지, 이때 c 는짝수이므로 c 가될수있는수는 5 가지, b 는나머지 8 가지모두가능하다. 따라서곱의법칙에의하여구하는경우의수는 5_5_8=00 Û aò 이짝수, c 가홀수인경우 aò 이짝수이려면 a 가짝수이면되므로 a 가될수있는수는 5 가 지,

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1 미래편 Ⅰ. 순열과조합본문 ~13 쪽 Ú, Û에서합의법칙에의해구하는경우의수는 +3=5이다. 3 0 빨간색, 파란색을포함한서로다른 5 가지색의색연필을사용하 여그림과같은 A, B, C의 3개의영역에다음조건을만족시키도록색칠하는방법의수는? 유형 1 경우의수 01 두개의주사위 A, B 를동시에던져 A 주사위에서나온눈의 수를 a, B 주사위에서나온눈의수를 b라고할때, 두직선 x+ay=1, (b-3)x-y=1이서로평행하거나수직이되는경우의수는? x+ay=1에서 ay=-x+1, y=-;a@; x+;a!; 이므로이직선의기울기는 -;a@; (b-3)x-y=1에서 y=(b-3)x-1이므로이직선의기울기는 b-3 Ú 두직선이평행한경우 -;a@;=b-3을만족시켜야한다. a=1일때, -=b-3에서 b=1 a=일때, -1=b-3에서 b= a¾3일때, -;a@; 는정수가아니고 b-3은정수이므로등식이성립하지않는다. 두직선이평행한경우는 (1, 1), (, ) 의 가지 Û 두직선이수직인경우 -;a@;_(b-3)=-1, 즉 a=(b-3) 을만족시켜야한다. a가홀수일때, a=(b-3) 을만족시키는 b의값은존재하지않는다. a=일때, b-3=1에서 b=4 a=4일때, b-3=에서 b=5 a=6일때, b-3=3에서 b=6 두직선이수직인경우는 (, 4), (4, 5), (6, 6) 의 3가지 ( 가 ) 각영역에서로다른색을칠한다. ( 나 ) 영역 A에빨간색또는파란색을칠한다. ( 다 ) 영역 A에빨간색을칠하는경우파란색은어느영역에도칠하지않는다 Ú 영역 A에빨간색을칠하는경우영역 B에빨간색과파란색을제외한 3개의색중하나를택하여칠하고영역 C에나머지 개의색중에서하나를택하여칠하면되므로곱의법칙에의하여구하는경우의수는 3_=6 Û 영역 A에파란색을칠하는경우영역 B에 4개의색중하나를택하여칠하고영역 C에나머지 3 개의색중에서하나를택하여칠하면되므로곱의법칙에의하여구하는경우의수는 4_3=1 Ú, Û에서구하는방법의수는합의법칙에의해 6+1= 이하의서로다른세자연수 a, b, c 에대하여 aò +c 가홀수 가되도록하는모든순서쌍 (a, b, c) 의개수를구하시오. 400 aò +c가홀수인경우는 aò 이홀수, c가짝수인경우와 aò 이짝수, c가홀수인경우로나눌수있다. Ú aò 이홀수, c가짝수인경우 aò 이홀수이려면 a가홀수이면되므로 a가될수있는수는 5가 66 EBS 기출의미래확률과통계 - 미래편

2 지, 이때 c 는짝수이므로 c 가될수있는수는 5 가지, b 는나머지 8 가지모두가능하다. 따라서곱의법칙에의하여구하는경우의수는 5_5_8=00 Û aò 이짝수, c 가홀수인경우 aò 이짝수이려면 a 가짝수이면되므로 a 가될수있는수는 5 가 지, 이때 c 는홀수이므로 c 가될수있는수는 5 가지, b 는나머지 8 가지모두가능하다. 따라서곱의법칙에의하여구하는경우의수는 5_5_8=00 Ú, Û 에서합의법칙에의해구하는모든순서쌍의개수는 00+00= 그림과같은입체도형이있다. 점 A 에서모서리를따라네개 이하의모서리를지나점 C 또는점 D 로가는방법의수를구 하시오. ( 단, 한번지나간꼭짓점을다시지나가지않는다.) 18 점 A 에서모서리를따라네개이하의모서리를지나점 C 로가는방 법을그림으로나타내면다음과같으므로방법의수는 9 이다. A C B E D C F G C C C D E B C H G C B C E D C 마찬가지로점 A 에서모서리를따라네개이하의모서리를지나점 D 로가는방법의수도 9 이다. 따라서구하는방법의수는 9+9=18 18 유형 05 신유형 순열과중복순열 다음은등식 (n+ ( 가 ) )Ç*ªP ÐÁ=Ç*ªP 가성립함을증명하는과정이다. (n+ ( 가 ) )Ç*ªP ÐÁ=(n+ ( 가 ) )_ (n+)! {n+ ( 나 ) }! (n+ ( 가 ) )_(n+)! = (n+ ( 가 ) )(n+ ( 다 ) )! = (n+)! (n+ ( 다 ) )! =Ç*ªP 위의 ( 가 ), ( 나 ), ( 다 ) 에알맞은식을각각 f(r), g(r), h(r) 라할 때, f(4)+g(5)+h(6) 의값은? 각함수는 r에대한 식으로표현된다 전략 Ç*ªP 를전개하여 (n+ )Ç*ªP ÐÁ 꼴로변형하는과정을통해빈칸을 추론한다. (n+)! (n+ -r+3 )Ç*ªP ÐÁ=(n+ -r+3 )_ {n+ -(r-1) }! 위과정에서 = (n-r+3)_(n+)! (n+3-r)! (n+ -r+3 )_(n+)! = (n+ -r+3 )(n+ -r+ )! = (n+)! (n+ -r )! =Ç*ªP f (r)=3-r, g(r)=3-r, h(r)=-r 이므로 f (4)=3-4=-1 g(5)=3-5=- h(6)=-6=-4 따라서 f (4)+ g(5)+h(6)=-1+(-)+(-4)=-7 3 정답과 67

3 미래편 06 그림과같이윗줄에 3 개, 아랫줄에 4 개의트로피를진열할수 있는 단진열장이있다. 7개의대회에서받은금상 회, 은상 3회, 동상 회의 7개의서로다른트로피를진열할때, 금상트로피를같은줄에이웃하게진열하는경우의수는? 08 신유형 서로다른 3 개의동영상파일을복사하여 4 개의폴더 A, B, C, D에넣으려고한다. 각각의동영상파일을한개이상의폴더에넣을수있는가능한경우의수가 aò 이라할때, 두자연수 a, b 에대하여 a-b의값은? ( 단, 한폴더에같은파일을 개이상넣을수없다.) 금상트로피 개를같은줄에이웃하게진열하는방법은윗줄에 가지, 아랫줄에 3가지이다. 금상트로피끼리순서를바꾸는경우의수는! 이고나머지 5개의트로피를진열하는경우의수는 5! 이므로구하는경우의수는 (+3)_!_5!= 어느오디션프로그램에서 3 명의심사위원은참가자의노래를 듣고난후각각 PASS 또는 FAIL 중하나를택한다. 이 3명의심사위원이참가자 6명을심사할때, 심사결과로가능한경우의수는? 1 ß` Ú`Û` 3 Ú` ` 4 Û`Ý` 5 Ü`â` 참가자한명당심사결과로가능한경우의수는 ªP =Ǜ 참가자 6명을심사할때, 심사결과로가능한경우의수는 Ǜ P =(Ǜ )ß`=Ú` ` 3 전략 중복순열을이용한다. 4 개의폴더 A, B, C, D 중에서적어도 1 개이상의폴더를선택하는 경우의수는 ªP -1=Ý`-1=15 서로다른 3 개의동영상파일을넣을폴더를적어도 1 개이상선택하 는경우의수는 Á P =15Ǜ a=15, b=3 이므로 a-b=15-3=1 유형 3 09 여러가지순열 5 반지름의길이가 9 인원 4 개와반지름의길이가 6 인원 3 개가있 다. 그림과같이작은원의중심은한직선위에있고큰원은작 은원 개와큰원 1 개에각각접하며큰원의중심을이은도형 은직사각형이되도록놓여있다. 빨강, 주황, 노랑, 초록, 파랑, 남색, 보라의 7 가지색을모두사용하여이 7 개의원의내부에 칠하려고한다. 1 개의원에한가지색만을칠할때, 색칠한결과 로나올수있는경우의수는? 네폴더를모두선택하지않은경우의수는 1 이다. ( 단, 회전하여일치하는것은같은것으로본다.) EBS 기출의미래확률과통계 - 미래편

4 가운데작은원의내부에색칠하는경우의수는 7이다. 나머지 6개의원에색칠하는경우의수는다음과같은탁자에 6명이둘러앉는경우의수와같으므로 (6-1)!_3=360 a+b= = A, B, C, D, E, F, G 의 7 명이달리기시합을하였을때그결과 는다음과같다. 이때빨리들어온순서의결과로가능한경우의수는? 따라서색칠한결과로나올수있는경우의수는 7_360= 그림과같은직사각형모양의 6 인용탁자가있다. 이탁자에부 모와 명의자녀가앉는방법의수는 a이고, 부모끼리이웃하지않게앉는방법의수는 b이다. 이때 a+b의값을구하시오. 88 부모와 명의자녀그리고빈자리 개를원탁모양의탁자에있는 6 개의의자에배열하는방법의수는 (6-1)!_ 1! 이각각에대하여주어진직사각형모양의탁자에앉을때다른경우의수가 3가지씩더생기므로이직사각형모양의탁자에부모와 명의자녀가앉는방법의수는 a=5!_ 1! _3=180 부모끼리이웃하여앉도록원탁모양의탁자에있는 6개의의자에배열하는방법의수는 (5-1)!_!_ 1! =4! 이각각에대하여주어진직사각형모양의탁자에앉을때다른경우의수가 3가지씩더생기므로부모끼리이웃하여앉도록이직사각형모양의탁자에있는 6개의의자에배열하는방법의수는 4!_3=7 따라서부모끼리이웃하지않게앉는방법의수는 b=180-7=108 ( 가 ) B 는 C 보다빨리들어오고, C 는 F 보다빨리들어왔다. ( 나 ) D 는 A 와 E 보다빨리들어왔다. ( 다 ) 동시에들어온경우는없다 빨리들어온순서대로왼쪽에서오른쪽으로나열하면 ( 다 ) 에의하여 7 명을일렬로나열하는것과같다. ( 가 ) 에의하여 B, C, F 순으로들어왔으므로 B 는 C 보다왼쪽에 C 는 F 보다왼쪽에나열되어야한다. 따라서 C 와 F 를 B 라놓자. ( 나 ) 에의하여 D 는 A 와 E 보다왼쪽에나열되어야한다. 따라서 A 와 E 를 D 라놓자. 이제 D, B, B, D, D, B, G 를일렬로나열한후두번째 B 를 C 로, 세 번째 B 를 F 로바꾸고, 두번째 D 와세번째 D 에 A 와 E 를번갈아 바꾸어놓는경우가빨리들어오는순서의결과로가능한경우이다. 따라서구하는경우의수는 7! 3!3! _= 부터 6 까지의자연수가하나씩적혀있는 6 장의카드가있다. 이카드를모두한번씩사용하여일렬로나열할때, 카드에적 혀있는자연수의양의약수의개수가짝수인수가적혀있는카 드끼리는작은수부터크기순서로왼쪽부터나열하고, 카드에 적혀있는자연수의양의약수의개수가홀수인수가적혀있는 카드끼리는큰수부터크기순서로왼쪽부터나열하는경우의수를구하시오. 15 1,, 3, 4, 5, 6의양의약수의개수는각각 1,,, 3,, 4이다. 양의약수의개수가짝수인수가적혀있는카드는, 3, 5, 6이적혀있는카드이다. 이카드를모두 가적혀있는카드라놓자. 양의약수의개수가홀수인수가적혀있는카드는 1, 4가적혀있는카드이다. 이카드를모두 1이적혀있는카드라놓자. 정답과 69

5 미래편 즉, 1,,, 1,, 가적혀있는카드를일렬로나열할때, 두번째, 세번째, 네번째 가적혀있는카드를각각 3, 5, 6 이적혀있는카 드로순서대로바꾸고첫번째 1 이적혀있는카드를 4 로바꾸는경우 의수와같다. 즉, 구하는경우의수는 6! 4!! =15 15 ªP _ Pª=Ǜ _3Û`=7 따라서구하는경우의수는 100_7= n 명중에서 n- 명을택하는경우의수가 190 일때, 자연수 n 의값을구하시오. ( 단, n¾3) 0 유형 4 조합 13 Cª+ C +»C +Á¼C 의값을구하시오. 455 Cª+ C +»C +Á¼C = CÁ+ Cª+ C +»C +Á¼C - CÁ 14 = Cª+ C +»C +Á¼C - CÁ =»C +»C +Á¼C - CÁ =Á¼C +Á¼C - CÁ =ÁÁC - CÁ = 11_10_9_8_7 5_4_3 1-7 =66_7-7 =65_7 = 서로다른 5 종류의과자와서로다른 5 종류의초콜릿이있다. 각 과자는종류별로 개의사이즈를선택할수있으며초콜릿은종 류별로 3 개의사이즈를선택할수있다. 서로다른과자 3 종류와 서로다른초콜릿 종류를선택하여선물을만들려고할때, 만 들수있는선물의경우의수는? ( 단, 선물의포장상태는고려하지않는다.) 과자 5 종류중에서 3 종류를선택하고, 초콜릿 5 종류중에서 종류를 선택하는경우의수는 C _ Cª=10_10=100 과자는사이즈가 가지이므로각종류별로 종류씩선택할수있고, 초콜릿은사이즈가 3 가지이므로각종류별로 3 종류씩선택할수있다. 따라서사이즈를선택하는경우의수는 ÇCÇЪ=ÇCª= n(n-1) =190! 에서 n(n-1)=380 nû`-n-380=(n-0)(n+19)=0 n 은자연수이므로 n= 신유형 1부터 n+11까지의자연수중에서 n+개의서로다른수를택 할때, 세번째로큰수가 10 인경우의수를 aç 이라하자. 예를 들어, aá=1 이다. < 보기 > 에서옳은것만을있는대로고른것은? 보기 ㄱ. aª=7 ㄴ. açéaç*á ( 단, n은자연수이다.) 10이세번째로큰수가되려면 10은반드시택해지고 10보다큰수중에서 개를택해야한다. ㄷ. Á n aû의값이최대가되게하는자연수 n의최솟값은 k=1 10 이다. 1 ㄱ ㄴ 3 ㄱ, ㄴ 4 ㄱ, ㄷ 전략 5 ㄴ, ㄷ aç 은 10 보다큰수중에서 개를택하고 10 보다작은수중에서 n-1 개를택하는경우로구한다. ㄱ. 1 부터 13 까지의자연수중 4 개의수를택할때, 세번째로큰수 가 10 이려면 10 보다큰수중에서두개를택하고 10 보다작은 수에서한개를택하면된다. 즉, aª= Cª_»CÁ= CÁ_»CÁ=3_9=7 ( 참 ) ㄴ. 1 부터 n+11 까지의자연수중에서 n+ 개의수를택할때, 세 번째로큰수가 10 이려면 10 보다큰수들, 즉 n+1 개의수중 개를택하고 9 개의수중 n-1 개를택해야한다. 즉, n¾11 인경우조건을만족시키는경우의수는존재하지않 70 EBS 기출의미래확률과통계 - 미래편

6 는다. 따라서 n¾11 인경우 aç=0 이므로 aª>aáá ( 거짓 ) 따라서조건을만족시키는음이아닌정수 a, b, c의모든순서쌍 (a, b, c) 의개수는 0이다. ㄷ. ㄴ에서 n¾11 일때, 10 Á k=1 aû+ n Á k=11 aû= Á 10 aû k=1 따라서 n¾10일때, Á n aû는최댓값을갖는다. k=1 즉, n 의최솟값은 10 이다. ( 참 ) 이상에서옳은것은ㄱ, ㄷ이다. k¾11 일때 aû= Éa<bÉ5ÉcÉdÉeÉ10 을만족시키는자연수 a, b, c, d, e 의모든순서쌍 (a, b, c, d, e) 의개수는? 유형 5 17 중복조합 다음조건을만족시키는음이아닌정수 a, b, c 의모든순서쌍 (a, b, c) 의개수를구하시오. 0 ( 가 ) a+b+cé9 ( 나 ) a 와 b 는 로나누었을때 1 이남고 c 는 로나누어떨 어진다. 조건 ( 나 ) 에의하여 a=a'+1, b=b'+1, c=c' (a', b', c' 은음 이아닌정수 ) 라놓자. a+b+c=(a'+1)+(b'+1)+c'é9 즉, a'+b'+c'é;&; 이므로 음이아닌정수 a', b', c' 에대하여부등식 a'+b'+c'é3 을만족시키 는순서쌍 (a', b', c') 의개수는 d=3-(a'+b'+c')¾0 이므로음 이아닌네정수 a', b', c', d 에대하여방정식 a'+b'+c'+d=3 을 만족시키는모든순서쌍 (a', b', c', d) 의개수와같다. 따라서구하는순서쌍 (a, b, c) 의개수는 H = C = 6_5_4 3 1 =0 0 참고음이아닌정수 a', b', c' 에대하여방정식 a'+b'+c'=3을만족시키는순서쌍 (a', b', c') 의개수는 H = C = Cª= 5_4 _1 =10 방정식 a'+b'+c'=를만족시키는순서쌍 (a', b', c') 의개수는 Hª= Cª= 4_3 _1 =6 방정식 a'+b'+c'=1을만족시키는순서쌍 (a', b', c') 의개수는 HÁ= CÁ=3 방정식 a'+b'+c'=0을만족시키는순서쌍 (a', b', c') 의개수는 H¼=ªC¼=1 a, b는 1Éa<bÉ5를만족시켜야하므로 1부터 5까지의자연수중서로다른두수를선택하여두수중큰수를 b, 작은수를 a에대응시키면된다. 즉, a와 b를선택하는방법의수는 Cª= 5_4 =10 c, d, e는 5ÉcÉdÉeÉ10을만족시켜야하므로 5부터 10까지의자연수중중복을허락하여세수를선택한후작은수부터차례대로 c, d, e에대응시키면된다. 즉, c, d, e를선택하는방법의수는 H = C = 8_7_6 3 1 =56 따라서조건을만족시키는자연수 a, b, c, d, e의모든순서쌍 (a, b, c, d, e) 의개수는 10_56= 같은종류의연필 4 자루와서로다른종류의지우개 개를남김 없이서로다른세필통에넣는경우의수는? ( 단, 빈필통이있어도된다.) 같은종류의연필 4자루를서로다른세필통에넣는경우의수는 H = C = Cª= 6_5 _1 =15 서로다른종류의지우개 개를서로다른세필통에놓는경우의수는 Pª=3Û`=9 따라서구하는경우의수는 15_9=135 3 즉, 부등식 a'+b'+c'é;&; 을만족시키는순서쌍 (a', b', c') 의개수는 =0 정답과 71

7 미래편 0 방정식 x+y+z=0 을만족시키는 -4 이상의정수 x, y, z 의모 든순서쌍 (x, y, z) 의개수를구하시오. 91 다항식 (x+)ç` 의전개식에서 x n- 의계수가 0일때, 자연수 n의값을구하시오. 11 x¾-4, y¾-4, z¾-4 이므로 x=x'-4, y=y'-4, z=z'-4 (x', y', z' 은음이아닌정수 ) 라놓 을수있다. x+y+z=(x'-4)+(y'-4)+(z'-4)=0 에서 x'+y'+z'=1 (x', y', z' 은음이아닌정수 ) 이므로방정식 x+y+z=0 을만족시 키는 -4 이상의정수 x, y, z 의모든순서쌍 (x, y, z) 의개수는 x'+y'+z'=1 를만족시키는음이아닌정수 x', y', z' 의모든순서 쌍 (x', y', z') 의개수와같다. 즉, 구하는경우의수는 HÁª=Á CÁª=Á Cª= 14_13 =7_13=91 91 (x+)ç` 의전개식에서일반항은 ÇC x r n-r x n- 의계수는 r=n-일때이므로 ÇCÇЪ Û`=ÇCª_4= n(n-1) _4=n(n-1)=0 nû`-n-110=(n-11)(n+10)=0 n은자연수이므로 n= Á r=1 ª¼Cª 를 5 로나눈나머지는? 유형 6 이항정리 1 신유형두함수 f(x)=xú`â`+x `+xß`+xý`, g(x)=x- 에대하여 (f ½g)(x)=a¼+aÁ x+y+aá¼ xú`â`일때, a 의값은? ( 단, a¼, aá, y, aá¼은상수이다.) Á r=1 ª¼Cª = Á 10 ª¼Cª +ª¼C¼-ª¼C¼= = 19-1 r=1 19 =_ 18 =_4á`=_(5-1)á` (5-1)á` =»C¼ (-1)á`+»CÁ 5_(-1) `+y+»c» 5á` =5k-1 (k는 1보다큰어떤자연수 ) 즉, 19 =(5k-1)=5_k- 10 Á r=1 ª¼Cª =5_k-3=5(k-1)+ 따라서 Á 10 ª¼Cª 를 5로나눈나머지는 이다. r=1 3 전략 ( f½g)(x) 를구한후각항의전개식에서 x `항의계수를구한다. ( f½g)(x)=(x-) 10 +(x-) 8 +(x-) 6 +(x-) 4 (x-) 10, (x-) 8, (x-) 6, (x-) 4 의각다항식에서 x 8 항이나오는다항식은 (x-) 10, (x-) 8 (x-)ß`을전개하면이식에서 x 8 항의계수를각각구하면최고차항은 6차이고 (x-)ý`을전개하면 Á¼C (-)Û`, C 이다. 최고차항은 4차이다. Á¼C (-)Û`=Á¼Cª_4= 10_9 _4=180, C =1 따라서 a =180+1= 개의서로다른재료중에서 개이상 7 개이하의재료를선택 하여다양한김밥을만들려고한다. 만들수있는김밥의종류의수를구하시오. ( 단, 사용되는재료의양은고려하지않는다.) 46 구하는경우의수는 8개에서 r (ÉrÉ7) 개를택하는방법의수와같다. 즉, Cª+ C + C + C + C + C =( C¼+ CÁ+ Cª+ C + C + C + C + C + C ) -( C¼+ CÁ+ C ) = `-(1+8+1)= EBS 기출의미래확률과통계 - 미래편

8 유형 7 5 분할 자연수 10 의분할중에서홀수의합으로나타내어지는서로다 른분할의수를구하시오 =9+1=7+3=5+5 = = = = = = = 으로구하는분할의수는 10 이다 원소가 7 개인집합을공집합이아닌두개이상의부분집합으로 분할할때, 부분집합의원소의개수가모두다른경우의수를구 하시오. 168 원소가 7 개인집합을공집합이아닌두개이상의부분집합으로분할 할때, 부분집합의원소의개수가모두다르게분할하려면 7 개의원소 를 (6, 1), (5, ), (4, 3), (4,, 1) 로분할하는네가지경우가있 다. Ú (6, 1) 로분할하는경우 C _ÁCÁ= CÁ_ÁCÁ=7_1=7 Û (5, ) 로분할하는경우 C _ªCª= Cª_ªCª= 7_6 _1=1 Ü (4, 3) 으로분할하는경우 C _ C = C _ C = 7_6_5 3 1 _1=35 Ý (4,, 1) 로분할하는경우 C _ Cª_ÁCÁ= C _ CÁ_ÁCÁ= 7_6_5 3 1 _3_1=105 Ú~Ý에의해구하는경우의수는 = 같은종류의사은품 9 개를같은종류의쇼핑백 4 개에적어도하 나이상씩남김없이나누어넣는경우의수는? 같은종류의사은품을같은종류의쇼핑백에적어도하나이상씩남김없이나누어넣는경우의수는자연수 9를 4개의자연수로분할하는경우의수과같으므로 P(9, 4) 이다. 자연수 9를 4개의자연수로분할하면 9 = = = =4+++1 = =3+++ 따라서구하는경우의수는 P(9, 4)= 명의학생을 3 개의조로나눌때, 각조에적어도 1 명이상이 있도록조를배정하는경우의수를구하시오 명의학생을 3개의조로나눌때, 각조에적어도 1명이상이있도록조를배정하는경우는 (5, 1, 1), (4,, 1), (3, 3, 1), (3,, ) 로분할하는네가지경우가있다. Ú (5, 1, 1) 로분할하는경우 C _ªCÁ_ÁCÁ_ 1! = Cª_ªCÁ_ÁCÁ_ 1! = 7_6 _1 1_ 1! =1 Û (4,, 1) 로분할하는경우 C _ Cª_ÁCÁ= C _ Cª_ÁCÁ = 7_6_5 3 1 _3_1 =35_3_1=105 Ü (3, 3, 1) 로분할하는경우 C _ C _ÁCÁ_ 1! = 7_6_5 3 1 _4_1_ 1! =35_=70 Ý (3,, ) 로분할하는경우 C _ Cª_ªCª_ 1! = 7_6_5 3 1 _ 4_3 _1 _1_ 1! =35_3=105 Ú~Ý에의해구하는경우의수는 = 정답과 73

9 미래편 Ⅱ. 확률본문 14~5 쪽 즉, ;5@;=;3!;+;1 5;-P(A;B) 에서 P(A;B)=;1 5;+;1 5;-;1 5;=;5!; 31 두사건 A, B 에대하여 P(A B)=;3!;, P(B A)=;!; 4 유형 1 확률의연산 ( 덧셈정리와배반사건 ) 9 두사건 A, B 에대하여 P(A B)=0.6, P(A``)=0.4, P(B``)=0.5 일때, P(A'B) 의값은? ( 단, A`` 은 A 의여사건이다.) P(A)=1-P(A` )=1-0.4=0.6 P(B)=1-P(B` )=1-0.5=0.5 P(A B)= P(A;B) =0.6에서 P(B) P(A;B)=0.6_P(B)=0.6_0.5=0.3 확률의덧셈정리에의하여 P(A'B) =P(A)+P(B)-P(A;B) 30 = =0.8 두사건 A, B 에대하여 P(A'B)=;5@;, P(A` )=;3@;, P(B)=;1 5; 일때, P(A;B) 의값은? ( 단, A`` 은 A 의여사건이다.) 1 ;1Á0; ;1ª5; 3 ;6!; 4 ;5!; 5 ;3 0; P(A)=1-P(A` )=1-;3@;=;3!; 확률의덧셈정리에의하여 P(A'B)=P(A)+P(B)-P(A;B) 4 일때, P(A'B) P(A;B) 의값은? P(A B)= P(A;B) =;3!;에서 P(B) P(B)=3 P(A;B) P(B A)= P(A;B) =;!;에서 P(A) P(A)= P(A;B) 확률의덧셈정리에의하여 P(A'B) =P(A)+P(B)-P(A;B) = P(A;B)+3 P(A;B)-P(A;B) =4 P(A;B) 즉, P(A'B) P(A;B) =4 3 3 두사건 A, B 는서로배반사건이고 P(A``)+P(B``)=1. 일 때, P(B`` A)+P(A'B) 의값은? P(B`` A)= P(A;B` ) P(A) A;B= 이므로 P(A;B)=0 A;B``=A-(A;B) 이므로 P(A;B``)=P(A)-P(A;B)=P(A) 즉, P(B`` A)= P(A;B` ) =1 P(A) A;B= 이므로 A` 'B` =(A;B)` =U 즉, P(A` 'B` )=1 ( 단, A`` 은 A 의여사건이다.) 74 EBS 기출의미래확률과통계 - 미래편

10 P(A` 'B`)=P(A`)+P(B`)-P(A`;B`) 에서 P(A` ;B` )=1.-1=0. 즉, P(A` ;B`)=P((A'B)`)=1-P(A'B)=0.에서 P(A'B)=1-0.=0.8 따라서 P(B` A)+P(A'B)=1+0.8=1.8 5 유형 확률의연산 ( 곱셈정리와사건의독립 ) 33 두사건 A, B 가서로독립이고 P(A``;B)=;5!; P(A;B) 일때, P(A`` B) 의값은? ( 단, P(B)>0, A``은 A의여사건이다.) 1 ;!; ;3!; 3 ;4!; 4 ;5!; 5 ;6!; 두사건 A, B가서로독립이면두사건 A``, B도서로독립이므로 P(A;B)=P(A)P(B) P(A` ;B)=P(A`)P(B) P(A` ;B)=;5!; P(A;B) 에서 P(A` )P(B)=;5!; P(A)P(B) 즉, P(A` )=;5!; P(A) P(A` )=1-P(A) 이므로 1-P(A)=;5!; P(A) 에서 P(A)=;6%; 따라서 P(A` B)=P(A` )=1-P(A) =1-;6%;=;6!; 5 34 두사건 A, B 가서로독립이고 P(A B)=0., P(B`` A)=0.3 일때, 100 P(A'B) 의값을구하시오. 76 ( 단, A``은 A의여사건이다.) 두사건 A, B가서로독립이므로 P(A B)=P(A)=0. 두사건 A, B가서로독립이면두사건 A, B` 도서로독립이므로 P(B` A)=P(B` )=0.3 P(B)=1-P(B` )=1-0.3=0.7이므로 P(A'B) =P(A)+P(B)-P(A;B) =P(A)+P(B)-P(A)P(B) = _0.7 =0.76 따라서 100 P(A'B)= <a<1 인실수 a 에대하여두사건 A, B 가서로독립이고 P(A)=a, P(A;B``)=aÛ`, P(B)= P(B``) 일때, a의값은? ( 단, A``은 A의여사건이다.) 1 ;!; ;3!; 3 ;4!; 4 ;5!; 5 ;6!; 두사건 A, B가서로독립이면두사건 A, B``도서로독립이므로 P(A;B` )=P(A)P(B`)=aÛ` 즉, a P(B` )=aû`이므로 P(B` )=a P(B)=1-P(B` )=1-a이므로 P(B)=P(B` ) 에서 1-a=a 즉, 3a=1이므로 a=;3!; 정답과 75

11 미래편 36 신유형 신유형 이상의자연수 n 에대하여 n 개의사건 AÁ, Aª, y, AÇ 이다음 조건을만족시킨다. ( 가 ) P(AÁ)=;3@; ( 나 ) 1ÉkÉn-1 인자연수 k 에대하여두사건 Aû, Aû*Á 은서로독립이다. ( 다 ) 1ÉkÉn-1 인자연수 k 에대하여 P(Aû;Aû*Á) =P(Aû)P(Aû*Á) 유형 3 여러가지사건의확률의계산 37 4 명의남자와 3 명의여자로이루어진모임이있다. 이중에서세 명을임의로뽑을때, 적어도남자 1명과여자 1명이뽑힐확률은? 1 ;3@5@; ;3@5$; 3 ;3@5^; P(Aû;Aû*Á)= 1 û` 4 ;5$; 5 ;7^; P(A )=;pq; 일때, p+q의값을구하시오. 19 ( 단, p와 q는서로소인자연수이다.) 전략독립사건의성질을이용한다. 7명중에서 3명을택하는방법의수는 C = 7_6_5 3 1 =35 남자 3명을택하는방법의수는 C =4이고여자 3명을택하는방법 의수는 C =1 이므로세명을뽑을때, 남자만뽑힐확률은 ;3 5;, 여 ( 나 ) 조건에의하여두사건 Aû, Aû*Á은서로독립이므로 P(Aû;Aû*Á)=P(Aû)P(Aû*Á) 을만족시킨다. k=1일때, P(AÁ)P(Aª)=;3@;_P(Aª)=;!; 에서 P(Aª)=;4#; 자만뽑힐확률은 ;3Á5;이다. 따라서구하는확률은 1-{;3 5;+ ;3Á5;}=;3#5);=;7^; 5 k=일때, P(Aª)P(A )=;4#;_P(A )=;4!; 에서 P(A )=;3!; k=3일때, P(A )P(A )=;3!;_P(A )=;8!; 에서 P(A )=;8#; k=4일때, P(A )P(A )=;8#;_P(A )=;1Á6; 에서 P(A )=;6!; k=5일때, P(A )P(A )=;6!;_P(A )=;3Á; 에서 P(A )=;1 6; 따라서 p+q=16+3= 주머니안에 1 부터 10 까지의자연수가하나씩적혀있는 10 개의 공이들어있다. 이주머니에서차례대로두개의공을임의로꺼낼때적혀있는수를꺼낸순서대로각각 a, b라하자. 이때 aû`+bû`이 3의배수일확률은? ( 단, 꺼낸공은다시넣지않는다.) 1 ;5@; ;1 5; 3 ;1 5; 4 ;5#; 5 ;3@; 10개의공중에서두개의공을순서대로뽑는경우의수는 Á¼Pª=10_9=90 n=3k-1 또는 3k- (k는자연수 ) 인경우 nû`=(3k-1)û`=9kû`-6k+1=3(3kû`-k)+1 nû`=(3k-)û`=9kû`-1k+4=3(3kû`-4k+1)+1 이므로 n=3k-1 또는 n=3k-인경우 nû`을 3으로나누면나머지가 1이다. n=3k (k는자연수 ) 인경우 nû`=9kû`=3(3kû`) 이므로 nû`을 3으로나누면나머지가 0이다. 즉, aû`+bû`이 3의배수가되려면 a가 3k-1 또는 3k- (k는자연수 ) 꼴인경우 b도 3k-1 또는 3k- (k는자연수 ) 꼴이어야하고 76 EBS 기출의미래확률과통계 - 미래편

12 a가 3k 꼴인경우 b도 3k 꼴이어야한다. 1부터 10까지의수중에서 3k-1 또는 3k- 꼴인경우는 1,, 4, 5, 7, 8, 10의 7가지이다. 7개의수중두수를차례대로뽑아 a, b에대응시키면되므로이때의경우의수는 Pª=7_6=4 1부터 10까지의수중에서 3k 꼴인경우는 3, 6, 9의 3가지이다. 3개의수중두수를차례대로뽑아 a, b에대응시키면되므로이때의경우의수는 Pª=3_=6 aû`+bû`이 3의배수가되는경우의수는 4+6=48 이므로구하는확률은 ;9$0*;=;1 5; 3 39 서로다른종류의사탕 6 개와서로다른종류의초콜릿 8 개가 들어있는상자에서 3개를동시에임의로꺼낼때, 적어도사탕 이하나이상포함될확률은? 1 ;!6(; ;1!3); 3 ;@6!; 4 ;1!3!; 5 ;@6#; 40 3 가지종류의밥과 6 가지종류의반찬이있는어느식당에서두 사람이각각밥 1 가지와반찬 3 가지를동시에임의로선택할때, 두개의반찬이일치할확률은? 음식군 반찬류 ( 단, 각음식을선택할확률은같다.) 종류 고등어구이제육볶음오이지 계란말이불고기버섯볶음 밥류흰쌀밥현미밥오곡밥 1 ; 0; ;5@; 3 ;»0; 4 ;!; 5 ;!0!; 한사람이밥 1 가지와반찬 3 가지를선택하는방법의수는 3_ C =3_ 6_5_4 3 1 =60 두사람이각각밥 1가지와반찬 3가지를선택하는방법의수는 60Û`=3600 각자가선택한반찬중 개가일치하도록하려면두사람이각자밥을고른다. 그리고먼저두사람이 개의같은반찬을선택한후, 나머지반찬중에서서로다르게선택하면되므로이방법의수는 3Û`_ Cª_4_3=160 따라서구하는확률은 적어도사탕을하나이상꺼내는사건을 A 라하면 3 개모두초콜릿을 꺼내는사건은 A`` 이다. 서로다른 14 개중에서 3 개를꺼내는경우의수는 Á C = 14_13_1 3 1 =364 이므로 P(A` )= C 364 =;3 6 4=;1ª3; 따라서구하는확률은 P(A)=1-P(A` )=1-;1ª3;=;1!3!; 4 ;3!6^0@0);=;»0; 3 정답과 77

13 미래편 유형 4 조건부확률 그중 a<b<c 인경우가 6 개이므로구하는확률은 ;1 5;=;5@; 41 어느고등학교 300 명의학생들에게학교축제프로그램인공연 관람과작품전관람에대한선호도를조사한결과는다음과같다. ( 단위`:`명 ) 구분 공연관람 작품전관람 남학생 여학생 선호도조사에참여한이고등학교학생 300명중에서임의로 선택한 1명이공연관람을선호한학생일때, 이학생이남학생 일확률은? ( 단, 선호도조사에참여한학생은공연관람과작품 전관람중에서반드시하나만선택한다.) 1 ;3!7(; ;3@7); 3 ;3@7!; 4 ;3@7@; 5 ;3@7#; 임의로선택한 1명이공연관람을선호한학생인사건을 A, 남학생인 사건을 B라하면구하는확률은 P(B A) 이다 주머니안에검은구슬 3 개, 흰구슬 1 개가들어있다. 이주머니 에서임의로구슬을한개씩두번꺼낸다. 두번째꺼낸구슬이검은구슬일때, 첫번째꺼낸구슬이검은구슬이었을확률은? ( 단, 꺼낸구슬은주머니에다시넣지않는다.) 1 ;6!; ;3!; 3 ;!; 4 ;3@; 5 ;6%; 첫번째꺼낸구슬이검은구슬인사건을 A, 두번째꺼낸구슬이검은구슬인사건을 B라하면구하는확률은 P(A B) 이다. 두번째검은구슬을꺼내는경우는처음에검은구슬을꺼내고두번째도검은구슬을꺼내거나처음에흰구슬을꺼내고두번째는검은구슬을꺼내는경우이다. 주머니에서처음구슬을임의로한개꺼낼때, 이구슬이검은구슬일확률은 ;4#;이고, 흰구슬일확률은 ;4!; 이므로 P(A)=;3!0*0%;, P(A;B)=;3!0)0); 이므로 P(B A)= P(A;B) P(A) ;3!0)0); = =;1!8)5);=;3@7); ;3!0*0%; P(B)=;4#;_;3@;+;4!;_1=;4#; P(A;B)=;4#;_;3@;=;!; 따라서 P(A B)= P(A;B) P(B) ;!; = =;3@; ;4#; 4 한개의주사위를세번던져서나온눈의수를차례로 a, b, c 라 하자. a+b=c가성립할때, a<b<c일확률은? 1 ;5!; ;1 0; 3 ;5@; 4 ;!; 5 ;5#; a+b=c를만족시키는순서쌍 (a, b, c) 는 (1, 1, ), (1,, 3), (1, 3, 4), (1, 4, 5), (1, 5, 6) (, 1, 3), (,, 4), (, 3, 5), (, 4, 6) (3, 1, 4), (3,, 5), (3, 3, 6) (4, 1, 5), (4,, 6) (5, 1, 6) 으로 15개이다 상자안에 1 의숫자가하나씩적혀있는카드가 장, 의숫자가 하나씩적혀있는카드가 3장, 5의숫자가하나씩적혀있는카 드가 5장들어있다. 이상자에들어있는 10장의카드중에서 임의로동시에꺼낸 장의카드에적혀있는수의합이 6 이하 일때, 꺼낸카드중에 5의숫자가적혀있는카드가있을확률 은? 1 ;6!; ;5!; 3 ;4!; 4 ;3!; 5 ;!; 10장의카드중에서임의로동시에꺼낸 장의카드에적혀있는수 78 EBS 기출의미래확률과통계 - 미래편

14 의합이 6 이하인사건을 A, 꺼낸카드중에 5 의숫자가적혀있는카 드가있는사건을 B 라하자. 사건 A 가일어나는경우는다음과같다. Ú 꺼낸카드중에 5 가적혀있는카드가없는경우 꺼낸 장의카드는 1 또는 가적혀있는카드이어야하므로이 경우의확률은 5_4 11 Cª Á¼Cª = _1 111=;9@; 10_9 111 _1 Û 꺼낸카드중에 5 가적혀있는카드가한장들어있는경우 나머지한장의카드는 1 이적혀있는카드이어야하므로이경우 의확률은 ªCÁ_ CÁ Á¼Cª Ú, Û 에서 = 111 _5 =;9@; 10_9 111 _1 P(A)=;9@;+;9@;=;9$;, P(A;B)=;9@; 이므로구하는확률은 P(B A)= P(A;B) P(A) 45 ;9@; = =;!; ;9$; 5 그림과같이주머니 A에는검은공 3개와흰공 1개가들어있고, 주머니 B에는검은공 개와흰공 1개가들어있다. 사건 X가일어나는경우는다음과같다. Ú 첫번째시행 : 주머니 A에서검은공을, 주머니 B에서검은공을꺼낸다. 두번째시행 : 주머니 A에서검은공을, 주머니 B에서흰공을꺼낸다. 이경우의확률은 {;4#;_;3@;}_{;4#;_;3!;}=;8!; Û 첫번째시행 : 주머니 A에서검은공을, 주머니 B에서흰공을꺼낸다. 두번째시행 : 주머니 A에서검은공을, 주머니 B에서검은공을꺼낸다. 이경우의확률은 {;4#;_;3!;}_{;4@;_1}=;8!; Ü 첫번째시행 : 주머니 A에서흰공을, 주머니 B에서흰공을꺼낸다. 두번째시행 : 주머니 A에서검은공을, 주머니 B에서흰공을꺼낸다. 이경우의확률은 {;4!;_;3!;}_{;4#;_;3!;}=;4Á8; Ú~Ü 에서 P(X)=;8!;+;8!;+;4Á8;=;4!8#;, P(X;Y)=;4Á8; 이므로구하는확률은 P(Y X)= P(X;Y) P(X) ;4Á8; = =;1Á3; ;4!8#; 1 이두주머니에서공을임의로각각하나씩꺼내서로주머니를 바꾸어공을넣는시행을두번반복한다. 주머니 B에검은공이 3개들어있을때, 주머니 B에서꺼낸두공이모두흰공일확 률은? 1 ;1Á3; ;1ª3; 3 ;1 3; 4 ;1 3; 5 ;1 3; 주어진시행을두번반복할때, 주머니 B에검은공이 3개들어있는 사건을 X, 주머니 B에서꺼낸두공이모두흰공인사건을 Y라하 면구하는확률은 P(Y X) 이다. 46 한개의주사위를두번던져나오는눈의수를차례로 a, b 라하 자. 좌표평면에서원 (x-a)û`+(y-b)û`=;5!; 이직선 y=;!; x와만날때, 두번째던져나온주사위의눈의수가짝수일확률은? 1 ;8!; ;4!; 3 ;8#; 4 ;!; 5 ;8%; 원 (x-a)û`+(y-b)û`=;5!; 이직선 y=;!; x와만나는사건을 A, 두번째던진주사위의눈의수가짝수인사건을 B라하면구하는확률은 P(B A) 이다. 한개의주사위를두번던져나오는경우의수는 6_6=36 정답과 79

15 미래편 좌표평면에서원 (x-a)û`+(y-b)û`=;5!; 이직선 y=;!; x, 즉 x-y=0 과만나려면 a-b "Ã1Û`+(-)Û` É 1 '5, a-b É1 이어야한다. -1+bÉaÉ1+b, 1ÉaÉ6, 1ÉbÉ6 yy ᄀ ᄀ을만족시키는두자연수 a, b 의순서쌍 (a, b) 를구하면 b=1 일때, 1ÉaÉ3 에서 a=1,, 3 이므로순서쌍 (a, b) 의개수는 3 b= 일때, 3ÉaÉ5 에서 a=3, 4, 5 이므로순서쌍 (a, b) 의개수는 3 b=3 일때, 5ÉaÉ7 에서 a=5, 6 이므로순서쌍 (a, b) 의개수는 b=4 일때, 7ÉaÉ9 에서ᄀ을만족시키는 a 는없다. 마찬가지로 b=5, 6 일때도ᄀ을만족시키는 a 는없다. 따라서 P(A)= 3+3+ =;3 6;=;9@;, 36 P(A;B)=;3 6;=;1Á; 이므로 P(B A)= P(A;B) ;1Á; = =;8#; P(A) ;9@; 3 47 신유형서로다른 3개의주사위를동시에던져서나온눈의수의합이 11 일때, 나온눈의수가모두홀수일확률은? 1 ;9!; ;9@; 3 ;3!; 4 ;9$; 5 ;9%; 세눈의수가모두홀수인경우의수를구한다. 세눈의수의합이 11 이되는경우의수를구한다. 전략세눈의수의합이 11인사건을 A, 세눈의수가모두홀수인사건을 B라할때, P(B A) 의값을구한다. 주사위 3개를동시에던져서나온눈의수를각각 a, b, c라할때, a+b+c=11인사건을 A, 세수 a, b, c가모두홀수인사건을 B라하면구하는확률은 P(B A) 이다. 세수 a, b, c는 1ÉaÉ6, 1ÉbÉ6, 1ÉcÉ6인자연수이므로 a+b+c=11이되려면 a, b, c가 6, 4, 1 또는 6, 3, 또는 5, 5, 1 또는 5, 4, 또는 5, 3, 3 또는 4, 4, 3 중하나이어야한다. 이때각경우의순서쌍의개수는다음과같다. Ú 6, 4, 1 또는 6, 3, 또는 5, 4, 일때서로다른세수를나열하는경우의수와같으므로 3!=6 Û 5, 5, 1 또는 5, 3, 3 또는 4, 4, 3일때서로같은두수와나머지다른한수를나열하는경우의수와같으므로 3!! =3 Ú, Û에서 n(a)=3_6+3_3=7 a+b+c=11이고 a, b, c가모두홀수이려면 a, b, c가 5, 5, 1 또는 5, 3, 3 중하나이다. 이때각경우의순서쌍의개수는 3! =3이므로! n(a;b)=_3=6 따라서구하는확률은 P(B A)= P(A;B) P(A) = n(a;b) =; 7;=;9@; n(a) 다른주사위 3개를던져서나온눈의수를각각 a, b, c라할때, a+b+c=11인사건을 A, 세수 a, b, c가모두홀수인사건을 B라하면구하는확률은 P(B A) 이다. Ú a+b+c=11을만족시키는자연수 a, b, c의순서쌍 (a, b, c) 의개수는 a=a'+1, b=b'+1, c=c'+1이라하면 a'+b'+c'=8 을만족시키는음이아닌정수 a', b', c' 의순서쌍 (a', b', c') 의개수와같으므로 H =Á¼C =Á¼Cª= 10_9 _1 =45 Û a, b, c 중 개이상이 7 이상일수없으므로 a¾7일때, a=a'+7, b=b'+1, c=c'+1이라하면 a'+b'+c'=를만족시키는음이아닌정수 a', b', c' 의순서쌍 (a', b', c') 의개수는 Hª= Cª= 4_3 _1 =6 b¾7, c¾7일때도마찬가지이므로구하는경우의수는 6_3=18 Ú, Û에서주사위 3개를동시에던져서나온눈의수의합이 11인경우의수는 45-18=7, 즉 n(a)=7 한편, a+b+c=11이고세자연수 a, b, c가모두홀수인경우의수를구하면다음과같다. Ü a=a'+1, b=b'+1, c=c'+1이라하면 a'+b'+c'=4를만족시키는음이아닌정수 a', b', c' 의순서쌍 (a', b', c') 의개수는 H = C = Cª= 6_5 _1 =15 Ý a, b, c 중 개이상이 7 이상일수없으므로 a¾7일때, a=a'+7, b=b'+1, c=c'+1이라하면 a'+b'+c'=1을만족시키는음이아닌정수 a', b', c' 의순서쌍 (a', b', c') 의개수는 HÁ= CÁ=3 b¾7, c¾7일때도마찬가지이므로구하는경우의수는 80 EBS 기출의미래확률과통계 - 미래편

16 3_3=9 Ü, Ý 에서 a+b+c=11 이고세자연수 a, b, c 가모두홀수인경우 의수는 15-9=6, 즉 n(a;b)=6 따라서구하는확률은 P(B A)= n(a;b) =; 7;=;9@; n(a) 유형 5 48 독립시행의확률 한개의주사위를던져나오는눈의수가 k 일때, k 개의동전을 동시에던지는시행을한다. 이시행을한번할때, 동전의앞면 이 5 번나올확률은? 1 ;4Á8; ;Á4; 3 ;1Á6; 4 ;1Á; 5 ;4 8; 동전의앞면이 5 번나오려면주사위의눈의수가 5 또는 6 이어야한다. Ú 주사위의눈의수가 5 이고, 5 개의동전을던져서앞면이 5 번나올 확률은 ;6!;_ C {;!;} Þ`=;19!; Û 주사위의눈의수가 6 이고, 6 개의동전을던져서앞면이 5 번, 뒷 면이 1 번나올확률은 ;6!;_ C {;!;} Þ`_;!;=;6Á4; Ú, Û 에서구하는확률은 ;19!;+;6Á4;=;19$;=;4Á8; 49 1 주머니안에 1 의숫자가하나씩적혀있는공이 3 개, 의숫자가 하나씩적혀있는공이 3 개들어있다. 이주머니에서임의로공 을 1 개씩꺼내공에적혀있는숫자를확인하고주머니에다시 넣는시행을 5 번반복한다. 꺼낸 5 개의공에적혀있는모든수 의합이 7 이상일확률은? 1 ;8%; ;1!6!; 3 ;4#; 꺼낸 5 개의공에적혀있는모든수의합이 7 이상인사건을 A 라하자. 주머니에서임의로공을 1 개꺼낼때 1, 가적혀있는공이나올확률 은각각 ;6#;=;!;이다. 꺼낸 5 개의공에적혀있는숫자중 1 이 x 번나오면 는 (5-x) 번 나오므로 5 개의공에적혀있는모든수의합은 1_x+_(5-x)=10-x 꺼낸 5 개의공에적혀있는모든수의합이 7 이상이되기위해서는 10-x¾7, xé3 즉, 사건 A 는 1 이적혀있는공이 3 번이하로나오는사건과같으므 로사건 A 의여사건은 1 이적혀있는공이 4 번또는 5 번나오는경우 이다. 따라서 P(A)=1-P(A` ) 50 =1-[ C {;!;} Ý`_{;!;}+ C {;!;} Þ`] = =1-;1 6; =;1!6#; 4 한개의주사위를 4 번던져 3 의배수의눈의수가한번이상나 올때, 3 의배수의눈의수가나온횟수가홀수일확률은? 1 ;1 3; ;1 3; 3 ;1 3; 4 ;1 3; 5 ;1»3; 한개의주사위를 4 번던져 3 의배수의눈의수가한번이상나오는 사건을 A, 3 의배수의눈의수가홀수번나오는사건을 B 라하자. 한개의주사위를던져 3 의배수의눈의수가나올확률은 ;6@;=;3!;이 므로 P(A)=1-P(A` ) =1- C {;3!;} ầ _{;3@;} Ý`=;8^1%; 3 의배수의눈의수가홀수번나오는사건의확률은다음과같다. Ú 3 의배수의눈의수가 1 번나올확률은 CÁ {;3!;} Ú`_{;3@;} Ǜ =;8#1@; Û 3 의배수의눈의수가 3 번나올확률은 C {;3!;} Ǜ _{;3@;} Ú`=;8 1; 4 ;1!6#; 5 ;8&; Ú, Û 에서 P(A;B)=;8#1@;+;8 1;=;8$1); 정답과 81

17 미래편 따라서구하는확률은 P(B A)= P(A;B) P(A) ;8$1); = =;6$5);=;1 3; ;8^1%; 4 51 신유형서로다른 개의주사위를동시에던져 x축위의점 P를다음규칙에따라이동시킨다. 두눈의수의곱이홀수인사건의여사건이다. 나온두눈의수의곱이짝수이면 x축의방향으로 만큼평행이동시키고, 홀수이면 x축의방향으로 -1만큼평행이동시킨다. 두눈의수가모두홀수이다. 원점에있는점 P가이시행을 7회반복한후원점으로부터의거리가 1일확률이 p일때, 14 p의값을구하시오. 189 점 P의 x좌표는 1 또는 -1이다. 전략독립시행의확률을이용하여점 P의 x좌표가 1 또는 -1일확률을구한다. 서로다른 개의주사위를동시에던져나온두눈의수의곱이홀수이려면두눈의수가모두홀수이어야하므로이경우의확률은 ;6#;_;6#;=;4!; 두눈의수의곱이짝수일확률은 1-;4!;=;4#; 서로다른 개의주사위를동시에던지는시행을 7회반복한후, 나온두눈의수의곱이짝수인횟수를 a, 홀수인횟수를 b라하면 a+b=7 yy ᄀ 7회의시행후 x축위의점 P의 x좌표는 a-b이므로원점으로부터의거리가 1이려면 a-b=1 또는 a-b=-1 yy ᄂ이어야한다. ᄀ, ᄂ에서 a=, b=5 따라서구하는확률 p는 p= Cª {;4#;} Û`{;4!;} Þ` = 7_6 _1 _9_{;4!;}à` =189_{;!;} 14 이므로 14 p= 14 _189_{;!;} 14 = 신간 수능직전실전감각을익히고싶다면 FINAL 실전모의고사만점마무리봉투모의고사 8 EBS 기출의미래확률과통계 - 미래편

18 Ⅲ. 통계본문 6~39 쪽 확률변수 X 의확률분포를표로나타내면다음과같다. X 계 P(X=x) ;5!; a ;5!; b 1 P(X¾)=;5@; 일때, E { 5X-1 } 의값은? 1 ;%; 3 3 ( 단, a, b 는상수이다.) 유형 1 이산확률변수의확률분포 4 ;&; 확률변수 X 의확률질량함수가 a P(X=n)= ' n+1 +' n-1 일때, 상수 a의값은? (n=1,, 3, y, 1) 확률의총합은 1이므로 ;5!;+a+;5!;+b=1, a+b=;5#; yy ᄀ P(X¾)=;5@; 에서 ;5!;+b=;5@;, b=;5!; b=;5!; 을ᄀ에대입하면 a=;5@; 1 ;5!; ;4!; 3 ;3!; 4 ;!; 5 1 a P(X=n)= ' n+1 +' n-1 a(' n+1 -' n-1) = n+1-(n-1) =;A;(' n+1 -' n-1 ) 확률의총합은 1 이므로 1 Á n=1 P(X=n)=1 에서 ;A; Á 1 (' n+1-' n-1) n=1 =;A; {('3 -'1 )+('5 -'3 )+('7 -'5 )+y+(' 5 -' 3 )} =;A;(' 5 -'1 )=;A;_4=a 따라서 a=1 이므로 a=;!; 4 따라서확률변수 X 의확률분포를표로나타내면다음과같다. X 계 P(X=x) ;5!; ;5@; ;5!; ;5!; 1 E(X)=0_;5!;+1_;5@;+_;5!;+3_;5!;=;5&; E { 5X-1 }=E{;%; X-;!;}=;%; E(X)-;!; 54 =;%;_;5&;-;!;=3 3 한개의주사위를던져나오는눈의수의양의약수의개수를확률변수 X라할때, r(x) 의값은? 1 '6 3 4 '3 3 ' 3 5 ' ' 10 3 주사위의눈의수가 1,, 3, 4, 5, 6일때, 양의약수의개수는각각 1,,, 3,, 4이므로확률변수 X가가질수있는값은 1,, 3, 4이다. 따라서확률변수 X의확률분포를표로나타내면다음과같다. X 계 P(X=x) ;6!; ;!; ;6!; ;6!; 1 정답과 83

19 미래편 E(X)=1_;6!;+_;!;+3_;6!;+4_;6!; =:Á6 :=;3&; E(XÛ`)=1Û`_;6!;+Û`_;!;+3Û`_;6!;+4Û`_;6!; =: 6 :=:Á3»: V(X)=E(XÛ`)-{E(X)}Û` 이므로 =:Á3»:-{;3&;} Û`=;9*; r(x)="ãv(x) = ;9*; = ' 3 55 각면에 1, 1,,,, 3 의숫자가하나씩적혀있는정육면체모 양의상자를던져바닥에닿는면에적혀있는숫자를확률변수 X라할때, V(1X-3) 의값을구하시오. 68 확률변수 X는이항분포 B {0, ;!;} 을따르므로 E(X)=0_;!;=10 E(aX+7)=1에서 E(aX+7)=aE(X)+7=1 10a+7=1, 10a=5 따라서 a=;!; 57 확률변수 X 가이항분포 B(1, p) 를따를때, E(4X)=E(XÛ`) 을만족시키는 p의값은? ( 단, 0<p<1) 1 ;1Á1; ;1ª1; 3 ;1 1; 4 ;1 1; 5 ;1 1; 확률변수 X의확률분포를표로나타내면다음과같다. X 1 3 계 P(X=x) ;3!; ;!; ;6!; 1 E(X)=1_;3!;+_;!;+3_;6!;=:Á6Á: V(X)=1Û`_;3!;+Û`_;!;+3Û`_;6!;-{:Á6Á:} Û`=;3!6&; 따라서 V(1X-3)=1Û` V(X) =1Û`_;3!6&; =4_17 =68 68 유형 이항분포 확률변수 X가이항분포 B(1, p) 를따르므로 E(X)=1_p=1p V(X)=1_p_(1-p)=1p-1pÛ` E(XÛ`) =V(X)+{E(X)}Û` =1p-1pÛ`+144pÛ` E(4X)=E(XÛ`) 에서 4_1p=1p-1pÛ`+144pÛ` p>0이므로 4=1-p+1p, 11p=3 따라서 p=;1 1; 58 확률변수 X 의확률질량함수가다음과같다. P(X=x)= ªC på` (1-p) 3-x (x=0, 1,, y, 3) E(X+)=10일때, E(XÛ`) 의값을구하시오 한개의동전을 0 번던져서앞면이나온횟수를확률변수 X 라 할때, 확률변수 ax+7의평균이 1가되도록하는상수 a의 값은? 1 ;4!; ;!; 확률변수 X의확률질량함수가 P(X=x)= ªC på` (1-p) 3-x (x=0, 1,, y, 3) 이므로확률변수 X는이항분포 B(3, p) 를따른다. E(X+)=10에서 E(X)+=10 E(X)=8에서 3_p=8, p=;4!; 따라서확률변수 X는이항분포 B {3, ;4!;} 을따르므로 84 EBS 기출의미래확률과통계 - 미래편

20 V(X)=3_;4!;_;4#;=6 E(XÛ`) =V(X)+{E(X)}Û` =6+8Û`=70 70 ;#;_{k+;3!;+k}=1, k=;3!;, k=;6!; 따라서 f (x)=;9!;x + ;6!; 이므로 59 확률변수 X 가이항분포 B(4, p) 를따르고 P(X=0)=P(X=1) 일때, P(X=1) 의값을구하시오. 16 P(X=3) ( 단, 0<p<1) 확률변수 X가이항분포 B(4, p) 를따르므로 P(X=0)=P(X=1) 에서 q=1-p라하면 C¼ pầ qý`= CÁ pqǜ, qý`=4pqǜ q+0이므로 q=4p, 1-p=4p 따라서 p=;5!; 이므로확률변수 X 는이항분포 B {4, ;5!;} 을따른다. f (1)=;9!;+;6!;=;1 8; 1 61 닫힌구간 [0, 4] 에서정의된연속확률변수 X 의확률밀도함수 f (x)=[ ax (0ÉxÉ3) 3a(4-x) (3ÉxÉ4) 의그래프가그림과같을때, P(ÉXÉ4) 의값은? ( 단, a는상수이다.) P(X=1)= CÁ {;5!;} Ú`_{;5$;} Ǜ =4Ý`_ 1 5Ý` P(X=3)= C {;5!;} Ǜ _{;5$;}=4Û`_ 1 5Ý` 따라서 1 4Ý`_13 P(X=1) P(X=3) = 5Ý` 1115=16 1 4Û`_13 5Ý` 16 1 ;3!; ;1 ; 3 ;!; 4 ;1 ; 5 ;3@; 함수 f(x) 가확률밀도함수이므로함수 y= f(x) 의그래프와 x축으 로둘러싸인부분의넓이는 1이다. ;!;_4_3a=1에서 a=;6!; 유형 3 연속확률변수의확률분포 따라서 P(ÉXÉ4) 의값은다음그림의색칠한부분의넓이와같다. 60 닫힌구간 [0, 3] 의모든실수값을가지는연속확률변수 X 의 확률밀도함수가 f(x)=;9!; x+k 일때, f(1) 의값은? ( 단, k 는양수이다.) 이때 f()=;6!;_=;3!; 이므로 1 ;1 8; ;3!; 3 ;1 8; 4 ;9$; 5 ;!; 함수 f(x) 가확률밀도함수이므로함수 y= f(x) 의그래프와 x축, y 축및직선 x=3으로둘러싸인부분의넓이는 1이다. ;!;_3_{f(0)+f(3)}=1에서 P(0ÉXÉ)=;!; ;3!;=;3!;이다. 따라서 P(ÉXÉ4)=1-P(0ÉXÉ) =1-;3!;=;3@; 5 정답과 85

21 미래편 6 연속확률변수 X 가갖는값의범위가 0ÉXÉ4 이고, 확률밀도 함수 y= f(x) 의그래프가직선 x= 에대하여대칭이다. 0ÉxÉ 인모든실수 x 에대하여 P(xÉXÉ)=a- xû` 8 일때, P(1ÉXÉ4) 의값은? ( 단, a 는상수이다.) 1 ;8#; ;!; 3 ;8%; 4 ;4#; 5 ;8&; 함수 f(x) 가확률변수 X 의확률밀도함수이므로함수 y= f(x) 의그 래프와 x 축및두직선 x=0, x=4 로둘러싸인부분의넓이는 1 이다. 함수 y= f(x) 의그래프가직선 x= 에대하여대칭이므로 P(0ÉXÉ)=P(ÉXÉ4)=;!; P(xÉXÉ)=a- xû` 에 x=0을대입하면 8 P(0ÉXÉ)=a 에서 a=;!; 따라서 P(1ÉXÉ4) =P(1ÉXÉ)+P(ÉXÉ4) =P(1ÉXÉ)+P(0ÉXÉ) ={;!;-;8!;}+;!;=;8&; 5 63 신유형연속확률변수 X가갖는값의범위가 0ÉXÉ1이고, 확률변수 X 의확률밀도함수가 f(x)=x 일때, 0ÉtÉ1 인실수 t 에대하 여함수 G(t)=P(tÛ`ÉXÉt) 라하자. 함수 G(t) 의최댓값은? G(t)=;!;(tÛ`+t)_(t-tÛ`) =tû`-tý` (0ÉtÉ1) G'(t)=t-4tǛ =t(1-tû`) 이므로 G'(t)=0 에서 t=- ' 또는 t=0 또는 t= ' 닫힌구간 [0, 1] 에서함수 G(t) 의증가와감소를표로나타내면다 음과같다. t 0 y ' G'(t) y 1 G(t) 0 극대 0 따라서닫힌구간 [0, 1] 에서함수 G(t) 는 t= ' 일때극대이면서 최대이고최댓값은 G { ' }=;!;-;4!;=;4!; 1 ;6!; ;4!; 3 ;3!; 4 ;1 ; 5 ;!; 함수 y=f(x) 의그래프와 x 축및두직선 x=tû, x=t 로둘러싸인부분의넓이와같다. 전략함수 G(t) 의의미를파악하여함수 G(t) 의최댓값을구한다. 확률변수 X의확률밀도함수가 f(x)=x이므로 0ÉtÉ1인실수 t 에대하여함수 G(t) 는그림과같이함수 y= f(x) 의그래프와 x축및두직선 x=tû`, x=t로둘러싸인부분의넓이와같다. 86 EBS 기출의미래확률과통계 - 미래편

22 유형 4 정규분포 P {0ÉZÉ 3 r }= = 어느고등학교학생의몸무게는표준편차가 4`kg 인정규분포를 따른다고한다. 이학교학생중 임의로선택한학생 1 명의몸무게 가 7`kg 이상일확률이 0.5 일때, 몸무게가 66`kg 이하일확률을오 른쪽표준정규분포표를이용하여구한것은? z P(0ÉZÉz) 학생 1명의몸무게를확률변수 X라하면몸무게가 7`kg 이상일확률이 0.5이므로확률변수 X의평균은 7`kg이다. 확률변수 X는정규분포 N(7, 4Û`) 을따르고, Z= X-7 라하면 4 확률변수 Z는표준정규분포 N(0, 1) 을따른다. 따라서학생 1명의몸무게가 66`kg 이하일확률은 P(XÉ66)=P {ZÉ 66-7 } 4 =P(ZÉ-1.5)=P(Z¾1.5) =0.5-P(0ÉZÉ1.5) = = 확률변수 X가정규분포 N(45, rû`) 을따르고 P(X¾4)=0.8413일때, P(XÉa)=0.977를만족시키는상수 a의값을오른쪽표준정규분포표를이용하여구하시오. 51 z P(0ÉZÉz) 확률변수 X가정규분포 N(45, rû`) 을따르므로 Z= X-45 r 면확률변수 Z는표준정규분포 N(0, 1) 을따른다. P(X¾4)=0.8413에서 P(X¾4)=P {Z¾ 4-45 } r =P {Z¾- 3 r }=P {ZÉ 3 r } 로놓으 이때 P(0ÉZÉ1)= 이므로 3 r =1 따라서 r=3이므로확률변수 X가정규분포 N(45, 3Û`) 을따른다. P(XÉa)=0.977에서 P(XÉa)=P {ZÉ a-45 } 3 =P {0ÉZÉ a-45 } P {0ÉZÉ a-45 }= = 이때 P(0ÉZÉ)=0.477이므로 a-45 = 3 따라서 a=45+6= 어느공장에서생산되는고무장갑 1개의길이는평균이 304`mm, 표준편차가 6`mm인정규분포를따른다고한다. 이 공장에서는고무장갑 1개의길이가 9`mm 이하인것을불량 품으로판정한다고한다. 이공장에서생산된고무장갑중에서임의로추출된 1개의고무장갑이불량품으로판정될확률을오른쪽표준정규분포표를이용하여구한것은? z P(0ÉZÉz) 공장에서생산되는고무장갑 1개의길이를확률변수 X라하면 X는정규분포 N(304, 6Û`) 을따르고, Z= X-304 라하면확률변수 Z는 6 표준정규분포 N(0, 1) 을따른다. 고무장갑 1개의길이가 9`mm 이하이면불량품으로판정되므로불량품으로판정될확률은 P(XÉ9)=P {ZÉ } 6 =P(ZÉ-) =P(Z¾) =0.5-P(0ÉZÉ) = =0.08 =P {0ÉZÉ 3 r }+0.5 정답과 87

23 미래편 67 어느공장에서생산되는연필 A 의무게는평균이 `g, 표준편 차가 r`g 인정규분포를따르고, 연필 B 의무게는평균이 45`g, 표준편차가 r`g 인정규분포를따른다고한다. 이공장에서생산 된연필 A 와연필 B 중에서임의로연필을각각 1 개씩선택했 을때, 선택된연필 A 의무게가 k`g 이상일확률과선택된연필 B 의무게가 3k`g 이하일확률이같다. 상수 k 의값은? 이공장에서생산되는연필 A 의무게를확률변수 X 라하면 X 는정 규분포 N(, 4rÛ`) 을따르고, Z= X- r 표준정규분포 N(0, 1) 을따른다. 로놓으면확률변수 Z 는 또, 이공장에서생산되는연필 B 의무게를확률변수 Y 라하면 Y 는 정규분포 N(45, rû`) 을따르고, Z= Y-45 r 표준정규분포 N(0, 1) 을따른다. P(X¾k)=P(YÉ3k) 에서 P {Z¾ k- r P {ZÉ -k r 3k-45 }=P{ZÉ } r 3k-45 }=P{ZÉ } r 즉, -k r = 3k-45 이므로 r -k=6k-90, 7k=11 따라서 k=16 68 확률변수 X 가이항분포 B {7, ;3!;} 을따를때, P(0ÉXÉ30) 의값을오른쪽 표준정규분포표를이용하여구한것은? 로놓으면확률변수 Z 는 z P(0ÉZÉz) 확률변수 X 가이항분포 B {7, ;3!;} 을따르므로 E(X)=7_;3!;=4 V(X)=7_;3!;_;3@;=16=4Û` 이때 7 는충분히큰수이므로확률변수 X 는근사적으로정규분포 5 N(4, 4Û`) 을따르고, Z= X-4 4 규분포 N(0, 1) 을따른다. 따라서구하는확률은 P(0ÉXÉ30)=P { 로놓으면확률변수 Z 는표준정 ÉZÉ 30-4 } 4 =P(-1ÉZÉ1.5) =P(-1ÉZÉ0)+P(0ÉZÉ1.5) =P(0ÉZÉ1)+P(0ÉZÉ1.5) = = 신유형 실수전체의집합에서정의된함수 G(x) 는정규분포 N(3, Û`) 을따르는확률변수 X에대하여 z P(0ÉZÉz) G(x)=P(XÉx) 이다. 함수 G(x) 에대하여 x의 값이 0에서 5까지변할때의평균 변화율을오른쪽표준정규분포표 를이용하여구한것은? G(5)-G(0) 의값을구한다 전략평균변화율의정의와정규분포를따르는확률변수의표준화를이용한다. 함수 G(x) 에대하여 x의값이 0에서 5까지변할때의평균변화율은 G(5)-G(0) = P(XÉ5)-P(XÉ0) = P(0ÉXÉ5) yy ᄀ 5 확률변수 X는정규분포 N(3, Û`) 을따르므로 Z= X-3 이라하면 확률변수 Z는표준정규분포 N(0, 1) 을따른다. P(0ÉXÉ5)=P { ÉZÉ } =P(-1.5ÉZÉ1) =P(-1.5ÉZÉ0)+P(0ÉZÉ1) =P(0ÉZÉ1.5)+P(0ÉZÉ1) = = ᄀ에서구하는값은 G(5)-G(0) 5-0 = = EBS 기출의미래확률과통계 - 미래편

24 유형 5 70 표본평균의분포 어느모집단의확률분포를표 X 0 4 계 로나타내면오른쪽과같다. 이모집단에서크기가 인표 P(X=x) a b a 1 본을임의추출하여구한표본평균을 XÕ 라하자. P(XÕ¾)=;3@; 일때, 두상수 a, b 에대하여 a-b 의값은? 1 -;3@; -;3!; ;3!; 5 ;3@; 모집단의확률분포에서확률의총합이 1 이므로 a+b+a=1 에서 a+b=1 yy ᄀ 첫번째뽑은수를 XÁ, 두번째뽑은수를 Xª 라하면 XÕ= XÁ+Xª P(XÕ¾)=1-P(XÕ<)=;3@;에서 P(XÕ<)=;3!; XÁ+Xª<4 를만족시키는 XÁ, Xª 의순서쌍 (XÁ, Xª) 는 (0, 0), (0, ), (, 0) 이므로 P(XÕ<)=a_a+a_b+b_a=aÛ +ab aû +ab=;3!; yy ᄂ ᄀ에서 b=1-a 이므로이를ᄂ에대입하면 aû +a(1-a)=;3!;, 9aÛ`-6a+1=0, (3a-1)Û`=0 따라서 a=;3!;, b=;3!; 이므로 a-b=;3!;-;3!;= 어느학교학생들의통학시간은평균이 48 분, 표준편차가 10 분 인정규분포를따른다고한다. 이 학교학생들을대상으로 5 명을 임의추출하여조사한통학시간의표본평균을 XÕ라하자. P(45ÉXÕÉk)=0.970일때, 상수 k의값을오른쪽표준정규분포표를이용하여구하시오. 53 z P(0ÉZÉz) 어느학교학생들의통학시간을확률변수 X라하면 X는정규분포 N(48, 10Û`) 을따르고표본의크기가 5인표본평균 XÕ는정규분포 N {48, 10Û` }, 즉 N(48, Û`) 을따른다. 5 따라서 Z= 111 XÕ-48 로놓으면확률변수 Z는표준정규분포 N(0, 1) 을따른다. P(45ÉXÕÉk)=0.970에서 k>48이고 P(45ÉXÕÉk)=P { ÉZÉ k-48 } =P {-1.5ÉZÉ k-48 } =P(0ÉZÉ1.5)+P {0ÉZÉ k-48 } =0.433+P {0ÉZÉ k-48 } P {0ÉZÉ k-48 }= = 이때 P(0ÉZÉ.5)=0.4938이므로 k-48 =.5, k=48+5= 어느회사에서생산되는공 1개의무게는평균이 85`g, 표준편차 가 6`g인정규분포를따른다고한다. 이회사에서생산된공 9개를한세트로묶어서판매할때, 임의로추출한공한세트의무게가 79`g 이상일확률을오른쪽표준정규분포표를이용하여구한것 z P(0ÉZÉz) 은? ( 단, 포장재료의무게는고려하지않는다.) 공 1개의무게를확률변수 X라하면 X는정규분포 N(85, 6Û`) 을따른다. 크기가 9인표본의표본평균을 XÕ라하면 E(XÕ)=85, r(xõ)= 6 '9 = 따라서확률변수 XÕ 는정규분포 N(85, Û`) 을따르고, Z= XÕ-85 로 놓으면확률변수 Z는표준정규분포 N(0, 1) 을따른다. 공한세트의무게가 79`g 이상이려면 9XÕ¾79, XÕ¾88 따라서구하는확률은 정답과 89

25 미래편 P(XÕ¾88)=P {Z¾ } 73 =P(Z¾1.5) =0.5-P(0ÉZÉ1.5) = = 어느고등학교남학생의몸무게는평균이 m`kg, 표준편차가 3`kg 인정규분포를따른다고한다. 이고등학교남학생중임의 로추출한 n 명의몸무게의표본평 균을 XÕ 라하자. P( XÕ-m É1)= 를만족 시키는표본의크기 n 의값을오 른쪽표준정규분포표를이용하여구한것은? z P(0ÉZÉz) 어느고등학교남학생의몸무게를확률변수 X라하면 X는정규분포 N(m, 3Û`) 을따른다. 따라서크기가 n인표본의표본평균 XÕ 는정규분포 N {m, 3Û` n }을따 르고 Z= 111 XÕ-m 이라하면확률변수 Z는표준정규분포 N(0, 1) 3 1 'n 을따른다. P( XÕ-m É1)=0.9544에서 P( XÕ-m É1)=P { Z É 'n 3 }=P {0ÉZÉ 'n 3 } P {0ÉZÉ 'n 3 }=0.477 이때 P(0ÉZÉ)=0.477이므로 'n =, 'n =6 3 따라서 n=6û`= 어느회사에서생산되는생수 1병의용량은평균이 50`ml, 표 준편차가 4`ml인정규분포를따른다고한다. A, B 두사람이이 회사에서생산되는생수중에서임의로각각 4병씩선택하였다. A가선택한생수들의용량의평균이 54`ml 이상이고 B가선택한생수들의용량의평균이 50`ml 이하일확률을오른쪽표준정규분포표를이용하여구한것은? z P(0ÉZÉz) 이회사에서생산되는생수 1병의용량을확률변수 X라하면 X는정규분포 N(50, 4Û`) 을따른다. A가선택한생수들의용량의표본평균을 XÕ라하면 XÕ는정규분포 N {50, { 4 '4 }Û`}, 즉 N(50, Û`) 을따르고, Z= XÕ-50 이라 하면확률변수 Z는표준정규분포 N(0, 1) 을따른다. A가선택한생수들의용량의평균이 54`ml 이상일확률은 P(XÕ¾54)=P {Z¾ } =P(Z¾) =0.5-P(0ÉZÉ) = =0.08 또, B가선택한생수들의용량의표본평균을 XõÕ라하면 XõÕ는정규분포 N {50, { 4 '4 }Û`}, 즉 N(50, Û`) 을따르고, Z= XõÕ-50 이 라하면확률변수 Z는표준정규분포 N(0, 1) 을따른다. B가선택한생수들의용량의평균이 50`ml 이하일확률은 P(XõÕÉ50)=P {ZÉ } =P(ZÉ0) =0.5 이때 A, B가생수를선택하는사건은서로독립이므로구하는확률은 P(XÕ¾54, XõÕÉ50) =P(XÕ¾54)_P(XõÕÉ50) =0.08_0.5 = EBS 기출의미래확률과통계 - 미래편

26 유형 6 모평균의추정 유형 7 표본비율의분포 75 모평균이 m, 모표준편차가 5 인정규분포를따르는모집단에서 크기가 n 인표본을임의추출하여얻은모평균 m 에대한신뢰도 95`% 의신뢰구간이 71.3ÉmÉ73.19 이다. 자연수 n 의값을구 하시오. ( 단, Z 가표준정규분포를따르는확률변수일때, P( Z É1.96)=0.95 로계산한다.) 100 크기가 n 인표본을임의추출하여구한표본평균의값을 x 라하면 모평균 m 에대한신뢰도 95`% 의신뢰구간은 x -1.96_ 5 'n ÉmÉx +1.96_ 5 'n x -1.96_ 5 'n =71.3 x +1.96_ 5 =73.19이므로 'n {x +1.96_ 5 'n }-{x -1.96_ 5 'n }= _1.96_ 5 =1.96에서 'n 'n = _1.96_5 = 따라서 n= 어느공장에서생산되는제품 1 개의무게는모평균이 m`kg, 모표준편차가 4`kg 인정규분포를따른다고한다. 이공장에서 생산되는크기가 n 인표본을임의추출하여얻은모평균 m 에대 한신뢰도 99`% 의신뢰구간이 aéméb 일때, b-aé1.9 가되 도록하는자연수 n 의최솟값을구하시오. ( 단, Z 가표준정규분 포를따르는확률변수일때, P( Z É.58)=0.99 로계산한다.) 어느지역주민의 90`% 가스마트폰 을사용한다고한다. 이지역주민 중임의추출한 5 명을대상으로 스마트폰사용여부를조사할때, z P(0ÉZÉz) 스마트폰을사용하는주민의비율이 0.86 이상 0.94 이하일확률을 오른쪽표준정규분포표를이용하여구한것은? 임의추출한주민 5명중에서스마트폰을사용하는주민의비율을확률변수 p^ 이라하면 E(p^ )=;1»0¼0;=;1»0;=0.9 ;1»0;_;1Á0; V(p^ )= =;5Á00;={;5Á0;} 5 Û`=0.0Û` 확률변수 p^ 은근사적으로정규분포 N(0.9, 0.0Û`) 을따르고, Z= p^-0.9 라하면확률변수 Z는근사적으로표준정규분포 0.0 N(0, 1) 을따른다. 따라서구하는확률은 P(0.86Ép^ É0.94)=P { =P(-ÉZÉ) =P(0ÉZÉ) =_0.477 = ÉZÉ } 크기가 n 인표본을임의추출하여구한표본평균의값을 x 라하면 모평균 m 에대한신뢰도 99`% 의신뢰구간이 x -.58_ 4 'n ÉmÉx +.58_ 4 'n 이므로 b-a=_.58_ 4 'n _.58_ 4 É1.9에서 'n ¾16 'n 양변을제곱하면 n¾56 따라서구하는자연수 n 의최솟값은 56 이다. 56 정답과 91

27 미래편 78 어느고등학교학생의 0`% 가버스로등교를한다고한다. 이고 등학교학생중임의추출한 64 명 을대상으로버스등교여부를조사할때, 버스로등교하는학생의비율이 a`% 이상일확률이 0.08 이다. a의값을오른쪽표준정규분포표를이용하여구한것은? z P(0ÉZÉz) 임의추출한 64명중에서버스로등교하는학생의비율을 p^, 모비율을 p라하면 p=;1ª0¼0;=;5!;, p(1-p) ;5!;_;5$; = ={;Á0;} n 64 Û` 64는충분히큰수이므로표본비율 p^ 은근사적으로정규분포 N {;5!;, {;Á0;} Û`} 을따른다. p^ -;5!; Z= 이라하면확률변수 Z는근사적으로표준정규분포 ;Á0; N(0, 1) 을따른다. 버스로등교하는학생의비율이 a`% 이상일확률이 0.08이므로 P {p^ ¾ a }=0.08에서 100 a ;100;-;5!; P»Z¾ ¼ =P {Z¾ a-0 } 5 ;Á0; 유형 8 79 모비율의추정 A 인터넷강의의수강률을조사하기위하여 B 고등학교학생중에서 400명을임의추출하여조사하였더니 A 인터넷강의를수강한학생의비율은 0.이었다. 이학교의전체학생들중에서 A 인터넷강의를수강한학생의비율 p에대한신뢰도 95`% 의신뢰구간은? ( 단, 표준정규분포를따르는확률변수 Z에대하여 P( Z É1.96)=0.95이다.) ÉpÉ ÉpÉ ÉpÉ ÉpÉ ÉpÉ0.39 표본의크기 n=400, 표본비율 p^ =0., q^ =1-0.=0.8이므로 p^ q^ 1.96_¾Ð n =1.96_¾Ð ;5!;_;5$; =1.96_ É 100_5 = =0.039 따라서 A 인터넷강의를수강한학생의비율 p에대한신뢰도 95 % 의신뢰구간은 ÉpÉ 에서 ÉpÉ =0.5-P {0ÉZÉ a-0 } 5 P {0ÉZÉ a-0 }= = 이때 P(0ÉZÉ)=0.477이므로 a-0 =, a-0=10 5 따라서 a= 어느지자체에서개발한 A 관광상품을긍정적으로평가를하 는주민의비율 p를조사하기위하여이지역의주민중 300명 을임의추출하여조사한결과 5명이 A 관광상품에대하여 긍정적으로평가하였다. 이결과를이용하여구한이지역주민 전체의 A 관광상품을긍정적으 z P(0ÉZÉz) 로평가하는주민의비율 p에대 한신뢰도 a`% 의신뢰구간이 aépéb이다. b-a=0.19일때, a의값을오른쪽표준정규분포표를이용하여구하시오 Z가표준정규분포를따르는확률변수일때, 양의실수 k에대하여 P(-kÉZÉk)= a 100 라하자. 9 EBS 기출의미래확률과통계 - 미래편

28 임의추출한 300 명중에서 A 관광상품에대하여긍정적으로평가하 는주민의비율을 p^ 이라하면표본비율 p^ =;3@0@0%;=;4#; 이므로모비율 p 에대한신뢰도 a`% 의신뢰구간은 ;4#;-k_ ¾Ð ;4#;_;4!; 300 b-a=0.19 에서 b-a=_k_ ¾Ð ;4#;_;4!; 300 ÉpÉ;4#;+k_ ¾Ð ;4#;_;4!; 300 ;ð0;=0.19, k=0.19_0=.58 =_k_;4á0;=;ð0; P(-.58ÉZÉ.58) =P(0ÉZÉ.58) =_0.495=0.99 a 100 =0.99 에서 a=99 99 신간 연계교재의 VOCA 1800 단어부터예문까지직접뽑은 1800 단어로 018 연계교재학습준비 100% 정답과 93

29 m emo

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