제 3 장. Maxwll 방정식과물질의자성 Maxwll 방정식은전기장과자기장에관한법칙들을요약한것으로, 이들을수학적으로이해하 려면벡터의미분에관한다음의예제를미리공부하는것이도움이된다. () 직각좌표에서벡터의성분분해 위치벡터 (Ptn vctr) r : r x y j k 일반벡터 : j k x y 여기서, j, k 는 x, y, 축에따른단위벡터 (Unt vctr). () 벡터의미분 벡터의미분을적용하기위하여다음의함수들을예로든다. Scalar 함수 : Vctr 함수 : 여기서 x xy y 3 x xy xy 3 x y j k ( ) (3 ) j ( )k x, 3 xy, xy. 3 x y (a) Gra: j k x y Gra은 Scalar 양을미분하고결과는벡터가된다. 3 3 ( j k )( x xy y ) (x y) ( x ) j (3 y )k x y (b) Dvrgnc: ( ) ( j k ) x y Dvrgnc는벡터의내적 (nnr pruct) 미분으로결과는 Scalar가된다. x y ( 예 ) ( j k ) ( x y j k) x y x y 3 ( x ) (3 xy ) ( xy ) 6xy xy x y (c) url: ( ) ( j k ) x y 3 url은외적 (r pruct) 미분으로결과는벡터가된다. ( ) ( j k ) ( x y j k) x y y x y x ( ) j( ) k( ) y x x y ( ) 3 3 ( xy ) (3 xy ) ( x ) ( xy ) (3 xy ) ( x ) [ ] j [ ] k [ ] y x x y 3 (3 xy ) (4 x y ) j (3 y )k 51
() 중요공식 (a) (b) 0 (c) 0 () ( ) 3.1 Maxwll 방정식의유도 전기와자기의법칙, 즉 Gau, Faraay, pr 법칙으로부터전자기에광범위하게사용되는 4 개의 Maxwll 방정식을유도하도록한다. () Gau Law 폐곡면 (l ara) 으로나오는전기장선속 ( 다발 ) 과자기장선속은가우스법칙이적용된다. q 전기장선속 (Elctrc flux): E E a (3.1) 자기장선속 (Magntc flux): a 0 전하 (harg) 는폐곡면내에독립적인양전하 ( (3.) q ) 또는음전하 ( q ) 가홀로존재할수있다. 달리말하면전하는 Mnpl 로존재할수있다. 그러나자하 (Magnt) 는독립된 N 극또는 S 극, 즉한극만있는 Mnpl 로존재할수없으며, 항상자기쌍극자 (Magntc pl) 인 N 극 과 S 극이한쌍을이루고있다. 따라서어떤폐곡면을통해 N 극에서나온자기장선속은다시 그면을통해 S 극으로들어가기때문에순수하게그폐곡면을통해나오는자기장선속은없다 ( 0 ). () Faraay nuctn Law 열린면적 (Opn ara) 를지나가는자기장선속 : a (3.3) Faraay nuctn Law: 열린면적을통해지나가는자기장선속이 시간에따라변하면그열린면적의고리에기전력이발생한다. ( 예 ) 우측그림의경우지면에들어가는방향으로자기장선속이시간에따라증가하면원형고리의전기장이반시계방향으로형성되며, 전류를유발하는기전력이발생한다. 이때만들어진반시계방향 ( 전기장방향 ) 의전류는지면에들어가는방향으로증가하는자기장선속을증가하지못하도록방해한다 (Ln 법칙 ). 수식적표현 : a E (3.4) () Maxwll nuctn Law an pr' Law 5
열린면적 를지나가는전기장선속 : E a E (3.5) (a) Maxwll nuctn Law: Faraay nuctn Law 의대칭성으로 어떤열린면적을지나가는전기장선속을시간에따라변화시키면그전기장이지나가는면에원형고리의자기장이만들어진다. 수식적표현 : E 변위전류 (Dplacnt currnt) 의정의 : (3.6) E (3.7) 변위전류란충전기내의전기장선속이증가하거나감소할때충전기를통해흘러나가는전류이다. (3.6) 을변위전류로다시쓰면 (3.8) (b) pr Law: 직류전류 는그주위에원형의자기장을만든다. 수식적표현 : (3.9) Maxwll-pr Law: (3.8) 과 (3.9) 를한식으로묶으면 ( ) (3.10) Maxwll 방정식의적분형종합 Gau law-elctrc: q E a Gau law-magntc: a 0 (3.11) Faraay law: E a t Maxwll-pr law: ( ) (3.1) (3.13) (3.14) Maxwll 방정식의미분형 (3.11) 과 (3.1) 의좌측항은 Dvrgnc thr( 면적분을체적적분으로바꾸는정리 ) 을적용 하고, 우측항의전하 q 는폐곡면으로둘러쳐진체적내에고르게분포되어있다고가정하라. 예를들면볼링공에전하 q 가균일하게분포되어있다고생각하자. 이때총전하 q 는전하밀도 (harg nty) 에체적을곱한양으로표시한다. 그리고좌우양변을비교하면 Maxwll의 첫번째와두번째미분형방정식이얻어진다. 1 ( E) V E a V E V (3.15) V ( ) V a 0 0 V (3.16) (3.13) 과 (3.14) 의좌측항에 Stck thr( 선적분을면적분으로바꾸는정리 ) 을적용한다. 53
그리고전류 와 는전류밀도 (urrnt nty) J 와 을비교하면 Maxwll 의세번째와네번째미분형방정식이얻어진다. ( E) a E a E t t E 0 t ( ) a ( J J ) a ( J J ) J J J 에면적을곱한양으로표시하고양변 (3.17) (3.18) (3.18) 식의변형, E J a 이들을변위전류 E a E 에대입하면 E E J a a J t t (3.19) (3.19) 를 (3.18) 에대입하면변형된네번째수식을얻는다. E J t 직류전류밀도 : J (3.0) E (3.1) 여기서 는물질의전기전도도 (Elctrc cnuctvty) (3.1) 을 (3.0) 에대입하면다음과같은형태로변형될수있다. E E t (3.) Maxwll 방정식의미분형종합 E (3.3) 0 (3.4) E 0 t E J t (3.5) (3.6) 3. 변위전류및유도자기장구하기 변위전류 : E (3.7) Maxwll nuctn Law: (3.8) 54
여기서 는적분고리로둘러싸인변위전류이다. 이러한개념 을면적 인원형평행판축전기에적용해보자. 임의의시간에평행판축전기의전하 : 전류 : q E (3.9) q E (3.30) 극판사이의변위전류 : E ( E ) E (3.31) 따라서대전시키는실제전류 와극판사이의가상의변위전 류 는같다. (3.3) 유도자기장구하기 반경 인극판에서변위전류 가흐를때 r 인곳에서의 Maxwll Law: ' (3.33) 여기서 은적분고리 r 로둘러싸인내부의변위전류이므로 ' ' ' r : : ' 을비례식으로계산하면 r (3.34) r ( r) ( ) r (3.35) r 인곳에서자기장 : ( r) r (3.36) 보기문제 3.1 반지름 인원형극판의평행판축전기가대전되고있다. (a) r 름 r 에서의자기장표현식을유도하여라. (b) r /5 11.0, 이다. 자기장의크기 를구하여라. (c) r () 반지름이 r /5인곳에서 인경우반지 1 E / 1.5010 V/ 인경우자기장의표현식을유도하라. 의크기를 와 로나타내면얼마인가? () 축전기의안쪽 r /5에서유도자기장의크기를최대유도자기장으로나타내면얼마인가? ( 풀이 ) (a) (b) (c) ' ' q E q E E( r ): r E r E r E ( r) r c c1/ 1/ c 3 1 8 (1.50 10 V / ) 9.17 10 T 8 (11.0 10 ) (3.010 / ) ( r) r c r E E E 55
() ' ( 여기서 ' 은 cntur 내부에있는전류 ) r ( / 5) ' 5 5 () r /5인곳에서 : ( / 5) r 10 r 인곳에서 : 1 5 5 3.3 지구와자기 지구는거대한자석이다. 우측그림은자기쌍극자로나타낸지구 자기장으로자기쌍극자축 MM 은지구의회전축 과 의각도를이룬다. 자기쌍극자의남극은북반구에있다. 자기편각 : 지리적인북쪽과자기장의수평성분사이의각. 11.5 나침반은수직축에대하여자유롭게돌수있는바늘모양의자 석이다. 자기편각은나침반에서바늘과지리적인북극사이의각 도이다. 자기경사각 : 수평면과자기장방향사이의각. 경사계도비슷한자석인데이것은수평축에대하여자유롭게돌수있다. 이것의회전수직면이 나침반의방향과맞아있을때경사계의바늘과수평사이의각도가자기경사각이다. 자기의북극과남극은영원한것이아니고계속위치가변하며매백만년정도마다지구의극성 이뒤바뀌어왔다. 3.4 자기와전자전자는고유한스핀각운동량 (Spn angular ntu, 단순히스핀 ) S 를가지고있다. S 는측 정이불가능하며단지축에대한성분만잴수있고, 그값은다음과같이양자화되어있다. 양자화 : 기본값의정수배또는일정한값으로만존재하는것. 축에대한측정값 : 여기서 h/ 1 S (3.37) 이고 h 는 Planck 상수로그크기는 S 가 축에평행이면 S /, 반평행이면 S / h 34 6.6310 J (3.38) 전자의스핀자기쌍극자모먼트 : S (3.39) 56
여기서 는전자의전하, 즉 19 1.60 10 이고, 은전자의질량으로 도측정이불가능하며단지축의성분크기만얻어진다. 즉 31 9.11 10 kg., S (3.40), (3.41) 양과음의부호는, 가 축과각각평행이거나반평행인것에대응된다. 4 hr Magntn( 보어자기량 ):.97 10 J / T (3.4) (3.43), 전자의스핀은음전하를가진입자의자전이라생각할수있으므로전류가역 방향으로흐르는것으로간주할수있다. 이때자전방향의반대방향이전류방 향이라고생각되므로스핀에의한자기쌍극자모먼트 는스핀 S 와반대방향 이다. 우측그림은전자를아주작은공으로나타낼경우의스핀 S, 스핀자기 쌍극자모먼트 및자기장 를보여준다. 중성자와전자의경우스핀자기쌍극자모우먼트는스핀 S 의반대방향이며 양성자의경우같은방향이다. 중성자나양성자는그질량이 p 1840 로 의 1/1840 이다. 따라서물질내에서그효과는미미하다. 외부자기장 xt xt xt 속에있는 의퍼텐셜에너지 : k 일때퍼텐셜에너지 : U, xt U 이므 xt (3.44) (3.45) 주의 : 전자가자전 (pn) 을하거나공전 (rvlutn) 을한다는것은틀린개념이다. 전자는양자 역학적으로다루어야하며양자역학에서전자는공전이나자전을하지않는다. 다만전자의자전이나공전을고전적으로다루면전자의자기쌍극자모우먼트를보다쉽게이해할수있기때문에고전적인방법으로해석한다는것을명심하자. 궤도자기쌍극자모먼트 전자는고유궤도각운동량 Lrb 을갖고있기때문에궤도자기쌍극자 모우먼트 rb 을만든다. 우측그림을참조하면, 전류 ( 단위시간당전자가궤도의한지점을지나는전하량 ): v (3.46) T r/ v r 여기서 T 는주기로전자가원궤도를한바퀴도는데걸린시간. 전자의전하는 궤도자기쌍극자모먼트 : ( 부호를동반 ). 전류가음수인이유는전자의도는방향과반대이기때문이다. rb r ( ) (3.47) 57
(3.47) 을 (3.48) 에대입 : 수식변형 : v rv r rb ( r ) (3.48) rv r( v) rp rb L (3.49) 여기서 은전자의질량. 이것은벡터로표시가가능하다. 벡터로표시 : 여기서 rb L rb (3.50) Lrb r v r p (3.51) rb 는 Lrb 와반대방향이며, 각운동량 Lrb 은축에대해양자화되어있다. Lrb, (3.5) 여기서 0, 1,, rb, (3.53) 외부자기장에서의퍼텐셜에너지 : xt, U (3.54) rb rb xt 3.5 물질의자성에의한분류 (a) 반 ( 역 ) 자성 (Daagnt): 원자의자기모먼트 (Magntc nt) 가없는물질내에서일어나는약한 Magnt으로자화율 (Sucptblty) 은음의값을가지며대단히작다. 따라서자화는가해준자기장의역방향으로나타난다. 즉 Ln 법칙에의해궤도전자 (Orbtal lctrn) 의가속에의해생성된 Magntc flux는항상외부장의변화에반대하는방향으로생성된다. (b) 반강자성 (ntfrragnt): 같은열의분자는같은방향의자기모먼트를, 이웃된열의 분자들은반대방향의자기모먼트를갖는다. 따라서전체적으로는중성의성질을나타낸다. 그 예로망간 ( Mn ) 은이웃원자들이서로반대방향의자기모먼트를갖고있다. (c) 상자성 ( Paraagnt): 물질이갖는원자의 Magntc pl nt 가외부자기장방 향으로정렬하는것을상자성이라한다. 물질의원자수가 N 이면총자기쌍극자모우먼트는 N 가될수있으나평균병진운동에너지 K 3 kt / ( k 는 ltann cntant) 가자기쌍극 U 자모우먼트에너지 xt 보다상온에서크기때문에열운동에의해완전히정렬하지못 하고다음의 ur 식에따라자화된다. aur agntc nt 상자성자기화 M 의크기 : M (V 는상자성물질의부피 ) V M 의단위 : [ ] 3 N 완벽히정렬할때즉포화되었을때의값 : M ax V ur 법칙 : M ( 는물질에따른 ur 상수 ) (3.55) T 58
여기서 는외부자기장, T 는 Klvn 온도. 전이원소, 희토류원소, 악티늄계원소는대표적인상자성물질이다. 우측그림은상자성물질인황화칼륨크롬의자기화곡선으로왼쪽구간에서잘맞고우측구간에서는맞지않으며보는바와같이포화상태에도달한다. () 강자성 (Frragnt): 작은외부장에도자기모우먼트가쉽게정렬된다. 이것은원자의 스핀정렬이옆에있는원자의스핀에영향을주기때문이며일반적으로높은 ur 온도 ( 자성 이없어지는온도 ) 를갖는다. 철의경우이온도는 1043K 로이이상이되면한방향으로나열 된스핀은무질서해지며강자성의성질은사라진다. 토로이드의철심으로 Frrt r( FO 3) 를사용하는이유는이 r에감긴도선을흐르는전 류에의해만들어지는자기장 여강한자기장을얻기때문이다. M 와철심의원자쌍극자가정돈되어기여하는 M 이상호작용하 (3.56) 따라서물질내의자기장은다음수식에의해측정된다. (3.57) M 는토로이드내에철심이없을때로 우측그림은강자성물질의자화곡선으로 n 이다. 110 3 T 일때 cr 의자기쌍극자정렬은약 70% 가이루어짐을알수있다. 강자성물질의예 : 철, 코발트. 니켈 자기구역 : 강자성물체들은같은방향으로자기쌍극자가나열된 수많은작은구역으로이루어져있고이구역들은무질서하여자성이없다. 이력곡선 : 외부자기장 가증가하다가다시감소하는동안강자성물질 의자화곡선은초기시작한곡선을따라되돌아가지않는다. 우측그림에 서곡선이제자리로되짚어가지않는특성을이력 (Hytr) 이라하고 bcb 를이력곡선이라한다. 여기서 a 는자화되지않은초기출발점이다. 자기정보저장장치는이특성을이용한것이다. 보기문제 3. 단원자의자기쌍극자모먼트가 1.0 인상자성기체가 1.5T 의자기장에 놓였을때온도 ( 풀이 ) U UT T 300 K 에서의 UT 와 U 의값을비교하라. 3 3 3 V kt (1.38 10 J / K)(300K) 3.910 V 19 1.610 J 4 V 4 (9.7 10 J / T)(1.5T) 1.710 V 19 1.610 J 59
보기문제 3.3 막대자석의자기쌍극자모먼트 를측정하는방법은무엇인가? ( 풀이 ) ( 는비틀림상수 ) (1) Nwtn 의제 법칙 : () (1) (): 0 T 균일한외부자기장 에막대자석을놓으면토크는 n (3) (1) 과 (3) 을비교하면 T T ( ) ( ) 주기 T, 회전관성 (Mnt f nrta) 및외부자기장 를측정하여 를구할수있다. 보기문제 3.4 순수철로만든나침반바늘의길이가 께는 t 0.50 이다. 철원자의자기쌍극자모먼트의크기는 l 3.0c 이고너비는 w 1.0 이며두 3 F.110 J / T 이다. (a) 바 늘의원자가 10% 만큼정렬하여자기화되었다면, 바늘의자기쌍극자모먼트 의크기는얼마 인가? (b) 나참반바늘을수평의남북평형위치로부터약간밀어놓으면바늘은진동을한다. 진 동주기가. 라면나침반이있는곳에서자기장의수평성분의크기는얼마인가? 여기서철의밀도는 ( 풀이 ) (a) 철원자의수 : M 이다. 3 7900kg /, 원자량은 55.847g / l N N M VN M 3 3 8 3 V lwt (3.010 )(1.0 10 )(0.50 10 ) 1.5 10 VN F 0.10 NF (0.10) M (0.10) 3.68 10 J / T 3 8 3 3 3 (7900kg / )(1.5 10 )(6.010 / l)(.110 J / T) 3 55.84710 kg / l (b) 나침반바늘의회전관성 : 1 1 l ( V ) l 1 1 1 (7900kg / )(1.5 10 )(3.0 10 ) 8.89 10 kg 1 위의문제풀이에서 3 8 3 9 T T ( ) ( ) 9 8.8910 kg 5 ( ) ( ).7010 T 3..6810 J / T 60