. 자세한내용및증명은 Bakshi 등 2003) 을참고할 수있다. VARt, τ) = e rτ V t, τ) µ 2 t, τ), SKEWt, τ) = erτ W t, τ) 3µt, τ)e rτ V t, τ) + 2µt, τ) 3, [e rτ V t, τ) µt, τ) 2 ] 3 2 KURTt, τ) = erτ Xt, τ) 4µt, τ)e rτ W t, τ) + 6e rτ µt, τ) 2 V t, τ) 3µt, τ) 4 [e rτ V t, τ) µt, τ) 2 ] 2, µt, τ) = e rτ 1 erτ V t, τ) 2 erτ W t, τ) 6 K 2 erτ Xt, τ). 3.2) 24 GCC 로확률밀도함수를근사할때는전개되는항의수보다많은수의적률이필요하다. Rompolis 와 Tzavalis 2007) 는 GCC 의위험중립적률의계산에필요한 Rt, τ) 의 m 차적률 µ m 을 t 시점에서의기 초자산 S t, 행사가격 K, 그리고행사가격이 K 이고잔여기간이 τ 인유럽식콜옵션과풋옵션의가격 을이용하여식 3.2) 으로정리하였다. µ 2, µ 3, µ 4 는식 3.1) 과비교할때, µ 2 = e rτ V t, τ), µ 3 = e rτ W t, τ), µ 4 = e rτ Xt, τ) 이다. µ 1 = e [1 rτ 1 Ct, τ; K)dK S t K2 St 0 ] 1 P t, τ; K)dK 1, K2
Approximate option prices 249 µ m = e rτ [ St + 0 S t m K 2 ] m 2 ] m [ln [m KSt 1 ln KSt Ct, τ; K)dK K 2 ] [ln KSt ] m 2 [m 1 ln KSt ] P t, τ; K)dK, 2. 위의식들을이용하여적률을계산할때, 동일만기를갖는옵션가격이행사가격에대해연속적으로존 재해야한다. 그러나이용할수있는실제자료에는한계가있으므로근사적으로구하게된다. 4. 모의실험 모의실험에서는 NIG 모형과 Heston 모형에서생성된기초자산을바탕으로각근사방법에따라계산된 옵션가격을비교하였다. 이때, 현재시점의기초자산가격은 200 으로하고무위험이자율 r 은 0.05, 그 리고만기 τ 는 0.32882 일 ) 로하였으며, 옵션의행가가격 K 는 1 부터 400 까지로하여행사가격간간 격을 1 로하였다. RNM 방법과 OPTIM 방법으로계산된옵션가격의적합정도를비교하기위해서는다 음과같이정의된평균백분위오차 APE), 평균절대오차 AAE), 제곱근평균오차 RMSE) 를사용하였다 Schoutens, 2003). APE = 1 옵션가격의평균 AAE = 시장가격 모형가격, 옵션갯수 시장가격 모형가격 ) 2 시장가격 모형가격, 옵션갯수 RMSE = 옵션갯수. 4.1. Normal inverse gaussian NIG) 모형에서의결과 NIG 모형의기초자산을이용한모의실험에서는모수의참값을 α = 4, β = 0.03, δ = 0.18, µ = 0.001로하였다. NIG분포의모수는일반적으로 MLE와 MME로추정하는데, 위험중립적률을추정하여옵션가격을근사하는방법과같은맥락으로 MME 를통해근사적인옵션가격을계산하였다. 생성된 10,000개의자료에서추정된 MME는 ˆα = 4.22, ˆβ = 0.0065, ˆδ = 0.189, ˆµ = 0.0037이다. 또한식 3.2) 에서 VAR은 0.045, SKEW는 0.1247, KURT는 7.1914로계산되었다. 이렇게추정된 NIG분포의밀도함수와 Edgeworth, GCA, GCC로근사된확률밀도함수를자료생성에이용한참 true) 밀도함수와비교한그림이 Figure 4.1이다. NIG와 GCC가실제분포에상당히근접하는결과를보이고있고, Edgeworth와 GCA의경우음의확률밀도함수값을갖는부분도발생하였다. Figures 4.2와 4.3은각각 RNM방법과 OPTIM방법으로행사가격 K에따라계산한옵션가격을전체구간과거래빈번구간에서살펴본결과이다. 거래빈번구간은행사가격이현재가격의 80% 에서 120% 가되는구간으로, 현실적으로가장많은거래가이루어지는구간이기에따로적합도를살펴보았다. Figures 4.2와 4.3에서알수있듯이 OPTIM방법에의해근사된옵션가격이실제옵션가격에더욱가깝게근사되고있으며, 거래빈번구간에서 OPTIM방법의성능의우수함을다시확인할수있다. Table 4.1에서 RNM방법과 OPTIM방법의적합정도를전체구간에서살펴보면, OPTIM방법으로근사한옵션가격의적합정도가 RNM방법의결과보다우수하고 RNM방법에서는 NIG가실제가격에가장근접하게근사하며, OPTIM방법에서는 GCA가가장우수한적합도를가진다. 자료생성과정이 NIG이
250 Jeongyoen Yoon, Jisu Seung, Seongjoo Song Figure 4.1. Estimated risk neutral density of log return when the data generating process is NIG. NIG = normal inverse gaussian; EDGE = Edgeworth; GCA = A-type Gram-Charlier; GCC = C-type Gram-Charlier. Figure 4.2. NIG model: call option price by RNM left panel: total, right panel: vicinity of ATM). NIG = normal inverse gaussian; EDGE = Edgeworth; GCA = A-type Gram-Charlier; GCC = C-type Gram-Charlier. Figure 4.3. NIG model: call option price by OPTIM left panel: total, right panel: vicinity of ATM). NIG = normal inverse gaussian; EDGE = Edgeworth; GCA = A-type Gram-Charlier; GCC = C-type Gram-Charlier.
Approximate option prices 251 Table 4.1. NIG model: errors in approximating option price Range Type Approx. method APE AAE RMSE All Vicinity of ATM RNM OPTIM RNM OPTIM Edgeworth 0.0286 1.5475 1.8235 GCA 0.0287 1.5491 1.8265 GCC 0.0227 1.2224 1.2801 NIG 0.0082 0.4428 0.5361 Edgeworth 0.0097 0.5144 0.6276 GCA 0.0091 0.4823 0.5574 Asymp 0.0112 0.5917 0.7382 Edgeworth 0.1247 2.5763 2.7906 GCA 0.1249 2.5809 2.7964 GCC 0.0514 1.0652 1.1197 NIG 0.0194 0.4002 0.4344 Edgeworth 0.0348 0.6692 0.7721 GCA 0.0267 0.5133 0.5716 Asymp 0.0237 0.4549 0.5017 Vicinity of ATM: Strike price [160, 240]. APE = average percentage error; AAE = average absolute error; RMSE = root mean squared error; ATM = at the money; GCA = A-type Gram-Charlier; GCC = C-type Gram-Charlier; NIG = normal inverse gaussian. 므로 NIG방법의결과가다른방법에비해월등한것은당연한결과이지만, OPTIM방법의 GCA와 Asymp이 NIG방법의결과에크게뒤지지않는오차를보이고있는것이눈에띈다. 예상했던대로 GCA보다 GCC의결과가우수한데, 그차이가많이크지는않다 APE: GCA 2.9%, GCC 2.3%). Figure 4.1에서보듯이전체구간에서참분포가정규분포에서크게멀리떨어져있지않기때문에그런것으로보인다. 반면, OPTIM방법의결과가 RNM방법의결과보다우수했다는것은같았지만, Lee와 Song 2016) 에서는정규분포와상당히다른 VG분포를이용하여모의실험을했기때문에, RNM방법에서 GCC가 GCA에비해훨씬좋은결과 APE: GCA 14%, GCC 7%) 를보였었다. 또한 OPTIM방법에서 Asymp이 GCA보다적합도가더좋았던 APE: GCA 2%, Asymp 1.8%) 것도분포의형태에기인한것이라고추측할수있다. 거래빈번구간에서적합정도를살펴보면, 전체구간과마찬가지로 NIG방법의오차가가장작고 OP- TIM방법이 RNM방법에비교하여오차가작다. 하지만 RNM방법에서는 GCCAPE: 5%) 의적합도가 GCAAPE: 12.5%) 보다훨씬좋고, OPTIM방법에서는 AsympAPE: 2.4%) 의성능이 GCAAPE: 2.7%) 보다우수한점등의차이도눈에띈다. Lee와 Song 2016) 에서는전체구간에서의결과만보고하였기에비교는어렵다. 4.2. Heston 모형에서의결과 Heston 모형의기초자산을이용한모의실험에서는 Eriksson 등 2009) 에서제시한모수 r = 0.05, κ = 1.62, θ = 0.04, σ = 0.44, ρ = 0.76에준하여기초자산을생성하였다. RNM방법에필요한위험중립적률 VAR은 0.01, SKEW는 1.396, KURT가 6.266으로추정되었다. Figure 4.4는각방법별로근사된위험중립확률분포이다. Heston 모형을기초로한이모의실험에서도 NIG방법이 Edgeworth, GCA 그리고 GCC방법에비하여실제분포에가깝게근사되었다. Figure 4.5는 RNM방법으로계산된옵션가격이고 Figure 4.6은 OPTIM방법으로계산된옵션가격이
252 Jeongyoen Yoon, Jisu Seung, Seongjoo Song Figure 4.4. Estimated risk neutral density of log return when the data generating process is Heston. NIG = normal inverse gaussian; EDGE = Edgeworth; GCA = A-type Gram-Charlier; GCC = C-type Gram-Charlier. 다. 각접근방식에따른옵션가격의적합정도를 Table 4.2에서비교하였는데, 이전과같은방식으로전체구간과거래빈번구간에서비교하였다. NIG 모형을기반으로한모의실험과유사하게 OPTIM방법의결과가 RNM방법보다우수하였고 RNM방법에서 NIG방법의적합정도가구간에관계없이가장좋은결과를보였으며, OPTIM방법에서 GCA가전체구간과거래빈번구간에서성능이가장좋았다. 4.1절의결과와비교하면전반적으로오차가작아서모든방법이가격을보다잘근사하고있음을알수있는데, 이는 Figures 4.5과 4.6에서도확인된다. Figure 4.4에서보듯이 Heston 모형에서생성된분포도정규분포와아주많이떨어져있지는않아서, 4.1절에서처럼 GCA와 GCC의결과차이가크지않고, OPTIM방법에서 GCA가좋은성능을보이는것으로생각된다. 두모의실험에서의참분포가유사하기때문에, Heston 모형을쓴경우에도 NIG방법의결과가우수하게나타났다. 결과를종합하면, 모의실험에서사용한 NIG와 Heston 모형에서 OP- TIM방법의결과가우수하며, RNM방법에서는 NIG, OPTIM방법에서는 GCA와 Asymp 이우수한결과를보였다. 5. 실증자료분석실제 KOSPI200 콜옵션자료를이용하여내표본과외표본에서 RNM방법과 OPTIM방법으로가격을근사해보았다. 내표본은같은자료로모수도추정하고성능도비교하는경우이고, 외표본은모수추정에사용하는자료와성능비교에사용하는자료가다른경우이다. 내표본에서는 2017년 1월 16일에공시된옵션자료를추정과가격비교에모두사용하였고외표본에서는 2017년 1월 16일자료로모수를추정하여 17일옵션가격을예측하고, 이를 17일에공시된옵션가격자료와비교하였다. 사용한만기일로본옵션의잔존기간은내표본의경우 1월 16일기준으로 25일, 53일, 81일이고, 외표본의경우 1월 17일기준으로 24일, 52일, 80일이다. 무위험이자율 r은 0.0163로당시국고채 3년수익률을사용하였다. 2017년 1월 16일과 17일은금융시장이크게흔들렸던시기가아니기때문에안정적인시기로간주할수있으며, 수치적인결과도 Lee와 Song 2016) 의안정시장에서의결과에가깝다. Lee와 Song 2016) 에서는 OPTIM방법만비교했으나, 본논문에서는 RNM방법도함께비교하여두접근방식에의한근사결과를 Table 5.1에나타내었다. 내표본과외표본모두에서 RNM방법보다는 OPTIM방법의결과가대체로우수하였지만외표본에서는
Approximate option prices 253 Figure 4.5. Heston model: call option price by RNM left panel: total, right panel: vicinity of ATM). NIG = normal inverse gaussian; EDGE = Edgeworth; GCA = A-type Gram-Charlier; GCC = C-type Gram-Charlier. Figure 4.6. Heston model: call option price by OPTIM left panel: total, right panel: vicinity of ATM). EDGE = Edgeworth; GCA = A-type Gram-Charlier. Table 4.2. Heston model: errors in approximating option price Range Type Approx. method APE AAE RMSE All Vicinity of ATM RNM OPTIM RNM OPTIM Edgeworth 0.0028 0.1436 0.2756 GCA 0.0038 0.1942 0.4056 GCC 0.0031 0.1605 0.3175 NIG 0.0013 0.0651 0.1406 Edgeworth 0.0027 0.1395 0.2953 GCA 0.0006 0.0294 0.0539 Asymp 0.0007 0.0344 0.0752 Edgeworth 0.0323 0.4467 0.5281 GCA 0.0515 0.7124 0.8386 GCC 0.0453 0.6262 0.6945 NIG 0.019 0.2631 0.3053 Edgeworth 0.0402 0.5560 0.6363 GCA 0.0060 0.0830 0.0931 Asymp 0.0079 0.1103 0.1516 Vicinity of ATM: Strike price [160, 240]. APE = average percentage error; AAE = average absolute error; RMSE = root mean squared error; ATM = at the money; GCA = A-type Gram-Charlier; GCC = C-type Gram-Charlier; NIG = normal inverse gaussian.
254 Jeongyoen Yoon, Jisu Seung, Seongjoo Song Table 5.1. KOSPI200 call option: errors in approximating option price Sample Type Approx. method APE AAE RMSE In-sample Out-of-sample RNM OPTIM RNM OPTIM Black-Scholes 0.0728 0.4528 0.6682 Edgeworth 0.0906 0.5643 0.7594 GCA 0.1026 0.6384 0.8506 GCC 0.0626 0.3898 0.6382 NIG 0.0492 0.3059 0.5504 Black-Scholes 0.0656 0.4080 0.6628 Edgeworth 0.0665 0.4141 0.6566 GCA 0.0458 0.2847 0.4884 Asymp 0.0521 0.3242 0.4570 Black-Scholes 0.0716 0.4484 0.5749 Edgeworth 0.0774 0.4846 0.5675 GCA 0.0910 0.5696 0.6655 GCC 0.0580 0.3634 0.4867 NIG 0.0362 0.2272 0.3792 Black-Scholes 0.0579 0.3625 0.4705 Edgeworth 0.0587 0.3676 0.4716 GCA 0.0531 0.3322 0.5107 Asymp 0.0585 0.3665 0.5466 In-sample: Jan/16/2017 and out-of-sample: Jan/17/2017. APE = average percentage error; AAE = average absolute error; RMSE = root mean squared error; GCA = A-type Gram-Charlier; GCC = C-type Gram-Charlier; NIG = normal inverse gaussian. NIG가더좋은결과를주면서반드시 OPTIM이좋다고할수는없었다. 그러나블랙-숄즈, GCA와 Edgeworth처럼두방법을모두사용할수있는경우에는항상 RNM 보다 OPTIM방법이좋은결과를보인다. 내표본에서 RNM방법으로옵션가격을근사했을때, NIG의결과가가장우수하였고 OP- TIM방법에서는 GCA로근사된옵션가격이실제옵션가격에가장근접하였다. 외표본에서는 RNM방법에서 NIG가역시가장우수하였고, OPTIM방법에서는모두비슷한결과를보였다. 특별히블랙-숄즈방법과다른방법들을비교한다면, 내표본의 RNM방법에서 NIG가약 20 30%, OP- TIM방법에서는 GCA가약 30% 의오차를줄이고있고, RNM의 GCC방법과 OPTIM의 Asymp방법도블랙-숄즈방법에대해우위를보인다. 외표본에서는 RNM방법에서 NIG가 40 50% 정도, GCC가 20% 정도의오차를줄이는것으로나타났으나, OPTIM방법에서는블랙-숄즈방법과별로차이가없었다. 다만이것은표본경로하나에대한결과이므로항상이와같은결과가나온다고할수는없기에, 실제자료에서의성능을엿볼수있는참고사항으로고려될필요가있다. 6. 결론본논문에서는근사적옵션가격결정방법에의해계산된옵션가격과옵션가격의참값또는관측된값과비교하여어떤근사방법이우수한지수치적으로확인하고자하였다. 이에확률변동성모형인 Heston 모형과기하레비모형인 NIG 모형에서생성된기초자산을이용하여모의실험을하였고 KOSPI200 콜옵션자료를사용하여각근사방법에따른계산결과를비교하였다. 근사적옵션가격은적률로부터위험중립확률분포를추정하여가격을기댓값으로계산하는 RNM방법과근사된가격식으로부터직접계산하는 OPTIM방법으로구하였다. 그결과, 모의실험에서 OPTIM방법이 RNM방법보다성능이전반적으
Approximate option prices 255 로좋음을확인하였다. RNM방법을사용했을때는가정된두모형에서 NIG방법이전체구간과거래빈번구간에서모두우수한성능을보였고, OPTIM방법을사용했을때는세가지방법의적합결과가비슷한데주로 GCA와 Asymp이우수한적합결과를보였다. 이결과는선행연구인 Lee와 Song 2016) 의결과와대체적으로비슷하지만, 모의실험에서가정한분포의형태가달라서자세한결과는조금씩다르게나타났다. KOSPI200의실증자료분석에서는전체적으로 NIG의가격근사결과가좋았다. RNM과 OPTIM의두방법을모두사용할수있는경우에는 OPTIM의결과가좋고, OPTIM방법들가운데에서는 GCA가가장오차가작았지만다른방법들과큰차이를보이지는않았다. 물론, NIG 모형과 Heston 모형에서성능이좋다고해서언제나우수한결과를주는것은아닐것이며, 보다다양한모형에서의모의실험과더많은시점의실제자료에대한연구가필요할것으로생각된다. 결과를근사방법들에대해요약하면, GCC는밀도함수의근사에서 GCA의단점을보완하기위해나온확장법이지만계산이복잡하고 GCA방법보다더많은적률을필요로한다. 밀도함수의근사에서는특히기저분포가정규분포와많이다를때좋은결과를주고, 옵션의가격근사에서도 RNM방법에서는 GCA보다우수하지만 NIG나 OPTIM방법의결과에비해큰장점이없다. GCA는 OPTIM을통한옵션의가격근사에서우수한결과를보이는데, GCC와마찬가지로실증자료분석에서옵션자료가많지않으면적률근사의성능이떨어질수있는단점도있다. 특히개별주식의경우주가지수에비해사용할수있는옵션자료가많지않아서적률추정에문제가있을수있다. Asymp은적률계산을하지않아도되는장점이있고모의실험이나실증자료분석에서결과가우수한편이다. Lee와 Song 2016) 에따르면특히불안정시장의외표본에서성능이좋다. NIG방법은확장을통한근사방법이아니고수익률의분포가 NIG분포를따른다는가정에기반을둔것인데, 전반적으로상당히우수한성능을보인다. 결과적으로, 옵션가격의결정을위해서는 RNM방법보다 OPTIM방법을쓰는것을추천하며, RNM방법가운데에서는 NIG방법이좋은결과를주리라고기대된다. References Bakshi, G., Kapadia, N., and Madan, D. 2003). Stock return characteristics, skew laws, and the differential pricing of individual equity options, The Review of Financial Studies, 16, 101 143. Barndorff-Nielsen, O. E. 1997). Processes of normal inverse gaussian type, Finance and Stochastics, 2, 41 68. Barndorff-Nielsen, O. E. and Cox, D. R. 1989). Asymptotic Techniques for Use in Statistics, Chapman and Hall, London. Black, F. and Scholes, M. 1973). The pricing of options and corporate liabilities, The Journal of Political Economy, 2, 637 654. Carr, P., Geman, H., Madan, D., and Yor, M. 2002). The fine structure of asset returns: an empirical investigation, Journal of Business, 75, 305 333. Cepni, O., Goncu, A., Karahan, M. O., and Kuzubas, T. U. 2013). Goodness-of-Fit of the Heston, Variance- Gamma and Normal-Inverse Gaussian Models Research paper), Bogazici University, Istanbul. Charlier, C. 1928). A new form of the frequency function, Maddalende fran Lunds Astronomiska Observatorium, II, 51. Cont, R. and Tankov, P. 2004). Financial Modelling with Jump Processes, Chapman & Hall/CRC, Boca Raton. Eriksson, A., Ghysels, E., and Wang, F. 2009). The normal inverse gaussian distribution and the pricing of derivatives, The Journal of Derivatives, 16, 23 37. Geman, H. 2002). Pure jump Lévy processes for asset price modeling, Journal of Banking and Finance, 26, 1297 1316. Heston, S. 1993). A closed-form solution for options with stochastic volatility with application to bond and currency options, Review of Financial Studies, 6, 327 343.
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Approximate option prices 257 근사적옵션가격의수치적비교 윤정연 a 승지수 b 송성주 a,1 a 고려대학교통계학과, b 금융보안원 2017 년 1 월 20 일접수, 2017 년 3 월 10 일수정, 2017 년 3 월 15 일채택 ) 요약본논문에서는옵션의가격을결정하기위해사용될수있는몇가지근사적인방법들을수치적으로비교하였다. 헤르미트다항식계열의 Edgeworth 확장과 A-type Gram-Charlier 방법, C-type Gram-Charlier 방법, normal inverse gaussian NIG) 분포를이용하는방법, 그리고비선형회귀를이용한점근적근사방법이그것이다. 이방법들을위험중립확률측도하에서수익률의분포함수를근사하여옵션가격을계산하는방식과옵션의근사가격식을먼저구하고모수를추정하여가격을계산하는두가지방식을사용하여비교하였다. 모의실험에서는확률변동성모형에서많이사용되는 Heston 모형과레비확률과정에서좋은적합도를보이는 NIG 모형을이용하여자료를생성하였고, 실제자료로는 KOSPI200 콜옵션을이용하였다. 모의실험과실제자료분석의결과, 근사적가격식을먼저구하는방식이좀더우수한성능을보였고그가운데 A-type Gram-Charlier 와비선형회귀를이용한점근적근사방법이좋은성능을보였으며, 분포함수를추정하여옵션가격을계산하는경우 NIG 분포를이용하는것이상대적으로좋은결과를보였다. 주요용어 : 점근적옵션가격, Gram-Charlier 급수확장, Heston 모형, normal inverse gaussian 분포 이연구는 2013 년도정부 미래창조과학부 ) 의재원으로한국연구재단의지원을받아수행된기초연구사업 NRF- 2013R1A1A3012819) 이며, 이논문은제 2 저자승지수의석사학위논문을바탕으로추가연구하여작성한것임. 1 교신저자 : 02841) 서울특별시성북구안암로 145, 고려대학교통계학과. E-mail: sjsong@korea.ac.kr