철/벽/수/학 기하와 벡터 제6부 공간도형
1 ST 철벽 CONCEPT 01 평면의결정조건 q 평면의결정조건공간에서는다음을포함하는평면은유일하게결정된다. ⑴ 세점 ⑵ 한점과한직선 두점이직선을결정한다. ⑶ 만나는두직선 ⑷ 평행한두직선 Q➊ 그림과같이평면 위에네개의점과 의외부에한개의점이있다. 이다섯개의점들중 세점으로결정되는평면의개수는? 82
배상면쌤 ^ ^ 02 직선과평면의위치관계 q 공간상의두직선의위치관계 ⑴ 한점에서만난다 ⑵ 평행 ⑶ 꼬인위치 한평면을결정한다 평면을결정하지않는다 w 공간상의평면과직선의위치관계 ⑴ 한점에서만난다 ⑵ 포함 ⑶ 평행 교점 개교점이무수히많다교점이없다 e 공간상의두평면의위치관계 ⑴ 만난다 ⑵ 평행 교점이무수히많다 ( 교선 ) 교점이없다 Q➋-1 그림과같은정육면체에서두꼭짓점을이어만든선분중다음을만족하는것의개수를구하 여라. ⑴ AB 와한점에서만난다. ⑵ AB 와평행 ⑶ AB 와꼬인위치 83
철 / 벽 / 수 / 학 Q➋-2 그림과같은정팔면체의각면을연장한 평면중에서다음조건을만족하는것의개수를구하 여라. ⑴ AB 와한점에서만나는평면 ⑵ AB 를포함한평면 ⑶ AB 와평행한평면 ⑷ ABC 를포함하는평면과만나는평면 ⑸ ABC 를포함하는평면과평행한평면 03 직선과평면이이루는각 q 두직선이이루는각꼬인위치에있는두직선이이루는각은두직선을 평행이동으로만나게하여잰다. 와 가이루는각 = 와 이이루는각 84
배상면쌤 ^ ^ w 평면과직선이이루는각직선과평면이한점 A에서만날때, 직선과평면이이루는각은점 A가아닌직선위의임의의점 P에서평면에내린수선의발이 H일때, PAH로정의한다. e 두평면이이루는각두평면이만날때, 두평면이이루는각은두평면의교선위의임의의점에서두평면에그은수선끼리비교한다. 두평면이이루는각을이면각이라고한다. 임의의점 Q➌-1 그림과같은정육면체에서다음의두직선이이루는각을구하여라. ⑴ AB 와 CG ⑵ AE 와 CF ⑶ AC 와 DG Q➌-2 그림과같은정육면체에서면 BDG 와직 선 BC 가이루는각의크기를 라할때, sin 의 값은? 85
철 / 벽 / 수 / 학 Q➌-3 그림과같은정사각뿔에서 ABC 와 rbcde 가이루는각의크기 라할때, cos 의 값은? 04 직선과평면의수직 q 직선 평면 직선 이평면 와수직 ( ) 직선 이평면 위에있는 임의의 ( 두개이상 ) 직선과수직 w 삼수선의정리평면 위에있지않은점 A, 위의점 O, 위의직선, 위의점 B 에대하여 ⑴ AO OB 이면 AB ⑵ AO, AB 이면 OB ⑶ AB, OB, AO OB 이면 AO Q➍-1 그림과같은정육면체에서 BD CG 임을 증명하여라. 86
배상면쌤 ^ ^ Q➍-2 정사면체에서꼬인위치에있는두모서리 는수직임을증명하여라. Q➍-3 평면 밖의한점 A 에서 에내린 수선의발을 H 라하고, H 에서 위의선분 BC 에 내린수선의발을 D 라한다. AH, BD, AB 일때, DH 의길이는? Q➍-4 그림의직육면체에서점 A 에서 FH 에 내린수선 AI 의길이는? 87
철 / 벽 / 수 / 학 05 정사영 q 정사영의뜻 ⑴ 평면 위에있지않은한점 P에서평면 에내린수선의발 P 을 P의평면 위로의정사영이라한다. ⑵ 도형 F에속하는각점의평면 위로의정사영으로이루어진도형 F 을도형 F의평면 위로의정사영이라한다. w 선분과평면도형의정사영 선분 의정사영 평면도형 S 의정사영 S 정사영과 cos S cos S cos cos Q➎-1 선분 AB 의평면 위로의정사영을 A B 이라하고직선 AB 가평면 와이루는예각 의크기를 라고할때, 다음을구하여라. ⑴ AB, 일때, A B 의길이 ⑵ AB, A B 일때, 각 의크기 Q➎-2 그림과같이모든모서리의길이가 인정사각뿔 O ABCD 에서옆면과밑면이이루는각의크기를 라할때, cos 의값은? 88
2 ND 필수 COURSE 01 직선과평면의위치관계 공간에서 은서로다른세직선이고, 는서로다른세평면이다. 이때다음 중옳은것을모두고르면? ㄱ., 이면 ㄴ., 이면 ㄷ., 이면 ㄹ., 이면 02 공간도형 : 이론증명 다음이론을증명하여라. ⑴ 직선 과평면 가평행할때, 을포함하는평면 와평면 의교선 은 과평행하다. ⑵ 평면 위에있지않은한점 P 를지나는서로다른두직선 이모두 에평행할때, 을포함하는평면 와 는평행하다. 89
철 / 벽 / 수 / 학 03 닮음과평행 ⑴ 한평면위에있지않은네점 A, B, C, D 를차례로이어만든도형을고오슈사변형이라한다. 고오슈사변형 ABCD 의각변의중점 E F G H 를차례로연결하여만든사각형 EFGH 는어떤사각형인가? ⑵ 사면체 ABCD 에서 AC BD 라고한다. 이사면체를변 AC BD 에평행한평면으로자를때, 단면이되는사각형 PQRS 의둘 레의길이는? 04 꼬인위치 사면체 ABCD 의면 ABC, ACD 의무게중심을각각 P Q 라고하 자. 에서두직선이꼬인위치에있는것을모두고르면? ㄱ. 직선 CD 와직선 BQ ㄴ. 직선 AD 와직선 BC ㄷ. 직선 PQ 와직선 BD 90
배상면쌤 ^ ^ 05 전개도 그림과같은전개도를이용하여만든정육면체에대하여다음 설명중옳은것을모두고르면? 의 ㄱ. BG ED ㄴ. CH 와 BG 가이루는각의크기는 이다. ㄷ. DG BH 06 두직선사이의각 그림에서두평면, 는수직이고두직선, 은각각, 위에있다., 이 와 의교선 위의점 P 에서만나고 과 은, 과 은 의각을이룬다. 과 이이루는예각의크기를 라할때, cos 의값은? 91
철 / 벽 / 수 / 학 07 정사영 (1) ⑴ 그림과같은정육면체에서면 AFC 와밑면 EFGH 가이루는각의 크기를 라고할때, cos 의값은? ⑵ 그림과같은정육면체 ABCD EFGH 에대하여선분 AB, BF, FG, GH, HD, DA 의중점을연결한도형은정육각형이다. 이정 육각형과밑면 EFGH 가이루는각을 라할때, cos 의값은? 08 정사영 (2) ⑴ 그림과같이밑면의반지름의길이가 인직원기둥을밑면과 의각을 이루는평면으로자른단면은타원이다. 이타원의장축의길이는? ⑵ 밑면의지름의길이가 인원기둥을오른쪽그림과같이잘랐을때, 단면의 넓이는? 92
배상면쌤 ^ ^ 09 정사영 (3) ⑴ 직사각형 ABCD 모양의종이를대각선 AC 를접는선으로하여접었더니꼭짓점 D 의면 ABC 위로의정사영 D 이변 BC 의중점이되었다. 삼각형 AD C 와삼각형 ABC 가이루는예각의크기는? ⑵ 두평면, 가이루는이면각의크기가 이고, AB 가 와 의교선위에있을때, AC BC 인 위의이등변삼각형 ABC 의 위로의정사영을 ABC 이라고한다. ABC 이정삼각형일때, AC 의길이는? ( 단, AB ) 10 비스듬한사영 ⑴ 반지름의길이가 cm 인구가지면에놓여있다. 태양이지면과 각도로구를비출때, 지면에생긴구의그림자의넓이는? ⑵ 그림과같이벽면에지름이 cm 인원모양의농구골대의림이백보 드와수직으로붙어있다. 지금벽과 의각도로햇빛이비추고있을 때, 벽에나타난림의그림자로둘러싸인도형의넓이는? 93
철 / 벽 / 수 / 학 11 입체의단면 그림과같은정육면체를평면으로잘랐을때, 될수있는것을모두고르면? 중그단면의모양이 ㄱ. 삼각형ㄴ. 정사각형이아닌직사각형ㄷ. 정사각형이아닌마름모ㄹ. 평행사변형이아닌사다리꼴ㅁ. 오각형ㅂ. 육각형 12 내접구와외접구 그림과같이정사면체 A BCD 에외접하는구와내접하는구의 반지름의길이를각각 R 이라할때, R 의값은? ( 단, O 는내접하는구와외접하는구의중심이다.) 94
3 RD 도전 COURSE A LEVEL 실 전 유 형 04 그림의정사면체 A BCD 에 서 BC 의중점을 M 이라할 01 한변의길이가 인정사면체 때, 다음 중옳은것을 ABCD 가있다. AC 의중점을 모두고르면? P, BC 의중점을 Q, AD 의 중점을 R이라할때, 삼각형 PQR의둘레의길이는? ㄱ. BC AM ㄴ. BC DM ㄷ. BC AD 02 높이가 인정사면체 ABCD 의내부에있는한점 P 에서각면에내린수선의길이를각각,,, 라할때, 의값은? 1 ㄱ 2 ㄱ, ㄴ 3 ㄴ, ㄷ 4 ㄱ, ㄷ 5 ㄱ, ㄴ, ㄷ 03 정 각기둥에서밑면의한모서리와꼬인위치에있는모서리의개수를 이라하자. 예를들어, 이다. 05 그림과같은정육면체에서두평면 BDE 와 BDG 가이루는 각의크기를 라할때, sin 의값은? < 정삼각기둥 > < 정사각기둥 > 이때 의값은? 06 그림과같이한모서리의길이가 인정사면체 A BCD 에대하여정사면체의부피 는?. 95
철 / 벽 / 수 / 학 07 그림과같이 AB, AD, BF 인직육면체에서선분 AD 의중점을 M, 선분 BD 와선분 MC 의교점을 P 라고한다. 이때 cos BPF 의값은? 10 그림의정사면체에서모서리 OA를 로내분하는점을 P 라하고, 모서리 OB 와 OC 를 로내분하는점을각각 Q 와 R 이라하자. PQR 과 ABC가이루는예각의크기를 라할때, cos 의값은? 1 4 2 5 3 08 그림과같이평면위에 서술형 A, AB, AC 인직각삼각형 ABC가놓여있다. 점 A를지나고평면 에수직인직선위에 AD 인점 D 를잡을때, 점 D 에서직선 BC에내린수선의길이를구하여라. 11 그림과같이한모서리의길이가 인정육면체 ABCD EFGH 의세모서리 AD, BC, FG 위 에 DP BQ GR 인세점 P, Q, R 이있다. 평면 PQR 과평면 CGHD 가이루는각의크기를 라할때, cos 의값은? ( 단, ) 1 2 3 09 그림은어떤집의지붕을위에서내려다본것이다. 지붕의각면이지면과이 루는각이모두 일때, 지붕의넓이는? 1 2 3 4 5 4 5 12 그림과같이원기둥을지면과 와 를이루는 두평면으로잘랐을때, 그 단면의넓이를각각, 라한다. 의넓이가 일 때, 의넓이는? 96
배상면쌤 ^ ^ B LEVEL 심 화 유 형 16 평면 에수직인직선 13 그림과같은직육면체 서술형 ABCD EFGH 에서 AB, AD, DH 이다. 이때점 E 에서평면 AFH 에내린수선의발의길이를구하여라. 을경계로하는세반 평면,, 가이루는 각의크기는 이다. 그림과같이반지름의 길이가 인구가,, 에동시에접하고, 반 지름의길이가 인구가,, 에동시에접 한다. 두구의중심사이의거리를 라할때, 의값은? ( 단, 두구는평면 의같은쪽에있다.) 14 그림과같은직원뿔모양의산이있다. A 지점을출발하 여산을한바퀴돌아 B 지 점으로가는관광열차의 궤도를최단거리로만들면, 이궤도는처음에는오르막길이지만나중에는 내리막길이된다. 이내리막길의길이는? 1 2 3 17 한변의길이가 인정사면체 OABC 가있다. 세 삼각형 OAB, OBC, OCA 에각각내접하 는세원의평면 ABC 위 로의정사영을각각, 4 5, 라하자. 그림과같이세도형,, 로둘러싸인어두운부분의넓이를 라할때, 의값은? 15 그림과같이삼각기둥 ABC DEF가있고, 그안에모든면에접하는구가놓여있다. 점 A에서구면위의점까지거리의최댓값은, 최솟값은 이다. CAB의크기를 라할때, cos 의값은? 18 반지름의길이가 이고, 높이가 인원기둥이그 림과같이평면 와 의각을이루며비스 듬히놓여져있다. 이원 기둥의평면 위로의정사영의넓이는? 1 2 3 4 5 97
철 / 벽 / 수 / 학 19 그림과같이태양광선이지면과 의각을이루면서비추고있다. 한변의길이가 인정사각 형의중앙에반지름의길이가 인원모양의구 멍이뚫려있는판이있다. 이판은지면과수직 으로서있고태양광선과 의각을이루고있 다. 판의밑변을지면에고정하고판을그림자쪽 으로기울일때생기는그림자의최대넓이를 라 하자. 의값을 라할때, 의 값은? ( 단,, 는정수이고판의두께는무시한다.) 20 그림과같이밑면의반지름의길이가 인원기둥과밑면의반지름의길이가 이고높이가 인 원뿔이평면 위에놓여있고, 원뿔의밑면의둘 레가원기둥의밑면의둘레에내접한다. 평면 와만나는원기둥의밑면의중심을 O, 원뿔의꼭 짓점을 A 라하자. 중심이 B 이고반지름의길이 가 인구 S 가다음조건을만족시킨다. 구 는원기둥과원뿔에모두접한다. 두점 A B 의평면 위로의정사영이 각각 A B 일때, A OB 이다. 직선 AB 와평면 가이루는예각의크기를 라할때, tan 이다. 의값은? ( 단, 원뿔의밑면의중심과점 A 은일치한다.) 98
q 평면의결정조건공간에서다음을포함하는평면은유일하게결정된다. ⑴ ⑵ ⑶ ⑷ w 직선과평면의위치관계 ⑴ 공간상의두직선의위치관계 1 2 3 ⑵ 공간상의평면과직선의위치관계 1 2 3 ⑶ 공간상의두평면의위치관계 1 2 99
철 / 벽 / 수 / 학 e 각 ⑴ 꼬인위치에있는두직선이이루는각 직선 와직선 가이루는각 ⑵ 평면과직선이이루는각 직선 과평면 가이루는각 ⑶ 두평면이이루는각 평면 와평면 가이루는각 r 직선과평면의수직 직선 평면 이 위에있는 직선과수직 100
배상면쌤 ^ ^ t 정사면체 ⑴ AB CD ⑵ 높이 ⑶ 이면각을 라할때 cos y 정육면체 ⑴ AF, BD 가이루는각 : ⑵ AG ⑶ AG FH CFH 101
철 / 벽 / 수 / 학 u 삼수선의정리 ⑴ AO OB ⑵ AO, AB ⑶ AB, OB, AO OB i 정사영 ⑴ 선분의정사영 ( 의정사영 ) ⑵ 평면도형의정사영 ( 의정사영 ) ⑶ cos cos 102