삼각함수. 삼각함수의덧셈정리 삼각함수의덧셈정리 삼각함수 sin (α + β ), cos (α + β ), tan (α + β ) 등을 α 또는 β 의삼각함수로나 타낼수있다. 각 α 와각 β 에대하여 α >0, β >0이고 0 α - β < β 를만족한다고가정하 자. 다른경우에도같은방법으로증명할수있다. 각 α 와각 β 에대하여 θ = α - β 라고놓자. 위의그림에서원점에서거리가 이고 편각이 각각 α, β, θ 인 점들을 P (, ), Q (, ), R (, ) 라고 놓으면, 점 P, Q, R 은모두단위원위에있다. 삼각함수의정의에의하여다음식 이성립한다. cos α =, cos β =, cos θ = sin α =, sin β =, sin θ = 점 A (,0) 에 대하여 AOR = POQ = α - β 이므로 AR = PQ 이다. 따라서 ( -) +(-0) = ( - ) +( - ) 이고양변에제곱을 해서전개하면다음과같이된다. - ++ = - + + - + 점 P, Q, R이 단위원 위에 있는 점이므로 + = + = + = 을만족하고, 위식으로부터 - =- -, 즉 = + 이다. 따라서식, 에서 cos ( α - β ) = cos α cos β +sinαsin β 3 가된다. 이공식에서 β 에 -β 를대입하면 cos (α + β ) = cos α cos β -sinα sin β 가된다. - -
식 3 으로부터 sin (α + β ) = cos [ -( α + β)] = cos [( - α)-β ] =cos( - α)cos β +sin( - α)sinβ =sinα cos β +cosα sin β 이공식에서 β 에 -β 를대입하면 sin (α - β )=sinα cos β - cos α sin β 또, tan (α + β)= sin ( α + β) cos (α + β) = sin α cos β + cos α sin β cos α cos β -sinα sin β 이므로, 우변의분모, 분자를 cos α cos β ( 0) 로나누면, tan (α + β)= tan α +tanβ -tan α tan β 이공식에서 β 에 -β 를대입하면 tan (α - β)= tan α -tanβ +tan α tan β 이들공식을삼각함수의덧셈정리라고한다. [ 정리 ] 삼각함수의덧셈정리 () { sin ( α + β )= sinα cos β + cos α sin β sin (α - β )= sinα cos β - cos α sin β () { cos ( α + β )= cosα cos β -sinα sin β cos (α - β )= cosα cos β +sinα sin β { tan ( α + β )= tan α +tanβ (3) -tanα tan β tan (α - β )= tan α -tanβ +tanα tan β 예를들면덧셈정리를이용하여다음과같이 sin 5 o 의값을구할수있다. sin 5 o =sin(5 o -30 o )=sin5 o cos 30 o -cos5 o sin 30 o = 6- [ 예제 ] sin α = 3, cos β = ( 단, < α <, 0<β < ) 일때, sin (α + β) 와 cos (α - β) 의값을구하여라. ( 풀이 ) < α <, 0<β < 이므로 cos α <0, sin β >0 이다. 그러므로 cos α =- - sin α =- - 9 =- 3 sin β = - cos β = - 6 = 5 - -
따라서구하는값은각각다음과같다. sin (α + β)= sinα cos β +cosα sin β = 3 + ( - 3 ) 5 = - 30 cos (α - β) = cos α cos β +sinα sin β = ( - 3 ) + 3 5 = 5- [ 예제 ] α+β = 일때, (+ tanα)(+ tan β) 의값을구하여라. ( 풀이 ) tan (α + β)= 이므로덧셈공식을이용하면 (+ tanα)(+ tan β) =+tanα +tanβ +tanα tan β = 이다. [ 예제 3] 두직선 +5 +3=0, -3+=0 이이루는예각의크기를구하여라. ( 풀이 ) 두직선 +5 +3=0, -3+=0 이 축의양의방향과이루는각을각각 α, β 라하면 tan α =- 5, tan β = 3 두직선이이루는예각을 θ 라하면 tan θ = tan(α-β ) = tan α -tanβ +tanα tan β - 5-3 = = + ( - 5 ) 3 θ β O α 따라서 θ =5 이다. 삼각함수의합성삼각함수의덧셈정리를이용하면 a sin θ + b cos θ 와같은합의꼴의삼각함수를 r sin (θ + α ) ( r >0) 꼴의삼각함수로변형할수있는데이것을삼각함수의합성이라고한다. 좌표평면위에점 P ( a, b) 를잡고 OP 와 축의양의방향이이루는각의크기를 α 라고하면, OP = a + b cos α = a a +b, sinα = b a +b - 3 -
a sin θ + b cos θ 를 a sin θ + b cos θ = a +b ( a + b 으로묶으면 a a +b sin θ + = a +b ( cos α sin θ +sinα cos θ ) b cos θ a +b ) O P (a, b) a +b b α a = a +b sin (θ + α) [ 정리 ] ( 삼각함수의합성 ) a sin θ + b cos θ = a +b sin (θ + α ) ( 단, cos α a =, sinα = a +b b a +b ) [ 예제 ] sin θ + 3 cos θ 를 r sin (θ + α ) 의꼴로변형하여라. ( 풀이 ) a =, b = 3 이므로, 점 P (, 3) 을정하면 r = OP = + ( 3 ) = 또, 동경 OP 가나타내는각을 α 라하면 따라서 cos α =, sin α = 3 에서 α = 3 이다. sinθ + 3 cos θ = ( sin θ + 3 O 3 cos θ ) = sin ( θ + 3 ) 이다. P (, 3) [ 예제 5] 함수 =sinθ - 3 cos θ (θ R ) 의최대값과최소값을구하여라. ( 풀이 ) 좌표평면위에점 P (, - 3 ) 을잡으면 sin α =- 3, cos α = 삼각함수를합성하면 OP = + ( - 3) = 이므로 α =- 3 이다. O α =- 3 =sinθ - 3 cos θ =sin ( θ - 3 ) 이되고, - sin(θ - 3 ) 이므로 - sin ( θ - 3 ) 이다. P (,- 3) 따라서최대값은, 최소값은 - 이다. - -
. 여러가지공식 배각의공식 삼각함수의덧셈정리 에서 sin(α + β )=sinα cos β + cos α sin β β = α 로놓으면 sin α =sin(α + α) =sinα cos α +cosα sinα =sinα cos α 같은방법으로 cos α = cos (α + α) = cos α cos α -sinα sin α = cos α -sin α =cos α - =- sin α tan α =tan(α + α) = tan α +tanα -tanα tanα = tan α -tan α 이들공식을배각의공식이라고한다. [ 공식 ] 배각의공식 () sin α =sinα cos α () cos α =cos α -sin α = cos α -=-sin α (3) tan α = tan α -tan α [ 예제 6] α 가제 사분면의각이고, cos α =- 5 () sin α () cos α 일때, 다음값을구하여라. ( 풀이 ) α 가제 사분면의각이면 sin α >0 이므로 sin α = -cos α = - ( - 5 ) = 3 5 이다. () sin α =sinα cos α = 3 5 ( - 5 ) = - 5 () cos α = cos α -sin α = ( - 5 ) - ( 3 5 ) = 7 5 [ 예제 7] < α < 3 에서 tan α = 5 일때, 다음값을구하여라. () sin α () cos α (3) tan α ( 풀이 ) sin α =- 5 3, cos α =- 3 이므로 sin α =sinα cos α = 0 69, cos α = cos α -sin α= 9 69, tan α = tan α -tan α = 0 9 이다. - 5 -
[ 정리 ] 의삼각함수의덧셈정리에서 3α =α+α임을이용하면삼배각의공식을얻을수있다. [ 공식 ] 삼배각의공식 () sin 3α =3sinα -sin 3 α () cos 3α = cos 3 α -3cosα (3) tan 3α = 3tan α -tan 3 α -3tan α [ 예제 8] sin 8 o 의값을구하여라. ( 풀이 ) α =8 o 이면 α +3α =90 o 이다. sin α =sin(90 o -3α) = cos 3α에서삼각함수배각공식과삼배각의공식을쓰면 sin α cos α = cos 3 α - 3 cos α 이고, cos α 0이므로 sin α +sinα-=0 이다. 따라서 sin α =sin8 o = - + 5 이다. 반각의공식 배각의공식 또, 배각의공식 cos α =-sin α 에서 sin α = -cos α cos α =cos α - 에서 cos α = + cos α 따라서, tan α = sin α cos α = -cos α +cosα 여기서 α 대신에 α [ 공식 3] 반각의공식 () sin α = - cos α () cos α = +cos α (3) tan α = -cos α +cosα 를대입하면, 다음과같은반각의공식을얻는다. - 6 -
삼각함수의덧셈정리에서구한 sin 5 o 의값을반각의공식을써서구하면, sin 5 o =sin 30 o = - cos 30 o = (- 3 )= - 3 이므로 sin 5 0 = - 3 8 = 3 - = 6 - 이다. [ 예제 9] sin α = 5 일때, cos α 의값을구하여라. ( 단, < α < ) ( 풀이 ) α 가제사분면의각이므로 cos α <0 이다. 따라서 cos α =- - sin α =- - ( 5 ) =- 3 5 반각의공식에서 cos 그런데 α = +cos α = ( - 3 5 ) = 5 < α < 이고 cos α >0 이므로 cos α = 5 5 이다. 곱을합, 차로고치는공식 삼각함수의덧셈정리에서 sin (α + β)=sinα cos β +cosα sin β sin (α - β)=sinα cos β -cosα sin β + 에서 - 에서 sin (α + β)+sin(α-β)=sinαcos β sin α cos β = {sin( α + β)+sin(α-β)} sin (α + β)-sin(α-β)=cosαsin β cos α sin β = {sin( α + β)-sin(α-β)} 같은방법으로, 다음과같은공식을얻게된다. [ 공식 ] 곱을합, 차로고치는공식 () sinα cos β = {sin( α + β)+sin(α-β)} () cos α sin β = {sin( α + β)-sin(α-β)} (3) cos α cos β = {cos( α + β)+cos(α-β)} () sin α sin β =- { cos ( α + β)- cos (α - β)} - 7 -
[ 예제 0] sin 75 o cos 5 o 의값을구하여라. ( 풀이 ) sin 75 o cos 5 o = { sin (75 o +5 o )+sin(75 o -5 o )} = (sin90o +sin60 o ) = ( + 3 ) = + 3 합, 차를곱으로고치는공식 삼각함수의곱을합, 차로고치는공식에서 α = A + B 이므로, 다음공식을얻는다., β = A - B α+β = A, α -β = B 로놓으면 [ 공식 5] 합, 차를곱으로고치는공식 () sin A +sinb =sin A + B () sin A -sinb = cos A + B (3) cos A +cosb =cos A + B () cos A -cosb =-sin A + B cos A - B sin A - B cos A - B sin A - B [ 예제 ] cos θ + cos θ 를삼각함수의곱으로나타내어라. ( 풀이 ) cos θ + cos θ = cos θ +θ cos θ -θ = cos 3θ cos θ [ 참고 ] a sin θ + b cos θ 와같이각 θ 가같을때는삼각함수의합성을이용하 고, sinα+ sinβ (α β ) 와같이삼각함수의모양은같고각이다를때에는합을곱의꼴로고치는공식을이용한다. [ 예제 ] 다음식의값을구하여라. () sin 65 o +sin5 o () cos 95 o - cos 5 o ( 풀이 ) () sin 65 o +sin5 o =sin 65 o +5 o cos 65 o -5 o =sin90 o cos 75 o = 6 - () cos 95 o - cos 5 o =- sin 95 o +5 o sin 95 o -5 o =- sin 05 o sin 90 o = - 6 + - 8 -
3. 삼각방정식 각의크기가미지인삼각함수를포함하는방정식을삼각방정식 (trigonometric equation) 이라하고, 그방정식의해를구하는것을삼각방정식을푼다고한다. 0 < 인범위에서삼각방정식 sin = 의해를구하면 = 6, = 5 6 또사인함수는주기가 인주기함수이므로 m 을정수라고할때, 주어진방정식의모든해는 =m + 6, =m + 5 6 - O 5 6 6 로나타낼수있다. 그런데 - m + 5 6 =m + - 6 =(m +) - 6 이므로 를하나의식으로나타내면 =n +(-) n 6 ( n 은정수 ) 3 여기서 과같이특정한범위에서구한해를특수해, 3과같이일반각으로나타낸해를일반해라고한다. 일반적으로삼각방정식의일반해는다음과같다. [ 정리 3] 삼각방정식의특수해가 α 일때, n 이임의의정수이면 () sin =a ( a ) 의일반해는 =n +(-) n α () cos =a ( a ) 의일반해는 =n ± α (3) tan =a 의일반해는 =n + α [ 참고 ] α 의값은흔히 - α < 또는 0 α < 인범위에서구한다. [ 예제 3] cos = 3, tan = 3 의일반해를각각구하여라. ( 풀이 ) cos = 3 에서 =n ± 6 ( n 은정수 ) 이고, tan = 3 에서 = n + 3 ( n 은정수 ) 이다. - 9 -
[ 참고 ] 삼각방정식의해법 () 여러가지공식을이용하여한종류의삼각함수로고쳐서푼다. () a sin + b cos = c 의꼴은삼각함수의합성을이용한다 (3) 합, 차를곱으로고치는공식을이용하여 ( 곱 )=0 꼴로유도한다. () 삼각방정식을만족시키는근의하나 α 가주어질때는 α 를하나의특수해로생각하여푼다. sin =sinα =n +(-) n α ( 단, n은정수 ) cos =cosα =n±α ( 단, n은정수 ) tan =tanα =n + α ( 단, n은정수 ) [ 예제 ] 삼각방정식 cos +3sin -3=0 을풀어라. ( 풀이 ) cos =-sin 이므로 sin -3sin +=0 이고 (sin -)(sin -)=0 에서 sin = 또는 sin = 이다. sin = 에서 sin = 에서 = n + ( - ) n 6 = n + ( - ) n ( n 은정수 ) 이고, ( n 은정수 ) 이다. [ 참고 ] sin = 을만족하는 는 = n + ( n 은정수 ) 로쓸수도있다. [ 예제 5] 삼각방정식 3 sin -cos = 을풀어라. ( 풀이 ) 삼각함수의합성을이용하면 3 sin -cos = ( 3 sin ( - 6 ) = sin - cos ) =sin ( - 6 ) = 이므로 에서 - 6 = n +(-) n 그러므로 = n+ ( - ) n + 6 ( n 은정수 ) 이다. [ 예제 6] 삼각방정식 cos 3 + cos = cos 을풀어라. ( n 은정수 ) 이다. ( 풀이 ) 삼각함수의곱으로고치면 cos cos =cos 이므로 cos =0 또는 cos = 이다. 따라서 = n ± 또는 = n ± 3 이다. - 0 -
[ 예제 7] 삼각방정식 tan ( - ) =tan 5 을풀어라. ( 풀이 ) - = n + 5 이므로 = n + 9 0 이고, = n + 9 0 이다. 다음정리는삼각함수의그래프를이용하면쉽게증명된다. [ 정리 ] () - < a <이면방정식 sin = a 와 cos = a 는 0 < 에서두개의해를갖는다. () 실수 a 에대하여방정식 tan = a 와 cot = a 는 0 < 에서두개의해를갖는다. (3) a > 또는 a <-이면방정식 sec = a 와 csc = a 는 0 < 에서두개의해를갖는다. [ 예제 8] 방정식 sec ( + )= - 의해를구하여라. ( 풀이 ) t = + 라고놓으면 sec t =- 이다. [ 정리 ] 에의하면방정식 sec t =- 는 0 t < 에서두개의해 t =3/ 또는 t =5/를가지므로일반해는 t = 3 +n 또는 t = 5 +n 이다. t = + 이므로 방정식의해는 = - 8 + n 또는 = 8 + n ( n 은정수 ) 이다. 삼각함수의그래프를이용하면다음정리의결과를얻을수있다. [ 정리 5] () 삼각함수의값이 0,, - 이되는경우의일반해는다음과같다. ( 단, n 은정수 ) sin =0 =n, sin = =n +, sin =- =n - cos =0 =n +, cos = =n, cos =- =n + tan =0 =n, tan = =n +, tan =- =n - () 실수 a 에대하여 sin = a 와 cos = a 는 a > 일때해가없다. tan = a 는 a 의값에관계없이항상해가있다. - -
. 삼각부등식 각의크기가미지인삼각함수를포함하는부등식을삼각부등식 (trigonometric inequalit) 이라하고, 그방정식의해를구하는것을삼각부등식을푼다고한다. 0 < 인범위에서삼각방정식 sin > 의해를구해보자. 먼저삼각방정 식 sin = ( 0 < ) 을만족하는 를구하면 = 6, = 5 6 이므로 sin > ( 0 < ) 의해는 6 < < 5 6 - O 5 6 6 이다. 또, 사인함수는주기가 인주기함수이므로 - m 을정수라고할때, sin > 의모든해는 m + 6 < <m + 5 6 로나타낼수있다. 여기서, 과같이특정한범위에서구한해를특수해, 과같이일반각으로나타낸해를일반해라고한다. 일반적으로, 삼각부등식의일반해는다음과같다. [ 정리 6] 삼각부등식의특수해가 α 일때, n 이임의의정수이면 () sin >a ( a ) 의해는 n + α < <(n +)-α () cos >a ( a ) 의해는 n - α < <n+α (3) tan >a ( a R ) 의해는 n + α < < n + / [ 참고 ] α 의값은흔히 - α < 또는 0 α < 인범위에서구한다. [ 예제 9] cos > ( 풀이 ) cos = 3 3, tan > 3 의일반해를각각구하여라. 에서 =n ± 6 이므로 n - 6 < <n + 6 ( n 은정수 ), tan = 3 에서 = n + 3 이므로 n + 3 < < n + (n 은정수 ) 이다. - -
[ 참고 ] 삼각부등식의해법 () sin a, cos a, tan a ( 또는 >,, <) 의꼴로고친다. () 부등호를등호로바꿔놓은삼각방정식에서특수해를구한다. (3) 단위원또는삼각함수의그래프를이용하여한주기에서 의범위를구한다. [ 예제 0] 삼각부등식 sin +cos > ( 0 < ) 을풀어라. ( 풀이 ) 삼각함수합성을이용하면 sin +cos > 에서 sin ( + )> 이다. + = X 놓으면 X < 9 이고 sin X > 의해는 < X < 3, 즉 < + < 3 이므로 - 3 O 이다. - [ 예제 ] 부등식 sin - cos 0 ( 0 < ) 을풀어라. ( 풀이 ) 배각공식에서 cos =-sin 이므로 sin - cos 0 에서 sin -(-sin ) 0 이고 sin +sin - = (sin -)(sin +) 0 이므로 sin 또는 sin =- 이다. 따라서 6 5 6 또는 = 3 이다. [ 예제 ] 부등식 sin 3cos (0 < ) 를풀어라. ( 풀이 ) sin 3 cos 에서삼각함수의항등식을쓰면 cos + 3 cos - 0 즉 ( cos -)(cos +) 0 이고, cos +>0 이므로 cos 이다. 따라서 0 3, 5 3 < 이다. - 3 -