제장 군 제절 소개와 예 제절 이항연산. 보기. 다음은 정수방정식 + x = b를 푸는 과정이다. () 준식에 를 더하여 ( ) + ( + x) = ( ) + b. () 결합법칙을 사용하면 (( ) + ) + x = ( ) + b. () ( ) + = 임을 이용하면 + x = ( ) + b. (4) + x = x 이므로 x = ( ) + b. 이를 유리수방정식 x = b ( 6= )을 푸는 것과 비교해보라. () 준식에 를 곱하여 (x) = b. () 결합법칙을 사용하면 ( )x = b. () = 임을 이용하면 x = b. (4) x = x 이므로 x = b. 이처럼 두 방정식을 푸는 과정이 유사하다.. 연습. 위 두 과정에서 무엇이 같고 어떤 것이 다른가? 두 과정을 통일할 수 있을까?. 연습. X = { } 이라 하고 f : X X 인 전단사함수 모두의 집합을 G라 하자. G의 임의의 두 원소 f g 에 대해 f g 또한 전단사함수이다. 주어진 f g G 에 대해 f h = g 가 성립하는 전단사함수 h는 f g 를 사용하여 어떻게 표현되는가?.4 정의. 한 집합 S 위에서 이항연산(binry oprtion)이란 :S S S ( b) 7 ( b) 인 함수를 말하며 이 때 (S ) 를 이항구조(binry structur)라 한다..5 보기. () R 에서 정의된 + 는 이항연산이나 는 이항연산이 아니다. () N위에서 정의된 + 는 이항연산이나 은 이항연산이 아니다.
제장 군 ( b) 에서 이항연산 의 함수값을 경우에 따라 b b + b b b #b 등으로 쓰나 주로 연산을 생략하여 b로 쓴다..6 연습. 두 원소 b에 대해 가능한 이항연산은 모두 몇가지인가?.7 정의. (S ) 를 이항구조라 하고 b를 그냥 b라고 쓰자. () 만약 모든 b c S 에 대해 (bc) = (b)c 이 성립하면 를 결합적 (ssocitiv)이라 한다. 결합적 이항구조를 반군(smigroup)이라 한다. () 만약 임의의 b S 에 대해 b = b가 성립하면 를 가환적(commut-tiv)이라 한다. 연산이 +인 가환적구조를 흔히 덧셈구조라 한다..8 연습. 두 원소 b에 대해 정의된 연산 중에서 결합적이지 않은 예와 가환적이지 않은 예를 들어 보아라..9 정의. (S ) 를 결합적 이항구조라 하고 b를 그냥 b라고 쓰자. () 한 원소 S 가 존재해서 모든 x S 에 대해 x = x = x 가 성립하면 를 항등원 (idntity) 라 한다. () 항등원 를 갖는 이항구조 (S ) 의 한 원소 에 대해 어떤 원소 S 가 존재해서 = = 가 성립하면 을 의 역원이라 하고 로 쓴다. 덧셈구조의 경우에는 보통 의 역원을 로 쓴다. 정의에 의해 ( ) = 이다.. 연습. 두 원소 b에 대해 정의된 연산 중에서 항등원이 없는 예와 역원을 갖지 않는 원소가 존재하는 예를 들어 보아라.. 정의. 다음의 조건을 만족하는 이항구조 (G ) 또는 간단히 G 를 군(group)이라 한다. (G) (닫힘성) 임의의 b G 에 대해 b G 이다. (G) (결합성) 임의의 b c G 에 대해 (bc) = (b)c이다. (G) (항등원) 한 원소 G가 존재해서 모든 G에 대해 = = 가 성립한다. (G) (역원) 각 G 마다 G가 존재해서 = = 가 성립한다. 모든 b G 에 대해 b = b가 성립하면 G 를 가환군(commuttiv group) 또는 아벨군(blin group)이라고 한다. 흔히 아벨군의 연산은 +으로 쓰며 이 때는 덧셈군이라 부른다.. 연습. b c 가 군 G의 원소이다. b = c이거나 b = c이면 b = c임을 보여라. (G )을 군이라 하고... n G라 하자.... n 을 주어진 순서대로 곱하는 방법은 임의의 m < n 에 대해 ( m )(m+ n ) 등 여러가지가 있다. 표준적인 곱은 귀납적으로 n n = ( n )n 으로 정의한다. 결합법칙을 이용하면 어떠한 곱도 모두 표준적인 곱과 같음을 보일 수 있다. 그러므로 괄호를 생략하고 n 이라고 써도 무방하다. (G )가 를 항등원으로 가지는 군이라 하고 G이라 하자. = 라 정의하고 임의의 자연수 n 에 대해 nø n z } { =
제 절 이항연산 라고 정의하며 nø n z } { = 라고 정의한다. 그러면 n+m = n m (m )n = mn 과 같은 지수법칙이 성립한다. 덧셈군의 경우는 n 을 n 로 쓴다. G가 아벨군이고 b G 이면 임의의 정수 n 에 대해 (b)n = n bn 이 성립한다.. 정리. (G )를 군이라 하자. () G의 항등원은 유일하다. () 임의의 G에 대해 의 역원은 유일하다. () 의 역원은 이다 즉 ( ) =. (4) b의 역원은 b 이다..4 연습. 증명해보자.5 연습. ( n ) = n n 임을 보여라..6 보기. 군 G 의 모든 원소 g G에 대해 g = 이면 G는 아벨군임을 증명하라. 풀이 먼저 임의의 원소 b에 대해 = = bb 또 = (b) = bb이다. 그러므로 = b = b (b) = b이다. 따라서 b = (b) = b = b이다..7 보기. (C +) (R +) (Q +)는 모두 항등원이 인 아벨군이다..8 연습. 군의 공리를 상기하고 위 세개가 군임을 보여 보자. (C +) 가 군인 사실을 이용하여 (R +) 나 (Q +)가 군인 것을 쉽게 보일 수는 없을까?.9 보기. C R Q 를 각각 을 제외한 복소수 실수 유리수의 집합이라 할 때 (Q ) (R ) (C ) 은 항등원이 인 아벨군이다.. 보기. n Z를 고정하고 nz = {nk k Z} 라 하면 (nz +)는 항등원이 인 아벨군이다. 보기. Q+ R+ 를 각각 양의 유리수 실수라 하면 이들은 곱셈에 대해 아벨군을 이룬다.. 보기. m Z를 고정하고 Q[ m] = { + b m b Q} 라 하면 Q[ m] 은 덧셈에 대해 아벨군을 이룬다.. 연습. m > 을 고정하고 Q[ m] = { + b m b Q} 라 하면 Q[ m] 은 덧셈에 대해 아벨군을 이루는가?.4 보기. F 를 Q R C 중 하나라 하면 F 위에서의 벡터공간도 벡터합에 대해 군을 이룬다..5 보기 (행렬군). F 를 Q R C 중 하나라 하고 n m을 양의 정수라 하자. F 의 원소를 항으로 갖는 모든 n m 행렬들의 집합 Mn m (F ) 은 행렬의 덧셈에 대해 군을 이룬다.
제장 군 4.6 보기 (선형군). GLn (F ) = {g Mn n (F ) dt g 6= } 와 SLn (F ) = {g Mn n (F ) dt g = } 은 행렬의 곱셈에 대해 군을 이룬다. GLn (F ) 는 일반선형군(gnrl linr group) SLn (F )는 특수 선형군(spcil linr group)이라 한다..7 연습. 다음 집합이 행렬의 곱에 대해 군을 이룸을 보여라. On = {g Mn n (R) gg t = In }.8 보기. 고정된 자연수 n 에 대해 Un = {z C z n = } = {πik/n k n } 은 곱셈에 대해 군을 이룬다. 또 C = {z C z = } 도 곱셈에 대해 군(torus 군)을 이룬다..9 보기. Zn = {... n }이라 하자. Zn 의 두 원소 b 에 대해 +n b = + b (mod n) 이라 정의하면 (Zn +n )은 군(법 n 군)이다. 기호의 편의상 를 그냥 로 쓴다. 또 n b = b (mod n) 라 정의하자. 정수론의 결과에 따르면 x (mod n) 이 유일한 해를 갖을 필요충분조건은 ( n) = 이다. 그러므로 Z n = { Zn ( n) = } 이라고 두면 (Z n n ) 도 군이 됨을 확인할 수 있다. Z n 의 원소의 개수를 φ(n) 이라 쓴다.. 보기 (곱셈표). 이항구조 G = {g g gn } 에 대해 (i j) -성분이 gi gj 인 행열을 G 의 곱셈표라고 한다. 예를 들어 Z 의 곱셈표는 다음과 같다. +. 연습. X = { } 에 대한 다음의 곱셈표를 생각해보자. () (X ) 는 결합법칙을 만족함을 보여라. () 임의의 x 에 대해 x = x 이고 임의의 x 에 대해 xy = 인 y 가 존재함을 보여라.
제 절 이항연산 5 () X 는 군인가? 군 G의 곱셈표는 각 열과 행 모두 G의 원소들의 순열이다. 왜냐하면 모든 x y G에 대해 x = y x = y x = y x = y 이기 때문이다.. 연습. G = { 6 9 } 라 하고 b = b (mod 5) 라 정의하자. 즉 6 = 6 9 = 9. G의 곱셈표를 만들고 G 가 군임을 보여라.. 보기. R에서 R 로 가는 모든 (연속인 미분가능한) 함수들의 집합 F (R) (C(R) D(R) )은 함수의 덧셈에 대해 군을 이룬다..4 연습. 를 고정된 실수라 하자. {f : R R f () = } 은 함수의 덧셈에 대해 군을 이룸을 보여라. {f : R R f () = }도 함수의 덧셈에 대해 군을 이루는가?.5 보기. X 6= 를 임의의 집합이라 하자. SX = {f : X X f 는 전단사함수} 라 하면 함수의 합성을 이항연산으로 하여 SX 는 군이 된다. 이 군 (SX ) 을 X 위의 대칭군 (symmtric group prmuttion group)이라 하며 특히 X = {... n} 일 때 SX 를 n 차의 치환군 또는 대칭군이라 하며 간단히 Sn 으로 나타낸다. 예를 들어 f (n) = n 인 함수를 라고 표시하면 S 는 (... n... n ) 이다. 그러므로 Sn = n임을 쉽게 알 수 있다..6 연습. S4 의 원소들을 나열하라..7 보기. Q8 = { i i j j k k}에 곱셈을 다음과 같이 정의하자. = = ( ) = ( ) = ( ) = i = j = k = ij = k jk = i ki = j ji = k kj = i ik = j. 그러면 Q8 은 군이 됨을 확인할 수 있다. 원소들을 구체적으로 표현하기 위해 = ( ) i= i i j= k = ( i i ) GL (C) 이라고 두기도 하는데 이렇게 하면 곱셈에 관한 위의 식들이 모두 성립한다. Q8 을 사원소군 (qutrnion group)이라고 한다..8 보기. Q8 의 곱셈표를 만들어라.
제장 군 6.9 보기 (정이면체군). 정 n 각형 Rn 의 대칭이동들의 집합을 Dn 라 놓자. 여기서 대칭이동이란 정 n 각형의 복사본을 취해 원래의 모양을 유지한채 차원 공간에서 자유롭게 이동한 후 원래 정 n 각형 위에 다시 포개놓는 것을 말한다. n = 인 경우 다음의 6가지가 가능하다. σ σ τ σ τ στ.4 연습. D = { σ σ τ στ σ τ } 임을 보여라. 일반적으로 Dn 의 원소 σ 는 π n i 만큼 시계 반대방향으로의 회전운동을 표시하며 τ 는 꼭지점 을 지나는 대칭선으로의 반사운동을 표시한다. 이들은 다음의 성질을 만족한다. σ n = τ =..4 연습. Dn = n 임을 보이고 적당한 σ τ 에 대해 Dn = { σ σ σ n τ στ σ τ σ n τ } 가 됨을 보여라. σi 은 π n i π n i 만큼 시계 반대방향으로의 회전운동이며 σ i τ 는 을 지나는 대칭선으로의 반사운동 후 만큼 시계 반대방향으로의 회전운동을 나타낸다..4 연습. τ σ = σ τ 임을 보이고 모든 i에 대해 (σ i τ ) = τ σ i = σ i τ 가 성립함을 보여라..4 보기. G G... Gn 을 군이라 하자. 곱집합 G G Gn = {(... n ) i Gi } (.) 은 연산 (... n )(b b... bn ) = ( b b... n bn ) 에 대해 군을 이룬다. 실제로 i 를 Gi 의 항등원이라 하면 이 군의 항등원은 (... n ) 이고 (... n ) = (... n ) 이다. 이 군을 G G... Gn 의 직적군(dirct product)라고 한다. 좀 더 구체적으로 예를 들어 G = Z G = Q 라고 하면 군 G G 에서 ( )( 4 ) = ( 4 ) = ( ) 이고 ( ) = ( ) 이다..44 정리. (G )를 결합적 이항구조라 하자. 그러면 다음은 동치이다. () G가 군이다. () 임의의 b G 에 대해 방정식 x = b와 y = b가 해를 갖는다.
제 절 동형이항구조 제절 7 동형이항구조 두 군의 형태가 같다 즉 동형이란 무엇을 의미할까? G ' G 가 함수 f 에 의해 동형이란 것은 f (g) 를 g G 의 별명으로 간주하면 두 군이 완전히 같아진다는 것을 의미한다. 예를 들어 N = {n(x) = ( x ) x R} 은 행렬의 곱에 의해 군을 이루며 n(x)n(y) = ( x ) n : N R y = xy = n(x + y)이므로 n(x) 7 x 는 동형함수가 된다. 이제 n(x) 의 별명을 x 라고 생각하면 N = R 이 된다 위 논의를 정리하면. 정의. 함수 φ : G G 가 두 군 (G ) 와 (G ) 사이의 동형함수란 다음의 두 조건이 성랍함을 의미한다. (i) φ 는 전단사이다. (ii) φ 는 준동형이다 즉 모든 b G 에 대해 φ( b) = φ() φ(b).. 보기. () Zn ' Un 이다. 둘 사이의 동형함수는 φ(k ) = πik/n 이다. () (Z +) ' ({ } ). 연습. () 위수가 인 군은 모두 Z 와 동형임을 보여라. () 위수가 인 군은 모두 Z 와 동형임을 보여라. () 위수가 4 인 군은 모두 Z4 와 동형인가? (4) 위수가 5 인 군은 모두 Z5 와 동형인가? 모든 군들 사이의 동형관계는 동치관계이고 그에 따른 분할 즉 동치류들의 대표를 정하는 것을 군을 분류 (clssifiction of groups)한다고 한다. 군의 분류는 군론의 매우 중요한 목표중에 하나가 된다. 우리는 위수가 비교적 작은 군들을 분류하는 작업을 할 것이다. 예를 들어 위수가 4인 군의 경우 모든 군은 Z4 또는 Z Z 와 동형이 됨을 알 수 있었는데 이 것은 위수가 4인 군이 분류되었다는 것을 의미하며 그 대표원으로 Z4 와 Z Z 를 설정할 수 있음을 의미한다. 동형인 군들끼리는 모두 공유해야만 하는 성질을 구조적 성질이라고 하며 이 중 특히 이항연산에 의존하여 표현되는 성질들을 대수적 성질이라고 한다. 예를 들면 군 G에 대해 () G = n 이다. () g 5 = 인 원소 g 가 개 있다. () 임의의 b G 에 대해 b = b이다. (4) 임의의 G에 대해 x = 인 x G가 존재한다. 등은 구조적 성질이며 이 중 ()()(4)는 대수적 성질이다. 그러나 G이다 G 의 원소는 함수이 다 등은 구조적 성질이 아니다. 두 군이 동형임을 보이려면 동형함수를 찾지만 두 군이 동형이 아님을 보이려면 보통 두 군이 공유하지 못하는 구조적 성질을 찾는다..4 보기. 함수 x 7 x 에 의해 (R +) ' (R+ )이다.
제장 군 8.5 보기. (R )와 (C ) 는 동형이 아니다. 실제로 C 에서는 임의의 C 에 대해 방정식 x = 은 해를 갖으나 R 에서는 예로 x = 이 해를 갖지 않으므로 대수적 성질의 명제 G x[x = ] (이것의 상은 f () f (G) f (x)[f (x) = f ()]) 는 G = C 일 때는 성립하지만 G = R 일 때는 성립하지 않는다. 엄밀히 증명하기 위해 두 군이 f : C R α 7 (β = α 7 = f (β) ) 에 의해 동형이라고 가정하자. f (α) = 이라 두고 β = α 이 되는 β C 를 택하면 f (β) R이고 f (β) = f (β ) = f (α) = 이 되어 모순이다..6 연습. Q8 과 D4 가 동형이 아님을 보여라..7 연습. Z와 Q가 동형이 아님을 보여라.