Finance Lecture Note Series 사회과학과수학제 4 강. 경제금융에대한응용 조승모 2 영남대학교경제금융학부 203 학년도 2 학기 opyright 203 ho, Seung Mo 기본적으로 Fisher, I. 930), The Theory of Interest, Macmillan 의내용을바탕으로작성되었으며, 일부내용을수정 보완하였음. 2 영남대학교상경대학경제금융학부조교수 ; 우 ) 72-749 경상북도경산시대학로 280 영남대학교상경관 224 호 ; choseungmo@yu.ac.kr; http://financialeconomics.tistory.com 학습목표 utility function): 효용함수, 한계효용 marginal utility), 한계대체율 marginal rate of substitution) 의개념에대해알아본다. production possibility curve): 생산가능곡선과한계변환율 marginal rate of transformation) 에대해알아본다. : 소비자의최적투자결정과최적소비결정에대해알아본다. Fisher s separation theorem): 소유와경영의분리가어떻게정당화되는지피셔의분리정리를통해살펴본다. 5. 생산기회와자본시장의의의 : 생산기회와자본시장의의의를효용극대화측면에서살펴본다. Definition. 어떤소비자에대해, 그소비자의현재의소비를 0, 미래의소비를 라할때, a) 0 와 으로인한그소비자의주관적인만족도를그소비자의효용 utility) 이라한다. b) 0 와 으로인한그소비자의효용을함수로나타낸 U 0, ) 을소비수준 0, ) 에대한해당소비자의효용함수 utility function) 라한다. c) MU i 0, ) := U 0, ) 를해당소비자의 i 에대한 i 한계효용 marginal utility) 이라한다. 단, i = 0,. d) 0 와 중어느하나를고정시켜놓고다른하나를증가시킬때효용은증가하는데, 이를총효용체증의법칙 law of increasing utility) 이라한다. e) 0 와 중어느하나를고정시켜놓고다른하나를증가시킬때한계효용은감소하는데, 이를한계효용체감의법칙 law of decreasing marginal utility) 이라한다. Figure : 효용함수
Definition. 어떤소비자에대해, 그소비자의현재의소비를 0, 미래의소비를 라할때, f ) MRS U0, ) 0, ) = MU 0 0, ) 를해당소비자의 MU 0, ) 효용수준 U 0, ) 에서의한계대체율 marginal rate of substitution) 이라한다. g) 동일한효용수준 U A 를달성하게해주는 0 와 의순서쌍의집합, 즉 I UA := { 0, ) : U A = U 0, )} 를효용 U A 에대한그소비자의무차별곡선 indifference curve) 이라한다. Figure : 무차별곡선 Remark. 아래와같이, MRS U 무차별곡선의기울기를나타낸다. 0, ) 는 0, ) 에서 du = MU0 d0 + MU 0, ) d. 0 = MU 0 d0 + MU 0, ) d. d d 0 0, )= 0, ) = MU 0 MU. d d 0 0, )= 0, ) = MRS U 0, ) 0, ). Figure : 무차별곡선
Definition. 현재의생산이 P 0, 미래의생산이 P 인어떤생산기회에대하여, 함수 h P 0, P ) 이이러한생산기회하에서 P 0 와 P 을가장효율적으로생산해내는데사용되는자원의양 생산기회를수치화한양 ) 을나타낼때, 함수 h P 0, P ) 을해당생산기회에대한생산가능함수 production possibility function) 라한다. Definition. 동일한자원량 h A 를이용하여가장효율적으로생산가능한 P 0 와 P 의순서쌍의집합, 즉 PP ha := {P 0, P ) : h A = h P 0, P )} orollary. 현재의수입이 ȳ 0, 미래의수입이 ȳ 인소비자에게부여된생산가능곡선 PP ha 에대하여, P 0, P ) PP ha, h P 0, P ) = h ȳ 0, ȳ ) = ha. Proof. 소비자가생산기회를포기 방치 ) 하고자신의수입을있는그대로소비할수도있는데, 이또한이생산기회를이용하여 방치하여 ) 그만큼의수입을얻은 생산한 ) 것이라할수있으므로, 이에사용된 방치된 ) 자원량또한주어진생산기회의자원량 h A 와동일하다. 즉, 를자원량 h A 에대한생산가능곡선 production possibility curve) 이라한다. 가성립한다. P 0, P ) PP ha, h P 0, P ) = h ȳ 0, ȳ ) = ha Definition. 현재의수입이 ȳ 0, 미래의수입이 ȳ 인소비자에게부여된생산가능곡선 PP ha 에대하여, a) 현재의생산 P 0 를늘이기위해포기해야하는미래의생산 P, 미래의생산 P 을늘이기위해포기해야하는현재의생산 P 0 을늘어난생산량에대한기회비용 opportunity cost) 이라한다. b) 어느한생산량을한단위늘일때발생하는기회비용의증가분을한계기회비용 marginal opportunity cost) 이라한다. c) 어느한생산량을늘여감에따라기회비용은증가하게되는데, 이를기회비용체증의법칙 law of increasing opportunity cost) 이라한다. d) 어느한생산량을늘여감에따라한계기회비용은증가하게되는데, 이를한계기회비용체증의법칙 law of increasing marginal opportunity cost) 이라한다. Figure : 생산가능곡선
Definition. 현재의수입이 ȳ 0, 미래의수입이 ȳ 인소비자에게부여된생산가능곡선 PP ha 에대하여, MRT hȳ0,ȳ ) P 0, P ) = h 0 P 0, P ) h P 0, P ) 를자원수준 h ȳ 0, ȳ ) 에대한한계변환율 marginal rate of transformation) 이라한다. 단, i {0, }, h i P 0, P ) = P i h P 0, P ). Remark. 아래와같이, MRT hȳ0,ȳ ) P P 는 P 0, ) P 에서생산가능곡선의기울기를나타낸다. dh ) ȳ 0, ȳ = h0 P P dp0 + h P 0, ) P dp. 0 = h 0 P P dp0 + h P 0, ) P dp. dp dp 0 P0,P )=P 0,P ) = h 0 P P h P. P dp dp 0 P0,P )=P 0,P ) = MRT hȳ 0,ȳ ) P 0, ) P. Lemma Optimal Investment Decision). 현재의수입이 ȳ 0, 미래의수입이 ȳ 인소비자에대하여, 생산가능곡선 PP ha 가부여되어있고, 자본시장에서의이자율이 r이라면, 소비자는다음조건을만족하는생산수준 P 0, ) P 을얻도록자원을투자 투입 ) 한다. a) MRT hȳ0,ȳ ) P 0, ) P = ), b) h P ) P = h ȳ0, ȳ. Proof. NPV 0 를해당소비자의부의순현재가치라고하면, P 0, ) P = arg max NPV 0 = P 0 + P P 0,P ) ȳ 0 ȳ h P 0, P ) = h ) ȳ 0, ȳ. 여기서, L = P 0 + P ȳ 0 ȳ λ [ h P 0, P ) h )] ȳ 0, ȳ 라하자. P 0 = 0; 다음과같다. P0,P )=P 0,P ) P = 0; 다음과같다. P0,P )=P 0,P ) 식 을식 2 로나누면, h 0 P 0, P ) = λ. ) h P 0, P ) = h 0 P 0, P ) = ). h P 0, P ) MRT hȳ0,ȳ ) P 0, ) P = ). λ). 2)
따라서, 소비자는다음조건을만족하는생산수준 P 0, ) P 을얻도록자원을투자 투입 ) 한다. a) MRT hȳ0,ȳ ) P 0, ) P = ), b) h P ) P = h ȳ0, ȳ. Remark. 위의조건은 P 0, ) P = arg max NPV 0 = P 0 + P P 0,P ) ȳ 0 ȳ h P 0, P ) = h ) ȳ 0, ȳ 에대한답을구하는조건이다. 즉, 위의조건을만족하는 P P 는주어진소득수준 ) ȳ 0, ȳ 를생산활동에투자 투입 ) 하여얻을수있는소비자부의순현재가치를극대화하는생산량조합이다. Figure : 최적투자결정 Lemma Optimal onsumption Decision). 현재의수입이 ȳ 0, 미래의수입이 ȳ 인소비자에대하여, 이소비자의효용함수가 U 0, ) 이고, 자본시장에서의이자율이 r이라면, 소비자는다음조건을만족하도록소비수준 0, ) 을결정한다. a) MRS U 0, ) 0, ) = ), b) 0 + = ȳ 0 + ȳ. Proof. 다음과같다. 0, ) = arg max U 0, ) 0, ) 0 + = ȳ 0 + ȳ. 여기서, [ L = U 0, ) λ 0 + ] ȳ 0 ȳ 라하자. 0 = 0; 다음과같다. 0, )= 0, ) MU 0 0, ) = λ. 3) = 0; 다음과같다. 0, )= 0, ) MU λ =. 4) 식 3을식 4로나누면, MU 0 MU = ). MRS U 0, ) 0, ) = ).
따라서, 소비자는다음조건을만족하도록소비수준 0, ) 을결정한다. a) MRS U 0, ) 0, ) = ), b) 0 + = ȳ 0 + ȳ. Remark. 위의조건은 0, ) = arg max 0, ) U 0, ) 0 + = ȳ 0 + ȳ 에대한답을구하는조건이다. 즉, 위의조건을만족하는 는주어진소득수준 ) ȳ 0, ȳ 와자본시장을이용하여얻을수있는소비조합으로서, 소비자효용을극대화하는소비조합이다. Figure : 최적소비결정 Theorem Fisher s Separation Theorem). 현재의수입이 ȳ 0, 미래의수입이 ȳ 인소비자에대하여, 이소비자의효용함수가 U 0, ) 이고, 생산가능곡선 PP ha 가부여되어있으며, 자본시장에서의이자율이 r이라면, 소비자는다음과같이두단계의분리된의사결정을하게된다. a)optimal Investment Decision: 소비자는다음조건을만족하는생산수준 P 0, ) P 을얻도록자원을투자 투입 ) 한다. a) MRT hȳ0,ȳ ) P 0, ) P = ), b) h P ) P = h ȳ0, ȳ. b)optimal onsumption Decision: 소비자는다음조건을만족하도록소비수준 0, ) 을결정한다. a) MRS U 0, ) 0, ) = ), b) 0 + = P 0 + P. Proof. 다음과같다. 0,, P 0, P ) = arg max 0,,P 0,P ) U 0, ) h P 0, P ) = h ) ȳ 0, ȳ and 0 + = P 0 + P. 여기서, [ L = U 0, ) λ h P0, P ) h [ )] ȳ 0, ȳ λ2 0 + P 0 P ] 라하자.
P 0 = 0& 0,,P 0,P )= 0,,P 0,P ) P 0,,P 0,P )= 0,,P 0,P ) = 0; 다음과같다. h 0 P λ 2 P = λ 이므로 h P λ 2 P = λ ) h 0 P P h P = ). P MRT hȳ0,ȳ ) P 0, ) P = ) h P 0, P ) = h ȳ0, ȳ ). 0 = 0& 0,,P 0,P )= 0,,P 0,P ) 0,,P 0,P )= 0,,P 0,P ) = 0; 다음과같다. MU 0 0, ) = λ2. MU λ 2 = 이므로 MU 0 MU = ). MRS U 0, ) 0, ) = ) 0 + = P 0 + P. 따라서, 소비자는다음과같이두단계의분리된의사결정을하게된다. a)optimal Investment Decision: 소비자는다음조건을만족하는생산수준 P 0, ) P 을얻도록자원을투자 투입 ) 한다. a) MRT hȳ0,ȳ ) P 0, ) P = ), b) h P ) P = h ȳ0, ȳ. b)optimal onsumption Decision: 소비자는다음조건을만족하도록소비수준 0, ) 을결정한다. a) MRS U 0, ) 0, ) = ), b) 0 + = P 0 + P. Remark. 위의조건 a) 는최적투자결정에관한 Lemma에서볼수있었듯이, P 0, ) P = arg max NPV 0 = P 0 + P P 0,P ) ȳ 0 ȳ h P 0, P ) = h ) ȳ 0, ȳ 에대한답을구하는조건이다. 즉, 위의조건을만족하는 P P 는주어진소득수준 ) ȳ 0, ȳ 를생산활동에투자 투입 ) 하여얻을수있는소비자부의순현재가치를극대화하는생산량조합이다.
Remark. 위의조건 b) 는최적소비결정에관한 Lemma에서볼수있었듯이, 0, ) = arg max U 0, ) 0, ) 0 + = P 0 + P 에대한답을구하는조건이다. 즉, 위의조건을만족하는 는조건 a) 에서구한새로운소득수준 P 0, ) P 와자본시장을이용하여얻을수있는소비조합으로서, 소비자효용을극대화하는소비조합이다.. 이와같이, 투자의사결정과소비의사결정은아래와같이분리된두단계에의해이루어진다고할수있다. a) 주어진소득수준을생산기회에투자하여생산활동을할때, 소비자가가진부의순현재가치를극대화하도록생산량을결정한다. b) 소비자는이렇게하여생산된생산량을새로운소득으로하여, 이새로운소득과자본시장을이용하여본인의효용을극대화하는소비수준을결정한다. 2. 따라서, 기업경영에있어소유와경영을분리하여, 다음과같이기업을운영하는것이가능해진다. a) 기업의경영자는기업의주인인주주가투자한자본금을이용하여주주부의순현재가치를극대화하기위해생산활동에노력하고, b) 주주는투자한자본금과기업의생산활동을통해벌어들인새로운소득과자본시장을이용하여본인의효용을극대화하기위해노력한다. 3. 즉, 소유와경영의분리를기반으로기업을운영하는주식회사제도가정당화될수있다. Example. 주 ) 피셔의주주는효용함수가 U 0, ) = 2 2 0 2 이고, 주 ) 피셔의생산가능함수가 h P 0, P ) = P 2 0 + P2 Figure : 최적소비투자결정 이다. 자본시장에서의이자율은 5% 이며, 주주는 주 ) 피셔에대해현재 2를, 미래에 를납입하기로한다. a) 주 ) 피셔의최적생산량은? b) 주주의최적소비량은? c) 이경우자본을납입하지않고그냥소비해버리는경우와비교하여효용은얼마나증가하는가? 단, 모든수치는소수점아래다섯째자리에서반올림하여소수점아래넷째자리까지표시하시오.
Solution.a) MRT hȳ0,ȳ ) P 0, ) P = ); 다음과같다. h 0 P P h P = ). P 2P 0 2P =.05. P 0 =.05P. 5) h P ) P = h ȳ0, ȳ ; 다음과같다. ) P 2 0 + P 2 ) = 5. 6) 식 5와식 6을연립하면, 5 P = +.05 2 =.542 =.05.542 =.692. P 0 b) MRS U 0, ) 0, ) = ); 다음과같다. MU 0 MU = ). ) 2 4 0 4 2 =.05. 0) 0 + = P 0 + P ; 다음과같다. =.05 0. 7) 0 +.542 =.692 +.05.05. 0 + = 3.0879. 8).05 식 7 과식 8 을연립하면, 0 = 3.0879 2 =.5440 =.05.5440 =.622. c) 자본을납입하지않고그냥소비하는경우의효용은 U2, ) = 2 2 2 2 = 0 인반면, 자본시장과생산기회가존재하는경우 U.5440,.622) = 2.5440 2.622 2 = 2.533 이므로, 효용이 2.533 만큼증가하는것을볼수있다. 5. 생산기회와자본시장의의의. 아래의그림에서볼수있는바와같이, 소비자가 생산기회를이용하지않고 ) 자본시장을이용하면 현재와미래의수입을그대로소비하는경우와비교해서 자본시장을통해효용을증대시킬수있고, 2. 소비자가 자본시장을이용하지않고 ) 생산기회를이용하면 현재와미래의수입을그대로소비하는경우나 자본시장만을이용하는경우와비교해서 생산활동을통해효용을증대시킬수있으며, 3. 소비자가자본시장과생산기회를모두이용하면 현재와미래의수입을그대로소비하는경우뿐만아니라 자본시장과생산기회를각각이용할때와비교해서도 자본시장과생산기회를통해효용을극대화할수있다. 4. 이것이바로생산기회와자본시장의의의이며존재이유라하겠다.
5. 생산기회와자본시장의의의 Figure : 생산기회와자본시장의의의 요약정리 utility function): 효용함수, 한계효용 marginal utility), 한계대체율 marginal rate of substitution) 의개념에대해알아보았다. production possibility curve): 생산가능곡선과한계변환율 marginal rate of transformation) 에대해알아보았다. : 소비자의최적투자결정과최적소비결정에대해알아보았다. Fisher s separation theorem): 소유와경영의분리가어떻게정당화되는지피셔의분리정리를통해살펴보았다. 5. 생산기회와자본시장의의의 : 생산기회와자본시장의의의를효용극대화측면에서살펴보았다.