. il Diil Eqio (DE) o-k Cho Niol Uii. i Co 편미분방정식 (il iil qio DE) 두개이상의독립변수들에종속되는함수의한개또는그이상의편도함수를포함하는방정식 상미분방정식 : 단순한물리시스템의표현 편미분방정식 : 동역학 탄성학 열전달 전자기학 양자역학등다양한분야에적용 계수 (o): 가장높은도함수의계수 편미분방정식 선형 (li) : 미지함수와그편도함수에대하여 차임 비선형 (oli) : 선형이아닌편미분방정식 제차 (hooo) : 미지함수와그것의편도함수만을포함 비제차 (ohooo) : 제차가아닌선형편미분방정식
. i Co 편미분방정식 (il iil qio DE) E. 주요 계선형편미분방정식 5 z 6 차원파동방정식 차원열전도방정식 차원라플라스방정식 차원푸아송방정식 차원파동방정식 차원라플라스방정식. i Co 편미분방정식 (il iil qio DE) 해 (olio): 편미분방정식에나타나는모든편도함수를가지고있는함수로모든점에서주어진방정식을만족하는함수 olio o oh l 일반적으로편미분방정식의해의전체집합은광범위함 편미분방정식에물리적인조건을나타내는추가적인정보를사용함으로써유일한해를구함 추가적인조건 : 경계조건 (o oiio) 초기조건 (iiil oiio) 중첩에관한기본정리 가어떤영역 에서제차선형편미분방정식의해일경우 = + 도역시같은영역 에서그편미분방정식의해가됨 ( : 임의의상수 )
. i Co 편미분방정식 (il iil qio DE) E. E. '' l ih ~. Moli: Vii Si Eqio 진동하는현의파동방정식 ( qio) 유도 탄성현 (li i) 에서현의미소횡진동 ( iio) 을모델화 가정 현을 축상에놓고 길이 만큼늘이고양끝을 = 와 = 로고정 = 에서현을잡아당긴후놓음으로써진동시작 이와같은경우에현의진동모델 임의의시점 > 임의의점 에서현의변위를결정 주요물리적가정도입
. Moli: Vii Si Eqio 진동하는현의파동방정식 ( qio) 유도 ( 현의미소부분에작용하는힘 ( 장력 ) 을고려 ) li & o o o o o o o. Solio Si Vil. U o oi Si 변수분리법과푸리에급수 문제해결방법 변수분리법 (ho o i il) 또는곱의방법 (o ho) ( ) = () () 로가정하여두개의상미분방정식을구함 경계조건을만족하는상미분방정식의해를구함 푸리에급수를이용하여해를구함 o & o ll ( 편미분방정식 ) ( 경계조건 ) ( 초기조건 )
. Solio Si Vil. U o oi Si 변수분리법과푸리에급수. 변수분리법 '' '' ''. 상미분방정식 : 경계조건도입 & '' ih o. Solio Si Vil. U o oi Si 변수분리법과푸리에급수 '' ih : '' & : '' & & : '' & : i (iil olio) (iil olio) & o
. Solio Si Vil. U o oi Si 변수분리법과푸리에급수 o o & o ll & o o &. Solio Si Vil. U o oi Si 변수분리법과푸리에급수 고유함수 (iio) 또는특성함수 (hii io) 고유값 (il) 또는특성값 (hii l) / 스펙트럼 () 차정규진동 (-h ol o): 으로표현 단위시간당진동수 를가지는조화운동 (hoi oio) 마디점 (o): 현에서움직이지않는점
. Solio Si Vil. U o oi Si 변수분리법과푸리에급수. 푸리에급수 o o & o. Solio Si Vil. U o oi Si 변수분리법과푸리에급수 차원파동방정식의해 초기속도 ()= 인경우 o o & & o (): ~ 사이의함수 () 를전주기로기함수확장 (-): () 를 축방향으로 평행이동
. Solio Si Vil. U o oi Si 변수분리법과푸리에급수 E. 초기변위가삼각형인경우 o o 8. D l Solio o h Eqio. Chii 파동방정식의 l 해 ( 파동방정식 ) h h & l 해
. D l Solio o h Eqio. Chii 파동방정식의 l 해 : 초기조건 & o & ' ' ' ' ' ' & ih ( 초기조건 ). D l Solio o h Eqio. Chii 특성의방법 (ho o hii) (D l 해의개념은특성의방법의특별한예 ) 준선형 (qili) 정규형으로변환 C 형태정의조건. 절의예제 쌍곡선 C - < 파동방정식 포물선 C - = 열전도방정식 타원 C - > 라플라스방정식 형태새로운변수정규형 쌍곡선 = Φ = Ψ = 포물선 = = Φ = Ψ = 타원 ' ' C ' / = (Φ + Ψ ) / = (Φ - Ψ ) / i 특성방정식 : 해 (Φ( )= 상수 Ψ ( )= 상수 ) 특성 = =
. D l Solio o h Eqio. Chii 특성의방법 (ho o hii) E. & ' ' C ' ' ' o & & ' o.5 Eqio: Solio oi Si 열전도방정식 : 확산방정식 K 차원열전도방정식 열확산계수 열전도방정식에서두개의상미분방정식유도 : 변수분리법 '' '' '' K o ll 열전도도 (hl oii) C 온도비열 (h i) ( 경계조건 ) ( 초기조건 )
.5 Eqio: Solio oi Si 열전도방정식 : 확산방정식 경계조건도입 & & '' ih & o : i ih.5 Eqio: Solio oi Si 열전도방정식 : 확산방정식 푸리에급수적용
.5 Eqio: Solio oi Si 열전도방정식 : 확산방정식 E. ( 사인함수형태의초기온도 ) 측면이절연된구리막대 : 길이 8 초기온도 (π/8)c 양끝온도 C 구리 : 밀도 8.9/ 비열.9l/( C) 열전도도.95l/( C) 최고온도가 5C 로떨어지는데걸리는시간? 6.5 i 88 5 8.785 8.58 /.58 8.9.9.95 8 8.785.785 K.5 Eqio: Solio oi Si 열전도방정식 : 확산방정식 E. ( 양끝이단열된막대 ) o ll ( 경계조건 ) ( 초기조건 ) o o : o o o ' ' o ' o : ' ' ' & ' ' & ''
.5 Eqio: Solio oi Si 정상상태 차원열전도 : 라플라스방정식 경계값문제 (o l ol V) Diihl 문제 : 경계 C 위에서 의값이주어지는경우 N 문제 : C 위에서법선도함수 ( ) 의값이주어지는경우 oi 문제 ( 혼합경계값문제 ): C 의한부분에서는 의값이주어지고 C 의나머지부분에서는 의값이주어지는경우 ( 차원열전도방정식 ) ( 라플라스방정식 ) 정상상태 ( ) : 시간에무관 ( 법선도함수 ).5 Eqio: Solio oi Si 정상상태 차원열전도 : 라플라스방정식 직사각형영역에서의 Diihl 문제 h ol & o ol
.5 Eqio: Solio oi Si 정상상태 차원열전도 : 라플라스방정식 직사각형영역에서의 Diihl 문제 h h h h h.6 Eqio: Solio oi Il o 비정상열전도방정식 무한히뻗어나가는막대에서의열전도방정식 ( 초기조건 ) '' & : o & ; o ioi io; h ; o : 해 를푸리에적분형태로표현 o o &
.6 Eqio: Solio oi Il o 비정상열전도방정식 무한히뻗어나가는막대에서의열전도방정식 ; o o : o & o o o o o o o.6 Eqio: Solio oi Il o 비정상열전도방정식 무한히뻗어나가는막대에서의열전도방정식 o / / & o o z z z o z o
.6 Eqio: Solio oi Il o 비정상열전도방정식 E. 무한히긴막대의온도 z z U U / / o o U (U =C; = /).6 Eqio: Solio oi Il o 비정상열전도방정식 : 푸리에변환의이용 E. 무한히긴막대의온도 : 푸리에변환 편미분방정식 ( 푸리에변환 ) 상미분방정식 - i i C C i i i i i i i & :
.6 Eqio: Solio oi Il o 비정상열전도방정식 : 푸리에변환의이용 E. 무한히긴막대의온도 : 합성곱 i i o o o i i i i : ih / /.6 Eqio: Solio oi Il o 비정상열전도방정식 : 푸리에변환의이용 / / / /
.7 Moli: M o-diiol Eqio 탄성박막 차원파동방정식 적절한물리적가정도입을통한힘의평형방정식 & o o o o ] [ & o o &.7 Moli: M o-diiol Eqio 탄성박막 차원파동방정식 ih & [No' o l]
.8 l M. Dol oi Si 직사각형박막 : 차원파동방정식 문제해결방법 변수분리법 (ho o i il) ( ) = ( ) () 로가정한뒤 ( ) = () () 로하여세개의상미분방정식을구함 경계조건을만족하는상미분방정식의해를구함 이중푸리에급수형태로해를구함 & o h o ( 편미분방정식 ) ( 경계조건 ) ( 초기조건 ).8 l M. Dol oi Si 직사각형박막 : 차원파동방정식. 변수분리법 ih o : o : 차원 lholz 방정식
.8 l M. Dol oi Si 직사각형박막 : 차원파동방정식. 경계조건 D C o o o o (o oiio).8 l M. Dol oi Si 직사각형박막 : 차원파동방정식. 이중푸리에급수 K K K K K K K IC' o : 이중푸리에급수
.8 l M. Dol oi Si 직사각형박막 : 차원파동방정식. 이중푸리에급수 o o.8 l M. Dol oi Si 직사각형박막 : 차원파동방정식 E. 5 장력.5l/ 밀도.5l/ 변의길이 : = = 초기변위 ( )=.(- )(- ) / &. 56.65 6 56 & :o
.8 l M. Dol oi Si 직사각형박막 : 차원파동방정식 6 5 o.65 o.65 56 5 5 o o o o o.9 li i ol Cooi. Cil M. oi-l Si 극좌표 (ol ooi) 에서의라플라스연산자 o
.9 li i ol Cooi. Cil M. oi-l Si 극좌표 (ol ooi) 에서의라플라스연산자 & o o o o &.9 li i ol Cooi. Cil M. oi-l Si 원형박막 (il ). 변수분리법 : l 방정식 o ll ( 극좌표에서의 차원파동방정식 ) ' '' ' '' ' ''
.9 li i ol Cooi. Cil M. oi-l Si 원형박막 (il ) '' ' ' '' (l 방정식 : ν=) ' '' 차제 종 l 함수 (l io o h i i o o ).9 li i ol Cooi. Cil M. oi-l Si 원형박막 (il ). 경계조건 Y Y Y o o ih
.9 li i ol Cooi. Cil M. oi-l Si 원형박막 (il ).9 li i ol Cooi. Cil M. oi-l Si 원형박막 (il ). oi-l 급수 o o (oi-l 급수 )
. l Eqio i Cliil Shil Cooi. oil 라플라스방정식 퍼텐셜이론 (oil ho): 라플라스방정식의해에관한이론 조화함수 (hoi io): 연속인 계편도함수를가지는라플라스방정식의해 중력 전자기학 정상상태의열및유체흐름등의표현 원통좌표 (liil ooi) zz 라플라스연산자 (li) z z z z zz o. l Eqio i Cliil Shil Cooi. oil 라플라스방정식 구좌표 (hil ooi) o o o o z zz
. l Eqio i Cliil Shil Cooi. oil 라플라스방정식 구좌표에서의경계값문제 (θ 와무관 ) li. l Eqio i Cliil Shil Cooi. oil 라플라스방정식 구좌표에서의경계값문제 (θ 와무관 ) o & : 오일러 - 코시방정식
. l Eqio i Cliil Shil Cooi. oil 라플라스방정식 구좌표에서의경계값문제 (θ 와무관 ) o o o : 방정식 : 다항식 : i o M M 5 8 5. l Eqio i Cliil Shil Cooi. oil 라플라스방정식 구좌표에서의경계값문제 (θ 와무관 ) o o o ~ o o io : o iio : o : oi- 급수
. l Eqio i Cliil Shil Cooi. oil 라플라스방정식 E. 구형축전기 반지름 윗쪽반구 V 아래쪽반구접지 M M M M / 55 55 55 o o o / / o oiio. l Eqio i Cliil Shil Cooi. oil 라플라스방정식 E. 구형축전기 o 8 85 o 65 55 o o 8 85 o 65 55 o 8 85 65 55 55 M
. Solio o DE l o 라플라스변환에의한편미분방정식의해 두변수중하나에관하여라플라스변환을함 변환식에대한상미분방정식을얻음 ( 경계조건및초기조건은변환된방정식에통합 ) 상미분방정식을풀어미지함수의변환식을구함 구한변환식에라플라스역변환을적용하여주어진문제의해를얻음 i li i i. Solio o DE l o 라플라스변환에의한편미분방정식의해 E. 반무한현 초기에현은 =에서 까지 축상에정지해있다. ( 반무한현 ) 시간 >에서현의왼쪽끝은다음과같은방식으로운동한다. ohi 또한 에대하여 li & li & ( 편미분방정식 ) ( 경계조건 ) ( 초기조건 )
. Solio o DE l o 라플라스변환에의한편미분방정식의해 ohi li li li / / /